倍角公式和半角公式一
最全的三角函数公式
最全的三角函数公式三角函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于几何、物理和工程等领域。
在本文中，我将为您介绍最全的三角函数公式，包括基本公式、倒数公式、和角公式、和差公式、倍角公式、半角公式、和积公式、和商公式以及其他一些特殊的三角函数公式。
一、基本公式1. 正弦公式：sinθ = 对边/斜边2. 余弦公式：cosθ = 邻边/斜边3. 正切公式：tanθ = 对边/邻边二、倒数公式1. 余切公式：cotθ = 邻边/对边2. cosec公式：cscθ = 1/sinθ3. sec公式：secθ = 1/cosθ三、和角公式1. 正弦和：sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ2. 余弦和：cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ3. 正切和：tan(α+β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ)四、差角公式1. 正弦差：sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ2. 余弦差：cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ3. 正切差：tan(α-β) = (tanα - tanβ)/(1 + tanαtanβ)五、倍角公式1. 正弦倍角：sin2θ = 2sinθcosθ2. 余弦倍角：cos2θ = cos²θ - sin²θ3. 正切倍角：tan2θ = 2tanθ/(1 - tan²θ)六、半角公式1. 正弦半角：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]2. 余弦半角：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]3. 正切半角：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] （其中分母不等于0）七、和积公式1. 正弦和积：sin(α+β) = 2sin(α/2)cos(β/2)2. 余弦和积：cos(α+β) = 2cos(α/2)cos(β/2)3. 正切和积：tan(α+β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ)八、和商公式1. 正弦和商：sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ/cosαcosβ - sinαsinβ2. 余弦和商：cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ/cosαcosβ + sinαsinβ3. 正切和商：tan(α+β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ)九、其他特殊公式1. 倍角余弦1：cos2θ = 1 - 2sin²θ2. 倍角余弦2：cos²θ = （1 + cos2θ）/23. 倍角正弦：sin2θ = 2sinθcosθ4. 差角正切：tan(α-β) = (tanα - tanβ)/(1 + tanαtanβ)这些三角函数公式是三角学中最基本且最重要的公式。
倍角公式与半角公式复习
倍角公式与半角公式复习倍角公式和半角公式是三角函数中的重要公式之一，可以用来求解角的倍数关系和角的半数关系。
下面将详细介绍倍角公式和半角公式，并给出一些例题进行练习。
一、倍角公式倍角公式是用来计算角的倍数关系的公式，根据三角函数的性质，可以推导出如下三个倍角公式：1.正弦倍角公式sin(2θ) = 2sinθcosθ2.余弦倍角公式cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ3.正切倍角公式tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan²θ)二、半角公式半角公式是用来计算角的半数关系的公式，根据三角函数的性质，可以推导出如下三个半角公式：1.正弦半角公式sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]，取决于θ的正负性。
2.余弦半角公式cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]，取决于θ的正负性。
3.正切半角公式tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]，取决于θ的正负性。
以上公式都可以通过使用三角函数的定义，以及用倍角公式和半角公式递归求解推导得到。
接下来，我们通过一些例题进行练习。
例题1：已知sinθ = 3/5，求cos2θ。
解：根据已知，我们可以得到cosθ = √(1 - sin²θ) = √(1 -9/25) = 4/5利用余弦倍角公式，可以计算cos2θ = cos²θ - sin²θ = (4/5)² - (3/5)² = 16/25 - 9/25 = 7/25例题2：已知sin(θ/2) = 2/3，且θ ∈ [0, π/2]，求sinθ。
解：根据已知，我们可以得到cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] =±√[(1 + (√(1 - sin²θ)))/2] = ±√[(1 + (√(1 - 4/9)))/2] =±√(5/9)。
倍角公式与半角公式
7.已知函数f ( x) 2sin x( 3 cos x sin x) 1, 是推断是否存在常数 （0， ），使函数 2 f ( x )为偶函数？若存在，求出的值；若 不存在，请说明理由。
4 4
5.已知函数f ( x) 2 cos x(sin x cos x). 5 (1)求f ( )的值； 4 (2)求函数f ( x)的最小正周期及单调增区间。 x x 1 2 x 6.求函数f ( x) cos sin cos 2 2 2 2 (1)求f ( x)的最小正周期和值域。 3 2 (2)若f ( x) , 求 sin 2的值； 10
2
cos
2
2
Hale Waihona Puke cos23
cos
2
n 1
2.证明： （ 1） sin 3 3sin 4sin ;
3
(2) cos 3 4 cos 3cos
3
3、化简： tan(45 ) sin cos （1） ; 2 2 2 1 tan (45 ) cos sin
和差化积： sin sin 2sin
2 2 sin sin 2 cos sin ; 2 2 cos cos 2 cos cos ; 2 2 cos cos 2sin sin ; 2 2
cos
;
1、计算 (1)cos72 cos 36 ; 1 3 (2) ; sin 50 cos 50 tan 22.5 (3) 2 1 tan 22.5 (4) sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 (5) cos cos
倍角公式和半角公式-中档难度-讲义
倍角公式和半角公式知识讲解一、倍角公式sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=- 3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-；323tan tan tan 313tan αααα-=- 二、半角公式1cos sin22αα-=±；1cos cos 22αα+=±； 1cos 1cos sin tan21cos sin 1cos ααααααα--=±==++ 三、万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；22tan2tan 1tan 2ααα=-四、公式的推导sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=- 再利用22sin cos 1αα+=，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-sin 2tan2cos2ααα===sin 2sinsin1cos 222tan2sin cos 2sin cos 222ααααααααα-=== sin 2cossinsin 222tan21cos cos2cos cos222ααααααααα===+ 【说明】这里没有考虑cossin22αα==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出来单独讨论一下．五、综合运用1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用1）并项功能： 2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=± 2）升次功能 ： 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 3）降次功能： 221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-== 2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452︒︒=︒-︒=︒-︒=, ()()22αααββαββ=-+=+-=⋅()()()()ππ2()()44ααβαβαββααα=++-=+--=+--()()222βαβαβαααβα⎛⎫-=-+=-=-- ⎪⎝⎭ππππππ244362αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3ππ2ππ5ππ443366αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2）函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：2222ππππ1sin cos sec tan sintan 2sin 2464αααα=+=-===； 4）幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法 常用的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-=但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理，比如221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用， 例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±⋅⋅m ； 6）辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式() sin cos y a b αααϕ=++的应用，其中tan b aϕ=，ϕ所在的象限由,a b 的符号确定．典型例题一．选择题（共8小题）1．（2017•南充模拟）函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【解答】解：y=sin2x+cos2x﹣sin2x=﹣sin（2x﹣），由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，则x∈[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），即函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），故选：A．2．（2017春•韶关期末）设α是第二象限角，且，则tan2α=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴sin2α=1﹣cos2α=．又∵α是第二象限角，得sinα＞0，∴sinα=，由此可得tanα=﹣，因此tan2α==．故选：D．3．（2016春•天台县月考）若f（cosx）=cos2x，则f（1）=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：f（cosx）=cos2x=2cos2x﹣1，令cosx=1，得到f（1）=2﹣1=1；故选：A．4．（2016•诸暨市模拟）已知θ为钝角，且sinθ+cosθ=，则tan2θ=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：法一：∵sinθ+cosθ=①，θ为钝角，∴两边平方可得：1+2sinθcosθ=，可得：2sinθcosθ=﹣，∵由θ∈（，π），得到sinθ﹣cosθ＞0，可得：sinθ﹣cosθ===，②∴由①+②可得：sinθ=，由①﹣②可得：cosθ=﹣，∴tanθ==﹣，∴tan2θ==．法二：∵θ为钝角，可得：sinθ＞0，cosθ＜0，又sinθ+cosθ=＞0，可得：θ∈（，），可得：2θ∈（π，），可得：tan2θ＞0，再由sinθ+cosθ=，∴两边平方可得：1+2sinθcosθ=，可得：sin2θ=﹣，∴tan2θ=．故选：B．5．（2015秋•潮州期末）已知，则=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：∵，∴=．故选：C．6．（2016•湖北模拟）若α∈（0，π），且sinα+2cosα=2，则tan等于（）A．3 B．2 C．D．【解答】解：∵α∈（0，π），∴∈（0，），设tan=x，x＞0，∵sinα==，cosα==，∴sinα+2cosα=+2•==2，即x+1﹣x2=1+x2，即x（2x﹣1）=0，解得x=故选：C．7．（2013秋•吉安期末）已知θ为第二象限角，25sin2θ+sinθ﹣24=0，则sin的值为（）A． B． C．D．【解答】解：∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，则2kπ＜θ＜2kπ+π，k∈Z，则kπ＜＜kπ+，k∈Z，当k是偶数，设k=2n，则2nπ＜＜2nπ+，n∈Z，此时为第一象限，当k是奇数，设k=2n+1，则2nπ+π＜＜2nπ+，n∈Z，此时为第三象限，则为第一或第三象限，∵25sin2θ+sinθ﹣24=0，∴sinθ=﹣1（舍去）或，∴cos，∴sin==±=，故选：D．8．（2012春•锦州期末）已知sinα=，＜α＜π，则tan的值为（）A． B．﹣2 C．2 D．【解答】解：∵已知sinα=，＜α＜π，∴＜＜，且cosα=﹣．再由二倍角公式可得2﹣1=﹣，求得cos=，∴sin=，则tan==2，故选：C．二．填空题（共8小题）9．（2018春•杨浦区校级月考）已知cos（α+）=，≤α≤，则cos（2α+）=﹣．【解答】解：∵≤α≤，cos（α+）=＞0，∴＜α+≤，∴sin（α+）=﹣=﹣，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）﹣cos（α+）=﹣，cosα=﹣=﹣，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，sin2α=2sinαcosα=，则cos（2α+）=cos2α﹣sin2α=﹣．故答案为：﹣10．（2018春•小店区校级期中）已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx，，则f（x）的单调递增区间为（或）．【解答】解：f（x）=cos2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x+）+，∵，可得：2x+∈（，），∴当2x+∈（，]或∈（，）时，即x∈或时，f（x）单调递增．∴f（x）的单调递增区间为（或）．故答案为：（或）．11．（2018春•福田区校级期中）已知α为第二象限角，sinα+cosα=，则cos2α=﹣．【解答】解：∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=﹣×=﹣．故答案为：﹣．12．（2018春•海州区校级月考）求cos cos cos cos cos=．【解答】解：cos cos cos cos cos=﹣cos cos cos cos cos== ===，故答案为：．13．（2016春•云南校级月考）已知sinα=，且α为锐角，则cos=．【解答】解：∵sinα=，且α为锐角，∴，∴1＞，∴=，=1，解得cos=．故答案为：．14．（2016春•陕县校级月考）已知cosα=﹣，α∈（π，），则sin=．【解答】解：∵α∈（π，），∴∈（，），∴sin＞0．∵cosα=1﹣2sin2=﹣，∴sin=．故答案是：．15．（2016春•浦东新区校级期中）已知，α在第二象限，则=3．【解答】解：∵已知，α在第二象限，∴cosα=﹣=﹣，∴===3，故答案为：3．16．（2014•新余二模）若tanα+=，α∈（，），则sin（2α+）的值为．【解答】解：∵tanα+=，∴=，∴，∴sin2α=，∵α∈（，），∴cos2α=﹣，∴sin（2α+）=sin2αcos+cos2αsin=．故答案为：．三．解答题（共8小题）17．（2018春•沙市区校级期中）已知tanα，tanβ是方程x2+p（x+1）+1=0的两根，α+β∈（0，π）（1）求α+β；（2）若，求sinθ．【解答】解：（1）由题可得，tanα+tanβ=﹣p，tanα•tanβ=p+1，∴．因为α+β∈（0，π），所以．（2）由题意可得，，得，∴sinθ=sin[（）+]=sin（）cos+cos（θ﹣）sin=•+•=．18．（2018•临川区校级模拟）已知函数f（x）=cos2（x+），g（x）=1+sin2x．（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（2x0）的值；（2）求函数h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，]的值域．【解答】解：（1）f（x）=cos2（x+）=，∵x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，∴2x0+=kπ（k∈Z），∴2x0=kπ﹣（k∈Z），∴g（2x0）=1+sin4x0=1+sin（﹣）=．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=+1+sin2x=+（cos2x+sin2x）=+sin（2x+），∴x∈[0，]⇒2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[]，∴h（x）=+sin（2x+）∈[，2]．19．（2017秋•湛江月考）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，，求cos2α的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+cos2x，∴f（）=sin+cos=1+0=1．（Ⅱ）∵f（）=sinα+cosα=，∴1+sin2α=，sin2α=﹣，∴cos2α=±．∵α∈（0，π），sin2α=﹣，∴2α∈（π，π），∴cos2α＜0，故cos2α=﹣．20．（2017春•如东县校级期中）由倍角公式cos2x=2cos2x﹣1，可知cos2x可以表示为仅含cosx的二次多项式．（1）类比cos2x公式的推导方法，试用仅含有cosx的多项式表示cos3x；（2）已知3×18°=90°﹣2×18°，试结合第（1）问的结论，求出sin18°的值．【解答】解：（1）cos2x═cos（2x+x）=cos2xcosx﹣sin2xsinx=（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx=2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx=4cos3x﹣3cosx，（2）因为cos（3×18°）=cos（90°﹣2×18°），所以4cos318°﹣3cos18°=2sin18°cos18°，所以4cos218°﹣3=2sin18°，所以4sin218°+2sin18°﹣1=0，解得sin18°=（舍去）．21．（2015•安徽模拟）已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，﹣sinx），且f （x）=2•+2．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并求出此时的x的取值；（Ⅱ）函数f（x）图象与y轴的交点、y轴右侧第一个最低点、与x轴的第二个交点分别记为P，Q，R，求•的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2•+2=2sinxcosx，﹣2sinx•sinx+2=sin2x+2•=2sin（2x+）+1，故当2x+=2kπ+，k∈z时，即x=kπ+（k∈z）时，f（x）取得最大值为3．（Ⅱ）由f（0）=2，知P（0，2）．由2x+=2kπ+，得x=kπ+（k∈z），此时f（x）=﹣1，则Q（，﹣1）．而由2x+=2kπ﹣，得x=kπ﹣（k∈z），故R（，0），从而=（﹣，3），=（，1），因此=﹣+3×1=3﹣．22．（2014•湖北校级二模）已知函数f（x）=2sinx•cos2+cosx•sinθ﹣sinx（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．（1）求θ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【解答】解：（1）∵当x=π时，f（x）取得最小值∴sin（π+θ）=﹣1即sinθ=1又∵0＜θ＜π，∴（2）由（1）知f（x）=cosx∵，且A为△ABC的内角∴由正弦定理得知或当时，，当时，综上所述，或23．（2010春•闸北区期末）已知，请用m分别表示tanθ、tan2θ、．．【解答】解：由题意，…（3分）…（3分）…（3分）用万能公式求对同样给分．24．（2006•江西）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）求的值；（2）若a=2，，求b的值．【解答】解：（1）因为锐角△ABC中，A+B+C=π，，所以cosA=，则=（2），则bc=3．将a=2，cosA=，c=代入余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA中得b4﹣6b2+9=0解得b=。
高中数学三角函数公式
高中数学三角函数公式高中数学中的三角函数公式包括基本三角函数的定义和性质，以及一些常见的三角函数的和差角公式、倍角公式、半角公式等。
本文将详细介绍这些公式。
一、基本三角函数的定义和性质:1. 正弦函数(sine function): 在一个任意角A对应的单位圆上，从原点出发，到达终点的弦与x轴正半轴之间的角的正弦称为角A的正弦。
用sin(A)表示。
2. 余弦函数(cosine function): 在一个任意角A对应的单位圆上，从原点出发，到达终点的弦与x轴正半轴之间的角的余弦称为角A的余弦。
用cos(A)表示。
3. 正切函数(tangent function): 在一个任意角A对应的单位圆上，从原点出发，到达终点的弦与x轴正半轴之间的角的正切称为角A的正切。
用tan(A)表示。
这些基本三角函数在不同象限的定义和性质如下：- 在第一象限，sin(A)>0, cos(A)>0, tan(A)>0。
- 在第二象限，sin(A)>0, cos(A)<0, tan(A)>0。
- 在第三象限，sin(A)<0, cos(A)<0, tan(A)>0。
- 在第四象限，sin(A)<0, cos(A)>0, tan(A)>0。
二、三角函数的和差角公式:1.正弦函数的和差角公式:sin(A±B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)2.余弦函数的和差角公式:cos(A±B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)3.正切函数的和差角公式:tan(A±B) = (tan(A) ± tan(B)) / (1 ∓ tan(A)tan(B))三、三角函数的倍角公式:1.正弦函数的倍角公式:sin(2A) = 2sin(A)cos(A)2.余弦函数的倍角公式:cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A)3.正切函数的倍角公式:tan(2A) = (2tan(A)) / (1 - tan^2(A))四、三角函数的半角公式:1.正弦函数的半角公式:sin(A/2) = ±√((1 - cos(A))/2)2.余弦函数的半角公式:cos(A/2) = ±√((1 + cos(A))/2)3.正切函数的半角公式:tan(A/2) = ±√((1 - cos(A)) / (1 + cos(A)))其中正负号取决于角A的象限。
两角和与差倍角半角公式
两角和与差倍角半角公式一、两角和与差公式：两角和公式可以将两个角的三角函数之和表示为一个角的三角函数。
具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角和公式：1. 正弦和：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B2. 余弦和：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B3. 正切和：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)类似地，两角差公式可以将两个角的三角函数之差表示为一个角的三角函数。
具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角差公式：1. 正弦差：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B2. 余弦差：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B3. 正切差：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)这些公式的推导可以通过欧拉公式和三角函数的定义推导得到。
二、倍角公式：倍角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。
具体来说，对于任意角A，有以下倍角公式：1. 正弦倍角：sin(2A) = 2sin A cos A2. 余弦倍角：cos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A3. 正切倍角：tan(2A) = (2tan A) / (1 - tan^2 A)倍角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。
三、半角公式：半角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。
具体来说，对于任意角A，有以下半角公式：1. 正弦半角：sin(A/2) = ±√((1 - cos A) / 2)2. 余弦半角：cos(A/2) = ±√((1 + cos A) / 2)3. 正切半角：tan(A/2) = ±√((1 - cos A) / (1 + cos A))半角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。
倍角公式和半角公式1
倍角公式和半角公式1倍角公式和半角公式1倍角公式和半角公式是代数中常用的一组公式，用于求解角度的相关问题。
倍角公式用于在已知角度的情况下求解角度的两倍大小，而半角公式则用于在已知角度的情况下求解角度的一半大小。
这两个公式在几何学、三角学以及物理学中都有广泛的应用。
倍角公式是指将一个角度的两倍写成其他三个角度的函数形式。
对于任意角度θ，倍角公式可以用以下两种形式来表示：1.正弦倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)2.余弦倍角公式：cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)在实际应用中，正弦倍角公式和余弦倍角公式通常是成对使用的。
其中，正弦倍角公式是通过将2θ拆解成θ+θ并利用正弦函数的和角公式推导而得，而余弦倍角公式则是通过将2θ拆解成θ+θ并利用余弦函数的和角公式推导而得。
半角公式是指将一个角度的一半写成其他两个角度的函数形式。
对于任意角度θ，半角公式可以用以下两种形式来表示：sin(θ/2) = ±√[(1 - cos(θ))/2]cos(θ/2) = ±√[(1 + cos(θ))/2]半角公式同样可以成对使用，分别应用于正弦函数和余弦函数。
这两个公式可以通过将θ拆解成2(θ/2)并利用正弦函数和余弦函数的倍角公式推导而得。
举例来说，假设我们需要求解sin(150°) 的值。
根据正弦半角公式，sin(150°) 可以写成sin(75°/2) 的形式。
再根据正弦半角公式，sin(75°/2) 可以表示为±√[(1 - cos(75°))/2]。
我们可以使用三角函数表或计算器来查找cos(75°) 的值，然后代入公式计算sin(75°/2) 的值。
再举一个例子，假设我们需要证明sin(3θ) = 3sin(θ) -4sin³(θ) 的恒等式。
三角函数的倍角公式与半角公式
三角函数的倍角公式与半角公式在学习三角函数的过程中，倍角公式和半角公式是非常重要的推导与应用。
它们能够使我们简化复杂的三角函数运算，并且在解决问题时提供更加灵活和便捷的方法。
本文将详细介绍三角函数的倍角公式和半角公式，并探讨它们的应用。
一、三角函数的倍角公式1. 正弦函数的倍角公式对于一个角θ，正弦函数的倍角公式可以表示为：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式告诉我们，当我们需要求一个角的正弦函数的两倍时，可以通过将这个角的正弦函数与余弦函数相乘得到。
这在解决一些三角函数运算较为复杂的问题时非常有用。
2. 余弦函数的倍角公式同样地，余弦函数的倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式告诉我们，当我们需要求一个角的余弦函数的两倍时，可以通过将这个角的余弦函数的平方减去正弦函数的平方得到。
这个公式可以在求解一些三角函数的平方和差问题时提供便捷的方法。
3. 正切函数的倍角公式tan(2θ) = (2tanθ)/(1-tan²θ)这个公式给出了正切函数的两倍与原角度的正切函数之间的关系。
在一些复杂的三角函数问题中，这个公式能够帮助我们简化计算，得出更加精确的结果。
二、三角函数的半角公式1. 正弦函数的半角公式对于一个角θ，正弦函数的半角公式可以表示为：sin(θ/2) = √[(1 - cosθ)/2]这个公式告诉我们，当我们需要求一个角的半角的正弦函数时，可以通过将这个角的余弦函数与1的差再除以2开方得到。
这个公式在一些角的半角问题的解决中非常有用。
2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式可以表示为：cos(θ/2) = √[(1 + cosθ)/2]这个公式告诉我们，当我们需要求一个角的半角的余弦函数时，可以通过将这个角的余弦函数与1的和再除以2开方得到。
在一些复杂的三角函数问题中，这个公式能够提供简化计算的方法。
3. 正切函数的半角公式tan(θ/2) = sinθ/(1 + cosθ)这个公式给出了正切函数的半角与原角度的正弦函数和余弦函数之间的关系。
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倍角公式和半角公式一-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
倍角公式和半角公式一
目标认知：
学习目标：
1．能从两角和差公式导出二倍角的正弦，余弦，正切公式；
2．能运用倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出半角公式，积化和差，和差化积公式）；
3．体会换元思想，化归思想，方程思想等在三角恒等变换中的作用．
学习重点：
倍角公式及其变形．
学习难点：
倍半角公式变形及应用．
内容解析：
1．倍角公式
在和角公式中令=，即得二倍角公式：
；
；
．
注意：
（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三
角函数之间的互化问题．
（2）“倍角”的意义是相对的，不局限于与的形式．例如与，
与等，也为
引出半角作准备．
（3）二倍角公式的记忆可联想相应的和角公式．
（4）二倍角的正切公式成立的条件：．
（5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．
（6）公式的逆用及变形：．
2．半角公式
由倍角公式变形得到：
；；；
前两个公式在化简中多用于降次，而开方即得到半角公式：
；；；
其中正负号由的象限确定．
借助倍角公式还可得到另一个半角公式：，好处在
于可以不必考虑正负．
3．积化和差与和差化积（整理的方向，适当换元）
（1）积化和差：
（2）和差化积：
本周典型例题：
1．已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值．解析：∵∴
∴sin2a = 2sinacosa =
cos2a = tan2a =
2．已知，求．
解析：注意公式的选择，避开不必要的计算和讨论．
=．
3．求值：
（1）；（2）；
（3）；（4）；（5）cos20°cos40°cos80°；
解析：（1）=；
（2）＝；
（3）＝；
（4）＝；
（5）cos20°cos40°cos80° =
注意：关注（5）的结构特点．
4．化简：
（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）
（2）
（3）
（4）
5．已知：，求．
解析：
先关注角——已知中的两个角互为余角．则有：
，
．
6．证明
解析：左==右，
另解：右=左．7．已知函数．
（1）求的周期与单调区间；
（2）设，，求的值．
解析：倍角公式与辅助角公式相结合．
（1）整理化简
所以周期为，增区间，减区间
（2），进而所以
8．已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的值域．
解析：（1）
由
函数图象的对称轴方程为
（2）
因为在区间上单调递增，在区间
上单调递减，
所以当时，取最大值 1
又，当时，取最小值
所以函数在区间上的值域为
9．已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．解析：（Ⅰ）
．
的最小正周期．
当时，取得最小值；
当时，取得最大值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．
．
．
函数是偶函数．
参考答案：
DCB 2008
8．解：——降次∵∴。