线性方程组的消元解法
W084线性代数-3.1 线性方程组的消元解法
解线性方程组
2x1 x1
2x2 2x2
x3 4x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
解
2x1 x1
2x2 2x2
4
x3 x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
2
x1
2x2 3x2
(9
/
x3 2)x3
6 0
2x2 (7 / 2)x3 13
2
x1
2x2 3x2
0 0 1 2
可以看出用消元法解线性方程组的过程 实质上就是对
该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程 解线性方程组
时 为了书写简便 只写出方程组的增广矩阵的变换过程即可
2x1
2x2 3x2
8 9
x3 2
2
x1
2
x2 x2
8 3
x3 2
2x1
x2
2 3
x3 2
xxx121 x3
233
0001
5 1 0 0
1 1 0 0
1 2
0 0
0021
0001
1 1 0 0
2 1 6 0
3 4
3 0
2911
都是阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中 每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边 则称该矩阵为阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中 每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边 则称该矩阵为阶梯形矩阵
如果阶梯形矩阵的每一非零行的第一个非零元素为1 且
线性方程组的消元法
线性方程组的消元法线性方程组的消元法是解决线性方程组的常用方法之一，通过逐步消去未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
本文将详细介绍线性方程组的消元法及其应用。
1. 消元法简介消元法是一种通过逐步消除未知数的系数，将线性方程组转化为更简单形式的方法。
它的基本思想是通过不断的代入与消去操作，将方程组转化为三角形式或最简形式，从而求得方程组的解。
2. 线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为未知数的系数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。
3. 消元法的步骤（1）选取主元：根据方程组的特点，选择一项作为主元，并将其系数置为1，并且使其所在的其他行对应的列的系数皆为0，这样可以简化计算过程并减少误差。
（2）代入消元：选择一个非主元进行代入，将其代入主元所在的其他方程中，从而消去该未知数。
（3）重复步骤（1）和（2），直至将所有的非主元都消去为止。
（4）最后得到一个三角形形式的线性方程组，可以通过回代法求解该方程组的解。
4. 消元法的应用消元法广泛应用于各个领域，特别是在科学和工程领域中具有重要作用。
以下是几个应用实例：（1）经济学中的输入产出模型：通过消元法可以分析不同产业之间的投入产出关系，从而得出经济模型的解释。
（2）物理学中的电路分析：通过消元法可以简化复杂的电路方程组，从而计算出电路中各个节点的电压和电流。
（3）化学反应平衡问题：通过消元法可以解决化学反应平衡过程中的复杂线性方程组，从而得到反应物和生成物的浓度。
5. 总结消元法是一种解决线性方程组的有效方法，通过逐步消除未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
消元法求解线性方程组
消元法求解线性⽅程组
这⾥的消元法，主要是针对矩阵A可逆的情况下(如果A不可逆消元后不好回代)，即线性⽅程组只有唯⼀解的情况下，有多解的情况的解法在后⾯介绍。
其中的⼀种分解⽅法是LU分解。
这种⽅法的优势在于分解结果中L（上三⾓矩阵）和U（下三⾓矩阵）都是三⾓形矩阵，后续运算⽐较简便。
⽽且⼆者恰好相配，使⽤计算机进⾏运算时可以存储在⼀个数组中，节约存储空间。
利⽤A的LU分解解线性⽅程组的过程为将Ax=b等价变形成（LU）x=b，根据结合律有L(Ux)=b，再解Ly=b中的y，最后解Ux=y得到线性⽅程组的解。
Processing math: 100%。
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法线性方程组的解法：消元法、代入法和高斯消元法线性方程组是数学中的基本概念之一，在现代数学和物理学的研究中有着广泛的应用。
为了求解线性方程组，人们发明了许多方法，其中最常用的有消元法、代入法和高斯消元法。
本文将介绍这三种方法的基本原理和求解步骤，并通过实例对其进行说明。
一、消元法消元法是一种通过逐步消除未知量，从而求解线性方程组的方法。
其基本原理是利用等式变换，逐步消去各个方程中的未知量，直到将方程组化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将含有未知量的项都移动到等式的同一侧，即将线性方程组转化为增广矩阵形式。
2. 选取一个主元素，将该列的其他元素全部变为0，从而消去该列的未知量。
3. 依次选取下一个主元素，直到整个增广矩阵被消元成上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
二、代入法代入法是一种通过将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解未知量的方法。
其基本原理是将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量，不断代入，从而求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量。
2. 将该解代入另一个方程，求解未知量的值。
3. 重复以上步骤，直到求出所有未知量的值。
三、高斯消元法高斯消元法是一种通过矩阵变换，将线性方程组化为上三角形式，从而求解未知量的方法。
其基本原理是利用初等矩阵变换，逐步将增广矩阵化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将矩阵的列向量按递增顺序排列，从左到右依次选取主元素。
2. 利用初等矩阵变换，将每一列的主元素下方元素全部变为0。
3. 重复以上步骤，直到整个增广矩阵被化为上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
举例说明：考虑以下线性方程组：x + 2y – z = 92x – y + 3z = –33x + y + 4z = 12采用消元法求解：将该方程组转化为增广矩阵形式：1 2 –1 | 92 –13 | –33 14 | 12选取主元素1，将第2行乘以2减去第1行，将第3行乘以3减去第1行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 –5 7 | –15选取主元素–5，将第3行减去第2行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 0 2 | 6将该矩阵化为上三角形式，然后采用回代方法，求得：x = 2y = –3z = 3同样的，采用代入法或高斯消元法也能求解出相同的结果。
掌握简单的线性方程组的解法
掌握简单的线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，解法也是非常重要的内容。
通过掌握简单的线性方程组的解法，我们可以解决很多实际问题，提高我们的数学能力。
本文将介绍几种简单的线性方程组的解法。
一、消元法消元法是解决线性方程组的一种常见方法。
通过消除未知数，将方程组化为简化形式，我们可以求解出未知数的值。
下面是一个例子：2x + y = 5x - y = 1首先，我们可以通过第二个方程x - y = 1将y的系数消去，得到x = 1 + y。
将这个结果代入第一个方程，我们可以得到一个只有y的方程2(1 + y) + y = 5。
将方程化简，我们可以得到y = 1。
将y的值代入x = 1 + y中，可以得到x = 2。
因此，这个线性方程组的解是x = 2，y = 1。
二、代入法代入法也是解决线性方程组的一种常见方法。
通过将一个方程的一个未知数表示成其他未知数的形式，我们可以将方程组化简为只有一个未知数的方程。
下面是一个例子：3x + 2y = 8x - y = 3我们可以将第二个方程x - y = 3转化为x = 3 + y。
将这个结果代入第一个方程3x + 2y = 8，可以得到3(3 + y) + 2y = 8。
将方程化简，我们可以得到y = 1。
将y的值代入x = 3 + y中，可以得到x = 4。
因此，这个线性方程组的解是x = 4，y = 1。
三、矩阵法矩阵法是解决线性方程组的一种常用方法，尤其适用于有大量方程和未知数的情况。
通过将系数矩阵和常数向量进行运算，我们可以得到未知数的值。
下面是一个例子：2x + y + z = 10x - 3y + 2z = 13x + 2y - z = 3我们可以将这个线性方程组表示为增广矩阵的形式：[2 1 1 | 10][1 -3 2 | 1][3 2 -1 | 3]通过矩阵的初等行变换，我们可以将矩阵化简为行阶梯形式：[1 -3 2 | 1][0 7 -5 | 7][0 0 1 | -3]从中可以读出z = -3。
3.1 线性方程组的消元解法
定理3.1 线性方程组 线性方程组AX=b有解的充分必要条件是: 有解的充分必要条件是: 定理 有解的充分必要条件是 r(A b)=r(A). 且当r(A b)=n时有唯一解; 当r(A b)<n时有无 且当 时有唯一解; 时有无 时有唯一解 穷多解. 穷多解.
例2 解线性方程组 x1 + 5 x2 − x3 − x4 = −1 x − 2 x + x + 3x = 3 1 2 3 4 3 x1 + 8 x2 − x3 + x4 = 1 x1 − 9 x2 + 3 x3 + 7 x4 = 7 例3 解线性方程组
2 x1 + 2 x2 = 8 → − 3 x2 = −9 ⑤ x3 = 2 2 x1 + 2 x2 = 8 → x2 = 3 ⑥ x3 = 2
=2 2 x1 → x2 = 3 x3 = 2 x1 = 1 → x2 = 3 x = 2 3
⑤
⑥
⑦
线性方程组的消元解法课件
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中
矩阵
a11 a12 a1n b1
(A b)=
a21
a22 a2n
b2
am1 am2 amn bm
称为线性方程组的增广矩阵。
PPT学习交流
3
下页
一、线性方程组的矩阵表示：
1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
11377
1 5 -1 -1 -1
0 1 -1 -2 -2 0 -2 2 4 4
0 -4 4 8 8
1 5 -1 -1 -1
10499
0 1 -1 -2 -2 00000
0 1 -1 -2 -2 00000
，
00000
00000
形矩阵继续施以初等行变换，化成行最简形矩阵；
第四步，写出方程组的解。
PPT学习交流
10
下页
例2．解线性方程组
x1 + 5x2 - 5x3 - x4 =- 1 x1 + 6x2 - 2x3 - 3x4 =- 3 。 x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 3 x1 + x2 + 3x3 + 7x4 = 7
8
线性方程组解的判定定理：
定理3：n元线性方程组Ax=b
（1）无解
R(A)R(A,b);
（2）有唯一解 R (A )=R (A ,b)=n;
（3）有无穷多解 R (A )=R (A ,b)n.
PPT学习交流
9
线性代数—解线性方程组的消元法
2 x1 x2 x3 x4 2, 2 x1 3 x2 x3 x4 2,
2 3
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
3
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x1 x2 x3 x4 2, 2 x1 3 x2 x3 x4 2,
2 3
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
a11 a12 a1n
系数矩阵
A
a21 am1
a22 am2
a2n amn
,
a11 a12 a1n b1
增广矩阵
A
(
A,
b)
a21 am1
a22 am2
a2n amn
b2 bm
,
15
利用矩阵的初等行变换将A 化为阶梯形,
c11 c12 c1r c1n d1
1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 0 0 0 2
最后一个为矛盾方程组 0 2 , 故方程组无解.
14
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
线性方程组
a21
x1
a22
x2
a2n xn
b2
,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
例1 用高斯消元法解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2 3
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
解(1)12 来自 2x1 x2 2 x3 x4 4, 1
x2
4
x3
3
.
5 x1 7 x2 x3 28
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x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
x3 2
1 1 1 2 1 2 r3 0 3 2 2 0 0 1 2
(1)-2×(3)，(2)+2×(3)
得
x1 x2 3
3x2
6
x3 2
r1 2r3 1 1 0 3
0 3 0
6
r2 2r3 0 0 1 2
(5)-(4) 得
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
此时方程组中下一个方程比上一个方程少一个
未知量，形状如阶梯，称此方程组为阶梯形方程组
。 精品课件
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
(3)-(2) 得
x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
2 x3 4
（阶梯形方程组）
(-1/2)×(3) 得
r2 2r1 1 1 2 1
0 3 2
2
r3 4r1 0 3 4 2
1 1 2 1
r3 r 2 0 3 2
2
0 0 2 4
（行阶梯形矩阵）
精品课件
x1 x2 2 x3 1
， (-2)×(7)+(2)，(2)-(9) 得
x1 1
故原方程组的解为
x 1 1 , x 2 2 , x 3 2
精品课件
从上述求解过程可以看出 加减消元法的基本思想就是：利用方程之间的
算术运算，每次消去一个未知量，得到一个比原方 程组少一个未知量的方程组，一次一次进行下去， 直至得到便于求解的一个形式简单的方程。
精品课件
对于一般的线性方程组
a11x1 a12x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22x2 L LLLL
a2n xn LLLL
b2 L
am1x1 am2x2 L amn xn bm
a11 a12 L a1n
A
a21
a22
L
a2n
M M M M
a
m1
am2
L
amn
a21 am1
a22 am2
的线性运算（重要的工具）。
a1n
a2n
amn
精品课件
§1 线性方程组的消元解 法 对二元一次方程组
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
我们在中学已经学过它的解法，但是实际问题中会 遇到未知量个数和方程个数都很多的一次方程组， 且未知量个数和方程个数未必相同。
例1 求解线性方程组
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
4 1
(1) (2)
4x1 x2 4x3 2 (3)
解：方程组的增广矩阵
2 1 2 4
A
1
1
2
1
4 1 4 2
精品课件
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
4 1
(1) (2)
2
A
1
1 1
2 2
4
1
4x1 x2 4x3 2 (3)
(-1/3)×(2) 得
精品课件
x1 x2 3
3x2
6
x3 2
(-1/3)×(2)
得
x1 x2
x2
3 2 x3 2
(1)-(2) 得
r1 2r3 1 1 0 3
0 3 0
6
r2 2r3 0 0 1 2
1 3
r2
1 0
1 1
0 0
3 2
将方程组的形式变的简单易求，且新方程组与 原方程组是同解方程组。 用消元法求解线性方程组的实质
对方程组施行一系列同解的初等变换，将它逐 步化简以求其解。
精品课件
经初等变换求解线性方程组的这一思路，反映 了一般线性方程组的求解规律。
思考：方程组的解和未知量符号有没有关系
？那和什么有关呢？
没有
和未知量的系数以及右端的常数项有关！
其中有 n 个未知量x1,x2,L ,xn
，a mij 个R方程，
(i 1 ,L,m ;j 1 ,L,n )是未知量的系数，b1,L ,bmR
是常数项。
若右端常数项 b1,b2,L ,bm均为零，则称方程组为 齐次线性方程组；否则称为非齐次线性方程组。
精品课件
将要研究的问题 1、线性方程组是否有解？ 2、若有解，解是否唯一？ 3、有解时，如何求出全部的解？ 研究的思路和途径
A
1
1
2
(1)
4 1 4
此数表是按各数在方程组中的相对位置排成的。
2 1 2 4
加上常数项得数表
A
1
1
2
1
(2)
4 1 4 2
定义1
称上述矩形表为矩阵，横的
排称为行，竖的排称为列，其中的数称为矩阵的元
素。
矩阵(1)称为方程组的系数A 矩. 阵，记为A，矩阵
(2)称为方程组的增广矩阵，记为
x32 (7)
最后，将(7)代回(4)中，即消去(4)中的 x3，
由2×(7)+(4) 得
3x26 (8)
精品课件
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
4 1
4x1 x2 4x3 2
(1) (2) (3)
x32 (7) 3x26 (8)
由(-1/3)×(8) 得
x22 (9) 将(7)(9)代回(2)中，即消去(2)中的 x2, 由x3
问题：在用初等变换求解方程组时，本质上 是对什么在运算？什么在变化？
未知量的系数以及右端的常数项！
基于此，在解题时可将未知量舍去不写；此时
就出现了由未知量系数以及右端常数项组成的数表
：
精品课件
2 x1 x1
x2 x2
2 x3 2 x3
4 1
4 x1 x 2 4 x3 2
2 1 2
4 x1 x 2 4 x3 2
1 1 2 1
r1
r2
2
1
2
4
4 1 4 2
(2)-2×(1)，(3)-4×(1) 得
x13xx2222xx3312 3x2 4x3 2
(3)-(2) 得
r2 2r1 1 1 2 1
0 3 2
2
r3 4r1 0 3 4 2
精品课件
x13xx2222xx3312 3x2 4x3 2
1 4
(2) (1)
4x1 x2 4x3 2 (3)
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1，
(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
精品课件
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
1 4
(2) (1)
4x1 x2 4x3 2 (3)
(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
x3 2 (7)
第五步，消去(2)(4)中的 (x23，)-2×(7)，
(4)+2×(7)
x1 x2
3x2
3 (8) 6 (9)
x3 2 (7)
第六步，使(9)中的 x2 的系数变为(1-1/3)×(9)
，
得
精品课件
x1 x2 3 (8)
3x2
6 (9)
x3 2 (7)
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的 求解，仍以例1为例，完整规范的写出它的解题步骤 。
精品课件
例1 求解线性方程组
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
4 1
(1) (2)
4x1 x2 4x3 2 (3)
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的
位置
12xx11
x2 x2
2x3 2x3
第三章 线性代数初步
§1 线性方程组的 消元解法
§2 矩阵及其运算
精品课件
线性代数作为独立的学科分支直到20世纪才 形成，然而它的历史却非常久远。
最古老的线性代数问题是线性方程组的求解， 在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中， 已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上 相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等 变换，消去未知量的方法。
x1 x2 2x3 1 3x2 2x3 2
(2) (4)
3x2 4x3 2 (5)
第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2，
(5)-(4) 得
精品课件
x1 x2 2x3 1 3x2 2x3 2
(2) (4)
3x2 4x3 2 (5)
第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2，
第六步，使(9)中的 x2 的系数变为(1-1/3)×(9)
，
得
x1 x2
x2
3 (8) 2 (10)
x3 2 (7)
第七步，消去(8)中的x(28，)-(10) 得
精品课件
x1 x2 3 (8)
x2 2 (10)
x3 2 (7)
第七步，消去(8)中的x(28，)-(10) 得
x(1-，2)×(2)+(1)，(-4)×(2)+(3) 得
33xx2242xx3322
(4) (5)
该方程组比原方程组少一个未知量。
精品课件
33xx2242xx3322
(4) (5)
其次，用(4)消去(5)中的未知量 由x2(，5)-(4) 得
2x34 (6)
这比原方程组又少了一个未知量。
由(-1/2)×(6) 得
精品课件
本节的主要内容
1、线性方程组
a11x1 a12x2 L a1n xn b1
La2L1x1L