理论力学4-4-平面力系的平衡方程
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第 4章
NA
三矩式
y
O
第 4章
B
NB
C A
x
P
D
13/14
几何静力学
几何静力学
P
M Az NB a cos P(l a sin )sin P[(l a cos )cos a] 0 M Bz N Aa sin P[(l a sin )sin a] P(l a cos )cos 0 M Oz N Aa sin NB a cos Pl sin Pl cos 0
Rx N B sin N A cos 0
N B 2 P cos ,
1 π
4
2
N A 2 P sin
16
2 1 arcsin 9
3 π 1 arcsin 9
2 2
能否用Ry = 0 ?
16
12/14
从这三个方程可以解出NA，NB 和。
2
解法三
从这三个方程可以解出NA，NB 和 。
14/14
3
几何静力学 几何静力学
几何静力学
一矩式外，应学会灵活应用其它两种形式， 以及二力平衡和三力平衡条件。
最好先用文字符号表示求解结果，并用量
A D B
纲校核后，再代入数据求出数值解。
4/14
P
例 4-4-1
选择吊车梁为研究对象，取坐标系Oxy y l a TB TB
RA
解
第 4章
例 4-4-2
已知起重机重P，可绕铅直轴AB转动，起吊 重量为Q的物体。起重机尺寸如图示。 求止推轴承A和轴承B处约束反力。
几何静力学
O
arccos
A
B
Q
B
90
D
F
C
W
10/14
解法一
NA
一矩式
y
O
解法二
第 4章
NA
两矩式
y
O
C A
x
B
NB
P
DLeabharlann Baidu
C A
x
B
NB
P
P
D
几何静力学
P
Rx N B sin N A cos 0
R y N B cos N A sin 2 P 0
平面力系平衡方程的各种形式
第 4章 一矩式 (标准形式)
Rx Fix 0
i 1 n n
Ry Fiy 0
i 1
n
几何静力学
4.4 平面力系的平衡方程
M Oz ( xi Fiy yi Fix ) 0
i 1
二矩式 (AB连线不与矢量e垂直)
Re Fie 0
解
第 4章
例 4-4-4
直角尺两边长均为2l，AB = a = 0.4l, 求平衡 时A、B处的约束反力和角。
因为ADE 是直角，所以E一定在圆周上，
AE 2 R
OAD ODA l cos AF 2 R cos 2
E O R N l
A
2 l l 1 8R 8R 2
对于平面一般力系的刚体平衡问题，除了
例 4-4-1
第 4章 AB是吊车梁，BC是钢索，A端支承可简化为铰 链支座。设已知电葫芦和提升重物共重 P=5 kN, = 25º，AD长度a= 2m，AB长度l = 2.5m。 吊车梁的自重略去不计，求钢索BC和铰A的约 束力。 C
3/14
第 4章
5/14
M Oz N A a sin N B a cos Pl sin Pl cos 0
MAz NBa cos P(l a sin)sin P[(l a cos)cos a] 0
M Bz N A a sin P[(l a sin ) sin a ] P (l a cos ) cos 0
例 4-4-2
第 4章 (1) 明确对象，取分离体，画受力图。 (2) 列写适当平衡方程，由已知求未知。
M Az 0 N B
NB a P b Q c 0
解
第 4章
例 4-4-3
半径为 R的半球形碗内搁一均匀杆AB。杆长 2l, 设 2 R l R , 且为光滑接触。求杆平衡 时的倾角 。
O
B
P
A
D
O
P
RA
几何静力学
x
RA cos TB cos 0
P RA sin TB sin 0
其它求解方法？
(l a) tan OD BD tan tan AD AD a
RA 8.63kN
TB 9.46kN
6/14
1
i 1 n
M Az 0
M Bz 0
三矩式 (A、B、C三点不共线)
M Az 0
2013年10月22日
M Bz 0
M Cz 0
2/14
刚体平衡问题的解题步骤和注意事项
第 4章 1. 正确选取研究对象，取分离体，画受力图。 2. 建立坐标系，列力系平衡方程。力矩轴应 和尽量多的未知力相交或平行（一个方程 解一个未知数）。 3. 解平衡方程式，校核结果。
7/14
第 4章
9/14
第 4章
11/14
几何静力学 几何静力学 几何静力学
几何静力学
B
N B ( Pb Qc) / a
Rx 0 N Ax N B
Ry 0 N Ay P Q
A
思考：如何利用平衡 方程的其它形式？
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例 4-4-3
确定杆为对象，作受力分析。
NA
三矩式
y
O
第 4章
B
NB
C A
x
P
D
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几何静力学
几何静力学
P
M Az NB a cos P(l a sin )sin P[(l a cos )cos a] 0 M Bz N Aa sin P[(l a sin )sin a] P(l a cos )cos 0 M Oz N Aa sin NB a cos Pl sin Pl cos 0
Rx N B sin N A cos 0
N B 2 P cos ,
1 π
4
2
N A 2 P sin
16
2 1 arcsin 9
3 π 1 arcsin 9
2 2
能否用Ry = 0 ?
16
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从这三个方程可以解出NA，NB 和。
2
解法三
从这三个方程可以解出NA，NB 和 。
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3
几何静力学 几何静力学
几何静力学
一矩式外，应学会灵活应用其它两种形式， 以及二力平衡和三力平衡条件。
最好先用文字符号表示求解结果，并用量
A D B
纲校核后，再代入数据求出数值解。
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P
例 4-4-1
选择吊车梁为研究对象，取坐标系Oxy y l a TB TB
RA
解
第 4章
例 4-4-2
已知起重机重P，可绕铅直轴AB转动，起吊 重量为Q的物体。起重机尺寸如图示。 求止推轴承A和轴承B处约束反力。
几何静力学
O
arccos
A
B
Q
B
90
D
F
C
W
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解法一
NA
一矩式
y
O
解法二
第 4章
NA
两矩式
y
O
C A
x
B
NB
P
DLeabharlann Baidu
C A
x
B
NB
P
P
D
几何静力学
P
Rx N B sin N A cos 0
R y N B cos N A sin 2 P 0
平面力系平衡方程的各种形式
第 4章 一矩式 (标准形式)
Rx Fix 0
i 1 n n
Ry Fiy 0
i 1
n
几何静力学
4.4 平面力系的平衡方程
M Oz ( xi Fiy yi Fix ) 0
i 1
二矩式 (AB连线不与矢量e垂直)
Re Fie 0
解
第 4章
例 4-4-4
直角尺两边长均为2l，AB = a = 0.4l, 求平衡 时A、B处的约束反力和角。
因为ADE 是直角，所以E一定在圆周上，
AE 2 R
OAD ODA l cos AF 2 R cos 2
E O R N l
A
2 l l 1 8R 8R 2
对于平面一般力系的刚体平衡问题，除了
例 4-4-1
第 4章 AB是吊车梁，BC是钢索，A端支承可简化为铰 链支座。设已知电葫芦和提升重物共重 P=5 kN, = 25º，AD长度a= 2m，AB长度l = 2.5m。 吊车梁的自重略去不计，求钢索BC和铰A的约 束力。 C
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第 4章
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M Oz N A a sin N B a cos Pl sin Pl cos 0
MAz NBa cos P(l a sin)sin P[(l a cos)cos a] 0
M Bz N A a sin P[(l a sin ) sin a ] P (l a cos ) cos 0
例 4-4-2
第 4章 (1) 明确对象，取分离体，画受力图。 (2) 列写适当平衡方程，由已知求未知。
M Az 0 N B
NB a P b Q c 0
解
第 4章
例 4-4-3
半径为 R的半球形碗内搁一均匀杆AB。杆长 2l, 设 2 R l R , 且为光滑接触。求杆平衡 时的倾角 。
O
B
P
A
D
O
P
RA
几何静力学
x
RA cos TB cos 0
P RA sin TB sin 0
其它求解方法？
(l a) tan OD BD tan tan AD AD a
RA 8.63kN
TB 9.46kN
6/14
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i 1 n
M Az 0
M Bz 0
三矩式 (A、B、C三点不共线)
M Az 0
2013年10月22日
M Bz 0
M Cz 0
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刚体平衡问题的解题步骤和注意事项
第 4章 1. 正确选取研究对象，取分离体，画受力图。 2. 建立坐标系，列力系平衡方程。力矩轴应 和尽量多的未知力相交或平行（一个方程 解一个未知数）。 3. 解平衡方程式，校核结果。
7/14
第 4章
9/14
第 4章
11/14
几何静力学 几何静力学 几何静力学
几何静力学
B
N B ( Pb Qc) / a
Rx 0 N Ax N B
Ry 0 N Ay P Q
A
思考：如何利用平衡 方程的其它形式？
8/14
例 4-4-3
确定杆为对象，作受力分析。