【2014红桥二模】天津市红桥区2014届高三第二次模拟考试 理科数学 扫描版含答案

高三数学（理）答案（2014、05）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A B D C C A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．45- 10．4 11．(1，＋∞) 12．9 13．4 14．2700 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分13分）（Ⅰ）∵cos cos A b B a =，由正弦定理得cos sin cos sin A B B A=，即sin 2sin 2A B = ………2 ∴A B =或2A B π+=（舍去），23C π∠=，则6A B π== …………..4 （Ⅱ）x x A x x f 22cos sin )2sin()(+-+=32sin(3π+=x (8)πωπ==2T (10)∵∈x 6,12[ππ-，则32326πππ≤+≤x ………………………….11 而正弦函数sin y x =在[,62ππ上单调递增，在2[,]23ππ上单调递减∴函数()f x 的最小值为2，即函数()f x 在[,]62ππ上的值域为[2． …………………..13 16．（本小题满分13分）（Ⅰ）玩具A 为正品的概率约为4032841005++=． ………………1 玩具B 为正品的概率约为4029631004++=． ………………2 （Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-． ………………3 433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545P X ==⨯=； 111(15)5420P X =-=⨯=． ………………7 所以，随机变量X 的分布列为: (8)3311904530(15)66520520EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=． ………………10 （ⅱ）设生产的5件玩具B 中正品有n 件，则次品有5n -件. 依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥． 所以 4n =，或5n =． ………………11 设“生产5件玩具B 所获得的利润不少于140元”为事件A ，则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=． ………………13 17．（本小题满分13分）解法一：因为 90PAD ∠=︒，所以PA AD ⊥．又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD 底面ABCD AD =，所以 PA ⊥底面ABCD ．又因为90BAD ∠=︒， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直． (1)分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设2AD =，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,1)P ． （Ⅰ）(0,0,1)AP = ，(1,1,0)AC = ，(1,1,0)CD =- ,所以 0AP CD ⋅= ，0AC CD ⋅= ，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD ．又因为AP AC A = ， 所以CD ⊥平面PAC ． ………………………………4 （Ⅱ）在PA 上存在中点E ，使得//BE 平面PCD证明如下：侧棱PA 的中点是E，则1(0, 0, 2E ，1(1, 0, 2BE =- ．设平面PCD 的一个法向量是(,,)x y z =n ，则0,0.CD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 因为(1, 1, 0)CD =- ，(0, 2,1)PD =- ，所以0,20.x y y z -+=⎧⎨-=⎩取1x =，则(1, 1, 2)=n ． 所以1(1, 1, 2)(1, 0, )02BE ⋅=⋅-= n ， 所以BE ⊥ n ． 因为BE ⊄平面PCD ，所以//BE 平面PCD ． (8)（Ⅲ）由已知，AB ⊥平面PAD ，所以(1, 0, 0)AB = 为平面PAD 的一个法向量．由（Ⅱ）知，(1, 1, 2)=n 为平面PCD 的一个法向量．设二面角A PD C --的大小为θ，即二面角A PD C --的余弦值为6． ………………………………13 解法二：（Ⅰ）因为 90PAD ∠=︒，所以PA AD ⊥．又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD 底面ABCD AD =，所以PA ⊥底面ABCD ．而CD ⊂底面ABCD ，所以PA ⊥CD ．在底面ABCD 中，因为90ABC BAD ∠=∠=︒，12AB BC AD ==， 所以2AC CD AD ==，∴222AD CD AC =+ ∴AC ⊥CD ． 又因为PA AC A = ， 所以CD ⊥平面PAC ． ……………………………4 （Ⅱ）在PA 上存在中点E ，使得//BE 平面PCD ，证明如下：取PD 的中点F ，连结BE ，EF ，FC ，则//EF AD ，且12EF AD =． 由已知90ABC BAD ∠=∠=︒， 所以//BC AD ． 又12BC AD =，所以//BC EF ，且BC EF =，所以四边形BEFC 为平行四边形，所以//BE CF ．因为BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，所以//BE 平面PCD ． (8)（Ⅲ）取AD 中点G ，连结CG ，则 CG ⊥AD ．又因为平面ABCD ⊥平面PAD ，所以 CG ⊥平面PAD ．过G 作GH PD ⊥于H ，连结CH ，∴CH PD ⊥．所以GHC ∠是二面角A PD C --的平面角．设2AD =，则1PA AB CG DG ====, DP =．在PAD ∆中，GH DG PA DP =，所以GH =． 所以tan CG GHC GH∠==，cos 6GHC ∠=． 即二面角A PD C --的余弦值为6． ………………………………13 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得2b =2a =1d +, 3b =5a 14d =+, 2b =14a 113d =+, (1)由于{}n b 为等比数列，所以2324b b b =⋅． ∴2(14)d +=(1)(113)d d ++, 0,2d d >∴=． ...............2 ∴21n a n =- ． (3)又2b =2a =3，3b = 5a =9, ………………4 ∴数列{n b }的公比为3， ………………5 ∴n b =3⋅23n -=13n -． ……………6 （Ⅱ）由11c b +22c b +…+n nc b =1n a + , （1）当1n =时，11c b =2a =3， ∴1c =3． ……………7 当1n >时，11c b +22c b +…+11n n c b --= n a ， （2） 由（1）－（2）得n n c b =1n a +-n a =2 ， ..................9 ∴n c =2n b =2⋅13n -,(2)n ≥ (10)∴n c =13,123,2n n n -=⎧⎨⋅≥⎩………………11 ∴2014321......c c c c ++++=3+2⋅3+2⋅23+…+2⋅20133 ……………12 =1+2⋅03+2⋅3+2⋅23+…+2⋅20133=1+2⋅31312014--=20143 …………13 19．（本小题满分14分） （Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,0)F c ． 由题意知解得b =，1c =． (3)故椭圆C 的方程为22143x y +=，离心率为12．……5 （Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠． (6)则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．………………………7 由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．………………………8 设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+． ⎧⎪⎨⎪⎩2221222, .a b a a b c ⋅⋅===+所以2026834k x k -=+，00212(2)34k y k x k =+=+． ……………………………10 因为点F 坐标为(1, 0)， 当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±． 直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+= 与直线PF 相切．…11 当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PF y k k x k ==--． 所以直线PF 的方程为24(1)14k y x k =--． 点E 到直线PF的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-． 又因为||4||BD k = ，所以1||2d BD =． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切． (14)20．（本小题满分14分）（Ⅰ）当5=a 时，由xe x x x g )35()(2-+-=得，e g =)1( ........................1 x e x x x g )23()('2++-=，故切线斜率为e g 4)1('=...........................2 所以切线方程为：e ex y 34-= (4)（Ⅱ）根据题意m 大于)(x f 在]2,[+t t 上的最小值即可. ...............5 1ln )('+=x x f (6)……7 ①当e t 1≥时，在区间]2,[+t t 上)(x f 为增函数，所以t t t f x f ln )()(min == ……………………………………………………………8 ②当et 10<<时，在区间)1,(e t 上)(x f 为减函数，在区间),1(e e 上)(x f 为增函数 所以ee f x f 11()(min -== …………………………………………………………9 综上，当e t 1≥时，t t m ln >；e t 10<<时，em 1-> （Ⅲ）由)(2)(x f e x g x =得，3ln 22-+-=ax x x x ，xx x a 3ln 2++=…………10 令)(x h x x x 3ln 2++=，22)1)(3(321)('xx x x x x h -+=-+= (12)231)1(-+=e e e h ，4)1(=h ，23)(++=e ee h 0224)1()(<+-=-ee e h e h …………………………………………………………13 ee a 324++≤<∴ (14)。