用直角坐标表示位移速度和加速度
一、位移、速度、加速度dtrdv...
I = ∫ Fdt = P2 − P1
t1
t2
合外力为零时, P = 常矢量
三、质心及质心运动定理： rc
∑m r =
m
i i
F = Mac
四、角动量定理
dL d ( r × p ) M = r×F = = dt dt
五、角动量守恒定律
M = 0 ⇒ L = 常矢量
例3.1 如图示，从半径为R的均质圆盘上挖掉一块半径 为r的小圆盘，两部分中心O和O′相距为d，且 （d + r）< R 。 求：挖掉小圆盘后，该系统的质心坐标。 解：由对称性分析，质心C应在 x 轴上。 用挖补法 1) 先将挖去的部分补上 计算总的质心位置
at = an ⇒ − c
(
(b − ct ) =
2
)
b 2 b R ⎛ b ⎞ < R, ∴ t = + ∵⎜ ⎟ ∴t = ± c ⎝ c⎠ c c
R c
3.一质点沿 X 轴作直线运动，其 v − t曲线
如图所示。当 t = 0时，质点位于坐标原点 ，
则 t = 4.5s时，质点在 X轴上的位置为：
质点力学习题课
质点运动学
一、位移、速度、加速度
dr v = dt
dv 二、圆周运动 a τ = τ dt
三、相对运动
v = v′ + u
v2 a n = vω n = R ω 2 n = n R
dv d r a= = 2 dt dt
2
a = a ′ + a0
运动学中的两类问题：
1、已知运动方程，求轨迹方程(消t)、速度及加速度(求导) --------微分法 2、已知加速度 a (t ) 及初始条件，求运动方程、轨迹方程 --------积分法
如何在物理学中描述物体的运动状态？
如何在物理学中描述物体的运动状态？
在物理学中，描述物体的运动状态需要使用三个物理量：位置、速度和加速度。
1.位置：物体的位置是描述物体在空间中的位置，通常使用直角坐标系来表
示。
例如，一个物体的位置可以表示为(5, 3, 2)。
2.速度：物体的速度是描述物体在单位时间内所移动的距离。
在物理学中，
速度被定义为位移的导数，或者说位移的变化率。
例如，一个物体在匀速直线运动时，速度是一个常量，可以表示为v = Δx / Δt，其中v是速度，Δx是移动的距离，Δt是时间。
3.加速度：物体的加速度是描述物体在单位时间内速度所变化的量。
加速度
是速度的导数，或者说速度的变化率。
例如，一个物体在匀加速直线运动时，它的速度会随着时间的变化而改变，加速度可以表示为a = Δv / Δt，其中a是加速度，Δv是速度的变化量，Δt是时间。
从运动状态的角度来看，物体的位置、速度和加速度是相互关联的。
物体的位置决定了它的速度，而速度又决定了它的加速度。
同时，物体的运动状态也取决于外力的作用。
外界作用力会改变物体的速度和加速度，进而影响其位置和运动状态。
总之，描述物体的运动状态需要同时考虑位置、速度和加速度这三个物理量。
§2、速度、加速度的分量表达式
§2、速度、加速度的分量表达式上一次课，我们为了将运动的一些特征能直接的表示出来，而定义了速度和加速度，22;dt r d dt v d a dt r d v =≡≡ 。
在一般情况下它们往往都是时间t 的函数。
何谓定义呢？定义它本身不是可以用什么方法或者数学手段加以证明得到的，而是根据实际需要常常用到而定义下来的名称和概念。
例如过两点成一条直线……。
由于速度和加速度都是矢量，因此都可以将它们表示成分量的形式。
这次课将准备讨论速度、加速度在各种坐标系中的表达式。
一、 直角坐标系——直角坐标系又称笛卡儿坐标系在直角坐标系中，质点的位置矢径可以写成为：........z k y j x i r ++= （1）根据速度的定义可知dtr d v ≡将（1）代入，则有 1、速度： z y x v k v j v i dt dz k dt dy j dt dx i z k y j x i dt d dt r d v ++=++=++==...........................................)(于是，我们比较上面的等式，就可得到速度在直角坐标系中的分量表达式为：z dtdz v y dt dy v x dt dx v z y x ======;;可见速度沿三直角坐标轴的分量（即分速度）就等于其相应的坐标对时间t 的一阶导数。
速度的大小：222z y x v v v v v ++== 速度的方向就用方向余弦来表示：vv k v v v j v v v i v z y y ===),cos(;),cos(;),cos( 。
同理，我们由加速度的定义不难得到它的分量表达式。
2、加速度根据加速度的定义：zy x z y x a k a j a i dt dv k dt dv j dt dv i dt z d k y d j x d i dt dz k dy j dx i dt d dt v d a ++=++=++=++==2222)(比较这些恒等式可得加速度的直角坐标分量表达式：z dt z d v dv a y dt y d v dt dv a x dtx d v dt dv a z t z y y y x x x ============222222 于是可得加速度的大小为：222z y x a a a a a ++== 加速度的方向用方向余弦表示。
四个物理量及在直角坐标中的描述
a (t )
第一讲 描述质点运动的四个物理量
例1.一质点沿 x 轴作直线运动，其v-t曲线如图所示，t = 0 时，质点位于坐标原点，求：t= 4.5s时，质点在x轴 上的位置，及质点在这段时间内通过的路程。 解： x
vdt
2
v(m/s)
等效于求面积：
(2.5 1) 2 (1 2) 1 1 x 0 2 2 2m
第一讲 描述质点运动的四个物理量
dx dy 2x 2 y 0 dt dt
练一练：中 点C的速度 是多少？
例3.已知一质点作平面运动, 其加速度 求质点的运动方程 v t dv a adt 解： dv v0 0 dt
a 为恒矢量,
积分可得
积分可得
1 2 r r0 v0t at 2 1
第二讲 自然坐标系和相对运动
第三讲 本章小结及习题分析
第一讲 描述质点运动的四个物理量
第一讲
1-0 引言 1-1位矢 1-2 位移 1-3 速度 1-4 加速度 1-5 质点运动学的两类问题
第一讲 描述质点运动的四个物理量
1-0 引言：你怎样科学地描述运动？
1. 参考系与坐标系 •运动是绝对的,运动的描述是相对的 •参照系:描写物体运动选择的标准物。 Z
第一讲 描述质点运动的四个物理量
讨论： 比较位移和路程
r AB
s
A
s AB
r
B
位移：是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质 点运动轨迹无关，只与始末点有关。 路程：是标量，是质点通过的实际路径的长，与质 点运动轨迹有关
r s 何时取等号？
第一讲 描述质点运动的四个物理量
位移、速度、加速度
1-1-2
２、速度 Velocity 瞬时速度、简称速度： v = lim t→0 r/ t = dr/dt 速度方向为所在点轨迹的切线方向，并 指向质点前进的一方 在直角坐标系中 v = dx/dt i + dy/dt j + dz/dt k 速度分量 vx = dx/dt , vy = dy/dt , vz = dz/dt 速度的大小： | v | = ( vx2 + vy2 + vz2 )1/2
1-1-2
v(t) P Q ρ no dθ
v(t+dt)
O vdθ v(t) v(t+dt) dv dv
1-1-2
dv = dv to + vd no 所以 vdt =ρd 故 d /dt = v /ρ 将上式两边除以dt可得质点在P点的加速度 a = dv/dt = dv/dt to + vd /dt no = dv/dt to + v2/ρ no dv/dt 为沿切向分量，故称为质点的切 向加速度 at ，其值等于速率的变化率，它 表示速度变化的快慢。
例1-2 有一质点沿x轴作直线运动为 x(t) = 4.5t2 - 2t3 (SI)，试求: (1)第2秒内的平均速度 v， (2)第2秒末的速度 v， (3)第2秒内经过的路程s 及平均速率 v， (4)第2秒末的加速度 a 。 解:(1) vx = x/ t = [ x(2)- x(1)]/( 2 - 1 ) = (4.5×22－2×23 )－(4.5－2) = - 0.5 m /s v = - 0.5 i m /s
1-1-2
1-1-2
vx = 9t - 6t2 (4) 加速度 ax = dvx/dt = 9 - 12t |t=2 = 9 - 12×2 = - 15 ( m/s2 ) 因为加速度与速度方向相同， 所以质点在２秒末作加速运动。
位移时间、速度时间图像
0
-1
回到原点
t/s
12345
X-t图像中，
图线与横轴交点的意义: 表示物体回到原点
1.在图所示的X-t图象中，能表示质点作匀速直 线运动的是（ AB）
X/m
X/m
OA
t/s
X/m
OB
t/s
X/m
OC
t/s
OD
t/s
2.下列有关匀速直线运动的叙述正确的是（ B）
A.做匀速直线运动物体的位移和路程相同 B.做匀速直线运动物体的位移大小和路程相等 C.相等时间内路程相等的运动一定是匀速直线 运动 D.匀速直线运动的位移-时间图像一定是一条 过原点的直线
X/m
O
t/s
X-t图像中，
平行于t轴的直线表示的是: 物体静止
X/m
O
t/s
X-t图像中，
曲线表示的是: 物体做变速直线运动
位移方向是相对于坐标轴的原点, 用
X/m
“＋”“－”号来表示, “＋”表示质点
在原点的正方向的一侧, “－”表示质点
X2
B
位于原点的另一侧, 位移由“＋”变为 “－”并不表示质点的运动方向的改变。
t/s
在直角坐标系中, 用横轴表示时间, 用纵轴
表示速度。
V/(m/s)
a
b
c
o
t/s
从图像中, 可以看出速度随时间的变化情况。
物理意义:
描述物体速度随时间的变化关系
1.图线上任意一点的横纵坐标表示物体在 某一时刻及对应的速度。
2.图线上起点的横纵坐标表示物体开始 运动的时刻及初速度。
v/(m/s)
C
E
t/s
A、在AB段，物体做匀速直线运动 D B、在CD段和DE段，物体的速度方向不同 C、在C点，物体的速度为零 D.在E点，物体的位移为零
《物理学教学课件》1-2 位移 速度 加速度-PPT文档资料
et
a
en
an v2
a at2 an2
( dv )2 ( v2 )2
dt
四、 质点运动学两类基本问题
1）由质点的运动方程可以求得质点在任 一时刻的位矢、速度和加速度；
2）已知质点的加速度以及初始速度和初始 位置, 可求质点速度及其运动方程．
r(t) 求导 v ( t )
1-2 位移 速度 加速度
一、位移与路程
平面运动:
r r B A x x B A i i y y B A j j， ，y
r
A
rrBrA
( x B x A ) i ( y B y A ) j o
A
r
yByA
B
rB
x
xBxA
三维 运r 动 : x i y j z k
dl dt
v0
代入 v船
dx dt
l x
dl dt
得
v船xl v0
v0
cos
负号表示沿x 轴负方向。
课堂练习：如图A、B y
两物体由一长为 l 的
B
刚性细杆相连，A、B 两物体可在光滑轨道
t0t dt
v dxidy
j
y
v y
dt dt
vxivyj
o
若质点在三维空间中运动，其速度
v v x i v y j v z k
vv vx2vy2vz2
v
v x
x
3. 平均速率与速率
v s v lims ds
t
t0 t dt
注意
r ， r ， r
平面直角坐标系的应用
平面直角坐标系的应用一、引言平面直角坐标系被广泛应用于几何学、物理学、工程学以及其他许多领域中。
它是一种用于在平面上确定点位置的坐标系统。
本文将探讨平面直角坐标系的基本概念、应用以及在不同领域中的实际应用案例。
二、平面直角坐标系的基本概念平面直角坐标系由两条相互垂直的直线组成，分别称为X轴和Y轴。
这两条直线的交点被称为坐标原点(O)。
X轴和Y轴将平面分成四个象限，分别编号为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
三、1. 几何学应用平面直角坐标系在几何学中被广泛应用。
通过给出点的坐标，我们可以确定该点在平面上的位置。
这种坐标系使得计算坐标之间的距离、角度和面积等几何量变得更加简单和直观。
2. 物理学应用在物理学中，平面直角坐标系被用于描述物体在平面上的位置和运动。
例如，在力学中，我们可以通过使用平面直角坐标系来分析物体在平面上的受力情况，从而计算其加速度、速度和位移等物理量。
3. 工程学应用工程学中广泛应用平面直角坐标系。
例如，在建筑工程中，使用该坐标系可以绘制建筑平面图，并确定建筑物各个部分的位置和尺寸。
在土木工程中，平面直角坐标系可用于设计道路和桥梁的布局，计算地形高程和坡度等。
4. 统计学应用平面直角坐标系在统计学中也有重要的应用。
例如，在数据分析中，可以使用该坐标系来绘制散点图，直观地展示数据的分布情况和相关性。
此外，平面直角坐标系还可以用于绘制直方图、箱线图等图表，帮助我们更好地理解和解释数据。
四、平面直角坐标系的实际应用案例1. GPS定位系统全球定位系统（GPS）是一种通过卫星信号定位的技术，其中使用了平面直角坐标系。
GPS接收器通过接收多颗卫星发送的信号，计算出其在平面直角坐标系中的位置，从而确定接收器所在的地理位置。
2. 图像处理在图像处理中，平面直角坐标系被用于描述图像中像素的位置。
通过给定像素在X轴和Y轴上的坐标，我们可以准确定位图像中的某个点，并进行各种图像处理操作，如裁剪、旋转和缩放等。
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v
v
2 x
v
2 y
v
2 z
速度的方向用方向余弦表示为
cosα vvx , cosβ vvy , cosγ vvz
二. 加速度
a
d2r dt 2
d2 dt 2
(xi
yj
zk )
d2x dt 2
i
d2 dt
y
2
j
d2z dt 2
k
1. 第一类问题 已知运动学方程，求 v , a
例
已知一质点运动方程
r
2t
i
(2
t
2
)
j
求 (1) t =1s 到 t =2s 质点的位移
(2) t =2s 时 v ，a
(3) 轨迹方程
解 (1) 由运动方程得
r1
2i
j
r2
4i
2j
r r2 r1 2i 3 j
axi ay j azk
ax
d2x dt 2
dv x dt
ay
d2 y dt 2
dv y dt
az
d2z dt 2
dv z dt
大小为
a
ax2
a
2 y
az2
方向用方向余弦表示为
cosα aax cosβ aay
cosγ aaz
四. 运动学的二类问题
r0
8k
8t
2
j
8k
(2)
v
dr
2i 2t
j
a
d v
2 j
dt
t =2s 时
v 2
2
i
4
j
dt
a 2
2
j
(3) x 2t y 2 t2 轨迹方程为 y 2 x2 / 4
2. 第二类问题 已知加速度和初始条件，求 v , r
例
已知
a
16 j
,t
=0
时，v0
6i ,
r0
8k
求 v 和运动方程
解 由已知有
dv
a
16 j
dt
v
-v0
16t
j
v
v0
dv
t
16dt j
0
v
6i
16t
j
dr v dt
r r0
dr
t 0
( 6i
16t
j )dt
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§1.3 用直角坐标表示速度和加速度
一. 速度
矢量运算转化为代数量的运算
v
dr
d
(xi
yj
zk )
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt
dt dt dt
vxi vy j vzk
vx
dx dt
vy
dy dt
vz
dz dt
速度的大小为