1-1n元线性方程组
线性方程组
这三种变换被称为矩阵的初等行变换。
第三章 线性方程组
定理:线性方程组的初等变换把一个线性方程组变为一个 与它同解的线性方程组。
由方程组未知量系数按原来的顺序组成的矩阵，称为方程 组的系数矩阵，记为A。由方程组未知量系数和常数组成的矩 阵称为方程组的增广矩阵，记为 A 。
a11 a21 A as1
5 0 1 3 6 5 0 1 3 6 0 7 16 12 1 0 7 16 12 1 0 0 0 0 14 32 24 7 0 5
故原方程组无解。
第三章 线性方程组
例2. 解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1, 4 x1 2 x2 5 x3 4, 2 x x 2 x 5. 3 1 2
第三章 线性方程组
例1 解方程组
5 x1 x2 2 x3 x4 7 2 x1 x2 4 x3 2 x4 1 x 3x 6 x 5 x 0 2 3 4 1
解
1 7 5 1 2 0 14 32 24 7 4 2 1 0 7 16 12 1 2 1 1 3 6 5 0 1 3 6 5 0
第三章
线性方程组
§3.1 消元法
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 对一般线性方程组 as1 x1 as 2 x2 asn xn bs .
a11
| A |
a12 a 22
a1n a 2n
a 21 a n1
n元非齐次线性方程组
n元非齐次线性方程组
元非齐次线性方程组（Unhomogeneous Linear Equation System）绝对是数学家在解线性方程组的过程中的重要的可行性前言，它可以解决多种复杂的线性方程组试题，发挥助推作用。
元非齐次线性方程组是根据线性空间给定方程与空间中各独立向量的关系，以求得空间中独立向量不同取法调节方程组的系数关系来解决线性方程组。
它利用了线性空间提供的有效信息，能够解决复杂问题，极大地提高了数学求解能力。
有效运用元非齐次线性方程组，可以极大地降低数学模型的求解难度，的确是数学家的不可或缺的工具。
因为它具有建模灵活性、调整灵活性强、定量描述可能性大等优点，在模型建立、参数设定、数据处理和结果验证方面能发挥重要作用。
例如，在机械设计、微机控制、科学计算、运筹学解决多类别线性方程组试题时，运用元非齐次线性方程组一定程度上能够减轻任务量，缩短解题时间，这给数学家带来了极大的便利。
综上所述，元非齐次线性方程组的运用为解决线性方程组提供了可能性，它的建模灵活性、调整灵活性强、定量描述可能性大等许多优势，让数学家在解决多类线性方程组试题时有效地减轻了任务量，缩短解题时间，绝对是数学家不可或缺的工具，值得大家推荐。
matlab中用克拉默法则解n元方程
matlab中用克拉默法则解n元方程克拉默法则是一种解决n元线性方程组的方法，它通过使用行列式的性质，可以求解出方程组的解。
在MATLAB中，可以利用克拉默法则来解决n元线性方程组的问题。
克拉默法则的基本思想是，将n元线性方程组的解表示为各个未知数的比例关系，并通过计算行列式的值来求解未知数的值。
具体步骤如下：1. 将n元线性方程组写成矩阵形式。
假设方程组为A*X=B，其中A 是一个n阶矩阵，X是未知数向量，B是已知常数向量。
2. 计算系数矩阵A的行列式值det(A)。
如果det(A)=0，说明方程组无解；如果det(A)≠0，说明方程组有唯一解。
3. 对于方程组的每一个未知数Xi，将其系数矩阵A中第i列替换为常数向量B，得到矩阵Ai。
然后计算矩阵Ai的行列式值det(Ai)。
4. 未知数Xi的解为det(Ai)/det(A)。
将每个未知数的解代入原方程组中，可以验证解的正确性。
以一个具体的例子来说明克拉默法则在MATLAB中的应用。
假设有以下的3元线性方程组：2x + 3y - z = 14x - y + 2z = -23x + 2y - 3z = 3将方程组写成矩阵形式：A = [2, 3, -1; 4, -1, 2; 3, 2, -3]B = [1; -2; 3]接下来，计算系数矩阵A的行列式值：detA = det(A)然后，计算每个未知数的解：x = det([B, A(:,2:3)])/detAy = det([A(:,1), B, A(:,3)])/detAz = det([A(:,1:2), B])/detA将解代入原方程组中验证：eq1 = 2*x + 3*y - zeq2 = 4*x - y + 2*zeq3 = 3*x + 2*y - 3*z如果方程组有解，那么eq1、eq2和eq3的值应该分别为1、-2和3。
通过以上步骤，可以使用MATLAB中的克拉默法则来解决n元线性方程组的问题。
第5章-线性方程组
从而向量b能由A的列向量组线性表示为 b c1a1 cr a r 0a r 1 0a n ,
那么向量c c1,, cr ,0,,0 满足Ac b,因此方程组 Ax b有解。
T
(2). 设Ax b有唯一解c。由(1)结论，有 r ([ A, b]) r ( A) n. 假设r ( A) n, 那么由定理 1，齐次方程组 Ax 0有非零解u, 那么 A(u c) Au Ac Ac b,
1 0 3 1 1 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 5 2 1 1 5 1 0 2 7 4 0 2 7 4 0 1 7 1 1 2 3 0 1 7 2 2 . 2 2 0 0 A 0 0 0 0 0 0 0 2 7 4 0 0 0 0 3 1 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 14 8 0 0 1 3 9 7
可知
n-r(A)=n-r(ATA) 这就证明了结论。
定理 2
非齐次线性方程组 Ax = b 的通解为 Ax = b 的一个 特解与相应齐次线性方程组 Ax = 0 的通解之和.
即: Ax = b 的通解= Ax = b 的特解+ Ax = 0 的通解.
证 设 是 Ax = b 的一个解, r(A) = r, v1, v2, …, vnr 是 Ax = 0 的一个基础解系， 则有 A = b, Av i = 0, i =1, 2, …, nr,
x1 + k x2 + x3 = 1 ,
x1 + x2 - kx3 = k ,
线性代数1-4 克拉默法则
第一章 行列式
克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量的个 数相等，且系数行列式不为零的线性方程组.
它的优点在于给出了方程组的解与方程组的系数及 常数项之间的关系式，因此具有重要的理论价值.
二、齐次线性方程组及其有关解的定理
第一章 行列式
a11 x1 a12 x2 +
n元线性方程组 a21 x1 a22 x2 +
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
D4 D
27 27
1.
例3 问 取何值时，齐次方程组
1
2
x1
x1 3
2x2 4x3
x2 x3
0, 0,
(1.12)
称为齐次线性方程组。
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 a21x1a22x2 a2nxn0 an1x1 an2 x2 ann xn 0
第一章 行列式
(1.12)
显然齐次线性方程组一定有解 x1 x2 xn 0,
1 4 7 6
8 1 5 1
2 8 5 1
9 3 0 6 D1 5 2 1 2
1 9 0 6 D2 0 5 1 2
0 4 7 6
1 0 7 6
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
这个解叫做齐次线性方程组(1.12)的零解。
推论 如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0, 则齐次线 性方程组只有零解。
克拉默法则
克拉默法则
定理4-1
［克拉默（Cramer）法则］ 对于n元线性方程组（4-1），当 其系数行列式 D≠0时，有且仅有唯一解
其中，Dj( j=1,2,…,n)是将系数行列式D中第j列元素a1j,a2j,…,anj 对应地换为方程组的常数项b1,b2,…,bn后得到的行列式，即
克拉默法则
证明 对n元线性方程组（4-1）的第i(i=1,2,…,n)个方 程两边乘以Aik（元素aik的代数余子式）然后相加，得
克拉默法则
推论4-1
若n×n齐次线性方程组 的系数行列式D≠0，则它只 有零解．
克拉默法则
推论4-2
若n×n齐次线性方程组 有非零解，则必有D=0．
克拉默法则
【例4-2】
问λ取何值时，齐次线性方程组
有非零解. 解 由推论4-2可知，若齐次方程组有非零解，则其系数行列 式D=0．而
克拉默法则
【例4-3】
(a11A1k+a21A2k+…+an1Ank)x1+…+(a1kA1k+a2kA2k+ …+ankAnk)xk+ …+ (a1nA1k+a2nA2k+…+annAnk)xn=b1A1k+b2A2k+…+bnAnk
由行列式的性质，上式中对j≠k的xj，其系数为 a1jA1k+a2jA2k+…+anjAnk=0
克拉默法则
同理可得线性方程组：
移项得三家公司的日资金数应满足如下的齐次线 性方程组：
克拉默法则
解齐次线性方程组，得它的通解为
c为任意实数． 最后，由于每个公司的日资金在60万~80万元， 故选择c=72，则三家公司A1，A2，A3应得的日资 金为62万元、64万元和72万元．
线性代数-线性方程组的解
0 0 0 0
R(A) = R(B) < 3,方程组有无穷多解 .
其通解为
x1 x2
=1− = x2
x2
−
x3
x3 = x3
(x2 , x3为任意实数 ).
(2) 当λ ≠ 1时,
1 1 λ
λ2
B ~ 0 1 −1 −λ
0
0
2+λ
(1
+
λ
)2
=
−2
x3
−
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 = c1, x4 = c2，把它写成通常的参数 形式
x1
x2 x3
=
= =
2c2
+
5 3
c2
,
−2c2
−
4 3
c2
c1 ,
,
x4 = c2,
∴
x1 x2 x3 x4
=
c1
2 −2 1 0
+
c2
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
− −
x3 x4
= a2 = a3
由此得通解：
x4 − x5 = a4
x1 = a1 + a2 + a3 + a4 + x5
x2 = a2 + a3 + a4 + x5 x3 = a3 + a4 + x5
x4 = a4 + x5
(x5为任意实数 ).
例５ 设有线性方程组
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
B
~
0 0 0
线性方程组
线性方程组（一） 线性方程组关于解的结论定理1 设b AX =为n 元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是)(),(A r b A r =定理2 当n 元非齐次线性方程组b AX =有解时，即r A r b A r ==)(),(时，那么（1）b AX =有唯一解⇔n r =； （2）b AX =有无穷多解⇔n r <.定理3 n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充要条件是n r A r <=)( 推论1 设A 为n 阶方阵，则n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解⇔0=A 推论2 设A 为n m ⨯矩阵，且n m <，则n 元齐次线性方程组必有非零解（二）齐次线性方程组解的性质与解空间首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程组的解.考虑由齐次线性方程组0=AX 的解的全体所组成的向量集合{}0==ξξA V显然V 是非空的，因为V 中有零向量，即零解，而且容易证明V 对向量的加法运算及数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是V 成为n 维列向量空间nR 的一个子空间，我们称V 为方程组0=AX 的解空间（三）齐次线性方程组的基础解系与通解把n 元齐次线性方程组0=AX 的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一个基础解系.当n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解时，即n r A r <=)(时，就一定存在基础解系，且基础解系中所含有线性无关解向量的个数为r n -求基础解系与通解的方法是：对方程组0=AX 先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解，从中也能求出一个基础解系.例1 求⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+-+0022*********43214321x x x x x x x x x x x x 的通解解：对系数矩阵A ，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵：12212310341034321211110145111111110000A ⨯⨯⨯⨯---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭行(-1)+2行行(-1)+3行3行(-1)+1行1行(-1)+2行42)(<=A r ，有非零解，取43,x x 为自由未知量，可得一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-=-=4433432431,54,43x x x x x x x x x x 写成向量形式，令13k x =，24k x =为任意常数，则通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1054014321k k X 可见，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1054,014321ξξ为方程组的一个基础解系. （四）非齐次线性方程组1． 非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之间的关系设b AX =为一个n 元非齐次线性方程组，0=AX 为它的导出组，则它们的解之间有以下性质：性质1 如果21,ηη是b AX =的解，则21ηηξ-=是0=AX 的解性质2 如果η是b AX =的解，ξ是0=AX 的解，则ηξ+是b AX =的解由这两个性质，可以得到b AX =的解的结构定理：定理 设A 是n m ⨯矩阵，且r A r b A r ==)(),(，则方程组b AX =的通解为r n r n k k k X --++++=ξξξη 2211*其中*η为b AX =的任一个解（称为特解）,r n -ξξξ,,,21 为导出组0=AX 的一个基础解系.2．求非齐次线性方程组的通解的方法对非齐次线性方程组b AX =，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形式，就得到方程组的通解.例2 当参数a ，b 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x有唯一解？有无穷多解？无解？在有无穷多解时，求出通解.解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵：()()23424111110111100122101221(,)01320010132110123110111012210010100010A b a b a b a a a b a +⨯++⨯+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪----+ ⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎪⎪→ ⎪-+ ⎪-⎝⎭行行１行-3行行行2行-1行当1≠a 时，4)(),(==A r b A r ，有唯一解； 当1,1≠=b a 时，3),(=b A r ，2)(=A r ，无解； 当1,1-==b a 时，2)(),(==A r b A r ，有无穷多解.此时，方程组的一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++-=44334324312211x x x x x x x x x x令2413,k x k x ==为任意常数，故一般解为向量形式，得方程组通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10210121001121k k X。