难点探究专题：全等三角形中的动态问题
全等三角形中的动态性问题
全等三角形中的动态性问题动态性几何问题是中考数学题型中的热点题型，这类试题常以运动的点、线段、变化的图形等为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其它量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答。
解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解，要始终把握住“动静结合找界点、分类讨论细演算” 。
一、图形的全等图形经过“轴对称”、“平移”、“旋转” 后，位置发生了变化，但形状和大小不变，变换后的图形和变换前的图形能完全重合，这样的两个图形就全等。
1、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等。
2、全等三角形的判定：SSS , SAS , ASA , AAS , HL 。
二、试题探究例题1、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。
例题1图（1）（1）试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论.结论：AC⊥CE （证明略）（2）若将△ECD沿CB方向平移，其余条件不变, 结论：AC⊥C1E 还成立吗?请说明理由。
例题1图（2）结论：AC⊥C1E （证明略）例题2、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。
（1）线段BD、AB、DE之间有怎样的数量关系，并说明理由。
例题2图（1）结论：BD=AB+DE （证明略）（2）若将两个三角形绕点C 旋转到如图所示的位置，则线段BD、AB、DE之间数量关系还成立吗？并说明理由。
例题2图（2）结论：BD = AB - ED （证明略）总结：图形变换，全等不变；遇到变式，先找不变。
三、典型例题例题3、如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ 。
（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E，如图b，求证：BE⊥DQ 。
例题3图（a）例题3图（b）证明：略。
例题4、已知,如图1,E、F为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E点,BF ⊥AC于F点,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点；（1）求证：MB=MD，ME=MF；（2）当E、F两点移至如图2所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由。
专题08 全等三角形中的动态问题(学生版)
专题08全等三角形中的动态问题▲▼类型一全等三角形中的动点问题【例题】（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=．点D 是直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合），90,DAE AD AE ∠=︒=，连接CE ．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，直接写出,BC CD 与CE 之间的数量关系；(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，请探究线段,BC CD 与CE 之间存在怎样的数量关系？并说明理由；(3)如图3，若点D 在边CB 的延长线上，且点A ，E 分别在直线的两侧，其他条件不变，若10,6CD BC ==，直接写出CE 的长度．【变式训练】1．（2021·河南商丘·八年级期中）如图1，ABC 中，50A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 别在边AB 、AC 上，且DE //BC ．(1)求证：BD CE =；(2)围绕A 点旋转ADE ，使其一边AD 落在线段AC 上（如图2所示），连接CE 、BD 并延长相交于M 点．试求BMC ∠的度数．2．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P．(1)观察猜想：1.AE与BD的数量关系为______；2.∠APD的度数为______；(2)数学思考：如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．3．（2022·辽宁大连·八年级期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，FD⊥ED．(1)如图1，若点E在线段AB上，点F在线段AC上，求证BE＝AF；(2)如图2，若点E在线段AB的延长线上，点F在线段CA的延长线上．请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．4．（2022·江西·余干县第三中学九年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到如图2所示的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；(3)当直线MN绕点C旋转到如图3所示的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．5．（2020·山东青岛·八年级单元测试）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．▲▼类型二全等三角形中的动图问题【例题】（2021·海南华侨中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB=24cm，AC=16cm，∠BAD=∠CAD，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC于点F，动点P以每秒2cm的速度从A点向B点运动，动点Q以每秒1cm的速度从C点向A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）求证：△AED≌△AFD；（2）若AE=10cm，当t取何值时，△DEP与△DFQ全等．【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，∠B=∠C，BC=8cm，D为AB的中点．点P 在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？2．（2021·河南三门峡·八年级期中）已知：如图，在长方形ABCD 中，4cm,6cm AB BC ==，点E 为AB 中点．点P 在线段BC 上以每秒2cm 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CD 上由点C 向点D 运动．设点P 的运动时间为t 秒，解答下列问题：（1）线段,BP PC 的长可用含t 的式子分别表示为cm ，cm ；（2）若某一时刻BPE 与CQP V 全等，求此时t 的值和点Q 的运动速度．3．（2021·湖北十堰·八年级期中）如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C 点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．（1）用t的代数式表示PC的长度；（2）若点P，Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点P，Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？4．（2021·福建省华安县第一中学八年级期中）如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动；设点P的运动时间为t秒．(1)PB=________cm．（用含t的代数式表示）(2)如图1，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1秒时，△ACP与△BPQ是否全等？并说明理由．(3)如图2，将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其余条件不变；设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．5．（2021·天津红桥·八年级期中）在ABC 中，AB AC =，点D 是射线CB 上的一个动点（不与点B ，C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段CB 上，且90BAC ∠=︒时，那么DCE ∠=______度．（2）设BAC α∠=，DCE β∠=．①如图2，当点D 在线段CB 上，90BAC ∠≠︒时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D 在线段CB 的延长线上，90BAC ∠≠︒时，请直接写出此时α与β之间的量关系（不需证明）．。
2020七年级数学下册试题 难点探究专题：全等三角形中的动态问题
难点探究专题：全等三角形中的动态问题◆类型一全等三角形中的动点问题1．如图，在△MAB中，MA＝MB，过M点作直线MN交AB于N点．P是直线MN上的一个动点，在点P移动的过程中，若NA＝NB，则∠PAM与∠PBM是否相等？说明理由．2．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为________；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为______________ (将结论直接写在横线上)；(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二全等三角形中的动图问题3．已知等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD ，BE.(1)如果点B ，C ，D 在同一条直线上，如图①所示，试说明：AD ＝BE ；(2)如果△ABC 绕C 点转过一个角度，如图②所示，(1)中的结论还能否成立？请说明理由．◆类型三 全等三角形中的翻折问题4．如图，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF ＝12∠DAB.试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并说明理由．参考答案与解析1．解：∠P AM ＝∠PBM .理由如下：∵NA ＝NB ，MA ＝MB ，MN 是公共边，∴△AMN ≌△BMN (SSS)，∴∠MAN ＝∠MBN ，∠MNA ＝∠MNB .又∵NA ＝NB ，PN 是公共边，∴△P AN ≌△PBN (SAS)，∴∠P AN ＝∠PBN .∴∠P AM ＝∠PBM .2．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF .在△DAB 与△F AC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .3．解：(1)∵△ABC ，△CDE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝DE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°.∵点B ，C ，D 在同一条直线上，∴∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACD ＝120°.在△ACD 与△BCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)．∴AD ＝BE . (2)成立．理由如下：∵∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB ＋∠ACE ＝∠DCE ＋∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD .又∵AC ＝BC ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE .4．解：DE ＋BF ＝EF .理由如下：延长CB 至G ，作∠5＝∠1，如图所示．∵将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，∠EAF ＝12∠DAB ，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，∠2＋∠3＝∠1＋∠4，∴∠ABG＝90°＝ADE .∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF ＝∠EAF .在△AGB 和△AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAB ＝∠EAD ，AB ＝AD ，∠ABG ＝∠ADE ，∴△AGB ≌△AED (ASA)，∴AG ＝AE ，BG ＝DE .在△AGF 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AE ，∠GAF ＝∠EAF ，AF ＝AF ，∴△AGF ≌△AEF (SAS)，∴GF ＝EF ，∴BG ＋BF ＝EF ，∴DE ＋BF ＝EF .。
全等三角形中的动态几何问题
全等三角形中的动态几何问题动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动．本文以中考试题中的全等三角形动态几何题为例，谈谈这类问题的解题思路，供同学们学习时参考．1. 在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD⊥MN 于D ，BE⊥MN于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD ＋BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD －BE ； （3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．CBA ED图1NM AC DE MN图2AC BEDNM图32.如图A，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE．（1）线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；（2）将图A中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图B，（1）中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；（3）若将图A中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形C（草图即可），（1）中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．3. （08河北中考第24题）如图14-1，在△ABC 中，BC 边在直线l 上，AC ⊥BC ，且AC = BC ．△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF =FP ．（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP 沿直线l 向左平移到图14-2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP 沿直线l 向左平移到图14-3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．4. 如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系： ①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论图14-1（E ）（F ） BC PA llPCF图14-2l图14-3是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．5. 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD∥BC，AB=DC ，AD=2，BC=4，延长BC 到E ，使CE=AD ．（1）写出图中所有与△DCE 全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；（5分）（2）探究当等腰梯形ABCD 的高DF 是多少时，对角线AC 与BD 互相垂直？请回答并说明理由．（5分）F EDCBA。
八数上(RJ)-4.难点探究专题：动态变化中的三角形全等--精品专题
难点探究专题：动态变化中的三角形全等——以“静”制“动”，不离其宗◆类型一动点变化1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC和AC 的垂线AD上移动，则当AP＝_________时，△ABC和△APQ全等．2．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B ＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v cm/s，则当△BPD 与△CQP全等时，v的值为____________【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相等】．3．(2016·达州中考)△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.【方法11】(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC 上时，①BC与CF的位置关系为_______；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为___________ (将结论直接写在横线上)．(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二图形变换4．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，连接BD.(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．参考答案与解析1．3或6解析：∵△ABC和△APQ全等，AB＝PQ，∴有△ABC≌△QP A或△ABC≌△PQA.当△ABC≌△QP A时，则有AP ＝BC＝3；当△ABC≌△PQA时，则有AP＝AC ＝6，∴当AP＝3或6时，△ABC和△APQ全等，故答案为3或6.2．2或3解析：当BD＝PC时，△BPD 与△CQP全等．∵点D为AB的中点，∴BD＝12AB＝6cm，∴PC＝6cm，∴BP＝8－6＝2(cm)．∵点P在线段BC上以2cm/s的速度由B 点向C 点运动，∴运动时间为1s.∵△DBP ≌△PCQ ，∴CQ ＝BP ＝2cm ，∴v ＝2÷1＝2(cm/s); 当BD ＝CQ 时，△BDP ≌△QCP .∴PB ＝PQ ，∠B ＝∠CQP .又∵∠B ＝∠C ，∴∠C ＝∠CQP ，∴PQ ＝PC ，∴PB ＝PC .∵BD ＝6cm ，BC ＝8cm ，PB ＝PC ，∴QC ＝6cm ，∴BP ＝4cm ，∴运动时间为4÷2＝2(s)，∴v ＝6÷2＝3(cm/s)，故答案为2或3.3．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF . 在△DAB 与△F AC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .4．解：(1)OE ＝OF .理由如下：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BF A ＝90°.∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE .在Rt △ABF 和Rt △CDE中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，AF ＝CE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE (HL)，∴BF ＝DE .在△BFO 和△DEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFO ＝∠DEO ，∠BOF ＝∠DOE ，BF ＝DE ，∴△BFO ≌△DEO (AAS)，∴OE ＝OF .(2)结论依然成立．理由如下：∵AE ＝CF ，∴AE －EF ＝CF －EF ，∴AF ＝CE .同(1)可得△BFO ≌△DEO ，∴FO ＝EO ，即结论依然成立．5．(1)证明：∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD ＝∠FCE .在△BCD 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE (SAS)．(2)解：由(1)可知∠DCE ＝90°，△BCD ≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E .∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE ＝90°，∴∠BDC ＝90°.。
翼教版八年级数学上册难点探究专题动态变化中的三角形全等
难点探究专题：动态变化中的三角形全等——以“静”制“动”，不离其宗◆类型一动点变化1．如图甲，已知AB＝AC，M是BC的中点，点D是线段AM上的动点．(1)求证：BD＝CD；(2)如图乙，若点D在线段MA的延长线上，BD与CD还相等吗？为什么？(3)如图丙，若M不是BC的中点，且BM＝CM，则(1)中的结论还成立吗？为什么？◆类型二图形变换一、平移2．如图甲，已知A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且∠A＝∠C.(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．二、旋转3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、F 分别在AB 、AC 上，CF ＝CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF .(1)求证：△BCD ≌△FCE ；(2)若EF ∥CD ，求∠BDC 的度数．三、翻折4．(启东月考)如图，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF ＝12∠DAB .试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．【方法5】参考答案与解析1．(1)证明：∵M 是BC 的中点，∴BM ＝CM .在△ABM 和△ACM 中，∵AB ＝AC ，AM ＝AM ，BM ＝CM, ∴△ABM ≌△ACM (SSS)，∴∠BAM ＝∠CAM . 在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD (SAS)，∴BD ＝CD ；(2)解：相等．理由如下：由(1)得∠BAM ＝∠CAM ，∴∠BAD ＝∠CAD .在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD (SAS)，∴BD ＝CD ；(3)解：成立．理由如下：在△ABM 和△ACM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AM ＝AM ，BM ＝CM ，∴△ABM ≌△ACM (SSS)，∴∠BAM ＝∠CAM . 在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD (SAS)，∴BD ＝CD .2．解：(1)OE ＝OF .理由如下：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BF A ＝90°.∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE .在△ABF 和△CDE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠C ，∠BF A ＝∠DEC ，AF ＝CE ，∴△ABF ≌△CDE ，∴BF ＝DE .在△BFO 和△DEO 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BFO ＝∠DEO ，∠BOF ＝∠DOE ，BF ＝DE ，∴△BFO ≌△DOE (AAS)，∴OE ＝OF ；(2)结论依然成立．理由如下：由AE ＝CF ，得AF ＝CE ，结合已知得Rt △ABF ≌Rt △CDE ，得BF ＝DE ，从而△BFO ≌△DEO ，∴FO ＝EO ，即结论依然成立．3．(1)证明：∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD ＝∠FCE .在△BCD 和△FCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE (SAS)；(2)解：由(1)可知∠DCE ＝90°，△BCD ≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E .∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE ＝90°，∴∠BDC ＝90°.4．解：DE ＋BF ＝EF .证明如下：延长CB 至G ，作∠5＝∠1，如图．∵将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，∠EAF ＝12∠DAB ，∴AB ＝AD ，∠ABG ＝∠ADE ，∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠2＋∠3＝∠1＋∠4.∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF ＝∠EAF .在△AGB和△AED 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠GAB ＝∠EAD ，AB ＝AD ，∠ABG ＝∠ADE ，∴△AGB ≌△AED (ASA)，∴AG ＝AE ，BG ＝DE .在△AGF和△AEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AE ，∠GAF ＝∠EAF ，AF ＝AF ，∴△AGF ≌△AEF (SAS)，∴GF ＝EF ，∴BG ＋BF ＝EF ，∴DE ＋BF ＝EF .习题试解预习法检验预习效果的最佳途径数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。
专题03 全等三角形中的动态问题(解析版)
专题03全等三角形中的动态问题
初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。
解决动点问题常见的答题思路是：
1. 注意分类讨论；
2. 仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；
3. 利用时间表示出相应线段或边的长度，列出方程求解.
【典例解析】
【例1－1】（2020·周口市月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动______ 秒时，△DEB与△BCA全等．
【答案】0，2，6，8.
【解析】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，
∵AC=4，
∴BE=4，
∴AE=8−4=4，
∴点E的运动时间为4÷2=2(秒)；
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八数上(RJ)-4.难点探究专题：动态变化中的三角形全等--精品专题
难点探究专题：动态变化中的三角形全等——以“静”制“动”，不离其宗◆类型一动点变化1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC和AC 的垂线AD上移动，则当AP＝_________时，△ABC和△APQ全等．2．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B ＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v cm/s，则当△BPD 与△CQP全等时，v的值为____________【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相等】．3．(2016·达州中考)△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.【方法11】(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC 上时，①BC与CF的位置关系为_______；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为___________ (将结论直接写在横线上)．(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二图形变换4．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，连接BD.(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．参考答案与解析1．3或6解析：∵△ABC和△APQ全等，AB＝PQ，∴有△ABC≌△QP A或△ABC≌△PQA.当△ABC≌△QP A时，则有AP ＝BC＝3；当△ABC≌△PQA时，则有AP＝AC ＝6，∴当AP＝3或6时，△ABC和△APQ全等，故答案为3或6.2．2或3解析：当BD＝PC时，△BPD 与△CQP全等．∵点D为AB的中点，∴BD＝12AB＝6cm，∴PC＝6cm，∴BP＝8－6＝2(cm)．∵点P在线段BC上以2cm/s的速度由B 点向C 点运动，∴运动时间为1s.∵△DBP ≌△PCQ ，∴CQ ＝BP ＝2cm ，∴v ＝2÷1＝2(cm/s); 当BD ＝CQ 时，△BDP ≌△QCP .∴PB ＝PQ ，∠B ＝∠CQP .又∵∠B ＝∠C ，∴∠C ＝∠CQP ，∴PQ ＝PC ，∴PB ＝PC .∵BD ＝6cm ，BC ＝8cm ，PB ＝PC ，∴QC ＝6cm ，∴BP ＝4cm ，∴运动时间为4÷2＝2(s)，∴v ＝6÷2＝3(cm/s)，故答案为2或3.3．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF . 在△DAB 与△F AC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .4．解：(1)OE ＝OF .理由如下：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BF A ＝90°.∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE .在Rt △ABF 和Rt △CDE中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，AF ＝CE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE (HL)，∴BF ＝DE .在△BFO 和△DEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFO ＝∠DEO ，∠BOF ＝∠DOE ，BF ＝DE ，∴△BFO ≌△DEO (AAS)，∴OE ＝OF .(2)结论依然成立．理由如下：∵AE ＝CF ，∴AE －EF ＝CF －EF ，∴AF ＝CE .同(1)可得△BFO ≌△DEO ，∴FO ＝EO ，即结论依然成立．5．(1)证明：∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD ＝∠FCE .在△BCD 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE (SAS)．(2)解：由(1)可知∠DCE ＝90°，△BCD ≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E .∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE ＝90°，∴∠BDC ＝90°.。
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难点探究专题：全等三角形中的动态问题
◆类型一全等三角形中的动点问题
1．如图，在△MAB中，MA＝MB，过M点作直线MN交AB于N点．P是直线MN 上的一个动点，在点P移动的过程中，若NA＝NB，则∠PAM与∠PBM是否相等？说明理由．
2．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.
(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为________；
②线段BC，CD，CF之间的数量关系为______________ (将结论直接写在横线上)；
(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
◆类型二全等三角形中的动图问题
3．已知等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE.
(1)如果点B，C，D在同一条直线上，如图①所示，试说明：AD＝BE；
(2)如果△ABC绕C点转过一个角度，如图②所示，(1)中的结论还能否成立？请说明理由．
◆类型三全等三角形中的翻折问题
4．如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF ＝
1
2∠DAB.试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并说明理由．
参考答案与解析
1．解：∠P AM ＝∠PBM .理由如下：∵NA ＝NB ，MA ＝MB ，MN 是公共边，∴△AMN ≌△BMN (SSS)，∴∠MAN ＝∠MBN ，∠MNA ＝∠MNB .又∵NA ＝NB ，PN 是公共边，∴△P AN ≌△PBN (SAS)，∴∠P AN ＝∠PBN .∴∠P AM ＝∠PBM .
2．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF
(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF .在△DAB 与△F AC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，
∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .
3．解：(1)∵△ABC ，△CDE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝DE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°.∵点B ，C ，D 在同一条直线上，∴∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACD ＝120°.在△ACD
与△BCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，
∴△ACD ≌△BCE (SAS)．∴AD ＝BE .
(2)成立．理由如下：∵∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB ＋∠ACE ＝∠DCE ＋∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD .又∵AC ＝BC ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE .
4．解：DE ＋BF ＝EF .理由如下：延长CB 至G ，作∠5＝∠1，如图所示．∵将Rt △ABC
沿斜边翻折得到△ADC ，∠EAF ＝12
∠DAB ，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，∠2＋∠3＝∠1＋∠4，∴∠ABG ＝90°＝ADE .∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF ＝∠EAF .
在△AGB 和△AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAB ＝∠EAD ，AB ＝AD ，∠ABG ＝∠ADE ，
∴△AGB ≌△AED (ASA)，∴AG ＝AE ，BG ＝DE .
在△AGF 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AE ，∠GAF ＝∠EAF ，AF ＝AF ，
∴△AGF ≌△AEF (SAS)，∴GF ＝EF ，∴BG ＋BF
＝EF ，∴DE ＋BF ＝EF .。