线性代数—解线性方程组的消元法
经济数学·线性代数：解题方法技巧归纳
经济数学·线性代数：解题方法技巧归纳
常见的解题方法技巧：
1.高斯消元法：用于解决线性方程组的方法，通过
消去未知数的系数，使方程组的每一行的未知数
只有一个。
2.高斯-约旦消元法：用于解决线性方程组的方法，
通过消去未知数的系数，使方程组的每一行的未
知数只有一个，并通过交换方程的顺序来解决无
解或多解的情况。
3.矩阵消元法：用于解决线性方程组的方法，将方
程组写成矩阵形式，通过消去未知数的系数，使
矩阵的每一行的未知数只有一个。
4.高斯-约旦分解法：用于解决线性方程组的方法，
通过将方程组写成两个矩阵的乘积的形式。
5.广义逆矩阵法：用于解决线性方程组的方法，通
过求出矩阵的广义逆（也叫做伪逆），将方程组写
成矩阵的形式，求解未知数的值。
6.矩阵的特征值与特征向量：用于解决矩阵的本征
值问题的方法，通过求解矩阵的特征方程，求得
矩阵的特征值与特征向量，并利用它们来求解其
他问题。
7.奇异值分解：用于解决矩阵的奇异值分解问题的
方法，将矩阵分解为三个矩阵的乘积的形式，并利用它们来求解其他问题。
8.广义逆矩阵的求法：用于求解矩阵的广义逆（也叫做伪逆）的方法，包括计算机辅助的方法和数学计算的方法。
W084线性代数-3.1 线性方程组的消元解法
解线性方程组
2x1 x1
2x2 2x2
x3 4x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
解
2x1 x1
2x2 2x2
4
x3 x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
2
x1
2x2 3x2
(9
/
x3 2)x3
6 0
2x2 (7 / 2)x3 13
2
x1
2x2 3x2
0 0 1 2
可以看出用消元法解线性方程组的过程 实质上就是对
该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程 解线性方程组
时 为了书写简便 只写出方程组的增广矩阵的变换过程即可
2x1
2x2 3x2
8 9
x3 2
2
x1
2
x2 x2
8 3
x3 2
2x1
x2
2 3
x3 2
xxx121 x3
233
0001
5 1 0 0
1 1 0 0
1 2
0 0
0021
0001
1 1 0 0
2 1 6 0
3 4
3 0
2911
都是阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中 每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边 则称该矩阵为阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中 每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边 则称该矩阵为阶梯形矩阵
如果阶梯形矩阵的每一非零行的第一个非零元素为1 且
线性方程组的消元法
1.2 消元法与矩阵初等变换的关系
定义
定义 2 设 n 元线性方程组
1( 3 )
2
x1
x 2 x2
2x x3
3
2 2
x3 4
(1) ， (2) ， (3) ，
解得 x3 4 ，x2 6 ，x1 12 ．
系数矩阵是阶梯形矩阵的方程组称为阶梯形方程组。
（4-1）
1.1 消元法
定义
消元法解线性方程组的实质是反复地对方程组进行变换，得到阶梯形方程组．而所作的 变换，也只有以下三种类型．
线性代数
1.1 消元法
例题
例1
2x1 x2 5x3 2
解线性方程组
x1
x2 2x3 2
x1 2x2 x3 4
(1) ， (2) ， (3) ．
解：为了更方便地表达解题过程，可用符号来表示，符号含义如下： (1) (2) 表示交
换方程 (1) 与 (2) ； (2) 2(1) 表示方程 (2) 减去方程 (1) 的 2 倍，类似地， (3) (1) 表示方程 (3)
加方程 (1) ， (3) (2) 表示方程 (3) 减去方程 (2) ； 1 (3) 表示方程 (3) 乘以 1 ．
2
2
消元法解方程组的过程表示如下．
2x1 x2 5x3 2 (1)
x1 x2 2x3 2 (1)
x1
x2 2x3 2
(2) (1)(2) 2x1 x2 5x3 2
加减消元法的步骤
加减消元法的步骤加减消元法，也称为线性方程组的消元法，是一种常用的解线性方程组的方法。
它通过逐步消除方程组中的未知数，最终得到唯一的解，从而解决了线性方程组的问题。
在本文中，我们将详细介绍加减消元法的步骤。
步骤一：列出线性方程组首先，我们需要将给定的线性方程组写成一个矩阵形式。
假设有n 个未知数和m个方程，我们可以将线性方程组写成如下形式：```A · X = B```其中，A为一个m×n的系数矩阵，X为n维列向量表示未知数，B 为m维列向量表示常数项。
步骤二：选取主元在加减消元法中，为了使计算更简明，我们需要选取一个主元。
主元可以是系数矩阵中的某一行或某一列的某个元素。
通常情况下，我们选择系数矩阵的第一列或第一行作为主元。
步骤三：消除主元以下的元素在这一步骤中，我们将对主元以下的元素进行消去操作，使其变为0。
我们使用加减运算来实现消去。
具体操作为，将主元以下的每一行与主元所在行相减，并将结果放回原来的行中。
例如，假设我们选择系数矩阵的第一列的第一个元素作为主元。
首先，我们将第一行的倍数加给其他行，使得主元以下的元素变为0。
然后，我们将第二行的倍数加给其他行，使得主元以下的第二行元素变为0。
以此类推，直到所有的主元以下的元素都变为0。
步骤四：选取新的主元在完成第三步的消去后，我们需要选择新的主元。
通常情况下，我们会选择消去后的第二列或第二行的元素作为新的主元。
然后，我们重新进行第三步的消去操作，将新的主元以下的元素消为0。
步骤五：重复步骤三和步骤四重复进行步骤三和步骤四，直到所有的未知数都消去为止。
在每一次的迭代中，我们都会选择一个新的主元，并将主元以下的元素消去。
步骤六：回代求解经过前面的步骤，我们已经得到一个上三角矩阵。
接下来，我们可以通过回代求解的方法，得到未知数的解。
回代求解的步骤是从最后一行开始，将已知的未知数代入方程中，求解出最后一个未知数。
然后，将求得的未知数代入方程中，求解出倒数第二个未知数。
【VIP专享】1--消元法
x1 2 x2 4 x3 3
6x2 9x3 0
5 x1 7 x2 x3 28
r1 ( 2 ) r2
1 2 4 3 0 6 9 0
5
7
1
28
x1 2 x2 4 x3 3
6x2 9x3 0
5 x1 7 x2 x3 28
x1 2 x2 4 x3 3
1 2 4 3 阶
梯
( Ab) 1 2 4 3 0 2 3 0 形
5
7
1
28
0
0
13
26
矩 阵
解线性方程组的第 2 个步骤： 对 增广矩阵 进行初等行变换，将之化作阶梯形矩阵。
接下来，判断线性方程组是否有解。准则： 阶梯形矩阵的最后一个首元是否在最后一列。 若在最后一列，则原来的线性方程组无解。否则有解。
x1 c1
x2 xn
c2 cn
线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 .................................................
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
若常数项 b1，b2， ，bn 全为0，则称方程组为齐 次线性方程组； 否则称为非齐次线性方程组。
若 x1 c1，x2 c2， ，xn cn 满足方程 组，则称之为方程组的一个解。
通常我们将线性方程组的解写成列向量 的形式，并称之为一个解向量：
系数矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22 am 2
... a1n
...
傅立叶消元法
傅立叶消元法傅立叶消元法是线性代数中一种重要的求解线性方程组的方法，它的原理基于傅立叶变换和矩阵分解。
傅立叶消元法可以将原始的线性方程组转化为易于处理的矩阵形式，进而求解线性方程组的解。
（一）傅立叶消元法的原理傅立叶消元法的原理可以概括为以下步骤：1.对原始的线性方程组进行增广矩阵表示。
2.将增广矩阵中的右端项进行傅立叶变换，得到一个新的矩阵。
3.将新矩阵进行对角化处理，得到对角矩阵和一组变换系数。
4.将原始的增广矩阵中的左端项进行傅立叶逆变换，得到一个新的矩阵。
5.将新矩阵与对角矩阵相乘，得到一个新的矩阵。
6.重复步骤4和5，直到新矩阵变为单位矩阵。
7.通过原始的增广矩阵和变换系数，求解线性方程组的解。
（二）傅立叶消元法的应用场景傅立叶消元法具有以下应用场景：1.信号处理：在信号处理中，傅立叶消元法可以用于求解时域信号的频谱，从而分析信号的频率特性。
2.图像处理：在图像处理中，傅立叶消元法可以用于求解图像的频谱，从而分析图像的频率特性。
3.线性方程组求解：傅立叶消元法可以用于求解大规模的线性方程组，特别是在矩阵较大且稀疏的情况下，具有较高的计算效率。
4.控制系统：在控制系统中，傅立叶消元法可以用于分析系统的稳定性和动态性能，从而设计合适的控制器。
5.通信系统：在通信系统中，傅立叶消元法可以用于分析信号的传输特性，从而设计高效的通信协议。
（三）傅立叶消元法的价值傅立叶消元法的价值体现在以下方面：1.高效性：在某些情况下，傅立叶消元法可以比其他求解方法（如高斯消元法）更快地求解线性方程组。
2.稳定性：傅立叶消元法具有较好的数值稳定性，适用于大规模矩阵的求解。
3.普适性：傅立叶消元法不仅适用于实数矩阵，还适用于复数矩阵和复数向量的求解。
4.易于并行化：傅立叶消元法的计算过程可以分解为多个独立的子任务，便于进行并行计算。
（四）傅立叶消元法的研究方向傅立叶消元法的研究方向包括：1.算法优化：研究更高效、更稳定的傅立叶消元算法，以适应不断发展的计算需求。
用高斯消元法求解线性代数方程组
用高斯消元法求解线性代数方程组12341115-413-2823113-21041513-21719x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1111X *⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（X*是方程组的精确解）1 高斯消去法1.1 基本思想及计算过程高斯（Gauss ）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。
为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想。
⎪⎩⎪⎨⎧=++II =++I =++III)(323034)(5253)(6432321321321x x x x x x x x x 把方程（I ）乘（23-）后加到方程（II ）上去，把方程（I ）乘（24-）后加到方程（III ）上去，即可消去方程（II ）、（III ）中的x 1，得同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-II -=-I =++III)(20223)(445.0)(64323232321x x x x x x x 将方程（II ）乘（5.03）后加于方程（III ），得同解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=-II -=-I =++III)(42)(445.0)(6432332321x x x x x x 由回代公式（3.5）得x 3 = 2，x 2 = 8，x 1 = -13。
下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将b i 写成a i , n +1，i = 1, 2,…,n 。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++1,3322111,223232221211,11313212111n n n nn n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a （1-1）如果a 11 ≠ 0，将第一个方程中x 1的系数化为1，得)1(1,1)1(12)1(121+=+++n n n a x a x a x 其中)0(11)0()1(1a a aij j =， j = 1, …, n + 1（记ij ij a a =)0(，i = 1, 2, …, n ; j = 1, 2, …, n+ 1） 从其它n –1个方程中消x 1，使它变成如下形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++++++)1(1,)1(2)1(2)1(1,2)1(22)1(22)1(1,1)1(12)1(121n n n nn n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x（1-2） 其中n i a m a a iji ij ij ,,2)1(1)1( =⋅-=，1,,3,211)1(11+==n j a a m i i由方程（1-1）到（1-2）的过程中，元素11a 起着重要的作用，特别地，把11a 称为主元素。
线性方程组的消元解法
x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
x3 2
1 1 1 2 1 2 r3 0 3 2 2 0 0 1 2
(1)-2×(3)，(2)+2×(3)
得
x1 x2 3
3x2
6
x3 2
r1 2r3 1 1 0 3
0 3 0
6
r2 2r3 0 0 1 2
(5)-(4) 得
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
此时方程组中下一个方程比上一个方程少一个
未知量，形状如阶梯，称此方程组为阶梯形方程组
。 精品课件
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
(3)-(2) 得
x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
2 x3 4
（阶梯形方程组）
(-1/2)×(3) 得
r2 2r1 1 1 2 1
0 3 2
2
r3 4r1 0 3 4 2
1 1 2 1
r3 r 2 0 3 2
2
0 0 2 4
（行阶梯形矩阵）
精品课件
x1 x2 2 x3 1
， (-2)×(7)+(2)，(2)-(9) 得
x1 1
故原方程组的解为
x 1 1 , x 2 2 , x 3 2
精品课件
从上述求解过程可以看出 加减消元法的基本思想就是：利用方程之间的
算术运算，每次消去一个未知量，得到一个比原方 程组少一个未知量的方程组，一次一次进行下去， 直至得到便于求解的一个形式简单的方程。
精品课件
对于一般的线性方程组
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2 4 4 9
称为方程组(1)的增广矩阵． 称为方程组 的增广矩阵． 对方程组的变换完全可以转换为对增广矩阵的行 对方程组的变换完全可以转换为对增广矩阵的行变 换．
9
用矩阵的初等行变换解方程组(1)： 用矩阵的初等行变换解方程组 ：
1 2 2 −1 −1 1 −2 1 − 4 1 B= 4 −6 2 −2 4 3 6 −9 7 9
2 x1 + 2 x 2 − x 3 = 6 解线性方程组 x1 − 2 x 2 + 4 x 3 = 3 . 5 x + 7 x + x = 28 2 3 1
2 2 −1 6 ( A, b ) = 1 − 2 4 3 5 7 1 28
1 −2 4 3 0 6 −9 0 0 17 −19 13 1 −2 4 3 0 −1 8 13 0 0 13 26
x1 + x 2 − 2 x 3 + x4 = 4 , 对应的方程组为 x 2 − x 3 + x4 = 0 x = −3 4
x1 = x 3 + 4 由下到上逐个解得 x 2 = x 3 + 3 ，其中 3为任意取值 . 其中x x = −3 4
12
例2 解
2
第一节 解线性方程组的消元法
例1 用高斯消元法解线性方程组 1 2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, x + x − 2 x + x = 4, 2 1 2 3 4 (1) 4 x1 − 6 x2 + 2 x3 − 2 x4 = 4, 3 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, 4 1 x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 解 2 x − x − x + x = 2, 2 1 ↔ 2 1 2 3 4 (1) 3 ÷2 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, 3 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, 4
a11 a12 a21 a22 系数矩阵 A = L L a m1 am2 L a1n L a2n , L L L amn a11 a12 L a21 a22 L 增广矩阵 A = ( A, b) = L L L a m1 am2 L
a1n a2n L amn
b1 b2 , L bm
15
化为阶梯形, 利用矩阵的初等行变换将 A 化为阶梯形,
c11 c12 0 c22 L L 0 0 A→ 0 0 0 0 L L 0 0 L c1r L c2 r L crr L L L 0 0 0 L c1n L c2 n L crn L L L 0 0 0 d1 d2 L dr d r +1 0 L 0
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = 0 , a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = 0 , L L L L L L a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = 0 .
显然零向量必为它的解, 称为零解 零解. 显然零向量必为它的解, 称为零解.
t 1 0 1 当 t = 1 时， r( A) = r( A) = 2 , → 0 1 − 2 − 3t + 2 , 方程组有无穷多解。 0 0 0 方程组有无穷多解。 − t +1
18
称下面形式的线性方程组为齐次线性方程组 称下面形式的线性方程组为齐次线性方程组
L L L L
L L L L
其中 cii ≠ 0 ( i = 1,L, r ),
方程组有解的充分必要条件是 dr+1 = 0.
16
的秩, 实际上 r 即为系数矩阵 A 的秩, r = r (A) ,
若 d r + 1 = 0 , 则 r ( A ) = r ( A) = r ,
若 d r + 1 ≠ 0 , 则 r ( A ) = r ( A) + 1 ,
r4 − 3r1
r2 ÷ 2
1 1 − 2 1 4 0 2 −2 2 0 0 −5 5 −3 −6 0 3 −3 4 −3
1 0 0 0 4 1 −1 1 0 0 0 2 −6 0 0 1 −3 1 1 −2
r3 + 5r2
r4 − 3r2
11
1 0 → 0 0
1 −2 1 4 1 −1 1 0 r3 ↔ r4 0 0 2 − 6 r4 − 2r3 0 0 1 − 3
1 0 0 0
1 −2 1 4 1 −1 1 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0
x1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 = 4, 2x2 −2x3 +2x4 = 0, −5x2 +5x3 −3x4 = −6, 3x2 −3x3 +4x4 = −3,
3
4
4
x1 + x 2 − 2 x 3 + x4 = 4, 2 x 2 − 2 x 3 + 2 x4 = 0, − 5 x 2 + 5 x 3 − 3 x4 = −6, 3 x 2 − 3 x 3 + 4 x4 = −3,
r1 ↔ r2
r3 ÷ 2
1 2 2 3
1 −1 −3 6
−2 −1 1 −9
1 1 −1 7
4 2 2 9
10
1 2 2 3
r3 − 2r1
1 −1 −3 6
−2 −1 1 −9
1 1 −1 7
4 2 2 9
r2 − r3
线性方程组解的判定定理
线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是
r(A = r(A) . )
在有解的情况下， 在有解的情况下，
时有唯一解； 时有无穷多解； 当 r ( A) = n 时有唯一解； r ( A) < n 时有无穷多解； 当
这时自由未知量个数为 n − r ( A) .
17
例4
t 为何值时线性方程组
x1 + x 3 = t 4 x1 + x 2 + 2 x 3 = t + 2 6 x + x + 4 x = 2 t + 3 2 3 1
有解? 并求解. 有解? 并求解 t t 1 0 1 1 0 1 解 A = 4 1 2 t + 2 → 0 1 − 2 − 3t + 2 6 1 4 2t + 3 0 1 − 2 − 4t + 3
2 3 x = −3 4
6
小结： 小结：
1．上述解方程组的方法称为高斯消元法。 ．上述解方程组的方法称为高斯消元法。 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 ．始终把方程组看作一个整体变形， 下三种变换 （1）交换方程次序； ）交换方程次序； 相互替换） （ i 与 j 相互替换） （2）以不等于０的数乘某个方程； ）以不等于０的数乘某个方程； （以 i × k 替换 i ） （3）一个方程加上另一个方程的 k 倍． ） （以 i + k j 替换 i ）
故方程组无解. 最后一个为矛盾方程组 0 = 2 , 故方程组无解
14
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2 , 线性方程组 L L L L L L a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm .
1 2 × 2
3 4
1 2
3
4
+52 −32
x1 + x 2 − 2 x 3 + x 4 = 4, x2 − x3 + x4 = 0, 2x4 = −6, x4 = −3,
1 2
3
4
5
x1 + x 2 − 2 x 3 + x4 = 4, 1 2 x 2 − x 3 + x4 = 0, 3 2 x4 = −6, 4 x4 = −3, x1 + x 2 − 2 x 3 + x4 = 4, 1 2 x 2 − x 3 + x4 = 0, 3 ↔ 4 3 4 −23 x4 = −3, 4 0= 0, = 回代”的方法求出解： 用“回代”的方法求出解： x1 = x 3 + 4 其中x x = x + 3 其中 3为任意取值 .
则只有零解； 若 r ( A) = n ,则只有零解；
则有非零解. 若 r ( A) < n , 则有非零解.
则必有非零解, 因为此时必 若 m < n , 则必有非零解 , 因为此时必有 r ( A) ≤ m < n . 此时
19
例5
解线性方程组 x1 + x2 + x 3 + x4 + x5 = 0 3 x1 + 2 x2 + x 3 + x4 − 3 x5 = 0 . x2 + 2 x 3 + 2 x4 + 6 x5 = 0 5 x1 + 4 x 2 + 3 x3 + 3 x4 − x5 = 0 解 这是一个齐次线性方程组，且方程个数小于未知 这是一个齐次线性方程组，