全等三角形中的动态性问题
第5讲全等三角形动态几何
第五讲全等三角形动态几何一、知识梳理所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线，上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查.动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。
解动态几何题一.般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系(如等量关系、变量关系)、图形位置关系(如图形的特殊状态、图形间的特殊关系)等进行研究考察.抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。
二、典型例题例1、如图，已知AB ＝12米，MA ⊥AB 于点A ，MA ＝6米，射线BD ⊥AB 于点B ，点P 从点B 出发沿BA 方向往点A 运动，每秒走1米，点Q 从点B 出发沿BD 方向运动，每秒走2米，若点P 、Q 同时从点B 出发，出发t 秒后，在线段MA 上有一点C ，使由点C 、A 、P 组成的三角形与△PBQ 全等，则t 的值是_____．【答案】4秒例2、如图，有一个直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC 10=，BC 6=，线段PQ =AB ，点Q 在过点A 且垂直于AC 的射线AX 上来回运动，点P 从C 点出发，沿射线CA 以2/cm s 的速度运动，问P 点运动___________秒时(t 0)>，才能使ABC ≌QPA 全等．【答案】2或8例3、图，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝100，E ，F 分别为线段AB 和射线BD 上的一点，若点E从点B 出发向点A 运动，同时点F 从点B 出发向点D 运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC 上取一点G ，使△AEG 与△BEF 全等，则AG 的长为40或75．【分析】设BE ＝2t ，则BF ＝3t ，使△AEG 与△BEF 全等，由∠A ＝∠B ＝90°可知，分两种情况：情况一：当BE ＝AG ，BF ＝AE 时，列方程解得t ，可得AG ；情况二：当BE ＝AE ，BF ＝AG 时，列方程解得t ，可得AG ．【解答】解：设BE ＝2t ，则BF ＝3t ，因为∠A ＝∠B ＝90°，使△AEG 与△BEF 全等，可分两种情况：情况一：当BE ＝AG ，BF ＝AE 时，∵BF ＝AE ，AB ＝100，∴3t ＝100﹣2t ，解得：t ＝20，∴AG ＝BE ＝2t ＝2×20＝40；情况二：当BE ＝AE ，BF ＝AG 时，∵BE ＝AE ，AB ＝100，∴2t ＝100﹣2t ，解得：t ＝25，∴AG ＝BF ＝3t ＝3×25＝75，综上所述，AG ＝40或AG ＝75．故答案为：40或75．例4、如图（1），AB ＝4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝3cm ．点P 在线段AB 上以1/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t （s ）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t ＝1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”为改“∠CAB ＝∠DBA ＝60°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为x /cm s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当t =1时，AP =BQ =1,BP =AC =3,又∠A =∠B =90°，在△ACP 和△BPQ 中，{AP BQA BAC BP=∠=∠=∴△ACP ≌△BPQ (SAS ).∴∠ACP =∠BPQ ,∴∠APC +∠BPQ =∠APC +∠ACP =90*.∴∠CPQ =90°，即线段PC 与线段PQ 垂直；(2)①若△ACP ≌△BPQ ，则AC =BP ，AP =BQ ，34t t xt=-⎧⎨=⎩解得11t x =⎧⎨=⎩;②若△ACP ≌△BQP ，则AC =BQ ，AP =BP ，34xt t t=⎧⎨=-⎩解得：232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等.例5、如图，已知△ABC 中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒得速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，1秒钟时，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD ≌△CQP ？（2）若点Q 以（1）②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？例6、如图（1）AB =8cm ，AC AB ⊥，BD AB ⊥，AC =BD =6cm ，点P 在线段AB 上以2/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动，它们的运动时间为t (s )．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t =1时，ACP ∆与BPQ ∆是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC AB ⊥，BD AB ⊥”改为“60CAB DBA ∠=∠= ”，其他条件不变，设点Q 的运动速度为/xcm s ，是否存在实数x ，使得ACP ∆与BPQ ∆全等？若存在，求出相应的x 、t 值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）当1t =时，2AP BQ ==，6BP AC ==，又∠A =∠B =90°，在ACP ∆与BPQ ∆中AP BQ A B AC BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BPQ (SAS )，ACP BPQ ∴∠=∠，90APC BPQ APC ACP ∴∠+∠=∠+∠= ，90CPQ ∴∠= ，即PC PQ ⊥；（2）①若△ACP ≌△BPQ ，则AC BP =，A P B Q =，8262t t xt -=⎧⎨=⎩，解得12t x =⎧⎨=⎩；②若△ACP ≌△BQP ，则AC BQ =，AP BP =，6282xt t t =⎧⎨=-⎩，解得23t x =⎧⎨=⎩，综上所述，存在1223t t x x ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，使得ACP ∆与BPQ ∆全等.例7、在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，D 是AB 的中点，动点E 从A 点出发沿着AC 匀速运动到终点C ，动点F 从C 点出发沿着CB 匀速运动到终点B ，他们同时出发并同时到达终点，连结DE ，DF ，EF ，在运动过程中。
2022中考数学技巧《全等三角形中的动态问题》专题讲解附练习及答案
难点探究专题：全等三角形中的动态问题◆类型一全等三角形中的动点问题1．如图，在△MAB中，MA＝MB，过M点作直线MN交AB于N点．P是直线MN 上的一个动点，在点P移动的过程中，假设NA＝NB，那么∠PAM与∠PBM是否相等？说明理由．2．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为________；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为______________ (将结论直接写在横线上)；(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二全等三角形中的动图问题3．等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE.(1)如果点B，C，D在同一条直线上，如图①所示，试说明：AD＝BE；(2)如果△ABC绕C点转过一个角度，如图②所示，(1)中的结论还能否成立？请说明理由．◆类型三 全等三角形中的翻折问题4．如图，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF ＝12∠DAB.试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并说明理由．参考答案与解析1．解：∠P AM ＝∠PBM .理由如下：∵NA ＝NB ，MA ＝MB ，MN 是公共边，∴△AMN ≌△BMN (SSS)，∴∠MAN ＝∠MBN ，∠MNA ＝∠MNB .又∵NA ＝NB ，PN 是公共边，∴△P AN ≌△PBN (SAS)，∴∠P AN ＝∠PBN .∴∠P AM ＝∠PBM .2．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF .在△DAB 与△F AC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .3．解：(1)∵△ABC ，△CDE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝DE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°.∵点B ，C ，D 在同一条直线上，∴∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACD ＝120°.在△ACD与△BCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)．∴AD ＝BE .(2)成立．理由如下：∵∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB ＋∠ACE ＝∠DCE ＋∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD .又∵AC ＝BC ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE .4．解：DE ＋BF ＝EF .理由如下：延长CB 至G ，作∠5＝∠1，如以下列图．∵将Rt △ABC沿斜边翻折得到△ADC ，∠EAF ＝12∠DAB ，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，∠2＋∠3＝∠1＋∠4，∴∠ABG ＝90°＝ADE .∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF ＝∠EAF .在△AGB 和△AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAB ＝∠EAD ，AB ＝AD ，∠ABG ＝∠ADE ，∴△AGB ≌△AED (ASA)，∴AG ＝AE ，BG ＝DE .在△AGF 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AE ，∠GAF ＝∠EAF ，AF ＝AF ，∴△AGF ≌△AEF (SAS)，∴GF ＝EF ，∴BG ＋BF＝EF ，∴DE ＋BF ＝EF .。
全等三角形的判定题型
全等三角形的判定题型类型一、全等三角形的判定1——“边边边”例题、已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.类型二、全等三角形的判定2——“边角边”例题、已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝12（AB ＋AD ），求证：∠B ＋∠D ＝180°.类型三、全等三角形的判定3——“角边角”例题、已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.类型四、全等三角形的判定4——“角角边”例题、已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB 于E 、F ．当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时（如图1），和AC 不垂直易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△；当∠EDF 绕D 点旋转到DE时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.类型五、直角三角形全等的判定——“HL ”下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AH 为第三边上的高，如下图：1、已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.求证：AB ∥DC.2、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12cm，求BD的长.启发：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC在直线距的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所离相等.角的平分线的性质及判定1、 如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC.求证：BE ＝CF.2、如图，AC=DB ，△PAC 与△PBD 的面积相等．求证：OP 平分∠AOB ．启发：观察已知条件中提到的三角形△PAC 与△PBD ，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得.跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果.3、如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的平分线相交于E，过E的直线分别交DC、AB于C、B两点. 求证：AD＝AB＋DC.类型一、全等三角形的性质和判定如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1)．作公共边可构造全等三角形：1、在ΔABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C(2)．倍长中线法：1、已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．2、若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长x的取值范围是( )A.1 ＜x＜6B.5 ＜x＜7C.2 ＜x＜12D.无法确定(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝如图，AD是ABCBD.(1)求证：∠B与∠AHD互补；(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形：1、如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC2、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．启发：因为AB＞AC，所以可在AB上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE．这表明只要证明ME＝MC，则结论成立．充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1、如图所示，已知E为正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE．求证：AF＝AD＋CF．启发与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 四边形ABCD为正方形，则∠D＝90°．而∠DAE＝∠FAE说明AE为∠FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E到AD 的距离已有，只需作E到AF的距离EM即可，由角平分线性质可知ME＝DE．AE＝AE．Rt △AME与Rt△ADE全等有AD＝AM．而题中要证AF＝AD＋CF．根据图知AF＝AM＋MF．故只需证MF＝FC即可．从而把证AF＝AD＋CF转化为证两条线段相等的问题．2、如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，12AE BD，求证：BD是∠ABC的平分线．(点评）如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型三、全等三角形动态型问题解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1)变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2)图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3)几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化1、已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，求证：CF＝BD（2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由.2、如图(1)，△ABC中，BC＝AC，△CDE中，CE＝CD，现把两个三角形的C点重合，且使∠BCA＝∠ECD，连接BE，AD．求证：BE＝AD．若将△DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗?为什么?。
浅谈三角形中的动点问题
浅谈三角形中的动点问题动点问题是一类灵活、有难度的数学问题，也是近些年来各市中考中常出现的考点。
本文将以湘教版八年级全等三角形中一道习题为例，对变化出来的一系列动点问题从如下几个方面进行探讨和阐述。
一．本文选题背景1、知识背景：本题用到的知识点是：全等三角形；2、思维方法背景：转化思想；二．选择母题的目的：动点问题历来是中考的压轴考点；要让学生解决复杂的动点问题， 必须让学生在初二就形成动态问题的思考方式，遵循由易到难的原则，故选择这道题作为母题；三、原题已知：如图，△ABC 是等边三角形、点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为边作△ADE ，△ADE 是等边三角形，连接CE ；求证：BD=CE题目分析：从数量上来看，BE 与CE 是应该相等的；证明边相等，可以考虑全等三角形的判定定理来证明△BAD ≌△EAC ，然后利用全等三角形的性质来说明边相等.证明：∵ △ABC 、△ADE 是等边三角形 ∴ AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°；又∵∠DAC=∠DAC ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠EAC∴ △BAD ≌△EAC ∴ BD=CE四、拓展与变式变式1：“正三角形”改为等腰三角形，是否△BAD ≌△EAC 成立那么BD 与CE 的结论成立吗？探究BC=DC+CE 是否成立.题目：在△ABC 中，AB=AC,点D 是线段BC 上一点（不与B 、C 重合），AD 为一边作△ADE ，使AD=AE ，∠DAE=∠BAC ，连接CE.求证：BD=CE ，并直接判断结论BC=DC+CE 是否成立；证明： ∵∠DAE=∠BAC∴DAE-DAC BAC-DAC ∠∠=∠∠ 即EAC BAD ∠=∠又∵AB=AC ，AD=AE∴△BAD ≌△EAC∴CE=BD ∵BC=DC+BD ∴BC=DC+CEC AB F DC B F D变式2：将变式1的条件“点D 是线段BC 上一点（不与B 、C 重合）”修改为“点D 在边CB 的延长线上或者在边BC 的延长线上”，是否△BAD ≌△EAC 成立？并探究“BC 、DC 、CE ”的数量关系。
河北省八年级数学上册拔高练全等三角形中的动态问题新版新人教版
∵ BP ＝ CQ . 点 P ， Q 运动的时间相等，点 P 的运动速度
是3厘米/秒，∴点 Q 的运动速度是3厘米/秒.
1
2
3
②当 CQ ＝ BE ， PB ＝ PC 时，△ BPE ≌△ CPQ . 此时3 t
＝8－3 t ，∴ t ＝ ，
∵点 E 是 AB 的中点，∴ CQ ＝ BE ＝5厘米.
∠＝∠，
在△ AOB 和△ EOB 中，∵ቐ＝，
∠＝∠ = °，
∴△ AOB ≌△ EOB (ASA)，
∴ AO ＝ EO ，∠ BAO ＝∠ BEO ，∴∠ AHD ＝∠ BEO ，
1
2
3
∴∠ BHA ＝∠ AEC ，
由(1)易得∠ CAE ＝∠ ABH .
∠＝∠，
90°，点 A 、点 B 分别是 x 轴、 y 轴上的两个动点，直角
边 AC 交 x 轴于点 D ，斜边 BC 交 y 轴于点 E .
(2)如图②，在等腰直角三角形 ABC 不断运动的过程中，
若满足 BD 始终是∠ ABC 的平分线，试探究：线段
OA ， OD ， BD 三者之间是否存在
某一固定的数量关系，并说明理由.
(1)如图①，若 A (0，1)， B (2，0)，求点 C 的坐标；
1
2
3
解：(1)过点 C 作 CF ⊥ y 轴于点 F ，
∴∠ AFC ＝90°，∴∠ CAF ＋∠ ACF ＝90°.
∵△ ABC 是等腰直角三角形，∠ BAC ＝90°，
∴ AC ＝ AB ，∠ CAF ＋∠ BAO ＝90°，∴∠ ACF ＝∠ BAO .
∠＝∠ = °，
初中数学全等三角形中的动态问题(知识点例题解析)
初中数学全等三角形中的动态问题（知识点+例题解析）初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。
解决动点问题常见的答题思路是：1.注意分类讨论；2.仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；3.利用时间表示出相应线段或边的长度，列出方程求解.【典例解析】【例1－1】（2020·周口市月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动______秒时，△DEB与△BCA全等．【例1－2】（2020·江阴市月考）已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1B．1或3C．1或7D．3或7【变式1－1】（2020·无锡市月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高．点E从点B出发沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F.(1)试说明：∠A＝∠BCD；(2)当点E运动多长时间时，CF＝AB.请说明理由．【变式1－2】（2020·河北灵寿期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．(1)求OA、OB的长；(2)连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；(3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【例2】（2020·惠州市月考）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC ＝5cm，CE＝6cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为_____．【变式2－1】（2020·江阴市月考）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D 点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C 作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）试证明：AD∥BC．（2）在移动过程中，小芹发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．【变式2－2】（2020·重庆巴南月考）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在cm s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它线段AB上以1/们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的cm s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若运动速度为x/不存在，请说明理由．【变式2－3】（2020·江苏兴化月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．【例3】（2020·惠州市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，∠B=∠C，AD＝2BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【变式3－1】（2019·山西太原月考）如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5cm，BC=12cm，点P从点B 出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？．（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【变式3－2】（2020·四川成都）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q 三点所构成的三角形全等．【习题精练】=，BC6=，线段PQ=AB，1．（2020·江苏东台月考）如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC10点Q在过点A且垂直于AC的射线AX上来回运动，点P从C点出发，沿射线CA以2cm/s的速度运动，问>，才能使△ABC≌△QPA全等．P点运动___________秒时(t0)2.（2020·江苏泰州月考）如图，AB =12，CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，且AC =4m ，P 点从B 向A 运动，每分钟走1m ，Q 点从B 向D 运动，每分钟走2m ，P 、Q 两点同时出发，运动_______分钟后△CAP 与△PQB 全等．3．（2020·常州市月考）如图， ADC 中．∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ．AD ⊥AC ，AB ＝PQ ，P 、Q 两点分别在AC 、AD 上运动，当AQ ＝_____时，△ABC 才能和△APQ 全等．4.（2020·江西新余期末）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8cm AC =，15cm BC =，点M 从A 点出发沿A C B →→路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B C A →→路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F .设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为______.5.（2020·武城县月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等？6.（2020·盐城市盐都区月考）如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP=________时，才能使以点P、A、Q 为顶点的三角形与△ABC全等．7.（2020·四川青羊期中）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，AH是△ABC的高，AH＝4cm，BC＝8cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD＝cm，CE＝cm；（2）当t为多少时，△ABD的面积为12cm2？（3）请利用备用图探究，当t为多少时，△ABD≌△ACE？并简要说明理由．8．（2020·郑州市月考）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点A 、B 两点的坐标分别A （m ，0），B（0，n ），且|m -n -3|=0，点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．（1）求OA 、OB 的长；（2）连接PB ，若△POB 的面积不大于3且不等于0，求t 的范围；（3）过P 作直线AB 的垂线，垂足为D ，直线PD 与y 轴交于点E ，在点P 运动的过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ?若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．9.（2020·宜兴市月考）如图，在△ABC 中，∠BAD ＝∠DAC ，DF ⊥AB ，DM ⊥AC ，AF ＝10cm ，AC ＝14cm ，动点E 以2cm /s 的速度从A 点向F 点运动，动点G 以1cm /s 的速度从C 点向A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t ．（1）求证：AF ＝AM ；（2）当t 取何值时，△DFE 与△DMG 全等；（3）求证：在运动过程中，不管t 取何值，都有2AED DGC S S =△△．10.（2020·江苏工业园区期末）如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．现将△ABC和△EDF按如图②的方式摆放（点A与点D、点B与点E 分别重合）．动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动；同时，动点Q从点E出发，沿射线ED以acm/s（0＜a＜3）的速度匀速移动，连接PQ、CQ、FQ，设移动时间为ts（0≤t≤5）．＝3S△BQC，则a＝；（1）当t＝2时，S△AQF（2）当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时，求a的值；（3）如图③，在动点P、Q出发的同时，△ABC也以3cm/s的速度沿射线ED匀速移动，当以A、P、Q为顶点的三角形与△EFQ全等时，求a与t的值．11.（2019·江苏期末）如图①，在ABC ∆中，12AB =cm ，20BC =cm ，过点C 作射线//CD AB ．点M 从点B 出发，以3cm /s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以a cm /s 的速度沿CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动．连接AM 、MN ，设移动时间为t (s )．(1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为s ；(2)当ABM ∆与MCN ∆全等时，①若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值；②若点M 、N 的移动速度不同，求a 的值；(3)如图②，当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以2cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM ∆与MCN ∆全等的情形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．图①图②12.如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC cm =，15BC cm =，点M 从A 点出发沿A →C →B 路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F 设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为________．13.（2019·湖北襄州）在平面直角坐标系中，点A（0，5），B（12，0），在y轴负半轴上取点E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直线CO交BA的延长线于点D．（1）根据题意，可求得OE＝；（2）求证：△ADO≌△ECO；（3）动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等？14.（2019·福建省惠安期中）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，同时点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度向终点G运动，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0≤t≤2和2＜t≤4时线段BF的长度（用含t的代数式表示）；（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）若△ADE≌△CDF，求所有满足条件的t值．15.（2020·无锡市月考）△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q 的运动速度为_____厘米/秒，△BPD与△CQP全等.16.（2020·广东龙岗期末）直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．（1）当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．（2）当AC=8，BC=6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N 作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM=，当N在F→C路径上时，CN=．（用含t的代数式表示）②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．17.（2020·青岛市黄岛区月考）如图1，直线AM AN ⊥，AB 平分MAN ∠，过点B 作BC BA ⊥交AN 于点C ；动点E 、D 同时从A 点出发，其中动点E 以2/m s 的速度沿射线AN 方向运动，动点D 以1/m s 的速度运动；已知6AC cm =，设动点D ，E 的运动时间为t ．图1备用图（1）试求∠ACB 的度数；（2）当点D 在射线AM 上运动时满足ADB S ：2BEC S = ：3，试求点D ，E 的运动时间t 的值；（3）当动点D 在直线AM 上运动，E 在射线AN 运动过程中，是否存在某个时间t ，使得ADB 与BEC 全等？若存在，请求出时间t 的值；若不存在，请说出理由．参考答案及解析初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。
全等三角形及动点问题分析
FED CBA举一反三：【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．(2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形例2、如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．举一反三：【变式】如图，AD是ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD.(1)求证：∠B与∠AHD互补；(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形例3、如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．举一反三：【变式】如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段例4、如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．例5、如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，12AE BD，求证：BD是∠ABC的平分线．类型二、全等三角形动态型问题例6、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.（1）如图1当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF.（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.举一反三：【变式】【问题情境】如图，在正方形ABCD中，点E是线段BG上的动点，AE⊥EF，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．【探究展示】（1）如图1，若点E是BC的中点，证明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．（2）如图2，若点E是BC的上的任意一点（B、C除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，若点E是BC延长线（C除外）上的任意一点，求证：AE=EF．知识梳理三角形全等中的动点问题分析思路：审题:要明白动点问题的关键是什么,一是点的运动路径,也就是点往哪里运动?有多少个点运动?点的运动速度是多少?运动到何时停止?运动情景分析:点运动的过程中会发生哪些变化?线段长的变化和线段长的表示.经过转折点后,图形会发生什么变化?线段长的表示是否发生变化,能否用代数式表示出来等;建立等量关系解答:动点问题到最后都是等量关系建立起来解答,如全等三角形对应边相等的讨论时,建立的就是线段长方程。
专题01 化动为静,破解三角形中的动态问题-八年级数学辅导讲义(人教版)
专题01 化动为静，破解三角形中的动态问题解题核心一、分析分析题意，有几个动点，动点怎么运动的？二、思考思考是否需要分类讨论？怎么用时间、速度表示线段的长度？三、列方程解答问题【题型一】全等三角形存在性【例1-1】（2020·广州市期中）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（）s时，能够使BPE与CQP全等．A．1B．1或4C．1或2D．2或4【答案】B.【解析】解：分两种情况：①当EB ＝PC ，BP ＝QC 时，△BPE ≌△CQP ，∵AB ＝20cm ，AE ＝6cm ，∴EB ＝14cm ，∴PC ＝14cm ，∵BC ＝16cm ，∴BP ＝2cm ，∴t ＝2÷2＝1 s ；②当BP ＝CP ，BE ＝QC 时，△BEP ≌△CQP ，由题意得：2t ＝16﹣2t ，解得：t ＝4 s ，故答案为：B ．【例1-2】（2020·邢台市期中）如图，9cm AB =，3cm AC =，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点B 向点A 运动，同时点Q 在射线BD 上以x cm/s 的速度由点B 沿射线BD 的方向运动，它们运动的时间为t （s ）图① 图②（1）如图①，若AC AB ⊥，BD AB ⊥，当ACP BPQ △≌△，x =________；CPQ ∠=________．（2）如图②，CAB DBA ∠=∠，当ACP △与BPQ 全等，x =________；【答案】（1）2；90°；（2）2或23. 【解析】解：（1）当△ACP ≌△BPQ 时，AC=BP=3，AP=BQ=6，∴t=3 s ，x=6÷3=2 cm/s ，∵∠CPA=∠PQB ，∠PQB+∠QPB=90°∴∠CPA+∠QPB=90°，∠CPQ=90°.（2）分两种情况讨论：①当△ACP ≌△BPQ 时，AC=BP=3，AP=BQ=6t=3 s ，x=2 cm/s.②当△ACP ≌△BQP 时，AC=BQ=3，AP=BP=4.5t=4.5÷1=4.5 s ，x=3÷4.5=23cm/s. 综上：当△ACP 与△BPQ 全等，x=2 cm/s 或23cm/s ． 【变式1-1】（2020·重庆月考）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，8cm,6cm AC BC ==，直线l 经过点C 且与边AB 相交，动点P 从点A 出发沿A C B →→路径向终点B 运动，动点Q 从点B 出发沿B C A →→路径向终点A 运动，点P 和点Q 的速度分别为3cm/s 和2cm/s ，两点同时出发并开始计时，当点P 到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点P 和点Q 作PM l ⊥于点M ，QN l ⊥点N ，设运动时间为t 秒，则当t =__________秒时，PMC △与QNC 全等．【答案】2或145． 【解析】解：由题意得，AP ＝3t ，BQ ＝2t ，∵AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，∴CP ＝8﹣3t ，CQ ＝6﹣2t ，①当△PMC 与△QNC 全等时，PC=QC ，6-2t=8-3t ，解得t=2②当点P 运动至BC 上，且与点Q 相遇，则PC=QC ，6-2t=3t -8，解得t=145；故答案为：2或145． 【变式1-2】（2020·成都市期中）如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC cm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F ．则点P 运动时间为_______________时，△PEC 与△QFC 全等．【答案】1或72. 【解析】解：分两种情况讨论：①如图所示：∵△PEC与△QFC全等，∴PC=CQ即6-t=8-3t，解得：t=1；②如图所示，当P、Q重合时，满足题意6-t=3t-8，解得t=72，故答案为：1或72．【题型二】等腰三角形存在性【例2】（2020·民勤县期中）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（）A．2s B．3s C．4s D．6s【答案】C.【解析】解：设运动时间为x，则AP=20-3x，AQ=2x，由题意得：AP=QA即20-3x=2x，解得x=4，故答案为：C.【变式2-1】（2020·江门市期中）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，∠B＝60°，AD＝8cm，AB＝16cm，BC＝10cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为2cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为ts，解答下列问题：（1）设PQB△的面积为S，当P、Q两点同时停止运动时，求出S的值．（2）当t为何值时，PQB△为等边三角形？（3）当t为何值时，∠PQB＝30°？【答案】见解析.【解析】解：（1）∵AB＝16cm，BC＝10cm，点P，点Q的速度均为2cm/s，∴t＝10÷2=5 s，AQ＝BC＝10cm，∴BQ＝6cm，∴S＝S△PBQ＝12×6×8＝24 cm2，（2）当BQ＝BP时，△PQB为等边三角形，∵∠B＝60°，BQ＝BP，∴△PQB为等边三角形，即2t＝16﹣2t，解得t＝4，∴当t为4s时，△PQB为等边三角形；（3）∵∠PQB＝30°，∠B＝60°，∴∠QPB＝90°，∠PQB＝30°，∴BQ＝2PB，∴16﹣2t＝2×2t，∴t＝83，∴当t为83时，∠PQB＝30°．【变式2-2】（2020·北京市期中）已知如图，三角形ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有M，N两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为3cm/s，当点N第一次到达点B时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动3秒后，以点A、M、N为顶点的三角形为__________形；（填“等腰”、“等边”、“直角”）（2）点M、N运动__________秒后，以点C．M、N为顶点的三角形为等边三角形；（3）当点M、N同时在AC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形BMN，如果能求出此时M、N运动的时间，如果不能，请说明理由．【答案】（1）等边；（2）9；（3）见解析．【解析】解：（1）如图，点M、N运动3秒后，AM=3，BN=9，则AN=12-9=3∴AM=AN∵∠A=60°∴△AMN为等边三角形．（2）如图，∵∠C=60°，∴当CM=CN时，∆CMN为等边三角形．设两点运动时间为ts，CM=12-t，CN=3t-24∴12-t=3t-24，解得：t=9故答案为：9.（3）不能.当BM=BN时，∆BMN是以MN为底边的等腰三角形①当点N没有超过M点时，∵BM=BN∴∠BNM=∠BMN，∠BNA=∠BMC∵∠C=∠A=60°，AB=BC∴∆BNA≌∆BMC∴AN=MC∴12-t=3t-12解得t=6，此时M,N重合，不符合题意；②当点N超过点M时，同理AN=MC∴AM=t，NC=24-3t∴t =24-3t，解得t=6∴t=6时，M,N点重合．综上所述，不能得到以MN为底边的等腰三角形BMN．【题型三】直角三角形存在性【例3】（2020·长沙市月考）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC 上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．图1 图2（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【答案】见解析．【解析】（1）∠CMQ＝60°，不变．∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°．由题意知AP＝BQ．∴△ABQ≌△CAP∴∠BAQ＝∠ACP∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设P、Q运动时间为t秒，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝43．②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝83．∴当第43秒或第83秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°，不变．∵在等边△ABC中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°．由题意知BP＝CQ．∴△PBC≌△QCA∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°．【变式3-1】（2020·珠海市期中）已知△ABC是边长为8cm的等边三角形，动点P、Q同时出发，分别在三角形的边或延长线上运动，他们的运动时间为t s ．（1）如图1，若P点由A向B运动，Q点由C向A运动，他们的速度都是1/cm s，连接PQ．则AP= ，AQ= ，（用含t式子表示）；（2）在(1)的条件下，是否存在某一时刻，使得△APQ为直角三角形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）如图2，若P点由A出发，沿射线AB方向运动，Q点由C出发，沿射线AC方向运动，P的速度为3cm/s，Q的速度为a cm/s是否存在某个a的值，使得在运动过程中△BPO 恒为以BP为底的等腰三角形？如果存在，请求出这个值，如果不存在，请说明理由．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意可知：AP= t cm，CQ=t cm，AQ= （6-t）cm.（2）存在.①当∠APQ=90°时，有2t=8-t ，解得t=83②当∠AQP=90°时，有t=2（8-t ），解得t=163 综上所述，存在t=83s 或163s 时，使得△APQ 为直角三角形. （3）存在a=3 cm/s 时，△BPQ 恒为以BP 为底的等腰三角形，理由是：过Q 作QM ⊥BP 于M ，由题意得：AP=3t ，CQ=at ，AQ=8+at ，BP=|8-3t|，∵PQ=BQ ，QM ⊥BP ，∴PM=BM=12BP 由△ABC 为等边三角形，得∠A=60°，∴∠AQM=30°，AQ=2AM即8+at=2（3t+12|8-3t|）， 解得：a=3.即存在a=3时，△BPQ 恒为以BP 为底的等腰三角形．【题型四】最短路径存在性【例4】（2020·昌乐县期中）如图，钝角三角形ABC 的面积是15，最长边10AB =，BD 平分ABC ∠，点M ，N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM MN +的最小值为（ ）A．4B．3C．2.8D．2.5【答案】B.【解析】解：作点C关于线段BD的对称点C’，过点C’作C’N⊥BC于点N，交BD于点M，根据轴对称的性质，此时CM+MN=C’M+MN=C’N，此时CM+MN取最小值，最小值就是C’N的长，∴C’N=15×2÷10=3．故答案为：B．【变式4-1】（2020·广州市期中）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,BC=10，BD 是∠ABC的平分线，若P，Q分别是BD和AB上的动点，则PA+PQ的最小值是______．【答案】4.8.【解析】解：如图，作点Q关于直线BD的对称点Q’，过A作AM⊥BC于点M，PA+PQ=PA+PQ’，根据垂线段最短可知，当A，P，Q’共线，与AM重合时，PA+PQ的值最小，最小值就是AM的长，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,BC=10，∴AM=6×8÷10=4.8；故答案为：4.8．【题型五】旋转与全等【例5】（2020·中山市期中）如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和A B C '''重合放置，其中90C ∠=︒，30B B ∠∠'==︒，2AC AC '==．（1）操作发现：如图②，固定ABC ，将A B C ''绕点C 旋转，当点A '恰好落在AB 边上时．①CA B ∠''=____，旋转角为_____（0＜α＜90°），线段A B ''与AC 的位置关系是 ②设A BC '的面积为1S ，AB C '的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是___． （2）猜想论证：当A B C ''绕点C 旋转到③所示的位置时，徐富老师猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了A BC '和AB C '中BC ，B C '边上的高A D '，AE ，请你证明徐富老师的猜想．【答案】（1）①60°，60°，平行；②S 1=S 2；（2）见解析.【解析】解：（1）∵∠C=90°，∠B=∠B’=30°，∴∠BAC=∠B’A’C’=60°①由旋转知，△CAB ≌△CA’B’∠CA’B’=60°，CA=CA’∴△CAA’为等边三角形，即∠ACA’=60°，旋转角α=60°∴∠ACA’=∠B’A’C=60°∴A’B’∥AC故答案为60°，60°，平行；②由①可得：∠CA’B’=60°，A’B’∥AC ，AA’=A’C ，∴∠A’CB=∠B=30°，∴A’B=A’C ，∴A’B=A’C=A’A ，∴点A’为AB 的中点，∴S△A’AC=S1=12S△ABC，过点B’作B’F⊥AC于点F，则S△AA’C=12AC·B’F，S2=12AC·B’F，即S1=S2.（2）S1=S2，理由如下：由（1）可得AC=A’C，BC=B’C，∠ACB=∠A’CB’ =90°，∵AE⊥B’C，A’D⊥BC，∴∠E=∠A’DC=90°，∵∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠A’CD=90°，∴∠ECA=∠DCA’，∴△AEC≌△A’DC，∴AE=A’D，∵S1=12BC·A'D，S2=12B'C·AE∴S1=S2.【变式5-1】（2020·山西八年级月考）综合与实践材料一：“转化思想”是几何变换中常用的思想，例如将图形进行旋转变换，实现图形位置的“转化”，把一般情形转化为特殊情形，使问题化难为易．它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散问题的思想．材料二：皮埃尔·德·费马（如图），17世纪法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”．1638年勒·笛卡儿邀请费马思考关于三个顶点距离为定值的问题，费马经过思考并由此推出费马点的相关结论．定义：若一个三角形的最大内角小于120,︒则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120,此时该点叫做这个三角形的费马点.如图1，当ABC 三个内角均小于120︒时，费马点Р在ABC 内部，此时APB ∠=120,BPC CPA PA PB PC ∠=∠=︒++的值最小．（1）如图2，等边三角形ABC 内有一点,P 若点P 到顶点,,A B C 的距离分别为3,4,5，求APB ∠的度数.为了解决本题，小林利用“转化”思想，将ABP △绕顶点A 旋转到'ACP 处，连接',PP 此时'ACP ≅,ABP 这样就可以通过旋转变换，将三条线段,PA PB ，PC 转化到一个三角形中，从而求出APB ∠= ；（2）如图3，在图1的基础上延长BP ，在射线BP 上取点,D E ，连接,AE AD ．使,AD AP =DAE =∠,PAC ∠求证：BE PA PB PC =++；【答案】见解析．【解析】解：（1）∵△ACP′≌△ABP ，∴AP′=AP=3、CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB ，由题意知，∠PAP′=60°，∴△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，易证△PP′C为直角三角形，且∠PP′C=90°，∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；故答案为：150°；（2）证明：∵点P为△ABC的费马点，∴∠APB=120°，∠APD=60°∵AD=AP∴△APD为等边三角形∴AD=AP=PD，∠PAD=∠ADP=60°∴∠ADE=120°∴∠ADE=∠APC∴△APC≌△ADE∴PC=DE，由BE=BP+PD+DE得，BE=PA+PB+PC.【变式5-2】（2020·北京市月考）如图，在△ABC中，∠OAB＝90°，AO＝AB，∠AOB＝∠ABO＝45°．点A的坐标为(4，4)，点B的坐标为(8,0)．P为x轴上一动点，记P(p，0)．（1）若AQ⊥AP交y轴于点Q，则：①当p＝5时，BP＝，∠AOQ＝；并求出此Q点坐标．②当p＞0 时，则Q点坐标用含p代数式表示为．（2）若将线段PA绕点P逆时针旋转90︒至PC，即AP＝PC，∠APC ＝90°，则如图，当P在OB延长线上时，请补全图形，并直接写出C点坐标.（备用图）【答案】见解析.【解析】解：（1）①如图1，∵∠OAB=90°，OA=AB，∴∠AOB=45°，∠AOQ=45°由B（8,0），P（5,0）得BP=3，由旋转知，∠PAQ=90°，过点A作AE⊥OB于E，AD⊥OQ于D，∴∠ADQ=∠AEP=90°，∴∠DAE=90°，∠DAQ=∠EAP∵A（4,4），∴AD=AE=4，OD=OE=4，∵p=5，∴OP=5，PE=OP-OE=1∴△ADQ≌△AEP∴DQ=PE=1∴OQ=OD-DQ=3，即Q（0,3）.②Q（0,8-p）.（2）补全图形如图，由旋转知，∠APC=90°，PA=PC，∴∠APO+∠CPO=90°，过点A作AG⊥x轴于G，过C作CH⊥x轴于H,∴∠AGP=∠PHC=90°，∴∠APO+∠PAG=90°∴∠PAG=∠CPH∴△APG≌△CPH∴PH=AG=4，CH=PG，∵P（p，0），∴CH=PG=4-p，OH=OP+PH=4-p，即H（p-4,0）∴C（p-4，4-p）.。
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全等三角形中的动态性问题
动态性几何问题是中考数学题型中的热点题型，这类试题常以运动的点、线段、变化的图形等为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其它量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答。
解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解，要始终把握住“动静结合找界点、分类讨论细演算” 。
一、图形的全等
图形经过“轴对称”、“平移”、“旋转” 后，位置发生了变化，但形状和大小不变，变换后的图形和变换前的图形能完全重合，这样的两个图形就全等。
1、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等。
2、全等三角形的判定：SSS , SAS , ASA , AAS , HL 。
二、试题探究
例题1、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。
例题1图（1）
（1）试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论.
结论：AC⊥CE （证明略）
（2）若将△ECD沿CB方向平移，其余条件不变, 结论：AC⊥C1E 还成立吗?请说明理由。
例题1图（2）
结论：AC⊥C1E （证明略）
例题2、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。
（1）线段BD、AB、DE之间有怎样的数量关系，并说明理由。
例题2图（1）
结论：BD=AB+DE （证明略）
（2）若将两个三角形绕点C 旋转到如图所示的位置，则线段BD、AB、DE之间数量关系还成立吗？并说明理由。
例题2图（2）
结论：BD = AB - ED （证明略）
总结：图形变换，全等不变；遇到变式，先找不变。
三、典型例题
例题3、如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ 。
（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图，延长BP交直线DQ于点E，如图b，求证：BE⊥DQ 。
例题3图（a）
例题3图（b）
证明：略。
例题4、已知,如图1,E、F为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E点,BF ⊥AC于F点,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点；
（1）求证：MB=MD，ME=MF；
（2）当E、F两点移至如图2所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由。
例题4图
证明：略。
四、拓展提高
例题5、如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6 cm，AD = 3 cm，CE = 2 cm，动点 P从 A 出发以每秒 2 cm 的速度向终点 B 运动，同时动点 Q 也从点 A 出发以每秒 1 cm 的速度向终点 E 运动，设运动的时间为 t 秒。
（1）连接 DQ ，试求当 t 为何值时，△ADQ 为等腰三角形？
（2）当 t 为何值时，直线 PQ 平分矩形 ABCD 的面积。
例题5图（1）
解：
（1）∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ DC = AB = 6cm , ∠ADC = 90° ，分三种情况：
①如图（2）当 AD = AQ = 3 cm 时，此时 t = 3 ;
例题5图（2）
②如图（3）当 DA = DQ 时，过点 D 作DM⊥AE 于点 M ，
例题5图（3）
在Rt△ADE 中，AD = 3cm , DE = 4cm, 由勾股定理得：AE = 5 cm 。
由三角形面积公式得：DM = AD ·DE ÷ AE = 12/5 cm 。
在△ADQ 中，AQ = 2AM = 2 × 9/5 = 18/5 cm ，即 t = 18/5 。
③如图（4）当 QA = QD 时，过点 Q 作QN⊥AD 于 N ，则 AN = ND = 3/2 。
例题5图（4）
∵ ∠ADC = ∠ANQ = 90° ，∴ QN ∥ DC
∴ EQ = AQ = 1/2 AE = 5/2 cm，即 t = 5/2 。
综上所述：t 为 3秒或 18/5 秒或 5/2 秒时，△A DQ 为等腰三角形。
（2）如图（5），连接 AC ，取 AC 的中点 O （AO = OC）
例题5图（5）
当直线 PQ 过点 O 时，直线 PQ 平分矩形 ABCD 的面积。
∵ 四边形ABCD 是矩形
∴ DC∥AB ，∠OCR = ∠OAP
在△ROC 和△POA 中
∵ ∠RCO = ∠PAO ，OC = OA ，∠ROC = ∠POA
∴ △ROC ≌ △POA （ASA）
∴ CR = AP = 2t
∵ CE = 2 ，∴ RE = 2t - 2 ， EQ = 5 - t
∵DC∥AB ∴ △RQE ∽△PQA
∴ RE/AP = EQ/AQ, 即（2t - 2）/ (2t) = (5-t) /t
解得：t1 = 3 , t2 = 0 （舍去），即 t = 3 秒
∴ t = 3 秒时，直线 PQ 平分矩形 ABCD 的面积，此时，点 P 与点 B 重合如图（6）所示。
例题5图（6）。