3.3 线性方程组的消元解法
第三章 线性方程组
第三章 线性方程组§3.1 线性方程组的矩阵消元解法例3.1 求解线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+45342622321321321x x x x x x x x x解方程组通常采用消元法，比如将第2个方程乘2-加到第1个方程，可消去1x 得到09632=-x x ，将此方程两边除以3，约简可得03232=-x x 。
除了消元和约简，有时还要交换两个方程的位置。
这些变形运算实际上仅在变量的系数之间进行，所以只需将所有的系数和常数项列成一个矩阵，做初等行变换即可。
显然消元、约简和交换方程位置分别相当于矩阵的消去变换、倍缩变换和换行变换。
比如上面对本例的两个具体变形相当于以下矩阵初等行变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534216122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534210960→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534210320 其中第一个变换是第2行乘2-加到第1行，第二个变换是以31乘第1行。
矩阵的初等变换可以使解方程组的过程显得紧凑、快捷、简洁。
下面我们运用初等变换的标准程序（参看§2.4）来解例3.1的线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4115342]1[6122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111990342109]6[0 −→−*⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11]5.5[0005.1103101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210030101001 其中，主元都用“[ ]”号作了标记。
消元与换行可同步进行（如带“*”号的第二步），换行的目的是为了使主元呈左上到右下排列。
最后一个矩阵对应方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++200300100321x x x 实际上已得到方程组的解是11=x ，32=x ，23=x 。
写成列向量()Tx 2,3,1=，叫做解向量。
显然解向量可以从最后一个矩阵右侧的常数列直接读出，无需写出对应的方程组。
第二章曾经把一般的线性方程组（2.2）写成矩阵形式b Ax =，比如例 3.1的线性方程组，写成矩阵形式是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---436115421122x 。
线性方程组的消元法
1.2 消元法与矩阵初等变换的关系
定义
定义 2 设 n 元线性方程组
1( 3 )
2
x1
x 2 x2
2x x3
3
2 2
x3 4
(1) ， (2) ， (3) ，
解得 x3 4 ，x2 6 ，x1 12 ．
系数矩阵是阶梯形矩阵的方程组称为阶梯形方程组。
（4-1）
1.1 消元法
定义
消元法解线性方程组的实质是反复地对方程组进行变换，得到阶梯形方程组．而所作的 变换，也只有以下三种类型．
线性代数
1.1 消元法
例题
例1
2x1 x2 5x3 2
解线性方程组
x1
x2 2x3 2
x1 2x2 x3 4
(1) ， (2) ， (3) ．
解：为了更方便地表达解题过程，可用符号来表示，符号含义如下： (1) (2) 表示交
换方程 (1) 与 (2) ； (2) 2(1) 表示方程 (2) 减去方程 (1) 的 2 倍，类似地， (3) (1) 表示方程 (3)
加方程 (1) ， (3) (2) 表示方程 (3) 减去方程 (2) ； 1 (3) 表示方程 (3) 乘以 1 ．
2
2
消元法解方程组的过程表示如下．
2x1 x2 5x3 2 (1)
x1 x2 2x3 2 (1)
x1
x2 2x3 2
(2) (1)(2) 2x1 x2 5x3 2
线性方程组的消元法
线性方程组的消元法线性方程组的消元法是解决线性方程组的常用方法之一，通过逐步消去未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
本文将详细介绍线性方程组的消元法及其应用。
1. 消元法简介消元法是一种通过逐步消除未知数的系数，将线性方程组转化为更简单形式的方法。
它的基本思想是通过不断的代入与消去操作，将方程组转化为三角形式或最简形式，从而求得方程组的解。
2. 线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为未知数的系数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。
3. 消元法的步骤（1）选取主元：根据方程组的特点，选择一项作为主元，并将其系数置为1，并且使其所在的其他行对应的列的系数皆为0，这样可以简化计算过程并减少误差。
（2）代入消元：选择一个非主元进行代入，将其代入主元所在的其他方程中，从而消去该未知数。
（3）重复步骤（1）和（2），直至将所有的非主元都消去为止。
（4）最后得到一个三角形形式的线性方程组，可以通过回代法求解该方程组的解。
4. 消元法的应用消元法广泛应用于各个领域，特别是在科学和工程领域中具有重要作用。
以下是几个应用实例：（1）经济学中的输入产出模型：通过消元法可以分析不同产业之间的投入产出关系，从而得出经济模型的解释。
（2）物理学中的电路分析：通过消元法可以简化复杂的电路方程组，从而计算出电路中各个节点的电压和电流。
（3）化学反应平衡问题：通过消元法可以解决化学反应平衡过程中的复杂线性方程组，从而得到反应物和生成物的浓度。
5. 总结消元法是一种解决线性方程组的有效方法，通过逐步消除未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
消元法求解线性方程组
消元法求解线性⽅程组
这⾥的消元法，主要是针对矩阵A可逆的情况下(如果A不可逆消元后不好回代)，即线性⽅程组只有唯⼀解的情况下，有多解的情况的解法在后⾯介绍。
其中的⼀种分解⽅法是LU分解。
这种⽅法的优势在于分解结果中L（上三⾓矩阵）和U（下三⾓矩阵）都是三⾓形矩阵，后续运算⽐较简便。
⽽且⼆者恰好相配，使⽤计算机进⾏运算时可以存储在⼀个数组中，节约存储空间。
利⽤A的LU分解解线性⽅程组的过程为将Ax=b等价变形成（LU）x=b，根据结合律有L(Ux)=b，再解Ly=b中的y，最后解Ux=y得到线性⽅程组的解。
Processing math: 100%。
线性方程组的消元解法课件
第七步，消去(8)中的x2，(8)-(10) 得
线性方程组的消元解法
x1 x2 3 (8)
x2 2 (10)
x3 2 (7)
第七步，消去(8)中的x2，(8)-(10) 得
x
1
x2
1 2
x3 2
由此得到了方程组的解。
思考：上述求解过程用到了哪些方法，从而逐步 对原方程组进行消元变简？
对于方程组的加减消元法用到的三种初等变换也只
对增广矩阵进行，反映在矩阵上即为
1、交换矩阵的某两行，记为 ri r j ; 2、用一个非零常数乘矩阵的某一行，记为 k r i ;
3、用一个数乘矩阵的某一行后加到另一行上， 记为 ri k r j .
称此三种变换为矩阵的行初等变换。
线性方程组的消元解法
由于二元一次方程表示平面上的一条直线，所以 将一次方程称为线性方程，将一次方程组称为线性 方程组。
线性方程组的消元解法
线性方程组的一般形式
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn b2
(1)
am1x1 am2x2 amn xn bm
其中有 n 个未知量 x1,x2, ,xn，m 个方程，a ij R (i 1 , ,m ;j 1 , ,n )是未知量的系数，b1, ,bmR 是常数项。
x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
x3 2
1 2
r3
1 0
1 3
2 2
1 2
0 0 1 2
(1)-2×(3)，(2)+2×(3) 得
线性方程组的消元解法
x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法线性方程组的解法：消元法、代入法和高斯消元法线性方程组是数学中的基本概念之一，在现代数学和物理学的研究中有着广泛的应用。
为了求解线性方程组，人们发明了许多方法，其中最常用的有消元法、代入法和高斯消元法。
本文将介绍这三种方法的基本原理和求解步骤，并通过实例对其进行说明。
一、消元法消元法是一种通过逐步消除未知量，从而求解线性方程组的方法。
其基本原理是利用等式变换，逐步消去各个方程中的未知量，直到将方程组化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将含有未知量的项都移动到等式的同一侧，即将线性方程组转化为增广矩阵形式。
2. 选取一个主元素，将该列的其他元素全部变为0，从而消去该列的未知量。
3. 依次选取下一个主元素，直到整个增广矩阵被消元成上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
二、代入法代入法是一种通过将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解未知量的方法。
其基本原理是将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量，不断代入，从而求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量。
2. 将该解代入另一个方程，求解未知量的值。
3. 重复以上步骤，直到求出所有未知量的值。
三、高斯消元法高斯消元法是一种通过矩阵变换，将线性方程组化为上三角形式，从而求解未知量的方法。
其基本原理是利用初等矩阵变换，逐步将增广矩阵化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将矩阵的列向量按递增顺序排列，从左到右依次选取主元素。
2. 利用初等矩阵变换，将每一列的主元素下方元素全部变为0。
3. 重复以上步骤，直到整个增广矩阵被化为上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
举例说明：考虑以下线性方程组：x + 2y – z = 92x – y + 3z = –33x + y + 4z = 12采用消元法求解：将该方程组转化为增广矩阵形式：1 2 –1 | 92 –13 | –33 14 | 12选取主元素1，将第2行乘以2减去第1行，将第3行乘以3减去第1行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 –5 7 | –15选取主元素–5，将第3行减去第2行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 0 2 | 6将该矩阵化为上三角形式，然后采用回代方法，求得：x = 2y = –3z = 3同样的，采用代入法或高斯消元法也能求解出相同的结果。
线性方程组的解法(代入消元法)
线性方程组的解法(代入消元法)引言线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组的方法有很多种。
其中，代入消元法是一种比较常用且简单的解法。
本文将介绍代入消元法的原理和步骤，以及具体的示例。
原理代入消元法的基本思想是：将一个方程的解代入到其他方程中，通过逐步消去未知数的方法求得最终的解。
这种方法适用于方程组的规模较小的情况。
步骤代入消元法的步骤如下：1. 确定方程组的个数和未知数的个数，假设方程组有n个方程和n个未知数。
2. 选择一个方程作为基本方程，将其化简为只含有一个未知数的形式。
3. 将已知方程的解代入到其他方程中，并逐步消去未知数。
4. 重复步骤2和步骤3，直到最后一个未知数的解求得。
5. 将求得的未知数的值代入到其他方程中，验证解是否正确。
示例假设有如下线性方程组：2x + y = 53x - 2y = -4我们可以选择第一个方程作为基本方程，将其化简为只含有一个未知数的形式：y = 5 - 2x然后，将y的值代入到第二个方程中：3x - 2(5 - 2x) = -4通过展开和合并同类项的运算，得到：7x - 10 = -4继续化简，得到：7x = 6解得x的值为x = 6/7。
将x的值代入到第一个方程中，得到：2(6/7) + y = 5y = 5 - 12/7化简，得到：y = 23/7因此，线性方程组的解为x = 6/7，y = 23/7。
结论代入消元法是一种简单而有效的解线性方程组的方法。
通过选择一个方程作为基本方程，并逐步代入其他方程中消去未知数，最终可以求得方程组的解。
在实际应用中，代入消元法常用于解决线性方程组个数较少的情况。
以上是关于线性方程组的解法(代入消元法)的介绍，希望对你有所帮助。
第一节 线性方程组的消元解法
解
用消元法
2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 9 3 x1 + 2 x2 + 9 x3 = 19 x1 + x2 + 2 x3 = 4 x1 + x2 + 2 x3 = 4 ①,③ 3 x + 2 x + 9 x = 19 1 2 3 互换 2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 9 x1 + x2 + 2 x3 = 4 − x + 3x = 7 2 3 −17 x3 = −34
(-3)①+② 3)① (-2)①+③ 2)①
x1 + x2 + 2 x3 = 4 (-5)②+③ 5)② − x2 + 3 x3 = 7 −5 x 2 − 2 x 3 = 1
阶梯形方程组
x1 + x 2 + 2x 3 = 4
− x 2 + 3x 3 = 7 −17x 3 = −34
− 1 ③ 17
x1 + x 2 + 2x 3 = 4 − x 2 + 3x 3 = 7 x3 = 2 =0 =1
x3 = 2
阶梯形方程组
(-3)③+② 3)③ (-2)③+① 2)③
x1 + x 2 − x2
x1
=1 x2 = −1
x3 = 2
简化阶梯形矩阵每个1对应的未知量为非自由未知量其余的为自由未知量令自由未知量为任意常数将非自由未知量用自由未知量表示出来就得到方程的全部解
第三章
线性方程组
克莱姆法则
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a11 a12 a1n
x1
b1
A=
a21
a22 a2n
， x=
x2
， b=
b2
。
am1 am2 amn
xn
bm
A、x、b分别称为方程组的系数矩阵、n元未知列向量、
常数项列向量。
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一、线性方程组的矩阵表示：
n元线性方程组
第四步，写出方程组的解。
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例2．解线性方程组
x1 + 5x2 - 5x3 - x4 =- 1 x1 + 6x2 - 2x3 - 3x4 =- 3 。 x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 3 x1 + x2 + 3x3 + 7x4 = 7
1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
11377
1 5 -1 -1 -1
0 1 -1 -2 -2 0 -2 2 4 4
0 -4 4 8 8
1 5 -1 -1 -1
0 1 -1 -2 -2 00000
00000
10499 0 1 -1 -2 -2 ，
00000 00000
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例2．解线性方程组
（2）有唯一解 R (A )=R (A ,b)=n; （3）有无穷多解 R (A )=R (A ,b)n.
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解线性方程组的一般步骤： 第一步，对增广矩阵施以初等行变换，化成
行阶梯形矩阵； 第二步，根据定理3判断方程组是否有解； 第三步，如果方程组有解，则对上述行阶梯
形矩阵继续施以初等行变换，化成行最简形矩阵；
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
+ + - =
am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中
矩阵
a11 a12 a1n b1
—r1—r2
1 -2 4 3 3 -5 14 12
-1 4 1 5
r2-3r1 —r—3+r1
1 -2 01
4 2
3 3
0258
r3-2r2 1 -2 4 3 —— 0 1 2 3
0012
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r1 + 2 r2 1 0 8 9 r1 - 8 r3 1 0 0 - 7
x1 + 5x2 - 5x3 - x4 =- 1 x1 + 6x2 - 2x3 - 3x4 =- 3 。 x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 3 x1 + x2 + 3x3 + 7x4 = 7
1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
11377
10499
0 1 0 0 4
0 0
0 0
0 0
1 0
-2 0
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例1．解线性方程组
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3
。
- x1+4x2+ x3= 5
解：
—r1—r2 —rr2—3-+3rr11
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5
0 0
1 0
2 1
3 2
r2 - 2 r3
0 0
1 0
0 1
-1 2
故方程组的解为
x1 x2
= =
-7 -1.
x 3 = 2
1 -2 4 3 0123 0012
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线性方程组解的判定定理：
定理3：n元线性方程组Ax=b
（1）无解 R(A)R(A,b);
0 0
(A b)=
a21
a22
a2n
b2
am1 am2 amn bm
称为线性方程组的增广矩阵。
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一、线性方程组的矩阵表示：
n元线性方程组 a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中
方程组Ax=o 称为n元齐次线性方程组，Ax=b(bo)称为n 元非齐次线性方程组。
问答练习
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定义：若A是行阶梯形矩阵，并且还满足：（1）非零 行的首非零元为1；（2）首非零元所在列的其它元全为0。
则称A为行最简形矩阵。（见教材P47）
例如： 1 0 0 0 7
x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
于是得到
x3=2， x2 =3-2x3 =-1， x1=3+2x2-4x3=-7。
方程组的解为
x1=x2=-
7 1。
x3= 2
—r3-—2r2
x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
—r3-—2r2
x1
-2x2+4x3 x2+2x3
= =
3 3，
x3 = 2
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3 -5 14 12
(A b)= 1 -2 4 3 -1 4 1 5
一、线性方程组的矩阵表示：
n元线性方程组
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
+ + - =
am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中
x1
-2x2+4x3 x2+2x3
= =
3 3，
x3 = 2
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求解过程与矩阵的初等行变换：
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组
的增广矩阵施以初等行变换的过程。
解：
+3ห้องสมุดไป่ตู้1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3
- x1+4x2+ x3= 5
—r1—r2 —rr2—3-+3rr11