高三分布列期望方差复习导学案
高中高三数学《随机变量和数学期望》教案、教学设计
（3）针对不同难度的练习题，进行分层教学，使学生在逐步克服难点的过程中，提高自己的数学素养。
3.教学策略和手段：
（1）运用信息技术，如多媒体、网络资源等，为学生提供丰富的学习材料，提高课堂教学效果。
2.教学过程：
（1）教师发放练习题，要求学生在规定时间内完成。
（2）学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
（3）教师选取部分学生作品进行展示，分析解题思路和技巧，并进行点评。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课所学内容进行总结，巩固学生对随机变量和数学期望的理解。
2.教学过程：
（1）教师引导学生回顾本节课所学的主要内容，如随机变量的概念、分类、表示方法，数学期望的定义、性质和计算方法等。
4.小组合作完成一道综合应用题，要求学生在解决实际问题的过程中，运用随机变量和数学期望的知识。此题目旨在培养学生的合作意识和运用数学工具解决实际问题的能力。
5.针对课堂所学内容，教师编制一份测试卷，包括选择题、填空题、解答题等，全面检测学生对本章知识的掌握程度。
作业布置要求：
1.学生应在规定时间内独立完成作业，遇到问题可请教同学或老师，培养自主解决问题的能力。
（2）以小组合作的形式，让学生探讨随机变量的表示方法，如分布列、概率密度函数等，培养他们的合作意识和解决问题的能力。
（3）通过典型例题，引导学生掌握数学期望的定义和性质，学会运用数学期望进行计算。
2.对于难点内容的教学设想：
（1）针对分布列和概率密度函数的理解，设计直观的图表和动画，帮助学生形象地理解抽象概念。
4.引导学生关注社会热点问题，运用所学知识为社会发展贡献力量，培养他们的社会责任感和使命感。
吉林省东北师范大学附属中学高三理科数学一轮复习教案离散型随机变量的分布列期望与方差正态分布
知识点梳理:１．随机变量：２．随机变量与函数的关系：３．离散型随机变量、连续型随机变量:４．离散型随机变量的分布列（１）分布列（２）性质５．重要的分布列（１）.两点分布（0~１分布）：随机变量只有两个,一般为x=0,１;p（x=0）=p; p（x=１）=１—p （２）.几何分布:几何分布是离散型概率分布。
其中一种定义为：在n次独立试验中，试验k次才能得到第一次成功的机率，前k—１次皆失败，第k次成功的概率。
（３）.超几何分布:一般的，若一个随机变量X的分布列为p（x=k）=，其中k=0,１,２,３,……l 则称X服从超几何分布，记为x~H（n,M,N）。
其概率分布表为：（４）.二项分布：若随机变量X的分布列为，其中则称X服从参数为n，p的二项分布，记为。
其概率分布表为：l=min（n,M）超几何分布与二项分布都是取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求取有截然不同的表达式，但看它们的概率分布表，会发现构造上的相似点，如：随机变量X的取值都从0连续变化到l （l=min（n,M）），对应概率和N，n，l三个值密切相关……可见两种分布之间有着密切的联系。
课本中对超几何分布的模型建立是这样的：若有N件产品，其中M件是废品，无返回地任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X 是服从超几何分布的。
而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型。
若将但超几何分布的概率模型改成：若有N 件产品，其中M 件是废品，有返回的任意抽取n 件，则其中恰有的废品件数X 是服从二项分布的。
在这里，两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别，只要将概率模型中的“无”改为“有”，或将“有”改为“无”，就可以实现两种分布之间的转化。
“返回”和“不返回”就是两种分布转换的关键。
二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析． 例:袋中有8个白球、２个黑球，从中随机地连续抽取３次，每次取１个球．求： （１）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （２）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（１）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，１，２，３．又由于每次取到黑球的概率均为，３次取球可以看成３次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．331464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴； 12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 3033141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因此，X 的分布列为２．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，１，２，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C P Y C ===．因此，Y 的分布列为辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的． 超几何分布和二项分布都是离散型分布 超几何分布和二项分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； 超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 ５．数学期望： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …1n n p ==，=ξE +1(x +2x …1)n n x +⨯，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 .期望的一个性质:若b a +=ξη，则b aE b a E +=+ξξ)(6．方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…， 且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ7.方差的性质：()1 ξξD a b a D 2)(=+；()2 22)(ξξξE E D -= .8.方差的意义：()1随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；()2随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；()3标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.9.二项分布的期望与方差：若(),B n p ξ，则E np ξ= ，()1D np p ξ=-10.几何分布的期望和方差：若(),g k p 1k qp -=，其中0,1,2k =，…， p q -=1．则1E p ξ=，21p D pξ-= １１．函数22()2,2x x Rμσπσ--∈称为正态密度的图象曲线，简称正态曲线。
数学高考复习名师精品教案：第90课时：第十章 排列、组合和概率-随机变量的分布列、期望和方差
数学高考复习名师精品教案第90课时：第十章排列、组合和概率——随机变量的分布列、期望和方差课题：随机变量的分布列、期望和方差教学目的：1．通过本课的教学，对本单元知识内容进行梳理，加深有关概念的理解，在综合运用知识能力上提高一步。
2．通过对几道例题的讲解、讨论和进一步的练习，提高学生灵活运用本单元知识解决问题的能力。
教学重点、难点：对于离散型随机变量，我们关心的是它会取哪些值、取这些值的概率、取值的平均值、稳定性等．这部分内容的实用性较强，教学过程中，要重点引导学生分析、解决一些实际问题，提高学生综合运用知识解决实际问题的能力．教学过程：1．通览基础知识2.提出随机变量ξ的分布列的概念，总结任一离散型随机变量的分布列具有的两个简单性质在分析和研究上述例子的基础上，概括出：一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x1, x2, …，x i,…,ξ取每一个值x i (I=1，2，…)的概率为P(ξ= x i)=P i，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。
离散型随机变量的分布列的两个简单性质：(1) P i≥0，I=1，2，…；(2) P1 +P2 + (1)3．讲参考例题例1 一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球的一半，现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得-1分，试写出从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列。
解：设黄球的个数为n ，依题意知道绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中球的总数为7n 。
71n 7n )0(P ,72n 7n 2)1(P ,74n 7n 4)1(P ===ξ==-=ξ===ξ∴ 则从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为例2 一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止。
设分裂n 次终止的概率是）（⋯=,3,2,1n 21n 。
记ξ为原物体在分裂终止后所生成的子块数目。
方差导学案【精品】
《课题：方差》导学案【学习目标】1.经历方差的形成过程，了解方差的意义；2.会计算一组数据的方差；（重点）3.能够运用方差判断数据的波动程度，并用用样本的方差估计总体的方差及根据方差做决策.（难点）一：知识回顾1.加权平均数：一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则112212+++=+++n nnx w x w x wxw w wLL叫做这n个数的加权平均数．2.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.3.众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.二：方差的概念问题1 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表：根据这些数据估计,农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？思考（1）甜玉米的产量可用什么量来描述？请计算后说明．（2）如何考察一种甜玉米产量的稳定性呢？①为了直观地进行比较，我们把这两组数据画成下面的统计图.②统计学中常采用下面的做法来量化这组数据的波动大小： 【归纳总结】1.方差的概念：设有n 个数据x1，x2，…，xn ，各数据与它们的平均数的差的平方分别是22212---n x x x x x x L （），（），，（），我们用这些值的平均数，即用2222121n s x x x x x x n L [（）（）（）=-+-++-]来衡量这组数据的波动大小，称它为这组数据的方差． 2.方差的意义方差用来衡量一组数据的波动大小(即这组数据偏离平均数的大小). 方差越大，数据的波动越大； 方差越小，数据的波动越小． 【知识要点】 （1）方差怎样计算？方差计算步骤分解：一求平均数；二求差；三求平方；四求和；五求平均数. （2）你如何理解方差的意义？方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小． 方差的适用条件：当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况． ③请利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度．针对练习1：计算下列各组数据的方差：（1）5 5 6 6 6 7 7； （2）3 3 4 6 8 9 9；三：方差的实际应用例1 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是：哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？例2 现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近，快餐公司决定通过检查鸡腿的重量来确定选购哪家公司的鸡腿，检查人员从两家的鸡腿中各抽取15个鸡腿，记录它们的质量如下（单位：g）：根据上面的数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？【归纳总结】用样本方差来估计总体方差是统计的基本思想，就像用样本的平均数估计总体的平均数一样，考察总体方差时如果所要考察的总体包含很多个体，或者考察本身带有破坏性，实际中常常用样本方差来估计总体方差.四：做一做，你会成功！1.样本方差的作用是（）A. 表示总体的平均水平B.表示样本的平均水平C.准确表示总体的波动大小D.表示样本的波动大小2.一组数据2, 0, 1，x, 3的平均数是2，则这组数据的方差是( )A. 2B. 4C. 1D. 33.样本5、6、7、8、9的方差是 .4.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )A.甲B. 乙C. 丙D. 丁5.从甲、乙两种农作物中各抽取10株苗，分别测得它的苗高如下：(单位：cm) 甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8乙：8，13，12，11，10，12，7，7，9，11问：(1)哪种农作物的苗长得比较高？(2)哪种农作物的苗长得比较整齐？6.为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行10次测验，成绩（单位：分）如下：（1）填写下表：（2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案离散型随机变量的期望与方差、正态分布1
第九节 离散型随机变量的期望与方差、正态分布1．均值与方差理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单 离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． 2．正态分布利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的 意义． 知识点一 均值1．一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．2．若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量，且E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . 3．(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p . (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .易误提醒 理解均值E (X )易失误，均值E (X )是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 值的取值平均状态．[自测练习]1．已知X 的分布列为X －1 0 1 P121316设Y ＝2X ＋3，则E (Y )A.73 B ．4 C ．－1D ．1 解析：E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.答案：A知识点二 方差1．设离散型随机变量X 的分布列为：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．2．D (aX ＋b )＝a 2D (X )．3．若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． 4．若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．易误提醒 (1)D (ξ)表示随机变量ξ对E (ξ)的平均偏离程度．D (ξ)越大，表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散．反之D (ξ)越小，ξ的取值越集中在E (ξ)附近．统计中常用标准差D (ξ) 来描述ξ的分散程度．(2)D (ξ)与E (ξ)一样也是一个实数，由ξ的分布列唯一确定．(3)D (ξ)的单位与随机变量ξ的单位不同，而E (ξ)、D (ξ) 与ξ的单位相同． (4)注意E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )．[自测练习]2．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝13，k ＝1,2,3，则D (3ξ＋5)＝( )A ．6B ．9C ．3D ．4解析：由E (ξ)＝13(1＋2＋3)＝2，得D (ξ)＝23，D (3ξ＋5)＝32×D (ξ)＝6. 答案：A3．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则D (X )＝________.解析：∵X ～B ⎝⎛⎭⎫3，14，∴D (X )＝3×14×34＝916. 答案：916知识点三 正态分布 1．正态曲线的特点(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称． (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π.(4)曲线与x 轴之间的面积为1.(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移．(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．2．正态分布的三个常用数据 (1)P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682_6. (2)P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954_4. (3)P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997_4.易误提醒 一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．[自测练习]4．若随机变量ξ～N (2,1)，且P (ξ>3)＝0.158 7，则P (ξ>1)＝________.解析：由ξ～N (2,1)，得μ＝2，因为P (ξ>3)＝0.158 7，所以P (ξ<1)＝0.158 7，所以P (ξ>1)＝1－0.158 7＝0.841 3.答案：0.841 3考点一 离散型随机变量的均值|(2015·高考安徽卷)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310，P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610.故X 的分布列为X 200 300 400 P110310610E (X )＝200×110＋300×310＋400×610＝350.求离散型随机变量均值的步骤(1)理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值． (2)求X 的每个值的概率． (3)写出X 的分布列． (4)由均值定义求出E (X )．1．(2016·合肥模拟)某校在全校学生中开展物理和化学实验操作大比拼活动，活动要求：参加者物理、化学实验操作都必须参加，有50名学生参加这次活动，评委老师对这50名学生实验操作进行评分，每项操作评分均按等级采用5分制(只打整数分)，评分结果统计如表：学生数物理得分y化学得分x1分2分3分4分5分1分 1 3 1 0 1 2分 1 0 7 5 1 3分 2 1 0 9 3 4分 1 2 6 0 1 5分1133分”的学生被抽取的概率；(2)从这50名参赛学生中任取1名，其物理实验与化学实验得分之和为ξ，求ξ的数学期望．解：(1)从表中可以看出，“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”的学生有6名，所以“化学实验得分为4分且物理实验得分为3分”的学生被抽取的概率为650＝325.(2)ξ所有可能的取值为2、3、4、5、6、7、8、9、10，则ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P1504503509508501650450250350∴E (ξ)＝2×150＋3×450＋4×350＋5×950＋6×850＋7×1650＋8×450＋9×250＋10×350＝31150.考点二 方差问题|设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量X 为取出此2球所得分数之和，求X 的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量Y 为取出此球所得分数．若E (Y )＝53，D (Y )＝59，求a ∶b ∶c .[解] (1)由题意得X ＝2,3,4,5,6. 故P (X ＝2)＝3×36×6＝14，P (X ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (X ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (X ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (X ＝6)＝1×16×6＝136.所以X 的分布列为X 2 3 4 5 6 P141351819136(2)由题意知Y 的分布列为Y 1 2 3 Paa ＋b ＋cba ＋b ＋cca ＋b ＋c所以E (Y )＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，D (Y )＝⎝⎛⎭⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59. 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3c ，b ＝2c .故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.利用均值、方差进行决策的两个方略(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，可对问题作出判断．(2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．2．有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行质量检验，结果如下：X 甲 28 29 30 31 32 P 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1 X 乙 28 29 30 31 32 P0.130.170.40.170.13其中X 表示纤维长度(单位：mm)，根据纤维长度的均值和方差比较两种棉花的质量． 解：由题意，得E (X 甲)＝28×0.1＋29×0.15＋30×0.5＋31×0.15＋32×0.1＝30， E (X 乙)＝28×0.13＋29×0.17＋30×0.4＋31×0.17＋32×0.13＝30.又D (X 甲)＝(28－30)2×0.1＋(29－30)2×0.15＋(30－30)2×0.5＋(31－30)2×0.15＋(32－30)2×0.1＝1.1，D (X 乙)＝(28－30)2×0.13＋(29－30)2×0.17＋(30－30)2×0.4＋(31－30)2×0.17＋(32－30)2×0.13＝1.38，所以E (X 甲)＝E (X 乙)，D (X 甲)<D (X 乙)，故甲种棉花的质量较好．考点三 正态分布|1．(2015·高考湖北卷)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )D ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )解析：由正态分布密度曲线的性质可知，X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)的密度曲线分别关于直线x ＝μ1，x ＝μ2对称，因此结合题中所给图象可得，μ1<μ2，所以P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错误．又X ～N (μ1，σ21)的密度曲线较Y ～N (μ2，σ22)的密度曲线“瘦高”，所以σ1<σ2，所以P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，B 错误．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )，P (X ≥t )<P (Y ≥t )，C 错误，D 正确．答案：D2．(2015·高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%解析：由已知μ＝0，σ＝3.所以P (3<ξ<6)＝12[P (－6<ξ<6)－P (－3<ξ<3)]＝12(95.44%－68.26%)＝12×27.18%＝13.59%.故选B.答案：B正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值； (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等． ②P (X <a )＝1－P (X ≥a )，P (X <μ－a )＝P (X ≥μ＋a )．10.离散型随机变量的均值的综合问题的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考山东卷)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .[思路点拨] (1)根据题意明确“三位递增数”的定义，从而得到个位数字是5的“三位递增数”．(2)首先根据题意确定随机变量X 的所有可能取值，然后求出每个取值对应事件的概率，列出分布列，从而求得数学期望．[规范解答] (1)个位数是5的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345.(4分)(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84， 随机变量X 的取值为：0，－1,1，因此 P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142.(8分)所以X 的分布列为则EX ＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.(12分)[模板形成]理解题意求相应事件的概率↓由条件写出随机变量的取值↓求出每个取值对应事件的概率↓列出分布列并求均值↓反思解题过程注意规范化[跟踪练习] 据《中国新闻网》报道，全国很多省、市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了 3 600人就是否应该“取消英语听力”的问题进行调查，调查统计的结果如下表：(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，则应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望E (ξ)．解：(1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05， ∴120＋x3 600＝0.05，解得x ＝60. ∴持“无所谓”态度的人数为3 600－2 100－120－600－60＝720. ∴应在持“无所谓”态度的人中抽取720×3603 600＝72(人)．(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人，∴在所抽取的6人中，在校学生有120180×6＝4(人)，社会人士有60180×6＝2(人)，于是第一组的在校学生人数ξ的所有可能取值为1,2,3.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15，即ξ的分布列为∴E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.A 组 考点能力演练1．若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A ．2 B ．2或12C.12D ．1 解析：因为分布列中概率和为1，所以a 2＋a 22＝1，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝－2(舍去)或a ＝1，所以E (X )＝12.故选C.答案：C2．(2016·长春质量监测)已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ>2)＝0.15，则P (0≤ξ≤1)＝( )A ．0.85B ．0.70C ．0.35D ．0.15解析：P (0≤ξ≤1)＝P (1≤ξ≤2)＝0.5－P (ξ>2)＝0.35.故选C. 答案：C3．(2016·九江一模)已知随机变量X 服从正态分布N (5,4)，且P (X >k )＝P (X <k －4)，则k 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：∵(k －4)＋k 2＝5，∴k ＝7，故选B.答案：B4．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为( )A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2解析：根据正态曲线的对称性可知，ξ在(80,100)内的概率为0.4，因为ξ在(0,100)内的概率为0.5，所以ξ在(0,80)内的概率为0.1，故选B.答案：B5．设随机变量X ～B (8，p )，且D (X )＝1.28，则概率p 的值是( ) A ．0.2 B ．0.8 C ．0.2或0.8D ．0.16解析：由D (X )＝8p (1－p )＝1.28，∴p ＝0.2或p ＝0.8. 答案：C6．一枚质地均匀的正六面体骰子，六个面上分别刻着1点到6点，一次游戏中，甲、乙二人各掷骰子一次，若甲掷得的向上的点数比乙大，则甲掷得的向上的点数的数学期望是________．解析：共有36种可能，其中，甲、乙掷得的向上的点数相等的有6种，甲掷得的向上的点数比乙大的有15种，所以所求期望为6×5＋5×4＋4×3＋3×2＋215＝143.答案：1437．(2016·贵州七校联考)在我校2015届高三11月月考中理科数学成绩ξ～N (90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P (60≤ξ≤120)＝0.8，假设我校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有________人．解析：因为成绩ξ～N (90，σ2)，所以其正态曲线关于直线x ＝90对称．又P (60≤ξ≤120)＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的12(1－0.8)＝0.1，所以估计成绩高于120分的有0.1×780＝78(人)．答案：788．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为________． 解析：因为随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，所以2a －3＋a ＋2＝6，解得a ＝73.答案：739.市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．(1)求直方图中x 的值；(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1 200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；(3)从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)解：(1)由直方图可得20x ＋0.025×20＋0.006 5×20＋0.003×2×20＝1，所以x ＝0.012 5.(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为0.003×2×20＝0.12，因为1 200×0.12＝144，所以估计1 200名新生中有144名学生可以申请住宿． (3)X 的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14，P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫344＝81256，P (X ＝1)＝C 14×14×⎝⎛⎭⎫343＝2764，P (X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫142×⎝⎛⎭⎫342＝27128，P (X ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫143×34＝364，P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫144＝1256.所以X 的分布列为E (X )＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋4×1256＝1(或E (X )＝4×14＝1)．所以X 的数学期望为1.10．(2016·郑州模拟)某商场每天(开始营业时)以每件150元的价格购入A 商品若干件(A 商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时)，并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商场对没卖出的A 商品将以每件100元的价格低价处理完毕(根据经验，4小时内完全能够把A 商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A 商品)．该商场统计了100天A 商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格(注：视频率为概率)．(其中x ＋y ＝70)前6小时内的销售量t (单位：件)4 5 6 频数30xy(1)若某天该商场共购入6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些商品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客的概率是多少？(2)若商场每天在购进5件A 商品时所获得的平均利润最大，求x 的取值范围． 解：(1)设“恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客”为事件A ，则P (A )＝C 14C 12C 26＝815.(2)设销售A 商品获得的利润为ξ(单位：元)，依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商场每天购进的A 商品的件数取值可能为4件，5件，6件． 当购进A 商品4件时，E (ξ)＝150×4＝600，当购进A 商品5件时，E (ξ)＝(150×4－50)×0.3＋150×5×0.7＝690， 当购进A 商品6件时，E (ξ)＝(150×4－2×50)×0.3＋(150×5－50)×x100＋150×6×70－x100＝780－2x ，由题意780－2x ≤690，解得x ≥45，又知x ≤100－30＝70，所以x 的取值范围为[45,70]，x ∈N *.B 组 高考题型专练1．(2015·高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) A ．2 386 B ．2 718 C ．3 413D．4 772附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.解析：由题意可得，P(0<x≤1)＝12P(－1<x≤1)＝0.341 3，设落入阴影部分的点的个数为n，则P＝S阴影S正方形＝0.341 31＝n10 000，则n＝3 413，选C.答案：C2．(2015·高考福建卷)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A)＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3.又P(X＝1)＝16，P(X＝2)＝56×15＝16，P(X＝3)＝56×45×1＝23.所以X的分布列为所以E(X)＝1×16＋2×16＋3×23＝52.3．(2015·高考陕西卷)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．解：(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得从而ET＝25×0.2＋30(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立．且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．法一：P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.法二：P(A)＝P(T1＋T2>70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.故P(A)＝1－P(A)＝0.91.。
东北师大附属中学高三一轮导学案：离散型随机变量的分布列：期望与方差：正态分布(理)【A】
离散型随机变量的分布列-期望与方差-正态分布(理科)A1．若离散型随机变量ξ的分布列为则称E ξ＝ 为随机变量量取值的 。
把 叫做随机变量方差，D ξ做随机变量ξ的 ，记作 。
随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的 。
其中标准差与随机变量本身有 。
2．若η＝a ξ+b(a,b 为常数)，则E η＝E(a ξ+b)=______________；D η＝D(a ξ+b)=____________；若ξ服从两点分布，则E ξ＝ ，D ξ= ，若X 服从二项分布，即~(,)B n p ξ，则E ξ＝ ，D ξ= 。
3．函数,()______________x μσϕ=的图象称为正态密度曲线，简称正态曲线。
4．对于任何实数a b <，随机变量X 满足()____________,P a X b <≤≈则称X 的分布为正态分布，正态分布完全由参数 确定。
因此正态分布常记作 ，如果X 服从正态分布，则记为 。
5．正态分布的特点：（1）曲线在 ；（2）曲线关于直线 对称；（3）曲线在x μ=时 ；（4）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线 ，表示总体的分布越 ；σ越小，曲线 ，表示总体的分布越 。
五.课时作业 一、填空题1. 下面说法中正确的是（ ）A.离散型随机变量ξ的期望E ξ反映了ξ取值的概率的平均值。
B.离散型随机变量ξ的方差D ξ反映了ξ取值的平均水平。
C.离散型随机变量ξ的期望E ξ反映了ξ取值的平均水平。
D.离散型随机变量ξ的方差D ξ反映了ξ取值的概率的平均值。
2.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是( )A.E ξ=0.001B.D ξ=0.099C.P （ξ=k ）=0.01k·0.9910－kD.P （ξ=k ）=C k10·0.99k·0.0110－k3.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为（ ）A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>Ｄ．231s s s >>5．设随机变量X 的分布列为若EX ＝158，则DX ＝（ ） A ．3364 B ．5564 C ．732 D ．9326. 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）A.9.4, 0.484 B ．9.4, 0.016 C ．9.5, 0.04 D ．9.5, 0.016 二、填空题7．袋中有4个红球，3个黑球，今从袋中随机取出4个球.设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，则得分ξ的取值为_____________,ξ数学期望等于__________. 8. 利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是_____.9．（2006年四川卷）设离散性随机变量ξ可能取的值为()()1,2,3,4,1,2,3,4P k ak b k ξ==+=，又ξ的数学期望3E ξ=，则a b +=_______; 10. 一批电阻的阻值X 服从正态分布N （1000,52）（Ω）。
高三数学下册《随机变量和数学期望》教案、教学设计
-撰写一份小组报告，阐述研究过程、结果及意义。
4.写一篇学习心得，要求学生反思本节课的学习内容，包括以下要点：
-随机变量和数学期望在实际问题中的应用。
-学习过程中遇到的困难和解决方法。
-对随机变量和数学期望的理解，以及如何将其运用到生活中。
作业要求：
1.学生需按时完成作业，保持作业整洁、字迹清晰。
五、作业布置
为了巩固学生对随机变量和数学期望的理解，以及提升他们解决实际问题的能力，特布置以下作业：
1.请学生完成教材第chapter页的习题，包括以下题目：
-第1题：理解随机变量的概念，并能正确表示给定随机现象的随机变量。
-第2题：根据实际情境，推导并分析随机变量的分布列。
-第3题：计算给定随机变量的数学期望，并解释其物理意义。
高三数学下册《随机变量和数学期望》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解随机变量的概念，掌握离散型随机变量及其分布列的性质，能正确运用随机变量描述实际问题。
2.掌握数学期望的定义，理解数学期望的物理意义，能运用数学期望计算随机变量的平均取值。
3.学会运用方差描述随机变量的取值波动程度，理解方差的性质和意义，能计算简单随机变量的方差。
2.教学过程：
（1）教师引导：通过本节课的学习，我们知道随机变量是用来描述随机现象的数学模型，分布列反映了随机变量取值的概率分布，而数学期望和方差则分别反映了随机变量取值的集中趋势和波动程度。
（2）学生分享：邀请学生分享他们在学习过程中的心得体会，以及如何运用所学知识解决实际问题。
（3）教师总结：强调本节课的重点和难点，鼓励学生在课后继续巩固所学知识，为后续学习打下基础。
高三数学新课标总复习期望和方差、正态分布
ξ==g，k k P)(注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．【新方法、新技巧练习与巩固】一、选择题1．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为( )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.62．(2015·太原高三期中)已知随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P0.20.40.4则E (6X ＋8)的值为( ) A ．13.2 B ．21.2 C ．20.2D ．22.23．如果X ～B (20，p )，当p ＝12且P (X ＝k )取得最大值时，k 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．114．设随机变量X 服从正态分布N (3,4)，若P (X <2a －3)＝P (X >a ＋2)，则a ＝( ) A ．3 B.53 C ．5D.73 5．(2015·芜湖一模)若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( )A．3×2－2B．2－4C．3×2－10D．2－86．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200C．300 D．400二、填空题7．(2015·温州十校联考)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是______．8．若随机变量X的概率分布密度函数是φμ，σ(x)＝122π·e－(x＋2)28(x∈R)，则E(2X－1)＝________.9．已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的均值为______．10．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的数学期望与方差分别为______________．三、解答题11．(2015·忻州联考)现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票；若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次．(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．12．(2015·昆明模拟)气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下：日最高气温t(单位：℃)t≤2222＜t≤2828＜t≤32t＞32天数612Y Z由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32 ℃的频率为0.9.发电机最多可运行台数 1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？3．某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N (168,16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm 和184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况； (2)求这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数；(3)在这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为X ，求X 的数学期望．参考数据： 若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4， P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.答案一、选择题1．解析：选B ∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴E (X )＝3×0.4＝1.2.2．解析：选B 由随机变量的期望公式可得E (X )＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，E (6X ＋8)＝6E (X )＋8＝6×2.2＋8＝21.2.3．解析：选C 当p ＝12时，P (X ＝k )＝C k 20⎝⎛⎭⎫12k ·⎝⎛⎭⎫1220－k ＝C k 20·⎝⎛⎭⎫1220，显然当k ＝10时，P (X ＝k )取得最大值．。