新湘教版七年级数学下册《2章 整式的乘法 2.2 乘法公式 2.2.2完全平方公式》课件_22
（1）（x+2）2=x2+4： 答：不对，应是x2+4x+4。
（2）（-a-b）2=a2-2ab+b2。 答：不对,应是a2+2ab+b2。
2.运用完全平方公式计算：
（1）（x+4）2：（2）（2a-3）2：
（3）
5m
-
1 2
2
.
解： （1）（x+4）2 =x2+8x+16
（2）（2a-3）2 =4a2-12a+9
我们把
（a+b）2=a2+2ab+b2，
（a-b）2=a2-2ab+b2。
都叫做完全平方公式。
即两数和（或差）的平方，等 于它们的平方和，加（或减）它们 的积的2倍。
说一说
把一个边长为a+b的正方形按图分割成 4块，你能用这个图来解释完全平方公式吗？
利用完全平方公式，可以对形如 两数和（或差）的平方的乘法进行简 便运算。
乘法公式
完全平方公式
乘法公式
完全平方公式
动脑筋
计算下列各式，你能发现什么规律？
（a+1）2=（a+1）（a+1）=a2+a+a+12=a2+2·a·1+12， （a+2）2=（a+2）（a+2）= a2+2a+2a+22 =a2+ 2·a·2 +22， （a+3）2（= a+3）（a+3）=a2+3a+3a+32 =a2+ 2·a·3 + 3 2， （a+4）2（= a+4）（a+4）=a2+4a+4a+42 =a2+ 2·a·4 + 42。
我们用多项式乘法来推导一般情况
（a+b）2=（a+b）（a+b） =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2。
做一做
（a-b）2=？ 把（a+b）2=a2+2ab+b2中的“b”换做 “-b”，试试看。
（a-b）2=[a+（-b）]2=a2+2a（-b）+（-b）2 =a2-2ab+b2。
结论
（2）1982
解:1982 =（200-2）2 =2002-2×200×2+22 =40000-800+4 =39204。
练习
1.运用完全平方公式计算：
（1）（-2a+3）2：
（2）-3xFra bibliotek+
1 2
2
：
（3）（-x2-4y）2： （4）（1-2b）2。
解： （1）（-2a+3）2
=4a2-12a+9
（3）
5m
-
1 2
2
=
25m
2
-
5m
+
1 4
3.自编两个可以利用完全平方公式计 算的题，并与同学交流解题过程。
说一说
（a-b）2与（b-a）2，（a+b）2与（-a-b）2相 等吗？为什么？
相等。因为（b-a）2=[-（a-b）]2= （a-b）2，所以（a-b）2=（b-a）2：又 因为（-a-b）2=[-（a+b）]2=（a+b）2， 所以（a+b）2=（-a-b）2。
3.计算： （1）1032 ： （2）2972。
答案：10609。 答案：88209。
例1
中考试题
利用如图所示几何图形的面积可以
表示的公式是（ C ）
A.a2-b2=a（a-b）+b（a-b） B.（a-b）2=a2-2ab+b2 C.（a+b）2=a2+2ab+b2 D.a2-b2=a（a+b）-b（a+b）
（2）
-3
x
+
1 2
2
=
9x2
-
3x
+
1 4
（3）（-x2-4y）2
=x4+8x2y+16y2
（4）（1-2b）2
=1-4b+4b2。
2.计算： （1）（x+2y）2-（x-2y）2： （2）（a-b+1）2
解： （1）（x+2y）2-（x-2y）2
=8xy
（2）（a-b+1）2 =a2-2ab+2a+b2-2b+1
（2）（a+b+1）2 解：（a+b+1）2
=[（a+b）+1]2 =（a+b）2+2（a+b）+1 =a2+2ab+b2+2a+2b+1。
例7：计算： （1）1042： （2）1982。
（1）1042
解:1042 =（100+4）2 =1002+2×100×4+42 =10000+800+16 =10816。
我们把
（a+b）2=a2+2ab+b2，
（a-b）2=a2-2ab+b2。
都叫做完全平方公式。
即两数和（或差）的平方，等 于它们的平方和，加（或减）它们 的积的2倍。
说一说
把一个边长为a+b的正方形按图分割成 4块，你能用这个图来解释完全平方公式吗？
用完全平方公式将它 们分别展开，可得……
例5：运用完全平方公式计算： （1）（-x+1）2： （2）（-2x-3）2。
（1）（-x+1）2 解：（-x+1）2
=（-x）2+2（-x）·1+12
=x2-2x+1
我是这样做的： （-x+1）2=（1-x）2
=12-2·1·x+x2
=1-2x+x2。 对吗？
例4：运用完全平方公式计算：
（1）（3m+n）2：
（2）
x
-
1 2
2
.
（1）（3m+n）2 解：（3m+n）2
=（3m）2+2·3m·n+n2 =9m2+6mn+n2。
（2）
2
x - 1
2
解
x
-
1
2
2
=
x2
-2·
x?
1
+ 12
2 2
= x2 - x+ 1
4
练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对， 应怎样改正？
我们用多项式乘法来推导一般情况
（a+b）2=（a+b）（a+b） =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2。
做一做
（a-b）2=？ 把（a+b）2=a2+2ab+b2中的“b”换做 “-b”，试试看。
（a-b）2=[a+（-b）]2=a2+2a（-b）+（-b）2 =a2-2ab+b2。
结论
（2）（-2x-3）2 解:（-2x-3）2
=[-（2x+3）]2 =（2x+3）2 =4x2+12x+9。
例6：计算： （1）（a+b）2-（a-b）2： （2）（a+b+1）2。
（1）（a+b）2-（a-b）2 解:（a+b）2-（a-b）2 =a2+2ab+b2-（a2-2ab+b2） =a2+2ab+b2-a2+2ab-b2 =4ab。
解析 由图知，应选择C。
谢谢
动脑筋
计算下列各式，你能发现什么规律？
（a+1）2=（a+1）（a+1）=a2+a+a+12=a2+2·a·1+12， （a+2）2=（a+2）（a+2）= a2+2a+2a+22 =a2+ 2·a·2 +22， （a+3）2（= a+3）（a+3）=a2+3a+3a+32 =a2+ 2·a·3 + 3 2， （a+4）2（= a+4）（a+4）=a2+4a+4a+42 =a2+ 2·a·4 + 42。
（2）（-a-b）2=a2-2ab+b2。 答：不对,应是a2+2ab+b2。
2.运用完全平方公式计算：
（1）（x+4）2：（2）（2a-3）2：
（3）
5m
-
1 2
2
.
解： （1）（x+4）2 =x2+8x+16
（2）（2a-3）2 =4a2-12a+9
我们把
（a+b）2=a2+2ab+b2，
（a-b）2=a2-2ab+b2。
都叫做完全平方公式。
即两数和（或差）的平方，等 于它们的平方和，加（或减）它们 的积的2倍。
说一说
把一个边长为a+b的正方形按图分割成 4块，你能用这个图来解释完全平方公式吗？
利用完全平方公式，可以对形如 两数和（或差）的平方的乘法进行简 便运算。
乘法公式
完全平方公式
乘法公式
完全平方公式
动脑筋
计算下列各式，你能发现什么规律？
（a+1）2=（a+1）（a+1）=a2+a+a+12=a2+2·a·1+12， （a+2）2=（a+2）（a+2）= a2+2a+2a+22 =a2+ 2·a·2 +22， （a+3）2（= a+3）（a+3）=a2+3a+3a+32 =a2+ 2·a·3 + 3 2， （a+4）2（= a+4）（a+4）=a2+4a+4a+42 =a2+ 2·a·4 + 42。
我们用多项式乘法来推导一般情况
（a+b）2=（a+b）（a+b） =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2。
做一做
（a-b）2=？ 把（a+b）2=a2+2ab+b2中的“b”换做 “-b”，试试看。
（a-b）2=[a+（-b）]2=a2+2a（-b）+（-b）2 =a2-2ab+b2。
结论
（2）1982
解:1982 =（200-2）2 =2002-2×200×2+22 =40000-800+4 =39204。
练习
1.运用完全平方公式计算：
（1）（-2a+3）2：
（2）-3xFra bibliotek+
1 2
2
：
（3）（-x2-4y）2： （4）（1-2b）2。
解： （1）（-2a+3）2
=4a2-12a+9
（3）
5m
-
1 2
2
=
25m
2
-
5m
+
1 4
3.自编两个可以利用完全平方公式计 算的题，并与同学交流解题过程。
说一说
（a-b）2与（b-a）2，（a+b）2与（-a-b）2相 等吗？为什么？
相等。因为（b-a）2=[-（a-b）]2= （a-b）2，所以（a-b）2=（b-a）2：又 因为（-a-b）2=[-（a+b）]2=（a+b）2， 所以（a+b）2=（-a-b）2。
3.计算： （1）1032 ： （2）2972。
答案：10609。 答案：88209。
例1
中考试题
利用如图所示几何图形的面积可以
表示的公式是（ C ）
A.a2-b2=a（a-b）+b（a-b） B.（a-b）2=a2-2ab+b2 C.（a+b）2=a2+2ab+b2 D.a2-b2=a（a+b）-b（a+b）
（2）
-3
x
+
1 2
2
=
9x2
-
3x
+
1 4
（3）（-x2-4y）2
=x4+8x2y+16y2
（4）（1-2b）2
=1-4b+4b2。
2.计算： （1）（x+2y）2-（x-2y）2： （2）（a-b+1）2
解： （1）（x+2y）2-（x-2y）2
=8xy
（2）（a-b+1）2 =a2-2ab+2a+b2-2b+1
（2）（a+b+1）2 解：（a+b+1）2
=[（a+b）+1]2 =（a+b）2+2（a+b）+1 =a2+2ab+b2+2a+2b+1。
例7：计算： （1）1042： （2）1982。
（1）1042
解:1042 =（100+4）2 =1002+2×100×4+42 =10000+800+16 =10816。
我们把
（a+b）2=a2+2ab+b2，
（a-b）2=a2-2ab+b2。
都叫做完全平方公式。
即两数和（或差）的平方，等 于它们的平方和，加（或减）它们 的积的2倍。
说一说
把一个边长为a+b的正方形按图分割成 4块，你能用这个图来解释完全平方公式吗？
用完全平方公式将它 们分别展开，可得……
例5：运用完全平方公式计算： （1）（-x+1）2： （2）（-2x-3）2。
（1）（-x+1）2 解：（-x+1）2
=（-x）2+2（-x）·1+12
=x2-2x+1
我是这样做的： （-x+1）2=（1-x）2
=12-2·1·x+x2
=1-2x+x2。 对吗？
例4：运用完全平方公式计算：
（1）（3m+n）2：
（2）
x
-
1 2
2
.
（1）（3m+n）2 解：（3m+n）2
=（3m）2+2·3m·n+n2 =9m2+6mn+n2。
（2）
2
x - 1
2
解
x
-
1
2
2
=
x2
-2·
x?
1
+ 12
2 2
= x2 - x+ 1
4
练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对， 应怎样改正？
我们用多项式乘法来推导一般情况
（a+b）2=（a+b）（a+b） =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2。
做一做
（a-b）2=？ 把（a+b）2=a2+2ab+b2中的“b”换做 “-b”，试试看。
（a-b）2=[a+（-b）]2=a2+2a（-b）+（-b）2 =a2-2ab+b2。
结论
（2）（-2x-3）2 解:（-2x-3）2
=[-（2x+3）]2 =（2x+3）2 =4x2+12x+9。
例6：计算： （1）（a+b）2-（a-b）2： （2）（a+b+1）2。
（1）（a+b）2-（a-b）2 解:（a+b）2-（a-b）2 =a2+2ab+b2-（a2-2ab+b2） =a2+2ab+b2-a2+2ab-b2 =4ab。
解析 由图知，应选择C。
谢谢
动脑筋
计算下列各式，你能发现什么规律？
（a+1）2=（a+1）（a+1）=a2+a+a+12=a2+2·a·1+12， （a+2）2=（a+2）（a+2）= a2+2a+2a+22 =a2+ 2·a·2 +22， （a+3）2（= a+3）（a+3）=a2+3a+3a+32 =a2+ 2·a·3 + 3 2， （a+4）2（= a+4）（a+4）=a2+4a+4a+42 =a2+ 2·a·4 + 42。
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新湘教版七年级数学下册《2章 整式的乘法 2.1 整式的乘法 2.1.2幂的乘方与积的乘方(2)》课件_20
幂的乘方与积的乘方
教 学目 标
• 理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和 巩固幂的意义；
• 通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且 掌握这个性质．
• 重点：幂的乘方法则． • 难点：幂的乘方的运算性质的应用。
一、温故知新，铺垫新知
1、知识回顾：口述同底数幂的乘法法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加
答：这 个 铁 盒的容积是a6 ．
创设情境，探索新知
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看 计算的结果有什么规律？
（1）（32）3=32×32×32 = 3( 6 ) （2）（a2）3= a2×a2×a2 =a (6 ) （3）（am）3= am×am×am =a ( 3m )
思考：观察上面各题左右两边，底数、指数有什么关系？
6、计算：3（a2）3 －2(a3）2=______
7、若 10m 3,10n 2,则102m3n
）2．
谢谢同学们 时间：2016年5月5日
=8-9 =-1 （3）比较大小：233__＜__322 233=(23) 11=811 322=(32) 11=911
学有所思，归纳小结：
1.本节课你的主要收获是什么？
2.你认为在运用“幂的乘方运算法则” 中，重点应该注意什么？
3.同底数幂的乘法与幂的乘方的相同点 和不同点
比一比：
同底数幂的乘法与幂的乘方的相同点和不同点
我收获，我快乐
（a ），底数不变，指数相乘。
想一想： 当三个或三个以上多重乘方时，是否也具有 这一性质呢？ 怎样用公式表示？
多重乘方可以重复运用上述法则：
（ am）n p =amnp （m、n、p是正整数）
自我尝试： ( am )n = amn (当m、n都是正整数)
教 学目 标
• 理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和 巩固幂的意义；
• 通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且 掌握这个性质．
• 重点：幂的乘方法则． • 难点：幂的乘方的运算性质的应用。
一、温故知新，铺垫新知
1、知识回顾：口述同底数幂的乘法法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加
答：这 个 铁 盒的容积是a6 ．
创设情境，探索新知
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看 计算的结果有什么规律？
（1）（32）3=32×32×32 = 3( 6 ) （2）（a2）3= a2×a2×a2 =a (6 ) （3）（am）3= am×am×am =a ( 3m )
思考：观察上面各题左右两边，底数、指数有什么关系？
6、计算：3（a2）3 －2(a3）2=______
7、若 10m 3,10n 2,则102m3n
）2．
谢谢同学们 时间：2016年5月5日
=8-9 =-1 （3）比较大小：233__＜__322 233=(23) 11=811 322=(32) 11=911
学有所思，归纳小结：
1.本节课你的主要收获是什么？
2.你认为在运用“幂的乘方运算法则” 中，重点应该注意什么？
3.同底数幂的乘法与幂的乘方的相同点 和不同点
比一比：
同底数幂的乘法与幂的乘方的相同点和不同点
我收获，我快乐
（a ），底数不变，指数相乘。
想一想： 当三个或三个以上多重乘方时，是否也具有 这一性质呢？ 怎样用公式表示？
多重乘方可以重复运用上述法则：
（ am）n p =amnp （m、n、p是正整数）
自我尝试： ( am )n = amn (当m、n都是正整数)
七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式2.2.3运用乘法公式进行计算习题课件新版湘教版
2.2.3 运用乘法公式进行计算
一、平方差公式 1.公式表示：(a+b)(a-b)=_a_2_-_b_2 . 2.说明：字母a,b不仅可以代表单个的数或字母，也可代表一个 单项式或一个_多__项__式__. 3.特征：左边两个多项式相乘，在这两个多项式中，一部分项 _完__全__相__同__，另一部分项互为相反数.右边等于_完__全__相__同__的__项__的 平方减去_互__为__相__反__数__的__项__的平方.
4.计算：(1)592=_____.(2)712=_____. 【解析】(1)592=(60-1)2=3 600-120+1=3 481. (2)712=(70+1)2=4 900+140+1=5 041. 答案：(1)3 481 (2)5 041
乘法公式的综合运用 【例2】(6分)计算:(m-2n+3t)(m+2n-3t). 【规范解答】原式=［m-(2n-3t)］［m+(2n-3t)］ ……………………………………………………………………1分 =m2-(2n-3t)2 ……………………………………………………4 分 =m2-(4n212nt+9t2) ……………………………………………5分 =m2-4n2+12nt-9t2. ……………………………………………6
【规律总结】 完全平方公式适用的前提是两项式的平方，故在利用完全平
方公式时，有时需把一项拆成两项的和或差，有时需把某几项 结合在一起，当作一项，只有把题目变形，具备完全平方公式 的特征时，才可使用.
【跟踪训练】 1.(2012·白银中考)如图，边长为(m+3)的正方形纸片，剪出一 个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形(不重 叠无缝隙)，若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是( )
一、平方差公式 1.公式表示：(a+b)(a-b)=_a_2_-_b_2 . 2.说明：字母a,b不仅可以代表单个的数或字母，也可代表一个 单项式或一个_多__项__式__. 3.特征：左边两个多项式相乘，在这两个多项式中，一部分项 _完__全__相__同__，另一部分项互为相反数.右边等于_完__全__相__同__的__项__的 平方减去_互__为__相__反__数__的__项__的平方.
4.计算：(1)592=_____.(2)712=_____. 【解析】(1)592=(60-1)2=3 600-120+1=3 481. (2)712=(70+1)2=4 900+140+1=5 041. 答案：(1)3 481 (2)5 041
乘法公式的综合运用 【例2】(6分)计算:(m-2n+3t)(m+2n-3t). 【规范解答】原式=［m-(2n-3t)］［m+(2n-3t)］ ……………………………………………………………………1分 =m2-(2n-3t)2 ……………………………………………………4 分 =m2-(4n212nt+9t2) ……………………………………………5分 =m2-4n2+12nt-9t2. ……………………………………………6
【规律总结】 完全平方公式适用的前提是两项式的平方，故在利用完全平
方公式时，有时需把一项拆成两项的和或差，有时需把某几项 结合在一起，当作一项，只有把题目变形，具备完全平方公式 的特征时，才可使用.
【跟踪训练】 1.(2012·白银中考)如图，边长为(m+3)的正方形纸片，剪出一 个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形(不重 叠无缝隙)，若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是( )
七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式教学课件新版湘教版
3.计算： （1）202×198；
（2）49.8×50.2.
答案：（1）39996；（2）2499.96.
我思 我进步
通过本节课，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴 交流。
2.2.2 完全平方公式
思考
计算下列各式，你能发现什么规律： ( a+1 )2=( a+1 )( a+1 )=a2+a+a+12=a2+2·a·1+12， ( a+2 )2=( a+2 )( a+2 )=a2+2a+2a+22=a2+2·a·2+22， ( a+3 )2=( a+3 )( a+3 )=a2+3a+3a+32=a2+2·a·3+32， ( a+4 )2=( a+4 )( a+4 )=a2+4a+4a+42=a2+2·a·4+42. 我们用多项式乘法来推导一般情况： ( a+b )2=( a+b )=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.
（2）1982.
解：（1）1042=( 100+4 )2 （2）1982=( 200-2 )2
= 1002+2×100×4+42
= 2002-2×200×2+22
= 10000+800+16
= 40000-800+16
= 10816.
= 39204.
练习
1.运用完全平方公式计算： （1）( -2a+3 )2； （3）( -x2-4y )2；
湘教版七年级数学下册_2.2 乘法公式
感悟新知
特别解读
知2－讲
1. 弄清公式的特征：公式的左边是一个二项式的平方，公
式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方
和，另一项是这两项的乘积的2倍.
2.理解字母a，b的意义：公式中的字母a，b可以表示具体的
数，也可以表示含字母的单项式或多项式.
3. 口诀记忆：
头平方和尾平方，头(乘)尾两倍在中央，中间符号照原样.
1. 移位置 : 有时交换位置，改变运算顺序，可利用
乘法公式简化计算 .
2. 整体 : 有时将其中几项看成一个整体 ，从而构造
出特殊的结构，利 用 乘法公式简化计算 .
3. 转化 : 将较复杂的未知问题，经过变形，转化为
可轻易解决或已解决的问题 .
感悟新知
解题秘方：紧扣多项式之间的特征，运用移位置、 知3－练 整体或转化的方法寻找乘法公式，进 行计算 .
知1－练
感悟新知
知1－练
方法点拨 运用平方差公式计算两数乘积时， 关键是找到这两个
的平均数，再将原数与这个平均 数进行比较， 变成两 数 的和与差的积的形式 .
感悟新知
知识点 2 测量质量
知2－讲
1. 完全平方公式： 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和， 加(或减)它们的积的 2 倍 .
用字母表示为( a+b ) 2=a2+2ab+b2， (a － b) 2=a2 － 2ab+b2.
感悟新知
知3－讲
特别解读 为了体现乘法公式的结构特征，常运用到交换
律和结合律.
感悟新知
例5
计算： (1) ( b － 3 ) ( b2+9 ) ( b+3 ) ；
新湘教版七年级数学下册《2章整式的乘法2.2乘法公式2.2.2完全平方公式》教案_11
（2）用字母表述： a b 2 ____________
a b 2 __________ __
这两个公式是完全平方公式 . （3）完全平方公式的结构特征：１左边是两个相同二项式相乘，即一个二项式的平方——两个数
和（或差）的平方；２右边是一个三项式，其中两项是左边的二项式的平方和，第三项是左边
两项的积的２倍． （首平方加尾平方，乘积二倍在中央） （ 5）完全平方公式的几何证明
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【公式的直接运用】
例 Байду номын сангаас 运用完全平方公式计算：
(1) (x 2 y) 2
1 （2） ( x
2
2 y) 2 3
完全平方公式的应用
分析：使用完全平方公式与平方差公式的使用一样
,先
把要计算的式子与完全平方公式对照 ,明确个是 a , 哪
个是 b.
⑴ (x+2y) 2
( a + b ) 2= a2 + 2 a b + b 2
层次教学，让不同层次的学生都能主动参与并都能得到充分的发展。边启发，边探索，边归纳，
突出以学生为主体的探索性学习活动。
遵循知识产生过程，从特殊→一般→特殊，将所学的知
识用于实践中。
五、 教学过程 （一）、复习旧知 （1）、合并同类项法则
ab+ba=（ 1+1 ） ab=2ab 2xy-5xy+xy=(2-5+1)xy （2）、多项式与多项式相乘的法则 （ a+b）（ m+n） =am+an+bm+bn ．
(a b)2 ＝ a 2 2ab b2
问题 4:问题 5 中得的等式中，等号左边是 两个数的和或差的平方 ，
新湘教版七年级数学下册《2章 整式的乘法 2.1 整式的乘法 2.1.2幂的乘方与积的乘方(1)》课件_26
下列各式的计算是否正确？如果不正确，应怎样 改正 ？
(1) am · a n = amn
(2) (am)n = am+n
对比比较 ☞
回顾与思考
幂的意义:
ห้องสมุดไป่ตู้
n个a
a·a·… ·a= an
同底数幂的乘法运算法则：
am ·an = am+n（m,n都是正整数）
(am)n =amn (m,n都是正整数).
例1：计算
(1)102×104=_1_06__ (2)an+1·an-1=_a_2n___
(3)2n·2n=__2_2n_
(4)x2·x2·x2·x2=_x_8__
根据乘方的定义及同底数幂的乘法性质， 完成下列各题。
1. （43）4 = 43×43×43×43
= 43+3+3+3 =43×4 =412
2. （a4）5 = a4×a4×a4×a4×a4
• 在下面的推导中，说明每一步(变形)的依 据：
n个am
(am)n = am·am·……·am
( 乘方的意义
)
n个m
=am+m+m….+m
（同 的底性数质幂乘法 ）
=amn
幂的乘方法则
(am)n积=的am乘n （方m,法n都则是正整数 ）
幂的乘方 底数不变，指数相乘
• 上式显示:
• 幂的乘方， 底数不变，指数相乘.
1.如果am=2, an=3,那么a3m-a2n和
a3m+2n的值分别是 -_1_，__7_2_。 2.已知9x=310，则x的值是___5___。
3.比较340与430的大小。
因为：340=(34)10 =8110 ; 430=(43)10=6410 又因为 81 ﹥ 64，所以8110﹥6410. 所以： 340 ﹥ 430 .
(1) am · a n = amn
(2) (am)n = am+n
对比比较 ☞
回顾与思考
幂的意义:
ห้องสมุดไป่ตู้
n个a
a·a·… ·a= an
同底数幂的乘法运算法则：
am ·an = am+n（m,n都是正整数）
(am)n =amn (m,n都是正整数).
例1：计算
(1)102×104=_1_06__ (2)an+1·an-1=_a_2n___
(3)2n·2n=__2_2n_
(4)x2·x2·x2·x2=_x_8__
根据乘方的定义及同底数幂的乘法性质， 完成下列各题。
1. （43）4 = 43×43×43×43
= 43+3+3+3 =43×4 =412
2. （a4）5 = a4×a4×a4×a4×a4
• 在下面的推导中，说明每一步(变形)的依 据：
n个am
(am)n = am·am·……·am
( 乘方的意义
)
n个m
=am+m+m….+m
（同 的底性数质幂乘法 ）
=amn
幂的乘方法则
(am)n积=的am乘n （方m,法n都则是正整数 ）
幂的乘方 底数不变，指数相乘
• 上式显示:
• 幂的乘方， 底数不变，指数相乘.
1.如果am=2, an=3,那么a3m-a2n和
a3m+2n的值分别是 -_1_，__7_2_。 2.已知9x=310，则x的值是___5___。
3.比较340与430的大小。
因为：340=(34)10 =8110 ; 430=(43)10=6410 又因为 81 ﹥ 64，所以8110﹥6410. 所以： 340 ﹥ 430 .
七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式2.2.2完全平方公式习题课件新版湘教版
1.(2012·南昌中考)已知(m-n)2=8，(m+n)2=2，则m2+n2=( )
(A)10 (B)6 (C)5 (D)3
【解析】选C.因为(m-n)2=8，
所以m2-2mn+n2=8.
①
又因为(m+n)2=2,
所以m2+2mn+n2=2.
②
①+②，得2m2+2n2=10，
所以m2+n2=5.
(-3m-2n)2=(3m+2n)2;
②运用公式计算：原式
=(3m)2+2·3m·2n+(2n)2=9m2+12mn+4n2.
【规律总结】 运用完全平方公式计算的技巧
口诀：首(a)平方、尾(b)平方，首(a)尾(b)乘积的2倍在中央； 加减看前方，同加异减. 变形:(-a+b)2,(-a-b)2在计算中易出现符号错误，可作如下变形： (-a+b)2=(b-a)2, (-a-b)2=(a+b)2.
3.(2012·南通中考)已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等
于( )
(A)64
(B)48
(C)32
(D)16
【解析】选A.因为16x=2×x×8，所以这两个数是x，8，
所以k=82=64.
4.(2012·凉山州中考)整式A与m2-2mn+n2的和是(m+n)2， 则A=______. 【解析】A=(m+n)2-(m2-2mn+n2)=4mn. 答案：4mn
二、几何解释 如图,最大正方形的面积可用两种形式表示:
(1)(_a_+_b_)_2_，(2)_a_2+_2_a_b_+_b_2_， 由于这两个代数式表示同一块面积,所以应相等,即 _(_a_+_b_)_2=_a_2+_2_a_b__+_b_2 .
湘教版七年级数学下册第二章 整式的乘法 2.2.3 运用乘法公式进行计算课件
第2章 整式的乘法
2.2 乘法公式
2.2.3 运用乘法公式进行计算
学习目标
1．熟练运用乘法公式进行计算；(重点、难点)
2．通过对不同的式子采取合适的方法运算， 培养学生的思维能力和解题能力．
温故而知新
1．我们学过了哪些乘法公式？ (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
方法总结：选用平方差公式进行计算，需要分组. 分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为 另一组”.
针对训练 计算：(1)(a－b＋c)2； (2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2 ＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c ＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc；
(2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)] ＝12－(－2x＋y)2 ＝1－4x2＋4xy－y2.
例4 一个正方形花圃的边长增加到原来2倍还多1m， 它的面积就增加到原来的4倍还多21m2 ,求这个正方 形花圃原来的边长. 解 ：设正方形花圃原来的边长为 x m.
由数量关系 得： （2x +1）2= 4x 2+21
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2．怎样计算：(a＋2b－c)(a－2b＋c)．
提示:公式中的 a 与 b既可以是数，又可以是单项式 和多项式.
运用乘法公式进行计算
怎样计算下列各题： （1）(x+1)(x2+1)(x-1)； （2）(a+3)2(a-3)2； （3）(x+y+1)(x+y-1).
= (a2-9)2
平方差公式
= a4-18a+81
2.2 乘法公式
2.2.3 运用乘法公式进行计算
学习目标
1．熟练运用乘法公式进行计算；(重点、难点)
2．通过对不同的式子采取合适的方法运算， 培养学生的思维能力和解题能力．
温故而知新
1．我们学过了哪些乘法公式？ (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
方法总结：选用平方差公式进行计算，需要分组. 分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为 另一组”.
针对训练 计算：(1)(a－b＋c)2； (2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2 ＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c ＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc；
(2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)] ＝12－(－2x＋y)2 ＝1－4x2＋4xy－y2.
例4 一个正方形花圃的边长增加到原来2倍还多1m， 它的面积就增加到原来的4倍还多21m2 ,求这个正方 形花圃原来的边长. 解 ：设正方形花圃原来的边长为 x m.
由数量关系 得： （2x +1）2= 4x 2+21
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2．怎样计算：(a＋2b－c)(a－2b＋c)．
提示:公式中的 a 与 b既可以是数，又可以是单项式 和多项式.
运用乘法公式进行计算
怎样计算下列各题： （1）(x+1)(x2+1)(x-1)； （2）(a+3)2(a-3)2； （3）(x+y+1)(x+y-1).
= (a2-9)2
平方差公式
= a4-18a+81
2020版七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式2.2.2完全平方公式课件湘教版
4
C.9a2+6ab+b2
D.4t2+12t+9
知识点一 完全平方公式(P46-47例5,6拓展) 【典例1】计算: (1)(-x+3y)2. (2)(5x-2y)2-(5x+2y)2.
【思路点拨】对于题目(2),可以先用完全平方公式进行 计算,再进行多项式的减法运算;也可逆用平方差公式进 行计算(此法请自己尝试解决).
★2.简便计算:8 0002-16 000×7 998+7 9982=___4___. ★3.比较大小:4 0372___>___4×2 019×2 018.(填 “>”“<”或“=”)
★★4.用乘法公式进行计算:
2
2 0182 0172 2 0192
. 2
世纪金榜导学号
解:
2 0182
2 0172 2 0192 2
(2)两数和的平方与两数差的平方间的关系: ①两个公式中单项式的平方和相同,不同的是两个单项 式的乘积的2倍的符号不同. ②两数差的平方与两数和的平方在本质上是一致的,两 数差的平方可看作是一个正数与一个负数的和的平方, 所以可以把两个公式统一起来进行理解.
【题组训练】 1.在下列各式中,计算正确的是 ( D ) A.(2m-n)2=4m2-n2 B.(5x-2y)2=25x2-10xy+4y2 C.(-a-1)2=-a2-2a-1 D.(-a2-0.3ab)2=a4+0.6a3b+0.09a2b2
2.2.2 完全平方公式
【知识再现】 1.平方差公式:两个数的___和____与这两个数的___差____ 的积等于这两个数的___平__方__差____. 2.平方差公式用字母表示为:(a+b)(a-b)=___a_2-_b_2___.
C.9a2+6ab+b2
D.4t2+12t+9
知识点一 完全平方公式(P46-47例5,6拓展) 【典例1】计算: (1)(-x+3y)2. (2)(5x-2y)2-(5x+2y)2.
【思路点拨】对于题目(2),可以先用完全平方公式进行 计算,再进行多项式的减法运算;也可逆用平方差公式进 行计算(此法请自己尝试解决).
★2.简便计算:8 0002-16 000×7 998+7 9982=___4___. ★3.比较大小:4 0372___>___4×2 019×2 018.(填 “>”“<”或“=”)
★★4.用乘法公式进行计算:
2
2 0182 0172 2 0192
. 2
世纪金榜导学号
解:
2 0182
2 0172 2 0192 2
(2)两数和的平方与两数差的平方间的关系: ①两个公式中单项式的平方和相同,不同的是两个单项 式的乘积的2倍的符号不同. ②两数差的平方与两数和的平方在本质上是一致的,两 数差的平方可看作是一个正数与一个负数的和的平方, 所以可以把两个公式统一起来进行理解.
【题组训练】 1.在下列各式中,计算正确的是 ( D ) A.(2m-n)2=4m2-n2 B.(5x-2y)2=25x2-10xy+4y2 C.(-a-1)2=-a2-2a-1 D.(-a2-0.3ab)2=a4+0.6a3b+0.09a2b2
2.2.2 完全平方公式
【知识再现】 1.平方差公式:两个数的___和____与这两个数的___差____ 的积等于这两个数的___平__方__差____. 2.平方差公式用字母表示为:(a+b)(a-b)=___a_2-_b_2___.
湘教版七年级数学下册第2章-整式的乘法2.2.2 第2课时 运用完全平方公式进行计算课件
（4）2972 =88209
5.今天是星期五,你知道992后的今天是星期几吗?
5022呢?
992=(100－1)2 =1002－2×100×1+12
=10000－200+1
=9801 9801÷7=1400……1
第2章 整式的乘法
2.2 乘法公式
2.2.2 完全平方公式
第2课时 运用完全平方公式进行计算
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.进一步掌握完全平方公式；（重点）
2.会运用完全平方公式对形如两数和（或差）的平方进行计算.
（难点）
导入新课
复习引入
1.完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 ;
(a−b)2= a2 −2ab+b2.
2.运用完全平方公式计算： （1）(x+4)2； （2）(a-3)2；
（3）(3a+2b)2 ；
（4）(4x-3y)2.
讲授新课
一 底数的首项带“－”号的完全平方公式
问题引导
问题1 (a-b)2与(b-a)2有什么关系？ 相等.这是因为 (b-a)2= [-(a-b)]2=(a-b)2. 问题2 (a+b)2与(-a-b)2有什么关系？ 相等.这是因为 (-a-b)2= [-(a+b)]2=(a+b)2.
例4.若a+b=5,ab=－6, 求a2+b2,a2－ab+b2.
解：a2+b2=（a+b)2－2ab=52-2×(－6)=37； a2－ab+b2=a2+b2－ab=37－(－6)=43. 例5.已知x2+y2=8,x+y=4,求x－y. 解：∵x+y=4, ∴(x+y)2=16,即x2+y2+2xy=16①; ∵x2+y2=8②; 由①－②得2xy=8， ②－得x2+y2－2xy=0.即(x－y)2=0，故x－y=0 解题时常用结论： a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.