大学数学(高数微积分)函数的极限(课堂讲义)

| , 2) | 5 . | x 2 | (x | x 4 || ( x 2) | | ( x 2) |
2

5
.
限定 | x 2 | 1, 1 x 3 | x 2 | 5.
证明： 0, 取 min{1, }, 5 则当0 | x 2 | 时，
记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x x0 ) 或 f ( x )A 0 x x
0
或 f ( x0 0) A
定义6：设函数y f ( x)在点 x0 的某右邻域内有定义，A是常数，
若 0,
0,
使得当0 x x0 时,
几何解释:
y
y f ( x)
A
A
A
O
X
x
当x X 时, 函数 y f ( x)图形完全落在以 直线y A 为中心线, 宽为2的带形区域内.
例 1. 证明 lim
x+
1 0. x
1 0| . x 1 1 1 要使 | 0| ，即 , 只要x 即可。 x x 1 因此，取X 。
x 0
(4) lim x 3 a 3 .
x a
(5) lim
x a
x
a
(a 0).
定义4 ： lim f ( x) A 0, 0, 使得当0 | x x0 | 时,
x x0
恒有 | f ( x) A | 成立.
x x0
x x0 x x0
| x| 不存在. x 0 x
x2 , 例7. 已知f ( x) x,
x 1
x 1 x 1
, 求 lim f ( x).
x 1
2 解 lim f ( x ) lim x 1 x 1
x 1
x 1 lim f ( x ) lim
x 1
左右极限存在且相等,
称A为函数f ( x)在x 时的极限.
定义 1. 设y f ( x)是区间 [a, )上的函数，A是一个常数.
若对于任意给定的 0, 存在一个正数X，使得当x X 时，
恒有： | f ( x) - A | 成立， 则称常数A 为函数y f ( x)当x 时的极限.
0 | x x0 |
x2 1 例2. 用定义验证 lim 2. x 1 x 1
x2 1 0, 0, 使得当0 | x 1| 时, 恒有 | 2 | . x 1
x2 1 x2 1 2 x 2 x2 2 x 1 | 2 || || || x 1| , 取 = . x 1 x 1 x 1
1.5 函数的极限
xn f (n) :
n ,
xn f (n) A?
函数极限的一般概念：定义在区间上的函数f ( x),当自变量x 在区间上“连续地”变化时，函数f ( x)是否无限接近某一常数 ?
函数极限讨论的两类问题：
1). 自变量趋于无穷大时函数的极限； 2). 自变量趋于有限值时函数的极限。
0 | x x0 | 0 x0 x 0 x x0
定义5：设函数y f ( x)在点 x0 的某左邻域内有定义，A是常数，
若 0,
0,
使得当0 x0 x 时,
恒有 | f ( x) A | 成立，
则称A为函数 f ( x) 在点 x0 的左极限，
记作
x
lim f ( x) A,
或 f ( x) A
( x )
" X "定义:
x
lim f ( x) A 0,
X 0, 当x X 时， 恒有 | f ( x) A| .
x
lim f ( x) A 的几何意义：
3). x x0
x趋于x0 .
（ 1）x x0时,函数极限的定义：
当x x0时， 函数f ( x)无限接近某个常数A，
lim f ( x) A. 称A 为函数f ( x)在x x0时的极限. 记作： x x
0
x2 考察极限 lim x 1 2
y
1 2 1 2 1 2
1. 自变量趋向无穷大时函数的极限
自变量x趋于无穷大包括三种情况：
1). x 2). x 3). x
x沿x轴正向趋于无穷大. x沿x轴负向趋于无穷大.
x沿x轴正向和负向都趋于无穷大.
（ 1）x 时,函数极限的定义：
当x 时，函数f ( x)无限接近某个常数A，
所以， lim f ( x) 1
x 1
3. 函数极限的性质
定理2（极限的唯一性） 若 lim f ( x)存在，则极限值唯一。
定理3（局部有界性） 若当x x0时，f ( x)有极限， 则f ( x)在点x0的某去心邻域内有界； 若当x 时，f ( x)有极限， 则存在X 0, 当| x | X 时，函数f ( x)有界。
x 0
例6. 讨论 lim
x 0
x 的存在性. x
y
x x 解 lim lim x 0 x x 0 x
lim ( 1) 1
x 0
1
x x lim lim x 0 x x 0 x
lim 11
x0
o
1
x
左右极限存在但不相等,
所以， lim
x
则称A为函数f ( x)当x 趋于 x0 的极限，
记作 lim f ( x) A
0 | x 1|

或
f ( x) A ( x x0 ).
x x0
定义4 ( 定义)：设函数y f ( x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义，A 是常数，若 0,
0,
1 0. x x
(2) lim
sin x 0. x x
(3) lim arctan x 不存在.
x
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
自变量 x 趋于有限值 x0 包括三种情况：
1). x x0 2). x x0
x趋于x0正（或x0加） . x趋于x0负（或x0减） .
0, X 0, 当x X 时， 恒有 |

证明： 0,
取 X
1

， 则当 x X 时恒有
1 0 , 故 lim 1 0. x+ x x
(1) lim
sin x 0. x+ x
(2) lim e x 0.
x +
(3) lim arctan x
X
O
x
当x X 时, 函数 y f ( x)图形完全落在以 直线y A 为中心线, 宽为2的带形区域内.
(1) lim
sin x 0. x x
(2) lim e x 0.
x
(3) lim arctan x
x

2
.
（3）x 时,函数极限的定义：
x+

2
.
（2）x 时,函数极限的定义：
当x 时，函数f ( x)无限接近某个常数A，
称A为函数f ( x)在x 时的极限.
定义2. 设y f ( x)是区间(, b]上的函数，A是一个常数.
若对于任意给定的 0, 存在一个正数X，使得当x X 时，
A
A
y
y f ( x)
使得当0 | x x0 | 时,
恒有 | f ( x) A | 成立，
则称A为函数f ( x)当x 趋于 x0 的极限，
记作 lim f ( x) A
A

o
x0
x0 x0 +
x
或
f ( x) A ( x x0 ).
x x0
x2 1 lim = x 1 2 2
y x 2
2
定义4 ( 定义)：设函数y f ( x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义，A 是常数，若 0,
0,
使得当0 | x x0 | 时,
恒有 | f ( x) A | 成立，


o
1-
1 1+
当x 时， 函数f ( x)无限接近某个常数A，
称A为函数f ( x)在x 时的极限.
定义3. 设y f ( x)是区间(, b] [a, )上的函数， A是一常数. 若对于任意给定的 0, 存在一个正数X，
使得当| x | X时，恒有： | f ( x) A |
直线y A 为中心线, 宽为2的带形区域内.
lim f ( x) A 当且仅当 lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x x x
若 lim f ( x) A ， 则y A是y f ( x)的水平渐近线.
x
y
A
(1) lim
恒有： | f ( x) A | 成立， 则称常数A 为函数y f ( x)当x 时的极限.
记作
x
lim f ( x) A,
或 f ( x) A
( x )
x
lim f ( x) A 的几何意义： 几何解释 :
y
y f ( x)
A
A
A

取 =min{1, }. 5

恒有： | x2 4 || x 2 | | x - 2 || x 2 | 5 ，
因此 lim x 2 4.