专题33 分布列、期望与方差、正态分布(学生版)
2013年高考数学一轮复习11.5离散型随机变量的期望与方差、正态分布精品教学案(学生版)新人教版
（ I ）工期延误天数 Y的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量 X至少是 300的条件下，工期延误不超过 【考题回放】
6天的概率。
1. (2010 年高考数学湖北卷理科 14） 某射手射击所得环数 的分布列如下：
已知 的期望 E 8.9 ，则 y 的值为
．
2． (2012 年高考浙江卷理科 19 ) 已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球，且规定：取出一个白球的 2
(1) 定义 : 若离散型随机变量 X 的分布列为
X
x1
x2 …
xi
…
xn
P p1
p2 …
pi
…
pn
则称 E ( Xห้องสมุดไป่ตู้) x1 p1 x2 p2
xn pn 为随机变量 X 的均值或数学期望 .
称 D(X )
n
X i [ xi
i1
E ( X )] 2 pi 为随机变量 X的方差 .
(2) 性质 : (1) E( C) ＝C( C为常数 )
例 1.(2011 年高考浙江卷理科 15) 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公
司投递了个
人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为
2 ，得到乙、丙两公司面试的概率为 3
司是否让其面试是相互独立的。记
为该毕业生得到面试得公司个数。若 P( 0)
p ，且三个公 1
，则随机
12
变量 的数学期望 E
4． (2012 年高考湖北卷理科 20) 根据以往的经验，某工程施工期间的将数量 X（单位： mm）对工期的
影响如下表：
降水量 X
X<300
300≤ X<700
700≤ X<900
离散型随机变量的期望与方差及正态分布
离散型随机变量的期望与方差、正态分布教学目标：１更好地理解并会求解简单问题的离散型随机变量的分布列，特别是要重点把握二项分布；２.理解正态分布的σ3原则；３.掌握离散型随机变量的均值及方差的计算方法。
重、难点：实际问题中恰当定义随机变量，求离散型随机变量的分布列及其期望。
教学过程： [知识梳理] 一、均值：一般地，若离散型随机变量X 的分布列如下：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则称∑==+⋅⋅⋅+++=ni ii n n px p x p x p x p x X E 1332211)(为离散型随机变量X 的均值．．或数学．．期望．．。
数学期望简称为期望。
离散型随机变量X 的均值．．[E (X)]也称为X 的概率分布的均值，它反映了X 取值的平均水平，并且它与X 有相同的单位。
E (X)是一个常数，不依赖于样本的抽取。
样本平均值是一个随机变量，它随着抽取的样本的不同而不同。
对随机抽取的样本，随着样本容量的增大，样本平均值越来越接近于总体的均值。
E (X)越大，说明总体的平均数越大，反之，就越小。
性质：１. E (C)＝C （C 为常数） ２. E (aX)=a E (X) 3. E (aX+b)=a E (X)+b 4. E (X+η)= E (X)+ E (η) 5. E (X ·η)= E (X)·E (η) (X ，η相互独立时) 6.若X 服从二点分布，则E (X)＝p 7.若X ～B (n ，p )，则E (X)＝n p 8.若X 服从参数为N 、M 、n 的超几何分布，则E (X)＝nM/N 。
（如果X ～B (n ，p )，则由11--=k n k n nC kC ，可得np q p C np qpnpCqp kC X E n k kn k k n nk k n k k n nk kn kk n====∑∑∑-=---=------=-1111)1(1111)(） 二、方差：设离散型随机变量X 的分布列为：X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则2)(EX x i -描述了x i (i=1,2,…,n)相对于均值EX 的偏离程度。
高中数学 随机变量及其分布列 版块三 离散型随机变量的期望与方差1完整讲义（学生版）
学而思高中完整讲义：随机变量及其分布列版块二几类典型的随机分布4学生版1． 离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示．如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X 所有可能的取值x 与该取值对应的概率p (1,2,,)i n =列表表示：X 1x 2x … i x … n x P1p2p…i p…n pX 的分布列．2．几类典型的随机分布 ⑴两点分布如果随机变量X 的分布列为X 1 0P p q其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X X 的分布列满足二点分布．X 1P 0.8 0.2两点分布又称01-布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn NP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． ⑶二项分布1．独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)kk n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 2．二项分布知识内容若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =．于是得到X由式00111()C C C C n n n k k n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布， 记作~(,)X B n p ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则 ()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑷正态分布1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()2()x f x μσ--=，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．⑷若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称22()t x x dt φ-=⎰为标准正态分布函数． ()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．3．离散型随机变量的期望与方差 1．离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则1122()n n E x x p x p x p =+++，叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）．离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）． ()D X 的算术平方根()D x 叫做离散型随机变量X 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．3．X 为随机变量，a b ，为常数，则2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，；4． 典型分布的期望与方差：⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．⑵二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑶超几何分布：若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布， 则()nME X N=，2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-．4．事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立．5．条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =（或D AB =）．【例1】 投掷1枚骰子的点数为ξ，则ξ的数学期望为（ ）A ．3B ．3.5C ．4D ．4.5【例2】 同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（ ）A ．20B ．25C ．30D ．40典例分析【例3】 从123456，，，，，这6个数中任取两个，则两数之积的数学期望为 ．【例4】 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现共有4颗子弹，命中后尚余子弹数目ξ的期望为（ ）A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4【例5】 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b 、()01c ∈，），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab 的最大值为（ ） A ．148B ．124C ．112D ．16【例6】 一家保险公司在投保的50万元的人寿保险的保单中，估计每一千保单每年有15个理赔，若每一保单每年的营运成本及利润的期望值为200元，试求每一保单的保费．【例7】 甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为1212()P P P P >，，已知该题被甲或乙解出的概率为0.8，甲乙两人同时解出该题的概率为0.3，求： ⑴12P P ，； ⑵解出该题的人数X 的分布列及EX ．【例8】 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响．求签约人数ξ的数学期望．【例9】某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：⑵已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．【例10】某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为23，科目B每次考试成绩合格的概率均为12．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．【例11】某同学如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为0）的概率为0.1，飞镖落在靶内的各个点是椭机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm、20cm、10cm，飞镖落在不同区域的环数如图中标示．设这位同学投掷一次一次得到的环数这个随机变量X，求X的分布列及数学期望．1098【例12】 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润． ⑴ 求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ；⑵ 求η的分布列及期望E η．【例13】 学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且7(0)10P ξ>=． ⑴求文娱队的人数；⑵写出ξ的概率分布列并计算期望．【例14】一接待中心有A、B、C、D四部热线电话．已知某一时刻电话A、B占线的概率为0.5，电话C、D占线的概率为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有X部电话占线，试求随机变量X的概率分布和它的期望．【例15】某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.40.50.6，，，且客人是否游览哪个景点互不影响，设X表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．求X的分布及数学期望．【例16】某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45、35、25，且各轮问题能否正确回答互不影响．⑴ 求该选手被淘汰的概率；⑵ 该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．（注：本小题结果可用分数表示）【例17】在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为0.4，0.5，0.8，在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响．⑴求甲、乙、丙三人均达标的概率；⑵求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率；⑶设X表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求X的概率分布及数学期望EX．【例18】在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个数．⑴ 求这3个数中恰有1个是偶数的概率；⑵ 设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【例19】甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为12，乙、丙面试合格的概率都是13，且面试是否合格互不影响．求：⑴ 至少有1人面试合格的概率；⑵ 签约人数X的分布列和数学期望．【例20】某公司“咨询热线”电话共有8路外线，经长期统计发现，在8点到10点这段时间内，外线电话同时打入情况如下表所示：①求至少一种电话不能一次接通的概率；②在一周五个工作日中，如果至少有三个工作日的这段时间（8点至10点）内至少一路电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用该事件的概率表示公司形象的“损害度”，求上述情况下公司形象的“损害度”．⑵求一周五个工作日的这段时间（8点至10点）内，电话同时打入数ξ的期望．【例21】某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率，如图．（例如：A C D→→算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为110，路段CD发生堵车事件的概率为115）．记路线A C F B→→→中遇到堵车次数为随机变量X，求X的数学期望()E X．11510【例22】口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球；求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数ξ的分布列及数学期望．【例23】某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额．求：⑴X的概率分布；⑵X的期望．【例24】 如图所示，甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的A 点和1C 点处，每只小蚂蚁都可以从每一个顶点处等可能地沿各条棱向每个方向移动，但不能按原路线返回．如：甲在A 时可沿AB ，AD ，1AA 三个方向移动，概率都是13，到达B 点时，可沿BC ，1BB 两个方向移动，概率都是12．已知小蚂蚁每秒钟移动的距离为1个单位． ⑴如果甲、乙两只小蚂蚁都移动1秒，则它们所走的路线是异面直线的概率是多少 ⑵若乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒后，甲、乙两只小蚂蚁间的距离的期望值是多少D 1C 1(乙)B 1A (甲)BCD A 1【例25】 从集合{}12345，，，，的所有非空子集．．．．中，等可能地取出一个．⑴记性质:γ集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；⑵记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【例26】某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B 肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是12．同样也假定D受A、B和C感染的概率都是1 3．在这种假定之下，B、C、D中直接．．受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列（不要求写出计算过程），并求X的均值（即数学期望）．【例27】⑴用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案⑵用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．求恰有两个区域用红色鲜花的概率．⑶条件同⑵，记花圃中红色鲜花区域的块数为X，求它的分布列及其数学期望EX．图二图一【例28】 有甲、乙两个箱子，甲箱中有6张卡片，其中有2张写有数字0，2张写有数字1，2张写有数字2；乙箱中有6张卡片，其中3张写有数字0，2张写有数字1，1张写有数字2．⑴如果从甲箱中取出1张卡片，乙箱中取出2张卡片，那么取得的3张卡片都写有数字0的概率是多少⑵从甲、乙两个箱子中各取一张卡片，设取出的2张卡片数字之积为X ，求X 的分布列和期望．【例29】 A B ，两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是123A A A ，，，B 队队员是123B B B ，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分．设A 队、B 队最后总分分别为ξη，．求ξη，的期望．【例30】 连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i 次得到的点数为i a ，若存在正整数k ，使126k a a a ++=，则称k 为你的幸运数字．⑴求你的幸运数字为4的概率；⑵若1k =，则你的得分为6分；若2k =，则你的得分为4分；若3k =，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分．求得分ξ的分布列和数学期望．【例31】 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率1q 为0.25，在B 处的命中率为2q ，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为2⑵ 求随机变量ξ的数学期望E ξ；⑶ 试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．【例32】 在奥运会射箭决赛中，参赛号码为1~4号的四名射箭运动员参加射箭比赛．⑴通过抽签将他们安排到1~4号靶位，试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率；⑵记1号、2号射箭运动员射箭的环数为ξ（ξ所有取值为01210，，，，）的概率分别为1P 、2P ．根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高并说明理由．【例33】 某人有10万元，准备用于投资房地产或购买股票，如果根据盈利表进行决策，那么，合理的投资方案应该是哪种【例34】甲、乙两名工人加工同一种零件，分别检测5个工件，结果分别如下：试比较他们的加工水平．【例35】一软件开发商开发一种新的软件，投资50万元，开发成功的概率为0.9，若开发不成功，则只能收回10万元的资金，若开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元，召开新闻发布会成功的概率为0.8，若发布成功则可以销售100万元，否则将起到负面作用只能销售60万元，而不召开新闻发布会则可销售75万元．⑴求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率．⑵如果开发成功就召开新闻发布会的话，求开发商的盈利期望．⑶如果不召开新闻发布会，求开发商盈利的期望值，并由此决定是否应该召开新闻发布会．【例36】某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85．若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少．（总费用＝采取预防措施的费用发生突发事件损失的期望值．）【例37】最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案：第一种方案：将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%（只有这两种可能），且获利的概率为12；第二种方案：将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年可能获利20%，也可能损失10%，也可能不赔不赚，且三种情况发生的概率分别为311 555，，；第三种方案：将10万块钱全部存入银行一年，现在存款利率为4%，存款利息税率为5%．针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由．【例38】 某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案，第二年与第一年相互独立．令(12)i i ξ=，表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．⑴写出12ξξ，的分布列； ⑵实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大 ⑶不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大【例39】 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C 与产量q 的函数关系式为3232010(0)3q C q q q =-++>，该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p 与产量q 的函数关系式如下表所示：123k q ，而市场前景无法确定的利润．⑴分别求利润123L L L ，，与产量q 的函数关系式； ⑵当产量q 确定时，求期望k E ξ；⑶试问产量q 取何值时，市场无法确定的利润取得最大值．【例40】 某电器商由多年的经验发现本店出售的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列1()(1212)12P kξξ===，，，，设每售出一台电冰箱，该台冰箱可获利300元，若售不出则囤积在仓库，每台需支付保管费100元/月，问：该电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己的月平均收入最大【例41】某鲜花店每天以每束2.5元购入新鲜玫瑰花并以每束5元的价格销售，店主根据以往的销售统计得到每天能以此价格售出的玫瑰花数ξ的分布列如表所示，若某天所购进的玫瑰花未售完，则当天未售出的玫瑰花将以每束1.5元的价格降价处理完毕．⑴若某天店主购入玫瑰花40束，试求该天其从玫瑰花销售中所获利润的期望；⑵店主每天玫瑰花的进货量x（3050x≤≤，单位：束）为多少时，其有望从玫。
第3讲 随机变量的分布列、期望与方差
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专题四 统计与概率
目标 2 期望
(2020·恩施模拟)某班为了活跃元旦气氛，主持人请 12 位同学做一个游戏，第
一轮游戏中，主持人将标有数字 1 到 12 的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，
每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字 7 到 12 的卡片的同学留下，其余的淘汰；
第第1页专题四统计与概率栏目导航二轮提优导学案数学专题四统计与概率第第3讲随机变量的分布列期望与方差第第2页专题四统计与概率栏目导航二轮提优导学案数学回归教材栏目导航举题固法第第3页专题四统计与概率栏目导航二轮提优导学案数学回归教材第第4页专题四统计与概率栏目导航二轮提优导学案数学1
二轮提优导学案 ·数学
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专题四 统计与概率
2. 不透明袋子中装有大小、材质完全相同的 2 个红球和 5 个黑球，现从中逐个不放
回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数 X 的数学期望是( D )
18
9
A. 5
B. 2
36 C. 7
16 D. 3
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二轮提优导学案 ·数学
有 10 个，所以 P(B)＝1306＝158.
当蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，两颗骰子的点数之和大于 8 的结果有 5 个，故 P(AB)
＝356.
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专题四 统计与概率
(2) 当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，求两颗骰子的点数之和大于 8 的概率．
5 【解答】由(1)知 P(B|A)＝PPAAB＝316＝152.
专题33 分布列、期望与方差、正态分布(学生版)
1. 设两个正态分布()211,N μσ（10σ>）和()222,N μσ（20σ>）的密度函数的图像如图所示，则有（ ）2. 设随机变量ξ服标准正态分布()0,1N ，已知()1.960.025Φ-=，则()1.96P ξ<=（ ）A. 0.025B. 0.050C. 0.950D. 0.975 3. 离散型随机变量X 的分布列为则X A. 32 B. 2 C. 52D. 34. 某种种子每粒发芽的概率都是0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ）A. 100B. 200C. 300D. 400 5. 设随机变量ξ服从正态分布()2,9N ，若()()11P c P c ξξ>+=<-，则c =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 设45123451010,10x x x x x ≤<<<≤=．随机变量1ξ取值12345,,,,x x x x x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值2334455112,,,,22222x x x x x x x xx x +++++的概率也均为0.2．若记12,D D ξξ分别为12,ξξ的方差，则（ ） A. 12D D ξξ> B. 12D D ξξ= C. 12D D ξξ< D. 12D D ξξ与的大小关系与1234,,,x x x x 的取值有关7. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个 同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值EX =（ ）A. 126125B. 65 C. 168125 D. 75A. 1212,μμσσ<<B. 1212,μμσσ<>C. 1212,μμσσ><D. 1212,μμσσ>>8. 某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知9. 随机变量ξ的概率分布由下表给出：10. 已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若0,1EX DX ==，则a =_____，b =______.11. 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则ξ的期望E ξ=_____（结果用最简分数表示）. 12.若随机变量()2,XN μσ，则()P X μ≤=_____.13. 某公司有5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年后可获利0012；一旦失败，一年后将丧失全部资金的0050．下表是过去200例类似项目开发的实施结果：14.设S 是不等式260x x --≤的解集，整数,m n S ∈.（Ⅰ）记“使得0m n +=成立的有序数组(),m n ”为事件A ，试列举A 包含的基本事件；（Ⅱ）设2m ξ=，求ξ的分布列及其数学期望E ξ. 15.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率. （Ⅰ）求当天商店不进货的概率；（Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望.16.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望和方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.17.某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题．若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此+道试题，其中有n道A类型试题和次调题工作结束．试题库中现共有n mm道B类型试题．以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量.（Ⅰ）求2=+的概率；X n=，求X的分布列和均值（数学期望）.（Ⅱ）设m n18. 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130吨该农产品．以X （单位：吨，100150X ≤≤）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（Ⅰ）将T 表示为X 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量[)100,110X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[)100,110的频率），求T 的数学期望.19. 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以O 为起点，再从12345678,,,,,,,A A A A A A A A （如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ．若0X 就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队. （Ⅰ）求小波参加学校合唱团的概率； （Ⅱ）求X 的分布列和数学期望.20.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件，已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ.（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；（Ⅲ）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为01，一等品率0提高为070．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等0品率最多是多少？21.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：（Ⅰ）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（Ⅱ）X表示至第2分钟末已办理业务的顾客人数，求X的分布列和数学期望.22.设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.（Ⅰ）当3,2,1a b c===时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；（Ⅱ）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若55,39E Dηη==，求::a b c .。
人教版高数选修2-3第6讲：数学期望与方差及正态分布(学生版)
数学期望与方差及正态分布__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.理解离散型变量的数学期望与方差的概念.2.熟练掌握离散型变量的数学期望与方差的公式.3.熟练掌握离散型变量的数学期望与方差的性质.4.能利用数学期望与方差解决简单的实际问题.5.理解概率密度曲线和正态分布的概念.1.离散型随机变量X 的数学期望一般地，若离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，则称______________________为离散型随机变量X 的数学期望，记为______，其中0i p ≥，i =1，2，…，n ，12p p + 1.n p ++=L2.离散型随机变量X 的方差一般地，若离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，则称____________________________________为离散型随机变量X 的方差，记为_________，即2;σi p ≥0，i =1，2，…，n ，121,n p p p +++=L ()E X μ=3.离散型随机变量X 的标准差随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差V (X )的算术平方根称为X 的标准差，即σ=_____________4.必备公式(1)离散型随机变量：X 的数学期望（均值）公式、方差公式、标准差公式 E(X)=____________________________；V (X )=_____________________________________________； σ=______________.(2)二项分布的数学期望、方差的计算公式 当X ～B (n ，p )时，E (X )=np ；V (X )=np(1-p). 5.离散型随机变量方差的性质设ξ是离散型随机变量，则其方差具有如下性质： (1)V (k )=_____(k 为常数)； (2)()_________;V k ξ= (3)()V k ξ+=___________;(4)()___________(,).V a b a b ξ+=∈R6.概率密度曲线(1)若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线.(2)正态密度曲线的函数表达式为22()2()e,,0,x P x x μσσμ--=∈>∈R R7.正态分布(1)若X 是一个随机变量，对任给区间(a ，b ]，P (a <X ≤b )恰好是正态密度曲线下方和X 轴上(a ，b ]上方所围成的图形的面积；我们就称随机变量X 服从参数为μ和2σ的正态分布，简记为X ～N (2,μσ).(2)我们将正态分布N (0，1)称为标准正态分布，通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率.8.正态密度曲线图象的特征(1)当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸以____为渐近线. (2)正态曲线关于直线x =μ对称；(3)σ越大，正态曲线越________；σ越小，正态曲线越________. (4)在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为_____.类型一.离散型随机变量X 的数学期望则E (X )等于( ) A.0B.-1C.13-D.12-练习1：某学校要从5名男生和2名女生中选出2人做上海世博会志愿者,若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望E ξ______.(结果用最简分数表示) 类型二.离散型随机变量的方差、标准差例2：已知随机变量X 的分布表为：求V (X ).练习1：甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布表如下： 射手甲：射手乙：类型三.二项分布的数学期望与方差例3：已知随机变量ξ～B (n ，p )，且 2.4, 1.44,E V ξξ==则n ，p 的值为( ) A.8，0.3B.6，0.4C.2，0.2D.5，0.6练习3：设随机变量ξ服从二项分布,即ξ~(,)B n P ,且13,,7E P ξ==则n =______,D ξ=______. 类型四.离散型随机变量方差的性质例4：一次测试有25道选择题，每题选对得4分，选错或不选得0分，满分为100分，某生选对每道题的概率为0.8，则这名考生在这次考试中成绩的数学期望与标准差为( )A.80，8B.80，64C.70，4D.70，3练习4：已知ξ的分布列如下表,设23,ηξ=+则E η=()A .3B .4C .-1D .1类型五.数学期望与方差的计算与应用例5：一个人每天开车上班，从他家到上班的地方有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件互相独立，并且概率都是1.3假定他只在遇到红灯或到达上班地点时才停止前进.(1)设ξ为这个人的首次停止前经过的路口数.求ξ的分布表；(2)设η为这个人的途中遇到红灯的次数，求η的期望和方差；(3)求这个人首次停止前已经过两个交通岗的概率.练习5：有一名运动员投篮的命中率为0.6，现在他进行投篮训练，若没有投进则继续投篮，若投进则停止，但最多投篮5次，求他投篮次数的数学期望.类型六.正态密度曲线的特征例6：下面给出了关于正态曲线的四个叙述：①曲线在x 轴上方且与x 轴不相交；②当x >μ时，曲线下降；当x <μ时，曲线上升；③当μ一定时，σ越小，总体分布越分散；σ越大，总体分布越集中；④曲线关于直线x =μ对称，且当x =μ时，位于最高点.其中正确的是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个练习6：若2(1)2(),x f x x R --=∈,则下列判断正确的是( )A .f (x )有最大值,也有最小值B .f (x )有最大值,无最小值C .f (x )无最大值,有最小值D .f (x )无最大值,也无最小值 类型七.正态分布例7：已知正态总体的数据落在区间(-3，-1)内的概率和落在(3，5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________.练习7：设随机变量ξ服从标准正态分布N (0,1),已知( 1.96)0.025Φ-=,那么(|| 1.96)P ξ<=( )A .0.025B .0.050C .0.950D .0.9751.若某篮球运动员投篮命中率P =0.6,则其两次投篮命中次数η的数学期望为( ) A .0.6B .1.2C .1.3D .0.82.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ描述1次试验的成功次数,则(0)P ξ==( )A .0B.12C.13D.233.已知连续型随机变量ξ的概率密度函数f (x )=()()01,1(14),504,x x x <-⎧⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪>⎩则P (ξ=3)的值为( )A.15B .0C .3D .不确定4.如果随机变量ξ服从(,0)N μ,而且()P C ξ≤=()P C ξ>=P ,那么P 等于( ) A .0 B .0.5 C .1 D .不确定5.若从1,2,4,6,9这5个数字之中任取2个,则这2个数之积的数学期望是( ) A .8 B .17.3 C .9 D .9.56.两封信随机投入A ,B ,C 三个空邮箱,则A 邮箱的信件数ξ的教学期望E ξ=______.7.某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.(1)求从甲、乙两组各抽取的人数;(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(3)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数,求ξ的分布列及数学期望.8.设篮球队A 与B 进行比赛,每场比赛均有一球队获胜,若一球队胜4场,则比赛结束,假定A ,B 两队在每场比赛中获胜的概率都是12,试求需要比赛场数ξ的分布列及数学期望._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.如果两名士兵在一次射击比赛中,士兵甲得1分,2分,3分的概率分别为0.4,0.1,0.5;士兵乙得1分,2分,3分的概率分别为0.1,0.6,0.3,那么两名士兵得胜希望较大的是( )A .甲B .乙C .甲与乙相同D .无法确定2.同时抛掷2枚相同的均匀硬币,随机变量ξ=1表示结果中有正面向上的,ξ=0表示结果中没有正面向上的,则E ξ=( )A .0.6B .0.75C .0.85D .0.953.如果ξ是离散型随机变量,32,ηξ=+那么( ) A.32,9E E D D ηξηξ=+= B.3,32E E D D ηξηξ==+ C.32,94E E D E ηξηξ=+=+D.34,32E E D D ηξηξ=+=+4.某地有A ,B ,C ,D 四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A 到过疫区,B 肯定是受A 感染的,对于C ,因为难以断定他是受A 还是受B 感染,于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12,同样也假定D 受A ,B 和C 感染的概率都是13,在这种假定之下,B ,C ,D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量,X 的均值(即数学期望)=( )A.125 B.116 C.87D.23 5.设随机变量ξ服从二项分布,即ξ~(,)B n P ,且13,,7E P ξ==则n =______,D ξ=______.6.在某次测量中,测量结果ξ服从正态分布N (1,2σ)(σ>0),若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为______.7.(2014浙江卷)随机变量X 的取值为0，1，2.若P (X ＝0)＝15，E (X )＝1，则D (X )＝________．8.(2015东城二模)某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．(1)求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；(2)用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望．能力提升1.如果~(5,0.1)B ξ,那么P (ξ≤2)=( )A .0.0729B .0.00856C .0.91854D .0.991442.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．4003.1盒产品中有9件正品和3件废品,若每次取1件产品,取出后不再放回,则在取得正品前已取出的废品数ξ的数学期望E ξ=______.4.某射击选手每次射击击中目标的概率为0.8,现在他连续向一个目标射击,直到第一次击中目标为止,则射击次数ξ这一随机变量的数学期望为______.5.从分别标有数字1,2,3,…,n 的n 张卡片中任取一张,若卡片上数字ξ是随机变量,则ξ的数学期望为______.6.(2014湖南卷)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．7.(2015湖南)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.8.(2014天津)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.。
概率论,方差,分布列知识总结
分布列、期望、方差知识总结一、知识结构二、知识点1.随机试验的特点:①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．2.分类随机变量（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。
）离散型随机变量在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．连续型随机变量对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不可以一一列出.3.离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2, ,x i , ,x nX取每一个值xi(i=1,2,）的概率P(ξ=x i）＝P i，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列性质：①pi≥0, i =1，2，…；②p1 + p2 +…+p n= 1．③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
4.求离散型随机变量分布列的解题步骤例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，依题可知，X可能的取值为：1,0且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3因此所求分布列为：引出二点分布如果随机变量X的分布列为：其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.超几何分布一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N MnNC C P X k k m C --===，其中{}min,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤ 则称随机变量X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量解题步骤：例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率解：设摸出红球的个数为X,则X 服从超几何分布,其中30,10,5N M n === X 可能的取值为0，1，2，3，4, 5. 由题目可知，至少摸到3个红球的概率为(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ==+=+=≥324150102010201020555303030C C C C C C C C C =++ ≈0.191答：中奖概率为0.191.nNn MN MCC C -0nNn MN MCC C 11--nNm n MN m MCC C --条件概率1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B 的交（或积作D=A ∩B 或D=AB3.条件概率计算公式:P(B|A)相当于把A 看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率:解题步骤：例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二取到次品的概率.解：设 A = {第一个取到次品}， B = {第二个取到次品}，所以，P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9 答：第二个又取到次品的概率为2/9..0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P .1)|(0)()|()(0)A (P ≤≤⋅=>A B P A P A B P AB P （乘法公式）；，则若.151)(21023==⇒C C AB P .103)(=A P相互独立事件2.相互独立事件同时发生的概率公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
常见分布的数学期望和方差
e x , x 0
f (x) 0, x0
E( X )
xf ( x)dx
x ex dx
0
x de x
0
xex
0
exdx
0
1
ex
0
1
.
14
2. 指数分布 X ~ E() .
E( X )
1
，D( X )
1
2
E( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 ex dx
一、常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布 X 0 1
P 1 p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p . E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p ， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p) .
E( X ) p D( X ) p(1 p)
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ， ( x )2 2 2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
)
，Y
~
N
(2ຫໍສະໝຸດ ,2 2)
，且X ,Y
相互
独立，则 E( XY )
， D( XY )
.
解 E( XY ) 12 ,
D( XY ) E[( XY )2 ] [E( XY )]2
[D( X ) (EX )2 ][D(Y ) (EY )2 ] (12 )2
D. D(2 X 1) 4np(1 p)
解选
例2 设(D随).机变量X ,Y 相互独立且分布相同，则 X Y
与 2X 的关系是则( ).
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1. 设两个正态分布()211,N μσ（10σ>）和()2
22,N μσ（20σ>）的密度函数的
图像如图所示，则有（ ）
2. 设随机变量ξ服标准正态分布()0,1N ，已知()1.960.025Φ-=，则
()1.96P ξ<=（ ）
A. 0.025
B. 0.050
C. 0.950
D. 0.975 3. 离散型随机变量X 的分布列为
X 1
2
3
P
35
310
110
则X 的数学期望EX =（ ）
A. 32
B. 2
C. 5
2
D. 3
4. 某种种子每粒发芽的概率都是0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ）
A. 100
B. 200
C. 300
D. 400 5. 设随机变量ξ服从正态分布()2,9N ，若()()11P c P c ξξ>+=<-，则c =
（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. 设45123451010,10x x x x x ≤<<<≤=．随机变量1ξ取值12345,,,,x x x x x 的概率
均为0.2，随机变量2ξ取值2334455112,,,,22222
x x x x x x x x
x x +++++的概率也均
为0.2．若记12,D D ξξ分别为12,ξξ的方差，则（ ） A. 12D D ξξ> B. 12D D ξξ= C. 12D D ξξ< D. 12D D ξξ与的大小关系与1234,,,x x x x 的取值有关
7. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个 同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机抽取一个
小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值EX =（ ）
A. 126125
B. 65
C. 168125
D. 75
A. 1212,μμσσ<<
B. 1212,μμσσ<>
C. 1212,μμσσ><
D. 1212,μμσσ>>
8. 某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
已知9. 随机变量ξ的概率分布由下表给出：
10. 已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若0,1EX DX ==，则
a =_____，
b =______.
11. 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则ξ的期望E ξ=_____（结果用最简分数表示）. 12.
若随机变量()2,X
N μσ，则()P X μ≤=_____.
13. 某公司有5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年后可获利
0012；一旦失败，一年后将丧失全部资金的0050．下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
14.设S是不等式260
--≤的解集，整数,m n S
x x
∈.
（Ⅰ）记“使得0
m n
+=成立的有序数组(),m n”为事件A，试列举A包含的基本事件；
ξ=，求ξ的分布列及其数学期望Eξ.
（Ⅱ）设2
m
15.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率.
（Ⅰ）求当天商店不进货的概率；
（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望.
16.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10
元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式；
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望和方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.
17.某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题．若调用的是A类
型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此
+道试题，其中有n道A类型试题和次调题工作结束．试题库中现共有n m
m道B类型试题．以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量.
（Ⅰ）求2
=+的概率；
X n
=，求X的分布列和均值（数学期望）.
（Ⅱ）设m n
18. 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130吨该农产品．以X （单位：吨，100150X ≤≤）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
（Ⅰ）将T 表示为X 的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量[)100,110X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入
[)100,110的频率），求T 的数学期望.
19. 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以O 为起点，再从12345678,,,,,,,A A A A A A A A （如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ．若0X 就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队. （Ⅰ）求小波参加学校合唱团的概率； （Ⅱ）求X 的分布列和数学期望.
20.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等
品50件、三等品20件、次品4件，已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ.
（Ⅰ）求ξ的分布列；
（Ⅱ）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；
（Ⅲ）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为0
1，一等品率
0提高为0
70．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等0
品率最多是多少？
21.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独
立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
（Ⅰ）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（Ⅱ）X表示至第2分钟末已办理业务的顾客人数，求X的分布列和数学期望.
22.设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得
1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.
（Ⅰ）当3,2,1
a b c
===时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
（Ⅱ）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取
出此球所得分数．若
55
,
39
E D
ηη
==，求::
a b c .。