上海市长宁区届中考数学二模试卷(解析版)-(1)

2023年上海市长宁区中考二模数学试卷含答案

2023年上海市长宁区中考二模数学试卷含答案2023年上海市长宁区中考二模数学试卷（本试卷满分120分，考试时间120分钟）注意事项：1. 答卷前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

3. 非选择题答案必须用钢笔或签字笔写在答题卡的指定位置，写在试卷上无效。

一、选择题（共40小题，每小题2分，共80分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设函数 f(x) = x^2 - 2x + 3，那么函数图象在 x 轴上的截距为多少？A. 2B. 3C. -2D. -32. 有一组数据 19，21，32，36，28，15，27，14，23，该组数据的方差为多少？A. 90B. 95C. 98D. 1003. 在△ABC中，已知∠B = 70°，∠C = 50°，则∠A的度数为多少？A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°4. 已知等差数列的前n项和Sn = 3n^2 - n，则它的首项是多少？A. 1B. 2C. 3D. 45. 若 log2 3 = a ，则 log4 243 的值为多少？A. 3 - aB. 2 + aC. 5 - aD. 3a6. 设函数f(x) = √(x + 2)，则 f(1) = ?A. 1B. 2C. 3D. 4...二、非选择题（共5小题，每小题8分，共40分）请将解答写在答题卡上。

7. 计算：（1/2）^2 ×（1/3）^3 +（1/2）^4 ×（1/3）^3 +（1/2）^6 ×（1/3）^3。

解答：8. 已知正方形长边长为a，小正方形边长为b，a = 2b，则正方形的面积是多少？解答：9. 设直线y = kx - 2与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，则过点(-1, 5)的该直线方程为？解答：10. 设等差数列{an}的公差为d，若an = 2^(n-1)，求d。

2019年上海市长宁区中考数学二模试卷(解析版)

2019年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分） 1. 化简m 3+m 3的结果等于（）A. m 6B. 2m 6C. 2m 3D. m 9 2. 下列二次根式中，最简二次根式的是（）A. √8xB. √y 2+4C. √1mD. √3a 23. 某校随机抽查若干名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，把所得数据绘制成频数分布直方图（如图），则仰卧起坐次数不小于15次且小于20次的频率是（）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.44. 下列方程中，有实数解的是（）A. x+2x 2−4=0B. 2x 2−x +1=0C. x 2+4=0D. √6−x =−x5. 下列命题中，真命题的是（）A. 如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等B. 如果两个圆没有公共点，那么这两个圆外离C. 如果一条直线上有一个点到圆心的距离等于半径，那么这条直线与圆相切D. 如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦6. 已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（） A. ∠ADB =∠CBD ，AB//CDB. ∠ADB =∠CBD ，∠DAB =∠BCDC. ∠DAB =∠BCD ，AB =CDD. ∠ABD =∠CDB ，OA =OC二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 今年春节黄金周上海共接待游客约5090000人，5090000这个数用科学记数法表示为______． 8. 计算：(12)−2−23÷24=______．9. 如果反比例函数y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象经过点（-1，2），那么这个反比例函数的图象在第______象限． 10. 方程组{xy =2x+y=−3的解是______．11. 掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是______．12. 如果二次函数y =mx m 2−2（m 为常数）的图象有最高点，那么m 的值为______． 13. 某商品经过两次涨价后，价格由原来的64元增至100元，如果每次商品价格的增长率相同，那么这个增长率是______．14. 为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了其中20名学生，将所得数据整理并制成如表，那么这些测试数据的中位数是______小时．睡眠时间（小时）6 7 8 9 学生人数864215. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，联结AE 、BD 交于点F ，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ 、b ⃗ 表示DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．16. 在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =6，BC =8．分别以点A 、C 为圆心画圆，如果点B在⊙A 上，⊙C 与⊙A 相交，且点A 在⊙C 外，那么⊙C 的半径长r 的取值范围是______． 17. 我们规定：一个多边形上任意两点间距离的最大值称为该多边形的“直径”．现有两个全等的三角形，边长分别为4、4、2√7．将这两个三角形相等的边重合拼成对角线互相垂直的凸四边形，那么这个凸四边形的“直径”为______． 18. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，将△ABC 绕着点C 旋转，点A 、B 的对应点分别是点A '、B '，若点B '恰好在线段AA '的延长线上，则AA '的长等于______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分） 19. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点D 是边AC 的中点，CF ⊥BD ，垂足为点F ，延长CF 与边AB 交于点E ．求：（1）∠ACE 的正切值；（2）线段AE 的长．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分） 20. 先化简，再求值：x 2−4x 2+2x÷(x 2+4x−4)，其中x =√3．21.解不等式组：{2(6−x)＞3(x−1)，x3−x−22≤1.，并把解集在数轴上表示出来．22.某文具店每天售出甲、乙两种笔，统计后发现：甲、乙两种笔同一天售出量之间满足一次函数的关系，设甲、乙两种笔同一天的售出量分别为x（支）、y（支），部分数据如表所示（下表中每一列数据表示甲、乙两种笔同一天的售出量）．甲种笔售出x（支）…468…乙种笔售出y（支）…61218…（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写出函数的定义域）（2）某一天文具店售出甲、乙两种笔的营业额分别为30元和120元，如果乙种笔每支售价比甲种笔每支售价多2元，那么甲、乙两种笔这天各售出多少支？23.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E在边CB的延长线上，且∠EAC=90°，AE2=EB•EC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）延长DB、AE交于点F，若AF=AC，求证：AE=BF．24.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=49x2+bx+c经过原点，且与x 轴相交于点A，点A的横坐标为6，抛物线顶点为点B．（1）求这条抛物线的表达式和顶点B的坐标；（2）过点O作OP∥AB，在直线OP上点取一点Q，使得∠QAB=∠OBA，求点Q的坐标；（3）将该抛物线向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限，此时点A移动到点D的位置，CB：DB=3：4，求m 的值．25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P在边AC上（点P与点A不重合），以点P为圆心，PA为半径作⊙P交边AB于另一点D，ED⊥DP，交边BC 于点E．（1）求证：BE=DE；（2）若BE=x，AD=y，求y关于x的函数关系式并写出定义域；（3）延长ED交CA的延长线于点F，联结BP，若△BDP与△DAF相似，求线段AD的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：m3+m3=2m3．故选：C．直接利用合并同类项法则计算得出答案．此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键．2.【答案】B【解析】解：，故A选项不是最简二次根式；是简二次根式；，故C 选项不是最简二次根式；，故D 选项不是最简二次根式，故选：B．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．3.【答案】A【解析】解：仰卧起坐次数不小于15次且小于20次的频率是：=0.1；故选：A．结合频数分布直方图，根据频率=频数÷总数，直接代入求解即可．本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，解题的关键是掌握频率=频数÷总数．4.【答案】D【解析】解：A．原方程变形为x+2=x2-4，整理得x2-x-6=0，解得x=3或-2，x=3时，左边=1≠右边，x=-2时，x2-4=0，因此原方程无解，故A错误；B．△=b2-4ac=（-1）2-4×2×1=-7＜0，因此因此原方程无解，故B错误；C．△=b2-4ac=02-4×1×4=-16＜0，因此因此原方程无解，故C错误；D．原方程变形为6-x=x2，移项得，x2+x-6=0，．△=b2-4ac=12-4×1×（-6）=25＞0，因此因此原方程有两个不相等的实数根，故D正确；故选：D．对分式方程进行解方程然后验根，对一元二次方程运用根的判别式进行判断，对无理方程先化为一元二次方程再运用根的判别式进行判断即可．本题考查了方程的实数根，能熟练解分式方程与一元二次方程是得解题的关键．5.【答案】D【解析】解：A没强调在同圆或等圆中，不正确；B两个圆没有公共点，这两个圆的位置是内含或外离，只说外离不正确；C直线和圆相交时，交点与圆心的距离也等于半径，说这条直线与圆相切是错的；D垂径定理的推论，正确．故选：D．A没强调在同圆或等圆中，不正确；B两个圆没有公共点，这两个圆的位置是内含或外离，只说外离不正确；C直线和圆相交时，交点与圆心的距离也等于半径，说这条直线与圆相切是错的；D垂径定理的推论，正确．本题主要考查了圆的有关概念及性质，准确把握圆的性质是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】解：A、∵∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；B、∵∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC，∵∠DAB=∠BCD，∴∠BAD+∠ABC=∠ADC+∠BCD=180°，∴∠ABC=∠ADC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；C、∠DAB=∠BCD，AB=CD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；D、∵∠ABD=∠CDB，∠AOB=∠COD，OA=OC，∴△AOB≌△COD（AAS），∴OB=OC，∴四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；故选：C．根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．7.【答案】5.09×106【解析】解：5090000=5.09×106，故答案是：5.09×106．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 8.【答案】312【解析】解：原式=4-2-1 =4- =3．故答案为：3．直接利用负指数幂的性质以及有理数的混合运算法则计算得出答案．此题主要考查了负指数幂的性质以及有理数的混合运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键． 9.【答案】二、四【解析】解：∵反比例函数y=（k 是常数，k≠0）的图象经过点（-1，2），∴k=-1×2=-2＜0， ∴反比例函数的解析式为y=，∴这个函数图象在第二、四象限．故答案为：二、四．利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k 值，再利用反比例函数的性质，即可得出这个函数图象所在的象限．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 值是解题的关键． 10.【答案】{y =−1x=−2或{y =−2x=−1【解析】解：，解：由①得，x=-3-y③，把③代入②得，（-3-y）y=2，解得：y1=-1，y2=-2，把y1=-1，y2=-2分别代入③得，x1=-2，x2=-1，∴原方程组的解为或，故答案为：或．首先把方程①变形为x=-3-y，然后利用代入法消去x，得到关于y的一元二次方程，解方程求出y，然后就可以求出x，从而求解．此题主要考查了二元二次方程组的解法，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．11.【答案】12【解析】解：掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个数，共有六种可能，其中2、3、5是素数，所以概率为=，故答案为：．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题主要考查概率的求法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12.【答案】-2【解析】解：∵二次函数（m为常数）的图象有最高点，∴，解得：m=-2，故答案为：-2．根据二次函数的定义结合其有最高点确定m的值即可．本题考查了二次函数的最值，解题的关键是根据二次函数的定义确定m的值，难度不大．13.【答案】25%【解析】解：设这个增长率为x，依题意，得：64（1+x）2=100，解得：x1=0.25=25%，x2=-2.25（不合题意，舍去）．故答案为：25%．设这个增长率为x，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14.【答案】7【解析】解：∵共有20名学生，把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第10和11个数的平均数，∴这些测试数据的中位数是=7小时；故答案为：7．根据中位数的定义进行求解即可．本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．15.【答案】-13a⃗-12b⃗【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴==，==，∵DE=DC，∴=-=-，∴=+=-b，∵DE∥AB，∴EF：AF=DE：AB=1：2，∴EF=AE，∴=-=-，∴=+=--，故答案为--．根据=+，求出，即可解决问题．本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16.【答案】4＜r＜10【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC==10，∵点B在⊙A上，∴⊙A的半径是6，设⊙A交AC于D，则AD=6，CD=10-6=4，∵点A在⊙C外，∴⊙C的半径小于10，即r的取值范围是4＜r＜10，故答案为：4＜r＜10．根据勾股定理求出斜边AC，根据点和圆的位置关系求出⊙A的半径，再求出⊙C的半径即可．本题考查了圆与圆的位置关系，点和圆的位置关系，勾股定理等知识点，能求出两圆的半径是解此题的关键．17.【答案】6或3√7【解析】解：①如图1，由题意得，AB=AC=BD=CD=4，BC=2，∴四边形ABDC是菱形，∴AD⊥BC，BO=CO=AC=，AO=OD，∴AO===3，∴AD=6＞2=BC，∴这个凸四边形的“直径”为6；②如图2，由题意得，AB=AC=AD=4，BC=CD=2，∴AC垂直平分BD，∴AC⊥BD，BO=DO，设AO=x，则CO=4-x，由勾股定理得，AB2-AO2=BC2-CO2，∴42-x2=（2）2-（4-x）2，解得：x=，∴AO=，∴BO==，∴BD=2BO=3，∵BD=3＞4=AC，∴这个凸四边形的“直径”为3，综上所述：这个凸四边形的“直径”为6或3，故答案为：6或3．①如图1，由题意得，AB=AC=BD=CD=4，BC=2，求得四边形ABDC是菱形，根据菱形的性质得到AD⊥BC，BO=CO=AC=，AO=OD，根据勾股定理得到AO===3；②如图2，由题意得，AB=AC=AD=4，BC=CD=2，得到AC垂直平分BD，求得AC⊥BD，BO=DO，设AO=x，则CO=4-x，根据勾股定理得到BD=2BO=3，于是得到结论．本题考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．18.【答案】145【解析】解：如图，过点C作CF⊥AA'于点F，∵旋转∴AC=A'C=5，AB=A'B'=5，BC=B'C=8∵CF⊥AA'，∴AF=A'F在Rt△AFC中，AC2=AF2+CF2，在Rt△CFB'中，B'C2=B'F2+CF2，∴B'C2-AC2=B'F2-AF2，∴64-25=（8+AF）2-AF2，∴AF=∴AA'=故答案为：由旋转的性质可得AC=A'C=5，AB=A'B'=5，BC=B'C=8，由等腰三角形的性质可得AF=A'F，由勾股定理列出方程组，可求AF的长，即可求AA'的长．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程组是本题的关键．19.【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCE=90°，又∵CF⊥BD，∴∠CFB=90°，∴∠BCE+∠CBD=90°，∴∠ACE=∠CBD，∵AC=4且D是AC的中点，∴CD=2，又∵BC=3，在Rt△BCD中，∠BCD=90°．∴tan∠BCD=CDBC =2 3，∴tan∠ACE=tan∠CBD=23；（2）过点E作EH⊥AC，垂足为点H，在Rt△EHA中，∠EHA=90°，∴tan A=EHHA，∵BC=3，AC=4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴tan A=BCAC =3 4，∴EH AH =3 4，设EH=3k，AH=4k，∵AE2=EH2+AH2，∴AE=5k，在Rt△CEH中，∠CHE=90°，∴tan∠ECA=EHCH =2 3，∴CH =92k ，∴AC =AH +CH =172k =4，解得：k =817，∴AE =4017．【解析】（1）由直角三角形ABC ，且CF 垂直于BD ，利用同角的余角相等得到∠ACE=∠CBD ，根据AC 的长确定出CD 的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可；（2）过点E 作EH ⊥AC ，垂足为点H ，在直角三角形EHA 中，利用锐角三角函数定义表示出tanA ，进而表示出AE ，在直角三角形CEH 中，利用锐角三角函数定义表示出CH ，由CH+AH 表示出AC ，根据已知AC 的长求出k 的值，即可确定出所求．此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．20.【答案】解：原式=(x+2)(x−2)x(x+2)÷x 2−4x+4x =x−2x ⋅x(x−2)2 =1x−2．当x =√3时，原式=1x−2=√3−2=−√3−2．【解析】先计算括号内的分式减法，再计算除法运算，化简后，代入x 的值求解．本题主要考查分式的混合运算，即化简求值，解题的关键是掌握运算顺序，会化简分式．21.【答案】解：{2(6−x)＞3(x −1)①x 3−x−22≤1②，由①得x ＜3；由②得x ≥0；∴不等式组的解集为0≤x ＜3，不等式组的解集在数轴上表示为：．【解析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．22.【答案】解：（1）设函数关系式为y=kx+b（k≠0），由图象过点（4，6），（6，12），得：{6k+b=124k+b=6，解之得：{b=−6k=3，所以y关于x的解析式为：y=3x-6．（2）设甲种笔售出x支，则乙种笔售出（3x-6）支，由题意可得：1203x−6−30x=2整理得：x2-7x-30=0解之得：x1=10，x2=-3（舍去）3x-6=24答：甲、乙两种这天笔各售出10支、24支．【解析】（1）根据待定系数法即可求出y与x的函数关系式．（2）根据题意列出关系式即可求出答案．本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意找出等量关系，本题属于中等题型．23.【答案】证明：（1）∵AE2=EB•EC∴AE EC =EBAE又∵∠AEB=∠CEA∴△AEB∽△CEA∴∠EBA=∠EAC而∠EAC=90°∴∠EBA=∠EAC=90°又∵∠EBA+∠CBA=180°∴∠CBA=90°而四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形即得证．（2）∵△AEB∽△CEA∴BE AE =ABAC即BEAB=AEAC，∠EAB=∠ECA∵四边形ABCD是矩形∴OB=OC∴∠OBC=∠ECA∴∠EBF=∠OBC=∠ECA=∠EAB 即∠EBF=∠EAB又∵∠F=∠F∴△EBF∽△BAF∴BF AF =BEAB∴BF AF =AEAC而AF=AC∴BF=AE即AE=BF得证．【解析】（1）根据AE2=EB•EC证明△AEB∽△CEA，即可得到∠EBA=∠EAC=90°，从而说明平行四边形ABCD是矩形；（2）根据（1）中△AEB∽△CEA可得，再证明△EBF∽△BAF可得，结合条件AF=AC，即可证AE=BF．本题考查的是相似三角形的判定与性质及矩形的性质，利用三角形的相似进行边与角的转化是解决本题的关键．24.【答案】解：（1）∵点O（0，0）、A（6，0）在抛物线y=49x2+bx+c上∴{c=049×36+6b+c=0，解得{b=−83 c=0∴抛物线的解析式为y=49x2−83x=49（x-3）2-4，∴顶点B的坐标是（3，-4）（2）如图，∵A（6，0），B（3，-4）∴直线AB解析式为：y=43x-8∵OP∥AB∴直线OP解析式为：y=43x设点Q（3k，4k），∵∠OBA=∠QAB＞∠OAB，∴k＞0∵OP平行于AB，QA不平行于OB ∴四边形OQAP为梯形又∵∠QAB=∠OBA∴四边形OQAP为等腰梯形∴QA=OB∴（6-3k）2+（4k）2=25∴k=1125或k=-1（舍去）∴Q(3325，4425)（3）由（1）知y=49x2−83x=49(x−3)2−4设抛物线向左平移m（m＞0）个单位后的新抛物线表达式为y=49(x−3+m)2−4∵新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限，设点C的坐标为C（0，c）∴0＜m＜3，-4＜c＜0，如图，过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F∴BC BD =BFBE=34，且∠BFC=∠BED=90°∴△BCF∽△BDE∴CF DE =BCBD=34∴CF 3−m =34∴CF=34(3−m)∴OC=4−CF=4−34(3−m)又∵y=49(x−3+m)2−4∴OC=4−49(3−m)2∴4−34(3−m)=4−49(3−m)2∴m1=2116或者m2=3（舍去）∴m=2116【解析】（1）将点O，点A坐标代入解析式可求抛物线的表达式和顶点B的坐标；（2）由点A，点B坐标可求直线AB解析式，即可求直线OP解析式为：y=x，设点Q（3k，4k），可证四边形OQAP为等腰梯形，可得OB=QA，由两点距离公式可求k的值，即可求点Q坐标；（3）过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F，由题意可证△BCF∽△BDE，可得，可得，可得，可得关于m 的方程，即可求m 的值．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，等腰梯形的性质，两点距离公式，相似三角形的判定和性质，找到关于m 的等式是本题的关键．25.【答案】（1）证明：∵ED ⊥DP ，∴∠EDP =90°．∴∠BDE +∠PDA =90°．又∵∠ACB =90°，∴∠B +∠PAD =90°．∵PD =PA ，∴∠PDA =∠PAD ．∴∠BDE =∠B ．∴BE =DE ．（2）∵AD =y ，BD =BA -AD =5-y ．过点E 作EH ⊥BD 垂足为点H ，由（1）知BE =DE ，∴BH =12BD =5−y 2．在Rt △EHB 中，∠EHB =90°， ∴cosB =BH BE =5−y 2x ．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4．∴AB =5．∴cosB =BC AB =45．∴5−y2x =45，∴y =25−8x 5(78≤x ＜258)．（3）设PD =a ，则AD =65a ，BD =BA −AD =5−65a在等腰△PDA 中，cos∠PAD =35，易得cos∠DPA =725在Rt △PDF 中，∠PDF =90°，cos∠DPA =PD PF =725．∴PF =25a7，AF =18a7．若△BDP ∽△DAF 又∠BDP =∠DAF①当∠DBP =∠ADF 时，AD BD =AF PD 即65a5−65a =18a7a，解得a =3，此时AD =65a =185．②当∠DBP =∠F 时，AD PD =AF BD 即65a a =18a 75−65a ，解得a =175117，此时AD =65a =7039．综上所述，若△BDP ∽△DAF ，线段AD 的长为185或7039．【解析】（1）首先得出∠BDE+∠PDA=90°，进而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PA 得出∠PDA=∠A 进而得出答案；（2）由AD=y 得到：BD=BA-AD=5-y ．过点E 作EH ⊥BD 垂足为点H ，构造Rt △EHB ，所以，．通过解Rt △ABC 知：．易得答案；（3）需要分类讨论：①当∠DBP=∠ADF 时，即； ②当∠DBP=∠F 时，即，借助于方程求得AD 的长度即可．此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质与判定以及勾股定理等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．。

2019年上海市长宁区中考数学二模试卷(解析版)

2019年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分） 1. 化简m 3+m 3的结果等于（）A. m 6B. 2m 6C. 2m 3D. m 9 2. 下列二次根式中，最简二次根式的是（）A. √8xB. √y 2+4C. √1mD. √3a 23. 某校随机抽查若干名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，把所得数据绘制成频数分布直方图（如图），则仰卧起坐次数不小于15次且小于20次的频率是（）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.44. 下列方程中，有实数解的是（）A. x+2x 2−4=0B. 2x 2−x +1=0C. x 2+4=0D. √6−x =−x5. 下列命题中，真命题的是（）A. 如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等B. 如果两个圆没有公共点，那么这两个圆外离C. 如果一条直线上有一个点到圆心的距离等于半径，那么这条直线与圆相切D. 如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦6. 已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（） A. ∠ADB =∠CBD ，AB//CDB. ∠ADB =∠CBD ，∠DAB =∠BCDC. ∠DAB =∠BCD ，AB =CDD. ∠ABD =∠CDB ，OA =OC二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 今年春节黄金周上海共接待游客约5090000人，5090000这个数用科学记数法表示为______． 8. 计算：(12)−2−23÷24=______．9. 如果反比例函数y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象经过点（-1，2），那么这个反比例函数的图象在第______象限． 10. 方程组{xy =2x+y=−3的解是______．11. 掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是______．12. 如果二次函数y =mx m 2−2（m 为常数）的图象有最高点，那么m 的值为______． 13. 某商品经过两次涨价后，价格由原来的64元增至100元，如果每次商品价格的增长率相同，那么这个增长率是______．14. 为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了其中20名学生，将所得数据整理并制成如表，那么这些测试数据的中位数是______小时．睡眠时间（小时）6 7 8 9 学生人数864215. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，联结AE 、BD 交于点F ，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ 、b ⃗ 表示DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．16. 在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =6，BC =8．分别以点A 、C 为圆心画圆，如果点B在⊙A 上，⊙C 与⊙A 相交，且点A 在⊙C 外，那么⊙C 的半径长r 的取值范围是______． 17. 我们规定：一个多边形上任意两点间距离的最大值称为该多边形的“直径”．现有两个全等的三角形，边长分别为4、4、2√7．将这两个三角形相等的边重合拼成对角线互相垂直的凸四边形，那么这个凸四边形的“直径”为______． 18. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，将△ABC 绕着点C 旋转，点A 、B 的对应点分别是点A '、B '，若点B '恰好在线段AA '的延长线上，则AA '的长等于______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分） 19. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =3，点D 是边AC 的中点，CF ⊥BD ，垂足为点F ，延长CF 与边AB 交于点E ．求：（1）∠ACE 的正切值；（2）线段AE 的长．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分） 20. 先化简，再求值：x 2−4x 2+2x÷(x 2+4x−4)，其中x =√3．21.解不等式组：{2(6−x)＞3(x−1)，x3−x−22≤1.，并把解集在数轴上表示出来．22.某文具店每天售出甲、乙两种笔，统计后发现：甲、乙两种笔同一天售出量之间满足一次函数的关系，设甲、乙两种笔同一天的售出量分别为x（支）、y（支），部分数据如表所示（下表中每一列数据表示甲、乙两种笔同一天的售出量）．甲种笔售出x（支）…468…乙种笔售出y（支）…61218…（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写出函数的定义域）（2）某一天文具店售出甲、乙两种笔的营业额分别为30元和120元，如果乙种笔每支售价比甲种笔每支售价多2元，那么甲、乙两种笔这天各售出多少支？23.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E在边CB的延长线上，且∠EAC=90°，AE2=EB•EC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）延长DB、AE交于点F，若AF=AC，求证：AE=BF．24.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=49x2+bx+c经过原点，且与x 轴相交于点A，点A的横坐标为6，抛物线顶点为点B．（1）求这条抛物线的表达式和顶点B的坐标；（2）过点O作OP∥AB，在直线OP上点取一点Q，使得∠QAB=∠OBA，求点Q的坐标；（3）将该抛物线向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限，此时点A移动到点D的位置，CB：DB=3：4，求m 的值．25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P在边AC上（点P与点A不重合），以点P为圆心，PA为半径作⊙P交边AB于另一点D，ED⊥DP，交边BC 于点E．（1）求证：BE=DE；（2）若BE=x，AD=y，求y关于x的函数关系式并写出定义域；（3）延长ED交CA的延长线于点F，联结BP，若△BDP与△DAF相似，求线段AD的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：m3+m3=2m3．故选：C．直接利用合并同类项法则计算得出答案．此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键．2.【答案】B【解析】解：，故A选项不是最简二次根式；是简二次根式；，故C 选项不是最简二次根式；，故D 选项不是最简二次根式，故选：B．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．3.【答案】A【解析】解：仰卧起坐次数不小于15次且小于20次的频率是：=0.1；故选：A．结合频数分布直方图，根据频率=频数÷总数，直接代入求解即可．本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，解题的关键是掌握频率=频数÷总数．4.【答案】D【解析】解：A．原方程变形为x+2=x2-4，整理得x2-x-6=0，解得x=3或-2，x=3时，左边=1≠右边，x=-2时，x2-4=0，因此原方程无解，故A错误；B．△=b2-4ac=（-1）2-4×2×1=-7＜0，因此因此原方程无解，故B错误；C．△=b2-4ac=02-4×1×4=-16＜0，因此因此原方程无解，故C错误；D．原方程变形为6-x=x2，移项得，x2+x-6=0，．△=b2-4ac=12-4×1×（-6）=25＞0，因此因此原方程有两个不相等的实数根，故D正确；故选：D．对分式方程进行解方程然后验根，对一元二次方程运用根的判别式进行判断，对无理方程先化为一元二次方程再运用根的判别式进行判断即可．本题考查了方程的实数根，能熟练解分式方程与一元二次方程是得解题的关键．5.【答案】D【解析】解：A没强调在同圆或等圆中，不正确；B两个圆没有公共点，这两个圆的位置是内含或外离，只说外离不正确；C直线和圆相交时，交点与圆心的距离也等于半径，说这条直线与圆相切是错的；D垂径定理的推论，正确．故选：D．A没强调在同圆或等圆中，不正确；B两个圆没有公共点，这两个圆的位置是内含或外离，只说外离不正确；C直线和圆相交时，交点与圆心的距离也等于半径，说这条直线与圆相切是错的；D垂径定理的推论，正确．本题主要考查了圆的有关概念及性质，准确把握圆的性质是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】解：A、∵∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；B、∵∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC，∵∠DAB=∠BCD，∴∠BAD+∠ABC=∠ADC+∠BCD=180°，∴∠ABC=∠ADC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；C、∠DAB=∠BCD，AB=CD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；D、∵∠ABD=∠CDB，∠AOB=∠COD，OA=OC，∴△AOB≌△COD（AAS），∴OB=OC，∴四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；故选：C．根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．7.【答案】5.09×106【解析】解：5090000=5.09×106，故答案是：5.09×106．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 8.【答案】312【解析】解：原式=4-2-1 =4- =3．故答案为：3．直接利用负指数幂的性质以及有理数的混合运算法则计算得出答案．此题主要考查了负指数幂的性质以及有理数的混合运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键． 9.【答案】二、四【解析】解：∵反比例函数y=（k 是常数，k≠0）的图象经过点（-1，2），∴k=-1×2=-2＜0， ∴反比例函数的解析式为y=，∴这个函数图象在第二、四象限．故答案为：二、四．利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k 值，再利用反比例函数的性质，即可得出这个函数图象所在的象限．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 值是解题的关键． 10.【答案】{y =−1x=−2或{y =−2x=−1【解析】解：，解：由①得，x=-3-y③，把③代入②得，（-3-y）y=2，解得：y1=-1，y2=-2，把y1=-1，y2=-2分别代入③得，x1=-2，x2=-1，∴原方程组的解为或，故答案为：或．首先把方程①变形为x=-3-y，然后利用代入法消去x，得到关于y的一元二次方程，解方程求出y，然后就可以求出x，从而求解．此题主要考查了二元二次方程组的解法，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．11.【答案】12【解析】解：掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个数，共有六种可能，其中2、3、5是素数，所以概率为=，故答案为：．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题主要考查概率的求法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12.【答案】-2【解析】解：∵二次函数（m为常数）的图象有最高点，∴，解得：m=-2，故答案为：-2．根据二次函数的定义结合其有最高点确定m的值即可．本题考查了二次函数的最值，解题的关键是根据二次函数的定义确定m的值，难度不大．13.【答案】25%【解析】解：设这个增长率为x，依题意，得：64（1+x）2=100，解得：x1=0.25=25%，x2=-2.25（不合题意，舍去）．故答案为：25%．设这个增长率为x，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14.【答案】7【解析】解：∵共有20名学生，把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第10和11个数的平均数，∴这些测试数据的中位数是=7小时；故答案为：7．根据中位数的定义进行求解即可．本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．15.【答案】-13a⃗-12b⃗【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴==，==，∵DE=DC，∴=-=-，∴=+=-b，∵DE∥AB，∴EF：AF=DE：AB=1：2，∴EF=AE，∴=-=-，∴=+=--，故答案为--．根据=+，求出，即可解决问题．本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16.【答案】4＜r＜10【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC==10，∵点B在⊙A上，∴⊙A的半径是6，设⊙A交AC于D，则AD=6，CD=10-6=4，∵点A在⊙C外，∴⊙C的半径小于10，即r的取值范围是4＜r＜10，故答案为：4＜r＜10．根据勾股定理求出斜边AC，根据点和圆的位置关系求出⊙A的半径，再求出⊙C的半径即可．本题考查了圆与圆的位置关系，点和圆的位置关系，勾股定理等知识点，能求出两圆的半径是解此题的关键．17.【答案】6或3√7【解析】解：①如图1，由题意得，AB=AC=BD=CD=4，BC=2，∴四边形ABDC是菱形，∴AD⊥BC，BO=CO=AC=，AO=OD，∴AO===3，∴AD=6＞2=BC，∴这个凸四边形的“直径”为6；②如图2，由题意得，AB=AC=AD=4，BC=CD=2，∴AC垂直平分BD，∴AC⊥BD，BO=DO，设AO=x，则CO=4-x，由勾股定理得，AB2-AO2=BC2-CO2，∴42-x2=（2）2-（4-x）2，解得：x=，∴AO=，∴BO==，∴BD=2BO=3，∵BD=3＞4=AC，∴这个凸四边形的“直径”为3，综上所述：这个凸四边形的“直径”为6或3，故答案为：6或3．①如图1，由题意得，AB=AC=BD=CD=4，BC=2，求得四边形ABDC是菱形，根据菱形的性质得到AD⊥BC，BO=CO=AC=，AO=OD，根据勾股定理得到AO===3；②如图2，由题意得，AB=AC=AD=4，BC=CD=2，得到AC垂直平分BD，求得AC⊥BD，BO=DO，设AO=x，则CO=4-x，根据勾股定理得到BD=2BO=3，于是得到结论．本题考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．18.【答案】145【解析】解：如图，过点C作CF⊥AA'于点F，∵旋转∴AC=A'C=5，AB=A'B'=5，BC=B'C=8∵CF⊥AA'，∴AF=A'F在Rt△AFC中，AC2=AF2+CF2，在Rt△CFB'中，B'C2=B'F2+CF2，∴B'C2-AC2=B'F2-AF2，∴64-25=（8+AF）2-AF2，∴AF=∴AA'=故答案为：由旋转的性质可得AC=A'C=5，AB=A'B'=5，BC=B'C=8，由等腰三角形的性质可得AF=A'F，由勾股定理列出方程组，可求AF的长，即可求AA'的长．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程组是本题的关键．19.【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCE=90°，又∵CF⊥BD，∴∠CFB=90°，∴∠BCE+∠CBD=90°，∴∠ACE=∠CBD，∵AC=4且D是AC的中点，∴CD=2，又∵BC=3，在Rt△BCD中，∠BCD=90°．∴tan∠BCD=CDBC =2 3，∴tan∠ACE=tan∠CBD=23；（2）过点E作EH⊥AC，垂足为点H，在Rt△EHA中，∠EHA=90°，∴tan A=EHHA，∵BC=3，AC=4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴tan A=BCAC =3 4，∴EH AH =3 4，设EH=3k，AH=4k，∵AE2=EH2+AH2，∴AE=5k，在Rt△CEH中，∠CHE=90°，∴tan∠ECA=EHCH =2 3，∴CH =92k ，∴AC =AH +CH =172k =4，解得：k =817，∴AE =4017．【解析】（1）由直角三角形ABC ，且CF 垂直于BD ，利用同角的余角相等得到∠ACE=∠CBD ，根据AC 的长确定出CD 的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可；（2）过点E 作EH ⊥AC ，垂足为点H ，在直角三角形EHA 中，利用锐角三角函数定义表示出tanA ，进而表示出AE ，在直角三角形CEH 中，利用锐角三角函数定义表示出CH ，由CH+AH 表示出AC ，根据已知AC 的长求出k 的值，即可确定出所求．此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．20.【答案】解：原式=(x+2)(x−2)x(x+2)÷x 2−4x+4x =x−2x ⋅x(x−2)2 =1x−2．当x =√3时，原式=1x−2=√3−2=−√3−2．【解析】先计算括号内的分式减法，再计算除法运算，化简后，代入x 的值求解．本题主要考查分式的混合运算，即化简求值，解题的关键是掌握运算顺序，会化简分式．21.【答案】解：{2(6−x)＞3(x −1)①x 3−x−22≤1②，由①得x ＜3；由②得x ≥0；∴不等式组的解集为0≤x ＜3，不等式组的解集在数轴上表示为：．【解析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．22.【答案】解：（1）设函数关系式为y=kx+b（k≠0），由图象过点（4，6），（6，12），得：{6k+b=124k+b=6，解之得：{b=−6k=3，所以y关于x的解析式为：y=3x-6．（2）设甲种笔售出x支，则乙种笔售出（3x-6）支，由题意可得：1203x−6−30x=2整理得：x2-7x-30=0解之得：x1=10，x2=-3（舍去）3x-6=24答：甲、乙两种这天笔各售出10支、24支．【解析】（1）根据待定系数法即可求出y与x的函数关系式．（2）根据题意列出关系式即可求出答案．本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意找出等量关系，本题属于中等题型．23.【答案】证明：（1）∵AE2=EB•EC∴AE EC =EBAE又∵∠AEB=∠CEA∴△AEB∽△CEA∴∠EBA=∠EAC而∠EAC=90°∴∠EBA=∠EAC=90°又∵∠EBA+∠CBA=180°∴∠CBA=90°而四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形即得证．（2）∵△AEB∽△CEA∴BE AE =ABAC即BEAB=AEAC，∠EAB=∠ECA∵四边形ABCD是矩形∴OB=OC∴∠OBC=∠ECA∴∠EBF=∠OBC=∠ECA=∠EAB 即∠EBF=∠EAB又∵∠F=∠F∴△EBF∽△BAF∴BF AF =BEAB∴BF AF =AEAC而AF=AC∴BF=AE即AE=BF得证．【解析】（1）根据AE2=EB•EC证明△AEB∽△CEA，即可得到∠EBA=∠EAC=90°，从而说明平行四边形ABCD是矩形；（2）根据（1）中△AEB∽△CEA可得，再证明△EBF∽△BAF可得，结合条件AF=AC，即可证AE=BF．本题考查的是相似三角形的判定与性质及矩形的性质，利用三角形的相似进行边与角的转化是解决本题的关键．24.【答案】解：（1）∵点O（0，0）、A（6，0）在抛物线y=49x2+bx+c上∴{c=049×36+6b+c=0，解得{b=−83 c=0∴抛物线的解析式为y=49x2−83x=49（x-3）2-4，∴顶点B的坐标是（3，-4）（2）如图，∵A（6，0），B（3，-4）∴直线AB解析式为：y=43x-8∵OP∥AB∴直线OP解析式为：y=43x设点Q（3k，4k），∵∠OBA=∠QAB＞∠OAB，∴k＞0∵OP平行于AB，QA不平行于OB ∴四边形OQAP为梯形又∵∠QAB=∠OBA∴四边形OQAP为等腰梯形∴QA=OB∴（6-3k）2+（4k）2=25∴k=1125或k=-1（舍去）∴Q(3325，4425)（3）由（1）知y=49x2−83x=49(x−3)2−4设抛物线向左平移m（m＞0）个单位后的新抛物线表达式为y=49(x−3+m)2−4∵新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限，设点C的坐标为C（0，c）∴0＜m＜3，-4＜c＜0，如图，过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F∴BC BD =BFBE=34，且∠BFC=∠BED=90°∴△BCF∽△BDE∴CF DE =BCBD=34∴CF 3−m =34∴CF=34(3−m)∴OC=4−CF=4−34(3−m)又∵y=49(x−3+m)2−4∴OC=4−49(3−m)2∴4−34(3−m)=4−49(3−m)2∴m1=2116或者m2=3（舍去）∴m=2116【解析】（1）将点O，点A坐标代入解析式可求抛物线的表达式和顶点B的坐标；（2）由点A，点B坐标可求直线AB解析式，即可求直线OP解析式为：y=x，设点Q（3k，4k），可证四边形OQAP为等腰梯形，可得OB=QA，由两点距离公式可求k的值，即可求点Q坐标；（3）过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F，由题意可证△BCF∽△BDE，可得，可得，可得，可得关于m 的方程，即可求m 的值．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，等腰梯形的性质，两点距离公式，相似三角形的判定和性质，找到关于m 的等式是本题的关键．25.【答案】（1）证明：∵ED ⊥DP ，∴∠EDP =90°．∴∠BDE +∠PDA =90°．又∵∠ACB =90°，∴∠B +∠PAD =90°．∵PD =PA ，∴∠PDA =∠PAD ．∴∠BDE =∠B ．∴BE =DE ．（2）∵AD =y ，BD =BA -AD =5-y ．过点E 作EH ⊥BD 垂足为点H ，由（1）知BE =DE ，∴BH =12BD =5−y 2．在Rt △EHB 中，∠EHB =90°， ∴cosB =BH BE =5−y 2x ．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4．∴AB =5．∴cosB =BC AB =45．∴5−y2x =45，∴y =25−8x 5(78≤x ＜258)．（3）设PD =a ，则AD =65a ，BD =BA −AD =5−65a在等腰△PDA 中，cos∠PAD =35，易得cos∠DPA =725在Rt △PDF 中，∠PDF =90°，cos∠DPA =PD PF =725．∴PF =25a7，AF =18a7．若△BDP ∽△DAF 又∠BDP =∠DAF①当∠DBP =∠ADF 时，AD BD =AF PD 即65a5−65a =18a7a，解得a =3，此时AD =65a =185．②当∠DBP =∠F 时，AD PD =AF BD 即65a a =18a 75−65a ，解得a =175117，此时AD =65a =7039．综上所述，若△BDP ∽△DAF ，线段AD 的长为185或7039．【解析】（1）首先得出∠BDE+∠PDA=90°，进而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PA 得出∠PDA=∠A 进而得出答案；（2）由AD=y 得到：BD=BA-AD=5-y ．过点E 作EH ⊥BD 垂足为点H ，构造Rt △EHB ，所以，．通过解Rt △ABC 知：．易得答案；（3）需要分类讨论：①当∠DBP=∠ADF 时，即； ②当∠DBP=∠F 时，即，借助于方程求得AD 的长度即可．此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质与判定以及勾股定理等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．。

【中考专题】2022年上海长宁区中考数学模拟真题练习卷(Ⅱ)(含详解)

2022年上海长宁区中考数学模拟真题练习卷（Ⅱ）考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意： 1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、一个正有理数在增大时，它的绝对值（）．A ．在减小B ．不变C ．在增大D ．不一定变 2、下列说法正确的是（） A ．213的倒数是52 B ．计算弧长的公式是2180πn l r =⨯ C ．1是最小的自然数D ．1的因数只有1 3、下列说法正确的是（）A ．任何数都有倒数B ．一个数的倒数一定不等于它本身C ．如果两个数互为倒数，那么它们的乘积是1D ．a 的倒数是1a 4、修建一项工程，甲队单独承包要80天完成，乙队单独承包要120天完成，如果甲、乙两队合作30天后，因甲队另有任务，剩下工程由乙队完成，则修建这一项工程共用（）·线○封○密○外A ．63天B ．66天C ．72天D ．75天5、如果x ，y 都不为零，且23x y =，那么下列比例中正确的是（）A ．23x y =B ．32xy = C ．32xy = D ．23x y = 6、在ABC 中，90ACB ︒∠=，1BC =，=3AC ，将ABC 以点C 为中心顺时针旋转90︒，得到DEC ，连接BE 、AD ．下列说法错误的是（）A ．6ABD S =B ．3ADE S ∆=C ．BE AD ⊥ D ．135AED ︒∠=7、20克盐完全溶解在180克水中，盐占盐水的百分比为（）A ．20%B ．10%C ．约为11.1%D ．18%8、已知三个数为2、4、8，若再添加一个数，使这四个数能组成一个比例，那么这个数可以是（）A ．2B ．4C ．6D ．89、下列说法中，不正确的是（）A ．用“长方形纸片”不可以检验直线与平面平行B ．用“三角尺”可以检验直线与平面垂直C ．用“铅垂线”可以检验直线与水平面平行D ．用“合页型折纸”可以检验平面与平面垂直10、如果54a b =，那么下列各式错误的是（）A ．54b a =B ．:22:153ab = C ．:5:4a b = D ．528b a =第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、若23a b =，则a a b =+________． 2、若圆弧所在圆的半径为12，所对的圆心角为60°，则这条弧的长为_____． 3、8和12的最小公倍数是_______________． 4、将一个圆的半径扩大为原来的3倍，则它的面积将扩大为原来的_______倍． 5、求比值（化为最简分数）：75克：0.5千克=____________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、今年爸爸40岁，女儿的岁数是爸爸岁数的310，那么女儿比爸爸小几岁？ 2、在一张地图上量得上海与南京两市的距离为5厘米，上海与杭州两市的距离为3.2厘米．已知上海与南京两市的实际距离约为300千米，求上海与杭州两市的实际距离约为多少千米．3、计算：182 6.3 1.25(3.2)35⨯-⨯-4、已知n 是正整数，请观察按一定次序排列的数：n ，1n 2+，23n +，34n +，45n +，…探究其中的规律，回答下列问题：（1）第6个数、第7个数分别是什么？（2）第2008个数是什么？（3）如果这列数无限写下去，越来越接近哪个数？5、某学校举行“迎世博”知识竞赛；需要制作长条形会议横幅如图所示，已知边空：字宽3:2=，字宽：字距3:1=. ·线○封○密○外（1）将边空：字宽：字距化成最简整数比；（2）如果字距是15米，横幅的字数为10，求长条形会议横幅的长度．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据绝对值的性质，即可完成求解．【详解】∵正有理数的绝对值=正有理数∴正有理数在增大时，它的绝对值在增大故选：C．【点睛】本题考查了有理数绝对值的知识；求解的关键是熟练掌握有理数绝对值的性质，从而完成求解．2、D【分析】依次对各选项进行分析．【详解】A 选项：213的倒数是35，故错误；B 选项：计算弧长的公式是180πn l r =⨯，故错误；C 选项：0是最小的自然数，故错误；D 选项：1的因数只有1，故正确．故选：D ．【点睛】考查了倒数、弧长的公式、自然数和因数，解题关键是熟记相关概念、计算公式． 3、C 【分析】根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论．【详解】解：A 、0没有倒数，故选项错误； B 、1的倒数是1，故选项错误； C 、如果两个数互为倒数，那么他们的乘积一定是1，故选项正确；D 、a=0时，a 没有倒数，故选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了倒数的知识，属于基础题，比较简单，注意平时基础知识的积累．4、D【分析】设剩下的工程乙队完成用了x 天，用甲乙合作的效率乘以30天加上乙单独的效率乘以x 天等于总工程量单位“1”，列方程求解． ·线○封○密○外【详解】解：设剩下的工程乙队完成用了x 天，甲的效率= 180，乙的效率= 1120，甲乙合作效率= 1118012048+=， 1130148120x ⨯+= 131208x = 45x =∴剩下的工程乙队完成用了45天，修建整个工程用了304575+=天．故选：D ．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据工程问题的等量关系列方程求解未知数．5、B【分析】逆用比例的基本性质作答，即在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．【详解】解：因为x ，y 都不为零，且2x=3y ，所以x ：y=3：2；即32xy =或32x y = 故选：B【点睛】本题主要是灵活利用比例的基本性质解决问题．6、D【分析】根据旋转的性质可得CD=AC ，再根据三角形的面积公式即可对A 项进行判断；先求出AE 的长，进而可对B 项进行判断；如图，由旋转的性质和等腰直角三角形的性质可分别得出∠1、∠2、∠3、∠4的度数，进而可对C 项进行判断；由于∠CED ≠45°，即可对D 项进行判断. 【详解】如图，延长BE 交AD 于点F ， ∵ABC 以点C 为中心顺时针旋转90︒，得到DEC ，90ACB ︒∠=，1BC =，=3AC ， ∴CD=AC =3，BC=EC =1，AE =2， ∴BD =1+3=4，∠1=∠2=45°，∠4=∠ADC =45°， ∴14362ABD S =⨯⨯=，12332ADE S ∆=⨯⨯=，∠3=∠2=45°， ∴∠AFE =90°，即BE AD ⊥， ∴A、B 、C 三项都是正确的；而∠CED ≠45°，∴135AED ︒∠≠，∴D 选项是错误的. 故选D. 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质和三角形的面积等知识，难度不大，属于常考题型，熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的性质是关键. 7、B 【分析】 ·线○封○密○外根据题意可得盐占盐水的百分比为2010020180⨯%+，求解即可. 【详解】解：盐占盐水的百分比为201001020180⨯%=%+，故选：B ．【点睛】本题考查比例，根据题意列出算式是解题的关键．8、B【分析】比例的性质是：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积．现在的三个数2、4、8中，2×8＝16，所以16÷4＝4，所以若再添加一个数，使这四个数能组成一个比例，那么这个数可以是4．据此选择即可．也可以通过计算比值的方法．【详解】现在的三个数2、4、8中，2×8＝16，而16÷4＝4，所以若再添加一个数能组成比例，此数可以是4．故选：B ．【点睛】此题主要考查了有理数的除法，此题属于根据比例的意义或基本性质，判断四个数能否组成比例，一般运用比例的性质判断较为简便．9、A【分析】根据直线与平面位置关系的检验方法逐一分析即可．【详解】A ．根据长方形的对边平行，所以用“长方形纸片”可以检验直线与平面平行，故A 不正确；B ．利用“三角尺”中的直角可以检验直线与平面垂直，故B 正确；C ．根据重力学原理，铅垂线垂直于水平面，与铅垂线垂直的直线则与平面平行，故C 正确；D ． “合页型折纸”其折痕与纸被折断的一边垂直，即折痕与被折断的两线段垂直，把折断的两边放到平面上，可判断折痕与水平面垂直，从而检验平面与平面垂直，故D 正确．故选A ．【点睛】此题考查的是直线与平面位置关系的检验，解答此题应付认真审题，结合教材，并根据垂直和平行的特征进行解答即可． 10、C 【分析】根据比例的基本性质判断选项的正确性．【详解】 ∵54a b =，∴:4:5a b =，C 选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查比例的基本性质，解题的关键是熟练运用比例的性质进行判断．二、填空题 1、25 【分析】根据23a b =，得到23a b =，代入式子计算即可．【详解】解：∵23a b =， ·线○封○密○外∴23a b =， ∴2233232553a a b b b b b b +===+，故答案为：25．【点睛】此题考查分式的求值以及比例式恒等变形能力，掌握等式的性质变形得到23a b =是解题的关键． 2、4π【分析】直接利用弧长公式计算即可求解．【详解】l ＝6012180π⨯＝4π，故答案为：4π．【点睛】本题考查弧长计算公式，解题的关键是掌握：弧长l ＝180n r π（n 是弧所对应的圆心角度数） 3、24【分析】先将两个合数分解成质数的成积，再确定最小公倍数即可．【详解】解：8=2×2×2，12=2×2×3，所以8与12的最小公倍数2×2×2×3=24．故答案为：24【点睛】本题考查求几个数的最小公倍数的方法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．4、9【分析】设原来圆的半径为r，则扩大后的圆的半径为3r，利用圆的面积公式即可解决问题．【详解】设原来圆的半径为r，则扩大后圆的半径为3r，原来圆的面积为：πr2；扩大后圆的面积为：π(3r)2=9πr2；原来圆的面积：扩大后圆的面积=πr2：9πr2=1：9；答：它的面积将扩大为原来的9倍．故答案为：9．【点睛】本题考查了圆面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用圆的面积计算公式解答．5、3 20【分析】先统一单位，再求其比值．【详解】0.5千克＝500克；75克：0.5千克=75克：500克=3：20=320．·线○封○密○外故答案为：320．【点睛】考查了求比值，解题关键是统一单位，再进行求解．三、解答题1、女儿比爸爸小28岁．【分析】先求出女儿的岁数，即可求出结论．【详解】解：40×310=12（岁）40－12=28（岁）答：女儿比爸爸小28岁．【点睛】此题考查的是分数应用题，掌握比较量=单位“1”×分率是解决此题的关键．2、约为192千米【分析】由题意易得图上距离与实际距离的比例尺，然后利用比例尺求解即可．【详解】解：由题意得：图上距离与实际距离的比例尺为1 5300=60÷，∴上海与杭州之间的距离为13.2=19260÷（千米）；答：上海与杭州两市的实际距离约为192千米．【点睛】本题主要考查比例尺的应用，熟练掌握比例尺的应用是解题的关键．3、12.7【分析】根据分数与小数的混合运算法则计算即可求解．【详解】解：182 6.3 1.25(3.2)35⨯-⨯- = 6.3 1.25(3.27 1.6)3⨯-⨯- =14.7 1.25 1.6-⨯ =14.72- =12.7 【点睛】本题考查了分数与小数的混合运算，掌握混合运算法则是解题关键． 4、（1）56n +；67n +；（2）20072008n +；（3）1n + 【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）根据题目所给的规律直接进行解答即可；（3）根据规律无限写下去时，另一个加数越来越接近于1，进而问题得解．【详解】解：（1）由n ，1n 2+，23n +，34n +，45n +，可得： ·线○封○密·○外第6个数为56n+，第7个数为67n+；（2）由（1）及题意可得：第2008个数为20072008n+；（3）由题意所给规律可得当这列式无限写下去时，1mm-无限接近于1，故这列数无限写下去时，越来越接近于1n+．【点睛】本题主要考查分数的性质及代数式，熟练掌握分数的性质及代数式是解题的关键．5、（1）边空：字宽：字距9:6:2=；（2）长条形会议横幅的长度为9.6米．【分析】（1）根据比的性质解答即可；（2）根据问题一先求出一份的长度进而得出长条形会议横幅的长度解答．【详解】解：（1）因为边空：字宽=3：2=9：6，字宽：字距=3：1=6：2，所以边空：字宽：字距=：9：6：2；（2）一份的长度：15÷2=0.1（米）；两边的两个边空的长度为：0.1×9×2=1.8（米）；10个字的字宽：0.1×6×10=6（米）；10个字的间隔数为：10-1=9个，间隔总长是：0.1×2×9=1.8（米）；所以长条形会议横幅的长度是：1.8+6+1.8=9.6（米）；答：长条形会议横幅的长度是9.6米．【点睛】本题考查了植树问题和求三个数的连比，知识点是：间隔数=字的个数-1，总长度=间隔数×间距；知识链接（沿直线上栽）：栽树的棵数=间隔数-1（两端都不栽），植树的棵数=间隔数+1（两端都栽），植树的棵数=间隔数（只栽一端）． ·线○封○密○外。

上海市长宁区中考二模数学试卷包含详解

2017学年第二学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间：100分钟满分：150分）考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．函数12-=x y 的图像不经过（ ▲ ）（A ）第一象限；（B ）第二象限；（C ）第三象限；（D ）第四象限． 2．下列式子一定成立的是（ ▲ ）（A ） a a a 632=+；（B ）428x x x =÷；（C ） aa 121=；（D ）6321)(aa-=--． 3．下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ▲ ）（A ）4；（B ）x 2；（C ）92；（D ）12． 4．已知一组数据2、x 、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（ ▲ ）（A ） 3.5；（B ） 4；（C ） 2；（D ）6.5．5．已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点，那么d 的值可以取（ ▲ ）（A ） 11；（B ） 6；（C ） 3；（D ）2．6．已知在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =BD ，下列四个命题中真命题是（ ▲ ）（A ）若AB =CD ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形；（B ）若∠DBC =∠ACB ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形；（C ）若ODCOOB AO =，则四边形ABCD 一定是矩形；（D ）若AC ⊥BD 且AO =OD ，则四边形ABCD 一定是正方形．二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7．计算：=--︒0)3(30sin ▲ ． 8．方程6+=-x x 的解是 ▲ ．9．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+-1)12(303x x 的解集是 ▲ ．10．已知反比例函数xky =的图像经过点（-2017，2018），当0>x 时，函数值y 随自变量x 的值增大而 ▲ ．（填“增大”或“减小”）11．若关于x 的方程032=--m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是 ▲ ． 12．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ▲ ．13．抛物线522++=mx mx y 的对称轴是直线 ▲ ． 14．小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的通话次数的频率是 ▲ ．15．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC =15，CD =9，EF =6，∠AFE =50°，则∠ADC 的度数为 ▲ ． 16．如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠C=90°，BC =CD =4，52=AD ，若a AD =，b DC =，用a 、b 表示=DB ▲ ． 17．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC 是半高三角形，且斜边5=AB ，则它的周长等于 ▲ ．第14题图 AB CDE F第15题图第16题图DCBA18．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD上的一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于 ▲ ．三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）先化简，再求值：12341311222+-++÷-+-+x x x x x x x ，其中121+=x ．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=-=-+② 12①06522 ．　，y x y xy x21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24，135sin =∠ABC ．（1）求AB 的长；（2）若AD =6.5，求DCB ∠的余切值．22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）某旅游景点的年游客量y （万人）是门票价格x （元）的一次函数，其函数图像如下图．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点ACDB第21题图第22题图ADG第18题图A B CDG 、F ，且AGGF BEAD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长；（2）如图2，设AC =x ，y S S OBDACO=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．备用图第24题图长宁区2017学年第二学期初三数学参考答案和评分建议2018.3一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．C ．二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．21-； 8．2-=x ； 9．3>x ； 10．增大； 11．43-=m ； 12．53； 13．1-=x ；14．7.0；15．︒140； 16．→→-a b 21； 17．255或535++； 18．215-．三、（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，满分78分）19. （本题满分10分）解：原式= )1)(3()1()1)(1(3112++-⨯-++-+x x x x x x x (3分) =2)1(111+--+x x x (2分) =2)1(11++-+x x x (1分)=2)1(2+x (1分) 当12121-=+=x 时，原式=2)1(2+x =2)112(2+- =2)2(2=1 (3分) 20．（本题满分10分）解：方程①可变形为0))(6(=-+y x y x得06=+y x 或0=-y x （2分）OAC DB图1 O BA C D图2 BAO备用图第25题图将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+1206y x y x 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=-120y x y x （2分）解方程组（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-==131136y x ，解方程组（Ⅱ）⎩⎨⎧==11y x （4分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）另解：由②得12-=x y ③ （1分）把③代入①，得0)12(6)12(522=---+x x x x （1分）整理得：0619132=+-x x （2分）解得：1,13621==x x （2分）分别代入③，得1,13121=-=y y （2分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ，⎩⎨⎧==1122y x . （2分）21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB =AC ∴BC BE 21= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC （1分）设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BE ∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分）（2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE //∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,215==BF DF （4分）∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分）在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，542156cot ===∠DF CF DCB （1分）22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）设)0(≠+=k b kx y ，函数图像过点（200,100），（50,250）（1分）代入解析式得：⎩⎨⎧=+=+25050100200b k b k （2分）解之得：⎩⎨⎧=-=3001b k （1分）所以y 关于x 的解析式为：300+-=x y （1分）（2）设门票价格定为x 元，依题意可得：11500)300)(20(=+--x x （2分）整理得： 0175003202=+-x x 解之得：x =70或者x =250（舍去）（2分）答：门票价格应该定为70元. （1分）23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵BC AD // ∴BGDG BE AD = （2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分）（2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分） ∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分） ∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分）∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分） 24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1）点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分）∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4）（ 2分）（2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分） ∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分）（3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOACBO AD ， ∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分）若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，且△ABC 为锐角三角形则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ）过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-=①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BO AO OH PH =，∴326=-t t ，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分） ②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH ，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P （ 2分）综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P 25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8，∴OD ⊥AB ，421==AB AC （2分）在Rt △AOC 中，︒=∠90ACO Θ，AO =5，∴322=-=AC AO CO （1分）5=OD Θ，2=-=∴OC OD CD （1分）（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3 ∵AC =x ，∴|4|-=x CH在Rt △HOC 中，︒=∠90CHO Θ，AO =5， ∴258|4|322222+-=-+=+=x x x HC HO CO ，（1分）∴525882+-⋅-=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆x x x x OD OC BC AC S S S S S S y OBD OBC OBC ACO OBD ACO xx x x 5402582-+-= （80<<x ）（3分）（3）①当OB //AD 时，过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ,垂足为点F ，则OF =AE ， AE OB OH AB S ABO ⋅=⋅=∆2121Θ ∴OF OB OH AB AE ==⋅=524 在Rt △AOF 中，︒=∠90AFO Θ，AO =5，∴5722=-=OF AO AF ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴5142==AF AD . （3分）②当OA //BD 时，过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，则由①的方法可得524==BM DG ，在Rt △GOD 中，︒=∠90DGO Θ，DO =5， ∴5722=-=DG DO GO ，518575=-=-=GO AO AG ，在Rt △GAD 中，︒=∠90DGA Θ，∴622=+=DG AG AD （ 3分）综上得6514或=AD。

2024届上海市长宁区高三下学期二模数学试卷(解析版)

2024届长宁区二模2024.04.07一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分）1.已知集合{}{}1,2,1,,3A B a ==，且A B ⊆，则=a ______．【答案】2【解析】【分析】根据集合自己的概念即可求解．【详解】∵{}{}1,2,1,,3A B a ==，且A B ⊆，∴集合A 里面的元素均可在集合B 里面找到，∴a =2．故答案为：22.不等式|21|3x -<的解集为________.【答案】{|12}x x -<<【解析】【分析】根据绝对值定义化简求解，即得结果.【详解】∵|21|3x -<3213x ⇔-<-<12x ⇔-<<，∴不等式|21|3x -<的解集为{|12}x x -<<.故答案为：{|12}x x -<<.【点睛】本题考查解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.3.在41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为_______．【答案】4【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解.【详解】由二项式定理可知，41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为4421441C C rr r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令422r -=，解得1r =，所以12224C 4T x x ==，所以二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为4.故答案为：4.4.在ABC ∆中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若222a b bc c =++，则A =_____________.【答案】120︒【解析】【分析】根据已知可化为余弦定理的形式，从而求出A 的余弦，进而求出A.【详解】由题意可知，2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，所以120A =︒.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理公式求三角形的角，属于中档题.5.已知236a b ==，则11a b +=________.【答案】1【解析】【分析】首先利用指数和对数互化得到2log 6a =，3log 6b =，再利用换底公式即可得到答案.【详解】由236a b ==可知2log 6a =，3log 6b =，所以66611log 2log 3log 61a b+=+==.故答案为：16.直线230x y --=与直线350x y --=的夹角大小为_______．【答案】π4##45︒【解析】【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果.【详解】设直线230x y --=与直线350x y --=的倾斜角分别为,αβ，则1tan 2,tan 3αβ==，且[),0,παβ∈，所以αβ>，因为()12tan tan 3tan 121tan tan 13αβαβαβ---===++，所以π4αβ-=，即两条直线的夹角为π4，故答案为：π4.7.收集数据，利用22⨯列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中_______（填：有关或无关）【答案】无关【解析】【分析】根据题意，由零假设的定义，即可得到结果.【详解】零假设等价于两个变量相互独立，所以此题中的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中无关.故答案为：无关8.已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()2log f x x =，若()1f a >，则实数a 的取值范围为_______．【答案】{1|02a a -<<或}2a >【解析】【分析】由已知结合奇函数的定义可求出0x <及0x =时的函数解析式，然后结合对数函数性质即可求解不等式.【详解】因为函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，当0x >时，()2log f x x =，当0x <时，0x ->，所以()()()2log f x x f x -=-=-，所以()()2log f x x =--，若()1f a >，当0a >时，可得2log 1a >，解得2a >，当a<0时，可得()2log 1a -->，解得102a -<<，当0a =时，可得01>，显然不成立，故a 的取值范围为{1|02a a -<<或}2a >.故答案为：{1|02a a -<<或}2a >.9.用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为π立方米，则至少需要_______平方米铁皮【答案】3π【解析】【分析】由柱体的体积公式可得21r h ⋅=，再求出圆柱形容器的表面积，由基本不等式求解即可.【详解】设圆柱形容器的底面半径为r ，高为h ，所以圆柱形容器的体积为2ππV r h =⋅=，所以21r h ⋅=，所以圆柱形容器的表面积为：()22π2ππ3π3πS r rh r rh rh =+=++≥⋅,当且仅当2r rh =，又21r h ⋅=，即1r h ==时等号成立，故至少需要3π平方米铁皮.故答案为：3π.10.已知抛物线2Γ:4y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 在Γ上，,30MN l NFM ⊥∠=︒，则点M 的横坐标为_______．【答案】13【解析】【分析】过点F 作FH NM ⊥于点H ，由抛物线定义以及三角函数可用含M 的横坐标M x 的式子表示,NM HM ，注意到()112MN MH NH +==--=，由此即可列方程求解.【详解】如图所示：过点F 作FH NM ⊥于点H ，显然抛物线2Γ:4y x =的焦点为()1,0F ，准线为:l =1x -，由抛物线定义有MF MN =，结合30NFM ∠=︒得180230120NMF ∠=︒-⨯︒=︒，而()11,cos 6012M M MF MN x MH MF x ==+=︒=+，所以()()111111223M M M MN MH x x x +=+++=--=⇔=.故答案为：13.11.甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：甲乙丙接单量t （单）783182258338油费s （元）107150110264110376平均每单里程k （公里）151515平均每公里油费a （元）0.70.70.7出租车空驶率=出租车没有载客行驶的里程出租车行驶的总里程；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型(),,,u f s t k a =，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%21.68%%x 、、，则x =_______（精确到0.01）【答案】20.68【解析】【分析】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意，从而利用该模型求得丙的空驶率，从而得解.【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为s a，出租车有载客时行驶的里程为tk ，所以出租车空驶率1s tk tka a u s s a -==-，对于甲，7831150.710.232623.26%107150⨯⨯-≈=，满足题意；对于乙，8225150.710.216821.68%110264⨯⨯-≈=，满足题意；所以上述模型满足要求，则丙的空驶率为8338150.7%10.206820.68%110376x ⨯⨯=-≈=，即20.68x =.故答案为：20.68.12.已知平面向量,,a b c 满足：2a b c === ，若()()0c a c b -⋅-= ，则a b - 的最小值为_______．【答案】2【解析】【分析】先利用()2214a b a b a b ⋅=+-- 和()()2240a b a b ++-= 证明228a b --≤ ，再解不等式得到22824a b --≤ ，从而有2a b -≥ ，再验证()3,1a = ，()3,1b =- ，()2,0c =时2a b -= ，即得到a b - 的最小值是2.【详解】由于()()()()()()()2222222211122444a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⋅=++⋅-+-⋅=+--=+-- ，且()()()()()()222222222222101040a b a b a b a b a b a b a b ++-=++⋅++-⋅=+=+= ，故有()()0c a c b =-⋅- ()2c a b c a b =-+⋅+⋅ 2c a b c a b ≥-++⋅ 42a b a b =-++⋅ ()()()221424a b a b a b =-+++-- ()()21424024a b a b =-++-- ()2144024a b =-+--21142a b =--- ，所以228a b --≤ ，记228a b x --= ，则有x ≤，从而120x -≤≤或()21612x x ≤+，即120x -≤≤或824x ≤≤.总之有24x ≤，故22824a b --≤ ，即2a b -≥ .存在()3,1a = ，()3,1b =- ，()2,0c = 时条件满足，且此时2a b -= ，所以a b - 的最小值是2.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：对于a b - 的最小值问题，我们先证明2a b -≥ ，再给出一个使得2a b -= 的例子，即可说明a b - 的最小值是2，论证不等关系和举例取到等号两个部分都是证明最小值的核心，缺一不可.二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）13.设C z ∈，则“z z =”是“R z ∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义结合复数的定义求解即可.【详解】设i z a b =+，则i z a b =-，由z z =可得0b =，所以R z a =∈，充分性成立，当R z ∈时，即z a =，则z a =，满足z z =，故“z z =”是“R z ∈”的充要条件.故选：C .14.已知直线,a b 和平面α，则下列判断中正确的是（）A.若//,//a b αα，则//a bB.若//,//a b b α，则//a αC.若//,a b αα⊥，则a b⊥ D.若,//a b b α⊥，则a α⊥【答案】C【解析】【分析】利用空间线线线面的位置关系判断A 错误；举反例判断B 错误；利用线面平行的性质定理和线面垂直性质得到C 正确；由线面平行和线线垂直的性质判断D 错误.【详解】A ：若//,//a b αα，则两直线平行或异面或相交，故A 错误；B ：若//,//a b b α，当直线a 在平面α内时，则直线a 不平行于平面α，故B 错误；C ：若//a α，设过a 的平面与α相交于c ，则//a c ，又因为b α⊥，c α⊂，所以b c ⊥，所以b a ⊥，所以a b ⊥ ，故C 正确；D ：若,//a b b α⊥，则a α⊥或//a α或a α⊂，故D 错误；故选：C.15.某运动员8次射击比赛的成绩为：9.6、9.7、9.5、9.9、9.4、9.8、9.3、10.0；已知这组数据的第x 百分位为m ，若从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，则x 的取值不可能是（）A.65B.70C.75D.80【答案】D【解析】【分析】先利用古典概型分析m 的取值范围，再利用百分位数的定义逐一分析各选项，从而得解.【详解】将该运动员8次射击比赛的成绩从小到大排列：9.3、9.4、9.5、9.6、9.7、9.8、9.9、10.0，因为从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，一共有8个数，所以比m 大的数有两个，则9.89.9m ≤<，对于A ，因为80.65 5.2⨯=，所以第65百分位为第6个数，即9.8，满足题意；对于B ，因为80.7 5.6⨯=，所以第70百分位为第6个数，即9.8，满足题意；对于C ，因为80.756⨯=，所以第75百分位为第6,7个数的平均数，即9.89.99.852+=，满足题意；对于D ，因为80.8 6.4⨯=，所以第80百分位为第7个数，即9.9，不满足题意.故选：D.16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在非零常数c ，使得对任意正整数n ，都有n a c =+，则称数列{}n a 具有性质p ：①存在等差数列{}n a 具有性质p ；②不存在等比数列{}n a 具有性质p ；对于以上两个命题，下列判断正确的是（）A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假【答案】B【解析】【分析】直接构造21n a n =-和()11n n a -=-，说明存在等差数列{}n a 具有性质p ，且存在等比数列{}n a 具有性质p ，从而得到①真②假.【详解】一方面，对21n a n =-，知{}n a 是等差数列.而()211212n S n n n =⋅+-=，令1c =就有2211n n n a c ==-+=+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等差数列{}n a 具有性质p ；另一方面，对()11n n a -=-，知{}n a 是等比数列.当n 为奇数时，1n a =；n 为偶数时，1n a =-.故当n 为奇数时，1n S =；n 为偶数时，0n S =.故当n为奇数时，2111n a ==+=+；n为偶数时，0111n a ==-+=+.这表明1n a =+恒成立，再令1c =就有n a c =+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等比数列{}n a 具有性质p .综上，①正确，②错误，故B 正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：构造21n a n =-和()11n n a -=-作为例子，直接判断命题的真假，是判断选项正确性的简单有效的方法.三、解答（共78分）17.某同学用“五点法”画函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx ∆π65π122π311π12()sin x ωϕ+01∆1-0（1）请在答题卷上将上表Δ处的数据补充完整，并直接写出函数()y f x =的解析式；（2）设()()()2ππ1,0,0,22g x f x f x fx x ωϕ⎛⎫⎛⎫⎡⎤===+-∈ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦⎝⎭，求函数()y g x =的值域；【答案】（1）补充表格见解析，()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）10,2⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由表得ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解方程组即可得,ωϕ，进一步可据此完成表格；（2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简()g x 的表达式，进一步通过整体换元法即可求解.【小问1详解】由题意ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解得π2,6ωϕ==，所以函数()y f x =的解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π206x +=时，解得π12x =-，当5π12x =时，ππ2π,sin 2066x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，将表中Δ处的数据补充完整如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx π12-π65π122π311π12()sin x ωϕ+0101-0【小问2详解】若1,0ωϕ==，则()22πsin sin sin sin sin cos 2g x x x x x x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭1cos 212π1πsin 2sin 20,222422x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎡⎤=+=-+∈⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π2,444x⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，进而πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以函数()y g x =的值域为10,2⎡⎤+⎢⎢⎥⎣⎦.18.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AD AA ===；（1）求二面角1D AC D --的大小；（2）若点P 在直线11A C 上，求证：直线//BP 平面1D AC ；【答案】（1）6arccos 3（2）见解析【解析】【分析】（1）以A 为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面1ACD 和平面ACD 的一个法向量()1,1,2n =- 和()0,0,1m =，结合向量的夹角公式，即可求解.（2）设()11101A P A C λλ=≤≤ ，求出()2,2,1P λλ，则()22,2,1BP λλ=- ，再由0BP n ⋅=可证明直线//BP 平面1D AC .【小问1详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以()()()()0,0,0,0,2,0,2,0,0,2,2,0A D B C ，()()()()11110,0,1,0,2,1,2,0,1,2,2,1A D B C ，因为()()12,2,0,0,2,1AC AD ==，设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AC x y n AD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1y =-，可得1,2x z ==，所以()1,1,2n =-，设平面ACD 的法向量为()0,0,1m =所以6cos ,361m nn m n m ⋅===⨯，所以二面角1D AC D --的大小为6arccos3.【小问2详解】设(),,P x y z ，则设()11101A P A C λλ=≤≤ ，()()111,,1,2,2,0A P x y z A C =-=，所以2,2,1x y z λλ===，所以()2,2,1P λλ，()22,2,1BP λλ=-平面1ACD 的法向量为()1,1,2n =-，22220BP n λλ⋅=--+=，因为BP ⊄平面1D AC ，所以直线//BP 平面1D AC .19.盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球；（1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；（2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X ，求X 的分布、期望与方差；【答案】（1）23（2）分布见解析，期望()()47,318E X D X ==【解析】【分析】（1）由独立乘法公式、互斥加法公式即可运算求解古典概型概率；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，它服从超几何分布，结合超几何分布概率的求法求得相应的概率进而可得X 的分布，结合期望、方差计算公式即可求解.【小问1详解】第一次取出红球的概率为23，取出白球的概率为13，第一次取出红球，第二次取出红球的概率为231342⨯=，第一次取出白球，第二次取出红球的概率为111326⨯=，所有第二次取出的球是红球的概率为112263+=；【小问2详解】X 的所有可能取值为0，1，2，()()()21123636222999C C C C 1150,12C 12C 2C 12P X P X P X =========，所以X 的分布为01211512212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，它的期望为()1154012122123E X =⨯+⨯+⨯=，它的方差为()22214145470121232312318D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20.已知椭圆22Γ:1,63x y O +=为坐标原点；（1）求Γ的离心率e ；（2）设点()1,0N ，点M 在Γ上，求MN 的最大值和最小值；（3）点()2,1T ，点P 在直线3x y +=上，过点P 且与OT 平行的直线l 与Γ交于,A B 两点；试探究：是否存在常数λ，使得2PA PB PT λ⋅= 恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；【答案】（1）22（2）MN 的最大值为1+（3）54λ=【解析】【分析】（1）利用椭圆方程即可直接求得其离心率；（2）利用椭圆的几何性质，结合两点距离公式与二次函数的性质即可得解；（3）分别利用向量的模与线性运算的坐标表示求得2,,PT PA PB，再联立直线l 与椭圆方程得到1212,x x x x +关于a 的表达式，进而化简PA PB ⋅ 得到PA PB ⋅ 与2PT 的关系，由此得解.【小问1详解】设Γ的半长轴长为a ，半短轴长为b ，半焦距为c ，则a b ==，则c =22c e a ===.【小问2详解】依题意，设(,)M x y，则x ≤≤22163x y +=，故2232x y =-，则MN ==所以由二次函数的性质可知，当2x =时，MN取得最小值为，当x =时，MN1=+【小问3详解】设()()1122(,3),,,,P a a A x y B x y -，又()2,1T，易得12OT k =，则直线l 为()()132y a x a --=-，即13322y x a =+-，而()()22222312(2)PT a a a =-+--=- ，()111111131,3,33,2222a PA x a y a x a x a a x a x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()222222131,3,33,2222a PB x a y a x a x a a x a x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，联立2213322163y x a x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得222(2)3(2)40x a x a +-+--=则()222Δ4(2)43(2)48420a a a a ⎡⎤=--⨯--=--+>⎣⎦，得22a -<<+所以212122(2),3(2)4x x a x x a +=--=--，故()()()()121214PA PB x a x a x a x a ⋅=--+--()()()21212125544x a x a x x a x x a =--=-++()2253(2)4224a a a a =--+-+252(2)4a =-，所以25||||4PA PB PT ⋅= ，故存在54λ=，使得2||||PA PB PT λ⋅= 恒成立.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.设函数()y f x =的定义域为D ，若存在实数k ，使得对于任意x D ∈，都有()f x k ≤，则称函数()y f x =有上界，实数k 的最小值为函数()y f x =的上确界；记集合n M ={()()nf x f x y x =在区间()0,∞+上是严格增函数}；（1）求函数2(26)1y x x =<<-的上确界；（2）若()3212ln f x x hx x x M =-+∈，求h 的最大值；（3）设函数()y f x =一定义域为()0,∞+；若()2f x M ∈，且()y f x =有上界，求证：()0f x <，且存在函数()y f x =，它的上确界为0；【答案】（1）2（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由函数的单调性求出值域再根据题意可得；（2）求出()f x y x=的表达式，求导，再利用()nf x y x=在()0,∞+上严格递增得到导函数大于等于零恒成立，然后利用基本不等式求出最小值即可；（3）假设存在，由单调性可得()()102210f x f x xx>>，再取21x x >，且2x >可得()()212221f x f x x x >，推出①②互相矛盾，然后令()1,0f x x x=->，根据题意求出值域最后确定上确界即可.【小问1详解】因为函数21y x =-在区间()2,6上严格递减，所以函数2(26)1y x x =<<-的值域为2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以函数2(26)1y x x =<<-的上确界为2.【小问2详解】()22ln f x y x hx x x==-+，22,0y x h x x'=-+>，因为记集合n M ={()()nf x f x y x =在区间()0,∞+上是严格增函数}，所以0y '≥恒成立，因为224x h h h x -+≥=-，当且仅当1x =时取等号，所以4h ≤，所以h 的最大值为4.【小问3详解】证明：因为函数()y f x =有上界，设()f x k ≤，假设存在()00,x ∈+∞，使得()00f x ≥，设10x x >，因为()2y f x M =∈，所以()2f x y x=在()0,∞+上严格递增，进而()()102210f x f x xx>>，得()10,0f x k >>，取21x x >，且2x >，由于21x x >，得到()()212221f x f x xx>，①由2x >，得()()12222122f x f x k x x x >≥，②显然①②两式矛盾，所以假设不成立，即对任意()0,x ∈+∞，均有()0f x <，令()1,0f x x x =->，则()231f x y x x==-，因为当0x >时，430y x'=>，所以()2f x y x=在()0,∞+上严格递增，()2y f x M =∈，因为()1,0f x x x=->的值域为(),0∞-，所以函数()1f x x=-的上确界为零.【点睛】关键点点睛：（1）第二问的关键是导函数大于等于零恒成立，用基本不等式求解；（2）第三问关键是根据不等式的结构能够想到取2x >，再得到()()12222122f x f x k x x x >≥与当21x x >，得到()()212221f x f x x x >矛盾.。

2024年上海市长宁区中考数学二模试卷及答案解析

2024年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．（4分）下列是最简二次根式的是（）A．B．C．D．．2．（4分）关于一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情况，正确的是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有且只有一个实数根D．没有实数根3．（4分）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（）A．y＝2x2B．C．y＝﹣2x D．y＝2x+14．（4分）为了解某公司的收入水平，随机挑选五人的月工资进行抽样调查，月工资（单位：元）分别是3000，4000，5000，6000，50000，那么能够较好的反映他们收入平均水平的是（）A．中位数B．标准差C．平均数D．众数．5．（4分）如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（）A．B．∠AOD＝3∠BOC C．AC＝2CD D．OC⊥BD6．（4分）下列命题是假命题的是（）A．对边之和相等的平行四边形是菱形B．一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形C．一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形D．被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2﹣2＝．8．（4分）截至2023年底，全国高铁营业里程约为45000公里，这个数45000用科学记数法表示为．9．（4分）函数的定义域为．10．（4分）方程的解是．11．（4分）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为．12．（4分）如果二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后经过原点，那么m的值为．13．（4分）在1，2，3中任取两个不重复的数字组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率是．14．（4分）为了解某校六年级300名学生来校的方式，随机调查了该校六年级50名学生同一天来校的方式，并绘制了如图所示的饼状图，那么估计该校六年级300名学生中这一天步行来学校的共有_____名．15．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝2AD，点E是AC的中点，联结DE，设向量，，如果用、表示，那么＝．16．（4分）如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F不与点C重合），且∠EAF＝45°，那么的值为．17．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，将△ABC绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，如果点A在DE的延长线上，且CE∥AB，那么∠CAE的余弦值为．18．（4分）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，如果△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．（10分）计算：．20．（10分）解方程组：．21．（10分）如图，⊙O经过平行四边形ABCD的顶点B，C，D，点O在边AD上，AO＝3，OD＝5．（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）求∠D的正弦值．22．（10分）春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动商店优惠方式甲所购商品按原价打八折乙所购商品按原价每满300元减80元设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题：（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y元，求y关于x的函数解析式（不必写出函数定义域）；（2）购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求x的值；（3）顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围．23．（12分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AD，点E在边AD上（点E不与点A、D重合），点F在边CD上，且∠ABD＝∠EBF＝∠C．（1）求证：；（2）联结EF，与BD交于点G，如果BG＝EG，求证：四边形BEDF为等腰梯形．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，6），其对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式；（2）点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴、线段BC交于点D、E．①当CF＝DF时，求CD的长；②联结AC，如果△ACF的面积是△CDE面积的3倍，求点F的坐标．25．（14分）已知在△ABC中，CA＝CB，AB＝6，cos∠CAB＝，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交边AC于点D（点D不与点A、C重合）．（1）当AD＝4时，判断点B与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点C作CE⊥OD，交OD延长线于点E．以点E为圆心，EC为半径作⊙E，延长CE，交⊙E 于点C′．①如图1，如果⊙O与⊙E的公共弦恰好经过线段EO的中点，求CD的长；②联结AC′、OC，如果AC′与△BOC的一条边平行，求⊙E的半径长．2024年上海市长宁区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．【分析】根据最简二次根式的定义进行解题即可．【解答】解：A、＝，故不符合题意；B、＝＝，故不符合题意；C、是最简二次根式，符合题意；D、＝＝5，故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．2．【分析】先计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：∵Δ＝12﹣4×（﹣3）＝13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．3．【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质及正比例函数的性质、二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、函数y＝2x2中，当x＜0时y随x的增大而减小，不符合题意；B、函数y＝﹣中，在每一象限内y随x的增大而增大，不符合题意；C、函数y＝﹣2x中，y随x的增大而减小，不符合题意；D、函数y＝2x+1中，y随x的增大而增大，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数的性质、一次函数的性质及正比例函数的性质、二次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．4．【分析】利用平均数，中位数、众数和给出的数据分别进行分析，即可得出答案．【解答】解：根据给出的数据可得，中位数根据能够较好的反映他们收入平均水平．故选：A．【点评】此题考查了平均数、众数、中位数和标准差，众数是指一组数据中出现次数最多的数据；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．5．【分析】分别根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形三边的关系和线段的垂直平分线的判定判断即可．【解答】解：A、∵OB⊥AC，∴＝，故不符合题意；B、∵＝，∴∠AOB＝∠COB，∵BC＝CD，∴∠BOC＝∠DOC，∴∠AOD＝3∠BOC，故不符合题意；C、∵∠AOB＝∠BOC＝∠DOC，∴∠AOC＝∠BOD，∴AC＝BD，∵BD＜BC+CD＝2CD，∴AC＜2CD，故符合题意；D、∵OB＝OC，BC＝DC，∴OC⊥BD，故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、三角形三边的关系和线段的垂直平分线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．【分析】根据菱形的判定定理判断即可．【解答】解：A、∵平行四边形的对边相等，∴对边之和相等舒，邻边线段，∴平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题；B、根据菱形的面积公式可知：一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题；C、一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形，是真命题，不符合题意；D、有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形不一定是菱形，故被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形是假命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】根据负整数指数幂法则进行解题即可．【解答】解：2﹣2＝．故答案为：．【点评】本题考查负整数指数幂，掌握运算法则是解题的关键．8．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：45000＝4.5×104．故答案为：4.5×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9．【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．10．【分析】方程两边平方得出x﹣1＝9，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：，方程两边平方，得x﹣1＝9，解得：x＝10，经检验：x＝10是原方程的解．故答案为：x＝10．【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．11．【分析】设，则原方程转化为y﹣＝2，再方程两边都乘3y即可．【解答】解：，设，则原方程转化为：y﹣＝2，方程两边都乘3y，得3y2﹣1＝6y，即3y2﹣6y﹣1＝0．故答案为：3y2﹣6y﹣1＝0．【点评】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键．12．【分析】求出函数图象向右平移3个单位后的函数解析式，再由函数图象过原点即可得出m的值．【解答】解：二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后的解析式为y＝（x﹣3）2+m，∵二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后经过原点，∴（0﹣3）2+m＝0，解得m＝﹣9．故答案为：﹣9．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的法则是解题的关键．13．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这个两位数是素数的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：123112132212333132共有6种等可能的结果，其中这个两位数是素数的结果有：13，23，31，共3种，∴这个两位数是素数的概率为＝．故答案为：．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．14．【分析】总人数乘以样本中步行人数所占比例即可．【解答】解：估计该校六年级300名学生中这一天步行来学校的共有300×（1﹣12%﹣32%﹣26%）＝90（名），故答案为：90．【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．15．【分析】首先由向量的知识，得到与的值，即可得到的值．【解答】解：在△ABC中，，，则＝﹣＝﹣．∵BD＝2AD，点E是AC的中点，∴＝＝，＝＝﹣，∴＝+＝+﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查向量的知识．解题的关键是注意数形结合思想的应用．16．【分析】通过证明△BAE∽△CAF，可得．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB，∠ABD＝∠ACD＝45°，∠BAC＝∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．17．【分析】由△ABC绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，点A在DE的延长线上，且CE∥AB，得∠ACE＝∠BAC＝D＝x°，得3x+90＝180，得∠CAE＝x＝30°，得∠CAE的余弦值为．【解答】解：由△ABC绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，点A在DE的延长线上，且CE∥AB，得∠ACE＝∠BAC＝∠D＝x°，由△ADC中，∠ACB＝90°，得3x+90＝180，得∠CAE＝x＝30°，得∠CAE的余弦值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题关键是正确应用旋转的性质．18．【分析】当⊙O与AB、AC相切时（切点是M、N），⊙O与△ABC的三边有4个公共点，连接OM，由△AOM∽△ABH，得到OM：BH＝AO：AB，即可求出OM＝3.2，当⊙O′与AB、AC分别有一个公共点，与BC有两个公共点时（⊙O′不过B、C两点），△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，于是得到当4＜r＜2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，即可得到答案．【解答】解：如图，过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝10，∴HB＝HC＝BC＝×16＝8，∴AH＝＝6，设O是△ABC的重心，∴AO＝AH＝4，当⊙O与AB、AC相切时（切点是M、N），⊙O与△ABC的三边有4个公共点，连接OM，∴OM⊥AB，∴∠AMO＝∠AHB＝90°，∵∠OAM＝∠BAH，∴△AOM∽△ABH，∴OM：BH＝AO：AB，∴OM＝8＝4：10，∴OM＝3.2，∴重心圆的半径r＝3.2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，如图，过作AK⊥BC于K，∵∵AB＝AC＝10，∴KB＝KC＝BC＝×16＝8，∴AK＝＝6，设O′是△ABC的重心，∴AO′＝AH＝4，∴KO′＝6﹣4＝2，∴BO′＝＝2，当⊙O′与AB、AC有一个公共点，与BC有两个公共点时（⊙O′不过B、C两点），△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，∴当4＜r＜2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，∴重心圆的半径r＝3.2或4＜r＜2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，故答案为：r＝3.2或4＜r＜2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的重心，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是要分两种情况讨论．三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：原式＝2+（﹣+3）﹣2+＝2﹣＝4．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．20．【分析】把②变形为（x﹣2y）（x﹣3y）＝0，可得x﹣2y＝0或x﹣3y＝0，故原方程组相当于和，分别解两个二元一次方程组可得原方程组的解．【解答】解：由②得：（x﹣2y）（x﹣3y）＝0，∴x﹣2y＝0或x﹣3y＝0，∴原方程组相当于和，分别解两个二元一次方程组可得原方程组的解为和．【点评】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是用因式分解法“降次“，把二元二次方程组变形为两个二元一次方程组．21．【分析】（1）过O点作OE⊥BC，如图，先根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝8，AD∥BC，再利用垂径定理得到BE＝CE＝4，接着利用勾股定理计算出OE＝3，然后利用平行四边形的面积公式求解；（2）先证明四边形OECF为矩形得到CF＝OE＝3，OF＝CE＝4，所以DF＝1，再利用勾股定理计算出CD，然后根据正弦的定义求解．【解答】解：（1）过O点作OE⊥BC，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝3+5＝8，AD∥BC，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝4，在Rt△OEC中，OE＝＝＝3，∴平行四边形ABCD的面积＝8×3＝24；（2）∵OF∥CE，OE⊥CE，CF⊥OF，∴四边形OECF为矩形，∴CF＝OE＝3，OF＝CE＝4，∴DF＝OD﹣OF＝5﹣4＝1，在Rt△CDF中，CD＝＝＝，∴sin D＝＝＝．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了平行四边形的性质、圆周角定理和解直角三角形．22．【分析】（1）根据甲商店实际付款是原价的0.8倍列出函数解析式；（2）根据题意可知300≤x＜500，然后按活动价列出等式，解方程即可；（3）分当300≤x＜600和600≤x＜900两种情况列出不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）根据题意得：y＝0.8x，∴y关于x的函数解析式为y＝0.8x；（2）若x＜300，则甲商店按原价打八折，乙商店按原价，此时实际付款金额不可能相等，∴300≤x＜500，∴0.8x＝x﹣80，解得x＝400；（3）当300≤x＜600时，x﹣80＜0.8x，解得x＜400，∴300≤x＜400；当600≤x＜900时，x﹣160＜0.8x，解得x＜800，∴600≤x＜800，综上所述，x的取值范围为300≤x＜400或600≤x＜800．【点评】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，关键是列出函数解析式和不等式．23．【分析】（1）由AD∥BC，BD⊥AD，得∠ADB＝∠DBC＝90°，而∠ABD＝∠EBF＝∠C，可推导出∠ABE＝∠DBF，∠A＝∠BDF，进而证明△ABE∽△DBF，则＝；（2）将＝，变形为＝，因为∠ABD＝∠EBF，所以△ABD∽△EBF，得∠ADB＝∠EFB，再证明△BGF∽△EGD，得＝＝＝1，则BF＝ED，FG＝DG，所以∠GDF＝∠GFD，由∠BGE ＝2∠GEB＝2∠GFD，证明∠GEB＝∠GFD，则BE∥DF，所以四边形BEDF为等腰梯形．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，BD⊥AD，∴∠ADB＝∠DBC＝90°，∵∠ABD＝∠EBF＝∠C，∴∠ABD﹣∠DBE＝∠EBF﹣∠DBE，∴∠ABE＝∠DBF，∵∠A+∠ABD＝90°，∠BDF+∠C＝90°，∴∠A＝∠BDF，∴△ABE∽△DBF，∴＝．（2）证明：联结EF，与BD交于点G，∵＝，∴＝，∵∠ABD＝∠EBF，∴△ABD∽△EBF，∴∠ADB＝∠EFB，∵∠BGF＝∠EGD，∠GFB＝∠GDE，BG＝EG，∴△BGF∽△EGD，∠GBE＝∠GEB，∴＝＝＝1，∴BF＝ED，FG＝DG，∴∠GDF＝∠GFD，∵∠BGE＝∠GBE+∠GEB＝2∠GEB，∠BGE＝∠GDF+∠GFD＝2∠GFD，∴2∠GEB＝2∠GFD，∴∠GEB＝∠GFD，∴BE∥DF，∴四边形BEDF为等腰梯形．【点评】此题重点考查平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△ABE∽△DBF及△ABD∽△EBF是解题的关键．24．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）①当CF＝DF时，则点F在CD的中垂线上，则（6﹣m+6）＝﹣m2+2m+6，即可求解；②证明△EMD∽△FNA，得到DE：AF＝DM：AN＝1：3，则＝（m+2），即可求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6；（2）由抛物线的表达式得，点A（﹣2，0）、C（0，6），设点F（m，﹣m2+2m+6），由点A（﹣2，0）、F的坐标得，直线AF的表达式为：y＝﹣（m﹣6）（x+2），则点D（0，6﹣m），①当CF＝DF时，则点F在CD的中垂线上，则（6﹣m+6）＝﹣m2+2m+6，解得：m＝0（舍去）或5，则CD＝6﹣（6﹣m）＝m＝5；②由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+6，联立上式和AF的表达式得：﹣x+6＝﹣（m﹣6）（x+2），解得：x＝＝DM，由点F的坐标得，AN＝m+2，∵△ACF的面积是△CDE面积的3倍，则DE：AF＝1：3过点D作DM∥x轴，作EM⊥DM，过点F作FN⊥x轴，则△EMD∽△FNA，则DE：AF＝DM：AN＝1：3，则＝（m+2），解得：m＝﹣4（舍去）或4，即点F（4，6）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、三角形相似、中垂线的性质等，有一定的综合性，难度适中．25．【分析】（1）借助垂径定理，利用cos A表示出AO和BO，通过比较AO和BO的大小确定点与圆的位置关系；（2）①需要紧扣∠CDE＝∠A，结合连心线和公共弦的性质可以发现圆E和圆O是等圆，借助相似三角形的性质或锐角三角函数，用含k的代数式表示出CD、AD，从而求解；②当AC′∥CB时，过点C′作C′N⊥AD，证明出∠C′AD＝∠C′DA，在Rt△C′NC中，cos∠C'CN＝＝，得到，解得，则；当AC′∥OC，延长OE交AC′延长线于点F，由AC′∥OC，得到，解得或5（舍去），则CE＝4k＝．【解答】解：（1）点B在⊙O内；理由如下：过点O作OH⊥AC，垂足为点H，∵OH过圆心，OH⊥AD，∴，∵OH⊥AC，∴∠AHO＝90°，在Rt△AOH中，，∴，∵AB＝6，∴，∵OB＜AO，∴点B在⊙O内；（2）过点C作CM⊥AB，垂足为M，如图2，∵AC＝BC，CM⊥AB，∴，在Rt△ACM中，，∴AC＝5，∵OA＝OD，∴∠CAB＝∠ODA，又∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CAB＝∠CDE，∵，在Rt△CDE中，∠CED＝90°，，设DE＝3k，CD＝5k，则，∴AD＝5﹣k，①两圆的交点记为P、Q，连接PE，PO，如图3，⊙O与⊙E相交，PQ是公共弦，∴OE垂直平分PQ，即OE⊥PQ，∵PQ经过OE的中点，∴PQ垂直平分OE，∴PE＝PO，即CE＝AO，，在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，∴，∵，∴，解得，∴；②由于点A在直线AB上，∴AC′不可能与OB平行，则当AC′∥CB时，过点C′作C′N⊥AD，如图4，∵AC＝CB，∴∠CAB+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣2∠CAB，∵AC′∥CB，∴∠C′AD＝∠ACB＝180°﹣2∠CAB，∵DE⊥CC′，CE＝C′E，∴DC′＝DC，∴∠CDE＝∠C′DE，∵∠C′DA+∠C′DE+∠CDE＝180°，∴∠C′DA＝180°﹣2∠CDE，∵∠CAB＝∠CDE，∴∠CAD＝∠CDA，∵C′N⊥AD，∴，∴，在Rt△C′NC中，，∴，∴，∴；当AC∥OC，延长OE交AC延长线于点F，如图5，∵AC′∥OC，∴，∴OE＝EF，∴，DE＝3k，∴，∴，∴，∵AC′∥OC，∴，∴，解得或5（舍去），∴，综上：或．【点评】本题考查了圆和三角形相结合的问题，锐角三角函数，点与圆的位置关系，相交两圆的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，构造直角三角形，并灵活运用勾股定理是解答本题的关键。

2020年上海市长宁区中考数学二模试卷 (含答案解析)

2020年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.下列五个实数2√2，√4，−π，0，−1.6无理数的个数有()2A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.下列各组单项式：①9a2b3与a3b2；②−3x2yz与−3x2y；③(−a)5与(−8)5；④−13x2y与0.7yx2；⑤2016与−3中，是同类项的是()5A. ①⑤B. ①②④C. ④⑤D. ③④⑤3.关于反比例函数y=4，下列说法不正确的是()xA. 图象关于原点成中心对称B. 当x>0时，y随x的增大而减小C. 图象与坐标轴无交点D. 图象位于第二、四象限4.某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是()A. 17，8.5B. 17，9C. 8，9D. 8，8.55.已知两圆的半径分别是3和5，圆心距是1，那么这两圆的位置关系是()A. 内切B. 外切C. 相交D. 内含6.如图，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，则下列结论： ①△ADE≌△CBF; ②BE=DE; ③BE//DF; ④∠EBF=∠EDF; ⑤S△EBC=S△ADF．其中正确的是()A. ① ② ③ ④ ⑤B. ① ② ③ ⑤C. ① ② ③ ④D. ① ③ ④ ⑤二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）7.计算：(−x2y)3=______ ；a9÷a3=______ ．8.方程x=√3+2x的根是______．9.不等式组{x−12<21−(x−1)<0的解集是______．10.如图，在正六边形ABCDEF中，AC=2√3，则它的边长是______．11.二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的图象如图所示，则a+b+2c______(填“>”、“=”或“<”)0．12.关于x的方程ax2−(2a−2)x+a=0有实数根，则实数a的取值范围是．13.如图，有6张扑克牌，从中任意抽取两张，点数和是偶数的概率是______．14.我国明代数学家程大位的名著《算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁?”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人?设大、小和尚分别有x、y 人，则可以列方程组________________________．15.在一次射击训练中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是8(环)，通过计算，甲的成绩的方差为1.2，乙的成绩的方差为3.9，教练要选派一位成绩稳定的运动员参加全国比赛，应选择运动员_____参加比赛．16.如果向量a⃗、b⃗ 、x⃗ 满足关系式4a⃗−(b⃗ −x⃗ )=0⃗，那么x⃗ =______.(用向量a⃗、b⃗ 表示)17.如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE，若∠D=78∘，则∠EAC=_________．18.如图，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，将∠AOB沿直线MN翻折，设点O落在点P处，如果当OM=4，ON=3时，点O、P的距离为4，那么折痕MN的长为______．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）19.在梯形ABCD中，AB//CD，BC⊥AB，且AD⊥BD，BD=6，sinA=2，求梯形ABCD的面积．320.已知A，B两地相距240km.甲骑摩托车由A地驶往B地，出发1小时后，乙驾驶汽车由B地驶往A地，乙到达A地停留1小时后，按原路原速返回B地，恰好与甲同时到达B地，行驶过程中两人均匀速行驶.甲、乙两人离各自出发点的路程y(km)与乙所用时间x(ℎ)的关系如图，结合图象回答下列问题：(1)甲骑摩托车的速度是km/ℎ;甲到达B地区需小时;(2)求乙的行驶路程y与时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围;(3)x为何值时，甲、乙两人相距120km?(直接写出答案即可)21.如图，在矩形ABCD中，连接BD，作DE⊥BD，交BC的延长线于点E．求证：AB2=BC·CE．x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图).抛物线y=ax2+ 22.在平面直角坐标系xOy中，直线y=−12bx(a≠0)经过点A．(1)求线段AB的长；(2)如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=√5，求这条抛物线的表达式；(3)如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．23.已知AB为⊙O的直径，点C为ÂB的中点，BD为弦，CE⊥BD于点E，(1)如图1，求证：CE=DE；(2)如图2，连接OE，求∠OEB的度数；(3)如图3，在(2)条件下，延长CE，交直径AB于点F，延长EO，交⊙O于点G，连接BG，CE=2，EF=3，求△EBG的面积．【答案与解析】1.答案：C解析：解：五个实数2√2，√4，−π2，0，−1.6中，无理数的有2√2，−π2这2个．故选：C．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.答案：C解析：本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关．根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．解：④−13x2y与0.7yx2、⑤2016与−35是同类项，故选：C．3.答案：D解析：本题主要考查反比例函数的性质，深入理解反比例函数的性质是解决问题的关键.根据反比例函数解析式对每个选项进行判断即可解决问题．解：A.反比例函数的图象都关于原点成中心对称，所以此说法正确；B.k=4>0时，在每一象限内y随x的增大而减小，所以此说法正确；C.反比例函数的图象都与坐标轴无交点，所以此说法正确；D.反比例函数y=4的图象位于第一、三象限，所以此说法不正确．x故选D．4.答案：D解析：本题考查了中位数、众数的概念，属于基础题．根据中位数、众数的概念结合题中所给表格分别求得这组数据的中位数、众数．解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；将所有锻炼时间从小到大排列，处于第20，21位的两个数的平均数就是中位数，=8.5；∴这组数据的中位数为8+92故选：D．5.答案：D解析：本题考查了圆和圆的位置关系.两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，：当两圆外离⇔d>R+r；两圆外切⇔d=R+r；两圆相交⇔R−r<d<R+r(R≥r)；两圆内切⇔d=R−r(R>r)；两圆内含⇔d<R−r(R>r)．先计算两圆的半径之差，然后根据圆和圆的位置关系的判定方法可确定这两圆的位置关系．解：∵5−3=2>1，即圆心距小于两半径之差，∴这两圆内含．故选D．6.答案：D解析：本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的几个常用的判定和性质．先连接BD，交AC于O，由于AB=CD，AD=CB，根据两组对边相等的四边形是平行四边形，可知四边形ABBCD是平行四边形，于是OA=OC，OB=OD，而AF=CF，根据等式性质易得OE= OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形DEBF是平行四边形，于是∠EBF=∠FDE．解：连接BD交AC于O，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，{AD=CB,∠DAE=∠BCF AE=CF,,，∴ ①正确;∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO=BO，OA=OC，∵AE=CF，∴OE=OF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE=DF，BE//DF，∠EBF=∠EDF，∴ ③正确， ④正确;∵AE=CF，∴EC=AF，易证△CBE≌△ADF，∴S△EBC=S△ADF，故 ⑤正确．无法判断 ②是否正确．故选D．7.答案：−x6y3；a6解析：解：(−x2y)3=−x6y3；a9÷a3=a6．故答案为：−x6y3；a6．根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则进行运算即可．本题考查了幂的乘方与积的乘方及同底数幂的除法，注意掌握各部分的运算法则是关键．8.答案：x=3解析：解：两边平方得：x2=3+2x，解得：x=−1或x=3，经检验x=−1是增根，无理方程的解为x=3，故答案为：x=3无理方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到无理方程的解．此题考查了解无理方程，利用了转化的思想，解无理方程注意要验根．9.答案：2<x<5<2，得：x<5，解析：解：解不等式x−12解不等式1−(x−1)<0，得：x>2，则不等式组的解集为2<x<5，故答案为：2<x<5．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10.答案：2解析：解：如图，过点B作BG⊥AC于点G．正六边形ABCDEF中，每个内角为(6−2)×180°÷6=120°，∴∠ABC=120°，∠BAC=∠BCA=30°，∴AG=1AC=√3，2∴GB=1，AB=2，即边长为2．故答案为2．过点B作BG⊥AC于点G.，正六边形ABCDEF中，每个内角为(6−2)×180°÷6=120°，即∠ABC= 120°，∠BAC=∠BCA=30°，于是AG=12AC=√3，AB=2，本题考查了正多边形，熟练运用正多边形的内角和公式是解题的关键．11.答案：<解析：解：∵抛物线开口向下，∴a<0∵抛物线与y轴交于y轴负半轴，∴c<0∵对称轴在y轴左侧∴−b2a<0∴b<0∴a+b+2c<0故答案为：<．由抛物线开口向下，则a<0，抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c<0，对称轴在y轴左侧，则b<0，因此可判断a+b+2c与0的大小．本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确利用图象得出正确信息是解题关键．12.答案：a≤12解析：本题主要考查了一元二次方程根的判别式.由方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，即可确定出a的范围．解：∵方程ax2−(2a−2)x+a=0有实数根，∴△=(2a−2)2−4a2≥0，解得：a≤12，∴a的取值范围为a≤12，故答案为a≤12．13.答案：715解析：解：任意抽取两张的情况有15种，点数和为奇数的有7种，点数和为偶数的概率是715，故答案为：715．列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．考查概率的概念和求法，解题的关键是找到所有存在的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.答案：{3x +13y =100x +y =100解析：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键.分别利用大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个分别得出等式得出答案．解：设大、小和尚各有x ，y 人，则可以列方程组：{3x +13y =100x +y =100．故答案为{3x +13y =100x +y =100．． 15.答案：甲解析：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．解：因为甲的成绩的方差为1.2，乙的成绩的方差为3.9，方差小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲．故答案为甲．16.答案：x⃗ =b⃗ −4a⃗解析：解：∵4a⃗−(b⃗ −x⃗ )=0⃗，∴4a⃗−b⃗ +x⃗ =0⃗，∴x⃗ =b⃗ −4a⃗．故答案为x⃗ =b⃗ −4a⃗．把4a⃗−(b⃗ −x⃗ )=0⃗，看成关于x⃗ 的方程即可解决问题．本题考查平面向量、一元一次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．17.答案：27°解析：本题考查了菱形的性质，三角形的外角的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质得到∠ACB=12∠DCB=12(180°−∠D)=51°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=78°，由三角形的外角的性质即可得到结论．解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=78°，∴∠ACB=12∠DCB=12(180°−∠D)=51°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D=78°，∴∠EAC=∠AEB−∠ACE=27°．故答案为27°．18.答案：2√3−√5解析：解：设MN与OP交于点E，∵点O、P的距离为4，∴OP=4∵折叠∴MN⊥OP，EO=EP=2，在Rt△OME中，ME=√OM2−OE2=2√3在Rt△ONE中，NE=√ON2−OE2=√5∴MN=ME−NE=2√3−√5故答案为：2√3−√5由折叠的性质可得MN⊥OP，EO=EP=2，由勾股定理可求ME，NE的长，即可求MN的长．本题考查了翻折变换，勾股定理，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．19.答案：解：∵DC//AB，AB⊥BC，∴∠C=∠ABC=90°，∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∴∠A+∠ABD=90°，∠DBC+∠ABD=90°，∴∠A=∠DBC，∵sinA=23，∴sinA=sin∠DBC=23，∵BD=6，∴BDAB =23，DCBD=23，∴AB=9，DC=4，在Rt△DCB中，由勾股定理得：BC=√BD2−DC2=√62−42=2√5，∴梯形ABCD 的面积是12×(DC +AB)×BC =12×(4+9)×2√5=13√5．解析：求出∠A =∠DBC ，解直角三角形求出AB 和DC ，根据勾股定理求出BC ，再求出梯形的面积即可．本题考查了梯形和解直角三角形，能通过解直角三角形求出DC 、BA 的长度是解此题的关键． 20.答案：解：(1)40;6．(2)乙行驶完全程共用时6−1−1=4(ℎ)，∴乙的速度为240×2÷4=120(km/ℎ)．当0≤x <2时，设函数解析式为y =k 1x(k 1≠0)，代入点(2,240)，得k 1=120，∴y =120x;当2≤x <3时，y =240;当3≤x ≤5时，设函数解析式为y =k 2x +b(k 2≠0)，代入点(3,240)，(5,0)，得{3k 2+b =240,5k 2+b =0,解得{k 2=−120,b =600,∴y =−120x +600，∴y ={120x,0≤x <2,240,2≤x <3,−120x +600,3≤x ≤5.(3)当x 为0.5或2或3.5时，甲、乙相距120km ．解析：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和数形结合的思想解答．(1)根据题意和图象中的数据可以直接得到甲的速度，然后根据总的路程是240km 可以求得甲到达B 地所用的时间;(2)根据(1)中甲行驶的时间可以得到乙各段行驶的时间，从而可以求得乙的行驶路程y与行驶时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围;(3)根据(2)中乙的函数关系式和甲对应的函数解析式可以求得x的值．21.答案：证明：在矩形ABCD中，∠BCD=90°，AB=CD，∵∠DBC+∠BDC=90°，∠BDC+∠CDE=90°，∴∠DBC=∠CDE，且∠DCB=∠DCE=90°，∴△BCD∽△DCE，∴BCDC =DCCE，即CD2=BC·CE，又∵AB=CD，∴AB2=BC·CE．解析：本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质．通过角的计算得到∠DBC=∠CDE是解答本题的关键，从而证出△BCD∽△DCE，又由矩形的性质得到AB=CD，即可证明AB2=BC·CE．22.答案：解：(1)针对于直线y=−12x+5，令x=0，y=5，∴B(0,5)，令y=0，则−12x+5=0，∴x=10，∴A(10,0)，∴AB=√52+102=5√5；(2)设点C(m,−12m+5)，∵B(0,5)，∴BC =√m 2+(−12m +5−5)2=√52|m|， ∵BC =√5，∴√52|m|=√5，∴m =±2，∵点C 在线段AB 上，∴m =2，∴C(2,4)，将点A(10,0)，C(2,4)代入抛物线y =ax 2+bx(a ≠0)中，得{100a +10b =04a +2b =4， ∴{a =−14b =52， ∴抛物线y =−14x 2+52x ；(3)∵点A(10,0)在抛物线y =ax 2+bx 中，得100a +10b =0，∴b =−10a ，∴抛物线的解析式为y =ax 2−10ax =a(x −5)2−25a ，∴抛物线的顶点D 坐标为(5,−25a)，将x =5代入y =−12x +5中，得y =−12×5+5=52，∵顶点D 位于△AOB 内，∴0<−25a <52， ∴−110<a <0；解析：(1)先求出A ，B 坐标，即可得出结论；(2)设点C(m,−12m +5)，则BC =√52|m ，进而求出点C(2,4)，最后将点A ，C 代入抛物线解析式中，即可得出结论；(3)将点A 坐标代入抛物线解析式中得出b =−10a ，代入抛物线解析式中得出顶点D 坐标为(5,−25a)，即可得出结论．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键．23.答案：(1)证明：如图1中，连接CD、OC．∵点C是AB⏜中点，∴AC⏜=BC⏜，∴∠AOC=∠BOC，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴∠D=45°，∵CE⊥BD，∴∠CED=90°，∴∠D=∠DCE=45°，∴CE=DE．(2)证明：如图2中，连接OD，OC在△OED和△OEC中，{OC=OD CE=DE OE=OE，∴△OED≌△OEC，∵∠CED=90°，∴∠OED=∠CEO=135°，∴∠OEB=45°．(3)解：如图3中，过O作OM⊥BD于M，BN⊥EG于N，则∠EMO=90°，连接OC．∵CE=2，∴DE=2，设EM=x，则BM=DM=2+x，∴BE=2x+2，∵∠OEB=45°，则BM=DM=2+x，∴OM=x，∵∠OEB=45°，∴∠CEB=∠EMO，∴EF//OM．∴OMEF =BMEB，即x3=x+22x+2，解得x=2或(−32舍弃)，∴OE=2√2，BM=4，OM=2，BN=3√2，∴OB=2√5∴EG=OE+OG=2√2+2√5，∴S△EBG=12⋅EG⋅BN=12(2√2+2√5)×3√2=6+3√10．解析：本题考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．(1)如图1中，连接CD、OC.只要证明∠CDE=12∠COB=45°即可．(2)如图2中，连接OD，OC，只要证明△OED≌△OEC，推出∠OED=∠CEO=135°，即可解决问题．(3)如图3中，过O作OM⊥BD于M，BN⊥EG于N，则∠EMO=90°，连接OC，设EM=x，则BM=DM=2+x，由EF//OM，得OMEF =BMEB列出方程即可解决．。

2023年上海市长宁区中考数学二模试卷及答案解析

2023年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列实数中，比3大的有理数是（）A．|﹣3|B．πC．D．2．（4分）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的方程是（）A．y2+3y﹣1＝0B．y2﹣3y﹣1＝0C．y2﹣3y+1＝0D．y2+3y+1＝0 3．（4分）如图，已知⊙O及其所在平面内的4个点．如果⊙O半径为5，那么到圆心O距离为7的点可能是（）A．P点B．Q点C．M点D．N点4．（4分）下列命题中，假命题的是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的矩形是正方形5．（4分）某抖音卖货小店专门营销一类货品，以八种型号销售，一段时间内的销售数据如表所示：货品型号A B C D E F G H 销售数据（件）245138731如果每件货品销售利润都相同，该小店决定多进一些D型号货品，那么影响店主决策的统计量是（）A．平均数B．中位数C．标准差D．众数6．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（2，t），B（3，t），C（4，2），那么a +b +c 的值是（）A ．2B ．3C ．4D ．t二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．（4分）计算：2x •（﹣3xy 2）＝．8．（4分）函数的定义域是．9．（4分）已知，那么＝．10．（4分）如果关于x 的方程x 2﹣4x +2c ＝0有实数根，那么实数c 的取值范围是．11．（4分）不等式组的正整数解是．12．（4分）已知线段a ＝3，b ＝4，从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中任意选取一个数作为线段c 的长度，那么a ，b ，c 不能组成三角形的概率是．13．（4分）为了解某区九年级3000名学生中“4分钟跳绳”能获得满分的学生人数，区体测中心随机调查了其中的200名学生，结果仅有45名学生未获满分，那么估计该区九年级“4分钟跳绳”能获得满分的学生人数约为．14．（4分）已知点A （﹣4，m ）在反比例函数的图象上，点A 关于y 轴的对称点A 1恰好在直线上，那么k 的值为．15．（4分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝BC ，对角线AC 与BD 交于点O ，设，，那么＝．（结果用、表示）16．（4分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，已知BD ＝16，，如果点E 是边AB 的中点，那么OE ＝．17．（4分）如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 交于点E ，已知∠CEA ＝45°，DE ＝7，，那么cot ∠ABD 的值为．18．（4分）如图，将平行四边形ABCD沿着对角线AC翻折，点B的对应点为M，CM交AD于点N，如果∠B＝76°，∠ACM＝∠DCM+10°，且NC＝m，那么平行四边形ABCD 的周长为．（参考数据：cos76°≈0.24，tan76°≈4）三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：．20．（10分）解方程组：21．（10分）已知点A（﹣2，m）在双曲线上，将点A向右平移5个单位得到点B．（1）当点B在直线y＝﹣2x+b上时，求直线y＝﹣2x+b的表达式；（2）当线段AB被直线y＝﹣2x+b分成两部分，且这两部分长度的比为3：2时，求b 的值．22．（10分）为了测量某建筑物的高度BE，从与建筑物底端B在同一水平线的点A出发，沿着坡比为i＝1：2.4的斜坡行走一段路程至坡顶D处，此时测得建筑物顶端E的仰角为30°，再从D处沿水平方向继续行走100米后至点C处，此时测得建筑物顶端E的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，如图，已知点A、B、C、D、E在同一平面内，求建筑物BE的高度与AD的长．（参考数据：）23．（12分）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边AD、AB上，CE与DF交于点G．已知AE+AF＝AB．（1）求证：CE⊥DF；（2）以点G为圆心，GD为半径的圆与线段DF交于点H，点P为线段BH的中点，联结CP，如图2所示，求证：∠BCP+∠DCE＝∠ECP．24．（12分）已知抛物线y＝ax2+2x+6与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，点D是抛物线上一点，直线BD恰好平分△ABC的面积，求点D的坐标；（3）如图2，点E坐标为（0，﹣2），在抛物线上存在点P，满足∠OBP＝2∠OBE，请直接写出直线BP的表达式．25．（14分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心、AC为半径的⊙A交边AB于点D，点E在边BC上，满足CE＝BD，过点E作EF⊥CD交AB于点F，垂足为点G．（1）求证：△BCD∽△BFE；（2）延长EF与CA的延长线交于点M，如图2所示，求的值；（3）以点B为圆心、BE为半径作⊙B，当BC＝8，AF＝2时，请判断⊙A与⊙B的位置关系，并说明理由．2023年上海市长宁区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【分析】根据|﹣3|＝3，π＞3，＝3＞3，＞3，即可得出比3大的数．【解答】解：∵|﹣3|＝3，π＞3，＝3＞3，＞3，∴各数中，比3大的数是，故选：C．【点评】本题主要考查了实数大小的比较，解题时注意：利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．2．【分析】由设出的y，将方程左边两项代换，得到关于y的方程，整理后即可得到结果．【解答】解：设，方程化为y﹣＝3，整理得：y2﹣3y﹣1＝0．故选：B．【点评】此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．3．【分析】根据点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：若⊙O半径为5，那么到圆心O距离为7的点在圆外．观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．4．【分析】根据菱形、等腰梯形、正方形的判定定理判断即可．【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；B、对角线相等的梯形是等腰梯形，故本选项说法是假命题，符合题意；C、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；D、对角线平分一组对角的矩形是正方形，是真命题，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的D型号就是这组数据的众数．【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响店主决策的统计量是众数．故选：D．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、标准差的意义．6．【分析】根据抛物线的对称性求得抛物线的对称轴，即可得到C（4，2）关于对称轴对称的点为（1，2），故当x＝1时可求得y值为2，即可求得答案．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（2，t），B（3，t），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝，∴C（4，2）对称点坐标为（1，2），∴当x＝1时，y＝2，即a+b+c＝2，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的对称性求得点（1，2）在其图象上是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．【分析】根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．【解答】解：2x•（﹣3xy2）＝﹣6x2y2．故答案为：﹣6x2y2．【点评】本题主要考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的乘法法则是解决本题的关键．8．【分析】让x+2为非负数列式求值即可．【解答】解：由题意得：x+2≥0，解得x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．【点评】考查二次根式有意义的条件；用到的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．9．【分析】将x的值代入解析式求值．【解答】解：由题意得，＝．故答案为：．【点评】本题主要考查求函数值，熟练掌握求函数值的方法是解决本题的关键．10．【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式Δ≥0列出关于c的不等式，求出不等式的解集即可得到c的范围．【解答】解：根据方程没有实数根，得到Δ＝b2﹣4ac＝16﹣8c≥0，解得：c≤2．∴实数c的取值范围是：c≤2．故答案为：c≤2．【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．11．【分析】先解不等组，再找出正整数解．【解答】解：解第一个不等式得：x＞2，解第二个不等式得：x≤4，所以不等式组的解集为：2＜x≤4，所以x的正整数解为：3、4，故答案为：3、4．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的解法是解题的关键．12．【分析】由三角形的三边关系得1＜c＜7，再由概率公式即可得出结论．【解答】解：由三角形的三边关系得：b﹣a＜c＜b+a，即4﹣3＜c＜4+3，∴1＜c＜7，∴a，b，c不能组成三角形的概率是，故答案为：．【点评】本题考查了概率公式以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．【分析】根据200名学生，结果仅有45名学生未获满分求得九年级“4分钟跳绳”能获得满分的学生人数所占总数的百分比，即可得到结论．【解答】解：3000×＝2325（名），答：估计该区九年级“4分钟跳绳”能获得满分的学生人数约为2325名．故答案为：2325名．【点评】本题考查了用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．14．【分析】由点A与点A1关于y轴的对称，可得到A1（4，m），代入即可求得m 的值，从而求得A（﹣4，2），进而即可求出k的值．【解答】解：∵点A与点A1关于y轴的对称，点A（﹣4，m），∴A1（4，m），∵点A1恰好在直线上，∴m＝2，∴A（﹣4，2），∵点A（﹣4，m）在反比例函数的图象上，∴k＝﹣4×2＝﹣8，故答案为：﹣8．【点评】本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，一次函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标的特征，掌握方程思想是解题的关键．15．【分析】由AB∥CD，即可证得△AOD∽△OBC，又由AD＝BC，即可求得与，即可求得．【解答】解：∵AD∥BC，AD＝BC，∴△AOD∽△OBC，∴，∴，，∴＝+＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查向量的知识与相似三角形的判定与性质，掌握数形结合思想的应用，还要注意向量是有方向的是解题的关键．16．【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝BD＝8，根据三角函数的定义得到OA＝6，根据勾股定理得到AB＝＝10，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝BD＝8，∵，∴OC＝6，∴OA＝6，∴AB＝＝10，∵点E是边AB的中点，∴OE＝AB＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．17．【分析】作OF⊥CD于F，连接OD，根据勾股定理求出OF，再求出DF，再用勾股定理求出圆的半径，作DH⊥OB，再利用勾股定理求出DH、EH，用三角函数解答即可．【解答】解：作OF⊥CD于F，连接OD，∵∠CEA＝45°，∴∠OEF＝45°，∵OE＝3，∴OF＝EF＝3，∵DE＝7，∴DF＝4，∴OD＝＝5，∴OB＝5，BE＝5+3，作DH⊥OB于H，∴△DEH为等腰直角三角形，∵DE＝7，∴EH＝DH＝，∴BH＝5+3﹣＝5﹣，∴cot∠ABD＝＝＝．故答案为：＝．【点评】本题考查了三角函数的应用，正确的辅助线及勾股定理的运用是解题关键．18．【分析】首先利用平行四边形的性质可说明AN＝CD＝CN＝m，再利用等腰三角形的性质可得DN＝0.48m，进而解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵∠MCA＝∠BCA，∠BCA＝∠DAC，∴∠DAC＝∠MCA，AN＝CN＝m，∵∠ACM＝∠DCM+10°，∴∠BCA＝∠DCM+10°，∵∠B＝76°，∠B+∠BCD＝180°，∴∠DCM+2（∠DCM+10°）＝180°﹣76°＝104°，∴∠DCM＝28°，∴∠CND＝180°﹣∠D﹣∠DCN＝180°﹣76°﹣28°＝76°，∴CD＝CN＝m，在等腰△NCD中，，∴DN＝0.48m，∴AD＝1.48m，∴平行四边形ABCD的周长＝2（0.48m+1.48m）＝4.96m．故答案为：4.96m．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，等腰三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握各知识是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．【分析】根据实数的混合运算法则，先计算分数指数幂、分母有理化、零指数幂、算术平方根，再计算乘法，最后计算加减．【解答】解：＝2+﹣1×＝＝1﹣．【点评】本题主要考查实数的混合运算、分数指数幂、分母有理化、零指数幂、算术平方根，熟练掌握实数的混合运算法则、分数指数幂、分母有理化、零指数幂、算术平方根是解决本题的关键．20．【分析】先将x2﹣9y2＝0左边因式分解，得出x+3y＝0或x﹣3y＝0．然后分类讨论即可．【解答】解：由x2﹣9y2＝0得，（x+3y）（x﹣3y）＝0，∴x+3y＝0或x﹣3y＝0，当x+3y＝0时，x＝﹣3y，把x＝﹣3y代入x+y＝2得，﹣3y+y＝2，∴y＝﹣1，∴x＝﹣3y＝3，∴，当x﹣3y＝0时，x＝3y，把x＝3y代入x+y＝2得，3y+y＝2，∴y＝，∴，∴，综上所述原方程组的解为或．【点评】本题考查二先二次方程组的解法，关键将x²﹣9y²＝0左边因式分解，转化为二元一次方程求解．21．【分析】（1）由反比例函数解析式求得点A的坐标，然后根据坐标平移的特点是左减右加、上加下减可以求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求得；（2）当线段AB被直线y＝﹣2x+b分成两部分，且这两部分长度的比为3：2时，且交点为D，分两种情况：或＝计算即可．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，m）在双曲线上，∴m＝﹣＝2，∴A（﹣2，2），将点A向右平移5个单位得到点B，则B（3，2），∵点B在直线y＝﹣2x+b上，∴2＝﹣2×3+b，∴b＝8，∴直线y＝﹣2x+b的表达式为y＝﹣2x+8；（2）设直线y＝﹣2x+b交AB于D，①当时，即：＝，∴D（1，2），代入y＝﹣2x+b得，2＝﹣2×1+b，∴b＝4；②当＝时，即：＝，∴D（0，2），代入y＝﹣2x+b得，2＝﹣2×0+b，∴b＝2；故b的值为4或2．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的变化﹣平移，分类讨论思想的运用是解题的关键．22．【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DC交EB于点G，根据题意可得：DF＝GB，DC＝100米，∠EDC＝30°，∠ECG＝60°，∠BCG＝45°，先利用三角形的外角性质进行计算可得∠EDC＝∠DEC＝30°，从而可得CD＝CE＝100米，再在Rt△ECG 中，利用含30度角的直角三角形的性质求出EG，CG的长，再在Rt△CGB中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，从而求出EB的长，最后根据斜坡AD的坡比为i＝1：2.4，可求出AF的长，再在Rt△ADF中，利用勾股定理求出AD的长，即可解答．【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DC交EB于点G，由题意得：DF＝GB，DC＝100米，∠EDC＝30°，∠ECG＝60°，∠BCG＝45°，∵∠ECG是△ECD的一个外角，∴∠DEC＝∠ECG﹣∠EDC＝30°，∴∠EDC＝∠DEC＝30°，∴CD＝CE＝100米，在Rt△ECG中，CG＝EC＝50（米），∴EG＝CG＝50（米），在Rt△CGB中，BG＝CG•tan45°＝50（米），∴DF＝BG＝50米，∴EB＝EG+BG＝50+50≈136.6（米），∵斜坡AD的坡比为i＝1：2.4，∴＝，∴AF＝2.4DF＝120（米），在Rt△ADF中，AD＝＝＝130（米），∴建筑物BE的高度约为136.6米，AD的长为130米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得到AB＝AD＝CD，∠A＝∠EDC＝90°由AE+AF ＝AB，AE+DE＝AD，得到AF＝DE，即可证明△DAF≌△CDE，得到∠DCE＝∠ADF，由余角的性质得到∠DGC＝90°，因此CE⊥DF；（2）由等腰三角形的性质，得到∠DCE＝∠HCE，∠BCP＝∠HCP，得到∠BCP+∠DCE ＝∠HCP+∠HCE，因此∠BCP+∠DCE＝∠ECP．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD，∠A＝∠EDC＝90°，∵AE+AF＝AB，AE+DE＝AD，∴AF＝DE，∵△DAF≌△CDE（SAS），∴∠DCE＝∠ADF，∵∠ADF+∠CDG＝90°，∴∠DCE+∠CDG＝90°，∴∠DGC＝180°﹣（∠DCE+∠CDG）＝90°，∴CE⊥DF；（2）由（1）知CE⊥DH，∵GD＝GH，∴CE垂直平分DH，∴CD＝CH，∴∠DCE＝∠HCE，∵CD＝BC，∴CH＝BC，∵P为线段BH的中点，∴∠BCP＝∠HCP，∴∠BCP+∠DCE＝∠HCP+∠HCE，∴∠BCP+∠DCE＝∠ECP．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是由正方形的性质证明△DAF≌△CDE，由等腰三角形的性质得到∠DCE＝∠HCE，∠BCP＝∠HCP．24．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）记直线BD交AC于点G，由直线BD恰好平分△ABC的面积，那么点G为AC的中点，过点G、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点N、T，设D（t，﹣+2t+6），故DT＝﹣t2+2t+6，OT＝﹣t，得出，解方程求出t的值即可；（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）由题意可知C（0，6），∵OB＝OC＝6，∴B（6，0），∴36a+12+6＝0，解得a＝﹣，∴y＝﹣x2+2x+6；（2）由（1）知抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+6，故令y＝0得：0＝﹣x2+2x+6，解得：x＝﹣2，x2＝6，∴点A的坐标为（﹣2，0）．即OA＝2，记直线BD交AC于点G，由直线BD恰好平分△ABC的面积，那么点G为AC的中点，过点G、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点N、T，在△OCA中，GN∥CO，故由三角形中位线定理可得：GN＝3，ON＝1，故在Rt△BGN中，tan∠GBN＝，设D（t，﹣+2t+6），故DT＝﹣t2+2t+6，OT＝﹣t，在Rt△BDT中，tan∠DBT＝＝，∵tan∠DBT＝tan∠GBN，∴，解得：t1＝﹣，t2＝6（舍），∴D（﹣，）；（3）①当点P在x轴上方时，在y轴上取点G（0，2），连接BG，则∠OBG＝∠OBE，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM＝∠GBO，则∠OBP＝2∠OBE，过点G作GH⊥BM，∵E（0，﹣2），∴OE＝OG＝GH＝2，设MH＝x，则MG＝，在Rt△OBM中，OB2+OM2＝MB2，∴（+2）2+62＝（x+6）2，解得：x＝，故MG＝＝，∴OM＝OG+MG＝2+＝，∴点M（0，），将点B（6，0）、M（0，）的坐标代入一次函数表达式y＝mx+n，，解得：，∴直线BP的表达式为：y＝﹣x+；②当点P在x轴下方时，作点M（0，）关于x轴的对称点N（0，﹣），求得直线BN的解析式为y＝x﹣，综上所述，直线BP的表达式为y＝﹣x+或y＝x﹣．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．25．【分析】（1）可证得∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACD＝∠ADC，∠BFE+∠ADC＝90°，从而∠BFE＝∠BCD，进而证得结论；（2）延长CM交⊙A于N，可得出∠CME+∠CEM＝90°，∠CEM+∠BCD＝90°，从而∠BCD＝∠CME，进而得出∠CME＝∠AFM，从而得出AM＝AF，进一步得出结果；（3）设AC＝AD＝r，设BD＝CE＝a，可得出r2+82＝（r+a）2；由△BCD∽△BFE得出，从而得出，从而求得，进一步得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠BCD+∠ADC＝90°，∵EF⊥CD，∴∠BFE+∠ADC＝90°，∴∠BFE＝∠BCD，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BFE；（2）解：如图，延长CM交⊙A于N，∵∠ACB＝90°，∴∠CME+∠CEM＝90°，∵∠CGE＝90°，∴∠CEM+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠CME，∵∠BCD＝∠BFE，∴∠BFE＝∠CME，∵∠AFM＝∠BFE，∴∠CME＝∠AFM，∴AM＝AF，∵AN＝AD，∴DF＝MN，∵AC＝AD，∴＝＝；（3）解：⊙A与⊙B外切，理由如下：设AC＝AD＝r，设BD＝CE＝a，在Rt△ABC中，由勾股定理得，r2+82＝（r+a）2；①∵△BCD∽△BFE，∴，∵DF＝AD﹣AF＝r﹣2，∴BF＝DF+BD＝a+r﹣2，∴，②由①②得，，∴BE＝BD＝CE＝4，AB＝10，∴AD+BD＝AB，∴⊙A与⊙B外切．【点评】本题考查了圆的有关的性质，圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是设未知数，找出相等关系列出方程（组）。

2019-2020学年上海市长宁区中考二模数学试卷有标准答案

第二学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间：100分钟满分：150分）考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．函数12-=x y 的图像不经过（ ▲ ）（A ）第一象限；（B ）第二象限；（C ）第三象限；（D ）第四象限． 2．下列式子一定成立的是（ ▲ ）（A ） a a a 632=+；（B ）428x x x =÷；（C ） aa 121=；（D ）6321)(aa-=--． 3．下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ▲ ）（A ）4；（B ）x 2；（C ）92；（D ）12． 4．已知一组数据2、x 、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（ ▲ ）（A ） 3.5；（B ） 4；（C ） 2；（D ）6.5．5．已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点，那么d 的值可以取（ ▲ ）（A ） 11；（B ） 6；（C ） 3；（D ）2．6．已知在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =BD ，下列四个命题中真命题是（ ▲ ）（A ）若AB =CD ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形；（B ）若∠DBC =∠ACB ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形；（C ）若ODCOOB AO =，则四边形ABCD 一定是矩形；（D ）若AC ⊥BD 且AO =OD ，则四边形ABCD 一定是正方形．二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7．计算：=--︒0)3(30sin ▲ ． 8．方程6+=-x x 的解是 ▲ ．9．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+-1)12(303x x 的解集是 ▲ ．10．已知反比例函数xky =的图像经过点（-2017，2018），当0>x 时，函数值y 随自变量x 的值增大而 ▲ ．（填“增大”或“减小”）11．若关于x 的方程032=--m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是 ▲ ． 12．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ▲ ．13．抛物线522++=mx mx y 的对称轴是直线 ▲ ． 14．小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的通话次数的频率是 ▲ ．15．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC =15，CD =9，EF =6，∠AFE =50°，则∠ADC 的度数为 ▲ ．16．如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠C=90°，BC =CD =4，52=AD ，若a AD =，b DC =，用a 、b 表示=DB ▲ ． 17．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC 是半高三角形，且斜边5=AB ，则它的周长等于 ▲ ． 18．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD上的一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于 ▲ ．三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）先化简，再求值：12341311222+-++÷-+-+x x x x x x x ，其中121+=x ．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=-=-+②12①06522 ．　，y x y xy x21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24，D第14题图 A BCDEF第15题图第16题图 DCBA 第18题图AB CD135sin =∠ABC ．（1）求AB 的长；（2）若AD =6.5，求DCB ∠的余切值．22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）某旅游景点的年游客量y （万人）是门票价格x （元）的一次函数，其函数图像如下图．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点G 、F ，且AGGF BEAD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．第22题图ACDEFGB第23题图备用图25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长；（2）如图2，设AC =x ，y S S OBDACO=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．长宁区第二学期初三数学参考答案和评分建议一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．C ．二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．21-； 8．2-=x ； 9．3>x ； 10．增大； 11．43-=m ； 12．53； 13．1-=x ；14．7.0；15．︒140； 16．→→-a b 21； 17．255或535++； 18．215-．三、（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，满分78分）19. （本题满分10分）解：原式= )1)(3()1()1)(1(3112++-⨯-++-+x x x x x x x (3分) O AC DBO BA C DBAO=2)1(111+--+x x x (2分) =2)1(11++-+x x x (1分)=2)1(2+x (1分)当12121-=+=x 时，原式=2)1(2+x =2)112(2+- =2)2(2=1 (3分)20．（本题满分10分）解：方程①可变形为0))(6(=-+y x y x得06=+y x 或0=-y x （2分）将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+1206y x y x 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=-120y x y x （2分）解方程组（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-==131136y x ，解方程组（Ⅱ）⎩⎨⎧==11y x （4分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）另解：由②得12-=x y ③ （1分）把③代入①，得0)12(6)12(522=---+x x x x （1分）整理得：0619132=+-x x （2分）解得：1,13621==x x （2分）分别代入③，得1,13121=-=y y （2分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB =AC ∴BC BE 21= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC （1分）设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BE ∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分）（2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F ∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE // ∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,215==BF DF （4分） ∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分）在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，542156cot ===∠DF CF DCB （1分） 22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）设)0(≠+=k b kx y ，函数图像过点（200,100），（50,250）（1分）代入解析式得：⎩⎨⎧=+=+25050100200b k b k （2分）解之得：⎩⎨⎧=-=3001b k （1分）所以y 关于x 的解析式为：300+-=x y （1分）（2）设门票价格定为x 元，依题意可得：11500)300)(20(=+--x x （2分）整理得： 0175003202=+-x x 解之得：x =70或者x =250（舍去）（2分）答：门票价格应该定为70元. （1分）23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵BC AD // ∴BG DG BE AD = （2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分）∴ CD AB // （2分）（2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分）∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGD BD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分）∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分） 24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1）点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上 ∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分）∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4）（ 2分）（2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分） ∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分）（3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOACBO AD ， ∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分）若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，且△ABC 为锐角三角形则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ）过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-=①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BO AO OH PH =，∴326=-t t ，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分） ②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH ，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P （ 2分）综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P 25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8， ∴OD ⊥AB ，421==AB AC （2分）在Rt △AOC 中，︒=∠90ACO Θ，AO =5， ∴322=-=AC AO CO （1分）5=OD Θ，2=-=∴OC OD CD （1分）（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3 ∵AC =x ，∴|4|-=x CH在Rt △HOC 中，︒=∠90CHO Θ，AO =5， ∴258|4|322222+-=-+=+=x x x HC HO CO ，（1分）∴525882+-⋅-=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆x x x x OD OC BC AC S S S S S S y OBD OBC OBC ACO OBD ACO xx x x 5402582-+-= （80<<x ）（3分）（3）①当OB //AD 时，过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ,垂足为点F ，则OF =AE ， AE OB OH AB S ABO ⋅=⋅=∆2121Θ ∴OF OB OH AB AE ==⋅=524 在Rt △AOF 中，︒=∠90AFO Θ，AO =5， ∴5722=-=OF AO AF ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴5142==AF AD . （3分） ②当OA //BD 时，过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，则由①的方法可得524==BM DG ，在Rt △GOD 中，︒=∠90DGO Θ，DO =5， ∴5722=-=DG DO GO ，518575=-=-=GO AO AG ，在Rt △GAD 中，︒=∠90DGA Θ，∴622=+=DG AG AD （ 3分）综上得6514或=AD。

上海市长宁区届中考数学二模试卷(解析版)-(1)

2023年上海市长宁区中考二模数学试卷含答案

2019年上海市长宁区中考数学二模试卷(解析版)

2019年上海市长宁区中考数学二模试卷(解析版)

【中考专题】2022年上海长宁区中考数学模拟真题练习 卷(Ⅱ)(含详解)

上海市长宁区中考二模数学试卷包含详解

2024届上海市长宁区高三下学期二模数学试卷(解析版)

2024年上海市长宁区中考数学二模试卷及答案解析

2020年上海市长宁区中考数学二模试卷 (含答案解析)

2023年上海市长宁区中考数学二模试卷及答案解析

2019-2020学年上海市长宁区中考二模数学试卷有标准答案

【中考专题】2022年上海长宁区中考数学模拟真题练习卷(Ⅱ)(含详解)