相交弦定理与切割线定理
圆切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数| |（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解
切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解南江石 2018年4月7日星期六圆的切线，与圆（圆弧）只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。
圆的割线，与圆（圆弧）有两个公共点的直线叫做圆的割线。
圆的弦，圆（圆弧）上两点的连接线段叫做圆（圆弧）的弦。
弦是割线的部分线段。
公共弦线：两圆相交，两交点的连线为公共弦线——共弦线，共割线。
公共切线：两圆相切，过两圆切点的公切线为公共切线——共切线。
几何原理 几何原理共弦线垂直于连心线共切线垂直于连心线共割线平分公切线 共切线平分公切线4切线长度相等—— 4切点共圆，圆心在两线交点3切线长度相等——3切点共圆，圆心在两线交点共割线上任意一点到圆的4个切线的长度相等，4切点共圆共切线上任意一点到圆的3个切线的长度相等，3切点共圆圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一。
圆幂定理及相交弦定理、切割线定理和割线定理的实质是相似三角形。
点对圆的幂P 点对圆O 的幂定义为22R OP FB性质点P 对圆O 的幂的值，和点P 与圆O 的位置关系有下述关系： 点P 在圆O 内→P 对圆O 的幂为负数； 点P 在圆O 外→P 对圆O 的幂为正数； 点P 在圆O 上→P 对圆O 的幂为0。
切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
PBPTPT PA =PB PA PT ∙=2 222Am Pm PT -=割线定理（切割线定理的推论）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
PD PC PB PA ∙=∙2222Cn Pn Am Pm -=-相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。
PD PC PB PA ∙=∙2222A Pn Cn Pm m -=-垂径定理（相交弦定理推论）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。
相交弦定理和切割线定理 人教四年制版
相交弦定理和切割线定理一. 本周教学内容：相交弦定理和切割线定理二. 重点、难点：1. 相交弦定理的使用特征。
2. 切割线定理的使用特征。
【典型例题】[例1] 如图，AC=BD ，CE 、DF 切⊙O 于E 、F 两点，连EF ，求证：CM=MD 。
证明：作DN ∥EC ，交MF 于N ，则∠1=∠2，∠C=∠4∵∴[例2] 已知PT解：设TD=x ，即(43=⨯由切割线定理，BP AP PT⋅=2由勾股定理，222TD PT PD +=∴ 22TD BP AP PD +⋅= ∴ )7(6)4(22++=+y y y∴ cm y 20=[例3] 两圆交于A 、AE=6，DE=2，求AC 长。
解：连AB ，DF ∵∴ ∠1=∠C ∴ED AE EF CE=由相交弦定理得由切割线定理得：1441692=⨯=⋅=CF CB AC ∴ AC=12[例4] P 为弦AB 上一点，C 在圆O 上，OP ⊥PC ，求证：（1）PB PA PC ⋅=2（2）若CM=MO=3，证明：（1）延长CP 交⊙O 于 由相交弦定理，解：（2）易知21=OC PM 由垂径定理，CP=PD ，故在CPO Rt ∆中有2046222=-=PC∴ 由（1）结论，20)3(=+y x ② 由①—②得：37+=x y 代②得，0203162=-+x x ∴ 0601632=-+x x ，6128±-=x （舍负）[例5] 解：设⊙O 由AB ∴ )6(3)25(622a r +=-- ②由②—①得：018522=--r r ，291=r ，22-=r （舍） ∴ 32)2529(6222=--=AB ，AB=24。
高中数学竞赛的教案：平面几何-第八讲---圆幂定理
高中数学竞赛的教案：平面几何-第八讲---圆幂定理2第八讲 圆幂定理一、 知识要点：1、 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
即：如图，P A ·PC=PB ·PDC2、 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。
即：如图，PA 2=P B ·PCP3、 割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A 、B 、C 、D ，则有 PA·PB=PC·PD 。
3二、 要点分析：1、相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理。
其可统一地表示为：过定点的弦被该点内分（或外分）成的两条线段的积为定值（该点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值），即）定值（22r OP PB PA -=⋅2、相交弦定理通常是通过相似三角形而得到的，所以，研究圆中一些线段的比例关系总离不开相似三角形。
3、相交弦定理揭示了与圆相关的线段的比例关系，应用较多，特别是在处理有关计算、作比例中项、证明角相等、四点共圆等问题时是重要的理论依据。
三、 例题讲解：例1、已知：如图，在ABC ∆中，AM 、AD 分别是其中线和角平分线，⊙ADM交AB于L,交AC于N,求证：BL=CN例2、如图，⊙O1与⊙O2相交于M、N,D是NM的延长线上的一点，O2O1延长线交⊙O1于B、A,AD交⊙O1于C,MN交O2O1、BC于E、G,求证：EM2=E D·EG例3、在Rt ABC中，D在斜边BC上，BD=4DC,一圆过点C，且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G,求证：A D⊥BF45例4、如图，AB 是⊙O 中任意一弦，M 为AB 的中点，过M 任作两条弦CD 、EF,连接CE 、DF 分别交AB 于G 、H,求证：MG=MH (蝴蝶定理) A BMCDE F G H6例5、ABCD 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BD ⊥AC,AC 与BD 的交点为E,点F 在DA的延长线上，连接BF,点G 在BA 的延长线上，使得DG ∥BF,点H 在GF 的延长线上,CH ⊥GF,证明：B 、E 、F 、H 四点共圆。
2014年青海教师招聘考试数学专业考点十三：切线长定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理
中公教育——给人改变未来的力量2014年青海教师招聘考试数学专业考点十三：切线长定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理
切线性质定理：圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。
切线判定定理：一直线若与一圆有交点，且连接交点与圆心的直线与该直线垂直，那么这条直线就是圆的切线。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角。
它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的孤对的圆周角。
它是圆中证明角相等的重要定理之一。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线则有这点到割线与圆交点的两条线段的积相等。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
（PA长）2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.（特殊情况）用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理（记忆的方法方法）圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理37508(最新整理)
图3 解：∵PC 是⊙O 的切线，PAB 是⊙O 的割线，且 PA：PB＝1：4 ∴PB＝4PA 又∵PC＝12cm
由切割线定理，得
∴
∴
，
∴ ∴PB＝4×6＝24（cm） ∴AB＝24－6＝18（cm） 设圆心 O 到 AB 距离为 d cm， 由勾股定理，得
故应填 。
例5.如图4，AB 为⊙O 的直径，过 B 点作⊙O 的切线 BC，OC 交⊙O 于点 E，AE 的延长线交 BC 于点 D，（1）
图4
【试题答案】
文档
实用标准文案
一、选择题 1. A 2. C
3. A
4. B
5. B
6. A
二、填空题 7. 90
8. 1
9. 30
10.
三、解答题： 11.由切线长定理得△BDE 周长为4，由△BDE∽△BAC，得 DE＝1cm 12.证明：连结 AC，则 AC⊥CB
∵CD⊥AB，∴△ACB∽△CDB，∴∠A＝∠1 ∵PC 为⊙O 的切线，∴∠A＝∠2，又∠1＝∠2， ∴BC 平分∠DCP 13.设 BM＝MN＝NC＝xcm
7.与圆有关的比例线段
定理
图形
已知
结论
证法
相交弦定
⊙O 中，AB、CD 为弦，交 PA·PB＝PC·PD. 连结 AC、BD，证：△APC∽
理
于 P.
△DPB.
相交弦定 理的推论
文档
⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB PC2＝PA·PB. 于 P.
（特殊情况）
用相交弦定理.
实用标准文案
切割线定 理
∴ ∴∠C＝∠EDC ∴ED＝EC ∴AE＝EC ∴OE 是△ABC 的中位线 ∴BC＝2OE
相交弦定理和切割线定理
相交弦定理和切割线定理
相交弦定理也称为割线定理，是圆的性质之一，它表明一个圆上的两个相交弦的长度乘积等于这两个弦所夹的两个弧的长度乘积。
具体地说，设两条相交弦AB和CD在圆O上相交于点E，则有：
\[AE \cdot BE = CE \cdot DE\]
切割线定理，又称为弦切线定理，是圆的性质之一。
它表明如果有一条切割线与一条给定的直径相交于一点E，那么这点E
将把切割线分成两段，其中一段的长度是另一段的长度的平方。
具体地说，如果切线与圆的切点为A，圆的中心为O，则有：\[AE^2 = BE \cdot CE\]
相交弦定理和切割线定理都是在圆的几何性质中应用较广的定理，常用于证明和解决与圆相关的问题。
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有什么关系？
相交弦定理 圆内的两条相交弦，被
交点分成的两条线段长的积 相等。（经过圆内一点引两 条弦，各弦被这点所分成的 两段的积相等）
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线
长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
•
几何语言： ∵PT是⊙O切线，
PBA，PDC是 O的割线 ∴PD·PC=PA·PB
• 从以上两个定理可以发现： • 不管C如何变化，CDCG、CECF
• 及 r 2 AC2 这三个值都相等。
• 即乘积的值与圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ半径的平方减去 • 圆心A到点C的距离的平方的绝对值 • 相等。