相似三角形中的动点问题
相似三角形中的辅助线及动点问题（经典题型）
第2讲 相似三角形中的辅助线及动点在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种：一、作平行线一、作平行线例1. 如图，D A B C 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：BF CF BDCE=例2. 如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ， 证明：AB ·DF=AC ·EF 。
二、作垂线二、作垂线例3. 已知：如图两个等积ABC D 、DBC D ，若AC 、BD 交于E ，EF ∥AB ，EG ∥CD ，分别交BC 于F 、G ，求证：CF=BG 。
如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：例 4. 如图从2AB=AEACADAF×。
+×三、作延长线三、作延长线例5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的的面积。
面积为21，求△HBC的面积。
例6. 如图，Rt D ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG^AB于G，求证：FG2=CF·BF 四、作中线四、作中线D中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。
例7 如图，ABC动点题型1、如图正方形ABCD的边长为2，AE=EB，线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动，且MN=1，当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？为顶点的三角形相似？2、如图，正方形ABCD的边长为2，AE AE＝＝EB EB，，MN MN＝＝1，线段MN的两端在CB CB、、CD上滑动，当CM为何值时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？为顶点的三角形相似？H EDCBAP3、如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F . (1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？请说明理由. (2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF 的长。
相似三角形动点问题题型归纳
相似中动点问题题型一位似图形例 1 如图 , O 是坐标原点， B、 C 两点的坐标分别为 (3， -1)、 (2,1)．(1)以 0 点为位似中心在y 轴的左侧将△ OBC 放大到两倍 (即新图与原图的相似比为2)，画出图形；(2)分别写出 B 、 C 两点的对应点 B′、C′的坐标；(3)如果△ OBC 内部一点 M 的坐标为 (x， y),写出 M 的对应点 M′的坐标．例 2 如图，图中的小方格都是边长为 1 的正方形，△ABC 与△ A′ B ′是C关′于点 0 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1〕画出位似中心点 0；（2〕求出△ ABC 与△ A′B′的C′位似比；〔3〕以点 0 为位似中心，再画一个△ A 1B 1C1，使它与△ ABC 的位似比等于．题型二 动点存在问题1 如图，在△ ABC 中， AB=8 ， BC=7 ，AC=6 ，有一动点 P 从为 2 单位 /秒，有一动点 Q 从 C 沿 CA 移动到 A ，移动速度为多少时间时，△ PQA 与△ BCA 相似。
A 沿 AB 移动到 B ，移动速度1 单位 /秒，问两动点同时移动2、如图，在平面直角坐标系内，点 A 〔 0，6〕、点 B 〔 8，0〕，动点 P 从点 A 开始在线段AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动 , 设点 P 、Q 移动的时间为 t 秒． (1) 求直线 AB 的解析式； (2) 当 t 为何值时，△ APQ 与△ AOB 相似？ (3) 当 t 为何值时，△ APQ 的面积为24个平5方单位？yAPQOxB3、如下图，在矩形ABCD中， AB=12cm， BC=6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以2厘米/秒的速度移动；点Q沿 DA边从点D开始向点 A以1厘米/秒的速度移动。
相似三角形中的动点问题
1.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，在下列条件下： ①∠AED=∠B；②∠ADE=∠C；③AD：AC=AE：AB；④DE：BC=AD：AC. 能判定△ADE与△ACB相似的有 ①、②、③ .
(第1题)
(第2题)
2.如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12.在AB上取点
沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为6cm/s.P、
Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为t
s.当t＝
s时，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似．
【变式训练2】如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从B开始
沿BA边运动，速度为2cm/s；动点Q从点C开始沿CB边运动，速度为4cm/s.P、
【归纳总结】
1、动点形成相似三角形关键看通过什么判定定理判定？ 2、具体解题步骤： （1）用t表示动态线段； （2）根据相似的判定定理，写出相似符号语言； （3）根据对应边成比例，列出含有t的方程； （4）解方程； （5）检验作答.
【变式训练1】 如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从A开始
Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为t
s.当t＝
s时，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似．
【当堂检测】
如图所示，梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3， 点P以1cm/s的速度从点A出发向点B运动，经过几秒，△PA来自与△PBC相似？谢谢指导！
●E
【例题讲解】
例题 如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从A开始沿AB边运
相似三角形动点问题
相似三角形中的动点问题（1）例1：如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动,动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A移动,如果点P、Q同时出发,要使△CPQ与△CBA相似,所需的时间是多少秒？练习1：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20cm, BC=15cm,现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动，动点Q 从点C出发,沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s,点Q的速度是2cm/s，它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动,设运动时间为t.求:(1)当t=3s时，P,Q两点之间的距离是多少？(2)若△CPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式.(3)当t为多少时,以点C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？练习2：课后作业：（选做题）如图,已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发,分别沿AB 、BC 匀速运动,其中点P 运动的速度是1cm/s,点Q 运动的速度是2cm/s.当点Q 到达点C 时,P 、Q 两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:(1)当t=2时，判断△BPQ 的形状,并说明理由; (2)设△BPQ 的面积S(cm2),求S 与t 之间的函数关系式; (3)作QR ∥BA 交AC 于点R, 连接PR,当t 为何值时,△APR ∽△PRQ.1、2、相似三角形中的动点问题（2）例2：如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3, DC=5, AB=42,∠B=45°,动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动,设运动时间为t秒.(1)求BC的长;(2)当MN∥AB时, 求t的值;(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.练习：课后作业：1、平面直角坐标系中,已知点A(0，6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动,同时Q点从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q移动的时间为t秒;(1)求直线AB的解析式;(2)当t为何值时, 以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似？(3)当t=2秒时,四边形OPQB的面积是多少个平方单位.（选做题）（3）在AB上是否存在点M,使得△EFM为等腰直角三角形？若存在，请求出EF的长；若不存在，请简要说明理由.2、。
相似三角形汇总5相似中的动点问题
相似三角形提高一、相似三角形动点问题1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BB 1∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF ⊥AC 交射线BB1于F ，G 是EF 中点，连接DG ．设点D 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度；（2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值．2.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB=6m ，BC=8m ，动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移动．同时，动点Q 以1m/s 的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当t=2.5s 时，求△CPQ 的面积；②求△CPQ 的面积S （平方米）关于时间t （秒）的函数解析式；（2）在P ，Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，求出t 的值．3.如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上运动，DE 平分∠CDB 交边BC 于点E ，EM ⊥BD ，垂足为M ，EN ⊥CD ，垂足为N ．（1）当AD ＝CD 时，求证：DE ∥AC ；（2）探究：AD 为何值时，△BME 与△CNE 相似？4.如图所示，在△ABC 中，BA ＝BC ＝20cm ，AC ＝30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，当P 点到达B 点时，Q 点随之停止运动．设运动的时间为x ．（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）△APQ 与△CQB 能否相似？若能，求出AP 的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0＜t ＜6）。
相似三角形中的辅助线及动点问题(经典题型)
动点题型
1、如图正方形 ABCD 的边长为 2，AE=EB，线段 MN 的两端点分别在 CB、CD 上滑动，且 MN=1，当 CM 为何值时△AED 与以 M、N、C 为顶点的三角形相似？
一、作平行线
例 1. 如图， ABC 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E，且使 AD＝AE，DE 延长线与 BC 延长线相交于 F， 求证：
BF BD CF CE
例 2. 如图，△ABC 中，AB<AC，在 AB、AC 上分别截取 BD=CE，DE，BC 的延长线相交于点 F， 证明：AB·DF=AC·EF。
1
三、作延长线 例 5. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，若∠BCD 的平分线 CH⊥AB 于点 H，BH=3AH，且四边形 AHCD 的 面积为 21，求△HBC 的面积。
例 6. 如图，Rt ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，E 为 CD 的中点，AE 的延长线交 BC 于 F，FG AB 于 G，求证：FG =CF BF
A P H E D
B
C
1.如图，已知一个三角形纸片 ABC ， BC 边的长为 8， BC 边上的高为 6 ， B 和 C 都为锐角， M 为 AB 一 动点（点 M 与点 A、B 不重合） ，过点 M 作 MN ∥ BC ，交 AC 于点 N ，在 △ AMN 中，设 MN 的长为 x ， MN 上的高为 h ． （1）请你用含 x 的代数式表示 h ． 使 △ AMN 落在四边形 BCNM 所在平面， 设点 A 落在平面的点为 A1 ， △ A1 MN （2） 将 △ AMN 沿 MN 折叠， 与四边形 BCNM 重叠部分的面积为 y ，当 x 为何值时， y 最大，最大值 为多少？
相似三角形动点问题题型
x A O Q P B y动点问题 题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点 1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。
然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。
图（3）ABC OEF AB CO D图（1）ABOE FC 图（2） 2、如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论xy M CD P QOAB 3、如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。
相似三角形之动点问题-含参考答案
中考数学复习之相似之动点问题（学案）知识与方法梳理1．研究基本图形，标注基本图形是动点运动的背景，需要研究边和角，寻找模型或结构，或者转化坐标和表达式．2．分析运动过程，分段，定范围关注起点、终点和状态转折点．状态转折点是图形状态发生变化的点，常见的状态转折点有拐点、相遇点等．3．根据不变特征建等式依分段画图形，表达相关线段长，根据不变特征建等式，结合范围验证结果．表达的常用手段有s=vt、相似、勾股定理等；根据不变特征建等式需要把不变特征跟基本图形信息结合起来考虑，常见不变特征有相似、直角、等腰等．例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？（2）在运动过程中，是否存在某一时刻使△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．（1）1025713t=或；（2）525321t=或．解：(1)若A、P、Q与ABC相似时，∆APQ为直角三角形；1.若∠APQ=90°时，易知∆APQ~∆ACB，AP AQAC AB=即有5245t t-=得t=2513Q2.若∠AQP=90°时，∆APQ~∆ABC ，AP AQ AB AC =即有5254t t -=得t=107(2)1.当PA=PQ 时，作PD ⟂AQ 于点D ，AQ=2t ，则AD=t ，AP=5-t ，∆APD~∆ABC ，AP AD AB AC =，即有554t t -=，t=209>2，故舍去.2.当AP=AQ 时，即有5-t=2t ，即t=53；3.当QA=AP 时，作QF ⟂AP 于点F ，易知∆AQF~∆ABC ，AF AQ AC AB =，即有52245tt-=，t=2521练习题1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC:BC=4:3．点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿折线B→C→A 向点A运动，速度为2cm/s，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为x（s）．（1）设△PBQ的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当Q在BC上运动时，是否存在以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）当Q在CA上运动，且PQ⊥AB时，以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC是否相似？请说明理由．CA BCA BCA B2．如图，直角梯形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OA∥CB，A(4，0)，B(3，3)．点M从点O出发以每秒2个单位长的速度向点A运动，同时点N从点B出发，以每秒1个单位长的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点N作Array NP⊥x轴于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t（秒）．（1）使线段AQ，QM，MA能围成三角形的t的取值范围是_____________．（2）求△AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式．（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=B=45°．动点M从点B出发，沿线段BC以每秒1个单位长的速度向终点C运动，动点N同时从点C出发，沿折线C→D→A以同样速度向终点A运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．（1）求在运动过程中形成的△MCN的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．（2）当N在CD上运动时，△MCN能否成为等腰三角形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．A DB CA DB CA DB C4．如图，直角梯形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OA∥CB，A(15，0)，B(10，12)．动点P，Q分别从O，B两点同时出发，点P以每秒2个单位长的速度沿OA方向向终点A运动，点Q以每秒1个单位长的速度沿BC方向向终点C运动，当一个点到达Array终点时，另一个点也随之停止运动．线段OB，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q的运动时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形P ABQ是平行四边形？（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？5． 如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点O 与坐标原点重合，点A ，B 坐标分别为(8，6)，(16，0)．点P 从点O 出发沿OA 方向向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 从点B 出发沿BO 方向向终点O 运动，速度为每秒2个单位．如果P ，Q 同时出发，用t （秒）表示运动时间，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．（1）设△OPQ 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式． （2）△OPQ 与△OAB 能否相似？若能，求出相应的t 值； 若不能，请说明理由．6．如图，直线y=-4x-4与x轴交于点A，与y轴交于点C，直线y=43x-b过点C，与x轴交于点B．动点D从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时动点E从点B出发，沿线段BC向终点C运动，速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为t （秒），当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．（1）连接ED，设△BDE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）在运动过程中，当△BDE为等腰三角形时，求t的值．【参考答案】1.（1）2248035351423755x x x y x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤．（2）存在，3013x =．（3）不相似 2.（1）0≤t <2（2）23332442S t t t =-++<（0）≤（3）存在，M (2,0)或M (2619，0)3.（1）22405522058t tt S t t ⎧-+⎪=⎨⎪-+⎩＜＜≤≤（2）能成为等腰三角形，50511t =或 4. （1）t =5（2）174（3）t =13或56或43或1935.（1）232455y t t =-+(08)t <<（2）能相似，12840219t t ==或 6.（1）22855S t t =-+（2）202421111t =或或。