《2.1.1曲线与方程》同步练习1
北师大版高中数学选修2-1曲线与方程同步练习.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作曲线与方程同步练习【选择题】1．下列各点在方程x2+y2=25(y≥0)所表示的曲线上的是（A）(–4, –3) （B）(–32, 13) （C）(–23, 13) （D）(3, –4)2．已知坐标满足方程f(x, y)=0的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（A）曲线C上的点的坐标都适合方程f(x, y)=0（B）不在曲线C上的点的坐标必不适合方程f(x, y)=0（C）凡坐标不适合方程f(x, y)=0的点都不在曲线C上（D）不在曲线C上的点的坐标有些适合方程f(x, y)=03．若命题“以方程f(x, y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是正确的，则下列命题正确的是（A）曲线C上的点的坐标都是方程f(x, y)=0的解（B）坐标不满足方程f(x, y)=0的点不在曲线C上（C）方程f(x, y)=0的曲线是C（D）不是曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x, y)=04．下列方程表示相同曲线的是（A）y=|x|与y=33x（B）|y|=|x|与y2=x2（C）y=x与y=2x（D）x2+y2=0与xy=05．曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2–4x–5=0的公共点的个数是（A）4 （B）3 （C）2 （D）16．曲线x–y2=0与曲线(x–1)2+y2=1的交点坐标是（A）(0, 0)或(1, 1) （B）(1, 1) 或(1, –1)（C）(0, 0), (1, 1) 或(1, –1) （D）(0, 0), (1, 1) 或(–1, 1)7．等腰三角形底边的两个点是B(2, 1), C(0, –3)，则顶点A的轨迹方程是（A）x–2y+1=0 (x≠0) （B）y=2x–1（C）x+2y+1=0 (y≠1) （D）x+2y+1=0 (x≠1)8．下列命题中：① 设A(2, 0),B(0, 2)，则线段AB的方程是x+y–2=0；② 到原点的距离等于5的动点的轨迹方程是y=2；③ 设A(–2, 0), B(2, 0),25xC(0, 2)，则△ABC的边BC的中线方程是x=0；④ 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x2–y2=0。
高中数学 3.4《曲线与方程》同步练习 北师大版选修21
2.1《曲线与方程》同步练习一、选择题1. 若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是（ ）A. 曲线C 的方程是(,)0f x y =B. 方程(,)0f x y =的曲线是CC. 坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上D. 坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上2. 方程|2|||y x =表示的图形是 （ ）A. 两条平行直线B. 两条相交直线C. 有公共端点的两条射线D. 一个点3. “点M 在曲线x y 42=上”是“点M 的坐标满足方程x y 2-=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若直线022=--k y x 与k x y +=的交点在曲线2522=+y x 上，则k 的值是（ ）A. 1B. －1C. 1或－1D. 以上都不对二、填空题5. 求方程c bx ax y ++=2的曲线经过原点的充要条件是 .6. 已知：[0,2)απ∈，点(cos ,sin )P αα在曲线22(2)3x y -+=上，则α的值是 ；7. 方程2222(4)(4)0x y -+-=表示的图形是 .8. 曲线2244x y +=关于直线y x =对称的曲线方程为____________________.三、解答题9. 已知线段AB ，B 点的坐标为（6，0），A 点在曲线y=x 2+3上运动，求AB 的中点M 的轨迹方程.10. 已知点A （－1，0）、B （2，0），求使∠MBA=2∠MAB 的动点M 的轨迹方程.参考答案1. C 【解析】利用逆否命题我们可以判定选项C 是已知的逆否命题，真值相同.2. B 【解析】去掉绝对值符号，我们可以得到x y 21±=，显然是表示两条直线.3. B 【解析】由已知条件不一定可以推出结论，但是由结论可以推出条件，因此选B4. C 【解析】联立方程组⎩⎨⎧+==--kx y k y x 022解得交点为（－4k ，－3k ），代入到圆的方程中，就可以求得k 的值.5. c=0 【解析】首先曲线过点（0，0），得到c=0，反之，当c=0时，曲线也过原点.6.3π，35π 【解析】把点P 代入得到三角函数的关系式，就可以求得21cos =α，从而求解α. 7. 表示4个点)2,2(),2,2(),2,2(),2,2(----.【解析】由于平方和为0，故4422--y x 和同时为零.8. 4422=+x y 【解析】研究曲线关于直线的对称问题，我们设直线上任意一点P ，以及相应的对称后的点P 1，然后利用垂直的关系式和中点在对称轴上，我们得到坐标关系式，就可以求出已知曲线上任意一点的坐标与未知曲线上点的坐标的关系式，点随点动，我们由此得到答案.9. 解：设AB 的中点M 的坐标为（x ，y ），又设点A （x 1，y 1），则点A （x 1，y 1）在曲线y=x 2+3上，则将y 1=x 12+3代入，得：2y=（2x －6）2+3 整理，得AB 的中点M 的轨迹方程为()233x 2y 2+-= 10. 解：设点M （x ，y ）（1）如果∠MBA=ο90，则∠MAB=ο45，从而△ABM 为等腰直角三角形可得M （2，3）与（2，－3）（2）如果∠MBA≠ο90，设点M 在x 轴或x 轴上方则由 22)1(1122tan 1tan 2tan 1tan ,2tan +-+⋅=--∠-∠=∠+=∠--=∠x y x y x y MABMAB MBA x y MAB x y MBA 得及 整理得0)33(22=--y x y ①当点M 在x 轴下方，同样可得到①若y=0，由于只有在x∈（－1，2）时，∠MBA=∠MA B=0符合题意，所以轨迹方程为y=0（－1<x<2）若03322=--y x 满足题意，动点M 应在AB 的垂直平分线右边，所以应有)2x (1x ≠≥综上所述，所求轨迹方程为)2x 1(0y <<-=或)2x 1x (13y x 22≠≥=-且 点评：（1）要全面考虑曲线上动点运动的各种情况，以避免“少”点或“多”点，如本题容易遗漏y=0（－1<x<2），没有注意当03322=--y x 时的限制条件;21≠≥x x 且（2）画出方程表示的图形是帮助思考和检验的有效方法之一.。
人教版高中数学选修2-1同步练习：2.1 曲线与方程
2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.已知曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”是“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.方程|y|-1=表示的曲线是()A. 两个半圆B. 两个圆C. 抛物线D. 一个圆3.方程x2-xy+2y+1=0表示的曲线经过点A(1,-2),B(2,-3),C(3,10),D中的()A.1个B.2个C.3个D.4个4.方程(x+y-1)=0所表示的曲线是()图L2-1-15.若平面内动点P到两点A,B的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1),则动点P的轨迹叫作阿波罗尼斯圆.已知A(-2,0),B(2,0),λ=,则此阿波罗尼斯圆的方程为()A. x2+y2-12x+4=0B. x2+y2+12x+4=0C. x2+y2-x+4=0D. x2+y2+x+4=06.已知动点P在曲线2y2-x=0上移动,则点A(-2,0)与点P连线的中点的轨迹方程是()A. y=2x2B. y=8x2C. x=4y2-1D. y=4x2-7.在平面直角坐标系中,动点P(x,y)到两坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离,记点P的轨迹为曲线W,则有下列命题:①曲线W关于原点对称;②曲线W关于x轴对称;③曲线W关于y轴对称;④曲线W关于直线y=x对称.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.方程|x-1|+|y-1|=1表示的曲线所围成的图形的面积是 .9.给出下列说法:①方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线;②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2;③方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示四个点.其中正确说法的序号是 .10.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足·=12,则点P的轨迹方程为 .11.若点A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m= .三、解答题(本大题共2小题,共25分)12.(12分)已知△ABC的两个顶点坐标为A(-2,0),B(0,-2),点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程.注:设△ABC的顶点为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心为G,13.(13分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.14.(5分)若直线y=x+b与曲线y=3-有两个不同的公共点,则实数b的取值范围是 .15.(15分)已知在平面直角坐标系中,动点M到定点F(-,0)的距离与它到定直线l:x=-的距离之比为常数.(1)求动点M的轨迹Γ的方程;(2)设点A,若P是(1)中轨迹Γ上的动点,求线段PA的中点B的轨迹方程.2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程1.B[解析] 设C1的方程为x+y+1=0,C2的方程为2x+2y-1=0,当x=1,y=1时,满足1+1+1=2+2-1,但是点(1,1)并不是两曲线交点,所以由“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”推不出“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”,反之成立,所以“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”是“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”的必要不充分条件,故选B.2.A[解析] 当y≥1时,原式可化为(x-1)2+(y-1)2=1,当y≤-1时,原式可化为(x-1)2+(y+1)2=1,∴方程|y|-1=表示的曲线为两个半圆.故选A.3.C[解析] 把(1,-2)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得1+2-4+1=0,满足方程,所以点A在曲线上.把(2,-3)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得4+6-6+1≠0,不满足方程,所以点B不在曲线上.把(3,10)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得9-30+20+1=0,满足方程,所以点C在曲线上.把0,-代入方程x2-xy+2y+1=0,可得0-0-1+1=0,满足方程,所以点D在曲线上.故选C.4.D[解析] 原方程等价于或x2+y2=4,其中表示直线x+y-1=0上不在圆x2+y2=4内的部分.故选D.5.D[解析] 依题意,设P(x,y),∵=,∴=,整理得x2+y2+x+4=0.故选D.6.C[解析] 设点A(-2,0)与点P的连线的中点坐标为(x,y),则由中点坐标公式可得P(2x+2,2y),∵动点P 在曲线2y2-x=0上移动,∴2×(2y)2-(2x+2)=0,即x=4y2-1.故选C.7.A[解析] 曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=,两边平方得2|xy|=-2x-2y+2,即|xy|+x+y=1.①若xy>0,则xy+x+y+1=2,即(x+1)(y+1)=2,∴y=-1,函数的图像是以(-1,-1)为中心的双曲线的一部分.②若xy<0,则xy-x-y+1=0,即(x-1)(y-1)=0,∴x=1(y<0)或y=1(x<0).作出图像如图所示,∴曲线W关于直线y=x对称.故选A.8.2[解析] 方程|x-1|+|y-1|=1可写成或或或图形如图所示,它是边长为的正方形,其面积为2.9.③[解析] 对于①,方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线(除掉点(2,0)),所以①错误;对于②,到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2或y=2,所以②错误;对于③,方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示点(-2,2),(-2,-2),(2,-2),(2,2)四个点,所以③正确.10.x2+y2=16[解析] 设P(x,y),则=(-2-x,-y),=(2-x,-y),于是·=(-2-x)(2-x)+y2=12,化简得x2+y2=16,即点P的轨迹方程为x2+y2=16.11.-1[解析] ∵A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,∴∴12.解:设C(x1,y1),重心G(x,y),由重心坐标公式得3x=-2+0+x1,3y=0-2+y1,则x1=3x+2,y1=3y+2.∵C(x1,y1)在曲线y=3x2-1上移动,∴3y+2=3(3x+2)2-1.整理得y=9x2+12x+3.故△ABC的重心的轨迹方程为y=9x2+12x+3.13.解:如图所示,设点A(a,0),B(0,b),M(x,y).因为M为线段AB的中点,所以a=2x,b=2y,即A(2x,0),B(0,2y).当2x≠2,即x≠1时,因为l1⊥l2,所以k AP·k PB=-1.而k AP=(x≠1),k PB=,所以·=-1(x≠1),整理得,x+2y-5=0(x≠1).因为当x=1时,A,B的坐标分别为(2,0),(0,4),所以线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.14.1-2<b≤-1[解析] 曲线方程变形为(x-2)2+(y-3)2=4(y≤3),表示圆心为A(2,3),半径为2的下半圆,根据题意画出图形,如图所示.当直线y=x+b过B(4,3)时,直线与曲线有两个公共点,将B点坐标代入直线方程得3=4+b,即b=-1.当直线y=x+b与半圆相切时,圆心A到直线的距离d=r,即=2,解得b=1-2(舍去正值).故直线与曲线有两个公共点时,b的取值范围为1-2<b≤-1.15.解:(1)设动点M(x,y),由已知可得=,即x2+2x+3+y2=,化简得+y2=1,即所求动点M的轨迹Γ的方程为+y2=1.(2)设点B(x,y),点P(x0,y0),由得由点P在轨迹Γ上,得+=1,整理得+4=1,∴线段PA的中点B的轨迹方程是+4=1.。
高中数学(人教B版,选修2-1)2.1曲线与方程同步练测.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.1 曲线与方程（人教B版选修2-1）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题8分，共32分）1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( ) A．一条直线和一条双曲线B．两条双曲线C．两个点D．以上答案都不对2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝03．若命题“曲线上的点的坐标都是方程的解”是正确的，下列命题正确的是（）A．方程的曲线是B．坐标满足的点均在曲线上C．曲线是方程的轨迹D．表示的曲线不一定是曲线4.已知是圆上的两点,且||=6,若以为直径的圆恰好经过点(1,-1),则圆心的轨迹方程是( )A.B.C.D.二、填空题（每小题8分，共24分）5．已知两定点A(-2，0)，B(1，0)，若动点P满｜PA｜＝2｜PB｜，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于__________.6．若方程与所表示的两条曲线的交点在方程的曲线上，则的值是__________.7．两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，则点M的轨迹是 .三、解答题(共44分)8.（22分）如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB 中点M的轨迹方程．9.（22分）已知△的两个顶点的坐标分别是（-5，0）、（5，0），边所在直线的斜率之积为求顶点的轨迹方程．2.1 曲线与方程（人教B版选修2-1）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6． 7．三、解答题8.9.2.1 曲线与方程（人教B 版选修2-1）答案一、选择题1.C 解析：(x －y)2＋(xy －1)2＝0⇔0,10,x y xy -=⎧⎨-=⎩ 故1,=1,x y =⎧⎨⎩或1,1.x y =-⎧⎨=-⎩因此是两个点.2.D 解析：设点Q(x ，y)，则点P 为(－2－x ,4－y)，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.3.D 解析：由于不能判断以方程的解为坐标的点是否都在曲线上，故方程的曲线不一定是故也不能推出曲线是方程的轨迹，从而得到A ，B ，C 均不正确，故选 D ． 4.A 解析：因为以为直径的圆恰好经过点(1,-1),∴ ,故△为直角三角形,又为斜边中点,∴ ,故点的轨迹是以(1,-1)为圆心,3为半径的圆,其方程为.二、填空题5. 4π 解析：设P (x ，y )为轨迹上任一点，由｜P A ｜＝2｜PB ｜得=4即∴所求面积为4π.6. ±3 解析：联立方程，组成方程组 解得∵ 方程与所表示的两条曲线的交点在方程+=9的曲线上， ∴ 0+=9，∴ =±3.7．以两定点的中点为圆心，以2为半径的圆解析：设两定点分别为A 、B ，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为坐标原点建立直角坐标系，则 A (-3，0)，B (3，0)，设M (x ，y )，则=26，即=4. 三、解答题8. 解：设点M 的坐标为(x ，y)，∵ M 是线段AB 的中点，A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y)． ∴ PA →＝(2x －2，－4)，PB →＝(－2,2y －4)．由已知PA →·PB →＝0，∴－2(2x －2)－4(2y －4)＝0， 即x ＋2y －5＝0.∴ 线段AB 中点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0. 9. 解：设则 = ＝（≠±5）． 由•=• ，化简可得+＝1，所以动点的轨迹方程为+＝1（≠±5）．。
《曲线与方程》同步训练1.docx
《2・1・1曲线与方程》同步训练1一.选择题(共5小题)1.设点P (x, y)是曲线a|x|+b|y|=l (a>0, b>0)上的动点,且满足(y+1) 2+JxS(y-l) 2<2伍,则a+伍b的取值范围为()A. [2, +8)B. [1, 2]C. [1, +oo)D. (0, 2]2.直线1： y=kx与曲线C： y=x3 - 4x2+3x顺次相交于A, B, C三点，若|AB|=|BC|,则k=( )A. - 5B. --C.-丄D.丄9 2 23.如图所示，在正方体ABCD - AiBiCiDi的侧面ABi内有一动点P到直线AjBi与直线BC的距离相等,则动点P所在曲线的形状为( )4.关于曲线C： x°+yJl,给出下列四个命题:①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线尸x对称③曲线C围成的面积大于71④曲线C围成的面积小于71上述命题屮，真命题的序号为( )A.①②③B.①②④C.①④D.①③5.方程(x+y- 1)』/ + /一4=0所表示的曲线是( )A. B.10 C. D.148-■■■■irAftA 4二.填空题(共5小题)6.若A (a, 3)在曲线,・4x・ 2y+l二0上，则沪________________ ・7.曲线尸与直线y=x+-的交点坐标是__________________ ・2 28.若方程x+y・6依石+3k=0仅表示一条直线，则实数k的取值范围是_9.方程”・丫2二0表示的图形是_________ .10.已知方程x2+y2+2x - 4=0表示的曲线经过点P (m, 1),那么m的值为0.1.1曲线与方程》同步训练1参考答案一.选择题(共5小题)1. A 解：曲线a|x|+b|y|=l (a>0, b>0),当x, ynO 时，化为ax+by=l ；当x2(), ySO 时，化为ax - by= 1 ；当xSO, yR 时，化为-ax+by=l；当xSO, ySO 时，化为-ax - by=l. 画出图象如图，表示菱形ABCD.由~~+7x2+ (y_ 1)2<2伍，设M ( - 1, 0), N (1, 0),则2|PM|W2伍，|BD|S2勺勺，解得b>l, V2a>l,V2a+b>l + l=2./.V2a+b取值范围为［2, +oo ).故选：A.3. C4. D5. D二.填空题（共5小题）6.- 1 或57.（3,卫），（・1,丄）2 28.k=3 或k<09.两条垂直的直线10.-3或1。
2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)模块练习题--2.1.1 曲线与方程
第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程*2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程基础过关练题组一曲线与方程的概念1.已知曲线C的方程为x3+x+y-1=0,则下列各点中在曲线C上的点是( )A.(0,0)B.(-1,3)C.(1,1)D.(-1,1)2.(2018天津耀华中学高二上学期月考)直线x-y=0与曲线xy=1的交点坐标是( )A.(1,1)B.(-1,-1)C.(1,1),(-1,-1)D.(0,0)3.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为( )A.π3 B.5π3C.π3或5π3D.π3或π64.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2√x”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件题组二 方程的曲线5.方程4x 2-y 2+6x-3y=0表示的图形是( ) A.直线2x-y=0 B.直线2x+y+3=0C.直线2x-y=0和直线2x+y+3=0D.直线2x+y=0和直线2x-y+3=06.下列四个选项中,方程与曲线相符合的是( )7.方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成图形的面积为 .题组三 求曲线的方程8.设A 为圆(x-1)2+y 2=1上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则点P 的轨迹方程是( )A.(x-1)2+y 2=2B.(x-1)2+y 2=4C.y 2=2xD.y 2=-2x9.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A(1,0),B(2,2).若点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),其中t∈R ,则点C 的轨迹方程为 .10.(2018湖南岳阳一中高二上学期期末)已知M 为直线l:2x-y+3=0上的一动点,A(4,2)为一定点,点P 在直线AM 上运动,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求动点P 的轨迹方程.11.已知△ABC 中,AB=2,AC=√2BC. (1)求点C 的轨迹方程; (2)求△ABC 的面积的最大值.能力提升练一、选择题1.(2018海南海口一中高二上学期月考,★★☆)方程xy 2+x 2y=1所表示的曲线( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点中心对称D.关于直线y=x 对称 2.(2020鄂东南九校高二期中联考,★★☆)方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示的曲线为( ) A.一条线段和半个圆 B.一条线段和一个圆 C.一条直线和半个圆 D.两条线段3.(2020北京朝阳高三期末,★★☆)笛卡儿、牛顿都研究过方程(x-1)(x-2)(x-3)=xy,关于这个方程的曲线有下列说法:①该曲线关于y 轴对称;②该曲线关于原点对称;③该曲线不经过第三象限;④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是( ) A.②③ B.①④ C.③ D.③④4.(2019江西南昌高三开学摸底考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,已知M(-1,2),N(1,0),动点P 满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则动点P 的轨迹方程是( )A.y 2=4xB.x 2=4yC.y 2=-4xD.x 2=-4y5.(★★☆)方程x 2+y 2=1(xy<0)表示的曲线形状是( )6.(2018吉林长春五县期末,★★★)已知定点M(-3,0),N(2,0),若动点P满足|PM|=2|PN|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.100π9 B.142π9C.10π3D.9π二、填空题7.(2020贵州贵阳高二期末,★★☆)以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆,是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点M的轨迹.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA||MB|=√2,此时阿波罗尼斯圆的方程为.8.(2020北京房山高二期末,★★☆)已知曲线W的方程为|y|+x2-5x=0.①请写出曲线W的一条对称轴方程: ;②曲线W上的点的横坐标的取值范围是.三、解答题9.(2019贵州铜仁一中高二入学考试,★★☆)已知动点M到点A(-1,0)与点B(2,0)的距离之比为2∶1,记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点P(5,-4)作曲线C的切线,求切线方程.10.(2019上海七宝中学高二期末,★★★)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;(2)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.答案全解全析 基础过关练1.B 点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上⇔f(x 0,y 0)=0.经验证知点(-1,3)在曲线C 上.2.C 由{x -y =0,xy =1,得{x =1,y =1或{x =-1,y =-1.故选C.3.C 将点P 的坐标代入方程(x-2)2+y 2=3,得(cos α-2)2+sin 2α=3,解得cos α=12.又0≤α<2π,所以α=π3或5π3.4.B 设M(x 0,y 0),由点M 的坐标满足方程y=-2√x ,得y 0=-2√x 0,∴y 02=4x 0,∴点M 在曲线y 2=4x 上.反之不成立,故选B.5.C ∵4x 2-y 2+6x-3y=(2x+y)(2x-y)+3(2x-y)=(2x-y)(2x+y+3)=0, ∴原方程表示直线2x-y=0和2x+y+3=0.6.D 对于A,点(0,-1)满足方程,但不在曲线上,排除A;对于B,点(1,-1)满足方程,但不在曲线上,排除B;对于C,由于曲线上第三象限的点的横、纵坐标均小于0,不满足方程,排除C.故选D.7.答案 2解析 方程表示的图形是边长为√2的正方形(如图所示),其面积为(√2)2=2.8.A 设圆(x-1)2+y 2=1的圆心为C,半径为r,则C(1,0),r=1,依题意得|PC|2=r 2+|PA|2,即|PC|2=2,所以点P 的轨迹是以C 为圆心,√2为半径的圆,因此点P 的轨迹方程是(x-1)2+y 2=2. 9.答案 y=2x-2解析 设点C(x,y),则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y).因为点A(1,0),B(2,2),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1+t,2t),所以{x =t +1,y =2t ,消去t,得点C 的轨迹方程为y=2x-2. 10.解析 设M(x 0,y 0),P(x,y), 则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,y-2),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0-x,y 0-y), 由题意可得{x -4=3(x 0-x ),y -2=3(y 0-y ),所以{x 0=4x -43,y 0=4y -23.因为点M(x 0,y 0)在直线2x-y+3=0上, 所以2×4x -43-4y -23+3=0,即8x-4y+3=0,所以点P 的轨迹方程为8x-4y+3=0.11.解析 (1)以直线AB 为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC=√2BC,得(x+1)2+y 2=2[(x-1)2+y 2],即(x-3)2+y 2=8,又在△ABC 中,y≠0,所以点C 的轨迹方程为(x-3)2+y 2=8(y≠0).(2)因为AB=2,所以S △ABC =12×2×|y|=|y|.因为(x-3)2+y 2=8(y≠0), 所以0<|y|≤2√2,所以S △ABC ≤2√2,即△ABC 的面积的最大值为2√2.能力提升练一、选择题1.D 设P(x 0,y 0)是曲线xy 2+x 2y=1上的任意一点,则x 0y 02+x 02y 0=1.设点P 关于直线y=x 的对称点为P',则P'(y 0,x 0),因为y 0x 02+y 02x 0=x 0y 02+x 02y 0=1,所以P'在曲线xy 2+x 2y=1上,故该曲线关于直线y=x 对称.2.A 由方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0得y=√1-x 2(y≥0)或3x-y+1=0,且满足-1≤x≤1,即x 2+y 2=1(y≥0)或3x-y+1=0(-1≤x≤1),∴方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示一条线段和半个圆.3.C 将x=-x 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=xy,方程改变,故该曲线不关于y 轴对称; 将x=-x,y=-y 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=-xy,方程改变,故该曲线不关于原点对称; 当x<0,y<0时,(x-1)(x-2)(x-3)<0,xy>0,显然方程不成立,∴该曲线不经过第三象限;令x=-1,易得y=24,即(-1,24)在曲线上,同理可得(1,0),(2,0),(3,0)也在曲线上,∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的.4.A 设P(x,y),因为M(-1,2),N(1,0),所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x,2-y),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x,-y),因为|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|1+x|=√(1-x )2+(-y )2, 整理得y 2=4x.5.C 方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分,故选C. 6.A 设P(x,y),则由|PM|=2|PN|,得(x+3)2+y 2=4[(x-2)2+y 2],化简,得3x 2+3y 2-22x+7=0, 即(x -113)2+y 2=1009,所以所求图形的面积S=100π9.二、填空题7.答案 x 2+y 2-12x+4=0 解析 设M(x,y),因为|MA ||MB |=√2, 所以√(x+2)2+y 2√(x -2)+y 2=√2,整理得x 2+y 2-12x+4=0.8.答案 ①y=0(或x =52) ②[0,5]解析 ①由W 的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,点(52-x,y)与(52+x,y)也都是曲线上的点,因此直线x=52也是曲线W的一条对称轴.②由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,解得0≤x≤5.三、解答题9.解析(1)设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=√(x+1)2+y2,|MB|=√(x-2)2+y2所以√(x+1)2+y2√(x-2)+y2=2,化简得(x-3)2+y2=4.因此,动点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=4.(2)当过点P的直线斜率不存在时,直线方程为x-5=0,圆心C(3,0)到直线x-5=0的距离等于2,此时直线x-5=0与曲线C相切; 当过点P的切线斜率存在时,不妨设斜率为k,则切线方程为y+4=k(x-5),即kx-y-5k-4=0,由圆心到切线的距离等于半径,得√k2+1=2,解得k=-34.所以切线方程为3x+4y+1=0.综上所述,切线方程为x-5=0和3x+4y+1=0.10.解析(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0≥0,设线段AB的中点为M(x,y), 因为点B在曲线Γ上,所以x02+y02=1.①因为M为线段AB的中点,所以{x=x0+22,y=y02,则{x0=2x-2,y0=2y,代入①式得(2x-2)2+4y2=1,化简得(x-1)2+y2=14,其中y≥0.则线段AB的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=14(y≥0).(2)如图所示,将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,易知点D(2,2),结合图形可知,点C在曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上运动,则问题转化为求原点O到曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上一点C的距离的最大值,连接OD并延长交曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)于点C',当点C与C'重合时,|OC|取得最大值,且|OC|max=|OD|+1=2√2+1.。
高中数学 2.1.1曲线与方程
曲线与方程(30分钟 50分)一、选择题(每题3分,共18分)(x 0,y 0)=0是点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上的 ( )A.充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也没必要要条件【解析】选C.由曲线与方程的概念可知,假设点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上,那么必有f(x 0,y 0)=0;又当f(x 0,y 0)=0时,点P(x 0,y 0)也必然在方程f(x,y)=0对应的曲线上,应选C.2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是 ( )=x 与y=√x =lgx 2与y=2lgxC.y +1x −2=1与lg(y+1)=lg(x-2) +y 2=1与|y|=√1−x 2【解析】选D.要紧考虑x,y 的取值范围,A 中y 2=x 中y ∈R,而y=√x 中y ≥0,B 中y=lgx 2中x ≠0,而y=2lgx 中x>0;C 中y +1x −2=1中y ∈R,x ≠2,而lg(y+1)=lg(x-2)中y>-1,x>2,故只有D 正确. 3.(2021·石家庄高二检测)方程x 2+y 2=1(xy<0)的曲线形状是 ( )【解析】选C.方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部份.4.(2021·安阳高二检测)曲线y=√1−x 2和y=-x+√2公共点的个数为 ( )B.2 【解析】选C.由{y =√1−x 2,y =−x +√2,得-x+√2=√1−x 2,两边平方并整理得(√2x-1)2=0,因此x=√22,这时y=√22,故公共点只有一个(√22,√22). 【误区警示】解题中易忽略y=√1−x 2中x 的取值范围,而写成x 2+y 2=1,从而解出两组解而致使出错.5.如果曲线C 上点的坐标知足方程F(x,y)=0,那么有( )A.方程F(x,y)=0表示的曲线是CB.曲线C 的方程是F(x,y)=0C.点集{P|P ∈C}⊆{(x,y)|F(x,y)=0}D.点集{P|P ∈C}{(x,y)|F(x,y)=0}【解析】选,B 错,因为以方程F(x,y)=0的解为坐标的点不必然在曲线C 上,假设以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上,那么点集{P|P ∈C}={(x,y)|F(x,y)=0},故D 错,选C.6.(2021·青岛高二检测)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是 ( )A.两条直线B.一条直线和一双曲线C.两个点D.圆【解析】选C.由题意,{x −y =0,xy =1,因此x=1,y=1或x=-1,y=-1,因此方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是两个点(1,1)或(-1,-1).二、填空题(每题4分,共12分)7.(2021·天津高二检测)点P(2,-3)在曲线x 2-ay 2=1上,那么a= .【解析】将(2,-3)代入x 2-ay 2=1,得a=13. 答案:13【变式训练】已知点A(a,2)既是曲线y=mx 2上的点,也是直线x-y=0上的一点,那么m= .【解析】因为点A(a,2)在直线x-y=0上,得a=2,即A(2,2).又点A 在曲线y=mx 2上,因此2=m ·22,得m=12. 答案:12 8.(2021·重庆高二检测)若是直线l :x+y-b=0与曲线C:y=√1−x 2有公共点,那么b 的取值范围是 .【解题指南】此题考查曲线的交点问题,能够先作出曲线y=√1−x 2的图象,利用数形结合解题. 【解析】曲线C:y=√1−x 2表示以原点为圆心,以1为半径的单位圆的上半部份(包括(±1,0)),如图,当l 与l 1重合时,b=-1,当l 与l 2重合时,b=√2,因此直线l 与曲线C 有公共点时,-1≤b ≤√2.答案:[-1,√2]9.方程y=√x 2−4x +4所表示的曲线是 .【解析】原方程可化为:y=|x-2|={x −2,x ≥2,−x +2,x <2.因此方程表示的是射线x-y-2=0(x ≥2)及x+y-2=0(x<2).答案:两条射线【误区警示】此题易轻忽方程自身的条件对y 的约束,即y ≥0,而将方程变形为(x+y-2)(x-y-2)=0,从而得出方程表示的曲线是两条直线.三、解答题(每题10分,共20分)10.方程√1−|x |=√1−y 表示的曲线是什么图形?【解析】原方程可化为{1−y =1−|x |,1−|x |≥0,即{y =|x |,|x |≤1, 因此它表示的图形是两条线段y=-x(-1≤x ≤0)和y=x(0≤x ≤1).如图:11.曲线x 2+(y-1)2=4与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,求k 的范围,假设有一个交点、无交点呢?【解析】由{y =k (x −2)+4,x 2+(y −1)2=4,得(1+k2)x2+2k(3-2k)x+(3-2k)2-4=0,Δ=4k 2(3-2k)2-4(1+k 2)[(3-2k)2-4]=48k-20.因此Δ>0,即k>512时,直线与曲线有两个不同的交点; Δ=0,即k=512时,直线与曲线有一个交点; Δ<0,即k<512时,直线与曲线没有交点. 【拓展延伸】曲线与直线交点个数的判别方式曲线与直线交点的个数确实是曲线方程与直线方程联立方程组解的组数,而方程组解的组数可利用根的判别式进行判定.此题是判定直线和圆的交点问题,用的是代数法.也可用几何法,即通过圆心到直线的距离与半径的关系求出k 的范围.有些题目,在判定交点个数时,也可用数形结合法.(30分钟 50分)一、选择题(每题4分,共16分)1.已知曲线ax 2+by 2=2通过点A(0,2)和B(1,1),那么a,b 的值别离为 ( )A.12,32B.32,12 32,32 D.12,-32【解析】选B.因为点A(0,2)和B(1,1)都在曲线ax 2+by 2=2上,因此{a ·0+4b =2,a +b =2,解得{a =32,b =12. 2.(2021·临沂高二检测)方程x 2|x |+y 2|y |=1表示的图形是 ( ) A.一条直线B.两条平行线段C.一个正方形D.一个正方形(除去四个极点)【解析】选D.由方程可知,方程表示的图形关于坐标轴和原点对称,且x ≠0,y ≠0,当x>0,y>0时,方程可化为x+y=1,表示第一象限内的一条线段(去掉两头点),因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个极点).3.已知圆C:(x-2)2+(y+1)2=4及直线l:x+2y-2=0,那么点M(4,-1) ( )A.不在圆C上,但在直线l上B.在圆C上,但不在直线l上C.既在圆C上,也在直线l上D.既不在圆C上,也不在直线l上【解析】选C.将点M(4,-1)的坐标别离代入圆C及直线l的方程,均知足.4.(2021·成都高二检测)已知方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确信的两条曲线有两个交点,那么a的取值范围是( )>1 <a<1<a<1或a>1 ∈【解题指南】别离作出y=a|x|和y=x+a所表示的曲线.再依照图象求a的取值范围.【解析】选A.因为a>0,因此方程y=a|x|和y=x+a(a>0)的图象大致如图,要使方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确信的两条曲线有两个交点,那么要求y=a|x|在y轴右边的斜率足够大,因此a>1.【变式训练】如下图,定圆半径为a,圆心为(b,c),那么直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.由{ax+by+c=0,x−y+1=0,因此{x=−b+ca+b,y=a−ca+b.因为a+b<0,a-c>0,b+c<0,因此x<0,y<0,因此交点在第三象限,选C.二、填空题(每题5分,共10分)5.(2021·济宁高二检测)曲线y=|x-2|-2的图象与x轴所围成的三角形的面积是.【解析】当x-2<0时,原方程可化为y=-x;当x-2≥0时,原方程可化为y=x-4.故原方程表示两条共极点的射线,易患极点为B(2,-2),与x 轴的交点为O(0,0),A(4,0),因此曲线y=|x-2|-2与x 轴围成的三角形面积为S △AOB = 12|OA|·|y B |=4. 答案:46.(2021·石家庄高二检测)曲线y=-√1−x 2与曲线y+|ax|=0(a ∈R)的交点个数为 .【解析】由{y =−√1−x 2,y +|ax |=0,得-|ax|=-√1−x 2,即a 2x 2=1-x 2,因此(a 2+1)x 2=1,解得x=√1a 2+1和x=-√1a 2+1, 代入y=-|ax|,得y=-√a 21+a 2,因此它们有2个交点.答案:2【一题多解】由y=-√1−x 2,得x 2+y 2=1(y ≤0)表示半圆如图:由y+|ax|=0,得y=-|a||x|,表示过原点的两条射线,如图.因此由图象可知,它们有两个交点.答案:2三、解答题(每题12分,共24分)7.已知点P(x 0,y 0)是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,求证:点P 在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【证明】因为P 是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,因此P 在曲线f(x,y)=0上,即f(x 0,y 0)=0,P 在曲线g(x,y)=0上,即g(x 0,y 0)=0,因此f(x 0,y 0)+λg(x 0,y 0)=0+λ0=0,故点P 在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【拓展延伸】证明曲线与方程关系的技术 解答本类问题的关键是正确明白得并运用曲线的方程与方程的曲线的概念,明确两条原那么,即假设点的坐标适合方程,那么该点必在方程的曲线上;假设点在曲线上,那么该点的坐标必适合曲线的方程.另外,要证明方程是曲线的方程,依照概念需完成两步:①曲线上任意一点的坐标都是方程的解;②以方程的解为坐标的点都在曲线上.二者缺一不可.8.当曲线y=1+√4−x 2与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时,求实数k 的取值范围.【解析】曲线y=1+√4−x 2是以(0,1)为圆心,2为半径的半圆,如图. 直线y=k(x-2)+4是过定点(2,4)的直线.设切线PC 的斜率为k 0,切线PC 的方程为y=k 0(x-2)+4.圆心(0,1)到直线PC 的距离等于半径2,即0√1+k 0=2, 因此k 0=512,直线PA 的斜率k 1=34, 因此实数k 的取值范围是512<k ≤34.。
新人教版高中数学专题2.1曲线与方程1练习含解析新人教A版选修2_1
曲线与方程（1）一、选择题1．方程x2＋xy＝x所表示的图形是( )A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线[答案] C[解析] 原方程等价于x(x＋y－1)＝0⇔x＝0或x＋y－1＝0，故原方程所表示的图形是两条直线．2．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2，直线l的方程为x＋y－3＝0，点P的坐标为(2,1)，那么( ) A．点P在直线l上，但不在圆M上B．点P在圆M上，但不在直线l上C．点P既在圆M上，也在直线l上D．点P既不在圆M上，也不在直线l上[答案] C3．若曲线y＝x2－x＋2和y＝x＋m有两个交点，则( )A．m∈R B．m∈(－∞，1)C．m＝1 D．m∈(1，＋∞)[答案] D[解析] 两方程联立得x的二次方程，由Δ>0可得m>1.4．动点P到定点(1,0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为( )A．y2＝4xB．y2＝－12(x－4)C．若x≥3，则y2＝4x；若x<3，则y2＝－12(x－4)D．若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)[答案] D[解析] 设P(x，y)，由题意得－＋y2＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x －4)，故选D.二、填空题5．|x|＋|y|＝1表示的曲线围成的图形面积为________________．[答案] 2[解析] 当x ≥0，y ≥0时，有x ＋y ＝1；x ≥0，y ≤0时，x －y ＝1；x ≤0，y ≥0时，有－x ＋y ＝1；x ≤0，y ≤0时，－x －y ＝1，作出图形为一个正方形如图，其边长为2，面积为2.6．已知方程①x －y ＝0；②x －y ＝0；③x 2－y 2＝0；④x y＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________． 【答案】①7．方程|x －1|＋|y －1|＝1所表示的图形是________． 【答案】正方形【解析】当x ≥1，y ≥1时， 原方程为x ＋y ＝3；当x ≥1，y ＜1时，原方程为x －y ＝1； 当x ＜1，y ≥1时，原方程为－x ＋y ＝1；当x ＜1，y ＜1时，原方程为x ＋y ＝1.画出方程对应的图形，如图所示为正方形．三、解答题8．方程(x ＋y －1) x2＋y2－4＝0表示什么曲线？ 【解析】由(x ＋y －1)x2＋y2－4＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x2＋y2－4≥0，或x 2＋y 2－4＝0，。
人教A版选修2-1第二章第1课时同步练习§2.1.1 曲线与方程
§2.1.1 曲线与方程1、已知坐标满足方程F （x,y ）=0的点都在曲线C 上，那么（ ）A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程F （x,y ）=0B ．凡坐标不适合F （x,y ）=0的点都不在C 上C ．不在C 上的点的坐标必不适合F （x,y ）=0D ．不在C 上的点的坐标有些适合F （x,y ）=0，有些不适合F （x,y ）=02、方程04)1(22=-+-+y x y x 的曲线形状是（ ）A ．圆B ．直线C ．圆或直线D ．圆或两条射线3、到两定点A （0，0）、B （3、4）距离之和为5的点的轨迹是（ ）A ．圆B ．AB 所在直线C ．线段ABD ．无轨迹4、如图所示，方程01=-+y x 表示的曲线是（ ）5、“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”是“方程0),(=y x f 是曲线C 的方程”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分条件也非必要条件6、已知直线03:=-+y x l ，曲线2)2()3(22=-+-y x ，则点M （2，1）（ ）A ．在直线l 上，但不在曲线上B ．在直线l 上，也在曲线上C ．不在直线l 上，也不在曲线上D ．不在直线l 上，但在曲线上7、如果曲线C 上点的坐标满足方程0),(=y x F ，则有（ ）A ．方程0),(=y x F 表示的曲线是CB ．曲线C 的方程是0),(=y x FC ．点集{}{}0),(),(=⊆∈y x F y x C P PD ．点集{}C P P ∈≠⊂{}0),(),(=y x F y x8、方程111=-+-y x 表示的图形是（ ）A.．一个点 B ．四条直线 C ．正方形 D ．四个点9、如图所示，方程2x x y =表示的曲线是（ ）A ．B ．C ．D ．10、曲线21x y --=与曲线)(0R a ax y ∈=+的交点个数一定是（ ）A ．2个B ．4个C ．0个D ．与a 的取值有关11、已知抛物线1:2-+-=mx x y C ，点A （3，0）、B （0，3），求C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件（用m 的取值范围表示）。
高中数学人教A版选修2-1同步练习：2.1.1曲线与方程(含答案)
2.1.1曲线与方程一、选择题1．(2013·广东省中山一中期中)方程(2x －y ＋2)x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( ) A ．一个点与一条直线 B ．两条射线和一个圆C ．两个点D ．两个点或一条直线或一个圆[答案] B[解析] 原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0x 2＋y 2－1≥0，故选B.2．若方程x －2y －2k ＝0与2x －y －k ＝0所表示的两条直线的交点在方程x 2＋y 2＝9的曲线上，则k 等于( )A ．±3B ．0C ．±2D ． 一切实数[答案] A[解析] 两直线的交点为(0，－k )，由已知点(0，－k )在曲线x 2＋y 2＝9上，故可得k 2＝9，∴k ＝±3. 3．在直角坐标系中，方程|x |·y ＝1的曲线是( )[答案] C[解析] 由|x |·y ＝1知y >0，曲线位于x 轴上方，故选C.4．命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是( ) A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是C B ．方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 C ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是CD ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上 [答案] C[解析] 不论方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程，还是曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：(1)曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A 、B 、D 错误．5．如图，曲线的方程与图中曲线对应正确的是( )[答案] D[解析] A 中方程x 2＋y 2＝1表示的是以(0,0)为圆心，1为半径的圆，故A 错；B 中方程x 2－y 2＝0可化为(x －y )(x ＋y )＝0，表示两条直线x －y ＝0，x ＋y ＝0，故B 错；C 中方程lg x ＋lg y ＝1可化得y ＝1x (x >0)，此方程只表示第一象限的部分，故C 错．6．动点在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D ．(x ＋32)2＋y 2＝1[答案] C[解析] 设P 点为(x ，y )，曲线上对应点为(x 1，y 1)，则有x 1＋32＝x ，y 1＋02＝y .∴x 1＝2x －3，y 1＝2y .∵(x 1，y 1)在曲线x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1即(2x －3)2＋4y 2＝1. 二、填空题7．方程y ＝x 2－2x ＋1所表示的图形是________． [答案] 两条射线x ＋y －1＝0(x ≤1)和x －y －1＝0(x ≥1)[解析] 原方程等价于y ＝|x －1|⇔x ＋y －1＝0(x ≤1)和x －y －1＝0(x ≥1)． 8．给出下列结论：①方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线；②到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2；③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点．正确的结论的序号是________． [答案] ③[解析] 方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线且扣除点(2,0)，故①错；到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2或y ＝2，故②错；方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)，故③正确．9．若曲线y 2＝xy ＋2＋k 通过点(－a ，a )(a ∈R )，则k 的取值范围是________． [答案] [－2，＋∞)[解析] 把点(－a ，a )代入曲线方程，得a 2＝－a 2＋2＋k ，所以k ＝2a 2－2≥－2(a ∈R )． 三、解答题10．画出方程(x ＋y －1)x －y －2＝0所表示的曲线．[解析] 方程(x ＋y －1)x －y －2＝0可等价变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0.或x －y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x ≥32.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0. 表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)．∴原方程表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)和直线x －y －2＝0，如下图所示．一、选择题11．方程x 2＋xy ＝x 所表示的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线[答案] C[解析] 原方程等价于x (x ＋y －1)＝0⇔x ＝0或x ＋y －1＝0，故原方程所表示的图形是两条直线． 12．设圆M 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝2，直线l 的方程为x ＋y －3＝0，点P 的坐标为(2,1)，那么( ) A ．点P 在直线l 上，但不在圆M 上 B ．点P 在圆M 上，但不在直线l 上 C ．点P 既在圆M 上，也在直线l 上 D ．点P 既不在圆M 上，也不在直线l 上 [答案] C[解析] 将P (2,1)代入圆M 和直线l 的方程得，(2－3)2＋(1－2)2＝2且2＋1－3＝0， ∴点P (1,2)既在圆(x －3)2＋(y －2)2＝2上也在直线l ：x ＋y －3＝0上，故选C. 13．若曲线y ＝x 2－x ＋2和y ＝x ＋m 有两个交点，则( ) A ．m ∈R B ．m ∈(－∞，1) C ．m ＝1 D ．m ∈(1，＋∞)[答案] D[解析] 两方程联立得x 的二次方程，由Δ>0可得m >1.14．(2013·河南省实验中学月考)动点P 到定点(1,0)和定直线x ＝3的距离之和为4，则点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－12(x －4)C ．若x ≥3，则y 2＝4x ；若x <3，则y 2＝－12(x －4)D ．若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4) [答案] D[解析] 设P (x ，y )，由题意得(x －1)2＋y 2＋|x －3|＝4.若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4)， 故选D. 二、填空题15．曲线y ＝14x 2与x 2＋y 2＝5的交点坐标是________．[答案] (±2,1)[解析] 易知x 2＝4y 代入x 2＋y 2＝5得，y 2＋4y －5＝0，∴(y ＋5)(y －1)＝0， 解得y ＝－5，y ＝1.y ＝－5不合题意舍去， ∴y ＝1，∴x ＝±2.16．|x |＋|y |＝1表示的曲线围成的图形面积为________________．[答案] 2[解析] 当x ≥0，y ≥0时，有x ＋y ＝1；x ≥0，y ≤0时，x －y ＝1；x ≤0，y ≥0时，有－x ＋y ＝1；x ≤0，y ≤0时，－x －y ＝1，作出图形为一个正方形如图，其边长为2，面积为2.三、解答题17．已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，求b 的取值范围．[解析] 解法一：由方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，y ＝1－x 2(y ≥0). 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2＝1(y ≥0). 消去x ，得到2y 2－2by ＋b 2－1＝0(y ≥0)．l 与C 有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2－8(b 2－1)>0，y 1＋y 2＝b >0，y 1y 2＝b 2－12≥0.解得1≤b < 2.解法二：在同一直线坐标系内作出y ＝x ＋b 与y ＝1－x 2的图形，如图所示，易得b 的范围为1≤b < 2.。
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《2.1.1曲线与方程》同步练习1
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．方程(x －2)2＋(y ＋2)2＝0表示的图形是( )
A ．圆
B ．两条直线
C ．一个点
D ．两个点
解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2.
所以方程表示点(2，－2)．
答案：C
2．已知直线l ：x ＋y －3＝0和曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2，1)满足(
) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上
B ．既在直线l 上，也在曲线
C 上
C ．既不在直线l 上，也不在曲线C 上
D ．不在直线l 上，但在曲线C 上
解析：把M 的坐标代入直线方程和曲线方程验证即可．
答案：B
3．方程1－|x|＝1－y 表示的曲线是( )
A ．两条线段
B ．两条直线
C ．两条射线
D ．一条射线和一条线段
解析：由已知得1－|x |＝1－y ，1－y ≥0，所以y ＝|x |(y ≤1)．
答案：A
4．以(5，0)和(0，5)为端点的线段的方程是( )
A ．x ＋y ＝5
B ．x ＋y ＝5(x ≥0)
C ．x ＋y ＝5(y ≥0)
D ．x ＋y ＝5(0≤x ≤5)
答案：D
5．方程|x |＋|y |＝1表示的曲线是图中的( )
解析：分x ≥0，y ≥0；x ≥0，y ≤0；x ≤0，y ≥0；x ≤0，y ≤0四种情形去绝对值号，即可作出判断．
答案：D
6．若曲线y ＝x 2－x ＋2与直线y ＝x ＋m 有两个交点，则( )
A ．m ∈R
B ．m ∈(－∞，1)
C ．m ＝1
D ．m ∈(1，＋∞)
解析：联立y ＝x 2－x ＋2与y ＝x ＋m 得x 2－2x ＋2－m ＝0.由Δ＝4－4(2－m )>0，得m >1.
答案：D
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为________．
解析：由22－a (－3)2
＝1，得a ＝13. 答案：13
8．方程x 2－y 2＝0表示的图形是________．
解析：由x 2－y 2＝0得y ＝±x ，所以方程x 2－y 2＝0表示的图形是两条直线．
答案：两条直线
9．曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积是________．
解析：在y ＝|x |－1中令x ＝0得y ＝－1，令y ＝0得x ＝±1，所以曲线y ＝|x |－1与x 轴围成
的图形的面积为12×2×1＝1.
答案：1
三、解答题(共40分)
10．(10分)已知方程x 2＋(y －1)2＝10.
(1)判断P (1，－2)，Q (2，3)两点是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值． 解：(1)因为12＋(－2－1) 2＝10，而(2)2＋(3－1)2≠10.所以点P (1，－2)在方程表示
的曲线上，点Q (2，3)不在方程表示的曲线上．
(2)因为点M (m 2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，解得m ＝2或m ＝－185. 11．(15分)求曲线x 2－xy －y 2－3 x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标．
解：在方程x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，得x 2－3x －4＝0，x ＝4或x ＝－1.
∴曲线与x 轴的交点为(4，0)和(－1，0)．。