2019届高考数学第二轮专题复习检测32

专题四立体几何第1讲三视图及空间几何体的计算问题(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2018·广东卷)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()．A．大于5 B．等于5C．至多等于4 D．至多等于3解析当n＝3时显然成立，故排除A，B；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n＝4时成立，故选C.答案 C2．(2018·东北三校第三次模拟)如图，多面体ABCD-EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如右，则其正视图和侧视图正确的是()．解析注意BE，BG在平面CDGF上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A，C选项，观察B，D选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则BG ，BF 的投影为虚线，故选D. 答案 D3．(2018·陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )．A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：S ＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2 ＝π＋2π＋4＝3π＋4. 答案 D4．(2018·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A.13＋π B.23＋π C.13＋2πD.23＋2π解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×1＝π＋13，选A. 答案 A5．(2018·新课标全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )．A ．1B ．2C ．4D ．8解析 由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2. 答案 B6．在具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为( )．A ．13B ．7＋3 2 C.72π D ．14解析 由正视图和俯视图可知，该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱或水平放置的圆柱．由图象可知四棱柱的体积最大．四棱柱的高为1，底面边长分别为1,3，所以表面积为2(1×3＋1×1＋3×1)＝14. 答案 D7．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )．A.32 B ．1 C.2＋12 D. 2解析 易知正方体是水平放置的，又侧视图是面积为2的矩形．所以正方体的对角面平行于投影面，此时正视图和侧视图相同，面积为 2. 答案 D 二、填空题8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________．解析 由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成．其中长方体的长、宽、高分别为4,2,2，圆柱的底面半径为2，高为4.所以V ＝2×2×4＋12×22×π×4＝16＋8π.答案16＋8π9．(2018·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析设新的底面半径为r，由题意得13πr2·4＋πr2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r＝7.答案710．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．解析利用三棱锥的体积公式直接求解．V D1－EDF ＝V F－DD1F＝13S△D1DE·AB＝13×12×1×1×1＝16.答案1 611．(2018·重庆卷改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，直角梯形ABP A 1的面积为12×(2＋5)×4＝14，计算可得A 1P ＝5.直角梯形BCC 1P 的面积为12×(2＋5)×5＝352.因为A 1C 1⊥平面A 1ABP ，A 1P ⊂平面A 1ABP ，所以A 1C 1⊥A 1P ，故Rt △A 1PC 1的面积为12×5×3＝152.又Rt △ABC 的面积为12×4×3＝6，矩形ACC 1A 1的面积为5×3＝15，故几何体ABC －A 1PC 1的表面积为14＋352＋152＋6＋15＝60.答案 6012．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此三棱锥的体积为________． 解析 在Rt △ASC 中，AC ＝1，∠SAC ＝90°，SC ＝2，所以SA ＝4－1＝ 3.同理，SB ＝ 3.过A 点作SC 的垂线交SC 于D 点，连接DB ，因为△SAC ≌ △SBC ，故BD ⊥SC ，AD ＝BD ，故SC ⊥平面ABD ，且△ABD 为等腰三角形．因为∠ASC ＝30°，故AD ＝12SA ＝32，则△ABD 的面积为12×1×AD 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝24，则三棱锥S －ABC 的体积为13×24×2＝26. 答案 26 三、解答题13．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .解 由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥E -ABCD ，AB ＝8，BC ＝6. (1)V ＝13×8×6×4＝64.(2)四棱锥E -ABCD 的两个侧面EAD ，EBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高h 1＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝42；另两个侧面EAB ，ECD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高h 2＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5.因此S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2. 14．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，直线l 与平面ABCD 平行，E 和F 是l 上的两个不同点，且EA ＝ED ，FB ＝FC .E ′和F ′是平面ABCD 内的两点，EE ′和FF ′都与平面ABCD 垂直．(1)证明：直线E ′F ′垂直且平分线段AD ；(2)若∠EAD ＝∠EAB ＝60 °，EF ＝2.求多面体ABCDEF 的体积． (1)证明 ∵EA ＝ED 且EE ′⊥平面ABCD ，∴E ′D ＝E ′A ，∴点E ′在线段AD 的垂直平分线上． 同理，点F ′在线段BC 的垂直平分线上． 又四边形ABCD 是正方形，∴线段BC 的垂直平分线也就是线段AD 的垂直平分线，即点E ′、F ′都在线段AD 的垂直平分线上． ∴直线E ′F ′垂直且平分线段AD .(2)解 如图，连接EB 、EC ，由题意知多面体ABCDEF 可分割成正四棱锥E -ABCD 和正四面体E -BCF 两部分．设AD 的中点为M ，在Rt △MEE ′中，由于ME ′＝1，ME ＝3，∴EE ′＝ 2.∴V E -ABCD ＝13·S 正方形ABCD ·EE ′＝13×22×2＝423.又V E -BCF ＝V C -BEF ＝V C -BEA ＝V E -ABC ＝13S △ABC ·EE ′＝13×12×22×2＝223， ∴多面体ABCDEF 的体积为V E -ABCD ＋V E -BCF ＝2 2.15．如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A －BCF ，其中BC ＝22.(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积V F -DEG . (1)证明 在等边三角形ABC 中，AB ＝AC . ∵AD ＝AE ，∴AD DB ＝AEEC ，∴DE ∥BC ，∴DG ∥BF ，如图2，DG ⊄平面BCF ， ∴DG ∥平面BCF . 同理可证GE ∥平面BCF .∵DG ∩GE ＝G ，∴平面GDE ∥平面BCF ， ∴DE ∥平面BCF .(2)证明 在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，∴AF ⊥FC ， ∴BF ＝FC ＝12BC ＝12. 在图2中，∵BC ＝22， ∴BC 2＝BF 2＋FC 2， ∴∠BFC ＝90°， ∴FC ⊥BF .又∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF . (3)解 ∵AD ＝23，∴BD ＝13，AD ∶DB ＝2∶1， 在图2中，AF ⊥FC ，AF ⊥BF ， ∴AF ⊥平面BCF ，由(1)知平面GDE ∥平面BCF ， ∴AF ⊥平面GDE .在等边三角形ABC 中，AF ＝32AB ＝32， ∴FG ＝13AF ＝36，DG ＝23BF ＝23×12＝13＝GE ， ∴S △DGE ＝12DG ·EG ＝118， ∴V F －DEG ＝13S △DGE ·FG ＝3324.。