n元线性方程组线性方程组的
线性方程组的解的判定
R(C) R(CT ) R(BT MCT ) R(BT ) R(B)
k
- 2 1 0
3 0 2
(k R).
有关矩阵秩的重要结论：
(1) 0 R( Amn ) minm, n
(2) 设矩阵Amn , 若 R( A) s 则存在可逆矩阵P,Q
使得
PAQ
Es o
o
o
即矩阵A可以经过初等变换化为
Es o
o
o
形式。
(3) 若 P,Q 都可逆，则 R( A) R(PA) R( AQ) R(PAQ)
1 - 1 0 - 1 1 2 ~ 0 0 1 - 2 1 2.
0 0 0 0 0
由于RA RB 2, 故方程组有解，且有
x1 x2 x4 1 2
x1 x3
x2 x4 1 2x4 1 2
2
x2 x3
x2 0 x4 0x2 2x4
1
2
x4 0 x2 x4
x2 a2 a3 a4 x5 x3 a3 a4 x5
x4 a4 x5
x5为任意实数 .
定理3 矩阵方程AX B有解的充要条件是
R( A) R( AMB) 证：设 Ams X sn Bmn , 对X、B按列分块，得
X ( X1, X 2 ,L X n ), B (b1,b2 ,L bn ), 则AX B等价于A( X1, X2,L Xn ) (b1,b2,L bn )
(2)当p 2时,有
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
B
~
0 0
1 0
2 0
-1 2
1 4
~
0 0
1 0
2 0
线性组合与线性相关
五、关于向量组线性相关性的主要结论
1.零向量是线性相关的，一个非零向量是线性无关的。 2.两个向量线性相关的充分条件是对应分量成比例。 3.含有零向量的向量组线性相关。 4.部分组线性相关，则整个向量组组线性相关；
向量组线性无关，则其部分组线性无关。 5. 线性无关向量组的“加长”向量组线性无关；
1 1 1
1 1 1
答案：1. A 1 2 3,| A | t 5 或 A 0 1 2
1 3 t
0 0 t 5
所以，t=5时线性相关，t≠5时线性无关。
2.t取任何值，向量组都线性相关。（4个3维向量）
即4可由1,2,3线性表示，
且表示方式不唯一。
对 A~ 继续施行初等行变换，
A~
1 1 2 2 1 1 2 2
0 2 1
5
0 1
1 2
5 2
1
0
3 2
1 2
0
1
1 2
5 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
最后一个矩阵对应的线性方程组为：
x1
x2
1
2 5
2
3
2 1
2
x3 x3
| A | 0 有非零解。
二、向量组的线性组合
1.线性表示：如果β=k11+k22+···+kss，则称β可由 1,2,···,s 线性表示，或称β是1,2,···,s 的线性组合。 2.β能由1,2,···,s线性表示的含义是线性方程组
x11+x22+···+xss=β
有解，其充要条件是 r(A)=r(A|β)
1,2,···,s,β线性相关 r(1,2,···,s ,β) <s+1 s= r(1,2,···,s)≤ r(1,2,···,s ,β) <s+1
第一章第四讲n元线性方程组求解【最新资料】
第四讲 n 元线性方程组求解（3节）上一讲我们介绍了当n 元一次线性方程组的系数矩阵A 可逆时，可求出方程组解1X A b -=，实际上这也是方程组的唯一解。
如果方程组系数矩阵A 不可逆或A 不是方阵时，该如何来讨论方程组的解？这一讲将通过矩阵的初等变换来研究n 元一次线性方程组（齐次、非齐次）在什么条件下有解、如何求解以及各种解的表达形式等.n 元一次线性方程组是指形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 ... ...（4.1）令111212122212n n m m m n a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12n x x X x ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12m b b b b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 则方程组的矩阵方程形式A X b =.其中：A 称为方程组（4.1）的系数矩阵，()A A b =称为方程组（4.1）的增广矩阵。
当b O ≠时，称（4.1）式为一元线性非齐次线性方程组;当b O =时，称 (4.2 ) 式为一元线性齐次线性方程组，其矩阵形式A X O =.11112212112222112200n n n n m m m n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ... ...(4.2) 显然X O =是（4.2）式的当然解。
把非齐次线性方程组（4.1）式的每个方程右边的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组。
（即：（4.2）是（4.1）的导出组）在第二讲的例2.12中，非齐次方程组的解是通过对方程组的增广矩阵实施初等行变换得到的. 那么，这种求解方法是不是对任意的线性方程组都适用？答案是肯定的。
第一章 第讲 n元线性方程组求解
第四讲 n 元线性方程组求解上一讲我们介绍了当n 元一次线性方程组的系数矩阵A 可逆时，可求出方程组解1X A b -=，实际上这也是方程组的唯一解。
如果方程组系数矩阵A 不可逆或A 不是方阵时，该如何来讨论方程组的解？这一讲将通过矩阵的初等变换来研究n 元一次线性方程组（齐次、非齐次）在什么条件下有解、如何求解以及各种解的表达形式等.n 元一次线性方程组是指形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112222212111212111 ... ...（4.1）令111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，12n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ，12m b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M则方程组的矩阵方程形式AX b =.其中：A 称为方程组（4.1）的系数矩阵，°()A A b =称为方程组（4.1）的增广矩阵。
当b O ≠时，称（4.1）式为一元线性非齐次线性方程组;当b O =时，称 (4.2 ) 式为一元线性齐次线性方程组，其矩阵形式AX O =.111122121122221122000n n n nm m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L L ... ...(4.2) 显然X O =是（4.2）式的当然解。
所以说，齐次线性方程组的解只有两种情况：唯一解(零解)和无穷多解(非零解)。
把非齐次线性方程组（4.1）式的每个方程右边的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组。
第3章 线性方程组 3
方程组中首项非零元是: 自由变量是:
x1 , x3 , x 4
x 2 , x5
例3 用高斯消元法解线性方程组
x 2 y 2 z 1 3 x y 2 z 7 5 x 3 y 4 z 2
解 首先用高斯消元法将方程组化简，
x 2 y 2 z 1 3 x y 2 z 7 5 x 3 y 4 z 2
说明: (1)梯形线性方程组中方程个数m小于等于变量个数n. (2)当r=m=n 时上式即为三角形线性方程组. (3)梯形线性方程组中不是首项非零元的变量都是自由变量. (4)自由变量仅应用于梯形线性方程组.
12
例 确定线性方程组的自由变量.
2 x1 x2 5 x3 7 x4 x5 1 x3 8 x4 x5 6 x4 3 x5 2
能取得惟一解，这是因为当m＜n时，化简后不可能得 到三角形方程组，只能化成梯形方程组，因此结果或是 无解，或是具有自由变量而有无穷多组解.
15
对线性方程组增广矩阵进行初等变换与对方程组进行 初等变换是相互对应的，因此当用高斯消元法来求解线性 方程组时可以应用矩阵的初等变换进行.
3 x1 4 x 2 6 x 3 4 例3 解 三 元 线 性 方 程 组 x1 2 x 2 4 x 3 1 x 2 x 7 x 0 2 3 1 解
1 1 2 1 3 r 2 r 1 1 2 1 3 2 2 2 3 3 5 r1 1 0 0 3 r [ A | b] 1 1 1 1 1 1 2 2 0 0 1 1 1
1 1 0 3 1 1 1 2 1 3 3 r 1 2r r2 0 0 1 1 1 r 2 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解
§3.1 线性方程组解的判定1.定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12•••a 1n a 21a 22•••a 2n••••a m1a m2•••a mn),x=( x 1x 2••x n ) ,b=( b 1b 2••b m )(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ， (3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。
有解时再化为行最简形求解。
(2)R(A)=m 时，AX=b 有解。
(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。
2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。
3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组例1. {4x 1+2x 2−x 3=23x 1−x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8例2. {2x 1+x 2−x 3+x 4 =14x 1+2x 2−2x 3+x 4=22x 1+x 2 −x 3−x 4 =1例3. 求解齐次线性方程组{3x 1+ 4x 2−5x 3+ 7x 4 =02x 1−3x 2+3x 3− 2x 4 =04x 1+11x 2−13x 3+16x 4=07x 1−2x 2+ x 3+ 3x 4 =0例4.写出一个以X=C 1(2−310)+C 2(−2401)为通解的齐次线性方程组。
例5（每年）.（1）λ取何值时，非齐次线性方程组{ λx 1+x 2+x 3=1x 1+λx 2+x 3=λx 1+x 2+λx 3=λ2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并在有无穷多组解时求出通解.（2）非齐次线性方程组{x 1+x 2+2x 3=02x 1+x 2+ax 3=13x 1+2x 2+4x 3=b当a,b 取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并求出通解.例5(12/13学年).设A=(λ110λ−1011λ), b=(a11),已知Ax=b 存在两个不同的解：(1)求λ,a;(2)求Ax=b 的通解。
线性方程组的解的判定
1 4
1
r1
- 2r2
0
0 1
-2 2
-5 3 4
r2
(-3)
0
0
0
3 0
3
0 0 0 0
即得与原方程组同解的方程组
x1 x2
2 2
x3 x3
5
3 4
3
x4 x4
0, 0,
由此即得
x1 x2
2
x3
5 3
x4
,
-2
x3
-
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 c1, x4 c2，把它写成通常的参数形式
x4 0 - 2x4
0
.
x1 - x2 - 4 x3 - 3 x4 0
解 对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 A 2
1
2 1 -1
2 -2 -4
1 - 2 - 3
r2 r3
-
2r1 r1
1 0 0
2 -3 -3
2 -6 -6
1 - 4 - 4
r3 - r2
1 0
2 1
2 2
即( AX1, AX2 ,L AXn ) (b1,b2 ,L bn ) 所以等价于AXi bi ,i 1,2,L n. () : 若R( A) R( AMB), ( AMB) ( A,b1,b2,L bn ), 又R( A) R( AMbi ) R( AMB), R( A) R( AMbi ) 由定理2知，存在X i ,使得AX i bi 故存在X ,使得AX B
求出它的一切解．
解证 对增广矩阵B进行初等变换， 方程组的增广矩阵为
1 - 1 0 0 0 a1
线性代数1-4
D2 1 1
1
2
1
D3 1 1
1
2
( 1) ( 1)
2
2
此时方程组的（唯一）解是
x1 ( 1)
2
x2
1
2
x3
( 1)
2
2
例 2 的进一步讨论： 1、当 方程组
x1 x 2 x 3 1 x1 x 2 x 3 x x x 2 2 3 1
？
第 i 行 确实是方程组的解。
元素
下面再证方程组解的唯一性。
设 x1 1 ,
x2 2 , ,
xn n ,
为方程组
(4.1)的任一解， 我们证明必定有
1
D1 D ,
2
D2 D
, , n
Dn D
因为 1 , 2 , , n 是（4.1）式的一个解， 所以 它满足（4.1）式， 即
b1 b2 bn
a1 2 a 22 an2
a1 n a2n a nn D1
即
1
D1 D
Dj D
j 2, , n
同理可证 j D
Dj
，即 j
所以方程组（4.1）的解是唯一的。
例1 求解线性方程组
x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1 3 x1 x 2 x 3 2 x 4 4 2 x1 3 x 2 x 3 x 4 6 x1 2 x 2 3 x 3 x 4 4
有唯一解，并求出其解。 解 方程组的系数行列式
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1 4
R2
2 R1 ,R3
R1
2
x1 x2 4x2
3x3 x3 2
1
2x1 x2 2x3 5
2x2 x3 4
R2 2 R3
2
x1
x2 3x3 x3 6
1
R2 R3
2
x1 x2 2x2
crr xr dr cr,r1xr1 crn xn ,
由此给出xr1,, xn的一组值，就可唯一地给出x1, x2 ,, xr的值，
即给出（7）的一个解。
一般地，由（7）我们可以把x1, x2 ,, xr通过xr1,, xn表示出来， 这样的一组表达式称为方程组（1）的一般解，而xr1,, xn称为 一组自由未知量。
n元一次线性方程组_2
n元线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1, a21x1 a22 x2 a2nxn b2 , as1x1 as2 x2 asn xn bs ,
的一个解就是指由n个数k1, k2,, kn组成的有序数组（k1, k2,, kn）， 当（x1, x2,, xn）分别用（k1, k2,, kn）代入后,方程组中的每个等式都 变成恒等式，方程组的解的全体称为它的解集合。
(4)
而（3）与（1）是同解的，
as2 ' x2 asn ' xn bs ', 因此，方程组（1）有解的充分必要条件为方程组（4）有解。
对（4）依照以上变换，一步步作下去，最后得到一个阶 梯 形 方 程 组，设为
c11x1 c12 x2 c1r xr c1n xn d1,
as1x1 as2 x2 asn xn bs ,
as2 ' x2 asn ' xn bs ',
其中aij
'
aij
ai1 a11
a1 j , i
2,,
s,
j
2,, n.这样解方程组（1）的问题就归结为解方程组
a22 ' x2 a2n' xn b2 ',可证明，方程组（3）有解的充分必要条件是方程组（4）有解，
由此，易求得方程组的解为(9,1,6).
高斯消元法_5
II）r n.这时阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1r xr c1n xn d1 c1,r1xr1 c1n xn ,
(7)
c22 x2 c2r xr c2n xn d2 c2,r1xr1 c2n xn ,
高斯消元法_4
a11x1 a12 x2 (1)a21x1 a22 x2
a1n xn a2n xn
b1, b2
,
Ri
ai1 a11
R1 ,(i2
,,s
a11 ) (3)
x1 a22
a12 ' x2
x2
a1n xn b1, a2n ' xn b2 ',，
am1
am2
amn
bm
由于用初等变换化方程组（1）成阶梯形就相当于 用初等行变换化增广矩阵B成阶梯形矩阵。因此，
解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，
而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还 是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解。
利用矩阵求解线性方程组_2
2x1 x2 3x3 1, 例 解4x1 2x2 5x3 4,
I）r n.这时阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1r xr c1n xn d1,
(6)
c22 x2 c2r xr c2n xn d2 ,
cnn xn dn ,
其中cii 0, i 1,2,, n.
例：解线性方程组
42xx1 12xx22
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 1
线性方程组解的存在性和唯一性
问题1：方程组是否有解？ 问题2：若方程组有解，解是否唯一？ 答案
首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组， 把最后的一些恒等式“0＝0”去掉。 如果剩下的方程当中最后的一个等式是0等于一非 零的数，那么方程组无解，否则有解。 在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个 数r等于未知量的个数n，那么方程有唯一解； 如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个 数n，那么方程有无穷多个解。
，
as1x1 as2x2 asnxn bs ,
as1x1 as2x2 asnxn bs ,
下证明(1)(2)同解。
高斯消元法_3
设(c1, c2 ,, cn )是(1)的任一解。因(1)和(2)的后s 1个方程是一样的，所以 (c1, c2 ,, cn )满足(2)的后s 1个方程。 又(c1, c2 ,, cn )满足(1)的前两个方程，即有 a11c1 a12c2 a1n cn b1 a21c1 a22c2 a2n cn b2 将第二式的两边乘以k , 再与第一式相加，即为 (a11 ka21)c1 (a12 ka22 )c2 (a1n ka2n )cn b1 kb2 故(c1, c2 ,, cn )也满足(2)的第一个方程，因而是(2)的解。类似地可证 （2）的任一解都是(1)的解。从而证明(1)和(2)是同解的。
初等变换是揭露方程之间关系的一种方法。
一个n元方程a1x1 a2x2 anxn b可以用n 1元有序数组 (a1, a2,,an,b)来表示。方程之间的关系实际上就是代表它们 的n 1元数组之间的关系。
n维向量空间_1
定义 数域P上一个n维向量就是指由数域P中n
个为数 向组 量成 的的 分有 量序。数组。其中a1, a2, …, an∈P，称
P上的n维行向量:有序数组 (a1, a2 ,, an )
a1
P上的n维列向量:有序数组aan2
如两个方程组有相同的解集合，它们称为同解的。
线性方程组的（1）的系数可以排成下面的一个表：
a11 a12
a21
a22
as1
as 2
a1n
a2
n
asn
而利用（1）的系数和常数项又可以排成下表：
a11 a12
a21
a22
as1 as2
a1n b1
第三章 线性方程组和向量空间
n元一次线性方程组_1
定义 n元线性方程组 其中
a11x1 a12 x2 a1n xn b1, a21x1 a22 x2 a2nxn b2 , as1x1 as2 x2 asn xn bs ,
x1, x2,, xn代表n个未知量， s是方程的个数， aij (i 1,2,, s, j 1,2,, n)称为方程组的系数， bj ( j 1,2,, s)称为常数项。
对它的增广矩阵作初等行变换
练习: P154 1 2)
n维向量空间_0
对于具体求解线性方程组，消元法是一个最有 效和最基本的方法。但有时候需要直接从原方 程组来看它是否有解，这样消元法就不能用了。 同时，用消元法化方程组成阶梯形，剩下的方 程的个数是否唯一决定的呢，这个问题也还没 有解决。这些问题要求我们对线性方程组还要 做进一步的研究。
a2n
b2
asn bs
线性的方程组的矩阵表示
称矩阵
（2）
a11 a12
a21
a22
as1 as2
a1n b1
a2n
b2
asn bs
为线性方程组（1）的增广矩阵
高斯消元法_1
例子：用高斯消元法解方程组
42xx1 12xx22
3x3 5x3
c22 x2 c2r xr c2n xn d2 ,
(5)
crr xr crn xn dr , 0 dr1,
0 0,
0 0.
其中cii 0,i 1,2,, r. 方程组（5）中的“0＝0”这样的
恒等式可能不出现，也可能出现，
这时去掉它们也不影响（5）的解。 而且（1）和（5）是同解的。
现考察线性方程组（5）的解得情况
如果（5）中有方程0＝dr1，而dr1 0。 这时不管x1,, xn取什么值都不能使它成为等式。 故（5）无解，因而（1）无解。
当dr1是零，或（5）中根本没有“ 0＝0”的方程时，分两种情 况：
高斯消元法_3
初等变换总能保证把方程组变成同解方程组. 下面只对第二种变换来证明
a11x1 a12x2 a1nxn b1,
(a11 ka21)x1 (a1nka2n )xn b1 kb2,
(1)a21x1 a22x2 a2nxn b2, (2)a21x1 a22x2 a2nxn b2,
0 0 1 2
0 0 0 0
阶梯形矩阵对应的阶梯形线性方程组为2x3x1x22
3x3
1 ,
解得x1
x3
1 (7 2 2
x2
) .
其中x2为自由未知量。
例：解线性方程组
42xx1 12xx22
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 0