相交弦定理、切割线定理、割线定理综合训练
相交弦.切割线练习题汇编
相交弦、切割线定理练习题一、填空：1.圆内两弦相交，一弦长8cm 且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（ ）3.如图:已知同心圆⊙O,AB 是大圆的直径,交小圆于C,D,EC⊥AB 交大圆于E,连接ED 交小圆4.自圆外一点所作过圆心的割线长是12cm ，圆的半径为4cm ， 则过此点所引的切线长为（ ）5.如图1，⊙O 的半径为6，PQ ＝6，AR ＝8则QR 的长为（ ）6.如图2，CD 为⊙O 直径，弦AB 垂直CD 于P,AP ＝4， PD ＝2，则PO ＝___.7.⊙O 中直径CD ⊥弦AB 于E ，AB ＝6，DE ∶CE ＝1∶3， 则DE 的长为（ ）8.由圆外一点作圆的切线长为6，过这点作过圆心的割线长为12， 则此圆半径长为（ ）9．如图，PAB 为⊙O 的割线，PO 交⊙O 于C ，OP ＝13，PA ＝9， AB ＝7，求⊙O 直径的长.10．如图2，△ABC 中∠A ＝90°，AC ＝3，AB ＝4，半圆圆心在BC 上， 与AB,AC 切于D,E ，则⊙O 半径为（ ）11．⊙O 中直径CD 垂直弦AB 于E ，AB ＝8，DE ∶CE ＝3∶1，则DE 的长为（ ） 11、（2002•南京）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ， 垂足是G ，F 是CG 的中点，延长AF 交⊙O 于E ，CF=2，AF=3， 则EF 的长是 _________ ．1、如图：⊙O 1和⊙O2相交于A 、B 两点， P 是AB 上任一点过P 点分别作直线C D 和E F ，分别交⊙O1于C 、D ，交⊙O2于E 、F ，求证：PC·PD=PE·PFRQA OP 1ABO CDP2r ABCOPͼ22.如图，圆o1和圆o2相交于A 和 B 两点，点P 在BA 的延长线上。
过点P 作圆O1的割线PMN 交圆O1于M .N ，作圆O2的切线PC 切圆O2于C 。
高中数学第一章直线多边形圆2.4切割线定理2.5相交弦定理学案北师大版选修46
4．如图， CA，CD 分别切圆 O1 于 A，D 两点， CB，CE 分别切圆 O 2 于 B，E 两点．若
∠1＝ 60°，∠ 2＝ 65°，判断 AB ，CD ，CE 的长度，下列关系正确的是 ( )
A．AB > CE> CD
B． AB ＝CE> CD
C． AB> CD> CE
D ． AB＝ CD＝ CE
∴∠ P＝∠ EDF.
(2)证明：∵∠ P＝∠ EDF ，∠ DEF＝∠ PEA，
∴△ DEF∽△ PEA. ∴ DE∶ PE＝ EF∶ EA，
即 EF· EP＝ DE · EA. ∵弦 AD ， BC 相交于点 E，
∴ DE· EA＝ CE· EB. ∴ CE· EB＝ EF· EP. (3)∵DE 2＝ EF ·EC，DE ＝ 6， EF＝ 4，
[对应学生用书 P25]
一、选择题
1.如图， 已知⊙ O 的两条弦 AB，CD 相交于 AB 的中点 E，且 AB＝ 4，
DE ＝ CE＋ 3，则 CD 的长为 ( )
A． 4
B． 5
C． 8
D ． 10
解析：选 B 设 CE＝ x，则 DE ＝ 3＋ x.根据相交弦定理，得 x(x＋3)＝ 2×2，x＝ 1 或 x＝
因为∠ PDA＝∠ DAC＋∠ DCA ， ∠ PAD＝∠ BAD ＋∠ PAB，∠ DCA ＝∠ PAB， 所以∠ DAC＝∠ BAD，从而 ?BE ＝ ?EC . 因此 BE＝EC. (2)由切割线定理得 PA2＝ PB· PC. 因为 PA＝ PD＝ DC，所以 DC＝ 2PB， BD＝ PB. 由相交弦定理得 AD · DE＝ BD · DC， 所以 ADCB＝ AD · DB
2021年九年级数学中考复习专题之圆：切割线定理综合运用(一)
2021年九年级数学中考复习专题之圆：切割线定理综合运用（一）一．选择题1．P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PB＝BC＝3，则PA的长是（）A．9 B．3 C．D．182．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的一条割线，且PA＝2，BC＝2PB，那么PB 的长为（）A．2 B．C．4 D．3．如图，⊙O的两条割线PAB，PCD分别交⊙O于点A，B和点C，D．已知PA＝6，AB＝4，PC＝5，则CD＝（）A．B．C．7 D．244．如图，已知P为⊙O外一点，PO交⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，且PB ＝BC，若OA＝7，PA＝4，则PB的长等于（）A．B．C．6 D．5．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝8，那么PA的长为（）A．2 B．4 C．6 D．6．如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE ＝5，则DE的长为（）A．3 B．4 C．D．7．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A为大圆上任意一点，过A作小圆的割线AXY，若AX•AY＝4，则图中圆环的面积为（）A．16πB．8πC．4πD．2π8．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA＝2，PC＝CD＝3，则PB＝（）A．6 B．7 C．8 D．99．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（）A．B．C．D．410．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB ＝60°，PA＝8，那么点P与O间的距离是（）A．16 B．C．D．二．填空题11．如图，⊙O的半径为，A、B两点在⊙O上，切线AQ和BQ相交于Q，P是AB 延长线上任一点，QS⊥OP于S，则OP•OS＝．12．如图，过点P引圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆于点A，B和C，D，连接AC，BD，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有（把你认为成立的比例式的序号都填上）．13．如图，割线PAB与⊙O交于点A、B，割线PCD与⊙O交于点C、D，PA＝PC，PB＝3cm，则PD＝cm．14．如图，过⊙O外一点P作两条割线，分别交⊙O于A，B和C，D．已知PA＝2，PB ＝5，PD＝8，则PC的长是．15．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC 的平分线交BC于D点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．三．解答题16．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E．若AB＝CD＝2，求CE的长．17．如图所示，⊙O的内接△ABC的AB边过圆心O，CD切⊙O于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，CE⊥AB于点E，FE交⊙O于G．解答下列问题：（1）若BC＝10，BE＝8，求CD的值；（2）求证：DF•DB＝EG•EF．18．如图1，已知Rt△ABC的直角边AC的长为2，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，过D点作⊙O的切线（1）求证：BE＝DE；（2）延长DE与AC的延长线交于点F，若DF＝，求△ABC的面积；（3）从图1中，显然可知BC＜AC．试分别讨论在其它条件不变，当BC＝AC（图2）和BC＞AC（图3）时，直线DE与直线AC还会相交吗？若不能相交，请简要说明理由；若能相交，设交点为F'且DF'＝，请再求出△ABC的面积．19．已知：如图，PF是⊙O的切线，PE＝PF，A是⊙O上一点，直线AE、AP分别交⊙O 于B、D，直线DE交⊙O于C，连接BC，（1）求证：PE∥BC；（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证明你的结论．20．如图PAB、PCD是⊙O的两条割线，AB是⊙O的直径．（1）如图甲，若PA＝8，PC＝10，CD＝6．①求sin∠APC的值；②sin∠BOD＝；（2）如图乙，若AC∥OD．①求证：CD＝BD；②若，试求cos∠BAD的值．参考答案一．选择题1．解：∵PB＝BC＝3，∴PC＝6，∵PA2＝PB•PC＝18，∴PA＝3，故选：C．2．解：设PB＝x，则PC＝3x，∵PA2＝PB•PC，PA＝2，BC＝2PB，∴x•3x＝12，∴x＝2．故选：A．3．解：由于PAB、PCD都是⊙O的割线，根据切割线定理可得：PA•PB＝PC•PD，即PA•（PA+PB）＝PC•PD，∵PA＝6，AB＝4，PC＝5，∴PD＝12，即CD＝PD﹣PC＝7；故选：C．4．解：延长PO交圆于D；设PB＝BC＝x，∵PB•PC＝PA•PD，PB＝BC，OA＝7，PA＝4，∴x•2x＝72，∴x＝6．故选：C．5．解：∵PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，∴PA2＝PB•PC＝16，即PA＝4；故选：B．6．解：连接CE；∵，∴∠BAE＝∠EBC+∠BEC；∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE，由弦切角定理知：∠DCE＝∠EBC，由平行四边形的性质知：∠DCB＝∠BAE，∴∠BEC＝∠BCE，即BC＝BE＝5，∴AD＝5；由切割线定理知：DE＝DC2÷DA＝，故选：D．7．解：过点A作圆的切线AD，切点是D，∵AD2＝AX•AY，AX•AY＝4，∴AD＝2，∴圆环的面积＝πAD2＝4π．故选：C．8．解：∵PB，PD是⊙O的割线，∴PA•PB＝PC•PD，∵PA＝2，PC＝CD＝3，∴2PB＝3×6解得：PB＝9．故选：D．9．解：如图，若，且AB＝10，∴AD＝4，BD＝6，作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，可得A、C、A′三点共线，∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，∴AB＝A′B，∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10．而A′C•A′A＝A′D′•A′B，即A′C•2A′C＝4×10＝40．则A′C2＝20，又∵A′C2＝A′B2﹣CB2，∴20＝100﹣CB2，∴CB＝4．故选：A．10．解：连接OA，OP∵PA，PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，∴∠OPA＝∠APB＝30°，OA⊥OP，∴OP＝＝＝，∴点P与O间的距离是．故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：连接OQ交AB于M，则OQ⊥AB，连接OA，则OA⊥AQ．∵∠QMP＝∠QSP＝90°，∴S，P，Q，M四点共圆，故OS•OP＝OM•OQ．又∵OM•OQ＝OA2＝2，∴OS•OP＝2．故答案为：2．12．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠PAD＝∠C，∠PAD＝∠B∴△PAD∽△PCB根据相似三角形的对应边的比相等，得到②③是正确的．13．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝PC，PB＝3cm∴PB＝PD＝3cm．14．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝2，PB＝5，PD＝8∴PC＝＝．15．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．三．解答题（共5小题）16．解：如图，由切割线定理，得CD2＝CB•CA，（2分）CD2＝CB（AB+CB），CB2+2CB﹣4＝0，解得CB＝（负数舍去）连接OD，则OD⊥CD，又EB与⊙O相切，∴EB⊥OC，∴Rt△ODC∽Rt△EBC，（6分）于是，即∴CE＝．17．（1）解：∵AB为直径，BD⊥CD∴∠ABC+∠A＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°∵CD为⊙O切线∴∠BCD＝∠A∴∠ABC＝∠BCD∵CD⊥BD，CE⊥BE∴CE＝CD∴CE＝＝6∴CD＝6（2）证明：∵CD为切线，BD为割线∴CD2＝DF•DB①∵∠ACB＝90°，CE⊥AB∴RT△ACE∽RT△CBE∴CE2＝EA•EB②∵EG•EF＝EA•EB③由①②③及CD＝CE得DF•DB＝EG•EF．18．（1）证明：连接OD，∴OD⊥DE，∴∠ADO+∠BDE＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE；（2）解：在直角三角形ODF中，OD＝1，DF＝，∴∠OFD＝30°，∴OF＝2，AF＝3．∴tan∠A＝，∴BC＝AC•tan∠A＝2×tan30°＝．S△ABC＝AC•BC＝×2×＝；（3）解：如图，当BC＝AC时，直线DE与直线AC平行；当BC＞AC时，在直角三角形ODF′中，OD＝1，DF′＝，∴∠OF′D＝30°，∴OF′＝2，AF＝1，∴CF′＝3，∠BAC＝60°，∴tan∠BAC＝，∴BC＝AC•tan∠BAC＝2×tan60°＝2．S△ABC＝AC•BC＝×2×2＝2．19．（1）证明：∵PF与⊙O相切，∴PF2＝PD•PA．∵PE＝PF，∴PE2＝PD•PA．∴PE：PD＝PA：PE．∵∠APE＝∠APE，∴△EPD∽△APE．∴∠PED＝∠A．∵∠ECB＝∠A，∴∠PED＝∠ECB．∴PE∥BC．（2）解：PE与BC仍然平行．证明：画图如图，∵△EPD∽△APE，∴∠PEA＝∠D．∵∠B＝∠D，∴∠PEA＝∠B．∴PE∥BC．20．解：（1）作OE⊥CD于E，连接OC，作DF⊥PB于F．①根据垂径定理，得CE＝3．设圆的半径是r．根据勾股定理，得OP2﹣PE2＝OC2﹣CE2，（8+r）2﹣169＝r2﹣9，解得r＝6．则OE＝3．则sin∠APC＝＝；②设OF＝x．根据勾股定理，得PD2﹣PF2＝OD2﹣OF2，256﹣（14+x）2＝36﹣x2，解得x＝．所以DF＝．所以sin∠BOD＝＝＝．（2）①∵AC∥OD，∴∠1＝∠2．又OA＝OD，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．所以弧CD＝弧BD，所以CD＝BD；②∵AC∥OD，∴＝．又CD＝BD，AB＝2OA，∴＝．∴cos∠BAD＝＝．。
2021年九年级数学中考复习专题之圆：切割线定理综合运用(一)
2021年九年级数学中考复习专题之圆：切割线定理综合运用（一）一．选择题1．P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PB＝BC＝3，则PA的长是（）A．9 B．3 C．D．182．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的一条割线，且PA＝2，BC＝2PB，那么PB 的长为（）A．2 B．C．4 D．3．如图，⊙O的两条割线PAB，PCD分别交⊙O于点A，B和点C，D．已知PA＝6，AB＝4，PC＝5，则CD＝（）A．B．C．7 D．244．如图，已知P为⊙O外一点，PO交⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，且PB ＝BC，若OA＝7，PA＝4，则PB的长等于（）A．B．C．6 D．5．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝8，那么PA的长为（）A．2 B．4 C．6 D．6．如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE ＝5，则DE的长为（）A．3 B．4 C．D．7．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A为大圆上任意一点，过A作小圆的割线AXY，若AX•AY＝4，则图中圆环的面积为（）A．16πB．8πC．4πD．2π8．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA＝2，PC＝CD＝3，则PB＝（）A．6 B．7 C．8 D．99．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（）A．B．C．D．410．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB ＝60°，PA＝8，那么点P与O间的距离是（）A．16 B．C．D．二．填空题11．如图，⊙O的半径为，A、B两点在⊙O上，切线AQ和BQ相交于Q，P是AB 延长线上任一点，QS⊥OP于S，则OP•OS＝．12．如图，过点P引圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆于点A，B和C，D，连接AC，BD，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有（把你认为成立的比例式的序号都填上）．13．如图，割线PAB与⊙O交于点A、B，割线PCD与⊙O交于点C、D，PA＝PC，PB＝3cm，则PD＝cm．14．如图，过⊙O外一点P作两条割线，分别交⊙O于A，B和C，D．已知PA＝2，PB ＝5，PD＝8，则PC的长是．15．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC 的平分线交BC于D点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．三．解答题16．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E．若AB＝CD＝2，求CE的长．17．如图所示，⊙O的内接△ABC的AB边过圆心O，CD切⊙O于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，CE⊥AB于点E，FE交⊙O于G．解答下列问题：（1）若BC＝10，BE＝8，求CD的值；（2）求证：DF•DB＝EG•EF．18．如图1，已知Rt△ABC的直角边AC的长为2，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，过D点作⊙O的切线（1）求证：BE＝DE；（2）延长DE与AC的延长线交于点F，若DF＝，求△ABC的面积；（3）从图1中，显然可知BC＜AC．试分别讨论在其它条件不变，当BC＝AC（图2）和BC＞AC（图3）时，直线DE与直线AC还会相交吗？若不能相交，请简要说明理由；若能相交，设交点为F'且DF'＝，请再求出△ABC的面积．19．已知：如图，PF是⊙O的切线，PE＝PF，A是⊙O上一点，直线AE、AP分别交⊙O 于B、D，直线DE交⊙O于C，连接BC，（1）求证：PE∥BC；（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证明你的结论．20．如图PAB、PCD是⊙O的两条割线，AB是⊙O的直径．（1）如图甲，若PA＝8，PC＝10，CD＝6．①求sin∠APC的值；②sin∠BOD＝；（2）如图乙，若AC∥OD．①求证：CD＝BD；②若，试求cos∠BAD的值．参考答案一．选择题1．解：∵PB＝BC＝3，∴PC＝6，∵PA2＝PB•PC＝18，∴PA＝3，故选：C．2．解：设PB＝x，则PC＝3x，∵PA2＝PB•PC，PA＝2，BC＝2PB，∴x•3x＝12，∴x＝2．故选：A．3．解：由于PAB、PCD都是⊙O的割线，根据切割线定理可得：PA•PB＝PC•PD，即PA•（PA+PB）＝PC•PD，∵PA＝6，AB＝4，PC＝5，∴PD＝12，即CD＝PD﹣PC＝7；故选：C．4．解：延长PO交圆于D；设PB＝BC＝x，∵PB•PC＝PA•PD，PB＝BC，OA＝7，PA＝4，∴x•2x＝72，∴x＝6．故选：C．5．解：∵PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，∴PA2＝PB•PC＝16，即PA＝4；故选：B．6．解：连接CE；∵，∴∠BAE＝∠EBC+∠BEC；∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE，由弦切角定理知：∠DCE＝∠EBC，由平行四边形的性质知：∠DCB＝∠BAE，∴∠BEC＝∠BCE，即BC＝BE＝5，∴AD＝5；由切割线定理知：DE＝DC2÷DA＝，故选：D．7．解：过点A作圆的切线AD，切点是D，∵AD2＝AX•AY，AX•AY＝4，∴AD＝2，∴圆环的面积＝πAD2＝4π．故选：C．8．解：∵PB，PD是⊙O的割线，∴PA•PB＝PC•PD，∵PA＝2，PC＝CD＝3，∴2PB＝3×6解得：PB＝9．故选：D．9．解：如图，若，且AB＝10，∴AD＝4，BD＝6，作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，可得A、C、A′三点共线，∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，∴AB＝A′B，∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10．而A′C•A′A＝A′D′•A′B，即A′C•2A′C＝4×10＝40．则A′C2＝20，又∵A′C2＝A′B2﹣CB2，∴20＝100﹣CB2，∴CB＝4．故选：A．10．解：连接OA，OP∵PA，PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，∴∠OPA＝∠APB＝30°，OA⊥OP，∴OP＝＝＝，∴点P与O间的距离是．故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：连接OQ交AB于M，则OQ⊥AB，连接OA，则OA⊥AQ．∵∠QMP＝∠QSP＝90°，∴S，P，Q，M四点共圆，故OS•OP＝OM•OQ．又∵OM•OQ＝OA2＝2，∴OS•OP＝2．故答案为：2．12．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠PAD＝∠C，∠PAD＝∠B∴△PAD∽△PCB根据相似三角形的对应边的比相等，得到②③是正确的．13．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝PC，PB＝3cm∴PB＝PD＝3cm．14．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝2，PB＝5，PD＝8∴PC＝＝．15．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．三．解答题（共5小题）16．解：如图，由切割线定理，得CD2＝CB•CA，（2分）CD2＝CB（AB+CB），CB2+2CB﹣4＝0，解得CB＝（负数舍去）连接OD，则OD⊥CD，又EB与⊙O相切，∴EB⊥OC，∴Rt△ODC∽Rt△EBC，（6分）于是，即∴CE＝．17．（1）解：∵AB为直径，BD⊥CD∴∠ABC+∠A＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°∵CD为⊙O切线∴∠BCD＝∠A∴∠ABC＝∠BCD∵CD⊥BD，CE⊥BE∴CE＝CD∴CE＝＝6∴CD＝6（2）证明：∵CD为切线，BD为割线∴CD2＝DF•DB①∵∠ACB＝90°，CE⊥AB∴RT△ACE∽RT△CBE∴CE2＝EA•EB②∵EG•EF＝EA•EB③由①②③及CD＝CE得DF•DB＝EG•EF．18．（1）证明：连接OD，∴OD⊥DE，∴∠ADO+∠BDE＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE；（2）解：在直角三角形ODF中，OD＝1，DF＝，∴∠OFD＝30°，∴OF＝2，AF＝3．∴tan∠A＝，∴BC＝AC•tan∠A＝2×tan30°＝．S△ABC＝AC•BC＝×2×＝；（3）解：如图，当BC＝AC时，直线DE与直线AC平行；当BC＞AC时，在直角三角形ODF′中，OD＝1，DF′＝，∴∠OF′D＝30°，∴OF′＝2，AF＝1，∴CF′＝3，∠BAC＝60°，∴tan∠BAC＝，∴BC＝AC•tan∠BAC＝2×tan60°＝2．S △ABC＝AC•BC＝×2×2＝2．19．（1）证明：∵PF与⊙O相切，∴PF2＝PD•PA．∵PE＝PF，∴PE2＝PD•PA．∴PE：PD＝PA：PE．∵∠APE＝∠APE，∴△EPD∽△APE．∴∠PED＝∠A．∵∠ECB＝∠A，∴∠PED＝∠ECB．∴PE∥BC．（2）解：PE与BC仍然平行．证明：画图如图，∵△EPD∽△APE，∴∠PEA＝∠D．∵∠B＝∠D，∴∠PEA＝∠B．∴PE∥BC．20．解：（1）作OE⊥CD于E，连接OC，作DF⊥PB于F．①根据垂径定理，得CE＝3．设圆的半径是r．根据勾股定理，得OP2﹣PE2＝OC2﹣CE2，（8+r）2﹣169＝r2﹣9，解得r＝6．则OE＝3．则sin∠APC＝＝；②设OF＝x．根据勾股定理，得PD2﹣PF2＝OD2﹣OF2，256﹣（14+x）2＝36﹣x2，解得x＝．所以DF＝．所以sin∠BOD＝＝＝．（2）①∵AC∥OD，∴∠1＝∠2．又OA＝OD，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．所以弧CD＝弧BD，所以CD＝BD；②∵AC∥OD，∴＝．又CD＝BD，AB＝2OA，∴＝．∴cos∠BAD＝＝．。
相交弦定理、切割线定理、割线定理综合训练(最新整理)
7．如图，PA切 ⊙ O于A，PBC是 ⊙ O的割线，如果PB = 2，PC = 4，则PA的长为________．
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8．如图，PAB、PCD是 ⊙ O的割线，PA = 3，PB = 6，PC = 2，则PD = ________． 9．如图，PT是 ⊙ O的切线，T为切点，PAB是 ⊙ O的割线，PA = 5cm，AB = 4cm，则 PT = ________cm．
三、解答题 10．如图，在半径为5cm的 ⊙ O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB = 50 ∘ ，∠APD = 80 ∘ ． (1)求∠ABD的大小； (2)求弦BD的长．
11．如图，⊙O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=4，EB=8，∠DEB=30°，求弦 CD 长．
12．如图，弦 AB 和弦 CD 相交于⊙O 内一点 E，AD=CB，求证：AB=CD．
相交弦定理、切割线定理、割线定理
一、单选题 1．如图，PA与 ⊙ O切于点A，PBC是 ⊙ O的割线，如果PB = BC = 2，那么PA 的长为（ ）
A．2 B．2 2 C．4 D．8
2．P是 ⊙ O外一点，PA切 ⊙ O于A，割线PBC交 ⊙ O于点B、C，若PB = BC = 3，则PA的长
是（
）
A．9 B．3 C．3 2 D．18
二、填空题
3．如图，半圆
O
的直径
AB=7，两弦
AC、BD
相交于点
E，弦
CD=7，且
2
BD=5，
则 DE=_____．
(word完整版)3.4+相交弦定理、切割线定理、弦切角定理(1课时)
(word完整版)3.4+相交弦定理、切割线定理、弦切角定理(1课时) 九年级数学导学稿第3章对圆的进一步认识课题:3.4+相交弦定理、切割线定理、弦切角定理(1课时）郭家屯初中初三编写学习目标1．掌握相交弦定理及推论、切割线定理及推论、弦切角定理，并会灵活应用.2．会用相交弦定理及推论、切割线定理及推论、弦切角定理进行证明和计算。
难点：定理及推论的应用【温故知新】1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长"是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线"是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确(1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等;（2)若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；(3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4)经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3。
弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角.直线AB切⊙O于P,PC、PD为弦，图中几个弦切角呢?（四个）4。
弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角.5.弄清和圆有关的角:圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6。
遇到圆的切线，可联想“角"弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7。
与圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
相交弦定理推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦长的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项。
切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，这一点到割线与圆的交点的两条线段长的乘积等于切线长的平方.切割线定理推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等。
【探索定理新知】图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD。
相交弦定理应用题
相交弦定理应用题
相交弦定理是一个在几何学中非常重要的定理，它描述了两个弦在圆上相交时，两个弦的长度和它们所对应的弓形的面积之间的关系。
以下是几个应用相交弦定理的题目：
1. 圆中的四边形问题：
在一个圆中，有四个点A、B、C、D，其中AB与CD相交于点E。
已知AE=6cm，BE=3cm，ED=4cm，求BC的长度。
2. 圆中的三角形问题：
在圆O中，弦AB与弦CD相交于点P，且AP=3cm，BP=5cm，
CP=4cm，DP=6cm。
求弦AC的长度。
3. 求角度问题：
在圆中，两条弦AB与CD相交于点F，已知∠AFC=60°，∠BFD=40°，且AF=3，CF=5。
求∠BDC的大小。
4. 求面积问题：
在圆O中，两条弦AB与CD相交于点E，已知OA=OB=3cm，CE=2cm，DE=5cm。
求圆O的面积。
5. 综合应用问题：
在圆O中，AB是直径，弦CD与AB相交于点E。
已知AE=2cm，
BE=6cm，DE=5cm。
求圆O的半径以及弓形ACDB的面积。
解答上述题目需要使用相交弦定理以及相关的几何知识。
通过这些题目，你可以更好地理解和应用相交弦定理。
相交弦定理、切割线定理、割线定理综合训练
相交弦定理、切割线定理、割线定理一、单选题1．如图，PA与⊙O切于点A，PBC是⊙O的割线，如果PB=BC=2，那么PA的长为（）A．2B．2√2C．4D．82．P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PB=BC=3，则PA的长是（）A．9B．3C．3√2D．18二、填空题3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=7，且BD=5，2则DE=_____．4．如图⊙O的半径为1cm，弦AB，CD的长度分别为√2cm，1cm，则弦AC，BD相交所夹的锐角α=__________．5．已知弦AB和弦CD相交于⊙O内一点P，AP=8，BP=3，PD=PC，则CD=________．，则CD=________．6．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=7，BE=1，cos∠AED=237．如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=4，则PA的长为________．8．如图，PAB、PCD是⊙O的割线，PA=3，PB=6，PC=2，则PD=________．9．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PAB是⊙O的割线，PA=5cm，AB=4cm，则PT=________cm．三、解答题10．如图，在半径为5cm的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=50∘，∠APD=80∘．(1)求∠ABD的大小；(2)求弦BD的长．11．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=4，EB=8，∠DEB=30°，求弦CD长．12．如图，弦AB和弦CD相交于⊙O内一点E，AD=CB，求证：AB=CD．13．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．14．如图，⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB=CD．求证：AC^=BD^．15．如图，⊙O与割线AC交于点B，C，割线AD过圆心O，且∠DAC=30°．若⊙O的半径OB=5，AD=13，求弦BC的长．.. 参考答案1．B2．C3．2√2．4．75°．5．4√66．2√117．2√28．99．5310．(1)∠ABD=30∘；(2)BD=5√3cm.11．CD 12．详见解析.13．14．详见解析. 15．6．。
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相交弦定理、切割线定理、割线定理
一、单选题
1．如图，PA与⊙O切于点A，PBC是⊙O的割线，如果PB=BC=2，那么PA
的长为（）
A．2B．2√2C．4D．8
2．P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PB=BC=3，则PA的
长是（）
A．9B．3C．3√2D．18
二、填空题
3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=7
，且BD=5，
2
则DE=_____．
4．如图⊙O的半径为1cm，弦AB，CD的长度分别为√2cm，1cm，则弦AC，BD相交所
夹的锐角α=__________．
5．已知弦AB和弦CD相交于⊙O内一点P，AP=8，BP=3，PD=PC，则
CD=________．
，则CD=________．6．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=7，BE=1，cos∠AED=2
3
7．如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=4，则PA的长为________．
8．如图，PAB、PCD是⊙O的割线，PA=3，PB=6，PC=2，则PD=________．
9．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PAB是⊙O的割线，PA=5cm，AB=4cm，
则PT=________cm．
三、解答题
10．如图，在半径为5cm的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=50∘，∠APD=80∘．
(1)求∠ABD的大小；
(2)求弦BD的长．
11．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=4，EB=8，∠DEB=30°，求弦CD长．
12．如图，弦AB和弦CD相交于⊙O内一点E，AD=CB，求证：AB=CD．
13．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
14．如图，⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB=CD．求证：AC^=BD^．
15．如图，⊙O与割线AC交于点B，C，割线AD过圆心O，且∠DAC=30°．若⊙O的半径OB=5，AD=13，求弦BC的长．
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答案第1页，总1页 参考答案
1．B
2．C
3．2√2．
4．75°．
5．4√6
6．2√11
7．2√2
8．9
9．53
10．(1)∠ABD =30∘；(2)BD =5√3cm .
11
．CD 12．详见解析.
13
．
14．详见解析.
15．6．。