勾股定理-探索勾股定理

勾股定理-探索勾股定理
要点一、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222
a b c +=．
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长
可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()2
22c a b ab =+-．
补充：平方数
例1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．
（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；
（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．
例2．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的值可能有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
举一反三：
1.在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．
（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；
（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．
2．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )
A ．8
B ．4
C ．6
D ．无法计算 3.在Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是c b a ,,，若3=a ，4=b ，则 2c =
要点二、勾股数
满足222c b a =+的三个正整数，称为一组勾股数
常见的勾股数有：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17等
注：勾股数的任意正数倍仍然满足勾股定理
例1: 在下列数组①3，4，5；②4，5，6；③5，12，13；④6，8，10；⑤7，40，41；⑥8，
15，17；⑦10，24，26 中，勾股数组有：______________
要点三、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以．
例1、阅读下面的材料
勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．
由图1可以得到（a+b）2=4×，
整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．
所以a2+b2=c2．
如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：
由图2可以得到，
整理，得，
所以．
要点四、勾股定理的作用
1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边
例1．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，CD=12，BD=9．求AB与BC的长．
例2．如图，△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6C．8D．10
举一反三：
1．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=8，BC=5，DB=3．
（1）求DC的长；
（2）求AB的长．
2.如图，∠B=∠ACD=90°，BC=3，AD=13，CD=12，求AB的长
2.与勾股定理有关的面积计算
例1．我们已经知道，以直角三角形a，b，c为边，向外分别作正方形，那么S1+S2=S3．如图，如果以直角三角形三条边为直径向外作半圆，是否也存在S1+S2=S3？如果以三条边向外作等边三角形呢？
例2．求出下列各图中阴影部分的面积（单位：cm2）．
例
3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和．
变式练习：
1．如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且S1=30，S2=40，则S3等于（）
2.如图中字母A所代表的正方形的面积为（）
A．4 B．8 C．16 D．64
3.如图，带阴影的长方形面积是（）
A．9cm2B．24cm2 C．45cm2 D．51cm2
4．如图所示，三个正方形中两个的面积分别为S1=100，S
=64，则中间的正方形的面积S3为（）
2
A.36
B.60
C.24
D.48
5.如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S =8，S4=10，则S=（）
3
A.25
B.31
C.32
D.40
3.勾股定理在实际生活中的应用．
例
1.如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根1 2米处．大树在折断之前高多少？
例
2.台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，求旗杆在什么位置断裂的？
例3．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．
举一反三：
1.如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）．
2.如图，两根直立的竹竿相距6m，高分别为4m和7m．求两竹竿顶端间的距离AD．
3.一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，木杆折断以前有多少米？。