1.1 探索勾股定理(1)
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1.1探索勾股定理第一课时
582 462 5480
∵ 742 5476
742 5476
荧屏对角线大约为74厘米 46厘米
∴售货员没搞错
58厘米
a 平方形式:
a2+b2=c2是勾股定理的基本表
Байду номын сангаас
达式,你可以写出那些它基本
的变化形式呢?把你的想法写
c
在草稿上,与同学交流一下.
a2+b2=c2
b
a2=c2-b2
b2=c2-a2
我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
∵ 582 462 5480 742 5476
荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米） 的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现 屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一 定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你 能解释这是为什么吗？
A
B
或AC2 AB2 BC2
勾
弦
股
三、简单应用
如图所示，一棵大树在一次强烈台 风中于离地面10米处折断倒下，树顶落 在离树根24米处. 大树在折断之前高多少 米？
B
C
A
P6
受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的 顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
4米
3米
问题解决4。书写
直角三角形
1.直角三角形记 Rt△ABC.
2.名称
3.角 4.边
角判定直角三角形
1.A B C
2.A B 1 C 45 , 45 ,90 , 2
3.A 1 B 1 C 30 ,60 ,90 ,
1-1探索勾股定理(1)
2 2
2
46
58
74 5476 ∵ 58 46 5480 荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
1、一个圆桶，底面直径为24厘米，高为32厘米，则 桶内所能容下的最长木棒是（ 40厘米 ） 2、等腰三角形的腰长为25，底为48，则它的 面积是（ 168 ）. 3、甲轮船以每小时16海里的速 度离开港口向东南方向航行，乙 O 轮船在同时同地向西南方向航行， 已知 他们离开港口一个半小时后 相距30海里，问乙轮船每小时航 B 行多少海里？ 12海里 A 4、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三 边长分别为 . 6、8、10
2.一天，小明买了一张底面是边长为260cm正 方形，厚30cm的床垫回家。到了家门口， 才发现门口只有242cm高，宽100cm。你认 为小明能拿进屋吗，为什么？
242
30
260
100
小结
由学生从以下方面进行总结：
1. 对自己本节课的学习情况进行评价。 2. 在探索问题过程中遇到挫折，你会怎么办？ 3.对于本节课你还有疑问的地方吗?
八年级数学（上册）
探索勾股定理
大望学校 钟锋声
探索勾股定理
如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于 离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根 12米处. 大树在折断之前高多少米？
在直角三角形中，任意两边确定了，另 外一条边也就随之确定，三边之间存在 着一个特定的数量关系。让我们一起去 探索吧。
（1）观察图1-1
A
C
B
图1-3
C
A
B
图1-4
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
幻灯片 7
议一议
2
46
58
74 5476 ∵ 58 46 5480 荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
1、一个圆桶，底面直径为24厘米，高为32厘米，则 桶内所能容下的最长木棒是（ 40厘米 ） 2、等腰三角形的腰长为25，底为48，则它的 面积是（ 168 ）. 3、甲轮船以每小时16海里的速 度离开港口向东南方向航行，乙 O 轮船在同时同地向西南方向航行， 已知 他们离开港口一个半小时后 相距30海里，问乙轮船每小时航 B 行多少海里？ 12海里 A 4、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三 边长分别为 . 6、8、10
2.一天，小明买了一张底面是边长为260cm正 方形，厚30cm的床垫回家。到了家门口， 才发现门口只有242cm高，宽100cm。你认 为小明能拿进屋吗，为什么？
242
30
260
100
小结
由学生从以下方面进行总结：
1. 对自己本节课的学习情况进行评价。 2. 在探索问题过程中遇到挫折，你会怎么办？ 3.对于本节课你还有疑问的地方吗?
八年级数学（上册）
探索勾股定理
大望学校 钟锋声
探索勾股定理
如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于 离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根 12米处. 大树在折断之前高多少米？
在直角三角形中，任意两边确定了，另 外一条边也就随之确定，三边之间存在 着一个特定的数量关系。让我们一起去 探索吧。
（1）观察图1-1
A
C
B
图1-3
C
A
B
图1-4
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
幻灯片 7
议一议
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
1.1探索勾股定理1
一、情景导入
如图，从电线杆离地面8米处向地面拉一条 钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电 线杆底部6m，那么需要多长的钢索？ 在直角三角形中，任意两条边 确定了，另外一条边也随之确 定，三边之间存在着一种特定 的数量关系，事实上，古人发 现，直角三角形的三边长度的 平方存在着一种特殊的关系.
（一）新知引入
黑 白 相 间 的 地 砖
毕达哥拉斯（公元前 572—前497年），古希 腊著名的哲学家、数学 家、天文学家.
数学小故事
相传两千多年前，古希腊著名的数学家毕达哥 拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽 情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发 起呆来。原来，朋友家的地是用一块块直角三角形 形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。主人 看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他， 谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来， 大笑着跑回家去了。原来，他发现了地砖上的三个 正方形存在某种数学关系。
2 2
2
1.1 探索勾股定理(1)
八年级数学
张晓姣
伟大的公式
No.1 麦克斯韦方程组 Maxwell's equations No.2 欧拉公式 Eulers formula No.3 牛顿第二定律Newton's Second Law of Motion No.4 勾股定理、 毕达哥拉斯定理 Pythagorean theorem No.5 质能方程 mass-energy equation No.6 薛定谔方程 Schrodinger equation No.7 1+1=2 No.8 德布罗意方程组 No.9 傅里叶变换 No.10 圆的周长公式
请你数一数图中正方形A、B、C各占多少个小格子？完成表 格，探究规律。
1.1 探索勾股定理(第1课时) 八年级上册北师大版
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
思考2 怎样求出C的面积?
C A
B
图1
分割成若干个直角边为整数的三角形 S正方形C = 4×12×3×3 =18（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
练一练 通过对图1的学习，
求出图2正方形A,B,C中面积
各是多少?
C A
解：正方形A的面积是4个 单位面积，正方形B的面积 是4个单位面积，正方形C 的面积是8个单位面积.
探究新知
素养考点 1 利用勾股定理求直角三角形的边长
例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米,AC=12厘米,
求斜边AB的长度.
A
解：在Rt△ABC中根据勾股定理, AC²+BC²=AB²， AC=12，BC=5
b
c
所以12²+5²=AB²，
C aB
所以AB²=12²+5²=169， 所以AB=13厘米. 答：斜边AB的长度为13厘米.
勾股树
A
B
素养目标
3.学生初步运用勾股定理进行简单的计算和实际的 应用. 2.在探索过程中，学生经历了“观察-猜想-归纳” 的教学过程，将形与数密切联系起来. 1.通过数格子的方法探索勾股定理；学生理解勾股定 理反映的是直角三角形三边之间的数量关系.
探究新知
知识点 勾股定理的探索
做一做
在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形， 分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长 的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
_2_4___,斜边为上的高为__4_._8__.
A D
C
B
课堂检测
基础巩固题
新北师大版八年级上册数学1.1探索勾股定理(1)课件
△ABC面积为2__4___,斜边为上的高为4_._8____.
A D
C
B
4．在△ABC中，∠C=90º, （1） 若a=5，b=12，则c=___1_3____； （2） 若a=15，c=25，则b=__2_0_____； （3） 若c=61，b=60，则a=___11_____； （4） 若a:b=3:4，c=10，则a=__6______，b=__8______； （5） 若a:c=3:5 ，b=8，则a=___6_____；
勾股定理在中国有着悠久的历史, “勾三,股四,弦五” 结论可以上溯到大禹治水时代(大约公元前21世纪),一般 勾股定理最晚到公元前6至7世纪己经明确并得到广泛的 应用.
勾股定理是数学中最重要的基本定理之一,20世纪80 代,科学界曾征集有史以来科学上的十大发现,结果数学只 有唯一的一条入选,它就是勾股定理.
5. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙 上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾
股定理，得 BC2+AC2=AB2
即 BC2+2.42 = 2.52
∴ BC=0.7.
C
B
6.在等腰三角形ABC中， AC=BC=5cm,AB=6cm,
求三角形ABC的面积
重要的 思想方 法及数 学思想
格？它们的面积各是多少？
4,4,8
C
A
（3）你能发现两图中三个
B
C 图1-1 A
正方形A，B，C的面积之 间有什么关系吗？
9,9,18； 4,4,8
B
图1-2
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
2.阅读课本P3做一做
八年级上数学.1探索勾股定理(1)
第一章 勾股定理 1.1探索勾股定理〔1〕学习目标：掌握勾股定理并能利用它来解决简单的实际问题。
预习案课前导学一、自主预习〔感知〕1、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差.2、自学感知：探索直角三角形三边的特殊关系：〔1〕画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表； 〔2〕猜测：直角三角形的三边满足什么关系? 尝试练习〔１〕直角三角形两直角边为３和４，那么另一边为. 〔２〕求出x 的值.学习案知识点拔 二、课堂探究如果以下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？图形 A 的面积 B 的面积 C 的面积A 、B 、C 面积的关系图1-1 图1-2 图1-3图1-4思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。
勾股定理:直角三角形等于；几何语言表述：如图1.1-1，在Rt ΔABC 中， C ＝ 90°假设BC=a ，AC=b ，AB=c ，那么上面的定理可以表示为： 。
课内训练1、求以下图中字母所代表的正方形的面积2、求出以下各图中x 的值。
反应案根底训练1．在△ABC 中，∠C=90°，直角三角形1直角边a 直角边b 斜边c 三边关系满足关系3 4a 2b 2C 2直角三角形2直角边a 直角边b斜边c 三边关系满足关系513a 2b 2C 2图1.1-1〔1〕假设BC=5，AC=12，那么AB=；〔2〕假设BC=3，AB=5，那么AC=；2．在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=13,那么BC=,该直角三角形的面积为。
3.假设直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，那么斜边上的高为。
拓展提高1.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，那.么正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2C2.折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，假设AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.。
1.1 探索勾股定理(第一课时题)
其中所有的四边形都是正方形，所
有的三角形都是直角三角形．若正
方形A、B、C、D的面积分别为2、
5、1、2，则最大的正方形E的面
积是
10
．
6．等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC
边上的高是 8 cm．
7．如图1-1-8，在△ABC中，∠ACB=90°， AB=10cm，BC=6cm，CD⊥AB交AB于点D．
基础过关精练
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB=10,AC=6，则BC为( C )
A．4
B．6
C．8
D．16
2．一个直角三角形中,两直角边长分别为3
和4,下列说法正确的是( C )
A．斜边长为25 B．三角形周长为25
C．斜边长为5 D．三角形面积为20
3．下列说法正确的是( D )
解：∵在Rt△ABC中，AC=30cm， BC=40cm，∴AB=50cm． 由折叠知AE=AC=30cm，CD=DE， ∠AED=90°,∴BE=50-30=20(cm)． 在Rt△DEB中，设DE=xcm， 则DB=(40-x)cm， ∴DE2+BE2=DB2，即x2+202=(40-x) 2，解得x=15． ∴S =1/2×15×20=150(cm2)．
第一章 勾股定理
1．1 探索勾股定理 (第一课时)
典型例题精析
例1 如图1-1-1,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A、∠B、∠ACB所对的 边分别为a、b、c．
(1)若a：b=3：4,c=15,求b； (2)若a=6,b=8,求c的长及斜边上的高．
解:(1)设a=3x,b=4x, 在Rt△ABC中，c2=a2+b2, ∴(3x) 2+(4x) 2=152, 解得x=3． ∴a=9,b=12．
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1、掌握直角三角形三边之 间的关系：勾股定理，并会用字 母表示； 2、会采用数格子和割补的 方法探索勾股定理； 3、会运用勾股定理解决简 单的计算问题。
自主学习：
前的内容，解决问题；
1、自学课本P2“做一做”
2、解决自学课本P2“做一 做”中的三个问题； 3、在“做一做”的（2）中， 你是如何求每一个正 方形的面 积的？
自主学习： 4、P3勾股定理是 怎么叙述的，字母表达 式是如何表示的？ 5、完成P3的“想一 想”
练习
１、勾股定理是怎么叙述的？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方。 如果直角三角形两直角边分别为
2 2
2
a
c
b
２、完成课本P3随堂练习1、2
3、在ΔABC中，∠A＝90°， 三边分别为a、b、c，且b＝3，c＝4， 5。 则a＝__
观看动画
北 京 欢 迎 您 ！
请大家观察右图，我 国科学家曾向太空发射如 右图所示的图形试图与外 星人沟通。2002年在北京 召开的国际数学家大会上 也采用此图作为会标。它 为什么有如此大的魅力呢？ 它蕴含着怎样迷人的奥妙 呢？这节课我们大家一起 来探索这个问题。
1.1 探索勾股定理（1）
学习目标：
4、求斜边长25厘米、一 条直角边长20厘米的直角三角 形的面积.
课堂小结：
本节课你学到了什么？
练习
（1）在图1、2中， 正方形A，B，C中各 含有多少个小方格？ 它们的面积各是多少？ （2）你能发现图1中 三个正方形A，B，C 的面积之间有什么关 系吗？图2中呢？
A的面 积
图（1） 图（2）
B的面 积
C的面 积
A的面积+B的面积=C的面积
两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积
自主学习：
前的内容，解决问题；
1、自学课本P2“做一做”
2、解决自学课本P2“做一 做”中的三个问题； 3、在“做一做”的（2）中， 你是如何求每一个正 方形的面 积的？
自主学习： 4、P3勾股定理是 怎么叙述的，字母表达 式是如何表示的？ 5、完成P3的“想一 想”
练习
１、勾股定理是怎么叙述的？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方。 如果直角三角形两直角边分别为
2 2
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２、完成课本P3随堂练习1、2
3、在ΔABC中，∠A＝90°， 三边分别为a、b、c，且b＝3，c＝4， 5。 则a＝__
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北 京 欢 迎 您 ！
请大家观察右图，我 国科学家曾向太空发射如 右图所示的图形试图与外 星人沟通。2002年在北京 召开的国际数学家大会上 也采用此图作为会标。它 为什么有如此大的魅力呢？ 它蕴含着怎样迷人的奥妙 呢？这节课我们大家一起 来探索这个问题。
1.1 探索勾股定理（1）
学习目标：
4、求斜边长25厘米、一 条直角边长20厘米的直角三角 形的面积.
课堂小结：
本节课你学到了什么？
练习
（1）在图1、2中， 正方形A，B，C中各 含有多少个小方格？ 它们的面积各是多少？ （2）你能发现图1中 三个正方形A，B，C 的面积之间有什么关 系吗？图2中呢？
A的面 积
图（1） 图（2）
B的面 积
C的面 积
A的面积+B的面积=C的面积
两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积