3.1___线性方程组的消元解法
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第三章 线性方程组
第三章 线性方程组§3.1 线性方程组的矩阵消元解法例3.1 求解线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+45342622321321321x x x x x x x x x解方程组通常采用消元法，比如将第2个方程乘2-加到第1个方程，可消去1x 得到09632=-x x ，将此方程两边除以3，约简可得03232=-x x 。
除了消元和约简，有时还要交换两个方程的位置。
这些变形运算实际上仅在变量的系数之间进行，所以只需将所有的系数和常数项列成一个矩阵，做初等行变换即可。
显然消元、约简和交换方程位置分别相当于矩阵的消去变换、倍缩变换和换行变换。
比如上面对本例的两个具体变形相当于以下矩阵初等行变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534216122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534210960→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534210320 其中第一个变换是第2行乘2-加到第1行，第二个变换是以31乘第1行。
矩阵的初等变换可以使解方程组的过程显得紧凑、快捷、简洁。
下面我们运用初等变换的标准程序（参看§2.4）来解例3.1的线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4115342]1[6122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111990342109]6[0 −→−*⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11]5.5[0005.1103101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210030101001 其中，主元都用“[ ]”号作了标记。
消元与换行可同步进行（如带“*”号的第二步），换行的目的是为了使主元呈左上到右下排列。
最后一个矩阵对应方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++200300100321x x x 实际上已得到方程组的解是11=x ，32=x ，23=x 。
写成列向量()Tx 2,3,1=，叫做解向量。
显然解向量可以从最后一个矩阵右侧的常数列直接读出，无需写出对应的方程组。
第二章曾经把一般的线性方程组（2.2）写成矩阵形式b Ax =，比如例 3.1的线性方程组，写成矩阵形式是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---436115421122x 。
线性方程组
这三种变换被称为矩阵的初等行变换。
第三章 线性方程组
定理:线性方程组的初等变换把一个线性方程组变为一个 与它同解的线性方程组。
由方程组未知量系数按原来的顺序组成的矩阵，称为方程 组的系数矩阵，记为A。由方程组未知量系数和常数组成的矩 阵称为方程组的增广矩阵，记为 A 。
a11 a21 A as1
5 0 1 3 6 5 0 1 3 6 0 7 16 12 1 0 7 16 12 1 0 0 0 0 14 32 24 7 0 5
故原方程组无解。
第三章 线性方程组
例2. 解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1, 4 x1 2 x2 5 x3 4, 2 x x 2 x 5. 3 1 2
第三章 线性方程组
例1 解方程组
5 x1 x2 2 x3 x4 7 2 x1 x2 4 x3 2 x4 1 x 3x 6 x 5 x 0 2 3 4 1
解
1 7 5 1 2 0 14 32 24 7 4 2 1 0 7 16 12 1 2 1 1 3 6 5 0 1 3 6 5 0
第三章
线性方程组
§3.1 消元法
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 对一般线性方程组 as1 x1 as 2 x2 asn xn bs .
a11
| A |
a12 a 22
a1n a 2n
a 21 a n1
W084线性代数-3.1 线性方程组的消元解法
解线性方程组
2x1 x1
2x2 2x2
x3 4x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
解
2x1 x1
2x2 2x2
4
x3 x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
2
x1
2x2 3x2
(9
/
x3 2)x3
6 0
2x2 (7 / 2)x3 13
2
x1
2x2 3x2
0 0 1 2
可以看出用消元法解线性方程组的过程 实质上就是对
该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程 解线性方程组
时 为了书写简便 只写出方程组的增广矩阵的变换过程即可
2x1
2x2 3x2
8 9
x3 2
2
x1
2
x2 x2
8 3
x3 2
2x1
x2
2 3
x3 2
xxx121 x3
233
0001
5 1 0 0
1 1 0 0
1 2
0 0
0021
0001
1 1 0 0
2 1 6 0
3 4
3 0
2911
都是阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中 每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边 则称该矩阵为阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中 每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零 元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边 则称该矩阵为阶梯形矩阵
如果阶梯形矩阵的每一非零行的第一个非零元素为1 且
高等代数§3.1 消元法
ai 1 对任意 2 i s, 将 1 ( ) i ,得 a11 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a22 x2 a2 n xn b2 a 2 x2 a xn bs s sn
解集合是空集时方程组的解平面直线的交点方程组的解集空间平面的交集直线平行相交重合解的个数01无穷平面平行相交重合解的个数0无穷无穷4同解的线性方程组定义如果两个线性方程组有相同的解集则称它们是同解的
§3.1 消元法
一、一般线性方程组的基本概念 1、一般线性方程组 定义 一般线性方程组是指形式为
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 (1) a s1 x1 a s 2 x2 a sn xn bs 的方程组，其中 x1 , x2 , , xn代表 n 个未知量；
1 2
(1)
s
(1) 若 ai 1 0( i 1, , s ), 则原方程组对 x1无限制,
即 x1可取任意值.从而方程组可以看作是 x2 , , x s 的方程组来解．
(2) 若 a11 , a21 , , as1 不全为0, 利用互换变换可使 第一个方程中 x1 的系数不为0.
可不妨设 a11 0.
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换
（1）交换方程次序；
（2）以不等于0的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍．
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) 若( A) 若( A)
i i i
j
3.1线性代数方程组的解法——列主元高斯消去算法讲解
当方程组阶数较高时，计算量很大，因此克莱姆法则通 常仅有理论上的应用价值，计算线性方程组的解还要考 虑数值解法。
求解线性方程组的数值方法分为直接解法和迭代解法：
直接解法 若计算过程没有舍入误差，经过有限次算术 运算就能求出方程组（1）精确解的数值方法。
迭代解法 若计算过程没有舍入误差，也不能经过有限 次算术运算求得方程组（1）的精确解，而只能是逐步 逼近的数值方法。
①交换矩阵的两行； ②某一行乘以一个非零的数； ③某一行乘以一个数，加到另一行。
消去法 就是对增广矩阵作上述行变换，化为可以直接求解的
3种方程之一，而后求解。
思 Gauss消去法就是先将(1)的系数矩阵A化为上三角阵， 路: 再回代求解。
School of Math. & Phys.
6
North China Elec. P.U.
1 2 3 14
r3 5r2
0 1
4
10
0 0 24 72
x3
72
24
3
1
x2
(10
4x3 ) 1
2
x1
(14
2x2
3x3 ) 1
1
x 2 3
下面看求解n元线性方程组的一般过程，
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9
North China Elec. P.U.
Mathematical Methods & its Applications 2020/8/13
Mathematical Methods & its Applications 2020/8/13
线性方程组的解法
考虑如下线性方程组
a11
大学文科数学3-1 线性方程组的消元解法ppt
我们在中学已经学过它的解法，但是实际问题中会 遇到未知量个数和方程个数都很多的一次方程组， 且未知量个数和方程个数未必相同。 由于二元一次方程表示平面上的一条直线，所以 将一次方程称为线性方程，将一次方程组称为线性 方程组。
文科数学
线性方程组的一般形式 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求
解，仍以例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。
文科数学
例1
求解线性方程组
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置 1
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1， (1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
文科数学
(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
文科数学
本章的主要内容
1、线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
文科数学
增广矩阵可以看成线性方程组的简便写法，因此 对于方程组的加减消元法用到的三种初等变换也只 对增广矩阵进行，反映在矩阵上即为 1、交换矩阵的某两行，记为 ri rj ; 2、用一个非零常数乘矩阵的某一行，记为 k ri ; 3、用一个数乘矩阵的某一行后加到另一行上， 记为 ri k 解线性方程组的这一思路，反映了 一般线性方程组的求解规律。 思考：方程组的解和未知量符号有没有关系？
那和什么有关呢？
没有
文科数学
线性方程组的一般形式 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求
解，仍以例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。
文科数学
例1
求解线性方程组
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置 1
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1， (1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
文科数学
(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
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本章的主要内容
1、线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
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增广矩阵可以看成线性方程组的简便写法，因此 对于方程组的加减消元法用到的三种初等变换也只 对增广矩阵进行，反映在矩阵上即为 1、交换矩阵的某两行，记为 ri rj ; 2、用一个非零常数乘矩阵的某一行，记为 k ri ; 3、用一个数乘矩阵的某一行后加到另一行上， 记为 ri k 解线性方程组的这一思路，反映了 一般线性方程组的求解规律。 思考：方程组的解和未知量符号有没有关系？
那和什么有关呢？
没有
第三章-线性方程组
则Ax = 0的通解就可以表示成
=k11+k22+…+kss,
其中k1, k2, …, ks为常数. 结构式通解
第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
定理3.2. 设ARmn, 秩(A) = r. (1) 若r = n, 则Ax = 0没有基础解系;
(2) 若r < n, 则Ax = 0确有基础解系, 且任
Ax = b.
am1x1+am2x2+…+amnxn = bm
解向量(solution vector), 解集(solution set),
同解(having the same set of solutions)
第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
a11 a12 … a1n
称A =
第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
与Ax = 0的基础解系等价的线性无关向量组 也是Ax = 0的基础解系.
定理3.3. 若A Rmn, 秩(A) = r, 则Ax = 0的任意 nr个线性无关的解向量都是Ax = 0的 基础解系.
例4. 证明: (1) Ax = 0与(ATA)x = 0同解; (2) 秩(ATA) = 秩(A).
§3.2 齐次线性方程组
Ax = 0的解集 V = { Rn | A = 0}
构成一个向量空间 ——Ax = 0的解空间.
三. 基础解系
(space of solutions)
齐次线性方程组Ax = 0的解空间的基称为
该齐次线性方程组的基础解系.
若1, 2, …, s是Ax = 0的一个基础解系,
(3.1)
am1x1+am2x2+…+amnxn = bm
=k11+k22+…+kss,
其中k1, k2, …, ks为常数. 结构式通解
第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
定理3.2. 设ARmn, 秩(A) = r. (1) 若r = n, 则Ax = 0没有基础解系;
(2) 若r < n, 则Ax = 0确有基础解系, 且任
Ax = b.
am1x1+am2x2+…+amnxn = bm
解向量(solution vector), 解集(solution set),
同解(having the same set of solutions)
第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
a11 a12 … a1n
称A =
第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
与Ax = 0的基础解系等价的线性无关向量组 也是Ax = 0的基础解系.
定理3.3. 若A Rmn, 秩(A) = r, 则Ax = 0的任意 nr个线性无关的解向量都是Ax = 0的 基础解系.
例4. 证明: (1) Ax = 0与(ATA)x = 0同解; (2) 秩(ATA) = 秩(A).
§3.2 齐次线性方程组
Ax = 0的解集 V = { Rn | A = 0}
构成一个向量空间 ——Ax = 0的解空间.
三. 基础解系
(space of solutions)
齐次线性方程组Ax = 0的解空间的基称为
该齐次线性方程组的基础解系.
若1, 2, …, s是Ax = 0的一个基础解系,
(3.1)
am1x1+am2x2+…+amnxn = bm
高等代数第3章线性方程组
第 3 章
3.1 消元法
线性方程组
3.1.1 高斯消元法及矩阵表示 3.1.2 矩阵表示 3.1.3 一般情形
3.1.1 高斯消元法
分析：用消元法解下列方程组的过程． 分析：用消元法解下列方程组的过程． 引例 求解线性方程组
2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, x + x − 2 x + x = 4, 1 2 3 4 4 x1 − 6 x2 + 2 x3 − 2 x4 = 4, 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9,
1 2
3
4 1 2
3
3
4
↔4 −23
4
用“回代”的方法求出解： 回代”的方法求出解：
x1 = x3 + 4 x2 = x3 + 3 其中 为任意取值 . 其中x3 于是解得 x = −3 4
或令x3 = c , 方程组的解可记作
x1 = c + 4 x = c + 3 2 x3 = c x 4 = −3
阶 矩 : 行 梯 阵
（1）元素全为0的行全在下方； 元素全为0的行全在下方； 行的第一个非0元素的 （2）对于非零行，第i+1行的第一个非 元素的 对于非零行， 行的第一个非 列标大于第i行的第一个非 行的第一个非0元素的列标 列标大于第 行的第一个非 元素的列标
1 0 0 0 1 −2 1 4 1 −1 1 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0
3.1.3 一般情形
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 LLLLLLLLLLLL a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm
3.1 消元法
线性方程组
3.1.1 高斯消元法及矩阵表示 3.1.2 矩阵表示 3.1.3 一般情形
3.1.1 高斯消元法
分析：用消元法解下列方程组的过程． 分析：用消元法解下列方程组的过程． 引例 求解线性方程组
2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, x + x − 2 x + x = 4, 1 2 3 4 4 x1 − 6 x2 + 2 x3 − 2 x4 = 4, 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9,
1 2
3
4 1 2
3
3
4
↔4 −23
4
用“回代”的方法求出解： 回代”的方法求出解：
x1 = x3 + 4 x2 = x3 + 3 其中 为任意取值 . 其中x3 于是解得 x = −3 4
或令x3 = c , 方程组的解可记作
x1 = c + 4 x = c + 3 2 x3 = c x 4 = −3
阶 矩 : 行 梯 阵
（1）元素全为0的行全在下方； 元素全为0的行全在下方； 行的第一个非0元素的 （2）对于非零行，第i+1行的第一个非 元素的 对于非零行， 行的第一个非 列标大于第i行的第一个非 行的第一个非0元素的列标 列标大于第 行的第一个非 元素的列标
1 0 0 0 1 −2 1 4 1 −1 1 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0
3.1.3 一般情形
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 LLLLLLLLLLLL a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm
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引例 用消元法解下列线性方程
2 x1 2 x2 x3 6 x1 2 x2 4 x3 3 5 x 7 x x 28 2 3 1
2 x1 2 x2 x3 6 x1 2 x2 4 x3 3 ① 5 x 7 x x 28 2 3 1 2 x1 2 x2 x3 6 ② 3 x2 (9 / 2) x3 0 2 x (7 / 2) x 13 2 3
如此继续下出,则可求出其它未知量,得到它的唯一解. 从而方程组(1)有唯一解.
情形3
c11 x1 c12 x2 c1r xr d1 c1r 1xr 1 c1n xn c22 x2 c2 r xr d 2 c2r 1xr 1 c2n xn crr xr d r crr 1 xr 1 crn xn
A称为方程组的系数矩阵, b称为常数项矩阵, x为n元未知量矩阵.
把方程组的系数矩阵A与常数项矩阵b放在一起构成的 矩阵
a11 a21 ( Ab) am1
a12 a22
am1
a1n b1 a2 n b2 amn bm
称为线性方程组的增广矩阵.
任一线性方程组经若干线性方程组的初等变换后 得到的方程组与原方程组同解. 将一个线性方程组的增广矩阵施行一系列初等行 变换后得到的矩阵作为增广矩阵的线性方程组与 原方程组同解.
线性方程组的增广矩阵经一系列初等行变换可化为下述 阶梯形矩阵
c11 0 0 0 0 0
总结如下：
1) r ( A) r ( A, b) n当且仅当Ax b有唯一解； 2) r ( A) r ( A, b) n当且仅当Ax b有无穷多解； 3) r ( A) r ( A, b)当且仅当Ax b无解； 4) r ( A) n当且仅当Ax 0只有零解； 5) r ( A) n当且仅当Ax 0有非零解.
消元过程就是对方程组重复三种变换： 1）变换某两个方程的位置； 2）用一个非零的数乘某一个方程的两边； 3）将一个方程的倍数加到另一个方程上去. 这三种变换称为线性方程组的初等变换. 消元法的过程就是用初等变换将方程组化为阶梯形方程 组的过程，也就是将对应矩阵化为阶梯形矩阵的过程. 注意： 消元过程不唯一，阶梯形方程组也不唯一.
⑤
⑥
⑦
⑦
⑧
⑧
⑤～ ⑧称为回代过程.
从上面的例子可得到如下启示： 用消元法解三元线性方程组的过程，相当于对该方程 组的系数与右端的常数项按对应的位置构成的矩阵作 初等行变换.
那么对一般的线性方程组是否有同样的结论呢？ 答案是肯定的！
由前面的例子可以看出, 用消元法解线性方程组的过程, 实质上就是对该方程组的增广矩阵施以仅限于行的初等 变换(称为初等行变换)的过程. 解线性方程组时, 为了书 写简明, 只写出方程组的增广矩阵的变换过程即可. 对方程组的增广矩阵施以行初等变换, 相当于把原方程 组变换成一个新方程组.
(2)
情形1 (2)式中dr+10. 方程组(2)是一个矛盾方程组, (2)无解.因此线性方程组(1)也无解. 情形2 (2)式中dr+1=0并且r=n.(2)为
c11 x1 c12 x2 c1n xn d1 c22 x2 c2 n xn d 2 cnn xn d n 从最后一个方程解出 xn ,再代入第n-1个方程求出xn 1
2 x1 2 x2 x3 6 3 x2 (9 / 2) x3 0④ x3 2
2 1 6 ③ 3 9/2 0 0 13 / 2 13 2 1 3 9/2 0 1 6 0 2
④
通常把过程①～ ④称为消元过程，矩阵④是阶梯形 矩阵，与之对应的方程组④则称为阶梯形方程组.
(2)式中dr+1=0并且rn. 与(1)同解的方程组为
解线性方程组的步骤是: 用初等行变换化方程组的 增广矩阵为阶梯形矩阵, 根据dr+1不等于零或等于零 判断原方程组是否有解. 如果dr+10, 则有r(A)=r, 而r(A b)=r+1, 即r(A)r(A b), 此时方程组无解; 如果dr+1=0, 则有r(A)=r(A b)=r, 此时方程组有解. 当r=n时, 有唯一解; 当r<n时, 有无穷多解. 然后, 回代求出解. 由以上讨论可得出以下定理.
作业
习题3 P157页 1.(1)(3) 2.(4)
c12 c22 0 0 0 0
c1r c2 r crr 0 0 0
c1r 1 c2 r 1 crr 1 0 0 0
c1n |
c2 n | | crn | 0 | 0 | 0 |
|
d1 d2 dr d r 1 0 0
小 结
• 1) r ( A) r ( A, b) n当且仅当Ax b有唯一解；
2) r ( A) r ( A, b) n当且仅当Ax b有无穷多解； 3) r ( A) r ( A, b)当且仅当Ax b无解； 4) r ( A) n当且仅当Ax 0只有零解； 5) r ( A) n当且仅当Ax 0有非零解.
定理3.1 线性方程组AX=b有解的充分必要条件是: r(A b)=r(A). 且当r(A b)=n时有唯一解; 当r(A解线性方程组 x1 5 x2 x3 x4 1 x 2 x x 3x 3 1 2 3 4 3 x1 8 x2 x3 x4 1 x1 9 x2 3 x3 7 x4 7 例3 解线性方程组
2 1 5 2 0 0 2 0 0 2 0 0
2 2 7 2 3 2
1 6 4 3 1 28
①
1 6 ② 9/2 0 7 / 2 13
2 x1 2 x2 x3 6 3 x2 (9 / 2) x3 0③ 13 2 x3 13
上述齐次方程组恒有解, 因为它至少有零解. 由定理3.1 可知, 当r(A)=n时，它只有零解; 当r(A)<n时, 它有无穷 多个解, 即除零解外还有非零解. 定理3.2 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是: r(A)<n.
推论
当m<n时, 齐次线性方程组有非零解.
例5 解齐次线性方程组
x1 x2 5 x3 x4 0 x x 2 x 3x 0 1 2 3 4 3 x1 x2 8 x3 x4 0 x1 3 x2 9 x3 7 x4 0
有唯一解？无解？有无穷多解？当方程组有解时， 求出它的解.
当线性方程组中的常数项均为零时, 这样的线性 方程组称为齐次线性方程组, 其一般形式为
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am1 x1 am 2 x2 amn xn 0
线性方程组的求解方法： 1）对齐次线性方程组，将系数矩阵化为行最简形矩阵， 便可直接写出其全部解； 2）对非齐次线性方程组，将增广矩阵化为行阶梯形， 便可直接判断其是否有解，若有解，化为行最简形， 便可直接写出其全部解.其中要注意，当r(A)=r(A,b)=r<n 时，(A,b)的行阶梯形含有r个非零行，把这r行的第一个非 零元对应的未知量作为非自由未知量，其余的n-r个作为 自由未知量.
的求解问题. 方程组的矩阵形式为 AX=b
(1)
其中
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n x1 a2n x2 x a mn
xn
b1 b2 b b m
其中
cii 0, i 1, 2,r
与原方程组同解的阶梯形方程组为
c11 x1 c12 x2 c1r xr c1r 1 xr 1 c1n xn d1 c22 x2 c2 r xr c2 r 1 xr 1 c2 n xn d 2 crr xr crr 1 xr 1 crn xn d r 0 d r 1 00 00
2 x1 2 x2 8 3 x2 9 ⑤ x3 2 2 x1 2 x2 8 x2 3 ⑥ x3 2 2 2 x1 x2 3 x3 2 x1 1 x2 3 x 2 3
第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组的消元解法
考虑一般的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn b1
变元xr+1, xr+2, …, xn任意取一组值：sr+1, sr+2, …, sn, 此 时应用情形2, 可得变元x1, x2, …, xr确定的一组值: s1, s2, …, sr, 并且, (s1, s2, …, sr, sr+1, sr+2, …, sn)为方程组 (1)的一个解. 再由变元xr+1, xr+2, …, xn的任意性, 方 程组(1)有无穷多个解.
2 2 0 8 0 3 0 9 0 0 1 2 2 2 0 8 0 1 0 3 0 0 1 2 2 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 2 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 2
2 x1 2 x2 x3 6 x1 2 x2 4 x3 3 5 x 7 x x 28 2 3 1
2 x1 2 x2 x3 6 x1 2 x2 4 x3 3 ① 5 x 7 x x 28 2 3 1 2 x1 2 x2 x3 6 ② 3 x2 (9 / 2) x3 0 2 x (7 / 2) x 13 2 3
如此继续下出,则可求出其它未知量,得到它的唯一解. 从而方程组(1)有唯一解.
情形3
c11 x1 c12 x2 c1r xr d1 c1r 1xr 1 c1n xn c22 x2 c2 r xr d 2 c2r 1xr 1 c2n xn crr xr d r crr 1 xr 1 crn xn
A称为方程组的系数矩阵, b称为常数项矩阵, x为n元未知量矩阵.
把方程组的系数矩阵A与常数项矩阵b放在一起构成的 矩阵
a11 a21 ( Ab) am1
a12 a22
am1
a1n b1 a2 n b2 amn bm
称为线性方程组的增广矩阵.
任一线性方程组经若干线性方程组的初等变换后 得到的方程组与原方程组同解. 将一个线性方程组的增广矩阵施行一系列初等行 变换后得到的矩阵作为增广矩阵的线性方程组与 原方程组同解.
线性方程组的增广矩阵经一系列初等行变换可化为下述 阶梯形矩阵
c11 0 0 0 0 0
总结如下：
1) r ( A) r ( A, b) n当且仅当Ax b有唯一解； 2) r ( A) r ( A, b) n当且仅当Ax b有无穷多解； 3) r ( A) r ( A, b)当且仅当Ax b无解； 4) r ( A) n当且仅当Ax 0只有零解； 5) r ( A) n当且仅当Ax 0有非零解.
消元过程就是对方程组重复三种变换： 1）变换某两个方程的位置； 2）用一个非零的数乘某一个方程的两边； 3）将一个方程的倍数加到另一个方程上去. 这三种变换称为线性方程组的初等变换. 消元法的过程就是用初等变换将方程组化为阶梯形方程 组的过程，也就是将对应矩阵化为阶梯形矩阵的过程. 注意： 消元过程不唯一，阶梯形方程组也不唯一.
⑤
⑥
⑦
⑦
⑧
⑧
⑤～ ⑧称为回代过程.
从上面的例子可得到如下启示： 用消元法解三元线性方程组的过程，相当于对该方程 组的系数与右端的常数项按对应的位置构成的矩阵作 初等行变换.
那么对一般的线性方程组是否有同样的结论呢？ 答案是肯定的！
由前面的例子可以看出, 用消元法解线性方程组的过程, 实质上就是对该方程组的增广矩阵施以仅限于行的初等 变换(称为初等行变换)的过程. 解线性方程组时, 为了书 写简明, 只写出方程组的增广矩阵的变换过程即可. 对方程组的增广矩阵施以行初等变换, 相当于把原方程 组变换成一个新方程组.
(2)
情形1 (2)式中dr+10. 方程组(2)是一个矛盾方程组, (2)无解.因此线性方程组(1)也无解. 情形2 (2)式中dr+1=0并且r=n.(2)为
c11 x1 c12 x2 c1n xn d1 c22 x2 c2 n xn d 2 cnn xn d n 从最后一个方程解出 xn ,再代入第n-1个方程求出xn 1
2 x1 2 x2 x3 6 3 x2 (9 / 2) x3 0④ x3 2
2 1 6 ③ 3 9/2 0 0 13 / 2 13 2 1 3 9/2 0 1 6 0 2
④
通常把过程①～ ④称为消元过程，矩阵④是阶梯形 矩阵，与之对应的方程组④则称为阶梯形方程组.
(2)式中dr+1=0并且rn. 与(1)同解的方程组为
解线性方程组的步骤是: 用初等行变换化方程组的 增广矩阵为阶梯形矩阵, 根据dr+1不等于零或等于零 判断原方程组是否有解. 如果dr+10, 则有r(A)=r, 而r(A b)=r+1, 即r(A)r(A b), 此时方程组无解; 如果dr+1=0, 则有r(A)=r(A b)=r, 此时方程组有解. 当r=n时, 有唯一解; 当r<n时, 有无穷多解. 然后, 回代求出解. 由以上讨论可得出以下定理.
作业
习题3 P157页 1.(1)(3) 2.(4)
c12 c22 0 0 0 0
c1r c2 r crr 0 0 0
c1r 1 c2 r 1 crr 1 0 0 0
c1n |
c2 n | | crn | 0 | 0 | 0 |
|
d1 d2 dr d r 1 0 0
小 结
• 1) r ( A) r ( A, b) n当且仅当Ax b有唯一解；
2) r ( A) r ( A, b) n当且仅当Ax b有无穷多解； 3) r ( A) r ( A, b)当且仅当Ax b无解； 4) r ( A) n当且仅当Ax 0只有零解； 5) r ( A) n当且仅当Ax 0有非零解.
定理3.1 线性方程组AX=b有解的充分必要条件是: r(A b)=r(A). 且当r(A b)=n时有唯一解; 当r(A解线性方程组 x1 5 x2 x3 x4 1 x 2 x x 3x 3 1 2 3 4 3 x1 8 x2 x3 x4 1 x1 9 x2 3 x3 7 x4 7 例3 解线性方程组
2 1 5 2 0 0 2 0 0 2 0 0
2 2 7 2 3 2
1 6 4 3 1 28
①
1 6 ② 9/2 0 7 / 2 13
2 x1 2 x2 x3 6 3 x2 (9 / 2) x3 0③ 13 2 x3 13
上述齐次方程组恒有解, 因为它至少有零解. 由定理3.1 可知, 当r(A)=n时，它只有零解; 当r(A)<n时, 它有无穷 多个解, 即除零解外还有非零解. 定理3.2 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是: r(A)<n.
推论
当m<n时, 齐次线性方程组有非零解.
例5 解齐次线性方程组
x1 x2 5 x3 x4 0 x x 2 x 3x 0 1 2 3 4 3 x1 x2 8 x3 x4 0 x1 3 x2 9 x3 7 x4 0
有唯一解？无解？有无穷多解？当方程组有解时， 求出它的解.
当线性方程组中的常数项均为零时, 这样的线性 方程组称为齐次线性方程组, 其一般形式为
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am1 x1 am 2 x2 amn xn 0
线性方程组的求解方法： 1）对齐次线性方程组，将系数矩阵化为行最简形矩阵， 便可直接写出其全部解； 2）对非齐次线性方程组，将增广矩阵化为行阶梯形， 便可直接判断其是否有解，若有解，化为行最简形， 便可直接写出其全部解.其中要注意，当r(A)=r(A,b)=r<n 时，(A,b)的行阶梯形含有r个非零行，把这r行的第一个非 零元对应的未知量作为非自由未知量，其余的n-r个作为 自由未知量.
的求解问题. 方程组的矩阵形式为 AX=b
(1)
其中
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n x1 a2n x2 x a mn
xn
b1 b2 b b m
其中
cii 0, i 1, 2,r
与原方程组同解的阶梯形方程组为
c11 x1 c12 x2 c1r xr c1r 1 xr 1 c1n xn d1 c22 x2 c2 r xr c2 r 1 xr 1 c2 n xn d 2 crr xr crr 1 xr 1 crn xn d r 0 d r 1 00 00
2 x1 2 x2 8 3 x2 9 ⑤ x3 2 2 x1 2 x2 8 x2 3 ⑥ x3 2 2 2 x1 x2 3 x3 2 x1 1 x2 3 x 2 3
第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组的消元解法
考虑一般的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn b1
变元xr+1, xr+2, …, xn任意取一组值：sr+1, sr+2, …, sn, 此 时应用情形2, 可得变元x1, x2, …, xr确定的一组值: s1, s2, …, sr, 并且, (s1, s2, …, sr, sr+1, sr+2, …, sn)为方程组 (1)的一个解. 再由变元xr+1, xr+2, …, xn的任意性, 方 程组(1)有无穷多个解.
2 2 0 8 0 3 0 9 0 0 1 2 2 2 0 8 0 1 0 3 0 0 1 2 2 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 2 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 2