探索勾股定理1
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北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1课探索勾股定理课件
2. 如图，正方形ABCD的面积为25 cm2，△ABP为直角三角形， ∠APB=90°，且PB=3 cm，那么AP的长为( C )
A. 5 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 不能确定
3. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2= 32 ． 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和 为 49 cm2．
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理 第1课时
1. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另 外一条边也就随之 确定 ，三边之间存在着一种特定的 数量 关系.
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 勾 ，较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 .
3. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a， b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°. (1)若已知a，b，则c2= a2+b2 ； (2)若已知a，c，则b2= c2-a2 ； (3)若已知b，c，则a2=长分别为3和4,下列说法中正确的是（ C ）
A. 斜边长为25
B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为5
D. 三角形的面积为20
2. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ C ）
A. 3
B. 4
C. 9
D. 12
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，则△ABC的面积为84 ． 4. 如图，为了测得湖两岸点A和点B之间的距离，一个观测者在点C设桩， 使∠ABC＝90°，并测得AC＝20m，BC＝16m，则点A和点B之间的距离是 12 m.
1.1.1探索勾股定理 北师大版数学八年级上册
121.52 + 68.52 ≈ 139.72
售货员没有搞错.
课堂小结
内容
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾
股
定
理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，
字母表示
那么 a2 b2 c2
第一章 勾股定理
课程结束
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
C A
B
C Aa c
b B
（3）如果直角 三角形的两直角边 分别为 1.6 个单位 长度和 2.4 个单位 长度，上面所猜想 的数量关系还成立 吗？说明你的理由.
（每个小正方形的面积为单位 1）
1.6 2.4
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
方，这就是著名的“勾股定理”.
如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理(1)
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
复习回顾 三角形
定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次 相接组成的平面图形.
角 三角形的内角和是 180°.
边 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
直角 三角形
定义 有一个角是 90°的三角形是直角三角形.
角
直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余 的三角形是直角三角形.
边？
新课导入 我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形 的两边之和大于第三边.
对于一些特殊的三角形，是否还存在其他特殊的关 系？
新知探究
（1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量 它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的 关系. 与同伴进行交流.
B
左图
新北师大版八年级上册数学1.1探索勾股定理(1)课件
△ABC面积为2__4___,斜边为上的高为4_._8____.
A D
C
B
4．在△ABC中，∠C=90º, （1） 若a=5，b=12，则c=___1_3____； （2） 若a=15，c=25，则b=__2_0_____； （3） 若c=61，b=60，则a=___11_____； （4） 若a:b=3:4，c=10，则a=__6______，b=__8______； （5） 若a:c=3:5 ，b=8，则a=___6_____；
勾股定理在中国有着悠久的历史, “勾三,股四,弦五” 结论可以上溯到大禹治水时代(大约公元前21世纪),一般 勾股定理最晚到公元前6至7世纪己经明确并得到广泛的 应用.
勾股定理是数学中最重要的基本定理之一,20世纪80 代,科学界曾征集有史以来科学上的十大发现,结果数学只 有唯一的一条入选,它就是勾股定理.
5. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙 上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾
股定理，得 BC2+AC2=AB2
即 BC2+2.42 = 2.52
∴ BC=0.7.
C
B
6.在等腰三角形ABC中， AC=BC=5cm,AB=6cm,
求三角形ABC的面积
重要的 思想方 法及数 学思想
格？它们的面积各是多少？
4,4,8
C
A
（3）你能发现两图中三个
B
C 图1-1 A
正方形A，B，C的面积之 间有什么关系吗？
9,9,18； 4,4,8
B
图1-2
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
2.阅读课本P3做一做
1.1探索勾股定理(教案)
五、教学反思
今天在教授《1.1探索勾股定理》这一章节时，我发现学生们对勾股定理的概念和应用表现出很大的兴趣。在导入新课环节，通过提出与日常生活相关的问题，成功激发了学生的好奇心。然而，我也注意到在讲授过程中，部分学生对代数证明部分的理解存在困难。
在理论介绍环节，我尽量用简单明了的语言解释勾股定理，并通过案例分析让学生了解其在实际中的应用。不过，我意识到在讲解难点时，需要更多具体的例子和图形演示来帮助学生理解。今后，我可以在这一部分增加一些互动环节，如让学生自己动手画图，加深对定理的理解。
2.教学难点
（1）理解勾股定理的证明过程，尤其是代数证明部分。
（2）将勾股定理应用于解决实际问题，特别是需要将实际问题转化为数学模型的能力。
举例：
-在代数证明部分，学生可能对平方的概念理解不深，教师需要通过具体例子和图形演示，帮助学生理解平方的含义。
-在解决实际问题时，学生可能不知道如何将问题转化为直角三角形的模型。教师可以通过案例分析和示范，引导学生学会提取关键信息，建立数学模型。
3.培养学生的数学应用意识，将勾股定理应用于解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4.培养学生的合作意识和探究精神，鼓励学生在小组讨论、合作探究中发展团队协作能力和创新思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解并掌握勾股定理的表达式：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
今天在教授《1.1探索勾股定理》这一章节时，我发现学生们对勾股定理的概念和应用表现出很大的兴趣。在导入新课环节，通过提出与日常生活相关的问题，成功激发了学生的好奇心。然而，我也注意到在讲授过程中，部分学生对代数证明部分的理解存在困难。
在理论介绍环节，我尽量用简单明了的语言解释勾股定理，并通过案例分析让学生了解其在实际中的应用。不过，我意识到在讲解难点时，需要更多具体的例子和图形演示来帮助学生理解。今后，我可以在这一部分增加一些互动环节，如让学生自己动手画图，加深对定理的理解。
2.教学难点
（1）理解勾股定理的证明过程，尤其是代数证明部分。
（2）将勾股定理应用于解决实际问题，特别是需要将实际问题转化为数学模型的能力。
举例：
-在代数证明部分，学生可能对平方的概念理解不深，教师需要通过具体例子和图形演示，帮助学生理解平方的含义。
-在解决实际问题时，学生可能不知道如何将问题转化为直角三角形的模型。教师可以通过案例分析和示范，引导学生学会提取关键信息，建立数学模型。
3.培养学生的数学应用意识，将勾股定理应用于解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4.培养学生的合作意识和探究精神，鼓励学生在小组讨论、合作探究中发展团队协作能力和创新思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解并掌握勾股定理的表达式：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 探索勾股定理(第1课时)
答：斜边AB的长度为13厘米.
方法点拨：已知直角三角形的两边求第三边,关键是 先明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理.
巩固练习
变式训练
求下列图形中未知边的长度：
解：由勾股定理得： 62+x2=102 ,
所以x2=64, 所以x=8.
探究新知
素养考点 2 利用勾股定理求面积问题
1.寻求图形面积之间的关系
探究新知
素养考点 1 利用勾股定理求直角三角形的边长
例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米,AC=12厘米,
求斜边AB的长度.
A
b
c
解：在Rt△ABC中根据勾股定理, AC²+BC²=AB²， AC=12，BC=5
所以12²+5²=AB²，
C aB
所以AB²=12²+5²=169， 所以AB=13厘米.
12AB×CD.
所以CD=
15 2.
C
4
B
课堂检测
能力提升题
如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为
S1、S2、S3,则S1、S2、S3的关系是（ A）
A. S1+S2=S3 B. S12+S22=S32 C. S1+S2>S3 D. S1+S2<S3
课堂检测
拓广探索题
如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三 角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第 2个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为 直角边，画第3个等腰Rt△ADE，…，依此类
a
b
c
a2,b2,c2之间关系
探究新知 问题1 你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系?
北师大版-数学-八年级上册-第一章第1节探索勾股定理(1) 教案
北师大版八年级上第一章第1节探索勾股定理（1）教案教学目标：(一)教学知识点1. 经历用计算和数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
.2.掌握勾股定理的内容，能应用勾股定理解决简单的实际问题.(二)能力训练要求通过探索直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。
(三)情感与价值观通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；了解勾股勾股定理的历史，体会它的重大意义和文化价值教学重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
教学难点：勾股定理中数量关系的发现的发现课堂导入：我们生活的这个世界，蕴涵着无穷的秘密，人们不断去发现它，探索它，促使人类社会不断发展进步，可以说，人类不断发展的历史就是我们不断认识自然、发现自然规律的过程，其中有一些重要的发现对人类的历史进程产生了重大的影响。
我们今天所要研究的就是这样一个伟大的发现，无论是我国古代科技所代表的东方文明还是毕达哥拉斯学派所代表的西方文明，先后都发现了这个规律，有的科学家建议把这个规律作为地球人和外星文明交流的工具。
教学过程：1、知识准备谁能有办法得到下面几个格点图形的面积在网格图形中，简单的图形可以通过数格子的方法得到面积，复杂的图形总可以利用长方形和直角三角形的和或差得到面积。
1观察图1，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
正方形B中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
正方形C 中有_______个小方格，即A 的面积为______个单位。
1、 你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问：2、 图2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C 。
2、做一做出示投影提问：1、图3中，A,B,C 之间有什么关系？2、图4中，A,B,C 之间有什么关系?1、 从图1， 2， 3， 4中你发现什么？学生讨论、交流形成共识后，教师总结：以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。
2.6探索勾股定理(一)-
a b c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。 在西方又称毕达 哥拉斯定理！
勾 弦
股
读一读
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年 前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三 角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即 “勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学 著作《周髀算经》中。在这本书中的另一处，还记载了勾 股定理的一般形式。 1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥 板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三 边的数，其年代远在商高之前。 相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了 勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 定理。
b b
c
例1、已知△ABC中, ∠C= Rt∠,BC= a ,AC= b ,AB=c
(1)已知: a=1, b=2, 求 c;
(2)已知: a =15 , c =17, 求 b; 3 4 (3)已知: a = ,b= , 求 c; 5 5 (4)已知:c=34 , a : b = 8 : 15,求 a ,b.
C
B
议 一 议
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘 米）的电视机。小明量了电视机的屏 幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘 米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你能解释这是为什么吗？ 我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
2 2
2
46
58
74 5476 ∵ 58 46 5480 荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
心动
不如行动
2.6探索勾股定理（1）
合作学习
（1）作两个直角三角形，使其两直角边分 别是3厘米和4厘米,5厘米和12厘米, (2)分别测量两个直角三角形的斜边的长度。 （3）你能发现直角三角形三边长度之间存 在什么关系吗？
北师大版初中八年级数学上册第一章勾股定理1探索勾股定理第1课时认识勾股定理课件
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
第１课时 认识勾股定理
基础过关全练
知识点1 勾股定理
1.(易错题)下列说法正确的是 ( D ) A.若a,b,c是△ABC的三边长,则a2+b2=c2 B.若a,b,c是Rt△ABC的三边长,则a2+b2=c2 C.若a,b,c是Rt△ABC的三边长,∠A=90°,则a2+b2=c2 D.若a,b,c是Rt△ABC的三边长,∠A=90°,则c2+b2=a2
解析 (1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∴AC2=AB2-BC2=172-82=225,
∴AC=15,
1
1
∴S△ABC= 2 AC·BC=2 ×15×8=60.
(2)易知当D点运动到A点时,CD取得最大值,
∴CD的最大值为15.
根据垂线段最短可得,CD的最小值为斜边AB上的高h,
1
1
120
3.(2023广东梅州大埔期中)一直角三角形的两直角边长分别 是8和6,下列说法正确的是 ( D ) A.斜边长是24 B.三角形的周长是25 C.三角形的面积为48 D.斜边长是10 解析 ∵直角三角形的两直角边长分别是8和6, ∴斜边长的平方=62+82=102,∴斜边长=10. ∴该三角形的面积= 1 ×8×6=24,
解析 若△ABC不是直角三角形,则a2+b2=c2不成立,故选项A 错误;若c不是Rt△ABC的斜边长,则a2+b2=c2不成立,故选项B 错误;若a,b,c是Rt△ABC的三边长,∠A=90°,则c2+b2=a2,故选 项C错误,选项D正确.故选D. 易错警示 对勾股定理不理解,认为只有c才是斜边长.
2.(2024广东深圳红岭教育集团期中)如图,两个较大正方形 的面积分别为225、289,则字母A所代表的正方形的边长为
1 探索勾股定理
第１课时 认识勾股定理
基础过关全练
知识点1 勾股定理
1.(易错题)下列说法正确的是 ( D ) A.若a,b,c是△ABC的三边长,则a2+b2=c2 B.若a,b,c是Rt△ABC的三边长,则a2+b2=c2 C.若a,b,c是Rt△ABC的三边长,∠A=90°,则a2+b2=c2 D.若a,b,c是Rt△ABC的三边长,∠A=90°,则c2+b2=a2
解析 (1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∴AC2=AB2-BC2=172-82=225,
∴AC=15,
1
1
∴S△ABC= 2 AC·BC=2 ×15×8=60.
(2)易知当D点运动到A点时,CD取得最大值,
∴CD的最大值为15.
根据垂线段最短可得,CD的最小值为斜边AB上的高h,
1
1
120
3.(2023广东梅州大埔期中)一直角三角形的两直角边长分别 是8和6,下列说法正确的是 ( D ) A.斜边长是24 B.三角形的周长是25 C.三角形的面积为48 D.斜边长是10 解析 ∵直角三角形的两直角边长分别是8和6, ∴斜边长的平方=62+82=102,∴斜边长=10. ∴该三角形的面积= 1 ×8×6=24,
解析 若△ABC不是直角三角形,则a2+b2=c2不成立,故选项A 错误;若c不是Rt△ABC的斜边长,则a2+b2=c2不成立,故选项B 错误;若a,b,c是Rt△ABC的三边长,∠A=90°,则c2+b2=a2,故选 项C错误,选项D正确.故选D. 易错警示 对勾股定理不理解,认为只有c才是斜边长.
2.(2024广东深圳红岭教育集团期中)如图,两个较大正方形 的面积分别为225、289,则字母A所代表的正方形的边长为
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1 探索勾股定理（1）
看一看
C A
B
图1--1
C A
B
图1--2 （图中每个小方格代表一个单位面积）
（1）观察图1-1
正方形A中含有 个小方格，即A的面
积是 9 个单位面积； 正9方形B中含有
个小方格，即B的面 积是 个单位面积；
正9方形C中含有 个小方9格，即C的面
积是 个单位面积。
的系面吗正积？11方88之形间A，有B什，么C关
做
C
一
A
做
B
C
图1--3 A
B
图1--4
（1）观察图1-3，图1-4，并填写下表：
（2）三个正方
A的面积
（单位面积）
B的面积
（单位面 积）
C的面积
（单位面积）
形A，B，C的 面积之间有什
图1-3
16
9
25
么关系？
图1-4
4
9
13
议一议
（1）你能用三角形的边长表示正方形的 面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间 存在什么关系吗？与同伴进行交流。
（2）若告诉△ABC是直角三角形，第三边c也不一定 满足勾股定理，因为题目中并未交待c是斜边
综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得。
课后作业：
见作业本§1.1
课后探索
做一个长，宽，高分别为50厘米，40 厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米 的木棒能否放入，为什么？试用今天学 过的知识说明。
5 .在直角△ ABC中∠C＝Rt∠,a=5,c=13,则 △ABC的面积 S=_____________.
6. 在直角△ ABC中, ∠C=90°,c=20,b=15,则 a=__________.
1. 如图1.1-1,求图中字母M所代表的正方形的面积.
F
75
4D
45 M
A
3
E
B 12
C
图1.1-1
• 1881 年成为美国第 20 任总统
• 1876 年提出有关证明
想一想
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的 电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕 只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售 货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这 是为什么吗？
小 结：
1这节课你学到了什么知识？
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边
为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)
2 运用“勾股定理”应注意什么问题？ 3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？
练一练
1. 如图，根据以下数学情境，你可以提出多少个 数学问题？你能解决所提出的问题吗？
5 3
┓ x
2. 若正方形的面积为2cm2，则它的对角线长
做一做
分别以5厘米、12厘 米为直角三角形的直角 边做出一个直角三角形， 并测量斜边的长度.
前面得到的规律对这个三角形还成立吗？
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
cb
a
结论变形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
a2 + b2 = c2 a2 = c2 － b2 b2 = c2 － a2
cb
a
问题解决
问题情境
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火， 了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长 的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5 米,请问消防队员能否进入三楼灭火?
赵爽
东汉至三国时 代吴国人
为《周髀算经》 作注，并著有 《勾股圆方图 说》
是
.
3. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边
长分别为
.
4 .在△ ABC中, ∠C=90°, (1)若a=5,b=12,则c=__________. (2)若a=15,c=25,则b=__________. (3)若c=61,b=60,则a=_________. (4)若a:b=3:4,c=10,则a=________,b=________.
图1.1-2
2. 如图1.1-2,在四边形ABCD中, ∠ BAD=90°,
∠ CBD=90°,AD=4,AB=3,BC=12,求正方形DCEF
的面积.
辨析：△ABC的两边为3和4，求第三边
解：由于三角形的两边为3、4 所以它的第三边的c应满足c2=25 即：c=5 辨析：（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角 形这个必不可少的条件，可本题△ ABC并未说明它是否 是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。
幾何原本
• 欧几里得（Euclid of Alexandria; 约 325 B.C. 约 265 B.C.）
• 欧几里的的《几何原本》 是用公理方法建立演绎 数学体系的最早典范
• 《几何原本》第一卷的 第 47 命題也有对勾股定 理的证明。
美国总统的证明
• 加菲（James A. Garfield； 1831 1881）
看一看
C A
B
图1--1
C A
B
图1--2 （图中每个小方格代表一个单位面积）
（1）观察图1-1
正方形A中含有 个小方格，即A的面
积是 9 个单位面积； 正9方形B中含有
个小方格，即B的面 积是 个单位面积；
正9方形C中含有 个小方9格，即C的面
积是 个单位面积。
的系面吗正积？11方88之形间A，有B什，么C关
做
C
一
A
做
B
C
图1--3 A
B
图1--4
（1）观察图1-3，图1-4，并填写下表：
（2）三个正方
A的面积
（单位面积）
B的面积
（单位面 积）
C的面积
（单位面积）
形A，B，C的 面积之间有什
图1-3
16
9
25
么关系？
图1-4
4
9
13
议一议
（1）你能用三角形的边长表示正方形的 面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间 存在什么关系吗？与同伴进行交流。
（2）若告诉△ABC是直角三角形，第三边c也不一定 满足勾股定理，因为题目中并未交待c是斜边
综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得。
课后作业：
见作业本§1.1
课后探索
做一个长，宽，高分别为50厘米，40 厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米 的木棒能否放入，为什么？试用今天学 过的知识说明。
5 .在直角△ ABC中∠C＝Rt∠,a=5,c=13,则 △ABC的面积 S=_____________.
6. 在直角△ ABC中, ∠C=90°,c=20,b=15,则 a=__________.
1. 如图1.1-1,求图中字母M所代表的正方形的面积.
F
75
4D
45 M
A
3
E
B 12
C
图1.1-1
• 1881 年成为美国第 20 任总统
• 1876 年提出有关证明
想一想
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的 电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕 只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售 货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这 是为什么吗？
小 结：
1这节课你学到了什么知识？
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边
为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)
2 运用“勾股定理”应注意什么问题？ 3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？
练一练
1. 如图，根据以下数学情境，你可以提出多少个 数学问题？你能解决所提出的问题吗？
5 3
┓ x
2. 若正方形的面积为2cm2，则它的对角线长
做一做
分别以5厘米、12厘 米为直角三角形的直角 边做出一个直角三角形， 并测量斜边的长度.
前面得到的规律对这个三角形还成立吗？
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
cb
a
结论变形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
a2 + b2 = c2 a2 = c2 － b2 b2 = c2 － a2
cb
a
问题解决
问题情境
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火， 了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长 的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5 米,请问消防队员能否进入三楼灭火?
赵爽
东汉至三国时 代吴国人
为《周髀算经》 作注，并著有 《勾股圆方图 说》
是
.
3. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边
长分别为
.
4 .在△ ABC中, ∠C=90°, (1)若a=5,b=12,则c=__________. (2)若a=15,c=25,则b=__________. (3)若c=61,b=60,则a=_________. (4)若a:b=3:4,c=10,则a=________,b=________.
图1.1-2
2. 如图1.1-2,在四边形ABCD中, ∠ BAD=90°,
∠ CBD=90°,AD=4,AB=3,BC=12,求正方形DCEF
的面积.
辨析：△ABC的两边为3和4，求第三边
解：由于三角形的两边为3、4 所以它的第三边的c应满足c2=25 即：c=5 辨析：（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角 形这个必不可少的条件，可本题△ ABC并未说明它是否 是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。
幾何原本
• 欧几里得（Euclid of Alexandria; 约 325 B.C. 约 265 B.C.）
• 欧几里的的《几何原本》 是用公理方法建立演绎 数学体系的最早典范
• 《几何原本》第一卷的 第 47 命題也有对勾股定 理的证明。
美国总统的证明
• 加菲（James A. Garfield； 1831 1881）