和差公式二倍角公式及半角公式

三 角 函 数

1．两角和与差的三角函数

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

±±=。 2．二倍角公式

αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα

=-。 3.半角公式：

22cos 1sin 2αα-=,22cos 1cos 2αα+=，2sin 2cos 12αα=-，2cos 2cos 12αα=+

sin 2α

=cos 2α=

sin 1cos tan 21cos sin α

αααα-===+ 4．辅助角公式

|

()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，

sin cos ϕϕ==其中

5.积化和差公式：

()()[]βαβαβ-++=sin sin 21cos sin a , ()()[]βαβαβ--+=sin sin 2

1sin cos a ()()[]βαβαβ-++=

cos cos 21cos cos a , ()()[]βαβαβ--+-=cos cos 21sin sin a 6. 和差化积公式：

sin sin 2sin cos 22αβ

αβ

αβ+-+=, sin sin 2cos sin 22αβ

αβ

αβ+--=

cos cos 2cos

cos 22αβαβαβ+-+=, cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=- 例题：

例1． 已知α∈(

2π,π)，sin α=53,则tan(4

πα+)的值.

，

例2．sin163°sin223°+sin253°sin313°的值.

例2． 已知0cos cos 1

sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+。

￥

例3． 若的值求，x x x x x tan 1cos 22sin ,471217534cos 2-+<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ。

'

例5．已知正实数a,b 满足的值，求a b b a b a 158tan 5sin 5cos 5cos 5sin

ππππ

π=-+。

例6． 若sinA=

55,sinB=10

10,且A,B 均为钝角,求A+B 的值.

`

例7．在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 22C A +-cos2B=27,求角B 的度数.

:

例8． 求值：

140cos 40cos 2)40cos 21(40sin 2-︒+︒︒+︒

例9．)12sin 12(cos

ππ-(cos 12π＋sin 12π)的值。

例10．已知sin 2 2α＋sin 2α cos α－cos2α＝1，α∈(0，

2

π)，求sin α、tan α的值．

练习： 1．若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos2α=( )

A ．917

B ．

C ．

D ．317 2．000016cos 46cos 46sin 16sin +=（ ）

！ A.23 B.22 C.2

1 3.=⋅+α

αααcos2cos cos212sin22（ ） A. αtan B. αtan2 C. 1 D.

21 4.已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ） A. x sin 2 B. x sin 2- C. x cos 2 D. x cos 2- 5. 求=11

5cos 114cos 113cos 112cos

11cos πππππ

（ ） A. 521 B. 42

1 C. 1 D. 0 6．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724-

7．求值：0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________。

>

8．已知sin

cos 223

θθ+=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。

9．已知的值及求)cos()cos(31sin sin ,21cos cos y x y x ，y x y x +-=+=

+(13分)

10．已知,135)4sin(,40=-<