和差公式二倍角公式及半角公式
二倍角公式及半角公式
二倍角公式及半角公式中国传统的数学课本中，一般总会提到二倍角公式和半角公式，它们是研究三角形的重要形式。
本文的目的是通过讨论它们的概念、特点和使用情况，来简单介绍这两个概念，帮助读者更加深入地了解它们。
一、什么是二倍角公式二倍角公式也被称为展开角式，它指的是一个三角形的两个角之和等于180°，一般被写作a+b= 180°。
这是三角形的基本性质。
二倍角公式可用来计算出三角形未知变量时需要求解的其他角度。
例如，已知三角形的两个边长α和β，要求求取该三角形的另一个边角γ，则可以用展开角式求解：α++γ= 180°，所以可以解出γ=180°-α-β。
二、什么是半角公式半角公式也称展开弦式，是指三角形的两边之积等于其夹角的正弦值的平方之差，一般被写作ab=csin（A）sin（B）。
其中，a和b 是三角形的两边，而C则是夹角的正弦值。
例如，已知三角形的一边α和一个夹角的正弦值sinA，要求求取该三角形的另一边β，可以用展开弦式求出：αβ=csin（A）sin （B），得到β=csin（A）sin（B）÷α。
三、运用二倍角公式和半角公式二倍角公式和半角公式都可以用来求解三角形的各种变量和实际应用。
二倍角公式的主要用途是用来求解三角形未知变量的其他角度，在做几何学上求解时，可以用它来根据已知角加以求出未知角，从而能准确求出其他变量。
此外，它还可以用来检验三角形的正确性，即该三角形的两个角之和是否等于180°。
半角公式则可以用来计算三角形的一条边长，在求解时，可以用它来求出一边的长度，从而准确求出其他变量。
它也可以用来检验三角形的正确性，即该三角形的两边之积是否等于其夹角的正弦值的平方之差。
四、总结二倍角公式和半角公式是三角形的基本性质，可用它们求解三角形的各种变量和实际应用。
二倍角公式可用来求取三角形未知变量的其他角度，而半角公式则可以用来计算三角形的一条边长。
和差公式二倍角公式及半角公式
和差公式二倍角公式及半角公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1三 角 函 数1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
2．二倍角公式αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。
3.半角公式：22cos 1sin 2αα-=,22cos 1cos 2αα+=，2sin 2cos 12αα=-，2cos 2cos 12αα=+sin2α=cos 2α=sin 1cos tan21cos sin ααααα-===+4．辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中5.积化和差公式：()()[]βαβαβ-++=sin sin 21cos sin a , ()()[]βαβαβ--+=sin sin 21sin cos a ()()[]βαβαβ-++=cos cos 21cos cos a , ()()[]βαβαβ--+-=cos cos 21sin sin a 6. 和差化积公式：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=, sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=, cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-例题：例1． 已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)的值.例2．sin163°sin223°+sin253°sin313°的值.例2． 已知0cos cos 1sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+。
三角恒等变换——二倍角及半倍角、积化和差及和差化积(解析版)
专题2.20三角恒等变换——二倍角及半倍角、积化和差及和差化积重难点知识讲解一．同角三角函数间的基本关系【基础知识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）tan（α+β）＝．（6）tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin2α＝2sin_αcos_α；（2）cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）tan2α＝．【技巧方法】诱导公式记忆口诀：对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．二．两角和与差的三角函数【基础知识】（1）cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）tan（α+β）＝．（6）tan（α﹣β）＝．三．二倍角的三角函数【基础知识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．四．半角的三角函数【基础知识】半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．五．三角函数的积化和差公式【基础知识】三角函数的积化和差公式：（1）sinαsinβ＝[cos（α﹣β）﹣cos（α+β）]cosαcosβ＝[cos（α﹣β）+cos（α+β）]（2）sinαcosβ＝[sin（α+β）+sin（α﹣β）]cosαsinβ＝[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]（3）tanαtanβ＝tanαcotβ＝．六．三角函数的和差化积公式【基础知识】三角函数的和差化积公式：（1）sinα+sinβ＝2sin cossinα﹣sinβ＝2cos sin（2）cosα+cosβ＝2cos coscosα﹣cosβ＝﹣2sin sin（3）cosα+sinα＝sin （+α）＝cos （）cosα﹣sinα＝cos （+α）＝sin （﹣α）真题解析一．选择题（共10小题）1．（2020·榆树市第一高级中学校期末）已知(0,)απ∈，3cos()65πα+=，则sin α的值为（）A ．43-310B ．33-410C ．710D ．235【答案】A 【解析】由(0,)απ∈，3cos()65πα+=得in(4s 65πα+=所以sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4331433525210-=⨯-⨯=故选：A2．（2020·山东日照期末）角α的终边过点()43P ,-，则sin 2α=（）A ．1225-B ．1225C ．2425-D ．2425【答案】C 【解析】解：由三角函数的定义，得3sin 5α=，4cos 5α=-，所以3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故选：C3．（2020·甘肃凉州武威十八中期末）已知函数31()2cos 222f x x x =-.则下列判断正确的是（）A ．关于直线4x π=对称B ．关于直线6x π=对称C ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】C 【解析】31()sin 2cos 222f x x x=-πsin(26x =-，因为(sin(2)sin 144632f ππππ=⨯-==≠±，所以A 不正确；因为1(sin(2)sin 166662f ππππ=⨯-==≠±，所以B 不正确；因为()sin(2)sin 0012126f πππ=⨯-==，所以C 正确；因为(sin(2)sin 103362f ππππ=⨯-==≠，所以D 不正确；故选：C.4．（2020·安徽宣城月考（文））已知tan tan m αβ=，cos()n αβ-=，则cos()αβ+=（）A ．2(1)1n m m -+B ．(1)1n m m -+C ．6(1)1n m m -+D ．(1)1n m m -+【答案】B 【解析】因为tan tan m αβ=，所以sin sin cos cos m αβαβ=，又cos()cos cos sin sin n αβαβαβ-=+=，所以cos cos 1nm αβ=+，sin sin 1mnm αβ=+，所以(1)cos()111n mn n m m m m αβ-+=-=+++.故选：B5．（2020·哈尔滨市第一中学校一模（理））若3tan 24α=-，则22sin 2cos 12sin ααα+=+（）A ．14-或14B ．34或14C ．34D ．14【答案】D 【解析】由二倍角的正切公式得22tan 3tan 21tan 4ααα==--，整理得23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或13-，所以，2222222sin cos cos 2tan 13sin cos 3tan 1sin 2cos 12sin αααααααααα++=+=+++.当tan 3α=时，原式223113314⨯+==⨯+；当1tan 3α=-时，原式21211341313⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭.综上所述，22sin 2cos 112sin 4ααα+=+.故选：D.6．（2020·邵阳市第二中学（文））已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（）A ．13B ．23C ．43D ．83【答案】C 【解析】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭Q ，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈，0ω> ，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C.7．（2020·上海杨浦复旦附中期末）已知2sin 23α=，则2sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．16B ．12C ．13D ．56【答案】D 【解析】由二倍角的降幂公式可得221cos 211sin 2523sin 42226παπαα⎛⎫-++⎪+⎛⎫⎝⎭+==== ⎪⎝⎭.故选：D.8．（2020·荣成市教育教学研究培训期中）设θ为第二象限角，若1tan()47θπ+=，则sin cos θθ+=（）A ．15-B ．15C ．75D ．75-【答案】A 【解析】tan 11tan()41tan 7θθθπ++==-,即()7tan 11tan θθ+=-可得：8tan 6θ=-，解得：3tan 4θ=-由22sin 3tan cos 4sin cos 1θθθθθ⎧==-⎪⎨⎪+=⎩可得：3sin 54cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以1sin cos 5θθ+=-.故选：A9．（2020·江西景德镇一中月考（文））已知tan 3θ=，则3cos 22πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】C 【解析】3cos 2cos 2sin 222ππθθθ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222sin cos 2tan 2sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθ===++，因为tan 3θ=，所以23233cos 22315πθ⨯⎛⎫+==⎪+⎝⎭，故选：C.10．（2020·全国）已知函数()()()()()2sin cos 02f x x x x ϕϕϕϕ=++++->的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【答案】C 【解析】因为()()()()2sin cos 2f x x x x ϕϕϕ=++++-()()()()()2112cos 12sin cos sin 2cos 22222x x x x x ϕϕϕϕϕ⎡⎤=+-+⨯++=+++⎣⎦sin 223x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭其图象关于原点对称，所以23k πϕπ+=，k ∈Z ，解得62k ππϕ=-+，由0ϕ>可得1k =时，ϕ取得最小值，最小值为3π.故选：C .二．填空题（共5小题）11．（2020·上海市行知中学期末）已知1tan 2α=，()5tan 2αβ-=，则tan β=_______【答案】89-【解析】1tan 2α=，()5tan 2αβ-=，因此，()()()15tan tan 822tan tan 151tan tan 9122ααββααβααβ---=--===-⎡⎤⎣⎦+-+⨯.故答案为：89-.12．（2020·河南新乡县一中期末）2cos802cos 501cos35cos 65cos55cos155︒︒︒︒︒︒-+=+______.【答案】2-【解析】原式()()2cos802cos 501cos80cos1002cos802sin 55cos 65cos55sin 65sin 5565sin 10︒-︒+︒-︒︒====-︒︒-︒︒︒-︒-︒.故答案为：2-．13．（2020·商丘市第一高级中学期末）函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.【答案】1【解析】由题意知：()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+=()()sin[]2sin cos x x ϕϕϕϕ++-+=()sin cos x ϕϕ++()cos sin x ϕϕ+-()2sin cos x ϕϕ+=()cos sin x ϕϕ+-()sin cos x ϕϕ+=()sin[]x ϕϕ+-=sin x ，即()sin f x x =，因为x R ∈，所以()f x 的最大值为1.14．（2020·江苏天宁常州高级中学）已知10,,cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫∈+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_________．【答案】429【解析】10,,cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫∈+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故5,336πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故sin 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，22cos 2cos 2sin 22sin cos 633233ππππππααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭9=.故答案为：9.15．（2020·江苏南通）已知()()sin 23sin 2a a ββ+=-，()tan αβ-=，则tan α的值是_____________.【答案】【解析】由()()sin 23sin 2αβαβ+=-得sin 2cos cos 2sin 3sin 2cos 3cos 2sin αβαβαβαβ+=-，则tan 22tan αβ=，所以21tan tan tan 221tan αβαα==-.而()232tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan 1tan 1tan αααβααβαααβαα----===-++⋅-.所以，()3tan tan ααβ=--=-tan α=.故答案为：.三．解析题（共5小题）16．（2020·甘肃城关兰州一中期末）已知函数()22sin 2xf x x =-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在[]0,2π内的所有零点.【答案】（1）2π；（2）0，23π，2π.【解析】解：（1）()()22sin 1cos 2sin 126x f x x x x x π⎛⎫=-=--=+- ⎪⎝⎭.221T ππ∴==，（2）令2sin 106x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即1sin 62x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴2,66x k k Z πππ+=+∈或52,66x k k Z πππ+=+∈.可得：函数()f x 在[]0,2π内的所有零点为：0，23π，2π.17．（2020·湖南省长沙县第九中学期末）已知函数2()cos cos )sin f x x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()f x m 有解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）π；（2）2m ≤.【解析】（1）22()cos cos sin 2cos 2f x x x x x x x=+-=+122cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期T=π.（2）由题意可知，不等式()f x m 有解，即()max m f x ≤，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故当262x ππ+=，即6x π=时()f x 取得最大值，且最大值26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.从而可得2m ≤.18．（2020·上海浦东新·华师大二附中期末）已知函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的图象如图所示，直线38x π=、78x π=是其两条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）已知()65f α=，且388ππα<<，求8f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）()2sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）7285f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．【解析】（1）因为直线38x π=、78x π=是其两条对称轴，所以732,2288T T Tππππω=-∴===，因为77()2sin()184f ππϕ=-∴+=-73+2()+2()424k k Z k k Z πππϕπϕπ∴+=∈∴=-∈224πππϕϕ-<<∴=Q ，所以()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）因为()65f α=，所以3sin 245πα⎛⎫-=⎪⎝⎭因为388ππα<<，所以0242ππα<-<∴4cos 245πα⎛⎫-=⎪⎝⎭2sin(2))cos(2)]844445f πππππαααα⎛⎫+=-+=-+-=⎪⎝⎭19．（2020·山东日照期末）已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈.（I ）求函数()f x 的最小正周期及在区间[0,2π上的最大值和最小值；（II ）若006(),[,]542f x x ππ=∈,求0cos2x 的值.【答案】函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为-100003cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 66666610x x x x ππππππ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【解析】（1）所以又所以由函数图像知.（2）解：由题意而所以所以所以=.20．（2020·湖北黄冈期末）已知函数()2sin cos f x x x =+.（1）求函数()f x 的值域；（2）当()0f x =时，求22sin sin 2cos 21x x x -+的值.【答案】（1）⎡⎣；（2）1-.【解析】（1）因为()()12sin cos tan 2f x x x x φφ=+=+=，，所以函数()f x 的值域为⎡⎣.（2）()2sin cos 0f x x x =+=，所以1tan 2x =-，所以2222sin 2sin sin tan 1sin 2cos 212sin cos 2sin cos sin 1tan x x x xx x x x x x x x====--++++.。
高考数文一轮总复习课件 两角和差及二倍角公式
解析： （2）正确.如 α ，β中有一个为 0，此式即可成立.
（3）错误.两角和的余弦公式为 cos（α ＋β）＝cos α cos β －sin α sin β两项中间应为“－”.
（4）正确.tan α ＋tan β＝tan（α ＋β） （1－tan α tan β）. ∵α ＋β＝45°，∴tan（α ＋β）＝1， ∴tan α ＋tan β＝1－tan α tan β.
基础梳理
１. 两角和与差的三角函数公式
S（α ±β） ：sin（α ±β）= sinαcosβ±cosαsinβ C（α ±β） ：cos（α ±β）＝ cosαcosβ∓sinαsinβ ； tanα ±tanβ T（α ±β） ：tan（α ±β）＝ 1∓tanα tanβ .
2. 二倍角公式
3sin 10° 规范解答： 原式＝2sin 50°＋sin 10°×1＋ × cos 10° cos 10°＋ 3sin 10° ＝2sin 50°＋sin 10°× × cos 10°
2sin 80°
2sin 80°（2 分）
最新考纲
§3.3 两角和、差及二倍角公式
1. 能用向量数量积推导出两角差的余弦公式． 2. 能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 3. 能利用两角和的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式
及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
最新考纲 基础梳理
第 三 节
自主测评 典例研析 特色栏目 备课优选
题型分类 ·典例研析
题型1 · 三角函数式的求值
例 1 求[２ｓｉｎ ５０°＋ｓｉｎ １０°×(１＋ ３ｔａｎ １ ０°)]× ２ｓｉｎ ２ ８０° 的值.
二倍角公式和半角公式
二倍角公式和半角公式二倍角公式和半角公式是解决三角函数中角度加倍和减半的重要工具。
在三角函数中，角度常常是以弧度或度数表示的，通过二倍角公式和半角公式，我们可以方便地将角度进行转化和计算。
二倍角公式是指将一个角的度数加倍所得到的新角的三角函数值与原角的三角函数值之间的关系。
对于任意角θ，二倍角公式可以用来计算sin2θ、cos2θ和tan2θ的值。
其中，sin2θ = 2sinθcosθ，cos2θ = cos^2θ - sin^2θ，tan2θ = 2tanθ / (1 - tan^2θ)。
举个例子，假设θ = 30°，根据二倍角公式可以得出sin60° = 2sin30°cos30° = 2 * 0.5 * √3/2 = √3/2。
同样地，我们可以利用二倍角公式计算cos2θ和tan2θ的值。
半角公式是指将一个角的度数减半所得到的新角的三角函数值与原角的三角函数值之间的关系。
对于任意角θ，半角公式可以用来计算sin(θ/2)、cos(θ/2)和tan(θ/2)的值。
其中，sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ)/2)，cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ)/2)，tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ)/(1 + cosθ))。
需要注意的是，半角公式中的正负号取决于角度的象限，可以根据具体问题进行判断。
举个例子，假设θ = 60°，根据半角公式可以得出sin30° = ±√((1 - cos60°)/2) = ±√((1 - 0.5)/2) = ±√(0.5/2) = ±√(1/8) = ±1/2√2。
同样地，我们可以利用半角公式计算cos(θ/2)和tan(θ/2)的值。
二倍角公式和半角公式在解决三角函数问题时非常有用。
和差倍半公式
2
2 sin
3 4
3 ta n
6
（2）求 最大值.
m ax
Ex：水渠横截面为等腰梯形，渠深为h，梯形面 积为S，为使水渠渗水量最小，应使两腰与下面 底边长之和最小，当腰与下底夹角 多大时， 水渠的渗水量最小，求此时的腰长。
co s co s 2 co s
2
co s sin
2
co s co s 2 sin sin sin 2 sin sin sin 2 co s
2
2
2
co s sin
2
2
2
s in 1 co s
1 cos sin
万能置换公式
2 ta n ta n 1 Hale Waihona Puke ta n22
2 ta n s in 1 ta n
2
2
1 ta n cos 1 ta n
2
2 2
2
2
2
作用：可用半角正切表示角的任意三角 比，起到减少变量的效果
2
升次角变半
2
降次：
sin
sin
2
.
1 co s 2 2
co s
2
1 co s 2
co s
2
.
1 sin 2
2
降次角变倍
, co s
半角公式
ta n
三角函数转换公式
三角函数转换公式1、诱导公式：sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα；sin(π/2-α) = cosα；cos(π/2-α) = sinα；sin(π/2+α) = cosα；cos(π/2+α) = -sinα；sin(π-α) = sinα；cos(π-α) = -cosα；sin(π+α) = -sinα；cos(π+α) = -cosα；tanA= sinA/cosA；tan（π/2＋α）＝－cotα；tan（π/2－α）＝cotα；tan（π－α）＝－tanα；tan（π＋α）＝tanα2、两角和差公式：sin(A±B) = sinAcos±BcosAsinBcos(A±B) = cosAcosB sinAsinBtan(A±B) = (tanA±tanB)/(1 tanAtanB)cot(A±B) = (cotAcotB 1)/(cotB±cotA)3、倍角公式sin2A=2s inA•cosAcos2A=cosA2-sinA2=1-2sinA2=2cosA2-1tan2A=2tanA/（1-tanA2）=2cotA/(cotA2-1)4、半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三考试科目：微积分．线性代数．概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分56％线性代数22%概率论与数理统计22％四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题选题8小题，每题4分，共32分填空题6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性复合函数．反函数．分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数．反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性．拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积．旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值．最大值和最小值二重积分的概念．基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标．极坐标）．了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径．收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散．收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域．5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解．．．及的麦克劳林（Maclaurin）展开式．六、常微分方程与差分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程．齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法．3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式．指数函数．正弦函数．余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法．7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆（Cramer）法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解考试要求1.会用克莱姆法则解线性方程组．2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型．正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用．3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布．4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布的概率密度为5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量及其分布考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量的函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．4．掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（Chebyshev）不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为2．了解产生变量、变量和变量的典型模式；了解标准正态分布、分布、分布和分布得上侧分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值．样本方差．样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计考试内容点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计法考试要求1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．。
倍角及半角公式
倍角及半角公式在三角函数中，倍角及半角公式是求解特定角的重要工具。
它们可以将一个角的角度加倍或减半，从而简化计算，提高效率。
本文将介绍倍角公式和半角公式的定义、推导以及应用。
一、倍角公式倍角公式是将一个角的角度加倍得到另一个角的角度的公式。
常用的倍角公式包括正弦倍角公式、余弦倍角公式和正切倍角公式。
1. 正弦倍角公式正弦倍角公式可以表达为：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中，θ为原角的角度。
这个公式可以通过将正弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用三角恒等式和倍角公式进行推导得到。
2. 余弦倍角公式余弦倍角公式可以表达为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ该公式也可以通过将余弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用三角恒等式和倍角公式进行推导得到。
3. 正切倍角公式tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan²θ)这个公式可以通过将正切函数展开为正弦和余弦的比值形式，然后利用倍角公式进行推导得到。
二、半角公式半角公式是将一个角的角度减半得到另一个角的角度的公式。
常用的半角公式包括正弦半角公式、余弦半角公式和正切半角公式。
1. 正弦半角公式正弦半角公式可以表达为：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]其中，θ为原角的角度。
根据正弦半角公式，我们可以通过已知一个角的正弦值来求解该角对应的半角。
2. 余弦半角公式余弦半角公式可以表达为：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]该公式可以通过将余弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用半角公式进行推导得到。
3. 正切半角公式tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]根据正切半角公式，我们可以通过已知一个角的正切值来求解该角对应的半角。
三、应用举例倍角及半角公式在实际问题中有广泛的应用。
例如，在三角函数的求值中，通过利用倍角公式可以将一个角的角度加倍，从而可以快速计算出正弦、余弦和正切值。
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三 角 函 数
1．两角和与差的三角函数
βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±=。
2．二倍角公式
αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα
=-。
3.半角公式：
22cos 1sin 2αα-=,22cos 1cos 2αα+=，2sin 2cos 12αα=-，2cos 2cos 12αα=+
sin 2α
=cos 2α=
sin 1cos tan 21cos sin α
αααα-===+ 4．辅助角公式
|
()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，
sin cos ϕϕ==其中
5.积化和差公式：
()()[]βαβαβ-++=sin sin 21cos sin a , ()()[]βαβαβ--+=sin sin 2
1sin cos a ()()[]βαβαβ-++=
cos cos 21cos cos a , ()()[]βαβαβ--+-=cos cos 21sin sin a 6. 和差化积公式：
sin sin 2sin cos 22αβ
αβ
αβ+-+=, sin sin 2cos sin 22αβ
αβ
αβ+--=
cos cos 2cos
cos 22αβαβαβ+-+=, cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=- 例题：
例1． 已知α∈(
2π,π)，sin α=53,则tan(4
πα+)的值.
，
例2．sin163°sin223°+sin253°sin313°的值.
例2． 已知0cos cos 1
sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+。
￥
例3． 若的值求，x x x x x tan 1cos 22sin ,471217534cos 2-+<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ。
'
例5．已知正实数a,b 满足的值，求a b b a b a 158tan 5sin 5cos 5cos 5sin
ππππ
π=-+。
例6． 若sinA=
55,sinB=10
10,且A,B 均为钝角,求A+B 的值.
`
例7．在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 22C A +-cos2B=27,求角B 的度数.
:
例8． 求值：
140cos 40cos 2)40cos 21(40sin 2-︒+︒︒+︒
例9．)12sin 12(cos
ππ-(cos 12π＋sin 12π)的值。
例10．已知sin 2 2α＋sin 2α cos α－cos2α＝1，α∈(0，
2
π)，求sin α、tan α的值．
练习： 1．若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos2α=( )
A ．917
B ．
C ．
D ．317 2．000016cos 46cos 46sin 16sin +=（ ）
！ A.23 B.22 C.2
1 3.=⋅+α
αααcos2cos cos212sin22（ ） A. αtan B. αtan2 C. 1 D.
21 4.已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ） A. x sin 2 B. x sin 2- C. x cos 2 D. x cos 2- 5. 求=11
5cos 114cos 113cos 112cos
11cos πππππ
（ ） A. 521 B. 42
1 C. 1 D. 0 6．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724-
7．求值：0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________。
>
8．已知sin
cos 223
θθ+=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。
9．已知的值及求)cos()cos(31sin sin ,21cos cos y x y x ，y x y x +-=+=
+(13分)
10．已知,135)4sin(,40=-<<x x ππ求)4cos(2cos x x +π的值。