建筑力学第三章 平面力系的平衡方程
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建筑力学-第三章(全)
建筑力学
3.5 平面一般力系平衡条件和平衡方程
众所周知，当主矢 FR 0 时，为力平衡；当主矩 MO 0 时，为力偶平衡。
故平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 FR和 主矩 都M O等于零。
上述平衡条件可表示为
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
Mo Mo (Fi ) 0
YA
XA
A
Q1=12kN
300 S
Q2=7kN 三力矩方程：再去掉Σ X=0方程 B
mC 0, X A60tg300 30Q1 60Q2 0
D
（二）力系的平衡
示例：斜梁。求支座反力
300
2kN/m B
2kN/m B
300
RB
A
300
A
2m
YA XA
C
X 0, X A RB sin 300 0
30cm
30cm Q1=12kN
Q2=7kN
X 0, X A S cos 300 0
X A 22.5kN
A
600
B
Y 0,YA Q1 Q2 S sin 300 0
YA 6kN
二力矩方程：去掉Σ Y=0方程
C
mB 0, 60YA 30Q1 0
FBl cos M 0
从而有：
FB
M l cos
20 kN 5 c os30
4.62kN
故：
FA FB 4.26kN
建筑力学
[例] 求图中荷载对A、B两点之矩.
解：
(a)
(b)
图(a)： MA = - 8×2 = -16 kN ·m MB = 8×2 = 16 kN ·m
建筑力学 第三章
[例] 已知：如图。求梁上分布荷载的合力。 解：荷载分布在一狭长 范围内，如沿构件的轴线分 布，则称为分布荷载。该问 题是一集度按线性变化的
线分布荷载求合力问题。
⒈求合力的大小
而在此微段上的荷载为：
x q 在坐标 x 处取长为 dx 的微段，其集度为： x q l
x dQ qx dx q dx l
x 1 因此，合力Q 的大小为： dQ q dx ql Q l 0 l 2
l
⒉ 求合力作用线的位置
由合力矩定理：M A (Q ) M A (dQ ) 则有：
x Q xc dQ x q dx l 0 l 1 1 2 即： ql xc ql 2 3 2 解得： xc l 3
雨搭 固定端（插入端）约束的构造
车刀
约束反力
①认为Fi这群力在同一
平面内;
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶; ③RA方向不定可用正交 分力YA, XA表示; ④ YA, XA, MA为固定端 约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动,
MA为限制转动。
§3-3-2
平面一般力系的简化结果 合力矩定理
第三章
平面力系的合成与平衡 引 言
力系分为：平面力系、空间力系 ①平面汇交力系 ②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 ) ③平面一般力系(平面任意力系)
平面力系
平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
研究方法：图解法，数解法。
例：起重机的挂钩。
§3-1-1 平面汇交力系合成与平衡的图解法 P29
l
2
§3-4
由于
R
平面一般力系的平衡方程
一、平衡的必要与充分条件 =0 作用于简化中心的合力RO=0，则汇交力系平衡； 则力偶矩MO=0 ，因此附加力偶系也平衡。
理论力学第3章 力系的平衡条件与平衡方程
10
例题二的解答
解：选取研究对象：杆CE（带有销 钉D）以及滑轮、绳索、重物组成 的系统（小系统）受力分析如图， 列平衡方程:
M D (F ) 0 M C (F ) 0 M B (F ) 0
( F C cos ) CD F ( DE R ) PR 0 F Dx DC F ( CE R ) PR 0 F BD F ( DE R ) P ( DB R ) 0 Dy
2012年11月3日星期六
北京邮电大学自动化学院
29
滚动摩擦力偶的性质
滚动摩擦力偶Ｍ 具有如下性质（与滑动摩擦力性质类似）： ◆ 其大小由平衡条件确定； ◆ 转向与滚动趋势相反； ◆ 当滚子处于将滚未滚的平衡临界状态时， Ｍ = Ｍ max =δFN
式中：δ —滚动摩擦系数，它的量纲为长度； FN —法向反力（一般由平衡条件确定）。
q (2a b) 2a
2
YA q (2a b)
16
2012年11月3日星期六
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课堂练习3
多跨静定梁由AB梁和BC梁用中间铰B连接而成，支撑和荷 载情况如图所示，已知P = 20kN，q=5kN⋅m，α = 45°。求 支座A、C的反力和中间铰B处的反力。
2012年11月3日星期六
x
xC
x
2012年11月3日星期六
北京邮电大学自动化学院
5
平行分布线载荷的简化
Q
q
1、均布荷载 Q=ql
l 2
l 2
Q
q
2、三角形荷载 Q=ql /2
2l 3
l 3
Q
3、梯形荷载 Q=(q1+q2)l /2 (自己求合力的位置)
建筑力学平面一般力系的平衡方程及其应用
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
满足平衡方程时，物体既不能移动，也不能 转动，物体就处于平衡状态。当物体在平面一般 力系的作用下平衡时，可用三个独立的平衡方程 求解三个未知量。 二、平衡方程的其它形式
1.二力矩形式的平衡方程 ∑FX= 0 ∑MA (F ) = 0 ∑MB (F ) = 0 式中x轴不可与A、B两点的连线垂直。
FAx
FNCD = 30kN (↗)
∑MD (F ) = 0
FNCD
- FAy×0.6 + 14 ×0.3 = 0
14kN 8kN
300
300 100
A 30° D B
FAy
C
FAy = 7kN (↑)
∑MC (F ) = 0
- FAx×0.6/ 3- 14 ×0.3
- 8 ×0.6 = 0 FAx = - 25.98kN (←)
5 + FAy= 0
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
3kN·m 6kN
3m
6
A
B
5
5
3m
可取∑MB (F ) = 0这一未用过的方程进行校核： 3 + 5×3 - 6×3 = 0
说明计算无误。
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
例4-4 梁AB一端是固定端支座，另一端无
约束，这样的梁称为悬臂梁。它承受荷载作用如
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
在使用三力矩式计算出结果后，可用另外两 个投影方程之一进行校核。可知计算无误。
例4-6 外伸梁受荷载如图所示。已知均布荷载 集度q=20kN/m,力偶的力偶矩M=38kN·m，集中 力FP=10kN。试求支座A、B的反力。
10kN 20kN/m 38kN·m
建筑力学 平面一般力系的平衡
Fcy F 2 sin 60 F ND 20 0.866 8.66 8.66kN
（2） 取梁AC为研究对象,受力图如图(c)
M
A
(F
)
0,
F1
2
F
' Cy
6
F
NB
4
0
F
NB
F1 2
F
' Cy
4
6
10 2
8.66 6 4
17.99kN()
F
x
0,
F
Ax
F
' Cx
0
F
Ax
F
' Cx
10kN()
（1） 取梁CD 为研究对象,受力图如图（b）
M C (F ) 0, F 2 sin 60 2 F ND 4 0
F
ND
sin
60
2
8.66 k N()
F x 0, Fcx F 2 cos60 0
Fcx F 2 cos60 20 0.5 10kN
F y 0, F cy F ND F 2 sin 60 0
F
y
0,
F
Ay
F
NB
F1
F
' Cy
0
F
Ay
F
NB
F1
F
' Cy
17.99
10
8.66
0.67k
N()
求解物体系统平衡问题的要领如下： （1） “拆”：将物体系统从相互联系的地方拆开，在拆开的地方用 相应的约束力代替约束对物体的作用。这样，就把物体系统分解为若 干个单个物体，单个物体受力简单，便于分析。 （2）“ 比”：比较系统的独立平衡方程个数和未知量个数，若彼此 相等，则可根据平衡方程求解出全部未知量。一般来说，由n 个物体 组成的系统，可以建立3n 个独立的平衡方程。 （3） “取”：根据已知条件和所求的未知量，选取研究对象。通常 可先由整体系统的平衡，求出某些待求的未知量，然后再根据需要适 当选取系统中的某些部分为研究对象，求出其余的未知量。 （4） 在各单个物体的受力图上，物体间相互作用的力一定要符合作 用与反作用关系。物体拆开处的作用与反作用关系，是顺次继续求解 未知力的“桥”。在一个物体上，可能某拆开处的相互作用力是未知 的，但求解之后，对与它在该处联系的另一物体就成为已知的了。可 见，作用与反作用关系在这里起“桥”的作用。 （5） 注意选择平衡方程的适当形式和选取适当的坐标轴及矩心，尽 可能做到在一个平衡方程中只含有一个未知量，并尽可能使计算简化。
《建筑力学》第三章平面一般力系
VS
产生条件
摩擦力的产生需要满足三个条件，即接触 面粗糙、接触面间有正压力和物体间有相 对运动或相对运动趋势。
考虑摩擦时物体平衡问题解决方法
01
02
03
静力学方法
通过受力分析，列出平衡 方程，考虑摩擦力对物体 平衡的影响。
动力学方法
分析物体的运动状态，根 据牛顿第二定律列出动力 学方程，考虑摩擦力对物 体运动的影响。
静定结构特性分析
1 2 3
内力与外力关系
静定结构的内力与外力之间存在一一对应的关系， 即外力的变化会直接导致内力的变化。
变形与位移
在荷载作用下，静定结构会产生变形和位移，但 变形和位移的大小与材料的力学性质有关，与结 构的超静定性无关。
稳定性分析
静定结构在受到微小扰动后，能够自动恢复到原 来的平衡状态，具有良好的稳定性。
求解未知数
通过解平衡方程，求解出未知 的力或力矩。
确定研究对象
根据问题要求，确定需要研究 的物体或物体系统。
列平衡方程
根据平面任意力系的平衡条件， 列出物体系统的平衡方程。
校验结果
将求解结果代入原方程进行校 验，确保结果的正确性。
05 静定结构内力计算
静定结构基本概念和分类
静定结构定义
静定结构是指在外力作用下，其反力和内力都可以用静力学平衡方程求解，且解答唯一确定的结构。
02 平面汇交力系分析
汇交力系几何法求解合力
几何法概念
利用力的平行四边形法则或三角形法则求解汇交力系的合 力。
求解步骤
首先确定各分力的方向和大小，然后选择合适的几何图形 （如平行四边形或三角形）进行力的合成，最后根据图形 求解合力的大小和方向。
注意事项
平面力系的平衡方程及应用
研究方法：几何法，解析法。
各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
正文
力在直角坐标轴上的投影
1
Fx=F·cosa ; Fy=F·sina = F ·cosb
说明： （1）力在坐标轴上的投影为代数量； （2）力的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，否则为负。
正文
合力投影定理
推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；
推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
M
M
M
力偶表示方法
正文
思考：
力偶与力的异同
共同点：单位统一，符号规定统一。 差异点：1.力矩随矩心位置不同而变化；力 偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。 2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力。
′
F
M
单 手 攻 丝
正文
平面任意力系的简化
1
平面一般力系向平面内一点简化
F3
F1
F2
O
O
O
F
R′
MO
F
1′
M1
F1 =F1
′ M1=MO(F1)
F
2′
M2
F
3′
M3
F2 =F2
′ M2=MO(F2)
F3 =F3
′ M3=MO(F3)
简化中心
O
FR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)
正文
平面力偶系的合成与平衡
各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
正文
力在直角坐标轴上的投影
1
Fx=F·cosa ; Fy=F·sina = F ·cosb
说明： （1）力在坐标轴上的投影为代数量； （2）力的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，否则为负。
正文
合力投影定理
推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；
推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
M
M
M
力偶表示方法
正文
思考：
力偶与力的异同
共同点：单位统一，符号规定统一。 差异点：1.力矩随矩心位置不同而变化；力 偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。 2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力。
′
F
M
单 手 攻 丝
正文
平面任意力系的简化
1
平面一般力系向平面内一点简化
F3
F1
F2
O
O
O
F
R′
MO
F
1′
M1
F1 =F1
′ M1=MO(F1)
F
2′
M2
F
3′
M3
F2 =F2
′ M2=MO(F2)
F3 =F3
′ M3=MO(F3)
简化中心
O
FR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)
正文
平面力偶系的合成与平衡
建筑力学3平面力系的合成与平衡
根据合力投影定理得
合力的大小
合力R 的方向余弦
6、汇交力系平衡的充要解析条件： 力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的
投影的代数和分别等于零。
空间汇交力系的平衡方程:
F
x
0
F
x
y
0
F
y
z
0
平面汇交力系的平衡方程:
F
0
F
0
例题 3-2 图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动 蹬上的力P=212N，方向与水平面成=45角。当平衡时，BC水 平，AD 铅直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm点 E在铅直线DA上，又B、C、D 都是光滑铰链，机构的自重不 计。
空间汇交力系和平面情形类似，在理论上也可 以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空 间图形。给实际作图带来困难。
•平衡
设F1、F2、F3和F4为作用于刚体上的一组汇交力系，使刚体平衡。 c z O x F1 y F3 F4 F2 F2 b F1 a R12 F3 R123 F4 d
由二力平衡条件知：要使刚体保持平衡，需满足 R123 + F4= 0 又因为 R123 = F1+F2+F3 所以 R = R123 + F4= F1+F2+F3 + F4 = 0
A
24
P
P
A
C O B D
(a)
E
6
O
B
SB
ND
D
(b)
解：(1)
取制动蹬ABD 作为研究对象。
(2) (3)
画受力图 列出平衡方程：
FD
y
O
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刚体等效于只有一个力偶的作用，（因为力偶可以在刚 体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。）
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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建筑力学
④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
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建筑力学
[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
Байду номын сангаас
l
A
l/2 P
B Q
a
l
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建筑力学
（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
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建筑力学
物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
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建筑力学
3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：
平面任意力系 的平衡方程
力系的主矢 FR和主矩 MO 都等于零
FR' ( Fx )2 ( Fy )2 0
FAx 0
FB FAy P 2qa 0,
4qa FAy 3
M A (Fi ) 0 P 2a q 2a a M FB 3a 0
5qa FB 3
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建筑力学
平面力系的平衡方程:
① 基本式（一矩式） ②二矩式
③三矩式
Fx 0
Fy 0
Fx 0 M A(Fi ) 0
FAx 11.4kN
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建筑力学
[例] 已知：P=20kN, M=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m
求：A、B的支反力。
q FA M FB
解：研究AB梁
P
MA(F ) 0;
A
B
a
a
a
FB
a
q
a
a 2
M
P
2a
0
Fy 0
FA FB qa P 0
FB
qa 2
M a
FAx 11.4kN
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建筑力学
M A(Fi ) 0
FBC
sin
l
P
l 2
Qa
0
FBC 13.2KN
FAy
FBC
A
FAx
l/2 a
P
B Q
l
MB (Fi ) 0 MC (Fi ) 0
l FAyl P 2 Q(l a) 0
FAx l
tg
P
l 2
Qa
0
FAy 2.1kN
有固定端： 个体
个体 个体（整体）
M A(Fi ) 0 MB (Fi ) 0
MO (Fi ) 0
MB (Fi ) 0
MC (Fi ) 0
条件：x 轴不垂直 于AB连线
条件：A,B,C不在 同一直线上
➢ 只有三个独立方程，只能求出三个未知数。
➢ 投影轴和矩心是任意选取的，一般先取矩。矩心选 择在多个未知力的交点上；投影轴尽量与未知力垂 直或平行。
建筑力学
第三章 平面力系的平衡方程
3.1平面力系的简化
M2
M1
FR
M3
向任一点O简化
平面力系 （未知力系）
平面汇交力系：力（主矢量）：FR=F
（已知力系） (作用在简化中心)
平（面已力知偶力系系）力偶(作（用主在矩该）平：面M上o=)M
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建筑力学
简化结果分析 • 合力矩定理
简化结果： 主矢FR'，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① FR' =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② FR' =0, MO≠0，即简化结果为一合力偶, M=MO 此时
简化为一个合力 FR。
FR FR FR
FR'
M0 FR d
FR'
FR
FR
FR
合力的大小等于原力系的主矢 FR FR' F
合力的作用线位置
d MO FR
结论：平面力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 FR
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FR FR FR
FR'
M0 FR d
FR'
FR
2P
20 0.8 16 2 20
2
0.8
FA P qa FB
20 20 0.8 12
12(kN)
24(kN)
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FAy FAx
FB
静定（未知数三个）
FAy FAx
FBy FBx
静不定（未知数四个）
▪ 独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解） ▪ 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
M A(Fi ) 0
FAx
FBC
sin
l
P
l 2
Qa
0
FAy
FBC
A
l/2 P
B Q
a
l
FBC (Pl / 2 Qa) /(l sin ) 13.2kN
Fx 0
Fy 0
FAx FBC cos 0
FAx FBC cos 11.4kN
FAy FBC sin P Q 0 FAy P Q FBC sin 2.1kN
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❖ （3）列平衡方程，求未知量。
M A(Fi ) 0
FAx
FBC
sin
l
P
l 2
Qa
0
FBC 13.2KN
FAy
FBC
A
l/2 P
B Q
a
l
MB (Fi ) 0
l FAyl P 2 Q(l a) 0
FAy 2.1kN
Fx 0
FAx FBC cos 0
FR
FR
合力矩定理： n 由于主矩 MO MO (Fi ) i 1 而合力对O点的矩 MO (FR ) FR d MO (主矩) n MO (FR ) MO (Fi ) ———合力矩定理 i 1 • 由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义
合力矩定理：平面力系的合力对作用面内任一点之矩等于
MO MO (Fi ) 0
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Fx 0
Fy 0
MO (Fi ) 0
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[例] 已知：q， a , P=qa, M=Pa，求：A、B两点的支座反力？
解：① 选AB梁为研究对象。
② 画受力图
qP
FAy
qP
FB
A
B
M
2a
a
FAx
A
M
B
列平衡方程，求未知量。
Fx 0
Fy 0
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
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[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
Байду номын сангаас
l
A
l/2 P
B Q
a
l
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（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
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物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
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3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：
平面任意力系 的平衡方程
力系的主矢 FR和主矩 MO 都等于零
FR' ( Fx )2 ( Fy )2 0
FAx 0
FB FAy P 2qa 0,
4qa FAy 3
M A (Fi ) 0 P 2a q 2a a M FB 3a 0
5qa FB 3
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平面力系的平衡方程:
① 基本式（一矩式） ②二矩式
③三矩式
Fx 0
Fy 0
Fx 0 M A(Fi ) 0
FAx 11.4kN
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[例] 已知：P=20kN, M=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m
求：A、B的支反力。
q FA M FB
解：研究AB梁
P
MA(F ) 0;
A
B
a
a
a
FB
a
q
a
a 2
M
P
2a
0
Fy 0
FA FB qa P 0
FB
qa 2
M a
FAx 11.4kN
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建筑力学
M A(Fi ) 0
FBC
sin
l
P
l 2
Qa
0
FBC 13.2KN
FAy
FBC
A
FAx
l/2 a
P
B Q
l
MB (Fi ) 0 MC (Fi ) 0
l FAyl P 2 Q(l a) 0
FAx l
tg
P
l 2
Qa
0
FAy 2.1kN
有固定端： 个体
个体 个体（整体）
M A(Fi ) 0 MB (Fi ) 0
MO (Fi ) 0
MB (Fi ) 0
MC (Fi ) 0
条件：x 轴不垂直 于AB连线
条件：A,B,C不在 同一直线上
➢ 只有三个独立方程，只能求出三个未知数。
➢ 投影轴和矩心是任意选取的，一般先取矩。矩心选 择在多个未知力的交点上；投影轴尽量与未知力垂 直或平行。
建筑力学
第三章 平面力系的平衡方程
3.1平面力系的简化
M2
M1
FR
M3
向任一点O简化
平面力系 （未知力系）
平面汇交力系：力（主矢量）：FR=F
（已知力系） (作用在简化中心)
平（面已力知偶力系系）力偶(作（用主在矩该）平：面M上o=)M
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建筑力学
简化结果分析 • 合力矩定理
简化结果： 主矢FR'，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① FR' =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② FR' =0, MO≠0，即简化结果为一合力偶, M=MO 此时
简化为一个合力 FR。
FR FR FR
FR'
M0 FR d
FR'
FR
FR
FR
合力的大小等于原力系的主矢 FR FR' F
合力的作用线位置
d MO FR
结论：平面力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 FR
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FR FR FR
FR'
M0 FR d
FR'
FR
2P
20 0.8 16 2 20
2
0.8
FA P qa FB
20 20 0.8 12
12(kN)
24(kN)
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FAy FAx
FB
静定（未知数三个）
FAy FAx
FBy FBx
静不定（未知数四个）
▪ 独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解） ▪ 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
M A(Fi ) 0
FAx
FBC
sin
l
P
l 2
Qa
0
FAy
FBC
A
l/2 P
B Q
a
l
FBC (Pl / 2 Qa) /(l sin ) 13.2kN
Fx 0
Fy 0
FAx FBC cos 0
FAx FBC cos 11.4kN
FAy FBC sin P Q 0 FAy P Q FBC sin 2.1kN
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❖ （3）列平衡方程，求未知量。
M A(Fi ) 0
FAx
FBC
sin
l
P
l 2
Qa
0
FBC 13.2KN
FAy
FBC
A
l/2 P
B Q
a
l
MB (Fi ) 0
l FAyl P 2 Q(l a) 0
FAy 2.1kN
Fx 0
FAx FBC cos 0
FR
FR
合力矩定理： n 由于主矩 MO MO (Fi ) i 1 而合力对O点的矩 MO (FR ) FR d MO (主矩) n MO (FR ) MO (Fi ) ———合力矩定理 i 1 • 由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义
合力矩定理：平面力系的合力对作用面内任一点之矩等于
MO MO (Fi ) 0
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Fx 0
Fy 0
MO (Fi ) 0
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[例] 已知：q， a , P=qa, M=Pa，求：A、B两点的支座反力？
解：① 选AB梁为研究对象。
② 画受力图
qP
FAy
qP
FB
A
B
M
2a
a
FAx
A
M
B
列平衡方程，求未知量。
Fx 0
Fy 0