2015全国建模大赛a-题
2015年数学建模国赛A题
二、 问题分析
问题一要建立直杆影子长度变化的数学模型， 首先需知道太阳影子长度计算 公式，故引入太阳高度角[1]这个概念。即若已知某时刻太阳高度角的大小和直 杆高度，根据其满足的三角函数关系便可得到此时太阳影子长度。太阳高度角与 观测地地理纬度、地方时角和太阳的赤纬[2]相关。其中太阳赤纬是太阳直射点 所在纬度，与日期有关；时角由当地经度及其所用时区时间决定，故根据影长、 太阳赤纬、时角计算公式可求得直杆影子长度变化模型，并根据模型分析影子长 度关于各参数的变化规律。将附件一中直杆的有关数据直杆影长变化模型中，可 求出该直杆的具体影长变化公式。根据所建立的模型，运用 MATLAB 软件便可得 到影子长度随时间的变化曲线。 问题二需根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据， 建立数学 模型确定直杆所处的地点。首先由问题一可推测影子长度与时间的关系，故可将 太阳影子长度与对应时间进行拟合，得到影长与时间关系模型。当某个时刻影长 得到极小值时，该时刻为太阳与直杆距离最近，即地方时正午 12 时，结合当地 所使用的标准时间便可得到当地经度。 最后利用太阳高度角与直杆长度以及影长 满足的三角关系式，便可得到影长关于直杆高度、直杆所在地点的纬度的函数关 系式，即得到了有关太阳影子顶点坐标与直杆地点经纬度的模型。将附件一中影 子顶点坐标数据应用于该直杆位置模型，可得到直杆所在位置。用相对误差分析 法分析误差[3](168-169 页)，若所得的相对误差小于 2.5%，认为得到的模型合 理。 问题三可根据光照成影原理和太阳高度角计算公式建立影长与时间变 化模型，根据相关数据，运用 MATLAB 软件拟合可得到直杆所在位置的经纬 度。令年份均为 2015 年，根据太阳赤纬角计算公式，可求解具体的日期。 将附件 2 和附件 3 时间和对应直杆影长数据分别代入模型中，通过拟合计
2015数学建模国赛论文A题
利用影子确定视频拍摄地点和日期的建模和算法摘要本文研究的问题是如何通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期。
建模整体思路是，先建立一系列分析用到的物理量，设定一些假设和约束条件，使得问题求解有可行性，之后对这些物理量进行演绎。
建模使用的软件平台主要是matlab ，分析用到的主要参量是太阳赤纬、时角、高度角、方位角、纬度，分析过程当中用到的方法有，建立物理概念，明确物理意义，比如引用天球坐标系的概念，在天球坐标系的基础上进行物理分析，通过对建立的参变量进行物理关系的推导，形成公式体系进行求解，对题目所给予的影子坐标数据进行适当变换处理，使用matlab 进行合理的拟合，对于用公式法和方程法没法顺利解决的问题使用穷举法作为解题的补充，对于视频中坐标的取法用到了坐标转换的思想。
其中主要公式有 1.cos sin sin coshA δω= 2.tanh H L= 3. sinh sin sin cos cosh cos A ϕδϕ-= 4. sinh=cos Ωcos φcos δ+sin φsin δ第一问，通过物理量变换，先求出高度角，进而得到影子长度与时间变化关系。
第二问，拟合点求经度，取点套公式求纬度。
第三问，方程思想，过程复杂，采用穷举法近似实现求解。
第四问，难点在于通过视频分析，得到影子端点的变化坐标，进而将问题转化成第二问，已知日期（太阳赤纬），时间（时角），求解经度纬度。
关键词：天球坐标系 物理量演绎分析 matlab 数据拟合分析 二元方程组近似穷举法 坐标转换思想1.问题重述与分析如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题
§ 3 模型的假设
1、所收集的数据资料都是真实可靠的；
2
2、文章所统计的出租车均正常运营； 3、出租车和乘客不会中途中断交易； 4、假设乘客使用打车软件均呼叫出租车； 5、匹配程度只与乘客对打车软件服务平台的需求量与司机对打车软件服务平台的供给 量有关。
§ 4 名词解释与符号说明
一、名词解释 出行强度：每人每天出行次数，它可以反映城市交通服务水平； 出租车使用率：在各种出行方式中，选择出租车出行所占比例； 二、符号说明 序号 符号 含义 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 qij xi λi ci tj pij bj Amn α β y1 y2 te 表示第 i 个城市第 j 个时段出租车的需求量 表示第 i 个城市的人口数 表示第 i 个城市出行强度 表示第 i 个城市出租车使用率 表示第 j 个时段出租车需求比 表示第 i 个城市第 j 时段的匹配程度 表示第 j 个城市出租车总量 表示准则层对方案层的判断矩阵 表示乘客使用打车软件打车意愿 表示司机使用打车软件接单意愿 表示打车软件公司对乘客的补贴金额 表示打车软件公司对司机的补贴金额 表示某一时段出租车需求比
§ 5 模型的建立与求解
问题一的分析与求解 1、匹配程度时间函数模型 日常生活中，当需求与供给越接近，既不会造成需求得不到满足，也不会造成资源
3
浪费，同时表示此时匹配程度较好。由此说明匹配程度由需求和供给共同决定。所以建 立出租车匹配程度时间函数，需要出租车在所有出行方式中的占用率和出租车的总量。 查阅相关文献[1-2]可得以下数据，如表格 1 所示。 表格 1 基本数据 人口数 （万人） 出行强度 （次/人.天） 出 租 车 占 用 率 出租车总量（万 （%） 辆） 北京（1） 1917 2.64 9.01 6.6646 广州（2） 625.33 1.86 6.25 2.0300 成都（3） 533.96 2.56 7.60 1.4898 济南（4） 360 1.88 15.04 0.8043 哈尔滨（5） 495 2.54 18.23 1.4300 人们每日日常生活，相对比较规律，所以在出行规律也存在一定的相似性。我们通 过查阅相关文献[3]，做出每天从早上 6:30 至晚上 22:00 每隔半小时的出租车需求百分比 图，如图 1 所示。
2015全国大学生数学建模竞赛A题解析
V
是' 无变位时的显示储油量。
i
以下为附加内容
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让更多的农民成为新型职业农民 中央农业广播电视学校 刘天金
2013˙05˙07 陕西
农业部部长韩长赋： 这是一项基础性工程、创新性工作，
要大抓特抓、坚持不懈。
——让更多的农民成为新型职业农民（目标） ——生产更多更好更安全的农产品供给社会（方向）
由于本问较复杂，需要分情况建立模型，可以先考 虑只发生纵向变位的情况。
三、解题思路（续）
球冠Ⅰ的体积表达式为：
其中
三、解题思路（续）
球冠III的体积表达式为：
其中
三、解题思路（续）
圆柱体II的体积表达式为：
其中
三、解题思路（续）
在不考虑罐体横向变位的情况下（即 ） ，0 储油罐 的体积与辅助变量 的H 关1 系表达式为：
2r,
r(1cos)h纵2r
由于罐体只产生纵向变位时油位高度 与h 纵储油量 V (, h纵) 的对应关系已得到，再根据上面推导出的 h 与纵 同 时发生纵向和横向变位时油位高h，就可以求出一般情 况下，即罐体同时产生纵向和横向变位的油位高h与储
油量V之间的关系模型 VF(。,,h)
三、解题思路（续）
二、问题分析（续）
（3）对于（2）得到的实验罐在纵向倾斜变位情形 下油位高度与储油量的模型，将变位参数 4.1 代入 计算，得出修正后的油位高度间隔为1cm的罐容表标定 值。并与原标定值比较，分析罐体变位的影响。
第二部分：根据实际检测数据，识别实际储油罐罐 体是如何变位的，估计出变位参数，给出实际罐罐容表 的修正标定方法和结果。并分析检验模型的正确性和方 法的可靠性。
太阳影子定位-2015年全国数学建模比赛a题全国二等奖论文
太阳影子定位摘要本文研究的问题是分析直杆在太阳的照射下，影子的角度和长度的变化，再结合相关地理知识和数学几何模型，推算出具体的所在地点和具体日期。
该模型可以用于太阳影子定位技术中，根据物体在阳光照射下影子的变化进行定位。
对于问题一，我们首先根据地球与太阳的位置关系列出太阳赤纬角，太阳高度角，太阳时角的计算式，其中需对较粗略的太阳赤纬角计算式进行修正，得出精准的计算式。
再建立数学几何模型，根据太阳高度角，影长与杆长形成的角边关系，列出影长的计算式。
最后建立一个太阳日照影长模型，该模型以太阳高度角计算式，太阳赤纬角计算式，太阳时角计算式为子函数，以太阳赤纬角，太阳日角，太阳时角，时间初值为中间变量，以当地经纬度，从1月1日到测量日的天数，时间，杆长，年份为自变量的复合函数数学模型。
然后采用由内到外计算法对此复合函数进行求解，计算出从九点到十五点的影长和太阳高度角的变化，得出直杆的太阳影子长度的变化曲线。
对于问题二，我们首先分析因为时间日期已给出，所以根据太阳赤纬角计算式可知太阳赤纬角为已知量，接着我们将影长的计算式进行等式移项变换，得到一个拟合杆长及经纬度的非线性最小二乘模型，该模型将问题一中太阳日照影长模型作为参数拟合对象，以杆长和影长与太阳高度角正切值之积的差值最小误差平方和为目标函数，以太阳高度角计算式，太阳时角计算式为约束条件，以测量时间，天数，影长为已知量。
将该模型在1stopt 软件中运行，采用麦夸尔特算法和通用全局最优化法对该模型进行迭代计算，对实验结果统计分析后得出该直杆相应的北纬为19.29392848度，东经为108.7225248度（海南岛的西海岸）。
对于问题三，除了需要拟合杆长和经纬度以外，还需拟合日期，同样参照影长等式移项变换公式，得到一个拟合杆长、经纬度及日期的非线性最小二乘模型。
同样采用问题二的计算方法得到多组结果，其中附件二最优解地点为新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县(40.0025°N,79.6587°E)，附件三最优解地点为湖北省十堰市郧西县（32.9638°N,110.277°E ）。
2015年数学建模竞赛题目
2015年数学建模竞赛题目（原创实用版）目录1.2015 年数学建模竞赛概述2.竞赛题目分类及解析3.竞赛题目解答思路及方法4.竞赛对学生的意义和影响正文【2015 年数学建模竞赛概述】2015 年数学建模竞赛，即全国大学生数学建模竞赛，是我国面向全国大学生的一项重要的学科竞赛活动。
该竞赛旨在激发大学生学习数学的积极性，提高他们的创新意识和运用数学知识解决实际问题的综合能力，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。
【竞赛题目分类及解析】2015 年数学建模竞赛共有 A、B、C 三个题目，分别涉及不同的领域。
A 题：飞行器设计优化题目要求：根据给定的飞行器参数，建立数学模型，并求解最优设计方案。
解析：此题属于优化问题，需要运用线性规划、非线性规划等相关知识。
B 题：水质监测与评价题目要求：分析给定的水质监测数据，建立评价模型，对水质进行评价。
解析：此题涉及数据处理、统计分析、模糊评价等知识。
C 题：智能家居系统题目要求：设计一个智能家居系统，满足给定的功能需求。
解析：此题需要了解图论、动态规划等知识，以解决网络拓扑结构、任务调度等问题。
【竞赛题目解答思路及方法】1.对题目进行仔细阅读，理解题意，明确题目要求。
2.分析题目涉及的领域和知识点，确定解题思路。
3.利用相关数学方法和工具，建立数学模型。
4.求解模型，得到结果。
5.对结果进行分析和检验，撰写论文。
【竞赛对学生的意义和影响】参加数学建模竞赛，对学生具有重要的意义和影响。
首先，它可以激发学生学习数学的兴趣，提高他们的数学素养。
其次，通过解决实际问题，学生可以锻炼自己的创新能力和团队协作能力。
最后，竞赛成绩优秀的学生，还有机会获得奖学金、保研等优惠政策。
总之，2015 年数学建模竞赛题目涉及多个领域，对参赛学生的知识储备和解题能力提出了较高的要求。
2015 年全国大学生数学建模大赛A题(国家二等奖)
A
e
n
l
h
lgan
l ying
t
p
σ P
m1
Pa
3
四、问题分析
4.1 问题一
凭借各种物体在光线照射下产生的阴影及其变化规律，结合天体运动规律，人们可 以清晰地看出它们的空间位置关系。物体在自然光线照射下产生的阴影还与时间有关。 题目要求作出太阳影子长度变化曲线，已知杆长 3 米，并且立在天安门广场，地理位置 已知，北纬 39 度 54 分 26 秒，东经 116 度 23 分 29 秒。由于地球绕太阳的轨道为规律 的固定轨道，并且地球匀速自转，首先根据给定日期结合太阳运动规律和当地地理位置 及时间，得到太阳角度信息，已知日期为 2015 年 10 月 22 日，可推知地球公转位置， 从而推出太阳相对于地球的空间位置，得出太阳光线方向及角度，运用三角函数可推算 出阴影长度，可进一步求得影长函数关系。
6
太阳赤纬又称太阳赤纬角，为太阳和地球中心的连线与地球赤道平面之间的夹角。 其计算公式近似为
23.45sin
其中， —太阳赤纬角；
2 284 n 365
(1.1)
n —日期序号，即从 1 月 1 日到当天日期的天数。如 4 月 18 日为 n 108 ，10 月
1.2 问题提出
围绕太阳位置规律及影子变化规律，本题提出如下几个问题： （1）建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并 应用建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北纬 39 度 54 分 26 秒，东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 （2）根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定 直杆所处的地点。 建立模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据， 给出若干个可能的地点。 （3）根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定 直杆所处的地点和日期。将模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，给出 若干个可能的地点与日期。 （4）附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出 直杆的高度为 2 米。建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用所建模型给出若干个可 能的拍摄地点。 如果拍摄日期未知，试根据视频确定出拍摄地点与日期。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题优秀论文太阳影子定位模型教程
我们依据太阳位置算法[2]（ SPA）得到太阳位置的几何模型图如图 1 所示：
图 1 太阳位置的几何模型
图中 为高度角， 为方位角， 为纬度角， 为赤纬角， 为太阳时角， 和 能由下列式子计算得到(公式来源:/1GU1iS)：
（1.2）
其中 为一个参数，能通过如下公式得到
2 (d 1) 365
（1.3）
式中， h 为北京时间， 为当地经度， d 为日期，即 1 月 1 日就用 d 1来表
示，假设一年为 365 天，则 d 365表示 12 月 31 日。由式（1.1）可知，相邻两天的赤
纬角 差值几乎为 0，因此当闰年时，我们设定 2 月 28 日的 d 59 ，29 日时 d 59 ，
g( ) (0.006918 - 0.399912 cos( ) 0.070257 sin( ) - 0.006758 cos(2 ) 0.000907 sin(2 ) - 0.002697 cos(3 ) 0.00148 sin(3 ))
（1.1 ）
h15 300
关键词：太阳位置算法 最小二乘法 遗传算法 太阳影子定位模型
一． 问题重述
1.1. 问题背景 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位
技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化来确定视频拍摄的地点和日期的一种方 法。 1.2. 问题提出 1. 建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建
5.1.2. 模型求解
首先根据问题分析和模型，我们将观测日期代入得到赤纬角 21.8985 ，负号表
示太阳直射点在南半球，然后代入求出太阳时角 和高度角 在不同时刻的值，得到表
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赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
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）赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：送全国评奖统一编号（由赛区组委会填写）：全国评阅统一编号（由全国组委会填写）：此编号专用页仅供赛区和全国评阅使用，参赛队打印后装订到纸质论文的第二页上。
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基于matlab与太阳方位角的经纬度计算方法摘要根据影子的变化挖掘出测量地点的信息是一项有挑战性的数学工作，这一工作可能会应用到安全领域的工作之中，本文利用影子的数据挖掘出太阳高度方位信息进而求解出所测量地点的经度纬度实现了成功定位。
针对问题一：我们已知该地点位于北京，并且以北京时间计时，通过分析时角，太阳高度角，以及当天太阳直射位点的关系，我们得到了影子长度与时间的复杂关系模型，为了精确绘制函数图像，我们在这里采用了根据曲率的变化自适应采样绘图的技术，得到了较为精确的函数图像，通过分析，基本符合实际情况。
针对问题二：我们利用已知数据，挖掘出了更多有效信息，通过对影子长度以及时间累积量进行二次多项式拟合，我们找到了包括正午时间。
利用正午时间与北京正午时间的差距，我们找到了当地所在的纬度。
接下来我们针对x，y坐标进行散点绘图，发现它们分别呈现线性增长的特性，在这里我们利用最小二乘法找到了其中的线性关系。
利用上一步求解出的正午时间，我们求解出了正午影子朝向，即正北方向。
在问题一建立的数学关系模型上，我们又利用matlab求解出了相对精确的纬度信息，信息显示，这一地点大致位于我国乌鲁木齐附近。
针对问题三：大致沿用了问题二的数学模型，我们确定了几个可能的日期，求解出了三个可能的坐标：东经107.5°，北纬44.7°，拍摄日期9月30日；东经107.5°，北纬14.79°，拍摄日期11月1日；东经107.5°，北纬20.59°，拍摄日期12月1日。
针对问题四：由于需要从摄像机视频中先测量相关信息，这存在一定的误差。
我们在这里一方面利用像素个数进行较为精确的计数测量，另一方面利用透视原理，对机位测量数据进行了一定的矫正，得到了较为精确的数据。
继续沿用第二个，第三个模型得到了较为精确地解。
其解为：拍摄时间6月23日，北纬50.5521°，东经101°，大致位于蒙古境内；拍摄时间为7月23日，北纬41.8135°，东经：101°，大致位于内蒙古阿拉善盟；拍摄时间为8月23日，北纬33.1815°，东经：101°，大致位于青海省果洛藏族自治州班玛县。
关键字：最小二乘法自适应绘图 matlab 机位矫正数值求解问题重述：如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。
将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。
将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。
4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。
请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。
如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？模型的假设：1.太阳直射点在南北纬回归线的运动大致视为匀速运动2.影子长度仅受太阳高度角的影响，切周围没有人工光源，玻璃幕墙的影响。
3.题中给出的数据是经过精确测量的。
4.影子投影地面是光滑的，没有倾斜。
符号的说明：A 太阳方位角h 太阳的高度角φ 某地的纬度δ 太阳直射地点的纬度t 当地在某时刻的时角b 影子长度前期准备：1.某地的正午太阳高度角：H（当地）=90°-纬度差（*同一纬度相减，异纬相加）；2．太阳高度角随着地方时和太阳的赤纬的变化而变化。
太阳赤纬（与太阳直射点纬度相等）以δ表示，观测地地理纬度用φ表示（太阳赤纬与地理纬度都是北纬为正，南纬为负），地方时(时角)以t表示，有太阳高度角的计算公式：sin h＝sin φsin δ＋cos φcos δcos t3.经过查资料，九月23日为秋分日，太阳直射赤道。
太阳直射点从赤道南移的过程可大致简略为匀速运动。
这一天是十月22日，这一天太阳直射纬度是某日（R）太阳直射点的地理纬度位置=0°+（R—9月23日）*（2 3°26′*4/365），即为0°+30*（23°26′*4/365），即为462.2460′，换算成度，即δ= 7.7041°。
4.昼夜长度的确定，某地的日出日落时间，需要根据当日太阳直射点纬度来确定。
如图，晨昏线与所求解纬度的交点即为日出时间点和日落时间点，两者相隔的度数φ2*24/360即为此日的昼长。
经过资料查询，日出时间T=12*arcCos（tgA *tgB）/π，B为当地纬度，A为太阳直射纬度。
日出时间和日落时间是以当地的中午12点为对称的。
如果是用其他时区时间计时，则需要计算半个白昼时间再在正午时间的基础上加减来计算日出日落时间。
5．时角的确定。
某地时角在当地正午为0，由于地球每小时大致自转15°，所以上午为(正午时间-当下时刻)*15°，下午为(-正午时间+当下时刻)*15°。
6通过资料查询，我们得到，一天之中的太阳方位角是一个变化的，其具体的变化方程为cosA = (sinhsinφ - sinδ) / (cosh cosφ)。
模型一：1.1建立模型：根据资料 sin h＝sin φ sin δ＋cos φ cos δ cos t，h为太阳高度角，φ为该地纬度，δ为这一天的太阳直射点纬度，t为时角；又因为影子长度仅仅与物体有效高度以及此地太阳高度角有关，所以影子长度l，l=x*tan（h）；其中，h为太阳高度角，x为物体有效高度，l为影子长度。
这一天是十月22日，这一天太阳直射纬度是某日（R）太阳直射点的地理纬度位置=0°+（R—9月23日）*（23°26′*4/365），即为0°+30*（23°26′*4/365），即为462.2460′，换算成度，即δ= 7.7041°。
对于此地太阳时角t，地球自转一周为一天，即为24小时，不同的时间有不同的时角，以t表示。
由于北京市以北京时间为参考计时，故北京的正午时间为北京时间12点整。
地球自转一周为360°，因此每小时的时角为15°，即太阳时角表示为：t=15*(t2-12)，t2表示日照时数。
所以，建立如下模型（1）。
sin h＝sinφsinδ＋cosφcosδcos t δ= 7.7041° =0.0214pi φ=39°54′2′′（2）。
l=x*tan（h），x=3（3）。
t=15*(t2-12)，9=<t2<=151.2 模型的求解利用mailab我们做图，matlab在绘制函数的时候往往以固定步长采样，再将这些点用光滑的曲线连接，这个过程中，由于采样步长过大，一些曲率较大的函数部分往往在绘图的时候会丢失细节信息，而在这里，目标函数是十分复杂的，因此，我们采取一种新的采样方式，在区率较小，函数变化平缓的地方以固定步长采样，而在曲率较大，函数变化十分剧烈的地方，我们以曲率的线性函数关系调整步长，这样在曲率大的地方往往会得到更多的采样点，我们绘制得到的函数图像如下图。
在图中，我们可以清楚地看到，一天中，影子长度是以中午为中心对称变化的，而影子长度在当地正午达到最短，这是与实际相符合的。
而影子长度与时间也大致呈二次函数关系。
模型二：2.1．模型分析：由于原题中并没有指出如何建立的x-y 坐标系，所以具体的南北正方向需要根据数据来进一步求解。
通过分析我们可以知道，一天中正午时间太阳高度角达到最大，此时对于北半球的此地，太阳位于其正南方，影长达到最短，影子方向指向正北方方向。
而影子方向始终背离太阳方向，也就是说我们可以根据影子方向确定每时每刻的太阳方位角。
对于影子长度与时间的我们运用最小二乘法计算出它们的二次关系，进而推求出正午影长以及正午时间。
对于短时间内之中x，y数据与时间的变化关系，我们通过对数据相关性的分析，可以知道x，y坐标在短时间内与累计时间呈现高度线性关系，我们在此应用最小二乘法进行线性拟合，求解出其线性函数，经过检验。
而对于这一问题，这一天在春分日前后，昼长大致12小时，太阳直射赤道处。
1）。
对于经度的求解，我们可以根据已经计算出来的当地正午北京时间，以北京所在的东八区为参照，求解出所在经度。