倍角公式和半角公式-拔高难度-讲义
三角函数的倍角与半角公式
三角函数的倍角与半角公式三角函数的倍角公式和半角公式是在三角函数领域中常用的数学公式，它们能够将一个角的三角函数值表示成另外一个角的三角函数值的式子。
这些公式在解决三角函数的相关问题，特别是在解析几何、物理和工程等领域中起着至关重要的作用。
本文将详细介绍三角函数的倍角公式和半角公式，给出其推导过程和一些应用实例。
1. 倍角公式1.1 正弦函数倍角公式正弦函数倍角公式可以表示为：sin 2θ = 2sinθcosθ该公式表示的是，一个角的两倍角的正弦值等于这个角的正弦值与余弦值的乘积的两倍。
推导过程：根据三角函数的定义和和差公式，我们可以得到：sin(θ + θ) = sinθcosθ + cosθsinθ = 2sinθcosθ再将左边的sin(θ + θ)进行简化，即可得到sin 2θ = 2sinθcosθ。
1.2 余弦函数倍角公式余弦函数倍角公式可以表示为：cos 2θ = cos²θ - sin²θ也可以表示为：cos 2θ = 1 - 2sin²θ这两个公式表示的是，一个角的两倍角的余弦值等于这个角的余弦值的平方减去正弦值的平方。
推导过程：根据三角函数的定义和和差公式，我们可以得到：cos(θ + θ) = cos²θ - sin²θ再将左边的cos(θ + θ)进行简化，即可得到cos 2θ = cos²θ - sin²θ。
另外，根据正弦函数的平方加余弦函数的平方等于1的关系式，我们可以将cos²θ替换成1 - sin²θ，得到cos 2θ = 1 - 2sin²θ。
2. 半角公式2.1 正弦函数半角公式正弦函数半角公式可以表示为：sin (θ/2) = ±√((1-cosθ)/2)该公式表示的是，一个角的半角的正弦值等于这个角的余弦值减去1再除以2再开平方。
推导过程：根据三角函数的定义和和差公式，我们可以得到sin(θ/2) = sin(θ/2 + θ/2) = sinθcos(θ/2) + cosθsin(θ/2)。
倍角及半角公式
倍角及半角公式在三角函数中，倍角及半角公式是求解特定角的重要工具。
它们可以将一个角的角度加倍或减半，从而简化计算，提高效率。
本文将介绍倍角公式和半角公式的定义、推导以及应用。
一、倍角公式倍角公式是将一个角的角度加倍得到另一个角的角度的公式。
常用的倍角公式包括正弦倍角公式、余弦倍角公式和正切倍角公式。
1. 正弦倍角公式正弦倍角公式可以表达为：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中，θ为原角的角度。
这个公式可以通过将正弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用三角恒等式和倍角公式进行推导得到。
2. 余弦倍角公式余弦倍角公式可以表达为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ该公式也可以通过将余弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用三角恒等式和倍角公式进行推导得到。
3. 正切倍角公式tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan²θ)这个公式可以通过将正切函数展开为正弦和余弦的比值形式，然后利用倍角公式进行推导得到。
二、半角公式半角公式是将一个角的角度减半得到另一个角的角度的公式。
常用的半角公式包括正弦半角公式、余弦半角公式和正切半角公式。
1. 正弦半角公式正弦半角公式可以表达为：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]其中，θ为原角的角度。
根据正弦半角公式，我们可以通过已知一个角的正弦值来求解该角对应的半角。
2. 余弦半角公式余弦半角公式可以表达为：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]该公式可以通过将余弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用半角公式进行推导得到。
3. 正切半角公式tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]根据正切半角公式，我们可以通过已知一个角的正切值来求解该角对应的半角。
三、应用举例倍角及半角公式在实际问题中有广泛的应用。
例如，在三角函数的求值中，通过利用倍角公式可以将一个角的角度加倍，从而可以快速计算出正弦、余弦和正切值。
三角函数的倍角公式与半角公式
三角函数的倍角公式与半角公式三角函数是数学中的重要概念，用于描述角度与三角形之间的关系。
在三角函数的学习中，倍角公式与半角公式是非常重要的内容。
本文将详细介绍三角函数的倍角公式与半角公式，并探讨其应用。
一、倍角公式倍角公式是指将一个角的两倍表示成该角的函数的形式。
对于正弦函数、余弦函数和正切函数来说，它们都有各自的倍角公式。
1. 正弦函数的倍角公式正弦函数的倍角公式可以表示成以下形式：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中，θ为任意角度。
这个公式表明，将一个角的两倍的正弦函数，可以拆分为两个角的正弦函数的乘积。
2. 余弦函数的倍角公式余弦函数的倍角公式可以表示成以下形式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ也可以表示为：cos(2θ) = 2cos²θ - 1或者：cos(2θ) = 1 - 2sin²θ这个公式可以通过将cos(2θ)展开，得到余弦函数与正弦函数的关系。
3. 正切函数的倍角公式正切函数的倍角公式可以表示成以下形式：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)这个公式在解决一些复杂问题时，可以将一个角的两倍的正切函数，表示为原角的正切函数的比值。
二、半角公式半角公式是指将一个角的一半表示成该角的函数的形式。
对于正弦函数、余弦函数和正切函数来说，它们都有各自的半角公式。
1. 正弦函数的半角公式正弦函数的半角公式可以表示成以下形式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]其中的正负号取决于角度的范围，需要根据具体的情况来确定。
2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式可以表示成以下形式：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]同样地，正负号的选择需要根据具体的情况来确定。
3. 正切函数的半角公式正切函数的半角公式可以表示成以下形式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]正负号的选择同样需要根据具体的情况来确定。
2021版高中全程复习方略配套课件：倍角公式和半角公式
(2)∵cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= ①
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=
②
由①②解得cosαcosβ= ,sinαsinβ= ,
则
解得
答案：
【反思·感悟】三角函数式求值问题的注意点 (1)三角函数式求值时，一定要准确地应用公式和选择恰当的思 路，否则会使求值过程繁琐. (2)条件求值要求准确利用所给的条件，在此可能涉及到式子的 变形和角的变换，同时要注意所给角的范围.
得到以下失分警示和备考建议：
解答本题时有三点容易失分： (1)第(1)问中三角恒等变换中的诱导公式容易用错， 失 得不到化简后的正确结果. 分 警 (2)由α,β的和差的余弦值得不到2cosβcosα=0而导 示 致后续计算无法进行. (3)在第(2)问中得到2cosβcosα=0后忽略0<α<β≤ 得不到β的值，而无法继续往下做.
答案：
3.(2011·天津高考)已知函数 (1)求f(x)的定义域与最小正周期； (2)设α∈( )，若f( )=2cos2α,求α的大小.
【解析】(1)由
Байду номын сангаас
所以
所以f(x)的定义域为
f(x)的最小正周期为
(2)由
得
整理得
因为
所以sinα+cosα≠0,因此
即
由
得
所以
即
三角恒等式的证明 【方法点睛】三角恒等式证明的方法及切入点 (1)证明恒等式的方法： ①从左到右；②从右到左； ③从两边化到同一式子. 原则上是化繁为简，必要时也可用分析法.
(2)三角恒等式证明的切入点： ①看角：分析角的差异,消除差异,向结果中的角转化; ②看函数:统一函数,向结果中的函数转化.
三角函数的倍角公式与半角公式
三角函数的倍角公式与半角公式三角函数在数学中是一类重要的函数，它们在各种数学问题和实际应用中都发挥着重要的作用。
在三角函数的研究中，倍角公式和半角公式是两个常用的公式。
本文将重点论述三角函数的倍角公式与半角公式，旨在帮助读者更好地理解和应用这两个公式。
一、倍角公式1. 正弦函数的倍角公式正弦函数的倍角公式表达为：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中θ表示任意角度。
这个公式可以直接从正弦函数的和角公式推导得出，也可以通过三角函数的平方公式得到。
具体的推导过程在此不做赘述。
倍角公式的应用十分广泛，在解决各类三角函数问题时特别有用。
例如，在计算三角函数值时，如果给定的角度是一个已知角度的两倍，可以直接利用倍角公式来计算。
2. 余弦函数的倍角公式余弦函数的倍角公式为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式同样可以通过和角公式或平方公式推导得到。
倍角公式是解决三角函数问题的重要工具。
它们能够将多个三角函数的值联系起来，简化计算过程，提高解题效率。
二、半角公式半角公式是倍角公式的逆运算，它将一个角的值通过三角函数的值反推回去。
1. 正弦函数的半角公式正弦函数的半角公式为：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]其中±表示正负号的取值。
这个公式可以通过倍角公式进行推导。
具体的推导过程涉及到平方根的性质和三角函数之间的关系，需要进行一定的代数运算。
2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式为：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]同样地，±表示正负号的取值。
半角公式在解决三角函数问题时也有着广泛的应用。
如在一些特定条件下，给定一个角度的正弦或余弦函数值，可以通过半角公式求解出这个角度的值。
总结：通过本文的论述，我们了解到了三角函数的倍角公式与半角公式的定义与应用。
倍角公式可以将一个角度的三角函数值通过公式转化为其他角度的三角函数值，提供了一种快速计算的工具。
倍角公式和半角公式
半角公式利用某个角（如A）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数，来求某个角的半角（如A/2）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数的公式。
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=+或-[1-cosα）/（1+cosα）]开二次方倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式.现列出公式如下:sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用.号外:tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]其他一些公式·三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosαtan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)·半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)【本讲教育信息】一. 教学内容：3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式二. 教学目的1. 了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的内在联系；2. 掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、余弦、正切公式进行求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联系。
倍角和半角公式PPT课件
一、素称发达的官营手工业
1、官营手工业的特点
历史悠久、 素称发达
材料一：继发现我国最早的道路网、最早的宫城之后，在位 于河南省偃师市的二里头遗址内，考古工作人员又在宫城附 近发现了我国最早的官营手工业作坊区，其中的绿松石器制 造作坊是迄今东亚地区发现的唯一一处。
——浙江在线新闻网站
倍角、半角公式 及三角函数的 积化和差与和差化积
复习目标： 1.掌握倍角、半角公式，并能用这些公式 进行简单三角函数式的化简、求值和证明 恒等式。 2.了解积化和差，和差化积公式的推导过 程。初步运用公式进行和积互化。进行简 单的三角函数求值、化简、证明。
题型一：求三角函数值
问题：求非特殊角的三角函数值的基 本思路是什么呢？
答：将非特殊角化为特殊角，不 能化成特殊角的经过化简后抵消 或约分.
题型二：求角
合作探究：（5分钟） 要求：1.通过小组合作，达成共识，总结 应该注意的问题，准备展示与点评。
2.合作完成两个小问题。
合作探究：
1.如何解决给值求角问题？
答：转化为先求角的某个三角函数值， 再求出角。 2.求角时应注意的问题是什么？
布置作业：
请同学们根据自己的不同情况， 课后选择性的完成A案中的内容。
青州二中 王明华
新课标人教版课件系列
《高中历史》
必修2
第二课 古代手工业的进步
教学目 标
• 课标要求： • 1、知识目标：列举古代中国手工业发展的基本史
实，认识古代中国手工业发展的特征。
• 2、情感态度与价值观方面：
• 让学生认识在人类发展进程中，经济活动是人类 赖以生存和发展的基础，它与社会生活息息相关， 并在社会政治、文化的发展中起决定作用。了解 自古以来中外经济的发展和社会生活的变迁，以 及人类为发展社会经济、改善生活所做出的努力， 进一步加深对人类社会发展进程中经济和社会生 活领域的认识。
推导三角函数的倍角公式与半角公式
推导三角函数的倍角公式与半角公式三角函数是数学中重要的概念，它们在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
在三角函数的研究过程中，倍角公式和半角公式是两个常用的公式，它们能够帮助我们简化计算和推导过程。
本文将详细介绍如何推导三角函数的倍角公式与半角公式。
一、倍角公式的推导在推导三角函数的倍角公式之前，首先要了解一些基本的三角函数关系。
假设角A的正弦、余弦和正切分别为sinA、cosA和tanA。
那么，其倍角2A的正弦、余弦和正切如下：1. 正弦的倍角公式根据三角函数的定义，正弦函数的定义为：sinA = 对边/斜边。
则角2A的正弦可以表示为：sin2A = 对边/斜边我们可以通过画出一个以角A为顶点的直角三角形来推导sin2A的具体表达式。
根据图形，可以将角2A拆分为角A和角A的和，即2A=A+A。
通过使用三角函数的和差公式，可以得到sin2A的表达式：sin2A = 2sinAcosA这就是正弦的倍角公式。
2. 余弦的倍角公式根据三角函数的定义，余弦函数的定义为：cosA = 临边/斜边。
则角2A的余弦可以表示为：cos2A = 临边/斜边同样地，我们可以通过画出一个以角A为顶点的直角三角形来推导cos2A的具体表达式。
根据图形，可以将角2A拆分为角A和角A的和，即2A=A+A。
通过使用三角函数的和差公式，可以得到cos2A的表达式：cos2A = cos²A - sin²A这就是余弦的倍角公式。
3. 正切的倍角公式根据三角函数的定义，正切函数的定义为：tanA = 对边/临边。
则角2A的正切可以表示为：tan2A = 对边/临边同样地，我们可以通过画出一个以角A为顶点的直角三角形来推导tan2A的具体表达式。
根据图形，可以将角2A拆分为角A和角A的和，即2A=A+A。
通过使用正切的和差公式，可以得到tan2A的表达式：tan2A = (2tanA) / (1-tan²A)这就是正切的倍角公式。
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素材来源于网络，林老师编辑整理 素材来源于网络，林老师编辑整理 倍角公式和半角公式
知识讲解 一、倍角公式 sin22sincos；
2222cos2cossin12sin2cos1
22tantan21tan
3sin33sin4sin；3cos34cos3cos；
3
23tantantan313tan
二、半角公式
1cossin22；1coscos22；
1cos1cossintan21cossin1cos
三、万能公式
22tan2sin1tan2
；221tan2cos1tan2；
2
2tan2tan1tan2
四、公式的推导 sin2sin()sincoscossin2sincos 22cos2cos()coscossinsincossin
再利用22sincos1，可得：
2222cos2cossin2cos112sin
2
tantan2tantan2tan1tantan1tan
素材来源于网络，林老师编辑整理 素材来源于网络，林老师编辑整理 22sinsin
1cos22tan21coscoscos22
sin2sinsin1cos222tan2sincos2sincos222
sin2cossinsin222
tan21coscos2coscos222
【说明】这里没有考虑
cossin022，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出
来单独讨论一下． 五、综合运用 1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用 1）并项功能： 2221sin2sincos2sincos(sincos) 2）升次功能 ： 2222cos2cossin2cos112sin 3）降次功能： 221cos21cos2cos,sin22 2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有： 1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452,
22
ππ2()()44
222
ππππππ244362
π3ππ2ππ5ππ
443366
素材来源于网络，林老师编辑整理 素材来源于网络，林老师编辑整理 2）函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦
是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值， 例如：2222
ππππ
1sincossectansintan2sin2sin2464；
4）幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法 常用的降幂公式有：21cos2cos2，21cos2sin2但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理，比如221cos22cos,1cos22sin；
21sin2(sincos)；
5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用， 例如：tantantan()(1tantan)m； 6）辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式
22 sincossinyabab的应用，其中tanba，
所在的象限由,ab的符号
确定． 素材来源于网络，林老师编辑整理
素材来源于网络，林老师编辑整理 典型例题 一．填空题（共1小题） 1．（2012•北京模拟）如果函数y=cos2ωx﹣sin2ωx的最小正周期是4π，那么正数ω的值是 ． 【解答】解：因为函数y=cos2ωx﹣sin2ωx=cos2ωx，它的最小正周期是4π，所以，
解得ω=．
故答案为： 二．解答题（共12小题） 2．（2018春•晋江市校级期中）已知向量、是两个相互垂直的单位向量，向量=2﹣，=﹣+2． （1）求以及向量在向量方向上的投影； （2）设向量与的夹角为α，求tan2α； （3）若t∈R，求|﹣t|的最小值． 【解答】解：（1）分别以、的方向为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则=（2，﹣1），=（﹣1，2）， 所以•=﹣2﹣2=﹣4，||=||=， 故向量在向量方向上的投影 素材来源于网络，林老师编辑整理 素材来源于网络，林老师编辑整理 为||cos＜，＞==﹣； （2）cosα==﹣，
由α∈[0，π]，可得sinα==， 则tanα==﹣，
tan2α===﹣； （3）由（1）﹣t=（2+t，﹣1﹣2t）， |﹣t|2=（2+t）2+（﹣1﹣2t）2=5t2+8t+5
=5（t+）2+， 当t=﹣时，|﹣t|取得最小值． 素材来源于网络，林老师编辑整理 素材来源于网络，林老师编辑整理 3．（2018•辽宁模拟）已知函数f（x）=2cos2x+sin2x． （Ⅰ）求f（）的值； （Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2cos2x+sin2x，
f（）=2cos+sin2==﹣﹣﹣﹣（5分） （Ⅱ）f（x）
=2cos2x+sin2x=2cos2x+=， 所以f（x）的最大值为2，最小值为﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
4．（2017春•殷都区校级期末）已知函数f（x）=sin2（x+）﹣cos2x﹣（x∈R）． （1）求函数f（x）最小值和最小正周期；
（2）若A为锐角，且向量=（1，5）与向量=（1，f（﹣A））垂直，求cos2A． 素材来源于网络，林老师编辑整理
素材来源于网络，林老师编辑整理 【解答】解：（1）由题意得，f（x）=﹣﹣ =cos2x﹣1=， ∴函数f（x）最小值是﹣2，最小正周期T==π； （2）∵向量=（1，5）与向量=（1，f（﹣A））垂直，
∴1+5f（﹣A）=0，则1+5[]=0， ∴=＞0，
∵A为锐角，∴，则素材来源于网络，林老师编辑整理
素材来源于网络，林老师编辑整理 ， ∴==，
则cos2A=cos[（）﹣]=+ =×+=． 5．（2017•青羊区校级模拟）设a，b，c分别是△ABC三个内角∠A，∠B，∠C
的对边，若向量，，且． 素材来源于网络，林老师编辑整理
素材来源于网络，林老师编辑整理 （1）求tanA•tanB的值；
（2）求的最大值． 【解答】解：（1）由得，， 即4cos（A﹣B）=5cos（A+B），解得，． （2）因为=， 又
=
， 所以，tan（A+B）有最小值，当且仅当时，取得最小值． 素材来源于网络，林老师编辑整理
素材来源于网络，林老师编辑整理 又tanC=﹣tan（A+B），则tanC有最大值，故的最大值为． 6．（2015秋•硚口区期末）当α≠（2k+1）π，k∈Z时，等式恒成立，我们把这个恒等式叫“半角公式”． （1）证明上述半角公式；
（2）若α，β都是锐角，，试求的值． 【解答】解：（1）右边==左边，
（2）∵α，β都是锐角，⇒， ∵0＜α+β＜π⇒， ∴sinβ=sin（α+β﹣α）=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）
sinα=， ∴，