全等三角形模型(教案)
12.2.2三角形全等的判定-SAS(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“SAS全等判定在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解SAS全等判定的基本概念。SAS即“边角边”，当两个三角形中有两边和它们夹的角相等时，这两个三角形全等。这个判定方法是几何中非常重要的一部分，它帮助我们解决了很多实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过这个案例，我们将看到SAS在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-举例解释：
-例如，给出两个三角形，其中一个三角形的两边和夹角与另一个三角形的部分元素相等，但不满足SAS条件，如只有两边相等。此时，教师需引导学生识别这种情况并不满足SAS判定，不能直接得出全等的结论。
-在解决实际问题时，教师可以指导学生先识别出已知的SAS条件，再进行判定。如在一个多边形内，已知两条边和一个角，教师需引导学生如何找出第三条边，以形成SAS条件。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三角形全等的判定-SAS》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断两个三角形是否完全相同的情况？”比如，在拼接图形或制作模型时，我们需要确认两个三角形的尺寸和形状是否一致。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形全等的奥秘。
初中数学教案：三角形全等的判定教案
初中数学教案：三角形全等的判定教案一、教学目标：1. 让学生理解三角形全等的概念，掌握三角形全等的判定条件。
2. 培养学生运用全等三角形的性质解决实际问题的能力。
3. 培养学生的观察能力、动手能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 三角形全等的定义：如果两个三角形的所有对应边和对应角都相等，这两个三角形叫做全等三角形。
2. 三角形全等的判定条件：SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、ASA （角-边-角）、AAS（角-角-边）。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角形全等的判定条件及其应用。
2. 教学难点：三角形全等判定条件的理解和运用。
四、教学方法：1. 采用直观演示法，让学生通过观察和动手操作，加深对三角形全等概念的理解。
2. 采用案例分析法，让学生通过分析实际案例，掌握三角形全等的判定条件。
3. 采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
五、教学步骤：1. 导入新课：通过复习已学的几何知识，引导学生进入三角形全等的新课学习。
2. 讲解三角形全等的定义和判定条件：详细讲解三角形全等的概念，以及SSS、SAS、ASA、AAS四种判定条件。
3. 案例分析：给出几个实际案例，让学生运用判定条件判断三角形是否全等。
4. 动手操作：让学生自行取材，进行三角形全等的实际操作，加深对全等三角形性质的理解。
5. 课堂练习：布置一些有关三角形全等的练习题，巩固所学知识。
6. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考如何运用三角形全等的知识解决实际问题。
7. 作业布置：布置一些有关三角形全等的家庭作业，巩固所学知识。
8. 课后反思：对课堂教学进行反思，总结教学过程中的优点和不足，为下一步教学做好准备。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、练习和作业，评价学生对三角形全等概念和判定条件的掌握程度。
2. 观察学生在动手操作和小组合作学习中的表现，评价其观察能力、动手能力和团队协作能力。
3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，对学生的学习态度和思维能力进行评价。
全等三角形数学教案
全等三角形数学教案标题：全等三角形数学教案一、教学目标：1. 知识与技能：学生能理解并掌握全等三角形的定义和性质，能够识别和判断两个三角形是否全等。
2. 过程与方法：通过观察、分析、讨论和实践，培养学生的逻辑思维能力和空间观念。
3. 情感态度价值观：培养学生严谨的科学态度和积极的学习热情。
二、教学重点难点：1. 教学重点：理解和掌握全等三角形的定义和性质。
2. 教学难点：准确判断两个三角形是否全等。
三、教学过程：（一）导入新课教师可以先展示一些生活中的实例，如门框、窗户等，引导学生思考这些形状为什么都是三角形。
然后提出问题：“如果有两个三角形，它们看起来完全一样，那它们就一定是一样的吗？”从而引入全等三角形的概念。
（二）讲解新课1. 全等三角形的定义：大小和形状都相同的两个三角形叫做全等三角形。
2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等。
（三）实践操作让学生用纸片或几何工具制作出一些三角形，然后尝试将它们拼接在一起，看哪些可以完全重合，哪些不能。
以此来帮助他们理解和掌握全等三角形的定义和性质。
（四）巩固练习设计一些习题，让学生判断给出的两个三角形是否全等，或者找出需要满足什么条件才能使两个三角形全等。
（五）总结提升让学生自己总结本节课所学的内容，并鼓励他们在日常生活中寻找全等三角形的例子，以提高他们的观察能力和应用能力。
四、教学反思：在教学过程中，教师应注重引导学生主动参与学习，激发他们的学习兴趣。
同时，也要注意对学生的反馈进行及时的调整和改进，确保每一个学生都能理解和掌握全等三角形的相关知识。
全等三角形模型(教案)
教学过程一、课堂导入【问题】如图，你能感觉到哪两个三角形全等吗？【思考】△ABD≌△ACE二、复习预习【问题】工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON．移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合．则过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的角平分线，为什么？请你说明理由．【解答】OP平分∠AOB理由如下：∵OM=ON，PM=PN，OP=OP∴△MOP≌△NOP（SSS）∴∠MOP=∠NOP∴OP平分∠MON（即OP是∠AOB的角平分线）三、知识讲解考点1全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高、中线相等，对应角的平分线相等。
考点2全等三角形的判定：所有三角形SAS、ASA、AAS、SSS；直角三角形HL四、例题精析【例题1】【题干】如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：AE=BF．【答案】证明：∵正方形ABCD，∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°，∵∠ABG+∠CBF=90°，∴∠BAG=∠CBF．在△ABE和△BCF中，BAE CBF AB CBABE BCF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF．【解析】根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABG与∠BAG的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAG与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案．【例题2】【题干】如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）求证：AE⊥CF．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF，在△AEB和△CFB中，AB BCABE CBF BE BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEB≌△CFB（SAS），∴AE=CF．（2）延长AE交BC于O，交CF于H，∵△AEB≌△CFB，∴∠BAE=∠BCF，∵∠ABC=90°，∴∠BAE+∠AOB=90°，∵∠AOB=∠COH，∴∠BCF+∠COH=90°，∴∠CHO=90°，∴AE⊥CF【解析】（1）利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF．（2）利用全等三角形对应角相等、对顶角相等、等量代换即可证明．【例题3】【题干】（2014•顺义区一模）已知：如图1，△MNQ中，MQ≠NQ．（1）请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D．求证：CD=AB．【答案】：（1）如图1，以N 为圆心，以MQ 为半径画圆弧；以M 为圆心，以NQ 为半径画圆弧；两圆弧的交点即为所求．主要根据“SSS”判定三角形的全等．（2）如图3，延长DA至E，使得AE=CB，连结CE．∵∠ACB+∠CAD=180°，∠DAC DAC +∠EAC=180°∴∠BAC BCA =∠EAC在△EAC和△BAC中，AE CEAC CAEAC BCN=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AECEAC≌△BCA （SAS），∴∠B=∠E，AB=CE∵∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∴CD=AB．【解析】（1）以点N为圆心，以MQ长度为半径画弧，以点M为圆心，以NQ长度为半径画弧，两弧交于一点F，则△MNF为所画三角形．（2）延长DA至E，使得AE=CB，连结CE．证明△EAC≌△BCA，得：∠B =∠E，AB=CE，根据等量代换可以求得答案．【例题4】实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．五、课堂运用【基础】1.在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：（1）BH=DE．（2）BH⊥DE．【答案】证明：（1）在正方形ABCD与正方形CEFH中，BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH，即∠BCH=∠DCE，在△BCH和△DCE中，BC CDBCH DCECE CH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCH≌△DCE（SAS），∴BH=DE；（2）∵△BCH≌△DCE，∴∠CBH=∠CDE，又∵∠CGB=∠MGD，∴∠DMB=∠BCD=90°，∴BH⊥DE．【解析】（1）根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可．2.（1）操作发现如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B，C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，猜想∠ABC与∠ACN有何数量关系？并证明你的结论；（2）类比探究如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1）∵在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠BAM+∠MAC=60°在等边△AMN中，AM=AN，∠MAN=∠NAC+∠MAC=60°∴∠BAM=∠NAC=60°-∠MAC，在△ABM和△ACN中，AB ACBAM NACAM AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．（2）∵在等边△ABC中，AB=AC，∠BAM=∠BAC+∠MAC=60°+∠MAC在等边△AMN中，AM=AN，∠NAC=∠NAM+∠MAC=60°+∠MAC，∴∠BAM=∠NAC=60°+∠MAC，在△ABM和△ACN中，AB ACBAM NACAM AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．【解析】（1）由全等三角形可以判定AB=AC，AM=AN，即可求证△ABM≌△ACN，即可求得∠ABC=∠ACN；（2）和（1）同理，由全等三角形可以判定AB=AC，AM=AN，即可求证△ABM≌△ACN，即可求得∠ABC=∠CAN.【巩固】1.如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．【答案】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AD=AE，AB=AC，又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，∴∠DAB=∠EAC，∵在△ADB和△AEC中AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE．【解析】求出AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，根据SAS证出△ADB≌△AEC即可．2.如图，△ABC与△BEF都是等边三角形，D是BC上一点，且CD=BE，求证：∠EDB=∠CAD．【答案】如图，过点D作DG∥AB交AC于G，∵△ABC是等边三角形，∴∠GDC=∠ABC=∠C=60°，AC=BC，∴△CDG是等边三角形，∴DG=CD=CG，∠AGD=120°，∴BD=AG，∵CD=BE，∴BE=DG，又∵△BEF是等边三角形∴∠EBF=60°，∴∠EBD=∠DGA=120°，在△EBD和△DGA中．BD AGEBD AGDEB DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．∴△EBD≌△DGA（SAS），∴∠EDB=∠CAD．【解析】过点D作DG∥AB交AC于G，求出∠EBD=∠AGD=120°，BD=AG，根据SAS证△EBD≌△DGA，根据全等三角形的性质推出即可．【拔高】正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF．（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为：；（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．（3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数量关系：．【答案】（1）∵点E、F分别是边AD、AB的中点，G是BC的中点，∴AE=AF=BF=BG，在△AEF和△BFG中，AE BGA BAF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△BFG（SAS），∴EF=FG，∠AFE=∠BFG=45°，∴EF⊥FG，EF=FG；（2）BF+EQ=BP．理由：如图2，取BC的中点G，连接FG，则EF⊥FG，EF=FG，∴∠1+∠2=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△FQE 和△FPG 中，13FQ FP EF FG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FQE ≌△FPG （SAS ）， ∴QE=PG 且BF=BG ，∵BG+GP=BP ，∴BF+EQ=BP ；（3）如图3所示，BF+BP=EQ ．【解析】（1）根据线段中点的定义求出AE=AF=BF=BG ，然后利用“边角边”证明△AEF 和△BFG 全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=FG ，全等三角形对应角相等可得∠AFE=∠BFG=45°，再求出∠EFG=90°，然后根据垂直的定义证明即可；（2）取BC 的中点G ，连接FG ，根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“边角边”证明△FQE 和△FPG 全等，根据全等三角形对应边相等可得QE=FG ，BF=BG ，再根据BG+GP=BP 等量代换即可得证；（3）根据题意作出图形，然后同（2）的思路求解即可．课程小结1.全等三角形的性质2.全等三角形的判定。
12.1 全等三角形教案
12．1全等三角形一、教学目标1．了解全等形、全等三角形的概念，理解全等三角形中对应顶点、对应边、对应角的含义．2．经历实验、操作的过程，理解、掌握全等三角形的性质．二、教学重难点重点：全等三角形的概念与性质．难点：全等三角形中对应边、对应角的确定．教学过程一、情境引入在我们的周围，经常可以看到形状、大小完全相同的图形．通过多媒体展示下列实例：教材图12.1－1所示的例子中都有形状、大小完全相同的图形．【探究】把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺的形状、大小完全一样吗？把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗？从同一张底片冲洗出来的两张尺寸相同的照片上的图形，放在一起也能够完全重合吗？(1)你能找出生活实际中形状、大小完全相同的图形吗？说说你的理由．鼓励学生踊跃说出生活中的实例，并提问：大家举出的实例中，怎样能判别两个图形的形状、大小是完全相同的呢？学生通过同伴间的相互讨论、交流，在探索活动中逐渐体会：将两个图形重叠，看看它们是否能够完全重合，能完全重合的，它们的形状、大小就完全相同．在认识上形成两个图形完全重合的初步体验．(2)什么是“全等形”？在学生从“两个图形的形状、大小完全相同”到“两个图形完全重合”的知识建构的基础上，教师适时点题，提出“全等形”的概念.教师指出：能够完全重合的两个图形叫做全等形．追问：上述各实例中，哪些是全等形？动口说一说，为什么这些图形是全等形？你能再举些实际的例子，说明他们是全等形吗？教师期待学生能说出自己正确的生活体验或亲手制作的模型．教师适时地引导学生发散思维，回想和链接起生活中的全等形，并实现认识上从“两个图形的形状、大小完全相同”到“两个图形完全重合”再到“全等形”的飞跃．二、互动新授1．全等三角形将两个图形相互重叠，就可以发现它们是否完全重合，从而判别它们是不是全等形．那么，请同学们来说说看，什么是全等三角形呢？从“全等形”这个概念，导出“全等三角形”这个子概念，蕴含着思维上的逻辑推理，学生把“全等形”中的“图形”换成“三角形”，正好符合了“三段论式”的要求．这样导出“全等三角形”的概念就是水到渠成的事情．让学生说出什么是“全等三角形”，并进行讨论，让学生得到逻辑推理的初步体验．教师总结：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．全等用符号“≌”表示，读作“全等于”．【思考】在教材图12.1－2(1)中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF.在教材图12.1－2(2)中，把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC. 在教材图12.1－2(3)中，把△ABC绕点A旋转，得到△ADE.各图中的两个三角形全等吗？（1）（2）一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．例如教材图12.1－2(1)中的△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角．指名个别同学说说图(2)(3)中的对应顶点，对应边和对应角．其他学生一起来评判是否正确．2．巩固应用【例题】如下图，用字母表示出各图中全等三角形的对应顶点、对应边和对应角．(1)(2)(3)【分析】根据“全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角”，利用三角形纸板模型找出两个三角形互相重合的过程、重合的边、重合的角，从而正确地找出全等三角形的对应边和对应角．【解】图(1)中，对应顶点：A与A，B与B，C与D；对应边：AB与AB，AC与AD，BC 与BD.对应角：∠BAC与∠BAD，∠C与∠D，∠CBA与∠DBA；图(2)中，对应顶点：A与A，B与C，D与E；对应边：AB与AC，AD与AE，BD与CE.对应角：∠A与∠A，∠B与∠C，∠ADB与∠AEC；图(3)中，对应顶点：A与B，B与A，C与D；对应边：AB与BA，BD与AC，AD与BC.对应角：∠BAD与∠ABC，∠ABD与∠BAC，∠D与∠C.3．反思与归纳通过上述的探索，你有哪些新的体会？若已经确定了对应顶点，你能快速地确定出对应边和对应角吗？同样，确定了对应边或对应角，能确定其他的对应元素吗？说说你的发现和体会．比如：(1)按相同对应点的顺序确定的边一定是对应边，按相同对应点的顺序确定的角一定是对应角；(2)对应边所夹角是对应角；对应角夹的边是对应边；(3)对应边所对的角是对应角；对应角所对的边为对应边．教师说明：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．这样，确定了对应顶点，就容易确定对应边和对应角了．【思考】教材图12.1－2(1)中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？师生合作探究：从教材图12.1－2(1)中容易看出：AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F.让学生观察教材图12.1－2(2)、(3)，写出发现的结论．教师总结：全等三角形有这样的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．三、课堂小结四、板书设计五、教学反思本节课的主要内容是全等三角形的概念和性质．重点要让学生学会正确确定全等三角形的对应顶点、对应边和对应角，养成按对应顶点的顺序表示三角形的习惯，同时，可提出全等三角形判定的说法，为后续内容的学习做好准备．课堂上，教师引导学生通过模型演示与想象结合，通过不断的探索活动，逐步积累学习的经验与体会．练习中让学生多动口、动手，积极参与探索活动，进而更好地理解和掌握知识．导学方案一．学法点津学生在理解全等三角形概念时，要突出两个三角形能够完全重合这一特性．在领会全等三角形性质及全等三角形的对应顶点、对应边、对应角时，要多从全等的三角形中体会哪两个顶点、哪两个角、哪两边会完全重合，从而正确地找出全等三角形的对应顶点、对应边、对应角．不但会说出全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，而且还要写得对，如“点A 和点D是对应顶点”，或者“对应顶点是点A和点D”．而不能写成“A＝B”之类的错误格式．二、学点归纳总结（一）知识要点总结1．全等三角形能够完全重合的两个三角形是全等三角形．2．全等三角形性质全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．3．一个图形经过平移、旋转、翻折180°后，前后两个图形全等．（二）规律方法总结1．先确定全等三角形的对应顶点，然后按对应顶点的相同顺序就容易找出全等三角形的对应边和对应角．2．对应角所对的边是对应边，对应边所夹的角是对应角．课时作业设计一、选择题1．下列说法中，正确的个数是( )．(1)正方形都是全等形；(2)等边三角形都是全等形；(3)形状相同的图形是全等形；(4)大小相同的图形是全等形；(5)能够完全重合的图形是全等形．A．1个 B．2个C．3个D．4个2．下列说法中，正确的个数是( )．(1)全等三角形对应顶点所对应的角是对应角；(2)全等三角形对应顶点所对应的边是对应边；(3)全等三角形对应边所夹角是对应角；(4)全等三角形对应角夹的边是对应边． A．3 B．4 C．2 D．1二、填空题3．如图所示，△ABC≌△AED，点B和点E，点C和点D是两对对应顶点，∠B的对应角是__________，∠C的对应角是__________，AB的对应边是__________，BC的对应边是__________，AC的对应边是__________．4．如图所示，△ABC≌△DEF，∠A和∠EDF，∠C和∠F分别是两组对应角，如果AE＝12cm，BD＝3cm，则AB＝________．第3题图第4题图三、解答题5．如右图，已知△ABC≌△DEF，A和D是对应顶点，∠B与∠E是对应角，写出图中其他的对应边和对应角．【参考答案】1.A2.B3.∠E∠D AE ED AD4.7.5cm5.对应边：AB与DE，BC与EF，CA与FD，对应角：∠A与∠D，∠ACB与∠DFE.。
12.2《全等三角形》判定 (胖瘦模型)教案 2022--2023学年人教版八年级数学上册
12.2《全等三角形》判定（胖瘦模型）教案一、教学目标•知识与技能：掌握利用全等三角形的定义和性质判定两个三角形是否全等的方法，并能够应用于解决相关问题。
•过程与方法：通过引入胖瘦模型的概念，引导学生理解全等三角形的定义和性质，学会利用胖瘦模型进行全等三角形的判定。
•情感态度与价值观：培养学生观察、思考和动手实践的能力，培养学生合作、探究和创新的精神。
二、教学重难点•教学重点：掌握利用全等三角形的定义和性质判定两个三角形是否全等的方法。
•教学难点：能够应用所学方法解决实际问题，提高判断辨析的能力。
三、教学过程1. 导入新知通过给学生提出一个问题引入本节课的内容。
例如，将一张纸对折，然后剪出一个形状，然后再将原始纸展开，剪出的形状能否与原始纸相重合？2. 引入胖瘦模型解释胖瘦模型的概念，即数量和位置都完全相同的两个几何图形。
并通过与学生一起进行实物模型的制作，加深学生对胖瘦模型的理解。
3. 引出全等三角形的定义和性质通过展示两个完全相同的三角形，并引导学生总结出全等三角形的定义和性质。
•定义：在平面上，两个三角形的对应边长相等，对应角度相等，则称这两个三角形是全等三角形。
•性质：全等三角形的对应部分（边和角）完全相等。
4. 胖瘦模型法判定全等三角形•胖模型法：如果已知两个三角形的三边对应相等，那么可以判定这两个三角形是全等的。
•瘦模型法：如果已知两个三角形的两边及夹角对应相等，那么可以判定这两个三角形是全等的。
5. 综合应用通过一些实例，让学生运用胖瘦模型法判定两个三角形是否全等。
示例题：已知△ABC中，∠B=∠D，AC=DF，BC=EF，判定△ABC≌△DEF。
解题步骤： - 根据已知条件，用瘦模型法判定两个三角形的对应边和对应角是否相等。
- 验证两个三角形的对应部分是否完全相等。
- 根据全等三角形的定义和性质，得出结论。
6. 拓展探索让学生在实际生活中找寻更多的全等三角形，并通过比较发现和归纳全等三角形的其他判断方法。
最新版初中数学教案《全等三角形》精品教案(2022年创作)
第十二章全等三角形全等三角形【知识与技能】1.了解全等形及全等三角形的概念.2.理解全等三角形的性质.【过程与方法】在图形变换以及操作的过程中开展学生的空间观念,培养学生的几何直觉.【情感态度】使学生在观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验,在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣.【教学重点】探究全等三角形的性质.【教学难点】掌握两个全等形的对应边\,对应角.一、情境导入,初步认识问题1 观察以下列图形,指出其中形状与大小相同的图形.问题2 从上面的图形中你有什么感受?在实际生活中,你能找到形状、大小相同的图形的应用的例子么?二、思考探究，获取新知让学生交流问题1,问题2的答案,并带着问题“这些图形有什么共同特征？〞自学课本内容.【教学说明】变化的图形易引起学生的注意,使它们很快地投入到学习的情境中,并通过观察发现其中的共同特点,形成猜想.再结合自学课本,从而认识全等形、全等三角形的定义及记法.教师讲课前，先让学生完成“自主预习〞.思考1 把三角形平移、翻折、旋转后,什么发生了变化,什么没有变?思考2 全等三角形的对应边、对应角有什么关系?为什么?、旋转、翻折的不变性,让学生通过具体操作直观感知全等三角形的概念,然后让学生通过操作和观察,猜想并验证全等三角形的性质.利用根本三角形变换出各种图形,然后观察对应边、角的变化,利于提高学生的识图能力.思考1 得到的根本图案如图:【归纳结论】1.能够完全重合的两个图形叫做全等形,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.“全等〞用“≌〞表示，读作“全等于〞.把两个全等的三角形重合在一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫对应角.2.全等三角形的对应边相等,对应角相等.三、运用新知，深化理解【教学说明】出示以下问题,让学生通过交流\,思考寻找问题的答案,并共同讨论:全等三角形的对应顶点\,对应边之间有什么关联.1.以下每对三角形分别全等,看看它们是怎样变化而成的,并指出对应边、对应角.2.两个全等的三角形按如下位置摆放,指出它们的对应顶点,对应角,对应边.3.如图,将△ABC沿直线BC平移,得到△DEF.(1)线段AB,DE是对应线段,有什么关系?线段AC和DF呢?(2)线段BE和CF有什么关系?为什么?(3)假设∠A=70°,∠B=40°,你知道其他各角的度数吗?为什么?4.如图,将△ABC沿直线BC平移,得到△DEF,说出你得到的结论,并说明理由.5.如图,△ABE≌△ACD,AB与AC,AD与AE是对应边,∠A=40°,∠B=30°,求∠ADC的大小.【教学说明】题3题4中要通过观察发现,EC是线段BC与EF的公共局部,从而有BC-EC=EF-EC即BE=CF的结论;可以挖掘更深层次的结论,提升分析问题的能力,如AB∥DE,AC∥DF,BE=CF,S四边形ABEG=S四边形FDGC等.完成上述题目后,引导学生做本课时创优作业“课堂自主演练〞中的题.【答案】1.图〔1〕是△EDC由△ABC绕过C点且垂直于BD的直线翻折而成，AB的对应边ED，AC的对应边EC，BC的对应边DC，∠A的对应角∠E,∠B的对应角∠D,∠ACB的对应角为∠ECD.图〔2〕是△ABC延BC边平移BE长的距离得到△DEB，AC的对应边DB，AB 的对应边为DE，CB的对应边为BE，∠A的对应角为∠D，∠C的对应角为∠DBE，∠ABC的对应角为∠E.图〔3〕是△ABD绕BD的中点旋转180°得△CDB，AB的对应边为CD，BD对应边为DB、AD的对应边为CB，∠A的对应角∠C，∠ABD的对应角为∠CDB，∠ADB的对应角为∠CBD.4.AB=DE AC=DF BC=E F∠A=∠D ∠B=∠DEF ∠ACB=∠F理由：全等三角形对应边相等，对应角相等.5.∠ADC=110°四、师生互动，课堂小结1.引导学生回忆全等三角形定义\,记法与性质.2.归纳寻找对应边\,对应角的规律:(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;对应边所对的角是对应角,两条对应边的夹角是对应角.(2)公共边一般是对应边;有对顶角的,对顶角一般是对应角;公共角一般是对应角等.1.布置作业：从教材“习题”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中的体验，完成对三角形全等的认识，重点在对“三角形全等〞“对应〞等含义的理解.对“全等三角形〞的认识，可让学生采用复写纸、手撕、剪纸、扎针眼等方式获取，并鼓励学生间互相交流动手过程中的体验.教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳、类比、直觉、数据处理等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.【知识与技能】了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形.【过程与方法】结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题.【情感态度】学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又效劳于生活，表达事物之间是相互联系，相互作用的.【教学重点】正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.【教学难点】探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.一、情境导入，初步认识观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形得到的物体.〔1〕你能从图案中找出多边形吗？〔2〕你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？【教学说明】学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.问题〔2〕的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索、研究的热情，并有意将注意力集中在正多边形和圆的关系上.二、思考探究，获取新知问题1将一个圆分成5等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是，请你证明这个结论.教师引导学生根据题意画图，并写出和求证.：如图，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分点.依次连接ABCDE 形成五边形.问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论.答案：五边形ABCDE是正五边形.证明：在⊙O中，∵AB BC CD DE EA====，∴AB=BC=CD=DE=EA，3==，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五边形ABCDE BCE CDA AB是正五边形.【教学说明】教师引导学生从正多边形的定义入手证明，即证明多边形各边都相等，各角都相等；引导学生观察、分析，教师带着学生完成证明过程.问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？答案：这个n边形一定是正n边形.【教学说明】在这个问题中，教师重点关注学生是否会仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形.从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般，这符合学生的认知规律，并教导学生一种研究问题的方法，由特殊到一般.问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形.【教学说明】问题3的提出是为了稳固所学知识，使学生明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，各内角也都相等，这两个条件缺一不可.同时教会学生学会举反例.培养学生思维的批判性.综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念.正n边形：中心角为：360°n；内角的度数为：180°〔n-2〕n例1〔课本106页例题〕有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积〔结果保存小数点后一位〕.分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.解：如图.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=360°/6=60°.∴△BOC是等边三角形.∴R=BC=4m，∴这个亭子地基的周长为:4×6=24〔m〕.过O点作OP⊥△OCP中，OC=R=4，CP=1/2BC=2..例2填空.【教学说明】例1是让学生了解有关正多边形的概念后，掌握正多边形的计算.同时，通过例1引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形化归为三角形来解决.例2通过网格来呈现问题，在解决例2时，教师指导学生用数形结合的方法来解决问题，加深对有关概念的理解.画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式：〔1〕用量角器等分圆周.方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.方法二：先用量角器画一个等于360°/n的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的1/n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点.【教学说明】这两种方法可以任意等分圆，但不可防止地存在误差.〔2〕用尺规等分圆正方形的作法:如图〔1)在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，那么可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.正六边形的作法：方法一：如图〔2〕任意作一条直径AB，再分别以A、B 为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于C、D和E、F，那么A、C、E、B、F、D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD.方法二：如图〔3〕由于正六边形的半径等于边长.所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到正六边形.【教学说明】尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法，但有较大的局限性，它不能将圆任意等分.三、运用新知，深化理解1.如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，那么∠APB的度数为_______./π的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为_____.3.如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比.4.如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，……正n边形的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.〔1〕求图1中的∠MON的度数；〔2〕在图2中，∠MON的度数为_____，在图3中，∠MON的度数为_____；〔3〕试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系.〔直接写出答案〕【教学说明】题1、2可由学生自主探索完成，题3、4可先让学生思考，然后教师加以提示，最后共同解答.完成教材第106页、108页的练习.°4.解：〔1〕连接OB、OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△BOM≌△CON，∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°72°(解法与〔1〕相同)(3)∠MON=360°/n.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？【教学说明】教师先提出问题，然后让学生自主思考并回忆，教师再予以补充和点评.1.布置作业：从教材“〞中选取.练习册中本课时练习的“课后作业〞局部.1.本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些根本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，表达了化归的思想.其次，在这一根底上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这可以开展学生的作图能力.2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最根本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.。
第十二章全等三角形中的全等模型(教案)
一、教学内容
第十二章全等三角形中的全等模型（教案）
1.全等三角形的定义及判定定理
（1）SSS（Side-Side-Side）判定定理
（2）SAS（Side-Angle-Side）判定定理
（3）ASA（Angle-Side-Angle）判定定理
（4）AAS（Angle-Angle-Side）判定定理
（3）识别全等模型
-难点：学生在识别全等模型时，容易忽略关键信息，导致无法正确运用全等定理。
-解决方法：通过丰富的练习题，训练学生的观察能力，提高识别全等模型的能力。
（4）几何证明中的逻辑推理
-难点ห้องสมุดไป่ตู้学生在几何证明过程中，逻辑推理不严密，容易出错。
-解决方法：教授学生如何运用已知条件和全等三角形的性质，进行严密的逻辑推理。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调SSS、SAS、ASA、AAS这四个判定定理和全等三角形的性质这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示全等三角形的基本原理。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了全等三角形的基本概念、判定定理、性质以及在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对全等三角形全等模型的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
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教学过程
一、课堂导入
【问题】如图，你能感觉到哪两个三角形全等吗？
【思考】△ABD≌△ACE
二、复习预习
【问题】工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON．移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合．则过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的角平分线，为什么？请你说明理由．
【解答】OP平分∠AOB
理由如下：
∵OM=ON，PM=PN，OP=OP
∴△MOP≌△NOP（SSS）
∴∠MOP=∠NOP
∴OP平分∠MON
（即OP是∠AOB的角平分线）
三、知识讲解
考点1
全等三角形性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高、中线相等，对应角的平分线相等。
考点2
全等三角形的判定：
所有三角形SAS、ASA、AAS、SSS；直角三角形HL
四、例题精析
【例题1】
【题干】如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：AE=BF．
【解析】根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABG与∠BAG的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAG与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案．
【例题2】
【题干】如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；
（2）求证：AE⊥CF．
【例题3】
【题干】（2014•顺义区一模）已知：如图1，△MNQ中，MQ≠NQ．
（1）请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：
如图2，在四边形ABCD中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D．求证：CD=AB．
主要根据“SSS”判定三角形的全等．
【解析】（1）以点N为圆心，以MQ长度为半径画弧，以点M为圆心，以NQ长度为半径画弧，两弧交于一点F，则△MNF为所画三角形．
（2）延长DA至E，使得AE=CB，连结CE．证明△EAC≌△BCA，得：∠B =∠E，AB=CE，根据等量代换可以求得答案．
【例题4】
五、课堂运用
【基础】
1.在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：（1）BH=DE．
（2）BH⊥DE．
【解析】（1）根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可．
2.（1）操作发现
如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B，C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，猜想∠ABC与∠ACN有何数量关系？并证明你的结论；
（2）类比探究
如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【解析】（1）由全等三角形可以判定AB=AC，AM=AN，即可求证△ABM≌△ACN，即可求得∠ABC=∠ACN；（2）和（1）同理，由全等三角形可以判定AB=AC，AM=AN，即可求证△ABM≌△ACN，即可求得∠ABC=∠CAN.
【巩固】
1.如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．
2.如图，△ABC与△BEF都是等边三角形，D是BC上一点，且CD=BE，求证：∠EDB=∠CAD．
【解析】过点D作DG∥AB交AC于G，求出∠EBD=∠AGD=120°，BD=AG，根据SAS证△EBD≌△DGA，根据全等三角形的性质推出即可．
【拔高】
正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF．
（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为：；
（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数量关系：．
形对应边相等可得EF=FG，全等三角形对应角相等可得∠AFE=∠BFG=45°，再求出∠EFG=90°，然后根据垂直的定义证明即可；
（2）取BC的中点G，连接FG，根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“边角边”证明△FQE和△FPG全等，根据全等三角形对应边相等可得QE=FG，BF=BG，再根据BG+GP=BP等量代换即可得证；
（3）根据题意作出图形，然后同（2）的思路求解即可．
课程小结
1.全等三角形的性质
2.全等三角形的判定。