半角公式及万能公式
半角公式及万能公式
这样“三角”与“代数”沟通起来，因此称为“万能公 这样“三角” 代数”沟通起来，因此称为“ 式”。 弦化切的两种方法： 齐次式”弦化切及万能公式. 弦化切的两种方法：“齐次式”弦化切及万能公式
1 π sin = 2 练习： = 练习： 2 π 4 2 4 1 + tan
tan 8 8
π
1 π =1 = tan π 2 4 2 1 tan 2
1 ∴ cos sin = 2 2 5 cos α + sin α = 3 2 2 5
∴ tan
α
α
α
α
3 α α = (cos sin ) 2 2 5 1 α cos 2 = 5 α 2 sin = 2 5 α 1 cos α 5 2 = 1 + = . α 4 2 sin
1 cosα 1 + cos α 2 + = 化简： tan + cot = 化简： = 2 csc α sin α sin α sin α 2 2 π sin( α ) π α cos α 2 = = tan( ) 4 2 1 + sin α 1 + cos( π α ) 2
α
α
α
二、例 1：已知 求 sin
tan 8 8
1 tan ( α ) π 4 = cos( 2α ) 2 2 π 1 + tan ( α ) 4
2
π
π
= sin 2α
1 + sin α + cos α 1 = , 求 cos α值. 例1：已知 1 + sin α cos α 2
1 + sin α + cos α (1 + cos α ) + sin α = 解： 1 + sin α cos α (1 cos α ) + sin α = 2 cos 2 sin
三角函数万能公式推导过程
三角函数万能公式推导过程三角函数万能公式推导过程三角函数是数学中的一个重要分支，它与三角学、几何学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
三角函数有许多公式，其中最为重要的是万能公式。
本文将介绍万能公式的推导过程，让读者对其有更深刻的认识和理解。
万能公式是指下面的公式：cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin bsin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b其中a和b是任意角度。
这两个公式可以用来计算角度的和、差或乘积，是三角函数中最为重要的公式之一。
推导过程可以分为以下几步：第一步：将a + b转化为两个角的平均数和差的形式。
我们可以用以下公式来进行转化：cos(a + b) = cos[(a + b)/2 + (a + b)/2]sin(a + b) = sin[(a + b)/2 + (a + b)/2]根据平均数和差的公式，上述公式可以进一步转化为：cos(a + b) = cos[(a - b)/2] cos[(a + b)/2] - sin[(a - b)/2] sin[(a + b)/2]sin(a + b) = sin[(a - b)/2] cos[(a + b)/2] + cos[(a - b)/2] sin[(a + b)/2]第二步：用半角公式将上式中的cos[(a ± b)/2]和sin[(a ± b)/2]用cos a和sin a表示出来。
半角公式是指：cos(x/2) = ±√[(1 + cos x)/2]sin(x/2) = ±√[(1 - cos x)/2]将上式中的cos[(a ±b)/2]和sin[(a ±b)/2]代入使用半角公式推导后得到：cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin bsin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b与万能公式一致。
高中数学三角函数常用公式
高中数学三角函数常用公式三角函数是高中数学中非常重要的内容，掌握了三角函数的常用公式，能够对解题提供很大的帮助。
下面是一些常用的三角函数公式。
1.基本公式：正弦函数（sin）：sin(A+B) = sinA * cosB + cosA * sinBsin(A-B) = sinA * cosB - cosA * sinBsin2A = 2 * sinA * cosA余弦函数（cos）：cos(A+B) = cosA * cosB - sinA * sinBcos(A-B) = cosA * cosB + sinA * sinBcos2A = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A-1 = 1-2sin^2A正切函数（tan）：tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)2.万能公式：sinA = 2tan(A/2) / (1 + tan^2(A/2))cosA = (1 - tan^2(A/2)) / (1 + tan^2(A/2))tanA = 2tan(A/2) / (1 - tan^2(A/2))3.诱导公式：s in(π/2 - A) = cosAcos(π/2 - A) = sinAtan(π/2 - A) = 1 / tanAcot(π/2 - A) = 1 / tanAsec(π/2 - A) = 1 / cosAcsc(π/2 - A) = 1 / sinA 4.任意角公式：sin(-A) = -sinAcos(-A) = cosAtan(-A) = -tanAtan(A + π) = tanAsin(π - A) = sinAcos(π - A) = -cosAsin(A + π) = -sinAcos(A + π) = -cosAsin(2π -A) = -sinAcos(2π - A) = cosAsin(A + 2π) = sinAcos(A + 2π) = cosA5.等差关系：sin(A + nπ) = sinAcos(A + nπ) = cosAtan(A + nπ) = tanA6.倍角公式：sin(2A) = 2sinAcosAcos(2A) = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2Atan(2A) = (2tanA) / (1 - tan^2A)7.半角公式：sin(A/2) = ±√((1 - cosA) / 2)cos(A/2) = ±√((1 + cosA) / 2)tan(A/2) = ±√((1 - cosA) / (1 + cosA))8.三角恒等式：sin^2A + cos^2A = 11 + tan^2A = sec^2A1 + cot^2A = csc^2A这些是高中数学中常用的三角函数公式，掌握了这些公式，能够在解题过程中准确、快速地计算三角函数的值，帮助解决许多复杂的问题。
半角公式及万能公式
五、小结归纳：本节课你有什么收获？
1、半角公式及万能公式的推导
3、理解倍角和半角关系，理解倍角公式与半角公 式的内在联系 4、掌握三角函数恒等变形的基本手段，转化 的思想。
2、公式本质用 角的三角函数值表示角 的三角函数 2
作业：
• 1、上交：p142第4题；p143第1题. • 2、课外：资料p83-85.
1 cos( 2 ) 1 sin 2 1 2 cos 2 2 sin( 2 ) 2
．
1 cos sin 1 cos sin 1 tan 1 解法二：原式 cos sin 1 tan 2 2 sin( ) 4
解： sin
7 1 25 = 4 cos = 2 2 5
sin
点评：正用公式
sin
2
1 cos cos 2 2
1 cos tan 2 2
12 3 例题2：已知 sin 2 , 2 13 2 求 tan
分析:1、α是2α的半角, 2、正切函数半角公式有3种形式
半角公式：
1 cos sin 2 2 1 cos cos 2 2
tan
1 cos sin 2 2 1 cos 2 cos 2 2
2
2
sin 1 cos tan 2 1 cos sin 1、半角公式和倍角公式实际上是同一 组公式的不同变形； 2、公式中根号前的“”由角 的终边所在象限确定． 2
2
4、证明下列恒恒等式
(1)左边 1 cos 2 1 cos( ) 1 sin 右边 2 4 2 cos 2 sin 2 cos 2 (2)左边 tan 2 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 sin 2 tan 右边 1 cos 2
三角函数半角公式大全及推导过程
三角函数半角公式大全及推导过程
三角函数的半角公式包括半角正弦公式、半角余弦公式、半角正切公式等等，接下来分享具体的三角函数半角公式大全及推导过程。
三角函数的半角公式
sin(α/2)=±√((1-cБайду номын сангаасsα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/((1+cosα))
三角函数半角公式推导过程
已知公式
sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα
cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α①
半角正弦公式
由等式①，整理得：sin²α=1-cosα/2
将α/2带入α，整理得：sin²α/2=1-cosα/2
开方，得sinα/2=±√((1-cosα)/2)
半角余弦公式
由等式①，整理得：cos2α+1=2cos²α
将α/2带入，整理得：cos²α/2=cosα+1/2
开方，得cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
半角正切公式
tan(α/2)=[sin(α/2)]/[cos(α/2)]=±√((1-cosα)/((1+cosα))
三角函数的万能公式
sin(α)=[2tαn(α/2)]/[1+tαn2(α/2)]
cos(α)=[1-tαn2(α/2)]/[1+tαn2(α/2)]
半角公式及万能公式
半角公式及万能公式在我们学习三角函数的奇妙世界里，半角公式和万能公式就像是两把神奇的钥匙，能帮助我们打开许多难题的大门。
先来说说半角公式吧。
这半角公式啊，就像是个小巧玲珑的魔法工具。
比如说，sin(α/2) = ±√((1 - cosα) / 2) ，cos(α/2) = ±√((1 + cosα) / 2) ，tan(α/2) = ±√((1 - cosα) / (1 + cosα)) 。
你看这些公式，是不是感觉有点复杂？其实啊，只要多做几道题，多练练手，就会发现它们其实也没那么难。
我记得有一次，我在给学生们讲解半角公式的时候，有个学生一脸迷茫地看着我，说：“老师，这公式怎么这么绕啊，我都晕了。
”我笑着对他说：“别着急，咱们一起来慢慢琢磨。
”于是，我给他举了个例子。
假设我们有一个角α，它的余弦值cosα = 3/5 ，那么我们来求sin(α/2) 。
首先，我们要判断α/2 所在的象限。
因为cosα 是正的，所以α在第一或第四象限。
那么α/2 就在第一或第三象限。
接下来，我们根据半角公式sin(α/2) = ±√((1 - cosα) / 2) ，把cosα = 3/5 代入进去，得到sin(α/2) = ±√((1 - 3/5) / 2) = ±√(1/5) 。
因为α/2 在第一或第三象限，所以sin(α/2) 是正的，最终结果就是√(1/5) 。
通过这个例子，那个学生恍然大悟，脸上露出了开心的笑容。
这让我深深体会到，只要把抽象的公式通过具体的例子展现出来，再难的知识也能变得容易理解。
说完半角公式，咱们再聊聊万能公式。
万能公式那可真是万能啊！它能把三角函数的各种形式都统一起来。
万能公式包括：sinα =2tan(α/2) / (1 + tan²(α/2)) ，co sα = (1 - tan²(α/2)) / (1 + tan²(α/2)) ，tanα =2tan(α/2) / (1 - tan²(α/2)) 。
倍角公式和半角公式-简单难度-讲义
倍角公式和半角公式知识讲解一、倍角公式sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=- 3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-；323tan tan tan 313tan αααα-=- 二、半角公式1cos sin22αα-=±；1cos cos 22αα+=±； 1cos 1cos sin tan21cos sin 1cos ααααααα--=±==++ 三、万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；22tan2tan 1tan 2ααα=-四、公式的推导sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=- 再利用22sin cos 1αα+=，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-sin 2tan2cos2ααα===sin 2sinsin1cos 222tan2sin cos 2sin cos 222ααααααααα-=== sin 2cossinsin 222tan21cos cos2cos cos222ααααααααα===+ 【说明】这里没有考虑cossin22αα==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出来单独讨论一下．五、综合运用1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用1）并项功能： 2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=± 2）升次功能 ： 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 3）降次功能： 221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-== 2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452︒︒=︒-︒=︒-︒=, ()()22αααββαββ=-+=+-=⋅()()()()ππ2()()44ααβαβαββααα=++-=+--=+--()()222βαβαβαααβα⎛⎫-=-+=-=-- ⎪⎝⎭ππππππ244362αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3ππ2ππ5ππ443366αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2）函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：2222ππππ1sin cos sec tan sintan 2sin 2464αααα=+=-===； 4）幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法 常用的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-=但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理，比如221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用， 例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±⋅⋅m ； 6）辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式() sin cos y a b αααϕ=++的应用，其中tan b aϕ=，ϕ所在的象限由,a b 的符号确定．典型例题一．选择题（共8小题）1．（2018•绵阳模拟）若，则tan2α=（）A．﹣3 B．3 C． D．【解答】解：∵=，可求tanα=﹣3，∴tan2α===．故选：D．2．（2018•海淀区校级三模）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边落到直线y=﹣2x上，则cos2α=（）A．﹣ B． C．D．﹣【解答】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边落到直线y=﹣2x上，∴tanα=﹣2，则cos2α====﹣，故选：A．3．（2018•中山市一模）函数y=2sin2（x+）﹣1是（）A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数【解答】解：函数y=2sin2（x+）﹣1，化简可得y=﹣cos（2x+3π）=cos2x．∴函数y是最小正周期T==π的偶函数．故选：A．4．（2018春•福州期末）化简的结果为（）A．﹣2 B． C．﹣1 D．1【解答】解：==﹣=﹣1故选：C．5．（2017春•江西月考）已知α是第二象限角，且3sinα+4cosα=0，则tan=（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣【解答】解：∵3sinα+4cosα=0，∴3tanα+4=0，可得：tanα=﹣=，整理可得：2tan2﹣3tan﹣2=0，∴解得：tan=2，或﹣，∵α是第二象限角，∴kπ+＜＜kπ+，k∈Z，∴tan＞0，故tan=2．故选：A．6．（2017春•简阳市期末）已知cos α=，α∈（），则cos 等于（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵已知cos α=，α∈（），∴∈（，π），则cos=﹣=﹣=﹣，故选：B．7．（2017春•西华县校级期中）如果|cos θ|=，＜θ＜4π，那么cos的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：|cos θ|=，＜θ＜4π，∴cosθ=，θ∈（，），∈（，），∴cos＞0，由cosθ=2﹣1=，得cos=，故选：C．8．（2016秋•怀仁县校级期中）已知，cos2x=a，则sinx=（）A．B．C． D．【解答】解：∵cos2x=a，∴1﹣2sin2x=a，可得sin2x=，又∵，可得sinx＜0，∴sinx=﹣．故选：B．二．填空题（共8小题）9．（2018春•浦东新区期末）若sinθ=﹣，且θ∈（﹣，0），则sin2θ=﹣．【解答】解：∵sinθ=﹣，且θ∈（﹣，0），∴=．∴sin2θ=2sinθcosθ==﹣．故答案为：．10．（2018春•南京期末）已知α为锐角，且，则sin2α的值为．【解答】解：∵α锐角，且，∴sin=，∴sin2α=2sinαcosα=2×=．故答案为：．11．（2018春•扬州期末）求值：sin75°•cos75°=．【解答】解：sin75°•cos75°==故答案为：12．（2018•道里区校级三模）已知tana=﹣2，则tan2a=．【解答】解：∵tana=﹣2，∴tan2a===，故答案为：．13．（2017•普陀区二模）若＜α＜π，sinα=，则tan=3．【解答】解：若＜α＜π，sinα=，则cosα=﹣=﹣，∴tan==3，故答案为：3．14．（2017春•邗江区校级期中）已知，则tanα的值为﹣．【解答】解：tanα===﹣，故答案为﹣．15．（2016秋•浦东新区校级期中）已知θ是第三象限角，若sinθ=﹣，则tan的值为﹣3．【解答】解：∵θ是第三象限角，若sinθ=﹣，∴cosθ=﹣，∴tan===﹣3．故答案是：﹣3．16．（2015•闵行区二模）若cosα=，且α∈（0，π），则tan=．【解答】解：∵cosα=，且α∈（0，π），∴sinα=，则tan===，故答案为：．三．解答题（共8小题）17．（2014春•瓜州县校级期中）（1）化简•，（2）一个扇形的面积为1，周长为4，则中心角的弧度数为？【解答】解：（1）•==2sinx；（2）设扇形的圆心角的弧度数为α，圆的半径为r，则，解得：α=2．18．（2013春•江西校级期末）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，△ABC 三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）=1．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若a=7，b=5，求c的值．【解答】解：（I）因为f（x）=sinxcosx﹣cos2x+==sin（2x﹣）…（6分）又f（A）=sin（2A﹣）=1，A∈（0，π），…（7分）所以，∴…（9分）（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得到，所以c2﹣5c﹣24=0 …（11分）解得c=﹣3（舍）或c=8 …（13分）所以c=819．（2013•亭湖区校级二模）已知A，B，C是三角形△ABC三内角，向量，且．（1）求角A；（2）若，求的值．【解答】解：（1）∵∴，即，，∴，∵0＜A＜π∴∴∴．（2）由题知．20．（2013秋•缙云县校级期中）已知：sinα=，α∈（，π），求sin2α和cos2α的值．【解答】解：sinα=，α∈（，π），故有cosα=﹣=﹣，故sin2α=2sinαcosα=﹣；cos2α=1﹣2sin2α=．21．求证：（1）=；（2）tan=．【解答】证明：（1）∵等式的右边==== ===左边，∴等式=成立．（2）等式的右边== ==tan=左边，∴等式tan=成立．22．已知cosβ=﹣，（0＜β＜π），求：sin，cos，tan的值．【解答】解：∵0＜β＜π，∴∈（0，），sin，cos，tan的值都是正值．∵cosβ=﹣=2cos2﹣1，（0＜β＜π），∴cos=；∴tan===．23．已知sinα=，且α=（，π），求cos2α，sin2α及sin的值．【解答】解：∵sinα=，且α=（，π），∴cosα=﹣=﹣，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，sin2α=2sinαcosα=﹣，由α∈（，π）知，∈（，），∴sin===．24．已知cosα=，α的终边在第四象限，求sin，cos，tan的值．【解答】解：α的终边在第四象限，且cosα=，∴2kπ﹣＜α＜2kπ﹣，k∈Z，即kπ﹣＜＜kπ﹣，k∈Z，∴为第二或第四象限角．由半角公式可知：sin2=（1﹣cosα）=×（1﹣）=，cos2=（1+cosα）=×（1+）=，当为第二象限角，∴sin＞0，cos＜0，tan＜0，∴sin==，cos=﹣=﹣，tan==﹣；当为第四象限角，∴sin＜0，cos＞0，tan＜0，∴sin=﹣=﹣，cos==，tan==﹣．。
解三角形公式大全
解三角形公式大全
解三角形是初中、高中数学中重要的内容，通常需要掌握一些基本的三角函数公式和定理。
下面是一些常用的解三角形公式：
1.正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC（其中a、b、c为三角形三边的长度，A、B、C为对应的内角度数）。
2.余弦定理：a = b + c - 2bc cosA（其中a、b、c为三角形三边的长度，A为对应的内角度数）。
3.正切定理：tanA = (a/b) / (1 - a/b)^(1/2)。
4.半角公式：sin(A) = (u/v)^(1/2)，cos(A) = (1 +
u/v)^(1/2)/v^(1/2)（其中u = 1 - cosA，v = 1 + cosA）。
5.万能公式：tan(A/2) = [(s-b)(s-c)]^(1/2) / [s(s-a)]^(1/2) + [(s-a)(s-c)]^(1/2) / [s(s-b)]^(1/2)（其中a、b、c为三角形三边的长度，s为半周长）。
6.勾股定理：a + b = c（其中a、b、c为直角三角形两条直角边的长度和斜边长度）。
上述公式和定理，可以帮助我们解决不同类型的三角形题目。
需要注意的是，在应用这些公式时，要根据具体的问题情况选择合适的公式并进行变形计算。
此外，还需要掌握一些基本的三角函数值及其特点，有助于更好地理解和运用这些公式。
半角公式、和积互化
半角公式、和积互化一、基本公式：1、半角公式：α+α-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222另外还有：α+α=αα-=αcos 1sin sin cos 12tan 2、万能公式：α+α-=αα+α=α222tan 1tan 12cos tan 1tan 22sin ααα2tan 1tan 22tan -= 3、积化和差与和差化积)]sin()[sin(21cos sin β-α+β+α=βα )]sin()[sin(21sin cos β-α-β+α=βα )]cos()[cos(21cos cos β-α+β+α=βα )]cos()[cos(21sin sin β-α-β+α-=βα 2cos 2sin 2sin sin ϕ-θϕ+θ=ϕ+θ 2sin 2cos 2sin sin ϕ-θϕ+θ=ϕ-θ 2cos 2cos 2cos cos ϕ-θϕ+θ=ϕ+θ 2sin 2sin 2cos cos ϕ-θϕ+θ-=ϕ-θ 二、公式要求：1、这些公式与两角和差公式、二倍角公式不同，他们不是教材中要求掌握的内容，只是进行了介绍。
所以对这些公式不要求记忆，但是要求会推导。
2、在用半角公式的过程中，应注意开方后符号的确定。
3、万能公式在涉及同角的多种三角函数值的问题时，往往很有用，因为它可以用半角的正切值表达出原来角的任意三角函数值。
4、和积互化公式的名字已指明了其转化作用，但表达较复杂，所以尤其要清楚它们的推导方法。
三、基本例题：例1、求值：（1）o o 105sin 75cos （2）o o o 10sin 70sin 50sin +-分析与解答：（1）如果注意到了所求角的特殊性，我们可以先把原式化为sin15°cos15°，这样就可以用二倍角公式获得结果；但是如果我们没有关注到这种特殊性，则可以运用积化和差： 原式41)30sin 180(sin 21o o =+= （2）我们仍然可以用50°角和70°角的特殊性，将他们分别表示为60 与10 的差与和，这样就可以用两角和差公式来处理；而如果直接入手和差化积：sin50°-sin70°+sin10°=-2cos60°sin10°+sin10°=0例2、已知450°<α<540° ，化简α++2cos 21212121 分析与解答：去掉两重根号应该要想办法升幂，因此要用半角公式进行缩角 α++2cos 21212121|cos |2121α+= 因为450°<α<540° ， 则 |cosα|=-cosα 原式|2sin |cos 2121α=α-= <α<α<2sin ,2702225o o 0. 即原式化简为2sin α- 例3、已知tanθ=3，求sin2θ-cos2θ的值分析与解答：用以前所学的知识，我们自然可以把所求式子转化为二次齐次式，再转化为用正切表达的形式；但是如果用万能公式就更加方便：sin2θ-cos2θ=θθθθ222tan 1tan 1tan 1tan 2+--+ =5731313132222=+--+⨯例4、已知2cos 2sin 12sin 2tan 2)(2x x x x x f ⋅--=，求)12(f π的值。
三角函数常用公式表格
三角函数常用公式表格三角函数是数学中非常重要的一个部分，它在几何、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。
为了更好地理解和运用三角函数，我们需要熟悉一些常用的公式。
以下是为大家整理的三角函数常用公式表格：一、基本关系1、平方关系sin²α ＋cos²α ＝ 11 ＋tan²α ＝sec²α1 ＋cot²α ＝csc²α2、商数关系tanα ＝sinα ／cosαcotα ＝cosα ／sinα3、倒数关系sinα · cscα ＝ 1cosα · secα ＝ 1tanα · cotα ＝ 1二、诱导公式1、终边相同的角的三角函数值相等sin(2kπ ＋α) ＝sinαcos(2kπ ＋α) ＝cosαtan(2kπ ＋α) ＝tanα2、关于 x 轴对称的角的三角函数值sin(α) ＝sinαcos(α) ＝cosαtan(α) ＝tanα3、关于 y 轴对称的角的三角函数值sin(π α) ＝sinαcos(π α) ＝cosαtan(π α) ＝tanα4、关于原点对称的角的三角函数值sin(π ＋α) ＝sinαcos(π ＋α) ＝cosαtan(π ＋α) ＝tanα5、函数名改变的诱导公式sin(π/2 α) ＝cosαcos(π/2 α) ＝sinαsin(π/2 ＋α) ＝cosαcos(π/2 ＋α) ＝sinα三、两角和与差的三角函数公式1、两角和的正弦公式sin(α ＋β) ＝sinαcosβ ＋cosαsinβ2、两角差的正弦公式sin(α β) ＝sinαcosβ cosαsinβ3、两角和的余弦公式cos(α ＋β) ＝cosαcosβ sinαsinβ4、两角差的余弦公式cos(α β) ＝cosαcosβ ＋sinαsinβ5、两角和的正切公式tan(α ＋β) ＝（tanα ＋tanβ) ／（1 tanαtanβ) 6、两角差的正切公式tan(α β) ＝（tanα tanβ) ／（1 ＋tanαtanβ)四、二倍角公式1、二倍角的正弦公式sin2α ＝2sinαcosα2、二倍角的余弦公式cos2α ＝cos²α sin²α ＝2cos²α 1 ＝1 2sin²α3、二倍角的正切公式tan2α ＝2tanα ／（1 tan²α)五、半角公式1、半角的正弦公式sin(α/2) ＝±√（1 cosα) ／ 22、半角的余弦公式cos(α/2) ＝±√（1 ＋cosα) ／ 23、半角的正切公式tan(α/2) ＝±√（1 cosα) ／（1 ＋cosα) ＝sinα ／（1 ＋cosα) ＝（1 cosα) ／sinα六、万能公式1、万能公式的正弦sinα ＝2tan(α/2) ／ 1 ＋tan²(α/2)2、万能公式的余弦cosα ＝1 tan²(α/2) ／ 1 ＋tan²(α/2)3、万能公式的正切tanα ＝2tan(α/2) ／1 tan²(α/2)七、积化和差公式1、sinαcosβ ＝（1/2)sin(α ＋β) ＋sin(α β)2、cosαsinβ ＝（1/2)sin(α ＋β) sin(α β)3、cosαcosβ ＝（1/2)cos(α ＋β) ＋cos(α β)4、sinαsinβ ＝（1/2)cos(α ＋β) cos(α β)八、和差化积公式1、sinα ＋sinβ ＝2sin(α ＋β) ／2cos(α β) ／ 22、sinα sinβ ＝2cos(α ＋β) ／2sin(α β) ／ 23、cosα ＋cosβ ＝2cos(α ＋β) ／2cos(α β) ／ 24、cosα cosβ ＝2sin(α ＋β) ／2sin(α β) ／ 2这些三角函数公式在解决各种数学问题和实际应用中都非常重要。