2009年8月高三数学开学摸底考

高三 数学 第1页（共8页）高三 数学 第2页（共8页）上海市延安中学2009学年度第一学期开学摸底考试高三年级数学试卷（考试时间：90分钟 满分：100分）一、填空题（本大题满分35分，第1至第9小题每小题3分，第10、11小题每小题4分）1、线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=-02212z y y x z x 的增____________________．2、若112aii-+是纯虚数，则实数a =__________________． 3、方程()22log 212x x x -+=的解是 ．4、若等差数列{}n a 中有20151296=+++a a a a ，则其前20项和等于_________________．5、不等式24230xx +-+≥的解集是 ．6、已知x R ∈，则函数2sin 2()cos xf x x =的值域是_______________． 7、所有棱长都为2的正四面体的体积等于_____________．8、椭圆192522=+y x 的左、右焦点分别是12F F 、，若点M 在椭圆上，且满足 12MF MF ⊥ ，则21F MF ∆面积为_____________．9、函数()sin cos f x a x b x =-的图像的一条对称轴是直线4x π=，则直线0ax by c -+=的倾斜角的大小为____________．10．若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为___________________．11、定义：区间[],()a b a b <的长度为b a -。

已知函数3log y x =的定义域是[],a b ， 值域是[]0,2，则区间[],a b 的长度的最大值是_______________． 二、选择题（本大题满分16分，每小题4分）12、a 为实数，则“方程20x ax a +-=有虚数解”是“方程20x ax a -+=有实数解”的------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ） 充要条件 （B ） 必要非充分条件 （C ） 充分非必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 13、如右图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 是棱1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱11B A 上任意一点， 则直线OP 与直线AM 所成的角的大小为--------------（ ）按此规律下去，则200920102011a a a ++=--------------------------------------------------------（ ） （A ）1003 （B ）1005 （C ）1007 （D ）1009xA 1B 1C 1D 1DA CBOM P高三 数学 第3页（共8页）高三 数学 第4页（共8页）15、定义函数⎩⎨⎧≥<=)cos (sin ,sin 2)cos (sin ,cos 2)(x x x x x x x f ，给出下列四个命题：①该函数的值域是[]2,2-；②该函数是以π为最小正周期的周期函数；③当且仅当)(22Z k k x ∈-=ππ时该函数取得最大值2；④当且仅当)(222Z k k x k ∈-<<-ππππ时，0)(<x f ．上述命题中，错误命题的个数是（ ）（A ） 1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 二、解答题16、（本题6分）已知复数1z i =+，若2211z az bi z z ++=--+，求实数a b 、的值．17、（本题8分，第（1）小题4分，第（2）小题4分 ）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4ABC π∠=，OA ABCD ⊥底面, 2OA =，M 为OA 的中点．（1）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （2）求点B 到平面OAC 的距离．18、（本题10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）在ABC ∆中，内角C B A 、、所对边的边长分别是c b a 、、，已知2=c ，3C π=．（1）若ABC △a b ，；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．19、（本题11分，其中第一小题4分，第二小题7分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>0y +=，左、右顶点分别为A B 、，右焦点为F ，1BF =，过F 作直线交此双曲线的右支于P Q 、两点． （1）求双曲线的方程；（2）若17OP OQ ⋅=-，求PBQ ∆的面积S ．20、（本题14分，其中第一小题3分，第二小题5分，第三小题6）对于数列{}n a ，若存在确定的自然数0T >，使得对任意的自然数*n N ∈，都有：n T n a a +=成立，则称数列{}n a 是以T 为周期的周期数列．（1）记123n n S a a a a =++++ ，若{}n a 满足21n n n a a a ++=-，且231007,2010S S ==，求证：数列{}n a 是以6为周期的周期数列，并求2009S ；（2）若{}n a 满足110,2a p ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，且2122n n n a a a +=-+，试判断{}n a 是否为周期数列，且说明理由；（3）由（1）得数列{}n a ，又设数列{}n b ，其中nn n n a b 220092++=，问是否存在最小的自然数*()n n N ∈，使得对一切自然数n m ≥，都有2009>m b ？请说明理由．高三 数学 第5页（共8页）高三 数学 第6页（共8页）上海市延安中学2009学年度第二学期开学摸底考试高三年级数学试卷答题纸考试座位号__________成绩__________一、填空题：1、________2、3、4、5、6、 ___7、8、9、 10、11、二、选择题： 12 13、 14、 15、 三、解答题： 16、 17、（1）（2） 18、（1）（2）班级__________ 姓名__________学号__________19、（1）（2）20、（1）（2）（3）高三数学第7页（共8页）高三数学第8页（共8页）高三 数学 第9页（共8页）高三 数学 第10页（共8页）上海市延安中学2009学年度第一学期开学摸底考试高三年级数学试卷答案一、填空题：1、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011020211102 2、21 3、31 4、 100 5、(][)+∞∞-,3log 0,26、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21 7、322 8、 9 9、︒135 10、 []1,3-11、980二、选择题：12、 C 13、 D 14、 B 15、 C三、解答题：16、解：由1z i =+，所以2i =2z ， 21z z i -+= ------------------------------------- 2分所以222211z az b z az bai a bi i i z z ++++==-+-=--+，----------------------------------- 4分 得1,2a b =-=------------------------------------------------------------------------------------------ 6分17、（1）解 （1）CD ‖AB,MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角）----------------- 2分 作,AP CD P ⊥于连接MP因为OA ABCD ⊥平面， CD MP ⊥，,4ADP π∠=∵所以DP =，MD =，1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π∠==∠=∠=∴所以 AB 与MD 所成角的大小为3π．------------------------------------ 4分 （2）设点B 到平面OAC 的距离为h ，连AC ，作AC BP ⊥于点P ，因为OA ABCD ⊥底面, 所以 BP OA ⊥，从而有⊥BP 平面OAC ，所以线段BP 的长度就是点B 到平面OAC 的距离，即h BP =，-------------------- 2分 由计算得22-=AC ，所以221122⨯⨯=-⋅h 解得 222+=h ， 即点B 到平面MCD 的距离等于222+----------------- 8分18、解：（1）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=，-------------------------------- 1分又因为ABC △1sin 2ab C =ab=4--------------------------- 2分联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =．--------------------------------------------- 4分（2）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =，----------------------------------------------------------------------- 6分 当cos 0A =时，2A π=，6B π=，a =b =， 当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得a =b =所以ABC △的面积1sin 2S ab C ==------------------------------------------------ 10分班级__________姓名__________学号__________高三 数学 第11页（共8页）高三 数学 第12页（共8页）19、（1）（1）双曲线方程为2213y x -= -------------------------------------------------------- 4分 （2）第一种情况：若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为2=x)3,2()3,2(-Q P 、，1713-≠=⋅OQ OP ，不合题意；-------------------------------- 6分 第二种情况：若直线PQ 的斜率存在，设1122(,),(,)P x y Q x y ，直线PQ 的方程为(2)y k x =-，代入双曲线方程可得：2222(3)4(43)0k x k x k -+-+= （*） 且判别式 236360k ∆=+> -- 7分由于P Q 、都在双曲线的右支上， 所以230k -≠，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+=>-=+033403422212221k k x x k k x x ， 解得33k > ------------------------------------------------------------ 8分 所以[]221212121229(2)(2)2()43ky y k x x kx x x x k =--=-++=-- 而1112(,),(,)OP x y OQ x y == ， 由于17OP OQ ⋅=-，所以121217x x y y +=-所以22224391733k k k k +-=---，得243k => 此时12121216,19,36x x x x y y +===-， 1212(4)12y y k x x k +=+-=所以1211122PBQ S BF y y ∆=⋅⨯-=⨯⨯== 即 PBQ ∆的面积是56 -----------11分 20、解：（1）654n n n a a a ++-=-=434321n n n n n n a a a a a a ++-+++--=-=-+11()n n n n a a a a ++=--+=， 得6T =所以，数列{}n a 是以6为周期的周期数列，周期为任意正整数------------------------- 2分又由 ⎪⎩⎪⎨⎧==-=++201010073212S S a a a nn n ， 得12a =，234561005,1003,2,1005,1003a a a a a ===-=-=-60S =，且数列{}n a 是以6为周期的周期数列， 所以，06=n S ，所以 2009531003S S a === ------------------------------------------------------------------3分（2）当0p =时，21210,220n n n a a a a a +===-+=，即{}n a 是周期数列-----------5分当0p ≠，10,2p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2211112220,222n n n n a a a a +⎛⎫⎛⎫=-+==--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由已知110,2a p ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，且2122n n n a a a +=-+，可得⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈21,02a ，依此类推可得⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈21,0n a （*N n ∈）所以 ()212120n n n n n n a a a a a a +-=-+=->， 所以1n n a a +>即数列{}n a 是递增数列，非周期数列；-------------------------------------------------------- 8分 （3）由（1）知，212110051007S a a a =+=+=， 所以12a =， 234561005,1003,2,1005,1003a a a a a ===-=-=-，且数列{}n a 是周期为6的周期数列， 所以 ()max 1005n a =（*n N ∈），()1005m in -=n a ，且 216=+n a ，100326=+n a ，100536=+n a ，246-=+n a ，100556-=+n a ，100366-=+n a ，-------- 9分而当12n ≥时，200910,22n⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，20092200910052220092>+-≥++=n n n n n n a b ， 即3014100520092=+≥n 1004220092≥+nn ，得1507≥n ，即 1507≥n 时， 都有2009>n b ；-----------------------------------------------------------------------------------------12分又200922009200922009150621506150615061506>+=+⨯+=a b 200922009200722009150521506150515051505<+=+⨯+=a b ---------------------------------------13分综上，存在最小的自然数1506=n ，对一切自然数m ，当1506=≥n m ，都有2009>m b ---------------------------------------------------------------------------------------- 14分高三 数学 第13页（共8页）高三 数学 第14页（共8页）上海市延安中学2009学年度第一学期开学摸底考试高三年级数学试卷答案（考试时间：90分钟 满分：100分）一、填空题（本大题满分38分，第1至第10小题每小题3分，第11、12小题每小题4分）1、线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=-02212z y y x z x 的增_______．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0110202111022、若112ai i -+是纯虚数，则实数a =_______．123、方程()22log 212x x x -+=的解是 ．134、若等差数列{}n a 中有20151296=+++a a a a ，则其前20项和等于______．（100）5、不等式24230xx +-+≥的解集是 ．(][)2,0log 3,-∞+∞6、已知x R ∈，则函数2sin 2()cos xf x x =的值域是___________．13,22⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭7、所有棱长都为2的正四面体的体积等于________．3228、双曲线221169x y -=的左、右焦点分别是12F F 、，若点M 在双曲线上，且满足 12MF MF ⊥，则21F MF ∆的面积为__________．(9)9、函数()sin cos f x a x b x =-的图像的一条对称轴是直线4x π=，则直线0ax by c -+=的倾斜角的大小为____________．135︒10．若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为_______．[)[]1,00,3 -11、定义：区间[],()a b a b <的长度为b a -。