全等三角形模型(教案)

教学过程

一、课堂导入

【问题】如图，你能感觉到哪两个三角形全等吗？

【思考】△ABD≌△ACE

二、复习预习

【问题】工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON．移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合．则过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的角平分线，为什么？请你说明理由．

【解答】OP平分∠AOB

理由如下：

∵OM=ON，PM=PN，OP=OP

∴△MOP≌△NOP（SSS）

∴∠MOP=∠NOP

∴OP平分∠MON

（即OP是∠AOB的角平分线）

三、知识讲解

考点1

全等三角形性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高、中线相等，对应角的平分线相等。

考点2

全等三角形的判定：

所有三角形SAS、ASA、AAS、SSS；直角三角形HL

四、例题精析

【例题1】

【题干】如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：AE=BF．

【解析】根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABG与∠BAG的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAG与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案．

【例题2】

【题干】如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；

（2）求证：AE⊥CF．

【例题3】

【题干】（2014•顺义区一模）已知：如图1，△MNQ中，MQ≠NQ．

（1）请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：

如图2，在四边形ABCD中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D．求证：CD=AB．

主要根据“SSS”判定三角形的全等．

【解析】（1）以点N为圆心，以MQ长度为半径画弧，以点M为圆心，以NQ长度为半径画弧，两弧交于一点F，则△MNF为所画三角形．

（2）延长DA至E，使得AE=CB，连结CE．证明△EAC≌△BCA，得：∠B =∠E，AB=CE，根据等量代换可以求得答案．

【例题4】

五、课堂运用

【基础】

1.在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：（1）BH=DE．

（2）BH⊥DE．

【解析】（1）根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可．

2.（1）操作发现

如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B，C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，猜想∠ABC与∠ACN有何数量关系？并证明你的结论；

（2）类比探究

如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

【解析】（1）由全等三角形可以判定AB=AC，AM=AN，即可求证△ABM≌△ACN，即可求得∠ABC=∠ACN；（2）和（1）同理，由全等三角形可以判定AB=AC，AM=AN，即可求证△ABM≌△ACN，即可求得∠ABC=∠CAN.

【巩固】

1.如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．

2.如图，△ABC与△BEF都是等边三角形，D是BC上一点，且CD=BE，求证：∠EDB=∠CAD．

【解析】过点D作DG∥AB交AC于G，求出∠EBD=∠AGD=120°，BD=AG，根据SAS证△EBD≌△DGA，根据全等三角形的性质推出即可．

【拔高】

正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF．

（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为：；

（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．

（3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数量关系：．

形对应边相等可得EF=FG，全等三角形对应角相等可得∠AFE=∠BFG=45°，再求出∠EFG=90°，然后根据垂直的定义证明即可；

（2）取BC的中点G，连接FG，根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“边角边”证明△FQE和△FPG全等，根据全等三角形对应边相等可得QE=FG，BF=BG，再根据BG+GP=BP等量代换即可得证；

（3）根据题意作出图形，然后同（2）的思路求解即可．

课程小结

1.全等三角形的性质

2.全等三角形的判定