2018-2019学年广东省汕头市高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

2018-2019学年广东省汕头市上学期期中考试高二数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|22},{|230}M x x N x x x =-<<=--<，则集合M N =I （ ）A ．{|2}x x <-B ．{|3}x x >C ．{|12}x x -<<D ．{|23}x x << 2. 等比数列{}n a 满足11353,21a a a a =++=，则357a a a ++=（ ） A ． 21 B ． 42 C ． 63 D ．843. 为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y bx a =+$$$，其中0.76,b a y bx ==-$$$，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元 4. 已知一个水平放置的正方形用斜二测画法作出的直观图是一个平行四边形，平行四边形中有一条边长为4，则此正方形的面积是（ ）A ．16B ． 64C ． 16或64D ．以上都不对5. (3)4k x -+有两个不同的解时，实数k 的取值范围是（ ） A ．7(0,)24 B ．2[,)3+∞ C ．12(,]33 D ．72(,]2436.图1是某县参加2016年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次为1210,,,A A A （如2A 表示身高（单位cm ）在[150,155)内的人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图，现要统计身高在160180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （ ）A ．6i <B ．7i <C ． 8i <D ．9i <7. 设两条直线的方程分别为0,0x y a x y b ++=++=，已知,a b 是方程20x x c ++=的两个实根，且108c ≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）A 14B 12 D 12， 8.设3,0()(1),0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩，若()f x x a =+有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．[1,2]B ．(,2)-∞C ．[1,)+∞D ．(,1)-∞9.若42log (34)log a b +=a b +的最小值为 （ ）A ．7+．7+． D ．10.已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则 （ ） A ．//αβ且//l α B ．αβ⊥且l β⊥ C ．α与β相交，且交线垂直于 D ．α与β相交，且交线平行于11.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，|OB||OC||OD|1,0,(1,1),OB OC OD A ===++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r则AD OB ⋅uuu r uu u r 的取值范围 （ ）A ．[11]-B ．11[]22-C ．11[]22D ．[11] 12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 （ ）A ．6 B．．．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=_______. 14. 已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠，当234a b <<<<时，函数()f x 的零点(,1)x n n ∈+，则n =_______.15. 记不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D ，若直线(1)y a x =+与有D 公共点，则a 的取值范围是_______.16. 已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，32OK =，且圆O 与圆K 所在的平面所成角为60，则球O 的表面积等于_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+(1)求B ；(2)若2b =，求ABC ∆面积的最大值.已知向量),(),1,2(y x =-=(1)若y x ,分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足1-=⋅b a 的概率； (2)若y x ,在连续区间]6,1[上取值，求满足0<⋅b a 的概率.19. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 底面ABCD ，E PA AC ,222 ==是PC 上的一点,EC PE 2=(1)证明：⊥PC 平面BED ；(2)设二面角C PB A --为o90，求PD 与平面PBC 所成角的大小.设n S 是数列}{n a 的前n 项和，)2(),21(,121≥-==n S a S a n n n (1)求}{n a 的通项； (2)设12+=n S b nn ，求数列}{n b 的前n 项和n T .21. （本小题满分12分）O 为原点的直角坐标系中，点)3,4(- A 为OAB ∆的直角顶点，已知OA AB 2=，且点B 的纵坐标大于0(1)求的坐标；(2)求圆026:221=++-y y x x C 关于直线OB 对称的圆2C 的方程；在直线OB 上是否存在点P ，过点P 的任意一条直线如果和圆1C 圆2C 都相交，则该直线被两圆截得的线段长相等，如果存在求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数R a R x a x x x f ∈∈+-+=,,1||)(2(1)当1=a 时，求函数)(x f 的最小值；(2)若函数)(x f 的最小值为)(g a ，令)(g a m =，求m 的取值范围.2018-2019学年广东省汕头市高二上学期期中考试数学（理）试题答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBBCDCDBADBA二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）. 13.510- 14.2 15.]4,21[ 16.π16三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.(1)因为B c C b a sin cos +=所以由正弦定理得B C C B A sin sin cos sin sin +=...........................2分所以B C C B C B sin sin cos sin )sin(+=+即B C C B sin sin sin cos =.....................3分因为0sin ≠C ，所以1tan =B ，又),0(π∈B ，解得4π=B ...................5分；所以ABC ∆的面积为12)224(424sin 21+=+⨯≤πac 所以ABC ∆面积的最大值为12+...................10分. 18.(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为3666=⨯个...............1分由1-=⋅有12-=+-y x所以满足1-=⋅的基本事件为)5,3(),3,2(),1,1(，共3个..............3分 故满足1-=⋅b a 的概率为121363=...............5分； (2)若y x ,在连续区间]6,1[上取值，则全部基本事件的结果为}61,61|),{(≤≤≤≤=Ωy x y x ...............6分满足0<⋅的基本事件的结果为}02,61,61|),{(<+-≤≤≤≤=y x y x y x A ..............8分 画出图形如图，矩形面积为25阴影部分面积为21422125=⨯⨯-...............11分 故满足0<⋅的概率为2521...............12分.19.(1)证明：因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥ 又⊥PA 底面ABCD ，所以BD PC ⊥.............2分 如图，设F BD AC =I ，连接EF因为EC PE PA AC 2222=== ，故233232===PC EC PC .............3分 从而6,6==EC ACFC PC 因为PCA FCE ECACFC PC ∠=∠=,，所以o 90,=∠=∠∆≈∆PAC FEC PCA FCE 由此知EF PC ⊥.............5分因为PC 与平面BED 内两条相交直线EF BD ,都垂直，所以⊥PC 平面BED .............6分； (2)在平面PAB 内过点A 作G PB AG ,⊥为垂足因为二面角C PB A --为o90，所以平面⊥PAB 平面PBC ............7分又平面I PAB 平面PB PBC =，故⊥AG 平面BC AG PBC ⊥,............8分 因为BC 与平面PAB 内两条相交直线AG PA ,都垂直，故⊥BC 平面PAB ，于是AB BC ⊥ 所以底面ABCD 为正方形,22,222=+==AD PA PD AD ............10分设D 到平面PBC 的距离为d因为BC AD //，且⊄AD 平面PBC ,⊂BC 平面PBC , 故//AD 平面PBC ，D A ,两点到平面PBC 的距离相等 即2==AG d ............11分设PD 与平面PBC 所成角为α，则21sin ==PD d α 所以PD 与平面PBC 所成角为o30............12分. 20.(1) Q 2),21(2≥∴-=n S a S n n n 时),21)((12--=-n n n n S S S S ............1分211,2111=-=----n n n n n n S S S S S S 所以}S 1{n是以2为公差的等差数列，其首项为1， 121),1(211-=-+=∴n S n S n n ............4分 由已知条件)2(),21(,121≥-==n S a S a n n n 得⎪⎩⎪⎨⎧≥---==2,)32)(12(21,1n n n n a n ............6分； (2)由于)121121(2112 +--=+=n n n S b n n ............9分所以数列}{n b 的前n 项和)]121121()5131()311[(21+--++-+-=n n T n L ............11分 12)1211(21+=+-=∴n nn T n ............12分. 21.(1)设),(y x AB =，由0,2=⋅=OA AB OA AB ...........1分得⎩⎨⎧=-=+03410022y x y x ，解得⎩⎨⎧==86y x 或⎩⎨⎧-=-=86y x ...........3分若⎩⎨⎧-=-=86y x ，则11-=B y 与0> B y 矛盾若⎩⎨⎧==86y x ，则5=B y 符合，即)8,6(=AB ...........4分；(2)10)1()3(,026:22221=++-=++-y x y y x x C ，所以10),1,3(1=-r C ...........6分∴=+=)5,10( Q AB OA OB 直线OB 的方程为x y 21=...........8分 设),,(2 b a C 则⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=--=-+31,232121231b a a b a b 所以圆2C 的方程为10)3()1(22=-+-y x ...........10分存在点P ，根据图形的对称性，点P 即为线段21C C 的中点，坐标为)1,2(...........12分. 22.(1)22,1()2,1x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩.................2分由22111,()()224x f x x x x ≥=+=+-≥.................3分 由221771,()2()244x f x x x x <=-+=-+≥.................4分所以min 17()()24f x f ==；.................5分(2) 221,()1,x x a x af x x x a x a ⎧+-+≥=⎨-++<⎩.................6分当min 113,()()224a f x f a ≥==+.................7分当2min 11,()()122a f x f a a -<<==+.................8分当min 113,()()224a f x f a ≤-=-=-.................9分 所以231,4211()1,2231,42a a g a a a a a ⎧+≥⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩..................10分又()m g a =，所以当12a ≥时54m ≥；当1122a -<<时514m <<；当12a ≤-时54m ≥；从而得[1,).m ∈+∞.................12分。