10质点动力学基本方程
理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件

质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ,其质量为 m ,作 用其上的力有 F1,F2,…, Fn, 合力为 FR ,根据牛顿第二定律, 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式:
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
(惯性定律)
d mv F dt
3、牛顿第三定律 (作用与反作用定律)
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解:3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 : 现在是已知运动,要求力,属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时,可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时,可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题:
若已知运动求作用力,则称为动力学第一类问题;
若已知作用力求运动,则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
《理论力学》思考题及习题

《理论力学》思考题及习题宁夏大学机械工程学院技术基础部使用教材:理论力学(Ⅰ).哈尔滨工业大学理论力学教研室,第六版.北京:高等教育出版社.说明:以下各章的思考题及习题的页码和题号均以“哈工大”第六版《理论力学》教材为准。
静力学第一章静力学公理和物体的受力分析思考题:1.合矢与合力概念相同吗?2.几何法求合矢时,分矢与合矢怎样区别?3.力沿任意两个轴分解时的两个分力与力向该二轴的投影大小是否相同?4.二力平衡与作用力、反作用力的概念有什么不同?5.二力杆或二力构件的受力特点是什么?6.不计重力但作用有力偶的杆是二力杆吗?7.三力平衡汇交时怎样确定第三个力的作用线方向?8.画受力图的一般步骤是什么?在画物系中各个分离体的受力图时需要注意什么?9.P18思考题。
习题:P20-21:1-1 (a) (c) (d) (e) (g) (i) (j) (k); 1-2 (a) (d) (f)(i)(m) (o) 第二章平面汇交力系与平面力偶系思考题:1.汇交力系的几何法与解析法在应用上各有什么特点?2.解平衡问题时的一般步骤与注意事项?3.解物系问题时的注意事项?4.P33思考题。
5.力偶的特点与等效条件是什么?6.解力偶系平衡问题时的一般步骤与注意事项?习题:P36-40:2-1;2-3; 2-9; 2--12 (a) (c);2—14;2—17第三章平面任意力系思考题:1.力线平移定理的含义?2.用二矩式、三矩式求解问题时,附加什么条件才能保证物系平衡?3.求解平衡问题时,有哪些技巧可以使计算方便?4.P61思考题。
5.物系问题的解题思路?怎样选取研究对象?怎样列方程?6.销钉既受力又连接两个以上物体时的受力分析需掌握什么原则?7.怎样能做到一个方程求解一个未知数?8.节点法的本质是什么?9.截面法的本质是什么?10.怎样判断零杆?习题:P63-71:3-1;3-4;3-6;3-12(a);3-13;3-22;3-34第四章空间力系思考题:1.空间力系化简结果与平面力系化简结果的关系?2.什么力系有六个平衡方程?什么力系有三个平衡方程?什么力系有两个平衡方程?什么力系只有一个平衡方程?3.计算重心的常用方法。
理论力学第10章 质点动力学

y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m,忽略摩擦及连 杆AB的质量,试求当 t 0 和 时,连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解:
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象,当φ=ωt 时,受力 如图。连杆应受平衡力系作用,由于不计连 杆质量,AB 为二力杆,它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解: 以弹簧未变形处为坐标原点O,物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ,弹簧 力大小为 F k x ,并指向点O,如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连,如图所示。物块
质量为 m ,弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时, 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程,可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题:已知质点的运动,求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程,通过其对时间微分两次得到质 点的加速度,代入质点运动微分方程,就可得到作用在质点 上的力。
第10章质点动力学的基本方程

受力分析: 电场力
运动分析: 平面曲线运动
y 交流 O
电源
v0
F v
x
质点运动
轨迹
dx vx v 0 dt dy eA vy sin kt dt mk
运动方程:
t 0时 x y 0
eA cos kt 1 y 2 mk
k cos v x 1 0
Tmax
2 v0 G( 1 ) gl
n
T
v
说明:
G
①减小绳子拉力途径:减小跑车速度或者增加绳子长度。 ②拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力。 一部分由加速度引起,称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
2.第二类:已知作用在质点上的力,求质点的运动(积分问题)
第十章
质点动力学的基本方程
——质点受力与其运动变化之间的关系
§10-1
第一定律 :
动力学的基本定律
不受力作用的质点,将保持静止或作匀速直线运动。
惯性
说明: 1、不受力作用的质点,包括受平衡力系作用的质点。 2、阐述了物体作惯性运动的条件,又称为惯性定律。
第二定律
ma F
1、质点在力作用下必有的加速度,运动状态一定发生改
向前摆动,求钢丝绳的最大拉力。
v0
解: ①研究对象: 重物(抽象为质点)
②受力分析: 如图所示。
n
T
v
③运动分析: 以O为圆心,l为半径的
圆周运动。
G
⑤求解
④质点运动微分方程
v2 T G(cos ) gl
ma F
质点动力学知识点总结

质点动力学知识点总结基本概念:质点:具有质量但没有体积和形状的物体模型。
力:质点动力学研究的核心内容,包括恒力、变力和约束力。
运动方程:描述质点在外力作用下的运动规律的基本方程。
动量:描述质点运动状态的重要物理量,等于质点的质量乘以速度。
动能:描述质点运动状态的另一个重要物理量,等于质点的质量乘以速度的平方再乘以1/2。
势能:描述质点在外力场中的势能状态的物理量,势能的大小与质点所处位置有关。
角动量和角动量定理:与质点的旋转运动相关的物理量和定理。
基本理论:牛顿运动定律:描述了质点在作用力作用下运动的规律,即F=ma,其中F表示合外力,m表示质点的质量,a表示质点的加速度。
动量定理:通过动量的概念揭示了力与运动之间的内在联系,即合外力的冲量等于物体动量的变化量,表达式为Ft=mV-mv。
动能定理:引入动能的概念,建立了力学与能量之间的关系,即合外力做的功等于物体的动能的改变量,表达式为W=1/2mV^2-1/2mv^2。
分析方法:矢量方法:利用矢量运算符对问题进行矢量分析。
微分方程方法:将运动方程化为微分方程,然后求解微分方程获得运动规律。
能量方法:利用能量守恒定律等能量原理分析运动问题。
实际应用:军事方面:应用在导弹、卫星、航天器和飞机等领域,研究其受力情况和运动规律,从而提高军事制式的效率和效果。
经济方面:应用在金融市场和交通运输领域,分析市场变化和流动性,以及货运运输的效益和优化策略。
社会方面:研究城市交通拥堵问题、人口迁移以及城市规律,以提高城市的运作效率和质量。
总的来说,质点动力学涉及到质点的运动规律、动量、动能、势能等基本物理量的研究,以及相关的理论和实际应用。
通过学习和掌握质点动力学的知识,可以更好地理解物体在外力作用下的运动规律,以及如何利用这些规律解决实际问题。
质点动力学知识点总结

质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支,它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中,我们通常假设质点的大小可以忽略不计,只考虑它的位置和速度,这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中,我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点,包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述,它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma,质点的运动方程可以写成:m*a = F,其中 m 是质点的质量,a 是质点的加速度,F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律,我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础,它包括三条定律:1. 第一定律:物体静止或匀速直线运动时,外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律,也是质点动力学的基础。
2. 第二定律:力的大小与加速度成正比,方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系,是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律:作用力与反作用力大小相等,方向相反,且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用,也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量,它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v,即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt,我们可以推导出动量的变化率与外力的关系,从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律,它描述了在没有外力作用下,质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律,我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量,它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量,它和质点的质量和速度有关;势能是质点由于位置而具有的能量,它和质点的位置和作用力有关。
质点动力学的基本方程

y aC x ar
FS
maa Fi m(ae ar aC ) Fi
φ
F
a
n e
φ FN
mg
沿x方 向 投 影: m (a r aen ) F mg sin Fs 2 ( 0.2) F 2 9.8 sin57.3o Fs (1) 沿y方 向 投 影: maC FN mg cos
t m m y D2 e g ( 6) m m m C1 v 0 C 2 v0 0 可得 m2 m2 0 D1 2 g D2 2 g
t m 代入( 3) , (5) 式整理可得: x v0 (1 e m )
t m2 m m y 2 g(e 1) gt
k cos v x 1 0
例三
质量为m 的小球以水平速度vo 射入静水中. 水对小球的阻力F与 小球的速度方向相反, 而大小为F = μv , μ 为阻尼系数. 忽略水对 小球的浮力. 求小球在重力和阻力作用下的运动方程.
解:
O vo F M v mg x
y
取质点分析其受力及运动: 0 m x 0 C x Ct D x x eA cos kt m y
m x
0
vo
F
v
e A cos kt y m e y A sin kt E km e y 2 A cos kt Et F k m
0 (1) x m g ( 2) m y mg y y y m 先求二阶常系数齐次的 通解 x m x x (特征根法) 0 m 1 0 2 m
第十章 质点动力学基本方程

0
(v)
下面举例说明质点动力学两类问题的求解方 法。
质 a x y b sin t b 点 运 求作用在质点上的力 F 。 动 解:以质点M为研究对象。分析运动:由运动 2 2 微 方程消去时间 t ,得 x y 1 2 2 a b 分 方 可见质点作椭圆运动。 将运动方程对时间求两阶导数得: 程
将它们代入运动微分方程,并令 m ,得: 2
力 三、第三定律(作用与反作用定律) 学 两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是 基 大小相等、方向相反,沿着同一作用线同时分别作 本 用在这两个物体上。 定 以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典 律
力学。
10.2
将动力学基本方程用微分形式表示所得到的方 程称为质点运动微分方程。 一、矢径形式的质点运动微分方程 由动力学基本方程: ma F
轨迹方程为:
y xtg
2 2v0 cos 2
由此可见,物体的轨迹是一抛物线。
例4 垂直于地面向上发射一物体,求 10.2 该物体在地球引力作用下的运动速度,并 求第二宇宙速度。不计空气阻力及地球自 质 转的影响。
x
H
M
F
点 解:以物体为研究对象,将其视为质 运 点,建立如图坐标。质点在任一位置受地 动 球引力的大小为: mM F G0 2 微 x 2 mM gR 由于 mg G0 2 分 所以 G 0 R M 方 由直角坐标形式的质点运动微分方程得: 程 d 2x mgR 2
0
例5 在重力作用下以仰角 初
y
x
v0 cos
分 方 程
m m
d 2x dt dt
2
R cos Cv cos R sin mg Cv sin mg
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(3)
由已知,
图 10-9
143
r = 10 000 m ,θ = 60° 时,θ& = 0.02 rad/s ,θ&& = 0.003 rad/s2
将上述数值代入式(2)得
( ) r& = 10 000 × 3 × 0.02 m/s = 346.4 m/s
(4)
式(4)代入(3),解得
式(4),(5)代入式(1),得
时圆槽对销钉 M 的作用力。
a
n M
ve
va
30°
r
vx
ar
Mvr
aMt
(a)
(b)
图 10-7
解 以水平槽为动系,速度分析如图 10-7b 所示:
ve = v ,
va
=
ve cos 30°
=
v = 0.4× 2 33
a
n M
ar
a
t M
FN
M F
mg
(c)
2
受力与加速度分析如图 10-7c 所示:
ρ = 300 m ,列车的速度为 v = 12 m/s ,内、外轨道间的距离为 b = 1.6 m 。
解 取列车为研究对象,设其质量为 m,列车受重力 mg,轨道约束力 FN 作用,其质心 受力和加速度分析如图 10-5 所示。将
ΣF = ma
分别向 x 和 y 方向投影,得
− FN sinθ = −ma
跨过 1 滑轮,滑轮半径为 r 。如在开始时,2 物体的高度差为 h,而且 m1 > m2 ,不计滑轮
质量。求由静止释放后,2 物体达到相同的高度时所需的时间。
F1
F2
a2
a1
A
B
m1 g
m2 g
(a)
(b)
图 10-2
解 分别取重物 m1 , m2 为研究对象,受力和运动分析如图 b,分别列出两物体在铅垂
144
将其向 x 和 y 轴投影,得
− kx = m&x&
∑ F = ma
− ky = m&y&
解这 2 个微分方程,并注意到初始条件:
x t=0 = xO ,
x& t=0 = 0
y t=0 = 0,
y& t=0 = v0
得微分方程的解
⎧ ⎪⎪x = x0 cos
kt m
⎨
⎪ ⎪⎩
y
=
v0
m sin k
(1)
FN b θ
FN cosθ − mg = 0
(2)
n
且
a = v2
ρ
由几何关系知
(3)
man
mg
tanθ = h b2 − h2
代入已知数据解得
(4)
θ
h=
v2b
= 78.4 mm
(gρ )2 + v4
图 10-5
10-6 如图 10-6a 所示套管 A 的质量为 m,受绳子牵引沿铅直杆向上滑动。绳子的另 1
第 10 章 质点动力学的基本方程
10-1 1 质量为 m 的物体放在匀速转动的水平转台上,它与转轴的距离为 r ,如图 10-1a 所示。设物体与转台表面的摩擦因数为 f ,求当物体不致因转台旋转而滑出时,水平台的
最大转速。
ω FN
r
a y
Fs
x mg
解 最大:
(a)
(b)
图 10-1
物体 m 为研究对象,受力和运动分析如图 10-1b 所示,当转速达最大时,摩擦力达
上式可改写成
mF
dx& = 10(1− t)dt
两边积分,得
x&
−
x&0
= 10⎜⎜⎝⎛t
−
t2 2
⎟⎟⎠⎞
m/s
O
x
图 10-10
由已知 t = 0 时,
v0 = x&0 = 0.2 m/s
得
上式积分得
x&
=
⎜⎜⎝⎛ 0.2
+ 10⎜⎜⎝⎛ t
−
t2 2
⎟⎟⎠⎞ ⎟⎟⎠⎞
m/s
(2)
x = ⎜⎛ 0.2t + 5t 2 ⎝
10-11 如图 10-11 所示质点的质量为 m,受指向原点 O 的力 F=kr 作用,力与质点到点
O 的距离成正比。如初瞬时质点的坐标为 x = x0 , y = 0 ,而速度的分量为 vx = 0,vy = v0 。
求质点的轨迹。
解 质点 m 为研究对象,建立图 10-11 所示直角坐标系 Oxy,质点受力 F=-kr 作用。据
a
n M
=
va2 r
=
v2 r⋅3
=
⎜⎜⎝⎛
0.4 2 0.2
×4 ×3
⎟⎟⎠⎞
m/s
2
= 1.07 m/s2
4
a
n M
+
a
t M
= ar
142
向铅直方向投影,得
a
n M
sin 30°
−
aMt
cos 30°
=
0,
aMt
=
aMn 3
= 0.616 m/s2
a Mx
=
a
n M
cos
30°
+
a
t M
sin 30°
端绕过离杆距离为 l 的滑车 B 而缠在鼓轮上。当鼓轮转动时,其边缘上各点的速度大小为 v0 。
求绳子拉力与距离 x 之间的关系。
141
FT
θ
FN
A
&x&
mg
x
(a)
(b)
图 10-6
解 取套管 A 为研究对象,A 受重力 mg,绳子拉力 FT 以及直杆对它的水平约束力 FN
作用,如图 10-6b 所示,套管 A 沿着直杆向上作变速直线运动,在任意瞬时 t 有
(
a
n BA
=
0)
由图 10-8c 得: 式(1)代入式(3),得
aB = aA tanθ = 3aA
maA = mg − FAB sinθ maB = FAB cosθ
(1)
(2) (3)
3maA = FAB cosθ 式(2)、(4)联立,解得 (θ = 60°)
(4)
FAB =
3 mg 2
10-9 铅垂发射的火箭由 1 雷达跟踪,如图 10-9 所示。当 r = 10 000 m ,θ = 60° ,
上式两边对时间 t 求导
AB = l 2 + x 2
d AB = x dx ,
dt
l 2 + x 2 dt
上式再对时间 t 求导,得
d AB dt
=
−vo ,
dx = − v0 dt x
l2 + x2
d2x = dt 2
v0 x2 l2 + x2
dx dt
−
v0
x2
将质点动力学基本方程向铅直方向投影,得
−
5 3
t
3
+
x0
⎟⎞ ⎠
m
设物体开始运动时位于坐标原点,在 t = 0 时, x = 0 ,故 x0 = 0 ,于是得到物体的运动方
程
x = ⎜⎛ 0.2t + 5t 2 − 5 t 3 ⎟⎞ m
⎝
3⎠
(3)
由题意,令式(2)中 x& = 0 ,解得
t = 2.02 s
代入式(3),得
x = 7.06 m
v0 = 0.2 m/s ,开始时,力的方向与速度方向相同。问经过多少时间后物体速度为零,此前
走了多少路程?
解 物体的运动方向只受 F 作用,设物体由原点出发沿轴 x 正向运动,如图 10-10 所示:
F = m&x&
(1)
将
F = 100(1− t) N, m=10 kg
代入式(1),得
&x& = 10(1− t)
(1)
其中 a 为法向加速度:
代入式(1)得
a = ω 2r = ( nπ 2) ⋅ D 30 2
n = 30 2g = 67 r/min πD
10-5 如图 10-5 所示,为了使列车对铁轨的压力垂直于路基,在铁道弯曲部分,外轨
要比内轨稍为提高。试就以下的数据求外轨高于内轨的高度 h。轨道的曲率半径为
l2
+
x2
dx dt
=
− v02l 2
x3
mg − FT cosθ = m&x& , cosθ =
x l2 + x2
FT
=
m(g
+
v02l 2 x3
)
1+ ( l )2 x
10-7 销钉 M 的质量为 0.2 kg,水平槽杆带动,使其在半径为 r = 200 mm 的固定半圆
槽内运动。设水平槽杆以匀速 v = 400 mm/s 向上运动,不计摩擦。求在图 10-7a 所示位置
=
s2
=
s
=
1 2
at 2
当
2
物体达到相同高度时,每物体均经过 s1
=
s2
=
h 2
的路程。
t = 2s = h(m1 + m2 )
a
g(m1 − m2 )
10-3 半径为 R 的偏心轮绕轴 O 以匀角速度ω 转动,推动导板沿铅直轨道运动,如图
10-3a 所示。导板顶部放有 1 质量为 m 的物块 A ,设偏心距 OC = e ,开始时 OC 沿水平线。