全等三角形 动态问题
第5讲全等三角形动态几何
第五讲全等三角形动态几何一、知识梳理所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线，上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查.动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。
解动态几何题一.般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系(如等量关系、变量关系)、图形位置关系(如图形的特殊状态、图形间的特殊关系)等进行研究考察.抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。
二、典型例题例1、如图，已知AB ＝12米，MA ⊥AB 于点A ，MA ＝6米，射线BD ⊥AB 于点B ，点P 从点B 出发沿BA 方向往点A 运动，每秒走1米，点Q 从点B 出发沿BD 方向运动，每秒走2米，若点P 、Q 同时从点B 出发，出发t 秒后，在线段MA 上有一点C ，使由点C 、A 、P 组成的三角形与△PBQ 全等，则t 的值是_____．【答案】4秒例2、如图，有一个直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC 10=，BC 6=，线段PQ =AB ，点Q 在过点A 且垂直于AC 的射线AX 上来回运动，点P 从C 点出发，沿射线CA 以2/cm s 的速度运动，问P 点运动___________秒时(t 0)>，才能使ABC ≌QPA 全等．【答案】2或8例3、图，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝100，E ，F 分别为线段AB 和射线BD 上的一点，若点E从点B 出发向点A 运动，同时点F 从点B 出发向点D 运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC 上取一点G ，使△AEG 与△BEF 全等，则AG 的长为40或75．【分析】设BE ＝2t ，则BF ＝3t ，使△AEG 与△BEF 全等，由∠A ＝∠B ＝90°可知，分两种情况：情况一：当BE ＝AG ，BF ＝AE 时，列方程解得t ，可得AG ；情况二：当BE ＝AE ，BF ＝AG 时，列方程解得t ，可得AG ．【解答】解：设BE ＝2t ，则BF ＝3t ，因为∠A ＝∠B ＝90°，使△AEG 与△BEF 全等，可分两种情况：情况一：当BE ＝AG ，BF ＝AE 时，∵BF ＝AE ，AB ＝100，∴3t ＝100﹣2t ，解得：t ＝20，∴AG ＝BE ＝2t ＝2×20＝40；情况二：当BE ＝AE ，BF ＝AG 时，∵BE ＝AE ，AB ＝100，∴2t ＝100﹣2t ，解得：t ＝25，∴AG ＝BF ＝3t ＝3×25＝75，综上所述，AG ＝40或AG ＝75．故答案为：40或75．例4、如图（1），AB ＝4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝3cm ．点P 在线段AB 上以1/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t （s ）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t ＝1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”为改“∠CAB ＝∠DBA ＝60°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为x /cm s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当t =1时，AP =BQ =1,BP =AC =3,又∠A =∠B =90°，在△ACP 和△BPQ 中，{AP BQA BAC BP=∠=∠=∴△ACP ≌△BPQ (SAS ).∴∠ACP =∠BPQ ,∴∠APC +∠BPQ =∠APC +∠ACP =90*.∴∠CPQ =90°，即线段PC 与线段PQ 垂直；(2)①若△ACP ≌△BPQ ，则AC =BP ，AP =BQ ，34t t xt=-⎧⎨=⎩解得11t x =⎧⎨=⎩;②若△ACP ≌△BQP ，则AC =BQ ，AP =BP ，34xt t t=⎧⎨=-⎩解得：232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等.例5、如图，已知△ABC 中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒得速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，1秒钟时，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD ≌△CQP ？（2）若点Q 以（1）②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？例6、如图（1）AB =8cm ，AC AB ⊥，BD AB ⊥，AC =BD =6cm ，点P 在线段AB 上以2/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动，它们的运动时间为t (s )．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t =1时，ACP ∆与BPQ ∆是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC AB ⊥，BD AB ⊥”改为“60CAB DBA ∠=∠= ”，其他条件不变，设点Q 的运动速度为/xcm s ，是否存在实数x ，使得ACP ∆与BPQ ∆全等？若存在，求出相应的x 、t 值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）当1t =时，2AP BQ ==，6BP AC ==，又∠A =∠B =90°，在ACP ∆与BPQ ∆中AP BQ A B AC BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BPQ (SAS )，ACP BPQ ∴∠=∠，90APC BPQ APC ACP ∴∠+∠=∠+∠= ，90CPQ ∴∠= ，即PC PQ ⊥；（2）①若△ACP ≌△BPQ ，则AC BP =，A P B Q =，8262t t xt -=⎧⎨=⎩，解得12t x =⎧⎨=⎩；②若△ACP ≌△BQP ，则AC BQ =，AP BP =，6282xt t t =⎧⎨=-⎩，解得23t x =⎧⎨=⎩，综上所述，存在1223t t x x ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，使得ACP ∆与BPQ ∆全等.例7、在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，D 是AB 的中点，动点E 从A 点出发沿着AC 匀速运动到终点C ，动点F 从C 点出发沿着CB 匀速运动到终点B ，他们同时出发并同时到达终点，连结DE ，DF ，EF ，在运动过程中。
数学全等三角形动点问题
数学全等三角形动点问题数学这东西，听起来就有点让人打哈欠，尤其是当你碰上了全等三角形动点问题的时候，简直让人想直接躲进床底下。
不过别担心，今天咱们就来聊聊这个话题，轻松点儿，搞笑点儿，保证让你哈哈大笑，顺便脑袋里也装点儿知识。
想象一下，你跟朋友一起去游乐园，前面是个大旋转木马，大家都在排队。
这个木马就像一个个三角形，转来转去，根本停不下来。
好啦，先说说全等三角形。
全等的意思就是两个三角形一模一样，无论你怎么转、怎么动，都还是那样。
就好比双胞胎，真是一看就知道是兄弟姐妹。
你要是把这俩三角形放在一起，哦哟，简直就像是复制粘贴，连角度和边长都跟着一模一样。
这就有意思了，咱们来设想一下：如果这两个三角形有一个动点，那就像是在给它们穿上舞鞋，在舞池里翩翩起舞。
不管怎么转，这舞姿总是那么优雅，简直让人目不暇接。
想象一下这俩三角形之间的关系，简直就是一对恩爱的小情侣。
一个在这里，另一个在那儿，距离虽然不变，但感觉就像在做双人舞。
它们的边长、角度都保持着一致，这就是全等三角形的神奇之处。
想想，如果我们生活中也能有这种“全等”关系，那可真是太好了。
每天都可以找一个人一起“相约”，不管走到哪儿都不会迷路，心里总是有一份安全感。
不过，这个动点问题就有点麻烦了。
你知道，当一个三角形的某个点动起来的时候，其他的就得跟着动。
这就像你在冰箱前，想喝可乐，结果冰箱门关上了，那可真是让人捶心肝。
你得想办法把这动点的位置确定下来，不然整个三角形就乱了套，跟着你在厨房里晃悠，根本停不下来。
数学里的动点就像生活中的那些变化一样，让人琢磨不透。
你以为这个点在这儿，结果它一下子跑到那边，搞得你摸不着头脑。
想想看，谁没有遇到过这种情况呢？就像在约会时，原本想去的餐厅没了位子，你就得随便找个地方，结果最后吃到了你最讨厌的那道菜，真是让人哭笑不得。
再说说这动点问题的性质。
这个动点在三角形里游来游去，就像小猫追蝴蝶一样。
你永远不知道它下一步会往哪儿去，角度变来变去，让人眼花缭乱。
专题06 全等三角形动点型问题解读(原卷版)
专题06 全等三角形动点型问题解读一、基础知识点综述动点型问题是近几年来中考的一个热点问题. 其中的几何动态问题是以几何基础知识与具体图形为背景，将运动变化的观点渗透其中，通过点、线、形的运动，以及图形的翻折、旋转、平移等，对相关图形的性质、数量关系、位置关系等进行探究.全等三角形的动态问题是将几何、代数相结合，数形结合，具有较强的综合性，题目灵活多变，能考查学生的想象能力以及综合分析问题的能力.全等三角形的动态问题有单动点、双动点等类型问题，通过动点在运动过程中引起的角度变化，线段长度变化，探究其中不变的量（角度、长度、性状等），在解题过程中，要善于抓住图形中的变与不变，以不变解决变.本专题从浅入深，由简单到复杂，以三角形为载体，以动态问题展开，借以提高学生的思维能力，让不同层次的学生都有收获.二、典型例题解析例1. （2018·江苏期末）如图，在△ABC中，△ABC=90°，AB=BC=8cm，BD是△ABC的高，动点P在线段AB上由A向B运动，速度为1cm/s；动点Q从点B出发沿射线BC运动，速度为2cm/s. 动点P、Q同时出发，当点P停止运动时，点Q随之停止. 连接AQ，交射线BD于点E，设点P的运动时间为t秒，（1）在运动过程中，△BQE的面积始终是△APE面积的2倍，为什么？（2）当点Q在线段BC上运动时，t为何值时，△BPE和△BQE相等.例2. 如图，在平面直角坐标系中，点B(a,0)，点C(0,b)，点A在第一象限，若a、b满足(a－t)2+|b－t|=0（t >0）.（1）求证：OB =OC ；（2）如图1，连接AB ，过A 作AD △AB 交y 轴于D ，在射线AD 上截取AE =AB ，连接EC ，取EC 的中点F ，连接AF ，OA ，当点A 在第一象限内运动（AD 不过点C ）时，求证：△OAF 的大小不变；（3）如图2，B ’与B 关于y 轴对称，M 在线段BC 上，N 在CB ’的延长线上，且BM =NB ’，连接MN 交x 轴于点T ，过T 作TQ △MN 交y 轴于点Q ，求点Q 的坐标.图1 图2例3. （2019·江苏期末）如图，点P 是△MON 内的一点，过点P 作P A △OM 于点A ，PB △ON 于点B ，且OA =OB ，图1 图2 图3（1）如图1，求证：P A =PB ；（2）如图2，点C 是射线AM 上一点，点D 是线段OB 是一点，且△CPD +△MON =180°，若OC =8，OD =5，求OA 的长；（3）如图3，若△MON =60°，将PB 绕点P 以每秒2°的速度顺时针旋转，12秒后，P A 开始绕点P 以每秒10°的速度顺时针旋转，P A 旋转270°后停止，此时PB 也随之停止旋转. 在旋转过程中，P A 所在直线与OM 所在直线的交点记为G ，PB 所在直线与ON 所在直线的交点记为H ，问PB 旋转几秒时，PG =PH ?例4. （2018·济南期末）如图，在△ABC中，△ABC为锐角，点D是直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，△DAE=90°，AD=AE.（1）如果AB=AC，△BAC=90°，△当点D在线段BC上时，如图1，判断线段CE、BD的位置关系及数量关系.△当点D在线段BC的延长线上时，如图2，判断线段CE、BD的位置关系及数量关系.（2）如图3，如果AB≠AC，△BAC≠90°，点D在线段BC上运动，探究：当△ACB为多少度时，CE△BC？图1 图2 图3例5. （2019·山东期末）如图，已知△BAD △△BCE ，△BAD =△BCE =90°，△ABD =△BEC =30°，点M 为DE 的中点，过点E 与AD 平行的直线交射线AM 于点N ，如图，当点A 、B 、E 三点在同一直线上时，△求证：△MEN △△MDA ；△判断AC 与CN 的数量关系，并说明理由.例6. 如图1，已知C 是线段AB 的中点，过点C 作AB 的垂线CN ，在射线CN 上有一动点P （不与C 重合），连接PB ，过点A 作PB 的垂线，垂足为D ，在射线AD 上取点E ，使得AE =BP ，已知△CPB =α，AB =8，（1）当α=15°时，求△BAE 的度数.（2）过E 作EF △AB 于F ，在点P 的运动过程中，α的大小随点P 的运动而变化，在这个变化过程中线段EF 的长度是否发生变化？若不变求出EF 的长，若变化，说明理由.（3）如图2，当0°<α<45°时，设直线PE 与直线AB 相交于点G ，求△G 的度数.EN例7. （2019·福建期末）如图，在△ABC中，△A<△C，BD△AC，垂足为D，点E是BC边上的一个动点，连接DE，过点E作EF△DE，交AB的延长线于点F，连接DF交BC于点G，（1）请根据题意补全示意图；（2）当△ABD和△DEF全等时，△若AD=FE，△A=30°，△AFD=40°，求△C的度数；△探究GF、AF、DF之间的数量关系，并说明理由.例8. （2018·四川期末）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过B、C两点作过点A 的直线l的垂线，垂足为D、E.（1）如图1，当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系，并说明理由.（2）如图2，当D、E两点在直线BC的异侧时，猜想BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系，并说明理由.（3）如图3，∠BAC=90°，AB=22，AC=28，点P从点B出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q 从C点出发沿C→A→B路径向终点B运动；点P和点Q分别以2单位/秒和3单位/秒的速度同时开始运动，只要有一个点到达终点时两点同时停止运动，在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G. 问：点P运动多少秒时，△PF A和△QAG全等？图1 图2 图3。
全等三角形之动点问题(简单题)
一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题1.如图,Rt△ABC在直线l上，且∠ABC= 90°，BC=6cm,AC= 10cm.(1)求AB的长;(2)若有一动点P从点B出发，以2cm/s的速度在直线l上运动,则当t为何值时,△ACP为等腰三角形?二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题2、如图，射线MB上MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P 从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求：(1)△PAB为等腰三角形的t值;(2)△PAB为直角三角形的t值;(3) 若AB=5且∠ABM=45。
，其他条件不变，直接写出△PAB为直角三角形的t值三、全等三角形：因动点产生的全等三角形问题3.如图，已知△ABC中，∠B=∠C,AB=AC=10 cm,BC=8 cm,D为AB的中点.点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1 s后，△BPD与△CQP是否全等?请说明理由;(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等?四、三角形面积：因动点产生的三角形面积问题4.△ABC中，AB=6cm,BC=8cm,∠B=90°, P从A沿AB向B以1cm/s的速度移动，Q从B沿BC向C以2cm/s的速度移动。
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2?;(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，点P到B点后，又继续沿BC向C移动,点Q到达C后，又继续沿CA向A移动,在这一整个移动过程中，是否存在点P、Q,使△PBQ的面积等于9cm2?若存在，试确定P、Q的位置;若不存在，请说明理由。
五、相遇问题：因动点产生的相遇问题5.如图，在△ABC中，AB= BC= AC= 12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿△ABC的三边运动，已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动.(1)点M.N运动几秒后,M、N两点重合?(2)点M.N运动几秒后，可得到等边△AMN?(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN?如果能，请求出此时M、N运动的时间.六、最值问题：因动点产生的最值问题6.如图K 13一6，点P,Q分别是△ABC的边AC,AB上的定点，请你在BC上找一点R，使得△PQR的周长最短.。
全等三角形中的动态性问题
全等三角形中的动态性问题动态性几何问题是中考数学题型中的热点题型，这类试题常以运动的点、线段、变化的图形等为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其它量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答。
解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解，要始终把握住“动静结合找界点、分类讨论细演算” 。
一、图形的全等图形经过“轴对称”、“平移”、“旋转” 后，位置发生了变化，但形状和大小不变，变换后的图形和变换前的图形能完全重合，这样的两个图形就全等。
1、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等。
2、全等三角形的判定：SSS , SAS , ASA , AAS , HL 。
二、试题探究例题1、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。
例题1图（1）（1）试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论.结论：AC⊥CE （证明略）（2）若将△ECD沿CB方向平移，其余条件不变, 结论：AC⊥C1E 还成立吗?请说明理由。
例题1图（2）结论：AC⊥C1E （证明略）例题2、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。
（1）线段BD、AB、DE之间有怎样的数量关系，并说明理由。
例题2图（1）结论：BD=AB+DE （证明略）（2）若将两个三角形绕点C 旋转到如图所示的位置，则线段BD、AB、DE之间数量关系还成立吗？并说明理由。
例题2图（2）结论：BD = AB - ED （证明略）总结：图形变换，全等不变；遇到变式，先找不变。
三、典型例题例题3、如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ 。
（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E，如图b，求证：BE⊥DQ 。
例题3图（a）例题3图（b）证明：略。
例题4、已知,如图1,E、F为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E点,BF ⊥AC于F点,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点；（1）求证：MB=MD，ME=MF；（2）当E、F两点移至如图2所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由。
河北省八年级数学上册拔高练全等三角形中的动态问题新版新人教版
∵ BP ＝ CQ . 点 P ， Q 运动的时间相等，点 P 的运动速度
是3厘米/秒，∴点 Q 的运动速度是3厘米/秒.
1
2
3
②当 CQ ＝ BE ， PB ＝ PC 时，△ BPE ≌△ CPQ . 此时3 t
＝8－3 t ，∴ t ＝ ，
∵点 E 是 AB 的中点，∴ CQ ＝ BE ＝5厘米.
∠＝∠，
在△ AOB 和△ EOB 中，∵ቐ＝，
∠＝∠ = °，
∴△ AOB ≌△ EOB (ASA)，
∴ AO ＝ EO ，∠ BAO ＝∠ BEO ，∴∠ AHD ＝∠ BEO ，
1
2
3
∴∠ BHA ＝∠ AEC ，
由(1)易得∠ CAE ＝∠ ABH .
∠＝∠，
90°，点 A 、点 B 分别是 x 轴、 y 轴上的两个动点，直角
边 AC 交 x 轴于点 D ，斜边 BC 交 y 轴于点 E .
(2)如图②，在等腰直角三角形 ABC 不断运动的过程中，
若满足 BD 始终是∠ ABC 的平分线，试探究：线段
OA ， OD ， BD 三者之间是否存在
某一固定的数量关系，并说明理由.
(1)如图①，若 A (0，1)， B (2，0)，求点 C 的坐标；
1
2
3
解：(1)过点 C 作 CF ⊥ y 轴于点 F ，
∴∠ AFC ＝90°，∴∠ CAF ＋∠ ACF ＝90°.
∵△ ABC 是等腰直角三角形，∠ BAC ＝90°，
∴ AC ＝ AB ，∠ CAF ＋∠ BAO ＝90°，∴∠ ACF ＝∠ BAO .
∠＝∠ = °，
初中数学全等三角形中的动态问题(知识点例题解析)
初中数学全等三角形中的动态问题（知识点+例题解析）初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。
解决动点问题常见的答题思路是：1.注意分类讨论；2.仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；3.利用时间表示出相应线段或边的长度，列出方程求解.【典例解析】【例1－1】（2020·周口市月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动______秒时，△DEB与△BCA全等．【例1－2】（2020·江阴市月考）已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1B．1或3C．1或7D．3或7【变式1－1】（2020·无锡市月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高．点E从点B出发沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F.(1)试说明：∠A＝∠BCD；(2)当点E运动多长时间时，CF＝AB.请说明理由．【变式1－2】（2020·河北灵寿期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．(1)求OA、OB的长；(2)连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；(3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【例2】（2020·惠州市月考）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC ＝5cm，CE＝6cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为_____．【变式2－1】（2020·江阴市月考）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D 点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C 作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）试证明：AD∥BC．（2）在移动过程中，小芹发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．【变式2－2】（2020·重庆巴南月考）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在cm s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它线段AB上以1/们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的cm s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若运动速度为x/不存在，请说明理由．【变式2－3】（2020·江苏兴化月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．【例3】（2020·惠州市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，∠B=∠C，AD＝2BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【变式3－1】（2019·山西太原月考）如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5cm，BC=12cm，点P从点B 出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？．（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【变式3－2】（2020·四川成都）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q 三点所构成的三角形全等．【习题精练】=，BC6=，线段PQ=AB，1．（2020·江苏东台月考）如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC10点Q在过点A且垂直于AC的射线AX上来回运动，点P从C点出发，沿射线CA以2cm/s的速度运动，问>，才能使△ABC≌△QPA全等．P点运动___________秒时(t0)2.（2020·江苏泰州月考）如图，AB =12，CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，且AC =4m ，P 点从B 向A 运动，每分钟走1m ，Q 点从B 向D 运动，每分钟走2m ，P 、Q 两点同时出发，运动_______分钟后△CAP 与△PQB 全等．3．（2020·常州市月考）如图， ADC 中．∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ．AD ⊥AC ，AB ＝PQ ，P 、Q 两点分别在AC 、AD 上运动，当AQ ＝_____时，△ABC 才能和△APQ 全等．4.（2020·江西新余期末）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8cm AC =，15cm BC =，点M 从A 点出发沿A C B →→路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B C A →→路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F .设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为______.5.（2020·武城县月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等？6.（2020·盐城市盐都区月考）如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP=________时，才能使以点P、A、Q 为顶点的三角形与△ABC全等．7.（2020·四川青羊期中）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，AH是△ABC的高，AH＝4cm，BC＝8cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD＝cm，CE＝cm；（2）当t为多少时，△ABD的面积为12cm2？（3）请利用备用图探究，当t为多少时，△ABD≌△ACE？并简要说明理由．8．（2020·郑州市月考）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点A 、B 两点的坐标分别A （m ，0），B（0，n ），且|m -n -3|=0，点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．（1）求OA 、OB 的长；（2）连接PB ，若△POB 的面积不大于3且不等于0，求t 的范围；（3）过P 作直线AB 的垂线，垂足为D ，直线PD 与y 轴交于点E ，在点P 运动的过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ?若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．9.（2020·宜兴市月考）如图，在△ABC 中，∠BAD ＝∠DAC ，DF ⊥AB ，DM ⊥AC ，AF ＝10cm ，AC ＝14cm ，动点E 以2cm /s 的速度从A 点向F 点运动，动点G 以1cm /s 的速度从C 点向A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t ．（1）求证：AF ＝AM ；（2）当t 取何值时，△DFE 与△DMG 全等；（3）求证：在运动过程中，不管t 取何值，都有2AED DGC S S =△△．10.（2020·江苏工业园区期末）如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．现将△ABC和△EDF按如图②的方式摆放（点A与点D、点B与点E 分别重合）．动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动；同时，动点Q从点E出发，沿射线ED以acm/s（0＜a＜3）的速度匀速移动，连接PQ、CQ、FQ，设移动时间为ts（0≤t≤5）．＝3S△BQC，则a＝；（1）当t＝2时，S△AQF（2）当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时，求a的值；（3）如图③，在动点P、Q出发的同时，△ABC也以3cm/s的速度沿射线ED匀速移动，当以A、P、Q为顶点的三角形与△EFQ全等时，求a与t的值．11.（2019·江苏期末）如图①，在ABC ∆中，12AB =cm ，20BC =cm ，过点C 作射线//CD AB ．点M 从点B 出发，以3cm /s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以a cm /s 的速度沿CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动．连接AM 、MN ，设移动时间为t (s )．(1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为s ；(2)当ABM ∆与MCN ∆全等时，①若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值；②若点M 、N 的移动速度不同，求a 的值；(3)如图②，当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以2cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM ∆与MCN ∆全等的情形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．图①图②12.如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC cm =，15BC cm =，点M 从A 点出发沿A →C →B 路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F 设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为________．13.（2019·湖北襄州）在平面直角坐标系中，点A（0，5），B（12，0），在y轴负半轴上取点E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直线CO交BA的延长线于点D．（1）根据题意，可求得OE＝；（2）求证：△ADO≌△ECO；（3）动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等？14.（2019·福建省惠安期中）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，同时点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度向终点G运动，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0≤t≤2和2＜t≤4时线段BF的长度（用含t的代数式表示）；（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）若△ADE≌△CDF，求所有满足条件的t值．15.（2020·无锡市月考）△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q 的运动速度为_____厘米/秒，△BPD与△CQP全等.16.（2020·广东龙岗期末）直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．（1）当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．（2）当AC=8，BC=6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N 作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM=，当N在F→C路径上时，CN=．（用含t的代数式表示）②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．17.（2020·青岛市黄岛区月考）如图1，直线AM AN ⊥，AB 平分MAN ∠，过点B 作BC BA ⊥交AN 于点C ；动点E 、D 同时从A 点出发，其中动点E 以2/m s 的速度沿射线AN 方向运动，动点D 以1/m s 的速度运动；已知6AC cm =，设动点D ，E 的运动时间为t ．图1备用图（1）试求∠ACB 的度数；（2）当点D 在射线AM 上运动时满足ADB S ：2BEC S = ：3，试求点D ，E 的运动时间t 的值；（3）当动点D 在直线AM 上运动，E 在射线AN 运动过程中，是否存在某个时间t ，使得ADB 与BEC 全等？若存在，请求出时间t 的值；若不存在，请说出理由．参考答案及解析初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。
全等三角形动点问题
ABCDEF全等三角形动点问题一）、知识回顾动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动．热身练习：1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点 （不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝ ． 二）、例题辨析例1、 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=CB ，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD=CE ，连接DE 、DF 、EF. （1）、求证：△ADF ≌△CEF.（2）、试证明△DFE 是等腰直角三角形.（3）、在此运动变化的过程中，四边形CDFE 的面积是否保持不变？试说明理由．（4）、求△CDE 面积的最大值．例2如图，△ABC 的边BC 在直线 上，AC ⊥BC ，且AC ＝BC ，△EFP 的边FP 也在直线 上，边EF 与边AC 重合，且EF ＝FP 。
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP、BQ。
猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想。
练习：1、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E 分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ） A ．①②③ B ．①③ C ．①③④ D ．②③④2、（2011随州，18，7分）在等腰三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE=4，FC=3，求EF 长．例2：在ABC ∆中，AB AC =，CG BA ⊥交BA 的延长线于点G ．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B ． （1）在图1中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE BA ⊥于点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度，猜想并写出DE DF +与CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； （3）当三角尺在⑵的基础上沿AC 方向继续平移到图3所示的位置(点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合)时，⑵中的猜想是否仍然成立？(不用说明理由)例3、如图，在等边△ABC 中，AB=9cm ，点P 从点C 出发沿CB 边向点B 点以2cm/s 的速度移动，点Q 点从B 点出发沿BA 边向A 点以5cm/s 速度移动．P 、Q 两点同时出发，它们移动的时间为t 秒钟．（1）你能用t 表示BP 和BQ 的长度吗？请你表示出来． （2）请问几秒钟后，△PBQ 为等边三角形？ABE G图3BC GC G图1（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？三）、归纳总结动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。
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全等三角形动态问题
全等三角形动态
问题一：什么是全等三角形？
•解释：全等三角形是指两个三角形的对应边长和对应角度都相等的情况下，它们是全等的。
问题二：全等三角形的性质有哪些？
•解释：全等三角形具有以下性质：
1.对应边长相等：如果两个三角形的对应边长相等，那么它
们是全等的。
2.对应角度相等：如果两个三角形的对应角度相等，那么它
们是全等的。
3.对边角的对应关系：如果两个三角形的一对对应边和夹角
相等，那么它们是全等的。
4.SSA 判定条件：如果两个三角形的两对对应边和一对夹角
相等，那么它们可能全等或无解。
5.SSS 判定条件：如果两个三角形的三对对应边相等，那么
它们是全等的。
问题三：如何判断两个三角形是否全等？
•解释：判断两个三角形是否全等可以使用以下方法：
1.SSS 判定条件：如果两个三角形的三对对应边相等，那么
它们是全等的。
2.SAS 判定条件：如果两个三角形的一对对应边和夹角相等，
那么它们是全等的。
3.ASA 判定条件：如果两个三角形的两对对应角度和一对对
应边相等，那么它们是全等的。
4.AAS 判定条件：如果两个三角形的两对对应角度和一对对
边相等，那么它们是全等的。
5.RHS 判定条件：如果两个直角三角形的斜边和一个锐角相
等，那么它们是全等的。
问题四：全等三角形的应用有哪些？
•解释：全等三角形具有以下应用：
1.几何证明：全等三角形的性质可以用于几何证明中，帮助
推导出其他几何定理和性质。
2.三角测量：通过判定两个三角形是否全等，可以进行相关
角度和边长的测量，用于解决实际问题。
3.相似三角形的推导：全等三角形的性质也可以用于推导相
似三角形的性质和定理。
以上是关于全等三角形动态的一些问题及解释。
全等三角形是几何学中的重要概念，掌握其性质和应用可以帮助我们更好地理解和运用几何学知识。
问题五：如何构造一个全等三角形？
•解释：构造一个全等三角形可以使用以下方法：
1.SSS 构造法：根据给定的三个边长，可以使用直尺和量角
器来构造一个全等的三角形。
2.SAS 构造法：根据给定的一对边和夹角，可以使用直尺和
量角器来构造一个全等的三角形。
3.ASA 构造法：根据给定的两对角度和一对边，可以使用直
尺和量角器来构造一个全等的三角形。
4.AAS 构造法：根据给定的两对角度和一对对边，可以使用
直尺和量角器来构造一个全等的三角形。
问题六：如何解决与全等三角形相关的实际问题？
•解释：解决与全等三角形相关的实际问题可以遵循以下步骤：
1.确定已知条件：根据问题中提供的信息，确定已知的角度
和边长。
2.判断是否能使用全等三角形的性质：根据已知条件，判断
是否可以利用全等三角形的性质解决问题。
3.使用相应的全等三角形判定条件：根据已知条件，选择相
应的全等三角形判定条件，进行判断和计算。
4.求解未知量：根据已知条件和全等三角形的性质，求解问
题中要求的未知量。
5.检查和解释结果：检查计算结果是否符合实际情况，并对
解答进行解释和说明。
问题七：全等三角形的重要性在哪里？
•解释：全等三角形在几何学中具有重要的作用和意义，具体表现在以下方面：
1.推导定理和性质：全等三角形的性质可以用于推导其他几
何定理和性质，帮助解决更复杂的几何问题。
2.解决实际问题：全等三角形的性质可以应用于实际问题的
解决，如测量角度和边长等。
3.实用性强：全等三角形的判定条件和构造方法较为简单易
懂，且适用范围广泛，是几何学中的基础知识。
以上是关于全等三角形动态的进一步问题及解释，全等三角形的性质和应用对于几何学学习和实际问题解决具有重要意义。