1.第一讲 探索勾股定理答案
(2021年整理)第一章最新勾股定理习题及答案
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第一章勾股定理1．1 探索勾股定理第1课时探索勾股定理基础题知识点1认识勾股定理1．（郑州月考）直角三角形的两条直角边长分别为3,4，则斜边长是( D ）A．2 B．3 C．4 D．52．下列说法正确的是（ D )A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2B．若a，b，c是Rt△ABC的三边,则a2＋b2＝c2C．若a,b,c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则c2＋b2＝a23．在Rt△ABC中,斜边长BC＝3，AB2＋AC2＋BC2的值为( A )A．18 B．9 C．6 D．无法计算4．(淮安中考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A,B都是格点,则线段AB的长度为( A )A．5B．6C．7D．255．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）若a＝6,c＝10，则b＝8；（2）若a＝5，b＝12，则c＝13；（3）若c＝25，b＝15，则a＝20。
知识点2勾股定理的简单应用6．如图,做一个宽80 cm，高60 cm的长方形木框，需在相对角的顶点钉一根加固木条,则木条的长为（ B )A．90 cm B．100 cmC．105 cm D．110 cm7．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为( D )8．如图,学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了4步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．9．已知等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，求等腰三角形的腰长．解：如图,因为AD是BC的中线，所以BD＝错误!BC＝3，AD⊥BC.在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2＝42＋32＝25.所以AB＝5,即腰长为5。
1.1.1探索勾股定理 北师大版数学八年级上册
121.52 + 68.52 ≈ 139.72
售货员没有搞错.
课堂小结
内容
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾
股
定
理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，
字母表示
那么 a2 b2 c2
第一章 勾股定理
课程结束
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
C A
B
C Aa c
b B
（3）如果直角 三角形的两直角边 分别为 1.6 个单位 长度和 2.4 个单位 长度，上面所猜想 的数量关系还成立 吗？说明你的理由.
（每个小正方形的面积为单位 1）
1.6 2.4
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
方，这就是著名的“勾股定理”.
如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理(1)
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
复习回顾 三角形
定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次 相接组成的平面图形.
角 三角形的内角和是 180°.
边 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
直角 三角形
定义 有一个角是 90°的三角形是直角三角形.
角
直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余 的三角形是直角三角形.
边？
新课导入 我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形 的两边之和大于第三边.
对于一些特殊的三角形，是否还存在其他特殊的关 系？
新知探究
（1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量 它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的 关系. 与同伴进行交流.
B
左图
八年级数学上册第一章勾股定理1探索勾股定理勾股定理教材习题解析素材(新版)北师大版
勾股定理1．解析：主要考查利用勾股定理求直角三角形的边长．各小题答案依次是：（1）；（2）；（3）．2．解析：本题是勾股定理在实际问题中的应用．相当于已知直角三角形的两直角边的长，求斜边长．根据勾股定理得折断处到木杆顶端的长为加上3，可知木杆折断之前应为8m．答案是：8m．3．解析：本题是几何问题，主要考查利用勾股定理求直角三角形的边长．根据勾股定理得答案是：2.5．4．解析：本题考查勾股定理在实际问题中的应用．求两孔中心的距离相当于已知直角三角形两直角边的长，求斜边的长．依题意知，根据勾股定理得．于是，两孔中心的距离为43.4mm．5．解析：本题主要考查利用勾股定理解决实际应用问题．相当于已知直角三角形的斜边与一条直角边，求另一条直角边．根据勾股定理得，故点A到电线杆底部B的距离是4.9m．6．解析：本题考查利用勾股定理画出长为（为正整数）的线段．利用勾股定理可以发现，直角边长为2，4的直角三角形的斜边长为．由此可以依照如下方法在数轴上画出表示的点．如图，在数轴上找出表示4的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点．7．解析：本题主要考查利用勾股定理求解含特殊角的直角三角形的边长问题．（1）是直角三角形中30°角所对的直角边，故，根据勾股定理得；（2）容易推出图形是等腰三角形，两直角边相等，故于是，，8．解析：本题主要考查三角形的面积公式和利用勾股定理求直角三角形的边长．各小题答案如下：（1）；（2）根据勾股定理得；（3）由可得，．9．解析：本题主要考查勾股定理的应用．实际是利用勾股定理求等腰三角形底边上的高．根据勾股定理得，故高的长为82mm．10．解析：本题主要考查勾股定理在实际问题中的应用．题给图形是截面图，抽象成数学问题，相当于求解直角三角形的边长问题．设水的深度为尺，则芦苇的长度为尺，根据勾股定理得解得于是，水的深度是12尺，芦苇的长度是13尺．11．解析：本题考查特殊直角三角形边之间的数量关系及勾股定理的应用．直角三角形中，30°角所对直角边的长等于斜边的一半，设，则，根据勾股定理得，解得所以斜边的长12．解析：主要考查正方形的面积公式和勾股定理的应用．先根据面积关系确定大正方形的边长，然后根据勾股定理得到分割的方法．因为5个小正方形的面积之和为5，所以大正方形的面积为5，可得大正方形的边长为，容易发现，直角边的长为2，1的直角三角形的斜边长为，这就提示我们，分割和拼接方法分别如图1和图2所示．13．解析：本题主要考查勾股定理的应用．由勾股定理得到，直角边上的两个半圆的面积的和等于斜边上半圆的面积．运用上述结论可得，阴影部分的面积就是直角三角形的面积．证明如下：，，．因为根据勾股定理得所以14．解析：本题主要考查勾股定理的应用、全等三角形的判定方法及等腰直角三角形的性质．证明如下：证法一：如图1，连接BD．又在Rt中，得即证法二：如图2，作由题给条件可知，在Rt中，根据勾股定理得在等腰Rt和等腰Rt中，根据勾股定理得，又而。
第一节 勾股定理(含答案)...八年级数学 学而思
第一节 勾股定理1.勾股定理如果直角三角形的两直角边分别是a ，b ，斜边为c ，那么.222c b a =+即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，如图7-1-1所示，注：勾——最短的边， 股——较长的直角边， 弦——斜边．勾股定理反映了直角三角形中三边间的关系，因此利用它可以解决有关边长的计算问题，也可以解决与直角三角形有关的一些平方关系的证明问题． 2.勾股定理的证明如图7-1-1所示，图①是一个直角三角形，方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形：.,214)(S 22222c b a ab c b a ABCD =+∴⨯+=+=正方形Θ方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图③所示的正方形：.,214)(S 22222EF c b a ab b a c GH =+∴⨯+-==正方形Θ方法三：“总统”法，如图④所示将两个直角三角形拼成直角梯形：.,212122))((S 2222ABCD c b a c ab b a b a =+∴+⨯=++=梯形117--3.直角三角形的性质(1)两锐角互余．(2)三边满足勾股定理．(3)斜边上的中线等于斜边的一半． (4)ο30角所对的直角边等于斜边的一半，另外，直角三角形中还有一个重要的结论：两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即.ch ab =4. 直角三角形的判定 (1)有一个角是直角． (2)两锐角互余．(3)勾股定理的逆定理．(4)一条边上的中线等于这条边的一半（用时需证）．1.勾股定理应用常见注意事项(1)勾股定理只适用于直角三角形．(2)运用勾股定理时，要分清直角边和斜边，如果题目没有指明，则需分类讨论． (3)勾股定理将“数”与“形”有机结合，是数形结合思想方法的典范， 2.勾股定理证明方法的注意事项(1)目前已知的勾股定理证明方法有几百种，大多本质是应用面积方法算两次，即利用同一个图形公式法算出的面积和割补法算出的面积相等这一等量关系列出方程进行证明； (2)如图7-1-1所示，图②，③这两个弦图是正方形或者等腰直角三角形证明过程中的常用模型，必须掌握熟练． 3. 构造直角三角形的常用方法(1)作高，如图7-1- 201，②所示．(2)补全，如图7-1 - 2③，④所示． 图7- I-2(3)分割，如图7—1—2⑤所示． 4.直角三角形边的关系(1)斜边上的高×斜边=直角边乘积． (2)斜边上的中线等于斜边的一半．(3) 30。
北师大版初二上学期数学第一章探索勾股定理(含答案)
《1.1 探索勾股定理》一、选择题。
1．直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则下列关于a，b，c三边的关系式不正确的是（）A．b2=c2﹣a2B．a2=c2﹣b2C．b2=a2﹣c2D．c2=a2+b22．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25C．斜边长为25 D．三角形的面积为203．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）A．48 B．60 C．76 D．804．在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A．18 B．9 C．6 D．无法计算5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=5，BC=12，则AB的长为（）A．5 B．12 C．13 D．156．若直角三角形的三边长分别为3，5，x，则x的可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S 1，右边阴影部分面积为S2，则（）A．S1=S2B．S1＜S2C．S1＞S2D．无法确定8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A ．B ．C ．D ．9．直角三角形的周长为12，斜边长为5，则面积为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6二、填空题。
10．在Rt △ABC 中，∠B=90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a=12，b=13，则c 的值为______．11．甲船以15海里/时的速度离开港口向北航行，乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距______海里．12．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，分别以BC 、AB 、AC 为边向外作正方形，面积分别记为S 1、S 2、S 3，若S 2=4，S 3=6，则S 1=______．13．如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm 和12cm ，那么这个直角三角形的面积是______．14．如图，∠MCF=∠FCD ，∠MCE=∠ECB ，EF=10cm ，则CE 2+CF 2=______．15．在直角三角形ABC 中，∠C=90°，BC=12，AC=9，则AB=______．16．等腰△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=12cm ，则BC 边上的高是______cm ．17．如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．Rt △ABF 中，∠AFB=90°，AF=4，AB=5．四边形EFGH 的面积是______．18．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=______．三、解答题。
八年级上册数学第一章勾股定理同步练习(含答案)
第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为 .4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm25．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.参考答案：1．（1）13；（2）8；（3）6，8．2．2.5m．C F60cm．3．134．D．5．25km．6．4．7．3 cm．1.1 探索勾股定理第2课时验证勾股定理1.在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？2.下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？参考答案1.（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC =(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2（2）如图（图见题干中图）S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+722.①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形，（2）是以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形.②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2. ③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2.④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a +b )2减去四个Rt △ABC 的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.1.2 一定是直角三角形吗1.如图在∆ABC 中, BAC = 90, AD BC 于D , 则图中互余的角有 A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对2.如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为3.已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：AB CD AD BC 2222+=+。
1.1探索勾股定理课后同步练习北师大版八年级数学上册(含答案)
1.1探索勾股定理课后同步练习北师大版八年级数学上册（含答案）探索勾股定理一、单选题1．下列四组数据，不是勾股数的是（）A．3，4，5B．5，6，7C．6，8，10D．9，40，412．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（）A．6B．7C．10D．133．如图，点A，B是棱长为1的立方体的两个顶点，若将该立方体按图中所示展开，则在展开图中，A，B两点间的距离是（）A．B．C．4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（）A．20B．12C．2D．25．已知，则的面积为（）A．6或B．6或C．12或D．12或6．在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则边上的高是（）A．B．C．D．7．如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（A．B．2C．D．8．若直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则斜边扩大（）A．倍B．2倍C．倍D．4倍9．如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝10，直线l过点B，分别过点A、C作直线l的垂线，垂足分别为E、F，若AE＝8，则CF的长为（）A．5B．6C．7D．810．如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的边长分别为5和7，则正方形的面积为（）A．36B．49C．74D．8111．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（）A．B．C．D．12．如图，以两个半圆的直径作为直角边，正方形的一边作为斜边构成一个直角三角形，已知半圆面积分别为π和3π，则正方形的面积为（）A．16πB．32πC．16D．3213．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A 为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=（）A．B．3C．2D．14．中，，则三个半圆的面积关系是（）A．B．C．D．15．如图，在中，，，，D为边上一点，将沿折叠，若点B恰好落在线段的延长线上点E处，则的长为（）A．B．C．D．二、填空题16．下列各组数：①1、2、3；②，，2；③、、；④9、40、41，其中是勾股数的是_______（填序号）．17．已知一个直角三角形的两边长分为4和3，则它的斜边长为___________．18．已知直角三角形的两直角边分别为9和12，则它的周长为______________．19．如图，一名滑雪运动员沿着坡比为的滑道，从A滑行至B，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了_______米．20．中，为边上的一点，将沿折叠，使点C落在边的点E处，则的面积为__________．三、解答题21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，请你在给出的5×5的正方形网格中，以格点为顶点，画出一个四边形，使这个四边形的其中三边长依次为，，．22．以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组．记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；（2）用含（且为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．23．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝12cm，BC＝16cm，求CD的长．24．如图，铁路上、两点相距，，为两村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得、两村到站的距离相等，则站应建在距点多少千米处？参考答案1．B解：A、因为32+42＝52，属于勾股数；B、因为52+62≠72，不属于勾股数；C、因为62+82＝102，属于勾股数；D、因为92+402＝412，属于勾股数；故选：B．2．D解：由勾股定理得，斜边长＝，故选：D．3．C解：如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，可得：AB=，故选：C．4．B解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=16-4=12，则S2=AC2=12，故选：B．5．A解：当BC为直角边时，的面积为，当BC为斜边时，该三角形的另一条直角边长为，的面积为，故选：A．6．D解：作于D，如图所示，∵小正方形的边长都为1，∴，∵，∴，解得：，故选：D．7．D解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=AB=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=，∴CE==，故选：D．8．B解：设直角三角形三边长分别为a、b、c，则：a2+b2=c2，∴，∵直角三角形的两条直角边各扩大2倍，∴可设扩大后的三角形各边为2a、2b、d，则：d=，故选B．9．B解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°．∵AE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE＝BF＝8，∴，故选：B．10．C解：根据正方形的性质得出∠EFG=∠EGH=∠HMG=90°，EG=GH，∵∠FEG+∠EGF=90°，∠EGF+∠HGM=90°，∴∠FEG=∠HGM，在△EFG和△GMH中，，∴△EFG≌△GMH（AAS），∴FG=MH，GM=EF，∵A，C的边长分别为5和7，∴EF2=52，HM2=72，∴B的面积为EG=EF2+FG2=EF2+HM2=25+49=74，故选：C．11．C解：如图，连接，则，由勾股定理可得，中，，又，，故选：C．12．D解：设大半圆的半径为R，小半圆的半径为r，根据题意得，故直角三角形的两条直角边为：故直角三角形的斜边平方为，则正方形的面积为：32，故选：D．13．C解：∵AC=3，BC=4，∴AB==5，∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，∴AD=AC，∴AD=3，∴BD=AB-AD=5-3=2．故选C．14．B解：设面积为、、所在半圆直径对应的直角三角形三边为、、，则，，，，∵中，，∴，∴，∴．故选：B．15．C解：∵∠ACB=90°，AB=13，BC=12，∴AC==5，由折叠可知：AB=AE=13，BD=DE，∴CE=AE-AC=8，∵BC=CD+BD=CD+DE，∴CD=BC-DE=12-DE，∴在△CDE中，，解得：DE=，故选C．16．④解：①1、2、3，因为1+2=3，无法组成三角形，所以不是勾股数；②，不是正整数，不属于勾股数；③、、不是正整数，不属于勾股数；④因为92+402=412，所以9、40、41属于勾股数；故答案为：④．17．5或4解：当4是直角边时，斜边长==5，当4是斜边时，斜边长=4，故答案为：5或4．18．36解：∵直角三角形的两条直角边分别为9、12，∴斜边长==15，∴周长=9+12+15=36．故答案是：36．19．150解：如图，在中，由题意可知，∴，∴，∴米，故答案为：150．20．解：由折叠的性质得：，，，，设CD=x，则BD=12-x，DE=x，在△BDE中，，则，解得：x=，∴，，故答案为：．21．见解析．解：如图，，，，连接BC，则四边形ABCD即为所求作（答案不唯一）．22．（1）第六组勾股数为（48，14，50）；（2）规律：第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；证明见详解．解：（1）第一组中间数为4=2×2，第二组中间数为6=2×3，第三组中间数为8=2×4，第四组中间数为10=2×5，第五组中间数为12=2×6，第六组中间数为14=2×7，两头的两数差二，设较小的数为x，另一个数为x+2则（x+2）2-x2=142,解得x=48∴第六组勾股数为（48，14，50）；（2）规律：中间数规律是2n（n≥2）设第一个数为x，第三个数为x+2则，解得，第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；证明：(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，(n2+1)2=n4+2n2+1，∴(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2．23．解：∵∠ACB=90°，AC=12cm，BC=16cm，∴AB=20cm，根据直角三角形的面积公式，得：，∴．24．10千米解：设，则，∵、两村到站的距离相等，∴．在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，又∵，，∴，∴，站应建在距点A10千米处．。
新版北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》同步练习及答案—1.1探索勾股定理(1)
新版北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》同步练习及答案—1.1探索勾股定理（1）专题一有关勾股定理的折叠问题1. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（）A．3cm B．4cmC．5cm D．6cm2. 如图，EF是正方形两对边中点的连线段，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G 点，求∠DKG的度数．3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN 沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是_______________．线段AM、BN、MN之间的数量关系是______________________________；（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．试证明你的猜想；（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．（不要求证明）①②③专题二勾股定理的证明4．在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性．问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S′+ S″与S的关系（如图1）．问题2：以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图2）．问题3：以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S′+ S″与S的关系（如图3）．5.如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图①中两直角边长分别为a和b，斜边长为c；图②中两直角边长为c．请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形．（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理．（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形（无需证明）．参考答案：1．A 【解析】设CN=x cm，则DN=（8-x）cm. 由折叠的性质知EN=D N=（8-x）cm，而EC=12BC=4 cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8-x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=3．故选A．2．解：∵DF=12CD=12DG，∴∠DGF=30°．∵∠EKG+∠KGE=90°，∠KGE+∠DGF=90°，∴∠EKG=∠DG F=30°．∵2∠DKG+∠GK E=180°，∴∠DKG=75°．3．解：（1）根据折叠的性质知：△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP．∴AM=PM，∠A=∠CPM，PN=NB，∠B=∠CPN. ∴∠MPN=∠A+∠B=90°，PM=PN=AM=BN.故△PMN是等腰直角三角形，AM2+B N2=MN2（或AM=BN=22MN）．（2）AM2+BN2=M N2.证明:如图,将△AC M沿CM折叠，得△DCM，连DN，则△ACM≌△DCM，∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM. 同理可知∠DCN=∠BCN，△DCN≌△BCN，DN=BN，而∠MDC=∠A=45°，∠CDN=∠B=45°，∴∠MDN=90°，∴DM2+DN2=MN2，故AM2+BN2=MN2．（3）AM2+BN2=MN2；解法同（2）．4．解：探究1：由等边三角形的性质知：S′=34a2，S″=34b2，S=34c2，则S′+ S″=34（a2+b2）.因为a2+b2=c2，所以S′+ S″=S．探究2：由等腰直角三角形的性质知：S′=14a2，S″=14b2，S=14c2．则S′+S″=14（a2+b2）.因为a2+b2=c2，所以S′+S″=S．探究3：由圆的面积计算公式知：S′=18πa2，S″=18πb2，S=18πc2．则S′+ S″=18π（a2+b2），因为a2+b2=c2，所以S′+ S″=S．5．解：（1）如图所示，根据正方形的面积可得（a+b）2=4×12ab+c2，即a2+b2=c2．（2）如图所示．。