全等三角形之半角模型
初二上学期全等三角形专题之半角模型教案(有答案)
半角模型互动精讲【知识梳理】半角模型（内夹补短，外夹截长；先证小全等，再证大全等。
）1、90°夹45°（1）内夹（90°角完全包含45°角）（2）外夹（90°角不完全包含45°角）2、120°夹60°（1）内夹（120°角完全包含60°角）（2）外夹（120°角不完全包含60°角）【例题精讲】例1、正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN=45°。
（1）当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明。
例2、在等边△ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及△AMN 的周长Q 与等边△ABC 的周长L 的关系．（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时=LQ； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．【课堂练习】1、如图，正方形ABCD中，E和F分别是边BC和CD上的点，AG⊥EF于G，若∠EAF＝45°，求证：AG＝AD。
2、已知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交AC于F，连接EF．（1）若BE=CF，求证：①△DEF是等边三角形；②BE+CF=EF．（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB，AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？请说明理由．课堂检测1、（1）如图1、在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=60°，探究图中的线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，且∠EAF=21∠BAD ，探究图中的线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系（1）延长FD 至G,使得GD=BE,再连接AG2、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC、DC边上的点，且满足DF＋BE=EF。
全等三角形的半角模型
全等三角形的半角模型1. 引言：三角形的魅力说到三角形，哎呀，谁能不想起它那种简单却又神奇的形状呢？想象一下，三根边，三个角，乍一看好像没啥特别的，可一旦深入了解，哇，简直就像打开了宝藏一样！全等三角形就更是其中的明星，简直能让你大开眼界。
就像小孩看到糖果一样，满心欢喜。
而今天，我们就要聊聊这全等三角形的半角模型，听起来复杂，其实比吃糖还简单哦！1.1 什么是全等三角形？首先，咱得搞清楚什么叫全等三角形。
简单来说，就是这两个三角形的形状和大小都一模一样，没差别，真是“形影不离”啊！想象一下，跟你最好的朋友站在一起，你们穿着一模一样的衣服，哈哈，简直就是双胞胎！在数学上，全等三角形有几个重要的特征，比如它们的边长、角度都完全相等，这简直是三角形界的“姐妹花”。
1.2 半角模型的魔力接下来，咱们要聊聊半角模型，这个听起来有点复杂的概念，其实就是将一个角度分成两个小角，像是把一块蛋糕切成两半，嘿嘿！这样做的好处多着呢。
通过半角模型，我们可以更容易地计算一些复杂的三角关系，简直就像给我们的数学问题开了一扇窗，让光明洒进来！2. 半角公式的基本知识好啦，进入正题！大家准备好纸和笔了吗？咱们要揭开这个半角模型的神秘面纱。
半角公式其实是一些用于计算三角形角度的公式，简单说就是用来帮助我们更快找到答案的小助手。
比如，正弦、余弦和正切的半角公式，听起来是不是有点高大上？别担心，我来给你拆解。
2.1 正弦的半角公式正弦的半角公式特别简单，记住这句话：“sin(θ/2) = √(1 cosθ)/2”。
看似复杂，实际上就像拆解魔方一样，把大问题变成了小问题。
你只需要找出cosθ的值，然后一代入，就能轻松算出sin(θ/2)，真是省时省力！2.2 余弦的半角公式接下来，余弦的半角公式也是一样的简单。
公式是“cos(θ/2) = √(1 + cosθ)/2”。
说实话，听到这个公式的时候，我真是忍不住要给数学点个赞！它让我们在复杂的三角形问题中找到了一条捷径，真是如鱼得水，轻松无比。
全等三角形之手拉手模型与半角模型
全等三角形之手拉手模型与半角模型.docx全等三角形全等三角形是指两个三角形的所有对应边和对应角都相等。
在几何学中，我们可以通过手拉手模型和半角模型来证明两个三角形是否全等。
手拉手模型是一种直观的证明方法，它利用手指来模拟三角形的边和角度。
首先，我们将两个三角形的一个顶点对齐，然后将手指放在对应的边上，同时保持手指的角度相同。
如果我们可以通过这种方式将两个三角形完全重合，那么它们就是全等三角形。
半角模型则是一种更加精确的证明方法，它利用三角形的半角来判断它们是否全等。
在两个三角形的一个顶点处，我们将两个角度分别平分为两个半角，然后将半角对应的边对齐。
如果我们可以通过这种方式将两个三角形完全重合，那么它们就是全等三角形。
总之，全等三角形是几何学中非常重要的概念，它们具有相同的形状和大小。
通过手拉手模型和半角模型，我们可以轻松地判断两个三角形是否全等。
1.手拉手模型1.1 定义手拉手模型是一种解决三角形问题的方法，它利用三角形内部的相似三角形来求解。
1.2 任意等腰三角形下的手拉手模型在任意等腰三角形ABC中，连接AB和AC的中点D和E，连接BE和CD，交点为F。
则三角形DEF与三角形ABC 相似，且比例为1:4.1.3 等边三角形下的手拉手模型在等边三角形ABC中，连接AB和AC的中点D和E，连接BE和CD，交点为F。
则三角形DEF与三角形ABC相似，且比例为1:3.1.4 等腰直角三角形下的手拉手模型在等腰直角三角形ABC中，连接AB和AC的中点D和E，连接BE和CD，交点为F。
则三角形DEF与三角形ABC 相似，且比例为1:2.1.5 例题已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，BC=4√2，点D为BC的中点，连接AD和BD，交点为E。
求AE的长度。
解：连接BE和CD，交点为F。
由手拉手模型可知，三角形DEF与三角形ABC相似，且比例为1:2.因此，DE=2，EF=2√2，AF=2+2√2.又因为三角形ADE为直角三角形，所以AE=√(AD²+DE²)=2√5.答案为2√5.2.半角模型2.1 定义半角模型是一种解决三角形问题的方法，它利用三角形内部的半角来求解。
全等三角形模型之 - 半角模型
半角模型（一）把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
1、常见的图形正方形，正三角形，等腰直角三角形等。
特点：①大角内部有一小角，且小角角度是大角角度的一般②大角的两边相等，保证旋转之后能够完全重合③大角的两边与其他两边形成的两个角互补，保证旋转之后的两个三角形两边能在同一直线上2、解题思路①将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形；②证明与半角形成的三角形全等；③通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。
二、基本模型1、正方形内含半角例题1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。
2、等边三角形内含半角例题2、如图，已知△ABC 是等边三角形，点 D 是△ABC 外一点，DB = DC 且∠BDC = 120°，∠EDF = 60°，DE ，DF 分别交AB ，AC 于点E , F 。
求证：EF = BE + CF3、等腰直角三角形内含半角例题3、如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，点D ,E 在BC 上，且满足∠DAE = 45°。
求证：DE^2 = BD^2 + CE^2半角模型练习（二）条件：ABCD为正方形，∠MAN=45°，AM 与AN 分别与BC 边和CD 边交与M,N 两点，连接MN.思路：1、旋转辅助线；①延长CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F ，使FE=DM ，连AF②将三角形AND 绕点A 顺时针旋转90°，得到三角形ABF 。
注意：旋转需证F,B.M 三点共线结论：MN=BM+DN（2）C 三角形CMN=2AB（3）AM,AN 分别平分∠BMN,∠MND2、翻转（对称）辅助线：①做AP 垂直MN ，交MN 于点P②将三角形AND,三角形ABM 分别沿着AM,AM 翻转，但一定要证明M,P ,N 三点共线如图，正方形ABCD 的边长为2，点EF 分别是在AD ，CD 上，若∠EBF=45°，则三角形EDF 的周长等于多少？例题： 已知，如图1，四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转时一种常用的方法．（1）在图1中，连接EF ，为了证明结论“EF=BE+DF ”，小明将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程； （2）如图2，当∠EAF 的两边分别与CB 、DC 的延长线交于点E 、F ，连接EF ，试探究线段EF 、BE 、DF 之间的数量关系，并证明：。
半角模型(学生版)--全等三角形的七大模型全攻略
半角模型基本模型：例题精讲1(120°与60°)问题情境在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC= 120°，BD=DC．特例探究如图1，当DM=DN时，(1)∠MDB= 度；(2)MN与BM，NC之间的数量关系为 ；归纳证明(3)如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE=BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．拓展应用(4)△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ．2(60°与30°)问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON=60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；问题解决：(1)如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；(2)如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．3(90°与45°)如图①，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=45°，易证：AE +CF=EF(不用证明)．(1)如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，点E，F分别在AB 与BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)如图③，在四边形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB与∠BCD互补，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=α，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证明．【变式训练】1已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC(或它们的延长线)于E、F．(1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1)，试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：+=．(不需证明)(2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF(如图2)时，上述(1)中结论是否成立？请说明理由．(3)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF(如图3)时，上述(1)中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．2如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且∠FCE= 1∠BCD.2(1)求证：BF=EF-ED；(2)连结AC，若∠B=80°,∠DEC=70°，求∠ACF的度数.3问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°，点E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =60°，连接EF ，探究线段BE ，EF ，DF 之间的数量关系．(1)探究发现：小明同学的方法是延长FD 到点G ．使DG =BE ．连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，从而得出结论：；(2)拓展延伸：如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E 、F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ，请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．(3)尝试应用：如图3，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，E 、F 分别是边BC ，CD 延长线上的点，且∠EAF =12∠BAD ，请探究线段BE ，EF ，DF 具有怎样的数量关系，并证明．4综合与实践(1)如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在AD 、CD 上，若∠MBN =45°，则MN ，AM ，CN 的数量关系为．(2)如图2，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，AB =BC ，∠A +∠C =180°，点M 、N 分别在AD 、CD 上，若∠MBN =12∠ABC ，试探索线段MN 、AM 、CN 有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．(3)如图3，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M 、N 分别在DA 、CD 的延长线上，若∠MBN =12∠ABC ，试探究线段MN 、AM 、CN 的数量关系为．课后训练5如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，AF，EF．(1)如图①，AB=AD，∠BAD=120°，∠EAF=60°．求证：EF=BE+DF；(2)如图②，∠BAD=120°，当△AEF周长最小时，求∠AEF+∠AFE的度数；(3)如图③，若四边形ABCD为正方形，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，若BE=3，DF=2，请求出线段EF的长度．6(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=100°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF ≌△AGF，可得出结论，他的结论是(直接写结论，不需证明)；(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2∠EAF =∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；(3)如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF=45°，直接写出△DEF的周长．7已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN．(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．8(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD.求证:EF=BE+FD;(2)如图2在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF= 12∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？不用证明.(3)如图3在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.9如图，CA=CB，CA⊥CB，∠ECF=45°，CD=CF，∠ACD=∠BCF．(1)求∠ACE+∠BCF的度数；(2)以E为圆心，以AE长为半径作弧；以F为圆心，以BF长为半径作弧，两弧交于点G，试探索△EFG的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由．。
初一全等三角形的手拉手模型与半角模型
初一全等三角形的手拉手模型与半角模型
1、手拉手模型
定义：两个顶角相等且有公共定点的等腰三角形形成的图形；
如图所示，△ABC与△ADE为等腰三角形，点A为顶点且∠CAB=∠EAD，则在初一的情况下我们可以得到下面两个结论：
1、线段CE长度与线段BD长度相等
证明提醒：证明△ABD与△ACE全等；
2、∠CFB=∠CAB=∠EAD
证明提醒：利用三角形内角和，或者说是8字形，利用前面的△ABD与△ACE全等，可以推出∠FCG=∠BGA，利用△CGF与△BGA的内角和求证出结论
例题：
如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：
（1）△ABE ≌△DBC ；
（2）AE=DC ；
（3）AE 与DC 的夹角为60°； E B D
A
C
2、半角模型 定义：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连结它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型。
如图：正方形ABCD 中∠EAF 角度为45°，且E 在边BC 上，F 在边CD 上则可求得：BE+DF=EF
证明思路：旋转全等，便于求证
所有的半角均可以采用全等的旋转完成的，但是在描述的时候可以描述为构造全等 例题：将上述过程进行证明，书写过程。
专题13 全等三角形重难点模型(五大模型)(解析版)
专题13全等三角形重难点模型（五大模型）模型一：一线三等角型模型二：手拉手模型模型三：半角模型模型四：对角互补模型模型五：平行+线段中点构造全等模型【典例分析】【模型一：一线三等角型】如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。
结论：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。
结论：△BEC≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
【典例1】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【解答】解：（1）如图1中，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEB＝∠AOB．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BAO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵A（﹣1，0），B（0，2），∴AO＝BE＝1，OB＝CE＝2，∴OE＝1+2＝3，∴C（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）；（2）动点A在运动的过程中，c+d的值不变．理由：过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA＝∠AOB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵B（﹣1，0），A（0，a），∴BO＝AE＝1，AO＝CE＝a，∴OE＝1+a，∴C（﹣a，1+a），又∵点C的坐标为（c，d），∴c+d＝﹣a+1+a＝1，即c+d的值不变．【变式1】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【解答】（1）①证明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形，∴OB＝CB，BD＝AB，∠ABD＝∠OBC＝90°，∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O，∴∠OBD＝∠CBA，∴△OBD≌△CBA（SAS），∴AC＝OD；②如图一、∵A（4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，过点D作DF⊥y轴于F，∴∠BOA＝∠DFB＝90°，∴∠ABO+∠OAB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠ABO+∠FBD＝90°，∴∠OAB＝∠FBD，∵AB＝BD，∴△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB＝3，BF＝OA＝4，∴OF＝OB+BF＝7，∴D（3，﹣7）；（2）如图二、过点D作DF⊥y轴于F，则∠DFB＝90°＝∠CBF，同（1）②的方法得，△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB，BF＝OA＝4，∵OB＝BC，∴BC＝DF，∵∠DEF＝∠CEB，∴△DEF≌△CEB（AAS），∴BE＝EF，∴BF＝BE+EF＝2BE＝4，∴BE＝2．【典例2】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（2）结论DE＝BD+CE成立，理由如下：∵∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC，∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB，∠ADB＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△BAD和△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA+AE＝BD+CE；（3）△DFE为等边三角形，理由如下：由（2）得，△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，∴∠ABD+∠FBA＝∠CAE+FAC，即∠FBD＝∠FAE，在△FBD和△FAE中，，∴△FBD≌△FAE（SAS），∴FD＝FE，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DFE为等边三角形．【变式2】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE ＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD 的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，故答案为：BD＝AE，CE＝AD；（2）DE＝BD+CE，由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝BD+CE；（3）存在，当△DAB≌△ECA时，∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，∴t＝1，此时x＝2；当△DAB≌△EAC时，∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，∴t＝，x＝7÷＝，综上：t＝1，x＝2或t＝，x＝．【模型二：手拉手模型】应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题；②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。
专题11 全等模型—半角模型-2020年决胜中考经典专题分析
2020年决胜中考经典专题分析专题11 全等模型—半角模型什么叫半角模型定义：我们习惯把等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使得两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型我们称为半角模型半角模型特征：两个角是一半的关系，并且两个角有公共顶点，大角的两边相等解题思路（1）将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形；（2）证明与半角形成的三角形全等；（3）通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题口诀：大角加半角，大角两边相等，构造全等90°半角模型在正方形ABCD中，∠EAF=45°延长CB到点H，使得BH=DF，连接AH由题意得：四边形ABCD是正方形，所以AB=AD∠ABH=∠D在△ABH和△ADF中AB=AD则有∠ABH=∠D（边角边）BH=DF因此△ABH≌△ADF （SAS）则有∠FAD=∠HAB AH=AF∵∠BAD=90°，∠EAF=45°∴∠FAD＋∠BAE=∠BAD－∠EAF=90°－45°=45°即∠HAE=∠HAB＋∠BAE=45°∠HAE=∠EAF在△△HAE和△FAE中AH=AF∠HAE=∠EAFAE = AE因此△HAE≌△FAE，所以HE=EF则可以推理出：HB＋BE=EF三角形CEF的周长等于EF＋EC＋FC= HB＋BE＋EC＋FC=BC＋DC则可以推理出：三角形CEF的周长等于正方形的周长一半由上面证明得△HAE≌△FAE，所以∠BEA=∠FEA则可以推理出：AE平分∠BEF又∵△ABH≌△ADF，∴∠H=∠AFD，∵△HAE≌△FAE，∴∠H=∠AFE，即∠AFE=∠AFD，则可以推理出：AF平分∠DFE.《典例1》如图，在正方形ABCD中，E,F分别是AD，CD上的点，∠EBF=45°，△EDF的周长为10，求四边形ABCD的周长？《答案》由题意得，延长AD到点H使得AH=CF∵四边形ABCD是正方形∴∠HAB=∠C=90° AB=BC∴△HAB≌△FCB即BH=BC ∠HBA=∠CBH则有∠HBE=∠EBF=45°BH=BC∠HBE=∠EBF （边角边）BE=BE∴△HAE≌△FBE （SAS）即HE=FE因此FE=AE＋CF∵△EDF的周长等于AD＋DC=10，∴四边形ABCD的周长=2（AD＋DC）=20．《精准解析》先作辅助线使得AH=CF，构造△HAB≌△FCB，再证明△HAE≌△FBE 得EF=EH，推理出EF=AE＋CF，则最终得到△EDF的周长等于AD＋DC=10，四边形ABCD的周长=2（AD＋DC）=20 120°半角模型，顶角为120°的等腰三角形BDC，∠MDN=60°△ABC是等边三角形.延长AB到点H,使得BH=CN，由题意得等腰三角形BDC中，∠BDC=120°，所以∠DBC=∠DCB=30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD=∠ACD=90°，即∠HBD=∠ACD，在△HBD和△NCD中，BH=CN，∠HBD=∠ACD，BD=DC，所以△HBD≌△NCD（SAS），即DH=DN，∠HDB=∠CDN，因此∠HDM=∠MDN，则在△MDN和△HDM中，DH=DN∠HDM=∠MDN（边角边）DM=DM因此△MDN≌△HDM，结论：MN=BM＋NC，三角形AMN的周长=2倍等边三角形ABC的边长．《典例2》如图，三角形ABC是等边三角形，三角形BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点做一个60°的角，使得两边分别交AB于M，交AC于点N，连接MN,,已经三角形ANM的周长为6，求等边三角形ABC的周长？《答案》延长AB到点H,使得BH=CN由题意得等腰三角形BDC中，∠BDC=120°所以∠DBC=∠DCB=30°∵△ABC是等边三角形∴∠ABD=∠ACD=90°即∠HBD=∠ACD在△HBD和△NCD中BH=CN∠HBD=∠ACD（SAS）BD=DC所以△HBD≌△NCD （SAS）即DH=DN，∠HDB=∠CDN，因此∠HDM=∠MDN，则在△MDN和△HDM中DH=DN∠HDM=∠MDN（边角边）DM=DM所以△MDN≌△HDM因此MN=BM＋NC，三角形AMN的周长=2倍等边三角形ABC的边长∵三角形AMN的周长等于6，∴等边三角形ABC的边长=6÷2=3，因此等边三角形ABC的周长为：3×3=9.《精准解析》先作辅助线使得BH=CN，构造△HBD≌△NCD ，再证明△MDN≌△HDM 得HM=NM，推理出NM=BH＋BM=BH＋CN，因为三角形AMN的周长等于6，所以推理出等边三角形ABC的边长=6÷2=3，因此等边三角形ABC的周长为：3×3=9《典例3》已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕着点A顺时针旋转，他的两边分别交于CB,DC （或他们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H（1）如图1，∠MAN绕着点A顺时针旋转到BM=DN时，请直接写出AH与AB的数量关系：（）（2）如图2，∠MAN绕着点A顺时针旋转到BM≠DN时，（1）中的结论还可以成立吗？如果不成立写出结论，成立的话请证明。
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全等三角形之半角模型
一、什么叫半角模型
定义：我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。
二、基本模型（1）——正方形内含半角
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，
求证：EF=BE+DF。
三、基本模型（2）——等边三角形内含半角
已知：如图，△ABC是等边三角形，点D是△ABC外一点，DB=DC且
∠BDC=120°，∠EDF=60°，DE、DF分别交AB、AC于点E、F．
求证：EF =BE+CF．
四、基本模型（3）——等腰直角三角形内含半角
已知：△ABC是等腰直角三角形，点D、E在BC上，且满足∠DAE=45°求证：DE²=BE²+CD²（请使用旋转和翻折两种方法解决）。