(完整版)半角公式含答案
半角公式及万能公式
这样“三角”与“代数”沟通起来，因此称为“万能公 这样“三角” 代数”沟通起来，因此称为“ 式”。 弦化切的两种方法： 齐次式”弦化切及万能公式. 弦化切的两种方法：“齐次式”弦化切及万能公式
1 π sin = 2 练习： = 练习： 2 π 4 2 4 1 + tan
tan 8 8
π
1 π =1 = tan π 2 4 2 1 tan 2
1 ∴ cos sin = 2 2 5 cos α + sin α = 3 2 2 5
∴ tan
α
α
α
α
3 α α = (cos sin ) 2 2 5 1 α cos 2 = 5 α 2 sin = 2 5 α 1 cos α 5 2 = 1 + = . α 4 2 sin
1 cosα 1 + cos α 2 + = 化简： tan + cot = 化简： = 2 csc α sin α sin α sin α 2 2 π sin( α ) π α cos α 2 = = tan( ) 4 2 1 + sin α 1 + cos( π α ) 2
α
α
α
二、例 1：已知 求 sin
tan 8 8
1 tan ( α ) π 4 = cos( 2α ) 2 2 π 1 + tan ( α ) 4
2
π
π
= sin 2α
1 + sin α + cos α 1 = , 求 cos α值. 例1：已知 1 + sin α cos α 2
1 + sin α + cos α (1 + cos α ) + sin α = 解： 1 + sin α cos α (1 cos α ) + sin α = 2 cos 2 sin
倍角公式和半角公式 答案
第三章 第六节 倍角公式和半角公式一、选择题1．定义运算a b ＝a 2－ab －b 2，则sinπ6cos π6＝ ( )A ．－12＋34B ．－12－34C ．1＋34D ．1－34解析：sinπ6cos π6＝sin 2π6－sin π6cos π6－cos 2π6＝－12－34. 答案：B2．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α的值是 ( ) A ．－145 B ．－75 C ．－2 D.45解析：∵点P 在y ＝－2x 上，∴sin α＝－2cos α，∴sin2α＋2cos2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.答案：C3．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)等于 ( ) A.25 B.75 C.145 D ．－25解析：原式＝1＋2(cos2αcos π4＋sin2αsin π4)cos α＝1＋cos2α＋sin2αcos α＝2cos 2α＋2sin αcos αcos α＝2×(cos α＋sin α)＝2×(35＋45)＝145. 答案：C4.sin(180°＋2α)1＋cos2α·cos 2αcos(90°＋α)等于 ( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α解析：原式＝(－sin2α)·cos 2α(1＋cos2α)·(－sin α)＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α. 答案：D5．当0<x <π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x 的最小值为 ( )A ．2B ．23 C ．4 D ．43解析：f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x ＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin x cos x ＝cos x sin x ＋4sin xcos x ≥2cos xsin x ·4sin xcos x＝4，当且仅当cos x sin x ＝4sin x cos x ，即tan x ＝±12时，取等号．∵0<x <π2，∴存在x 使tan x ＝12，这时f (x )min＝4. 答案：C6．设a ＝22(sin56°－cos56°)，b ＝cos50°cos128°＋cos40°·cos38°，c ＝1－tan 240°30′1＋tan 240°30′，d ＝12(cos80°－2cos 250°＋1)，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞d ＞cB ．b ＞a ＞d ＞cC ．d ＞a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞d ＞b 解析：a ＝sin(56°－45°)＝sin11°，b ＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin(52°－40°)＝sin12°，c ＝1－tan 240°30′1＋tan 240°30′＝cos81°＝sin9°，d ＝12(2cos 240°－2sin 240°)＝cos80°＝sin10°，∴b ＞a ＞d ＞c . 答案：B 二、填空题7．(2010·黄冈模拟)已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________.解析：cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1，且cos(π3＋α)＝sin(π6－α)＝13.所以cos(2π3＋2α)＝－79.答案：－798．设f (x )＝1＋cos2x 2sin(π2－x )＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)的最大值为2＋3，则常数a ＝________.解析：f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)＝cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)＝2sin(x ＋π4)＋a 2sin(x ＋π4)＝(2＋a 2)sin(x ＋π4)．依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝±3.答案：±39．已知sin αcos β＝12，则cos αsin β的取值范围是______．解析：法一：设x ＝cos α·sin β，则sin(α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β＝12＋x ，sin(α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β＝12－x .∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤12＋x ≤1－1≤12－x ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤12－12≤x ≤32，∴－12≤x ≤12.法二：设x ＝cos α·sin β，sin α·cos β·cos α·sin β＝12x ，即sin2α·sin2β＝2x .由|sin2α·sin2β|≤1，得|2x |≤1，∴－12≤x ≤12.答案：[－12，12]三、解答题10．已知sin α＋cos α＝355，α∈(0，π4)，sin(β－π4)＝35，β∈(π4，π2)． (1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈(0，π2)，∴cos2α＝1－sin 22α＝35，∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈(π4，π2)，β－π4∈(0，π4)，∴cos(β－π4)＝45，于是sin2(β－π4)＝2sin(β－π4)cos(β－π4)＝2425.又sin2(β－π4)＝－cos2β，∴cos2β＝－2425.又2β∈(π2，π)，∴sin2β＝725.又cos 2α＝1＋cos2α2＝45，∴cos α＝25，sin α＝15(α∈(0，π4))．∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β＝255×(－2425)－55×725＝－11525. 11．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间[0，23π]上的取值范围．解：(1)f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12.因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin(2x －π6)＋12. ∵0≤x ≤23π，∴－π6≤2x －π6≤76π，∴－12≤sin(2x －π6)≤1，∴0≤sin(2x －π6)＋12≤32，即f (x )的取值范围为[0，32]． 12．已知α、β为锐角，向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， c ＝(12，－12)．(1)若a ·b ＝22，a ·c ＝3－14，求角2β－α的值；(2)若a ＝b ＋c ，求tan α的值．解：(1)∵a ·b ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝22， ①a ·c ＝(cos α，sin α)·(12，－12)＝12cos α－12sin α＝3－14. ②又∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2.由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.由α、β为锐角，得β＝5π12.从而2β－α＝23π.(2)由a ＝b ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧cos β＝cos α－12， ③sin β＝sin α＋12. ④③2＋④2得cos α－sin α＝12，∴2sin αcos α＝34.又∵2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝34，∴3tan 2α－8tan α＋3＝0. 又∵α为锐角，∴tan α>0， ∴tan α＝8±82－4×3×36＝8±286＝4±73.Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
半角公式及推论
半角公式及推论古希腊哲学家亚里士多德的半角公式和推论又称作亚里士多德四种因果关系。
它最早出现在其著作《物理学》中，并被普遍认为是哲学史上最重要的三个学说之一。
因此，它被认为是哲学中因果关系的核心理论，尤其是在古代世界的哲学界中得到广泛的认同和重视。
半角公式的核心命题是：每一件事（物）都是按照四种不同的原因（因果关系）来产生或表现的。
这四种因果关系分别是：一，必然性的因果关系；二，自发性的因果关系；三，普遍的因果关系；四，同时存在的因果关系。
第一种因果关系是必然性的，也就是每一件事（物）都有自身特定的内在原理，使它按照一定规则，独立于外界而发展和表现，如一棵树会有生长的原理。
第二种是自发的、不受外力影响的因果关系，它是一种内在性的，由于动物、植物有自发行动的能力，因此他们独立于外部因素，会以自身灵活多变的行为表现出来。
第三种是普遍性的因果关系，它是一种普遍导致的因果关系，即通过特定的原理，通过外部因素影响、进行持续不断变化及表现，如以重力为例，外部重力作用于物体，而物体表现出移动的能力和变化过程。
第四种是同时存在的因果关系，就是某一物体存在的特定的状态，是复合的结果，由两个或两个以上的因果关系共同影响所形成的，如一棵树不仅受重力及自身原理的影响，而且还受物理环境的气候及其它因素的影响，因此它的生长表现也是由这种内外复合的因果关系决定的。
以上就是古希腊哲学家亚里士多德的半角公式及其推论。
此外，亚里士多德还提出以法律和自然为准则，以正义及善良构建社会的推论，此公式和推论在历史上有着重要地位，特别是在今天被广泛认可并被用于以法律和自然为准则，以正义及善良构建社会的哲学思考中。
2020-2021学年数学北师大版必修4学案：3.3 第2课时 半角公式 Word版含解析
第2课时 半角公式知识点 半角公式[填一填](1)sin α2＝±1－cos α2. (2)cos α2＝±1＋cos α2.(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.注意：(1)半角的正弦、余弦、正切公式通常是用单角的余弦(或正弦和余弦)来表示，是二倍角公式的推论．(2)注意tan α2＝±1－cos α1＋cos α的适用范围．[答一答]求半角的正切值常用什么方法？提示：根据经验，解决半角的正切值问题有三种方法：(1)tan α2＝±1－cos α1＋cos α；(2)tan α2＝1－cos αsin α； (3)tan α2＝sin α1＋cos α.对半角公式的四点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的． (2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，便可求出sin α2，cos α2，tan α2.(3)由于tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan α2的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2求解.类型一用半角公式求值【例1】已知sinα＝－817且π<α<3π2，求sinα2，cosα2，tanα2的值．【思路探究】半角公式是用单角的余弦值求半角的三角函数值，因此要先根据条件求出cosα，再代入半角公式求值．【解】∵sinα＝－817，π<α<3π2，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－(－817)2＝－1517.又π2<α2<3π4，∴sinα2＝1－cosα2＝1＋15172＝41717，cosα2＝－1＋cosα2＝－1－15172＝－1717，tanα2＝sinα2cosα2＝－4.规律方法已知角α的某三角函数值，用半角公式可求α2的正弦、余弦、正切值，思路是先由已知利用同角公式求出该角的余弦值，再用半角公式求解，在解题过程中要注意根据α2的范围确定正负号．(1)已知θ∈(5π4，3π2)，|cos2θ|＝15，则sinθ的值为(C) A．－105 B.105C ．－155 D.155解析：因为θ∈(5π4，3π2)，所以2θ∈(5π2，3π)， 所以|cos 2θ|＝－cos2θ＝15， 即cos2θ＝－15， 所以sin θ＝－1－cos2θ2＝－1－(－15)2＝－155.(2)已知sin α＝1213，sin(α＋β)＝45，α，β均为锐角，求cos β2的值． 解：因为0<α<π2，sin α＝1213， 所以cos α＝1－sin 2α＝513，又因为0<α<π2，0<β<π2， 所以0<α＋β<π.若0<α＋β<π2， 因为1213>45， 即sin α>sin(α＋β)， 所以α＋β<α，这不可能， 所以π2<α＋β<π. 又因为sin(α＋β)＝45， 所以cos(α＋β)＝－35， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－35×513＋45×1213＝3365. 而0<β<π2，0<β2<π4， 所以cos β2＝1＋cos β2＝76565.类型二 利用公式化简【例2】 化简：(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)2＋2cos θ(0<θ<π)．【思路探究】 式子中含有根式，先化单角为半角去根号，再利用有关公式进行化简．【解】原式＝(2sin θ2·cos θ2＋2cos 2θ2)(sin θ2－cos θ2)2×2cos 2θ2＝2cos θ2(sin θ2＋cos θ2)(sin θ2－cos θ2)2cos θ2， ∵0<θ<π，∴0<θ2<π2， ∴原式＝sin 2θ2－cos 2θ2＝－cos θ.规律方法 三角函数式化简的方法与技巧(1)应用公式：根据式子的结构，明确对公式是正用、逆用，还是通过拼凑变形用．(2)统一函数名称和角：常采用异名化同名，异角化同角等方式减少三角函数的名称和角的种类．(3)特殊值与特殊角的三角函数的互化：如3＝tan60°. (4)注意“1”的代换，如sin 2α＋cos 2α＝1，tan45°＝1.已知3π2<θ<2π，试化简：1＋sin θ－1－sin θ.解：原式＝|sin θ2＋cos θ2|sin θ2－cos θ2|，因为θ∈(32π，2π)，所以θ2∈(3π4，π)，从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ2>0，则原式＝－(sin θ2＋cos θ2)－(sin θ2－cos θ2)＝－2sin θ2.类型三 利用公式解决三角函数综合问题【例3】 在△ABC 中，A ，B ，C 为三个内角，f (B )＝4cos B ·sin 2(π4＋B2)＋3cos2B －2cos B .(1)若f (B )＝2，求角B ；(2)若f (B )－m >2恒成立，求实数m 的取值范围．【思路探究】 本题主要考查倍角公式，两角和、差公式及已知三角函数值求角、求最值．化简f (B )，并考虑0<B <π即可解题．【解】 (1)f (B )＝4cos B ·1－cos (π2＋B )2＋3cos2B －2cos B ＝2cos B (1＋sin B )＋3cos2B －2cos B ＝2cos B sin B ＋3cos2B ＝sin2B ＋3cos2B ＝2sin(2B ＋π3)．∵f (B )＝2，∴2sin(2B ＋π3)＝2， ∴2B ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )， ∴B ＝π12＋k π，k ∈Z . ∵0<B <π，∴B ＝π12.(2)f (B )－m >2恒成立， 即2sin(2B ＋π3)>2＋m 恒成立． ∵0<B <π，∴2sin(2B ＋π3)∈[－2,2]， ∴2＋m <－2，∴m <－4.规律方法 倍角公式在三角形问题中的应用的解题方法先逆用倍角公式对三角函数式降幂，然后通过引入辅助角化成一个三角函数，最后结合三角形内角的取值范围求出三角函数的值域或最值．已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f (2π3)的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解：(1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12， 得f (2π3)＝(32)2－(－12)2－23×32×(－12) ＝2.(2)由cos2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin2x ＝2sin x cos x ， 得f (x )＝－cos2x －3sin2x ＝－2sin(2x ＋π6)， 所以f (x )的最小正周期是π.令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是[π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z )．——易错警示—— 应用半角公式求值时的易错点【例4】 设3π<α<4π，cos α2＝m ，那么cos α4等于( ) A.m ＋12B ．－m ＋12C ．－1－m 2D.1－m 2【错解】 C 或A【正解】 由于cos α2＝2cos 2α4－1， 可得cos 2α4＝cos α2＋12①， 又3π<α<4π，所以3π4<α4<π②. 所以cos α4<0，所以cos α4＝－m ＋12.【错解分析】 选C.将①处的余弦降幂公式错记为正弦降幂公式导致错选C ；选A.忽略对②处角的讨论导致符号错误，错选A.【★答案★】 B【防范措施】 1.熟记三角函数公式熟练记忆并能灵活运用三角函数公式是正确解题的前提，如本例①处对公式的变形应用．2．明确三角函数值的符号应用半角公式求值时，要特别注意半角的三角函数值符号的确定，否则会出现符号的失误，如本例②处对角的范围的计算，是明确cos α4值的符号的关键．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2等于( A )A．－12 B.12 C ．2 D ．－2 解析：因为α是第三象限角， cos α＝－45，所以sin α＝－35. 所以1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2×cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2 ＝1＋sin αcos α＝－12.一、选择题1．在tan x2的定义域内，下列各式中恒成立的一个是( C ) A ．tan x 2＝1－cos x1＋cos xB ．tan x2＝－1－cos x1＋cos xC ．tan x 2＝1－cos x sin xD ．tan x 2＝sin x 1－cos x2．若cos α＝23，且α∈(0,2π)，则sin α2等于( A )A.66 B ．－66 C.306D ．－306解析：∵α∈(0,2π)， ∴α2∈(0，π)． ∴sin α2＝1－cos α2＝1－232＝16＝66.3．已知sin α2＝45，cos α2＝－35，则α所在的象限是( C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：sin α＝2sin α2cos α2 ＝2×45×(－35)＝－2425<0， cos α＝2cos 2α2－1＝2×(－35)2－1＝－725<0，∴α在第三象限． 二、填空题4．函数f (x )＝2cos 2x2＋sin x 的最小正周期是2π.解析：f (x )＝2×1＋cos x2＋sin x ＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1. ∴T ＝2π.5．若cos22°＝a ，则sin11°＝1－a2，cos11°＝1＋a2.(用a 表示)解析：sin11°＝1－cos22°2＝1－a 2， cos11°＝1＋cos22°2＝1＋a2. 三、解答题6．已知450°<α<540°，化简 12＋1212＋12cos2α. 解：∵12＋12cos2α＝|cos α|＝－cos α， ∴原式＝12－12cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2，又∵225°<α2<270°， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2. ∴原式＝－sin α2.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
高考数学-三角函数半角公式
高考数学-三角函数半角公式复习重点:半角角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))复习难点:半角公式的应用复习内容:倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即，进一步得到半角公式:降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα，即:，，这组公式叫做“万能”公式.教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.例3．化简求值:(1) csc10°-sec10°(2) tan20°+cot20°-2sec50°解:(1) csc10°-sec10°(2) tan20°+cot20°-2sec50°例4．求:sin220°+cos250°+sin30°sin70°解:sin220°+cos250°+sin30°sin70°例5．已知:.求:cos4θ+sin4θ的值.解:∵,∴, 即，即，∴cos4θ+sin4θ例6．求cos36°·cos72°的值.解:cos36°·cos72°例7．求:的值.解:上述两题求解方法一致，都是连续应用二倍角的正弦公式.而能采用这种方法求值的题目要求也是严格的，要满足（1）余弦相乘，（2）后一个角是前一个角的两倍，（3）最大角的两倍与最小值的和（或差）是π.满足这三个条件即可采用这种方法.例8．已知:2cosθ=1+sinθ，求.方法一: ∵2cosθ=1+sinθ，∴∴或，∴,∴,∴或=2.方法二:∵2cosθ=1+sinθ，∴,∴,∴或,∴或=2.例9．已知:，求:tanα的值.解:∵，∴，∵0≤α≤π,∴,∴(1)当时,，则有,∴，∴，∴，∴.(2)当，则有，∴，∴，∴.注意:1与sinα在一起时，1往往被看作，而1与cosα在一起时，往往应用二倍角余弦公式把1去掉.例10．已知:sinθ, sinα, cosθ为等差数列;sinθ,sinβ, cosθ为等比数列.求证:2cos2α=cos2β.证明:∵，∴∴4sin2α=1+2sin2β∴2-4sin2α=2-1-2sin2β∴2cos2α=cos2β.课后练习:1．若，则（）.A、P QB、P QC、P=QD、P∩Q=2．若A为ΔABC的内角，，则cos2A=（）.A、B、C、D、3．若，则sin2θ=（）.A、B、C、D、4．若，则sinθ=（）.A、B、C、D、-5．若，则=（）.A、B、C、1D、-16．若，则cosα=________.7. 若θ为第二象限角，且，则=_____. 8．已知sinA+cosA=2sinB. 求证:cos2B=cos2.参考答案:1.C2.B3.C4.C5.B6.7. 6。
模型汇编半角模型结论汇编（含解析）
模型汇编半角模型结论汇编（含解析）一、45°--90°半角模型的基本结论45°---90°半角模型是初中几何中最重要的模型之一，涉及的知识点包括全等三角形的判定，性质；等腰三角形；等积变换；勾股定理；平行四边形判定，性质；四点共圆；旋转；相似等。
几乎包含了整个初中的几何考点。
特点是：图形复杂，变化多，结论多。
平时学生练习比较零散，不利于掌握。
现在把其中常用的结论加以整理，方便大家学习。
证明策略：旋转法，翻折法，截长补短法1.找共顶点的等边2.旋转等边所在的三角形使得两条等边重合，构造半角全等。
3.注意是否要考虑三点共线。
❖45°--90°半角模型的基本结论1基本结论一：如图，正方形ABCD中，E、F为BC，CD的上点且∠EAF=45°，AH⊥EF.求证：(1)EF=BE+DF(2)CΔECF=2AB(3) AH=AB (4) S△ABE+S△ADF=S△AEF(5) ∠BEA=∠BEF∠AFE=∠AFD方法一：旋转法方法一：如图1，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.(亦可旋转△ABE)∴∠DAF=∠GAB∵∠BAD=90°,∠EAF=45° ∴∠BAE+DAF=90°-45°=45°∴∠GAE=∠BAE+∠GAB=45°=∠FAE, ∠ABC=∠D=∠ABG=90°∴∠ABC+∠ABG=180° ∴点G,B,E三点共线。
∴△AEF≅△AEG（SAS）∴EF=GE，即EG=GB+BE，∴EF=BE+GB．结论一方法二：截长补短法方法二：截长补短法（证明略）证明:延长CB至点G,使GB=DF,连接AG.1.证明ΔABG≅ΔADF(SAS)2.∠GAE=∠BAE+∠GAB=45°=∠FAE3.证明△AEF≅△AEG（SAS），∴EF=BE+GB．（亦可延长CD至点M，使得DM=BE,连接AM）方法三：翻折法方法三：把ΔABE沿AE翻折得到ΔAEG,连接GF. ∴AB=AG=AD,BE=GE,∠BAE=∠GAE.∵∠BAD=90°,∠EAF=∠EAG+GAF=45°∴∠BAE+DAF=90°-45°=45°∴∠GAE+∠DAF=45°∴∠GAF=∠DAF∴ΔAGF≅ΔADF(ASA)∴∠AGF=∠D=90°，GF=DF.∴∠AGF+∠AGE=180°∴点E,G,F三点共线。
北师大数必修四同步讲义：第三章 3 第2课时 半角公式及其应用 Word含答案
第2课时 半角公式及其应用,正弦、余弦和正切的半角公式正弦的半角公式 sin α2＝±__1－cos α2 余弦的半角公式cos α2＝±__1＋cos α2 正切的半角公式tan α2＝±__1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos α2＝1＋cos α2.( ) (2)存在α∈R ，使得cos α2＝12cos α.( )(3)对于任意α∈R ，sin α2＝12sin α都不成立．( )(4)若α是第一象限角，则tan α2＝1－cos α1＋cos α.( )解析：(1)错误．只有当－π2＋2k π≤α2≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π＋4k π≤α≤π＋4k π(k ∈Z )时，cosα2＝1＋cos α2. (2)正确．当cos α＝－3＋1时，上式成立，但一般情况下不成立． (3)错误．当α＝2k π(k ∈Z )时，上式成立，但一般情况下不成立． (4)正确．若α是第一象限角，则α2是第一、三象限角，此时tan α2＝1－cos α1＋cos α成立．★答案★：(1)× (2)√ (3)× (4)√2．已知cos α＝23，270°<α<360°，那么cos α2的值为( )A.66 B ．－66 C.306D ．－306解析：选D.因为270°<α<360°， 所以135°<α2<180°，所以cos α2<0.故cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1＋232＝－56＝－306. 3．设－3π<α<－5π2，化简1－cos （α－π）2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2解析：选C.原式＝ 1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2， 因为－3π<α<－52π，所以－3π2<α2<－54π.所以cos α2<0.因此原式＝－cos α2.4．若cos 22°＝a ，则sin 11°＝________，cos 11°＝________(用a 表示)． 解析：sin 11°>0，cos 11°>0， 所以sin 11°＝ 1－a2，cos 11°＝ 1＋a2. ★答案★：1－a21＋a2对半角公式的四点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．(2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，便可求出sin α2，cos α2，tan α2.(3)由于tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan α2的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件． (4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2求解．给值求值已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2的值．【解】 因为α为钝角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝1213，所以cos α＝－35，cos β＝513，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－35×513＋45×1213＝3365，又因为π2<α<π，0<β<π2，所以0<α－β<π，所以0<α－β2<π2，所以cos α－β2＝1＋cos （α－β）2＝1＋33652＝76565. 把本例中的条件“α为钝角”改为“α为锐角”，求cos α－β2的值．解：因为α为锐角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝1213，所以cos α＝35，cos β＝513，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×513＋45×1213＝6365，又因为0<α<π2，0<β<π2，所以－π2<α－β<π2，所以－π4<α－β2<π4，所以cos α－β2＝1＋cos （α－β）2＝1＋63652＝86565.利用半角公式求值的思路(1)看角．若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围．由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式．涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2计算． (4)下结论．结合(2)求值．1.(1)已知|cos θ|＝35，且5π2<θ<3π，则sin θ2，cos θ2，tan θ2的值分别为( )A ．－255，55，2B ．－255，－55，2C.255，－55，2 D ．－255，－55，－2(2)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12 C ．2D ．－2(3)若1－cos αsin α＝2，则cos α－sin α＝________.解析：(1)因为|cos θ|＝35，5π2<θ<3π，所以cos θ＝－35，5π4<θ2<3π2.由cos θ＝1－2sin 2θ2，得sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋352＝－255. 又cos θ＝2cos 2θ2－1，所以cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55，所以tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2. (2)因为α是第三象限角，cos α＝－45，所以sin α＝－35，1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α1＋cos α1－sin α1＋cos α＝1＋cos α＋sin α1＋cos α1＋cos α－sin α1＋cos α＝1＋cos α＋sin α1＋cos α－sin α＝551－45＋35＝545＝－12.(3)1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2α22sin α2cosα2＝2sin 2α22sin α2cos α2＝sinα2cosα2＝tan α2＝2.所以cos α－sin α＝cos 2α2－sin 2α2－2cos α2sinα2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α2－2tanα21＋tan2α2＝1－22－2×21＋22＝－75.★答案★：(1)B (2)A (3)－75利用半角公式化简求值(1)计算：tan π8＋1tan π12.(2)化简（1－sin α－cos α）⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0)．【解】 (1)法一：tan π8＋1tanπ12 ＝1－cosπ41＋cosπ4＋1＋cosπ61－cosπ6 ＝1－221＋22＋1＋321－32＝2－22＋2＋2＋32－3＝2－22＋2＋3＝1＋2＋ 3.法二：tan π8＋1tan π12＝1－cos π4sin π4＋1＋cosπ6sinπ6＝222＋212＝2－22＋2＋3＝1＋2＋ 3.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫2sin 2α2－2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22×2sin 2α2＝2sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2⎝⎛⎭⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪sin α2.因为－π<α<0，所以－π2<α2<0，所以sin α2<0，所以原式＝－sin α2cos α－sinα2＝cos α.(1)利用半角公式进行化简与计算时，应正确选用升、降幂公式：当待化简式中含有根式时，应选用升幂公式去根号；当待化简式中含有高次式时，应选用降幂公式减少运算量，注意隐含条件中角的范围．(2)半角的正切公式分无理表达式与有理表达式两种形式，前者有正负号选取，其符号由角的范围确定，必要时需要讨论，后者没有符号选取，其结果的符号由sin α确定，应用十分方便．2.(1)若1＋tan α1－tan α＝2 015，则1cos 2α＋tan 2α＝________.(2)2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________． (3)化简(tan 5°－tan 85°)·cos 70°1＋sin 70°.解：(1)1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝（sin α＋cos α）2cos 2α－sin 2α＝sin α＋cos αcos α－sin α＝tan α＋11－tan α＝2 015，故填2 015.(2)原式＝4cos 24＋21－2sin 4cos 4 ＝2|cos 4|＋2（sin 4－cos 4）2 ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|.因为5π4<4<3π2，所以cos 4<0，sin 4<cos 4<0， 所以sin 4－cos 4<0.从而原式＝－2cos 4－2sin 4＋2cos 4 ＝－2sin 4.故填－2sin 4.(3)原式＝⎝⎛⎭⎫tan 5°－1tan 5°·sin 20°1＋cos 20° ＝tan25°－1tan 5°·2sin 10°·cos 10°2cos 210° ＝tan 25°－1tan 5°·tan 10°＝tan 25°－1tan 5°·2tan 5°1－tan 25°＝－2.证明三角恒等式求证：(1)tan α＋1tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝1cos α. (2)cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α.【证明】 (1)左边＝sin αcos α＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin αcos α＋1－sin αcos α＝sin α＋1－sin αcos α＝1cos α＝右边．故等式成立．(2)左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝cos αsin α2·cos α2＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边．证明三角恒等式的常用方法(1)直接法：直接从等式的一边开始转化到等式的另一边，一般是按照由繁到简的原则进行，依据是相等关系的传递性．(2)综合法：由一个已知的等式(或已有的公式等)恒等变形到所要证明的等式． (3)中间量法：通过证明等式左右两边都等于同一个式子完成恒等式的证明．3.(1)求证：2(1＋cos α)－sin 2α＝4cos 4α2.(2)求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin xcos x ＋cos 2x.证明：(1)左边＝2×2cos 2α2－⎝⎛⎭⎫2sin α2cos α22＝4cos 2α2－4sin 2α2cos 2α2＝4cos 2α2⎝⎛⎭⎫1－sin 2α2＝4cos 4α2 ＝右边．(2)2sin xcos x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2cos ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2＋cos ⎝⎛⎭⎫3x 2＋x 2＝2⎝⎛⎭⎫sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x22cos 3x 2cosx 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x 2cosx 2＝tan 3x 2－tan x 2.规范解答三角恒等变形的综合应用(本题满分12分)已知函数f (x )＝sin 2x （sin x ＋cos x ）cos x .(1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． [解] (1)因为cos x ≠0， 所以x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，(2分)f (x )＝sin 2x （sin x ＋cos x ）cos x ＝2sin x (sin x ＋cos x )＝2sin 2x ＋sin 2x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，(4分)所以f (x )的最小正周期为T ＝π.(6分) (2)因为－π6≤x ≤π4，所以－7π12≤2x －π4≤π4，(8分)当2x －π4＝π4，即x ＝π4时，f (x )的最大值为2；(10分)当2x －π4＝－π2，即x ＝－π8时，f (x )的最小值为－2＋1.(12分)(1)在处，直接求函数的定义域，若对函数先化简，则导致分母不存在，再求定义域就出错，此为失分点．在处，正确地使用降幂公式将函数化为f (x )＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1是解题的关键． 在处，容易将2x －π4的范围算错或忽略，都将导致f (x )的最值求错造成失分．(2)解答此类问题的两个注意点 ①定义域求解时的保原性定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故求解时，应保证函数的原解析式有意义，不可随便化简，如本例不可求f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1的定义域． ②提高公式的辨析和识记能力sin 2x 与cos 2x 的降幂公式非常相似，解题时务必细心，谨防混淆，可采用先写出cos 2x 的公式，再对其变形分别记忆，如本例求解中若把sin 2x 的公式用错，会导致该题基本不得分．1．已知α∈(π，2π)，则 1－cos （π＋α）2等于( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α2解析：选D.因为α∈(π，2π)，α2∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以1－cos （π＋α）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2. 2．已知α是第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2等于( )A ．－34B.34C.43D ．－43解析：选D.由α为第三象限角，且sin α＝－2425知cos α＝－725.所以tan α2＝sin α1＋cos α＝－24251－725＝－43. 3．函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( )A.π4B.π2 C ．πD ．2π解析：选C.f (x )＝tan x 1＋tan 2x＝sin x cos x 1＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.4．已知cos α2＝13，540°<α<720°，则sin α4＝________.解析：因为540°<α<720°，所以270°<α2<360°，所以135°<α4<180°，因为cos α2＝13，所以sinα4＝1－cosα22＝33. ★答案★：335．已知sin 2θ＝35，0<2θ<π2，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值．解：2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝⎝⎛⎭⎫2cos 2θ2－1－sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－sin θcos θsin θcos θ＋1＝1－tan θtan θ＋1. 因为sin 2θ＝35，0<2θ<π2，所以cos 2θ＝45，所以tan θ＝sin 2θ1＋cos 2θ＝351＋45＝13，所以1－tan θtan θ＋1＝1－1313＋1＝12，即2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12.[A 基础达标]1．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，则tan θ2＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12解析：选B.因为180°<θ<270°， 所以90°<θ2<135°，所以tan θ2<0，所以tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2. 2．若sin(π－α)＝－53且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2等于( ) A ．－63B ．－66C.66D.63解析：选B.由题意知sin α＝－53，α∈⎝⎛⎭⎫π，32π， 所以cos α＝－23，因为α2∈⎝⎛⎭⎫π2，34π， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2＝cos α2 ＝－1＋cos α2＝－66.故选B. 3．已知θ为第二象限角，25sin 2θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2的值为( )A ．－35B ．±35C.22D ．±45解析：选B.由25sin 2θ＋sin θ－24＝0得sin θ＝2425或sin θ＝－1(因为θ为第二象限角，故舍去)，所以cos θ＝－725，且θ2为第一或者第三象限角，所以2cos 2θ2－1＝－725，故cos θ2＝±35.4．化简2＋cos 2－sin 21等于( ) A ．－cos 1 B ．cos 1 C.3cos 1D ．－3cos 1解析：选C.原式＝2＋2cos 21－1－（1－cos 21）＝3cos 21＝3cos 1，故选C. 5．已知450°<α<540°，则 12＋12 12＋12cos 2α的值是( ) A ．－sin α2B ．cos α2C ．sin α2D ．－cos α2解析：选A.因为450°<α<540°， 所以225°<α2<270°.所以cos α<0，sin α2<0.所以原式＝ 12＋121＋cos 2α2＝ 12＋12 cos 2α ＝ 12＋12|cos α|＝ 12－12cos α ＝sin 2α2＝|sin α2|＝－sin α2.故选A.6．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值等于________．解析：因为5π<θ<6π，所以5π4<θ4<3π2， 所以sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2＝－2－2a2. ★答案★：－2－2a27．求值：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°·sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.★答案★：－18．若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则tan θ＝________． 解析：因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，则2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π， 所以sin θ>0，cos θ>0.因为sin 2θ＝378，所以cos 2θ＝－18，所以sin θ＝1－cos 2θ2＝ 1－⎝⎛⎭⎫－182＝34，cos θ＝1＋cos 2θ2＝ 1＋⎝⎛⎭⎫－182＝74， 所以tan θ＝sin θcos θ＝3474＝377.★答案★：3779．已知sin φ＝－2425，且φ是第三象限角，求下列各三角函数的值：(1)sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π6；(2)sin 2φ；(3)cos φ2；(4)tan φ2. 解：因为φ是第三象限角， 所以cos φ＝－1－sin 2φ＝－725.(1)sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π6＝sin φcos π6＋cos φsin π6 ＝－7＋24350.(2)sin 2φ＝2sin φcos φ＝336625.(3)因为φ是第三象限角，所以2k π＋π<φ<2k π＋3π2.所以k π＋π2<φ2<k π＋3π4(k ∈Z )．当k ＝2m 时，2m π＋π2<φ2<2m π＋3π4(m ∈Z )，cos φ2＝－1＋cos φ2＝－35. 当k ＝2m ＋1时，2m π＋3π2<φ2<2m π＋7π4(m ∈Z )，cos φ2＝ 1＋cos φ2＝35. (4)tan φ2＝1－cos φsin φ＝－43.10．已知π＜α＜3π2，化简：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.解：原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪sin α2，因为π＜α＜3π2，所以π2＜α2＜3π4，所以cos α2＜0，sin α2＞0.所以原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2.[B 能力提升]11．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β是第三象限角，则cos β2的值等于( )A ．±55B ．±255C ．－55D ．－255解析：选A.由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，得sin β＝－45.因为β在第三象限，所以cos β＝－35，β2为第二、四象限角，所以cos β2＝±1＋cos β2＝± 15＝±55. 12．定义运算⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ad －bc ，若cos α＝35，⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin α sin βcos α cos β＝513，0<β<α<π2，则sin α＋β2＝________．解析：由题意可知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin α sin βcos α cos β＝sin αcos β－sin βcos α＝sin(α－β)＝513，因为0<β<α<π2，所以0<α－β<π2，所以cos(α－β)＝1213，又cos α＝35，所以sin α＝45，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin 2α＝2425，所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝－725×1213＋2425×513＝36325，所以sin α＋β2＝1－cos （α＋β）2＝1726130.★答案★：172613013．已知sin α＝1213，sin(α＋β)＝45，α与β均为锐角，求cos β2.解：因为0<α<π2，所以cos α＝1－sin 2α＝513.又因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π. 若0<α＋β<π2，因为sin(α＋β)<sin α， 所以α＋β<α不可能．故π2<α＋β<π.所以cos(α＋β)＝－35. 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝－35×513＋45×1213＝3365，因为0<β<π2，所以0<β2<π4.故cos β2＝1＋cos β2＝76565. 14．(选做题)已知函数f (θ)＝－12＋sin 52θ2sinθ2(0<θ<π)．(1)将f (θ)表示成关于cos θ的多项式；(2)试求使曲线y ＝a cos θ＋a 与曲线y ＝f (θ)至少有一个交点时a 的取值范围． 解：(1)f (θ)＝－12＋sin 2θcos θ2＋cos 2θsinθ22sinθ2＝－12＋4cos 2θ2cos θsin θ2＋cos 2θsinθ22sinθ2＝－12＋4cos 2θ2cos θ＋cos 2θ2＝－12＋4cos θ·1＋cos θ2＋2cos 2θ－12＝2cos 2θ＋cos θ－1.(2)由2cos 2θ＋cos θ－1＝a cos θ＋a ， 得(cos θ＋1)(2cos θ－1)＝a (cos θ＋1)． 所以cos θ＝a ＋12，所以－1<a ＋12<1，即－3<a <1.。
(完整版)半角公式含答案
1＋a21＋a2θ1＋cos22 1＋a 2课时作业28 半角的正弦、余弦和正切时间：45 分钟满分：100 分一、选择题(每小题6 分，共计36 分)θθ1.设2π<θ<3π，cos2＝a，则cos 4等于( )A. B．－C．－ D.θ 3π π θ 3π θθ解析：∵2π<θ<3π，∴π<2< 2 ，2<4< 4 ，2为第三象限的角，4为第二象限的角，θ故cos4＝－＝－.答案：Cθθθ2.θ为第三象限的角，且sin2－cos2＝1－sinθ，那么2是( )A．第二象限的角B．第二或第三象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角θ解析：θ 是第三象限的角，则2是第二或第四象限的角，θ1－2sinθcos＝ 2 2＝1－a21－a2 (sin －cos )2θθ2 21－cos(π＋α)21－cos(π＋α)2 1＋cosα2|s inθ－cosθ|θθ＝ 2 2 ＝sin2－cos2，θθ∴sin2≥cos2.故选A.答案：A3．设α∈(π，2π)，则＝( )αA.sin2ααB.cos2αC.－sin2D.－cos2απ解析：∵α∈(π，2π)，∴2∈(2，π)．ααcos2∴＝＝答案：D2＝－cos2.4．设a＝2 (sin56°－cos56°)，b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，1－tan240°30′1c＝1＋tan240°30′，d＝2(cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c，d 的大小关系为( )A．a>b>d>c B．b>a>d>cC．d>a>b>c D．c>a>d>b解析：a＝sin56°cos45°－cos56°sin45°＝sin(56°－45°)＝sin11°＝cos79°，b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°＝sin40°(－sin38°)＋cos40°22 2 cos38°＝cos(40°＋38°)＝cos78°，1－tan240°30′c ＝1＋tan240°30′＝cos81°，1 1d ＝2(cos80°－2cos 250°＋1)＝2[cos80°－(2cos 250°－1)] 1＝2(cos80°＋cos80°)＝cos80°， ∴b >a >d >c ，故选 B. 答案：Bα1＋tan24 α1－tan5. 若 cos α＝－5，α 是第三象限的角，则2＝( )1A. －2 1B.2 4C ．2D ．－23解析：∵cos α＝－5，α 是第三象限的角，∴sin α＝－5， αsin 2 1＋α cos 2α α α α 1＋tan 2sin 2 1－ cos ＋sin2 2 α α α α 1－tan ∴2＝ cos cos 2＝ －sin2 2 (cos α＋sin α)2 (cos α－sin α)(cos α＋sinα)＝ 22 2 21 1 1 1 － － cos2α2 2 2 21 1 － cos2α2 2 (2 )3 1－ 51＋sin α 4 1－＝ cos α ＝ 5 ＝－2. 答案：A1＋sin x －cos x6. 函数 f (x )＝1＋cos x ＋sin x 是( )A ．奇函数B. 偶 函 数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数ππ解析：∵cos x ＋sin x ≠－1，∴ 2sin(x ＋4)≠－1，即 sin(x ＋4) π 3 π π≠－ 2 ，∴x ＋4≠2k π－4π 且 x ＋4≠2k π－4(k ∈Z )．即 x ≠2k π－π 且 πx ≠2k π－2(k ∈Z )．显然函数的定义域在 x 轴上表示的区间不关于原点对称．∴f (x )为非奇非偶函数．答案：D二、填空题(每小题 8 分，共计 24 分)π7．已知2<α<π，化简 ＝ .1 1解析：∵2－2cos2α＝sin 2α， π，π又 α∈ ，∴ ＝sin α， 21 1 － sin α2 2 2 2∴原式＝ ＝|s in α－cos α|α α＝ 2 · 22 ＝ 2 sin 2－ 2 cos 2 (α－π)＝sin 2 4 .(α π) － 答案：sin2 4α＋β8．设 p ＝cos αcos β，q ＝cos 2．2 ，则 p 与 q 的大小关系是解析：∵p －q ＝2cos αcos β－1－cos (α＋β)22cos αcos β－1－cos αcos β＋sin αsin β＝2 cos (α－β)－1＝ 2 ≤0，∴p ≤q .答案：p ≤q3－sin70° 9.2－cos210°＝.3－sin70° 1＋cos20° 2－3－sin70° 3－cos20°3－sin70° 解析：原式＝ 答案：22 ＝2 ＝2·3－sin70°＝2. 三、解答题(共计 40 分，其中 10 题 10 分，11、12 题各 15 分)2sin α＋11 α 110.证明：1＋sin α＋cos α＝2tan 2＋2.α 2tan2 ＋1 α1＋tan2 2 α2tan 2α 1－tan2 21＋ ＋α α解：左边＝α 1＋tan2 2 α 1＋tan22 tan2 2 α ＋2tan ＋12 α α1＋tan2 ＝2 α＋2tan ＋1－tan22 2 (tan 2 ＋1)2α 1 α 2tan ＋2＝ 2 ＝2(tan 2＋1) 1 α 1 ＝2tan 2＋2＝右边． ∴原等式成立．θ 2cos2－sin θ－12π11. 已知 tan2θ＝－2 2tan θ2，π<2θ<2π，求π2sin (θ＋ ) 4的值．解：∵tan2θ＝1－tan2θ＝－2 2.2<θ<π，∴tan θ＝tan2θ＝－ 2 .2－1＋ 1＋tan22θ1－21＋cos θ－sin θ－1 π cos θ－sin θπ∴原式＝2sin (θ＋ ) 4 2sin (θ＋ )＝ 4 π π 2sin ( －θ) 4 cos ( ＋θ)4π π 2sin ( ＝＋θ) 4 ＝ sin ( ＋θ)41＋2π1－tan θ＝cot(4＋θ)＝1＋tan θ＝ 2 ＝3＋2 2.π cos2x12. 若 0<x <4，求函数 f (x )＝cos x sin x －sin2x 的最小值． π解：0<x <4，cos2x 1且 f (x )＝cos x sin x －sin2x ＝－tan2x ＋tan x11 1－(tan x － )2＋＝2 4. 1∴当 tan x ＝2时，f (x )min ＝4.2。
三角函数中半角公式的应用
三角函数中半角公式的应用三角函数是数学中十分重要的一部分，它在各个科学领域中都有广泛的应用。
其中，半角公式是三角函数中的一个重要公式，它在解析几何、三角恒等式的推导以及计算角度等方面都具有重要的作用。
半角公式可以将一个角的正弦、余弦、正切转化为另一个角的三角函数。
根据半角公式，我们可以得到以下的表达式：1. 正弦的半角公式：当0 < θ < π/2时，sin(θ/2) = √[(1 - cosθ) / 2]2. 余弦的半角公式：当0 < θ < π/2时，cos(θ/2) = √[(1 + cosθ) / 2]3. 正切的半角公式：当0 < θ < π/2时，tan(θ/2) = sinθ / (1 + cosθ)这些半角公式的推导可以通过三角恒等式以及对应的三角函数的定义来实现。
例如，我们可以通过将θ表示为2倍的半角，然后利用倍角公式和平方差公式等进行变换，最终得到半角公式的表达式。
半角公式在解析几何中的应用非常广泛。
通过半角公式，我们可以将一个角的三角函数转化为另一个角的三角函数，从而简化问题的求解过程。
例如，在三角函数的图像中，我们可以根据半角公式将角度范围限制在0到π/2之间，这样可以减少曲线的变动，使得图形更加清晰易读。
在实际问题中，半角公式也有着广泛的应用。
以物体运动为例，我们可以根据已知的角度和速度来计算物体在某时刻的位置。
如果我们需要知道物体以某个角度斜抛后的落地位置，可以通过半角公式将斜抛角度转化为初始速度的垂直分量和水平分量，从而进行位置的计算。
除此之外，半角公式还在解三角方程中发挥着重要的作用。
通过将一个角的三角函数转化为另一个角的三角函数，我们可以将复杂的三角方程转化为更简单的形式，从而方便求解。
半角公式的运用可以帮助我们解决包括正弦、余弦、正切等各种类型的三角方程。
总结起来，半角公式是三角函数中的一个重要工具，它可以将一个角的三角函数转化为另一个角的三角函数。
三角函数公式表之半角公式知识总结
三角函数公式表之半角公式知识总结三角函数公式：sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)。
接下来的初中数学公式大全之半角公式，请大家记忆了。
半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))继续带来的是初中数学公式大全之半角公式，相信大家都做好笔记了吧。
接下来还有更多更丰富的数学营养大餐等着大家来吸收呢。
初中数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。
正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。
希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。
初中数学平行四边形定理公式同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。
平行四边形平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。
初中数学直角三角形定理公式下面是对直角三角形定理公式的内容讲解，希望给同学们的学习很好的帮助。
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课时作业28 半角的正弦、余弦和正切
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．设2π<θ<3π，cos θ2＝a ，则cos θ
4等于( ) A.
1＋a 2
B ．－1－a 2
C ．－
1＋a 2
D.
1－a 2
解析：∵2π<θ<3π，∴π<θ2<3π2，π2<θ4<3π4，θ2为第三象限的角，θ
4为第二象限的角，
故cos θ
4＝－1＋cos θ22＝－
1＋a 2.
答案：C
2．θ为第三象限的角，且sin θ2－cos θ2＝1－sin θ，那么θ
2是( ) A ．第二象限的角 B ．第二或第三象限的角 C ．第三象限的角
D ．第四象限的角
解析：θ是第三象限的角，则θ
2是第二或第四象限的角，1－sin θ＝
1－2sin θ2cos θ
2＝
(sin θ2－cos θ2)2
＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪sin θ2－cos θ2＝sin θ2－cos θ
2，
∴sin θ2≥cos θ
2.故选A. 答案：A
3．设α∈(π，2π)，则1－cos (π＋α)
2
＝( ) A ．sin α2 B ．cos α2 C ．－sin α
2
D ．－cos α
2
解析：∵α∈(π，2π)，∴α2∈(π
2，π)． ∴
1－cos (π＋α)
2
＝1＋cos α
2＝
cos 2
α2＝－cos α2.
答案：D
4．设a ＝2
2(sin56°－cos56°)，b ＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°， c ＝1－tan 240°30′1＋tan 2
40°30′，d ＝12(cos80°－2cos 250°＋1)，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )
A ．a >b >d >c
B ．b >a >d >c
C ．d >a >b >c
D ．c >a >d >b
解析：a ＝sin56°cos45°－cos56°sin45° ＝sin(56°－45°)＝sin11°＝cos79°，
b ＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°＝sin40°(－sin38°)＋cos40°cos38°＝cos(40°＋38°)＝cos78°，
c ＝1－tan 240°30′1＋tan 2
40°30′
＝cos81°， d ＝12(cos80°－2cos 250°＋1)＝12[cos80°－(2cos 250°－1)] ＝1
2(cos80°＋cos80°)＝cos80°， ∴b >a >d >c ，故选B. 答案：B
5．若cos α＝－4
5，α是第三象限的角，则1＋tan α
2
1－tan α2＝( )
A ．－12 B.1
2 C ．2 D ．－2 解析：∵cos α＝－45，α是第三象限的角，∴sin α＝－3
5， ∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α
2＝cos α2＋sin α
2
cos α2－sin α2
＝⎝
⎛
⎭⎪⎫cos α2＋sin α22
⎝ ⎛
⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪
⎫cos α2＋sin α2 ＝1＋sin αcos α＝1－3
5－45
＝－1
2.
答案：A
6．函数f (x )＝1＋sin x －cos x
1＋cos x ＋sin x 是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数也不是偶函数
解析：∵cos x ＋sin x ≠－1，∴2sin(x ＋π4)≠－1，即sin(x ＋π4)≠－2
2，∴x ＋π4≠2k π－34π且x ＋π4≠2k π－π4(k ∈Z )．即x ≠2k π－π且x ≠2k π－π2(k ∈Z )．显然函数的定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称．∴f (x )为非奇非偶函数．
答案：D
二、填空题(每小题8分，共计24分) 7．已知π
2<α<π，化简
12－12
12－1
2cos2α＝________.
解析：∵12－1
2cos2α＝sin 2α，
又α∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
π2，π，∴
12－1
2cos2α＝sin α，
∴原式＝
12－1
2sin α＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α
2
－cos α22
2
＝22·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2
－cos α2＝22sin α2－22cos α
2 ＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫α2－π4.
答案：sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
α2－π4
8．设p ＝cos αcos β，q ＝cos 2
α＋β
2，则p 与q 的大小关系是______．
解析：∵p －q ＝2cos αcos β－1－cos (α＋β)2 ＝2cos αcos β－1－cos αcos β＋sin αsin β2 ＝cos (α－β)－12≤0，∴p ≤q . 答案：p ≤q
9.3－sin70°2－cos 210°
＝________. 解析：原式＝3－sin70°
2－1＋cos20°2＝3－sin70°3－cos20°2＝2·3－sin70°
3－sin70°＝2.
答案：2
三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋1
2.
解：左边＝2tan α21＋tan 2α
2
＋11＋2tan α21＋tan 2α2＋1－tan 2α
21＋tan 2α2
＝tan 2
α2＋2tan α2＋1
1＋tan 2α2＋2tan α2＋1－tan 2α2
＝(tan α
2＋1)2
2tan α2＋2＝12(tan α
2＋1) ＝12tan α2＋1
2＝右边． ∴原等式成立．
11．已知tan2θ＝－22，π<2θ<2π，求2cos 2
θ
2－sin θ－1
2sin (θ＋π4)
的值．
解：∵tan2θ＝2tan θ1－tan 2
θ＝－2 2.π
2<θ<π， ∴tan θ＝－1＋1＋tan 22θtan2θ＝－2
2. ∴原式＝1＋cos θ－sin θ－12sin (θ＋π4)＝cos θ－sin θ2sin (θ＋π4)
＝2sin (π4－θ)2sin (π4＋θ)＝cos (π
4＋θ)sin (π
4＋θ)
＝cot(π
4＋θ)＝1－tan θ1＋tan θ
＝1＋2
21－22
＝3＋2 2.
12．若0<x <π4，求函数f (x )＝cos 2x
cos x sin x －sin 2x
的最小值．
解：0<x <π
4，
且f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1
－tan 2
x ＋tan x ＝
1
－(tan x －12)2＋14
.
∴当tan x ＝1
2时，f (x )min ＝4.。