课时跟踪检测(五) 导数及其应用

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导数及其应用测试题(有详细答案)

《导数及其应用》一、选择题1。

0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ,则函数()cos y g x x =的部分图象可以为A 。

B. C 。

D.3．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ）4.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b在点(0，b ）处的切线方程是x －y ＋1＝0，则（）A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1 5．函数f (x ）＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x ）在x ＝－3时取得极值,则a 等于（）A ．2B ．3C ．4D ．56。

设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于（ )A 、0B 、4-C 、2-D 、27。

直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（）A ．1-B ．eC ．ln 2D ．18。

若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k9.函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在(),a b 内有极小值点（ )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为（ ) A ．3 B ．52 C ．2 D ．32二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11。

导数及其应用学案+作业 (答案)

变化率与导数、导数的计算1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义：f ′(x 0)是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．二、基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．1．用定义法求下列函数的导数．(1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2，所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →ΔyΔx.2．求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1；[自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.3．求下列复合函数的导数： (1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)． [自主解答] (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5 与u ＝2x －3复合而成，∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′ ＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4.(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成．∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′ ＝12u －12(－1)＝－12u 12- ＝－123－x ＝3－x 2x －6.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， ∴y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.4．若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( )A ．0B ．eC ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e. 5．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x6．（1）曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2.又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C7．若上题 (1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程．解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)，由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1.∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)，即3x －y ＋13＝0.导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．8．(1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．(2)(直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B9．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.10．曲线y ＝x －x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0作业111．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2)B ．2(x 2＋a 2)C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．12．已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .13．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0，即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．14．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________.解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：815．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.16．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.17．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝________.解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )，又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝503f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：018．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.19．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，则⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.导数的应用(一)1．函数的单调性在(a ，b )内可导函数f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0. f (x )在(a ，b )上为增函数⇒f ′(x )≥0 f (x )在(a ，b )上为减函数⇒f ′(x )≤0⇔ 2．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其它点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．1.f ′(x )>0与f (x )为增函数的关系：f ′(x )>0能推出f (x )为增函数，但反之不一定．如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0，所以f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分不必要条件．2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f ′(x 0)＝0是可导函数f (x )在x ＝x 0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y ＝x 3在x ＝0处有y ′|x ＝0＝0，但x ＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．3．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．20．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B 函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝(x －1)(x ＋1)x，令y ′≤0，则可得0<x ≤1. 21．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________．解析：f ′(x )＝3x 2－a 在x ∈[1，＋∞)上f ′(x )≥0，则f ′(1)≥0⇒a ≤3. 答案：322．已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间． [自主解答] (1)由f (x )＝ln x ＋ke x，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x >0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．23．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x，∴f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)＞0，即(－x2＋2)e x＞0，∵e x＞0，∴－x2＋2＞0，解得－2＜x＜ 2.∴函数f(x)的单调递增区间是(－2，2)．(2)若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]e x≤0对x∈R都成立．∵e x＞0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．故不存在a使函数f(x)在R上单调递减．24．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4 D．5解析：选D∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0，∴a＝5.25．设函数f(x)＝x e x，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析：选D求导得f′(x)＝e x＋x e x＝e x(x＋1)，令f′(x)＝e x(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．26．若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． (1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点．[自主解答] (1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2.当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时，g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点．当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0，故1不是g (x )的极值点．所以g (x )的极值点为－2. 求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格； (4)由f ′(x )＝0根的两侧导数的符号来判断f ′(x )在这个根处取极值的情况．27．设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)因为f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1，故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b ，从而f ′(x )＝6⎝⎛⎭⎫x ＋a 62＋b －a 26，即y ＝f ′(x )关于直线x ＝－a6对称．从而由题设条件知－a 6＝－12，即a ＝3.又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0，得b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1，所以f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，即6(x －1)(x ＋2)＝0，解得x ＝－2或x ＝1，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，－2)上单调递增；当x ∈(－2,1)时，f ′(x )<0，即f (x )在(－2,1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在(1，＋∞)上单调递增．从而函数f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝21，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－6.28．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________．解析：f ′(x )＝x 2＋2x －3，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]，得x ＝1.比较f (0)＝－4，f (1)＝－173， f (2)＝－103.可知最小值为－173.答案：－17329．已知函数f (x )＝(x －k )e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． [自主解答] (1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1. f (x )与f ′(x )的情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)．(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k－1；当k －1≥1时，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.30．上题条件不变，求f (x )在区间[0,1]上的最大值．解：当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增．所以f (x )在[0,1]上的最大值为f (1)＝(1－k )e.当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最大值为f (0)和f (1)较大者．若f (0)＝f (1)，所以－k ＝(1－k )e ，即k ＝e e －1. 当1<k <e e －1时函数f (x )的最大值为f (1)＝(1－k )e ，当ee －1≤k <2时，函数f (x )的最大值为f (0)＝－k ，当k －1≥1时，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减．所以f (x )在[0,1]上的最大值为f (0)＝－k .综上所述，当k <ee －1时，f (x )的最大值为f (1)＝(1－k )e.当k ≥ee －1时，f (x )的最大值为f (0)＝－k .求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；31．已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．解：(1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ，由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得a ＝1，b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ； f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 1＝2处取得极小值f (2)＝c －16. 由题设条件知16＋c ＝28，得c ＝12. 此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3， f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.课后作业232．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R解析：选A 函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex >0，故单调增区间是(0，＋∞)． 33．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：选C 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )． 34．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2，当x ＝2时，f ′(x )＝0；当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数，所以x ＝2为函数f (x )的极小值点． 35．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( )A ．－2或2B ．－9或3C ．－1或1D ．－3或1解析：选A 设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.36．若f (x )＝ln xx ，e<a <b ，则( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1解析：选A f ′(x )＝1－ln xx 2，当x >e 时，f ′(x )<0，则f (x )在(e ，＋∞)上为减函数，f (a )>f (b )． 37．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：选A 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.38．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m 2－12×(m ＋6)>0.所以m >6或m <－3. 答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)39．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．解析：求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x .由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以对m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 答案：－440．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．解析：∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝03×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2. ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：441．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．解：(1)∵f ′(x )＝2ax ＋bx . 又f (x )在x ＝1处有极值12.∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝12，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，2a ＋b ＝0. 解得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x.由f ′(x )<0，得0<x <1；由f ′(x )>0，得x >1.所以函数y ＝f (x )的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)．42．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13⎝⎛因x 2＝－13不在定义域内，舍去．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3. 43．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最大值和最小值．解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3≥0在[1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤⎣⎡⎦⎤32⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ＝3(当x ＝1时取最小值)． ∴a 的取值范围为(－∞，3]． (2)∵f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0， ∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，x ∈[1,5]， f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去)．当1<x <3时，f ′(x )<0，当3<x <5时，f ′(x )>0，即当x ＝3时，f (x )取极小值f (3)＝－9. 又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15.44．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (1)＋f ′(1)＝0；选项D 中，f (1)>0，f ′(1)>0，不满足f ′(1)＋f (1)＝0.45．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导函数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎝⎛⎭⎫12，2D ．(－2,1)解析：选A 由F (x )＝xf (x )，得F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝xf ′(x )－f (－x )<0，所以F (x )在(－∞，0)上单调递减，又可证F (x )为偶函数，从而F (x )在[0，＋∞)上单调递增，故原不等式可化为－3<2x －1<3，解得－1<x <2.46．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 解析：选D 由图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 47．已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x ＋2ax (a ∈R)．(1)当a ＝0时，求f (x )的极值； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)∵当a ＝0时，f (x )＝2ln x ＋1x ，f ′(x )＝2x －1x 2＝2x －1x2(x >0)，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是减函数，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数． ∴f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝2－2ln 2，无极大值． (2)f ′(x )＝2－a x －1x 2＋2a ＝(2x －1)(ax ＋1)x 2(x >0)．①当a ≥0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是减函数，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数； ②当－2<a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12和⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎭⎫12，－1a 上是增函数； ③当a ＝－2时，f (x )在(0，＋∞)上是减函数；④当a <－2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞和⎝⎛⎭⎫0，－1a 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫－1a ，12上是增函数．导数的应用(二)48．已知函数f (x )＝x 2ln x －a (x 2－1)，a ∈R.(1)当a ＝－1时，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ≥1时，f (x )≥0成立，求a 的取值范围． [自主解答] (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2ln x ＋x 2－1， f ′(x )＝2x ln x ＋3x .则曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝3，又f (1)＝0，所以切线方程为3x －y －3＝0. (2)f ′(x )＝2x ln x ＋(1－2a )x ＝x (2ln x ＋1－2a )，其中x ≥1.当a ≤12时，因为x ≥1，所以f ′(x )≥0，所以函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，故f (x )≥f (1)＝0.当a >12时，令f ′(x )＝0，得x ＝e a －12.若x ∈[1，e a －12)，则f ′(x )<0，所以函数f (x )在[1，e a －12)上单调递减．所以当x ∈[1，e a －12)时，f (x )≤f (1)＝0，不符合题意．综上a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题．(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图象，数形结合求解．49．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， ∵f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x )，若x ＝0，则f ′(x )＝0；若x <0，则1－e x >0，所以f ′(x )<0；若x >0，则1－e x <0，所以f ′(x )<0. ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知，f (x )在[－2,2]上单调递减．故[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2，∴m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立．故m 的取值范围为(－∞，2－e 2)． 50．（理科）已知函数f (x )＝e－kx·⎝⎛⎭⎫x 2＋x －1k (k <0)． (1)求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数k ，使得函数f (x )的极大值等于3e －2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)f (x )的定义域为R. f ′(x )＝－k e －kx⎝⎛⎭⎫x 2＋x －1k ＋e －kx (2x ＋1)＝e－kx[－kx 2＋(2－k )x ＋2]，即f ′(x )＝－e－kx(kx －2)(x ＋1)(k <0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝2k . 当k ＝－2时，f ′(x )＝2e 2x (x ＋1)2≥0，故f (x )的单调递增区间是(－∞，＋∞)．当－2<k <0时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下：所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，2k 和(－1，＋∞)，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k ，－1. 当k <－2时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下：所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)和⎝⎛⎭⎫2k ，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－1，2k . (2)当k ＝－1时，f (x )的极大值等于3e －2.理由如下：当k ＝－2时，f (x )无极大值．当－2<k <0时，f (x )的极大值为f ⎝⎛⎭⎫2k ＝e －2⎝⎛⎭⎫4k 2＋1k ，令e －2⎝⎛⎭⎫4k 2＋1k ＝3e －2，即4k 2＋1k ＝3，解得k ＝－1或k ＝43(舍去)．当k <－2时，f (x )的极大值为f (－1)＝－e kk . 因为e k <e－2,0<－1k <12，所以－e k k <12e －2.因为12e －2<3e －2，所以f (x )的极大值不可能等于3e －2.综上所述，当k ＝－1时，f (x )的极大值等于3e －2.51．（理科）已知函数f (x )＝x －12ax 2－ln(1＋x )，其中a ∈R.(1)若x ＝2是f (x )的极值点，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )在[0，＋∞)上的最大值是0，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x (1－a －ax )x ＋1，x ∈(－1，＋∞)．依题意，得f ′(2)＝0，解得a ＝13.经检验，a ＝13时，符合题意．故a ＝13.(2)①当a ＝0时，f ′(x )＝x x ＋1，由f ′(x )>0和f ′(x )<0，易得f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝1a －1.当0<a <1时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎭0，1a －1，单调递减区间是(－1,0)和⎝⎛⎭1a －1，＋∞. 当a ＝1时，f (x )的单调递减区间是(－1，＋∞)．当a >1时，－1<x 2<0，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭1a －1，0，单调递减区间是⎝⎭－1，1a －1和(0，＋∞)． ③当a <0时，f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)．综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)；当0<a <1时，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a －1，单调递减区间是(－1,0)和⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞；当a ＝1时，f (x )的单调递减区间是(－1，＋∞)；当a >1时，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a －1，0，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－1，1a －1和(0，＋∞)． (3)由(2)知a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由f (0)＝0，知a ≤0时不合题意．当0<a <1时，f (x )在(0，＋∞)上的最大值是f ⎝⎛⎭⎫1a －1，由f ⎝⎛⎭⎫1a －1>f (0)＝0，知0<a <1时不合题意．当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，可得f (x )在[0，＋∞)上的最大值是f (0)＝0，符合题意．所以f (x )在[0，＋∞)上的最大值是0时，a 的取值范围是[1，＋∞)．52．已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx ，其中e 是自然常数，a ∈R.(1)讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.[自主解答] (1)∵f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当1<x <e 时，f ′(x ) >0，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)证明：由(1)知[f (x )]min ＝1.又g ′(x )＝1－ln xx 2， ∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增． ∴[g (x )]max ＝g (e)＝1e <12.∴[f (x )]min －[g (x )]max >12.∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.(3)在本例条件下，是否存在正实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3.因为f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ，当0<1a <e 时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上单调递增，所以[f (x )]min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件；当1a ≥e 时，f (x )在(0，e]上单调递减， [f (x )]min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)，所以，此时a 不存在．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时f (x )有最小值3.利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，确定函数的最值证明h (x )>0. 53．已知f (x )＝x ln x .(1)求g (x )＝f (x )＋kx (k ∈R)的单调区间； (2)证明：当x ≥1时，2x －e ≤f (x )恒成立．解：(1)g (x )＝ln x ＋kx ， ∴令g ′(x )＝x －kx 2＝0得x ＝k . ∵x >0，∴当k ≤0时，g ′(x )>0.∴函数g (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间；当k >0时g ′(x )>0得x >k ；g ′(x )<0得0<x <k ， ∴增区间为(k ，＋∞)，减区间为(0，k )．(2)证明：设h (x )＝x ln x －2x ＋e(x ≥1)，令h ′(x )＝ln x －1＝0得x ＝e ， h (x )，h ′(x )的变化情况如下：故h (x )≥0.即f (x )≥2x －e.课后作业354．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )解析：选A ∵xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0， ∴⎝⎛⎭⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2≤－2f (x )x 2≤0.则函数f (x )x 在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0<a <b ，则f (a )a ≥f (b )b.即af (b )≤bf (a )． 55．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( ) A ．1百万件 B ．2百万件 C ．3百万件D ．4百万件解析：选C 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．56．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．又函数f (x )是R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝0.当x >0时，f (x )<0，∴0<x <1；当x <0时，图象关于y 轴对称，f (x )>0，∴x <－1.答案：(－∞，－1)∪(0,1)57．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图，观察得－2<a <2时恰有三个不同的公共点．答案：(－2,2)58．已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．解：(1)∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x .∵x ＞1时，f ′(x )＞0，故f (x )在[1，e]上是增函数， ∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2. (2)证明：令F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－23x 3＋ln x ，∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x＝x 2－x 3－x 3＋1x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x . ∵x ＞1，∴F ′(x )＜0.∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数．∴F (x )＜F (1)＝12－23＝－16＜0，即f (x )＜g (x )．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象总在g (x )的图象的下方． 59．已知函数(理)f (x )＝e x－m－x ，(文)f (x )＝1em e x －x ，其中m 为常数．(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，求m 的取值范围； (2)当m >1时，判断f (x )在[0,2m ]上零点的个数，并说明理由．解：(1)依题意，可知f (x )在R 上连续，且f ′(x )＝e x －m－1，令f ′(x )＝0，得x ＝m . 故当x ∈(－∞，m )时，e x －m<1，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，e x－m>1，f ′(x )>0，f (x )单调递增；故当x ＝m 时，f (m )为极小值，也是最小值．令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1，即对任意x ∈R ，f (x )≥0恒成立时，m 的取值范围是(－∞，1]． (2)由(1)知f (x )在[0,2m ]上至多有两个零点，当m >1时，f (m )＝1－m <0. ∵f (0)＝e－m>0，f (0)·f (m )<0，∴f (x )在(0，m )上有一个零点．又f (2m )＝e m －2m ，令g (m )＝e m －2m ， ∵当m >1时，g ′(m )＝e m －2>0， ∴g (m )在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (m )>g (1)＝e －2>0，即f (2m )>0.∴f (m )·f (2m )<0，∴f (x )在(m,2m )上有一个零点．故f (x )在[0,2m ]上有两个零点．60．已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)e x ，x ∈[－2，t ](t >－2)．(1)当t <1时，求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)设f (－2)＝m ，f (t )＝n ，求证：m <n .解：(1)f ′(x )＝(2x －3)e x ＋e x (x 2－3x ＋3)＝e x x (x －1)， ①当－2<t ≤0，x ∈[－2，t ]时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； ②当0<t <1，x ∈[－2,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(0，t ]时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上，当－2<t ≤0时，y ＝f (x )的单调递增区间为[－2，t ]；当0<t <1时，y ＝f (x )的单调递增区间为[－2,0)，单调递减区间为(0，t ]． (2)证明：依题意得m ＝f (－2)＝13e －2，n ＝f (t )＝(t 2－3t ＋3)e t ，设h (t )＝n －m ＝(t 2－3t ＋3)e t －13e －2，t >－2，h ′(t )＝(2t －3)e t ＋e t (t 2－3t ＋3)＝e t t (t －1)(t >－2)．故h (t )，h ′(t )随t 的变化情况如下表：由上表可知h (t )的极小值为h (1)＝e －13e 2＝e e2>0，又h (－2)＝0，故当－2<t <0时，h (t )>h (－2)＝0，即h (t )>0，因此，n －m >0，即m <n .61．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ，b ∈R)在x ＝2处的切线方程为y ＝9x －14.(1)求f (x )的单调区间；(2)令g (x )＝－x 2＋2x ＋k ，若对任意x 1∈[0,2]，均存在x 2∈[0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求实数k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－3a ，∵f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝9x －14，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝4，f ′(2)＝9，则⎩⎪⎨⎪⎧ 8－6a ＋b ＝4，12－3a ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝x 3－3x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．由f ′(x )>0，得x <－1或x >1；由f ′(x )<0，得－1<x <1.故函数f (x )的单调递减区间是(－1,1)；单调递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)． (2)由(1)知，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增．又f (0)＝2，f (2)＝4，有f (0)<f (2)，∴函数f (x )在区间[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (2)＝4. 又g (x )＝－x 2＋2x ＋k ＝－(x －1)2＋k ＋1，∴函数g (x )在[0,2]上的最大值为g (x )max ＝g (1)＝k ＋1. ∵对任意x 1∈[0,2]，均存在x 2∈[0,2]，使f (x 1)<f (x 2)成立， ∴有f (x )max <g (x )max ，则4<k ＋1，即k >3. 故实数k 的取值范围是(3，＋∞)．62．设函数f (x )＝ln x －p (x －1)，p ∈R.(1)当p ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)，对任意x ≥1都有g (x )≤0成立，求p 的取值范围．解：(1)当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，其定义域为(0，＋∞)．所以f ′(x )＝1x －1.由f ′(x )＝1x －1>0得0<x <1，由f ′(x )<0得x >1.所以函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)由函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)＝x ln x ＋p (x 2－1)(x >0)，得g ′(x )＝ln x ＋1＋2px . 由(1)知，当p ＝1时，f (x )≤f (1)＝0，即不等式ln x ≤x －1成立．①当p ≤－12时，g ′(x )＝ln x ＋1＋2px ≤(x －1)＋1＋2px ＝(1＋2p )x ≤0，即函数g (x )在[1，＋∞)上单调递减，从而g (x )≤g (1)＝0，满足题意； ②当－12<p <0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫1，－12p ，则ln x >0，1＋2px >0，从而g ′(x )＝ln x ＋1＋2px >0，即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫1，－12p 上单调递增，从而存在x 0∈⎝⎛⎭⎫1，－12p 使得g (x 0)>g (1)＝0，不满足题意；③当p ≥0时，由x ≥1知g (x )＝x ln x ＋p (x 2－1)≥0恒成立，此时不满足题意．综上所述，实数p 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12.集合与常用逻辑用语函数、导数及其应用一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012·广州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0，a x ，x >0，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4。

高中数学第一章导数及其应用1.5.3定积分的概念课时素养评价含解析新人教A版选修2_2

课时素养评价十定积分的概念(15分钟30分)1.定积分xdx等于()A. B.-1 C.0 D.1【解析】选 C.如图所示,定积分为图中阴影部分面积A减去 B.因为S A=S B=,所以xdx=-=0.2.已知f(x)dx=6,则6f(x)dx= ( )A.6B.6(b-a)C.36D.不确定【解析】选C.6f(x)dx=6f(x)dx=6×6=36.【补偿训练】已知f(x)dx=4,则 ( )A.2f(x)dx=1B.f(x)dx+f(x)dx=4C.f(x)dx=1D.f(x)dx=1【解析】选B.利用定积分的性质知f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx=4.3.已知和式S=(p>0),当n趋向于∞时,S无限趋向于一个常数A,则A可用定积分表示为( )A.dxB.x p dxC.dxD.dx【思路导引】把和式转向定积分的定义式的形式整理,为S=,根据定积分的定义很容易得出结果. 【解析】选B.S==·,所以·=x p dx.4.计算: 2 020dx=________.【解析】根据定积分的几何意义, 2 020dx表示直线x=2 018,x=2 019,y=0,y=2 020围成矩形的面积,故 2 020dx=2 020.答案:2 0205.已知[f(x)+g(x)]dx=12,g(x)dx=6,求3f(x)dx.【解析】因为[f(x)+g(x)]dx=f(x)dx+g(x)dx=12,g(x)dx=6,所以f(x)dx=12-6=6.所以3f(x)dx=3f(x)dx=18.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积为( )A.4B.8C.2πD.4π【思路导引】掌握正余弦函数图象的对称性,对应面积相等的问题.如本题求不规则的图形面积,利用函数图形性质转化到特殊的规则的面积问题.【解析】选D.如图所示.由图可知,S1=S2,S3=S4,因此函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象与直线y=2所围成的图形面积即为矩形OABC的面积.因为|OA|=2,|OC|=2π,所以S矩形=2×2π=4π.2.已知t>0,若(2x-2)dx=8,则t= ( )A.1B.-2C.-2或4D.4【解析】选D.作出函数f(x)=2x-2的图象与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,-2),易求得S△OAB=1,因为(2x-2)dx=8,且(2x-2)dx=-1,所以t>1,所以S△AEF=AE·EF=×(t-1)(2t-2)=(t-1)2=9,所以t=4.3.下列命题不正确的是( )A.若f(x)是连续的奇函数,则f(x)dx=0B.若f(x)是连续的偶函数,则f(x)dx=2f(x)dxC.若f(x)在[a,b]上连续且恒正,则f(x)dx>0D.若f(x)在[a,b]上连续且f(x)dx>0,则f(x)在[a,b]上恒正【解析】选D.对于选项A,因为f(x)是奇函数,所以图象关于原点对称,所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等,故积分是0,所以A正确;对于选项B,因为f(x)是偶函数,所以图象关于y 轴对称,故图象都在x轴下方(或上方)且面积相等,故B正确;C显然正确;D选项中f(x)也可以小于0,但必须有大于0的部分,且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大.4.设f(x)=则f(x)dx的值是( )A.x2dxB.2x dxC.x2dx+2x dxD.2x dx+x2dx【解析】选D.由定积分性质(3)求f(x)在区间[-1,1]上的定积分,可以通过求f(x)在区间[-1,0]与[0,1]上的定积分来实现,显然D正确.5.设a=dx,b=x2dx,c=x3dx,则a,b,c的大小关系是( )A.c>a>bB.a>b>cC.a=b>cD.a>c>b【解析】选B.根据定积分的几何意义,易知x3dx<x2dx<dx,即a>b>c.二、填空题(每小题5分,共15分)6.曲线y=与直线y=x,x=2所围成的图形面积用定积分可表示为________.【解析】如图所示,阴影部分的面积可表示为xdx-dx=dx.答案:dx7.计算:(1-cos x)dx=________.【解析】方法一:根据定积分的几何意义,得1dx=2π,cos xdx=cos xdx+cos xdx+cos xdx+cos xdx=cos xdx-cos xdx-cos xdx+cos xdx=0,所以(1-cos x)dx=1dx-cos xdx=2π-0=2π.方法二:在公共积分区间[0,2π]上,(1-cos x)dx表示直线y=1与余弦曲线y=cos x在[0,2π]上围成封闭图形的面积,如图,由于余弦曲线y=cos x在[0,π]上关于点中心对称,在[π,2π]上关于点中心对称,所以区域①与②的面积相等,所求平面图形的面积等于边长分别为1,2π的矩形的面积,其值为2π.所以(1-cos x)dx=2π.答案:2π8.计算dx=________.【解析】由定积分的几何意义知,所求积分是图中阴影部分的面积.易知AB=,∠AOB=,故S=×4π-×1×=-.阴影答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知f(x)为偶函数且f(x)dx=3,计算定积分3f(x)dx. 【解析】因为函数f(x)为偶函数,所以在y轴两侧的图象对称,所以对应的面积相等,即f(x)dx=f(x)dx=3,所以3f(x)dx=3f(x)dx+3f(x)dx=3=18.【拓展提升】利用定积分的几何意义求定积分的方法步骤(1)确定被积函数和积分区间.(2)准确画出图形.(3)求出各阴影部分的面积.(4)写出定积分,注意当f(x)≥0时,S=f(x)dx,而当f(x)≤0时,S=-f(x)dx.10.已知函数f(x)=求f(x)在区间[-1,3π]上的定积分. 【解析】由定积分的几何意义知:因为f(x)=x5是奇函数,故x5dx=0;sin xdx=0(如图(1)所示);xdx=(1+π)(π-1)=(π2-1)(如图(2)所示).所以f(x)dx=x5dx+xdx+sin xdx=xdx=(π2-1).计算定积分:[-x]dx.【解析】[-x]dx=dx-xdx,令S1=dx,S2=xdx.S1,S2的几何意义如图1,2所示.对S1=dx,令y=≥0,则(x-1)2+y2=1(0≤x≤1,y≥0),由定积分几何意义知S1=dx=π×12=, 对于S2=xdx,由其几何意义知S2=×1×1=,故[-x]dx=S1-S2=-=.。

(名师导学)高考数学总复习同步测试卷(五)导数及其应用理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册

同步测试卷理科数学(五) 【p 293】(导数及其应用) 时间：60分钟总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．函数y ＝x sin x ＋x 的导数是( )A ．y′＝sin x ＋x cos x ＋12xB ．y′＝sin x －x cos x ＋12xC ．y′＝sin x ＋x cos x －12xD ．y′＝sin x －x cos x －12x【解析】f′(x)＝(x)′sin x ＋x(sin x)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12′ ＝sin x ＋x cos x ＋12x －12＝sin x ＋x cos x ＋12x .【答案】A2．已知a 为函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．4D ．2【解析】f′()x ＝3x 2－12＝3()x ＋2()x －2，令f′()x ＝0得x ＝－2或x ＝2，易得f ()x 在()－2，2上单调递减，在()2，＋∞上单调递增，故f ()x 的极小值点为2，即a ＝2.【答案】D 3．定积分⎠⎛－aaa 2－x 2d x 等于( )A .14πa 2B .12πa 2 C ．πa 2D ．2πa 2【解析】由题意可知定积分表示半径为a 的半个圆的面积，所以S ＝12(πa 2)＝12πa 2.【答案】B4．直线y ＝kx ＋1与曲线f(x)＝a ln x ＋b 相切于点P(1，2)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．4C ．3D ．2【解析】由f(x)＝a ln x ＋b ，得f′(x)＝ax，∴f′(1)＝a.再由直线y ＝kx ＋1与曲线f(x)＝a ln x ＋b 相切于点P(1，2)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧k ＝a ，k ＋1＝b ，b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，a ＝1，b ＝2， ∴a＋b ＝3. 【答案】C5．已知函数y ＝f(x)是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f （x ）x>0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】由已知得f ′（x ）·x ＋f （x ）x >0，得（xf （x ））′x>0，得(xf (x ))′与x 同号，令g (x )＝xf (x )．则可知g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且g (0)＝0，又由xf (x )＋1x ＝0，即g (x )＝－1x ，显然y ＝g (x )的图象与y ＝－1x的图象只有一个交点，选B.【答案】B6．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )<2恒成立，则使x 2f (x )－f (1)<x 2－1成立的实数x 的取值X 围是( )A ．{x |x ≠±1}B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－1，0)∪(0，1)【解析】f (x )是R 上的偶函数，则函数g (x )＝x 2f (x )－x 2也是R 上的偶函数，对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )<2恒成立，则g ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )－2]．当x ≥0时，g ′(x )<0，当x <0时，g ′(x )>0，即偶函数g (x )在区间(－∞，0)上单调递增，在区间(0，＋∞)上单调递减，不等式x 2f (x )－f (1)<x 2－1即x 2f (x )－x 2<12f (1)－12，据此可知g (x )<g (1)，则x <－1或x >1.即实数x 的取值X 围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．) 7．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x(千台)的函数y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x(千台)的函数y 2＝2x 3－x 2，已知x>0，为使利润最大，应生产________(千台)．【解析】由题意，利润y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3(x ＞0)． y′＝36x －6x 2，由y′＝36x －6x 2＝6x(6－x)＝0，得x ＝6(x ＞0)，当x∈(0，6)时，y′＞0，当x∈(6，＋∞)时，y′＜0. ∴函数在(0，6)上为增函数，在(6，＋∞)上为减函数．则当x ＝6(千台)时，y 有最大值为216(万元)．【答案】68．曲线y ＝2x 与直线y ＝－x ＋3及x 轴围成的图形的面积为________．【解析】由曲线y ＝2x 与直线y ＝－x ＋3及x 轴围成的图形的面积为⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(－x＋3)d x ＝43x 32|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＋3x |31＝43＋2＝103.【答案】1039．若函数f(x)＝x 3－ax 2＋3x －4a 3在(－∞，－1)，(2，＋∞)上都是单调增函数，则实数a 的取值集合是________．【解析】由f′(x)＝3x 2－2ax ＋3，(1)当Δ＝4a 2－36≤0⇒－3≤a≤3时，f(x)在R 上为增函数，满足条件； (2)当Δ＝4a 2－36>0⇒a <－3或a >3时，由⎩⎪⎨⎪⎧－1<a3<2⇒－3<a <6，f ′（－1）≥0⇒a ≥－3，f ′（2）≥0⇒a ≤154，∴3<a ≤154，∴综合得a 的取值集合是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，154. 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，15410．若不等式|mx 3－ln x |≥1(m >0)，对∀x ∈(0，1]恒成立，则实数m 的取值X 围是__________________．【解析】不等式|mx 3－ln x |≥1(m >0)，对∀x ∈(0，1]恒成立，等价为mx 3－ln x ≥1或mx 3－ln x ≤－1，即m ≥1＋ln x x 3或m ≤ln x －1x3，记f (x )＝1＋ln x x 3，g (x )＝ln x －1x3，则f ′(x )＝1x ·x 3－3x 2（1＋ln x ）x 6＝－2－3ln xx4，由f ′(x )＝－2－3ln xx4＝0，解得ln x ＝－23，即x ＝e －23，由f (x )>0，解得0<x <e －23，此时函数单调递增，由f (x )<0，解得x >e －23，此时函数单调递减，即当x ＝e －23时，函数f (x )取得极大值，同时也是最大值f (e －23)＝1＋ln e －23（e －23）3＝1－23e－2＝13e 2，此时m ≥13e 2；由g (x )＝ln x －1x3， ∵当x ＝1时，ln x －1x3＝0， ∴当m >0时，不等式m ≤ln x －1x3不恒成立，综上，m ≥13e 2.【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 23，＋∞ 三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(16分)已知函数f(x)＝e x－2x.(1)求曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若函数g(x)＝f(x)－a ，x∈[－1，1]恰有2个零点，某某数a 的取值X 围．【解析】(1)∵f(x)＝e x－2x ，∴f′(x)＝e x－2. ∴f′(0)＝－1，又f(0)＝1，∴曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0.(2)由题意得g(x)＝e x－2x －a ， ∴g′(x)＝e x－2，由g′(x)＝e x －2＝0解得x ＝ln 2，故当－1≤x<ln 2时，g′(x)<0，g(x)在[－1，ln 2)上单调递减；当ln 2<x≤1时，g′(x)>0，g(x)在(ln 2，1]上单调递增． ∴g(x)min ＝g(ln 2)＝2－2ln 2－a ，又g(－1)＝e －1＋2－a ，g(1)＝e －2－a ，结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝e －1＋2－a≥0，g （1）＝e －2－a≥0，g （ln 2）＝2－2ln 2－a<0，解得2－2ln 2<a≤e －2. ∴实数a 的取值X 围是(2－2ln 2，e －2]．12．(16分)已知定义在正实数集上的函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x.(1)若函数g(x)＝f(x)－ax 2＋1，在其定义域上g(x)≤0恒成立，某某数a 的最小值； (2)若a>0时，f(x)在区间[1，e ]上的最小值为－2，某某数a 的取值X 围．【解析】(1)由g(x)＝ln x －(a ＋2)x ＋1≤0在其定义域上恒成立，因为x>0，∴a＋2≥ln x ＋1x，设h(x)＝ln x ＋1x(x>0)，h′(x)＝1－ln x －1x 2＝－ln xx2，所以0<x<1时，h′(x)>0，h(x)递增，x>1时，h′(x)<0，h(x)递减，因此h(x)max ＝h(1)＝1，∴a＋2≥1可得a≥－1，综上实数a 的最小值是－1.(2)f′(x)＝2ax －(a ＋2)＋1x ＝（ax －1）（2x －1）x (x>0，a>0)，f′(x)＝0，x 1＝12，x 2＝1a，当a≥1，1a ≤1，x∈(1，e )，f′(x)≥0，f(x)单调递增，f(x)min ＝f(1)＝－2符合题意，当1e <a<1，x∈[1，e ]，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ，f(x)单调递减，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，e ，f(x)单调递增； f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f(1)＝－2舍去，当0<a≤1e，x∈(1，e )，f(x)单调递减，f(x)min ＝f(e )<f(1)＝－2舍去，综上实数a 的取值X 围是[1，＋∞)．13．(18分)已知函数f(x)＝－x －mx ＋2ln x ，m∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：f (x 2)>1－x 2.【解析】(1)由f (x )＝－x －m x＋2ln x ，得f ′(x )＝－1＋m x 2＋2x ＝－x 2＋2x ＋m x 2＝－x 2－2x －mx 2，x ∈(0，＋∞)．设g(x)＝x2－2x－m，x∈(0，＋∞)．当m≤－1时，即Δ＝4＋4m≤0时，g(x)≥0，f′(x)≤0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当m>－1时，即Δ＝4＋4m>0时，令g(x)＝0，得x1＝1－1＋m，x2＝1＋1＋m，x1<x2.当－1<m<0时，0<x1<x2，在(0，x1)∪(x2，＋∞)上，f′(x)<0，在(x1，x2)上，f′(x)>0，∴f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，在(x2，＋∞)上单调递减．当m≥0时，x1≤0＜x2，在(0，x2)上，f′(x)>0，在(x2，＋∞)上，f′(x)<0，∴f(x)在(0，x2)上单调递增，在(x2，＋∞)上单调递减．综上，当m≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1<m<0时，f(x)在(0，1－1＋m)，(1＋1＋m，＋∞)上单调递减，在(1－1＋m，1＋1＋m)上单调递增；当m≥0时，f(x)在(0，1＋1＋m)上单调递增，在(1＋1＋m，＋∞)上单调递减．(2)∵f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，∴由(1)知g(x)＝x2－2x－m有两个不同的零点x1，x2，x1＝1－1＋m，x2＝1＋1＋m，且－1<m<0，此时，x22－2x2－m＝0，要证明f(x2)＝－x2－mx2＋2ln x2>1－x2，只要证明2ln x2－mx2>1.∵m ＝x 22－2x 2，∴只要证明2ln x 2－x 2>－1成立． ∵m ∈(－1，0)，∴x 2＝1＋1＋m ∈(1，2)．设h (x )＝2ln x －x ，x ∈(1，2)，则h ′(x )＝2x－1，当x ∈(1，2)时，h ′(x )>0， ∴h (x )在x ∈(1，2)上单调递增， ∴h (x )>h (1)＝－1，即2ln x 2－x 2>－1，∴f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1>x 2时，f (x 2)>1－x 2.word 11 / 11。

人教A数学选修课时跟踪检测：第3章导数及其应用 31 3 含解析

第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.1.3 导数的几何意义课时跟踪检测一、选择题1．已知f′(x)＝2x－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为() A．30°B．45°C．60°D．120°解析：由导数的几何意义知，切线的斜率k＝tan α＝f′(1)＝2×1－1＝1，又α∈[0°，180°)，∴α＝45°.答案：B2．函数在某一点的导数是()A．在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比B．函数在这一点到这附近一点之间的平均变化率C．一个函数D．一个常数，不是变数解析：根据函数在一点处的导数的定义知，是一个常数，不是变数．答案：D3．(2019·成都外国语学校期中)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9 B．9C．－3 D．15解析：f′(1)＝li mΔx→0(1＋Δx)3＋11－12Δx＝li mΔx→0(3＋3Δx＋Δx2)＝3.∴曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)．令x＝0得y＝9，故选B.答案：B4．(2019·棠湖月考)过函数f (x )＝13x 3－x 2图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4解析：∵f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 13(x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2－13x 3＋x 2Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x Δx ＋13Δx 2－2x －Δx ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π，故选B.答案：B5．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B ) C ．f ′(x A )＝f ′(x B ) D ．不能确定解析：由图象知，点A ，B 处的切线的斜率为k A ，k B ，则 k A <k B ，由导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )．答案：B6．曲线y ＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角α＝( ) A ．45° B ．60° C ．135°D ．120°解析：∵k ＝y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 9x ＋Δx －9xΔx ＝lim Δx →0－9x (x ＋Δx )＝－9x 2，∴当x ＝3时，k ＝tan α＝－1，∴α＝135°.故选C.答案：C 二、填空题7．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则过点A 的切线的斜率为________．解析：k ＝f ′(2)＝lim Δx →0 2(2＋Δx )2－2×22Δx ＝lim Δx →0 8Δx ＋2(Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (8＋2Δx )＝8.答案：88．(2019·东营期中)已知函数y ＝f (x )的图象在点A (0，f (0))处的切线方程是y ＝2x ＋1，则f (0)＋f ′(0)＝________.解析：由题可知f (0)＝2×0＋1＝1，f ′(0)＝2， ∴f (0)＋f ′(0)＝3. 答案：39．曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a ＝________.解析：f ′(a )＝lim Δx →0 f (a ＋Δx )－f (a )Δx ＝lim Δx →0 (a ＋Δx )3－a 3Δx ＝3a 2. ∴在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )．令y ＝0，得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0，∴S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －23a ·|a 3|＝16，解得a ＝±1.答案：±1 三、解答题10．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．解：因为f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 2(1＋Δx )2－2Δx ＝lim Δx →0 4Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →0(4＋2Δx )＝4，所以过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k ，则4k ＝－1，所以k ＝－14，所以所求的直线方程为y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0.11．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.求：(1)曲线在点P 处、点Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程．解：将P (2，－1)的坐标代入y ＝1t －x ，得t ＝1，∴y ＝11－x. y ′＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 11－(x ＋Δx )－11－xΔx ＝lim Δx →0 Δx[1－(x ＋Δx )](1－x )Δx＝lim Δx →01(1－x －Δx )(1－x )＝1(1－x )2.(1)曲线在点P 处的切线斜率为y ′| x ＝2＝1(1－2)2＝1；曲线在点Q 处的切线斜率为y ′| x ＝－1＝14.(2)由(1)得曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0；曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14[x －(－1)]即x －4y ＋3＝0.12．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：f (x )＝x 3－2x 2＋3相切．求切点的坐标及a 的值．解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x .由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2.∴切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)．当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，解得a ＝12127.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，解得a ＝－5. ∴切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927，a ＝12127或切点为(2,3)，a ＝－5.13．(2019·内江期末)曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线方程为__________________．解析：y ′＝li m Δx →0 (1＋Δx )3－1Δx ＝li m Δx →0 3Δx ＋3Δx 2＋Δx 3Δx ＝3. ∴切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0. 答案：3x －y －2＝0。

2013年高考数学二轮专题辅导与训练专题一第5讲导数及其应用课时训练提能

专题一第5讲导数及其应用课时训练提能[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分)1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝ A ．－eB ．－1C ．1D ．e解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋1，∴f ′(1)＝－1.故选B. 答案 B2．(2012·泉州模拟)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为A ．3B ．2C ．1D.12解析设切点为(x 0，y 0)． ∵y ′＝12x －3x ，∴12x 0－3x 0＝12，解得x 0＝3(x 0＝－2舍去)．答案 A3．(2012·聊城模拟)求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是 A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y解析两函数图象的交点坐标是(0,1)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .答案 B4．函数f (x )＝32231,0,e , 0ax x x x x ⎧++≤⎪⎨>⎪⎩在[－2,2]上的最大值为2，则a 的取值范围是A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12ln 2，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12ln 2C ．(－∞，0]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12ln 2 解析当x ≤0时，f ′(x )＝6x 2＋6x ，函数的极大值点是x ＝－1，极小值点是x ＝0，当x ＝－1时，f (x )＝2，故只要在(0,2]上e ax≤2即可，即ax ≤ln 2在(0,2]上恒成立，即a ≤ln 2x在(0,2]上恒成立，故a≤12ln 2.答案 D5．设函数f (x)＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是解析设h (x )＝f (x )e x，则h ′(x )＝(2ax ＋b )e x＋(ax 2＋bx ＋c )e x ＝(ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c )e x .由x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，得当x ＝－1时，ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c ＝c －a ＝0，∴c ＝a .∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a .若方程ax 2＋bx ＋a ＝0有两根x 1、x 2，则x 1x 2＝aa＝1，D 中图象一定不满足该条件．答案 D6．设a ∈R ，若函数f (x )＝e ax＋3x (x ∈R )有大于零的极值点，则a 的取值范围是 A ．(－3,2)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－3,4)解析由已知得f ′(x )＝3＋a e ax，若函数f (x )在x ∈R 上有大于零的极值点，则f ′(x )＝3＋a e ax ＝0有正根．当3＋a e ax＝0成立时，显然有a ＜0，此时x ＝1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a ，由x ＞0得到参数a 的取值范围为a ＜－3.答案 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2012·济南三模)曲线y ＝e x ＋x 2在点(0,1)处的切线方程为________．解析 y ′＝e x ＋2x ，∴所求切线的斜率为e 0＋2×0＝1， ∴切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0. 答案 x －y ＋1＝08．(2012·枣庄市高三一模)⎠⎛014－x 2d x ＝________.解析 ⎠⎛014－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4中阴影部分的面积的大小，易知∠AOB ＝π6，OC ＝1，∴⎠⎛014－x 2d x ＝S △OBC ＋S 扇形AOB＝12×1×3＋12×π6×22＝32＋π3. 答案32＋π39．(2012·泉州模拟)若函数f (x )＝x －a x ＋ln x (a 为常数)在定义域上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝x －a x ＋ln x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴f ′(x )＝11x +≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤2x而2x4，当且仅当x，即x ＝1时等号成立，∴a ≤4. 答案 (－∞，4]三、解答题(每小题12分，共36分)10．(2012·泉州模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处有极值为10，求b 的值；(2)若对任意a ∈[－4，＋∞)，f (x )在x ∈[0,2]上单调递增，求b 的最小值．解析 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝3＋2a ＋b ＝0f 1＝1＋a ＋b ＋a 2＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11，Δ＝64＋132＞0，所以函数有极值点；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，所以函数无极值点．则b 的值为－11.(2)解法一 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立，则F (a )＝2xa ＋3x 2＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立． ∵x ≥0，F (a )在a ∈[－4，＋∞)单调递增或为常数函数，所以得F (a )min ＝F (－4)＝－8x ＋3x 2＋b ≥0对任意的x ∈[0,2]恒成立，即b ≥(－3x 2＋8x )max ，又－3x 2＋8x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋163≤163，当x ＝43时，(－3x 2＋8x )max ＝163，得b ≥163，所以b 的最小值为163.解法二 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立，即b ≥－3x 2－2ax 对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立，即b ≥(－3x 2－2ax )max ，令F (x )＝－3x 2－2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 32＋a23.①当a ≥0时，F (x )max ＝0，∴b ≥0； ②当－4≤a ＜0时，F (x )max ＝a 23，∴b ≥a 23.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23max ＝163，∴b ≥163.综上，b 的最小值为163.11．已知函数f (x )＝ex ln x.(1)求函数f (x )的单调区间； (2)设x ＞0，求证：f (x ＋1)＞e2x －1；(3)设n ∈N ＋，求证：ln(1×2＋1)＋ln(2×3＋1)＋…＋ln[n (n ＋1)＋1]＞2n －3.解析 (1)由题知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )＝ex ln x(ln x ＋1)．令f ′(x )＞0，解得x ＞1e ；令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1e.故f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e . (2)证明要证f (x ＋1)＞e 2x －1，即证(x ＋1)ln(x ＋1)＞2x －1⇔ln(x ＋1)＞2x －1x ＋1⇔ln(x ＋1)－2x －1x ＋1＞0.令g (x )＝ln(x ＋1)－2x －1x ＋1，则g ′(x )＝1x ＋1－3x ＋12＝x －2x ＋12，令g ′(x )＝0，得x ＝2，且g (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (2)＝ln 3－1，故当x ＞0时，有g (x )≥g (2)＝ln 3－1＞0，即f (x ＋1)＞e2x －1得证．(3)证明由(2)得ln(x ＋1)＞2x －1x ＋1，即ln(x ＋1)＞2－3x ＋1，所以ln[k (k ＋1)＋1]＞2－3k k ＋1＋1＞2－3k k ＋1，所以ln(1×2＋1)＋ln(2×3＋1)＋…＋ln[n (n ＋1)＋1] ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫2－31×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32×3＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3n n ＋1＝2n －3＋3n ＋1＞2n －3.12．设函数f (x )＝－a x 2＋1＋x ＋a ，x ∈(0,1]，a ∈R *(1)若f (x )在(0,1]上是增函数，求a 的取值范围； (2)求f (x )在(0,1]上的最大值．解析 (1)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝－a ·xx 2＋1＋1. 要使f (x )在x ∈(0,1]上是增函数，需使f ′(x )＝－axx 2＋1＋1≥0在(0,1]上恒成立．即a ≤x 2＋1x＝1＋1x2在(0,1]上恒成立．而1＋1x2在(0,1]上的最小值为2，又a ∈R *，∴0＜a ≤2为所求． (2)由(1)知：①当0＜a ≤2时，f (x )在(0,1]上是增函数． ∴[f (x )]max ＝f (1)＝(1－2)a ＋1； ②当a ＞2时，令f ′(x )＝0，得x ＝ 1a 2－1∈(0,1]． ∵0＜x ＜ 1a 2－1时，f ′(x )＞0； ∵1a 2－1＜x ≤1时，f ′(x )＜0. ∴[f (x )]max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1＝a －a 2－1. 综上，当0＜a ≤2时，[f (x )]max ＝(1－2)a ＋1；当a ＞2时，[f (x )]max ＝a －a 2－1.。

高二下数学第一章导数及其应用单元检测(含答案)

阶段质量检测：导数及其应用(时间： 120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 2．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0， π2上的极大值点为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π23．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．若函数()ln f x x a x=+不是单调函数,则实数a 的取值范围是（）．A ．[)0,+∞B ．(],0-∞C ．(),0-∞D ．()0,+∞5．若e x ≥k ＋x 在R 上恒成立，则实数k 的取值范围为( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．[－1，＋∞)6．若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，103 B.⎣⎡⎭⎫2，103 C.⎝⎛⎭⎫103，174 D.⎝⎛⎭⎫2，174 7．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－310，67B.⎝⎛⎭⎫－85，－316C.⎝⎛⎭⎫－83，－116D.⎝⎛⎭⎫－∞，－310∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞ 8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )9．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( ) A ．6千台 B ．7千台 C ．8千台D ．9千台10．.已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( )A.4f (1)<f (2)B.4f (1)>f (2)C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)11．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3 ·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a >b >cB.c >b >aC.a >c >bD.c >a >b12．若函数f (x )＝sin xx ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝21sin x x ，12sin b x x =，则a ，b 的大小关系是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 的大小不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.14．若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．15．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．16．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17． (本小题满分12分)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． (1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点．18． (2021·百师联盟考试)设函数f (x )＝ln x ＋ax(a 为常数).(2)不等式f(x)≥1在x∈(0，1]上恒成立，求实数a的取值范围.19．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．20．(本小题满分12分) (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝e x＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥12x3＋1，求a的取值范围.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x＋ax＋1(a∈R).(2)若函数f (x )的图象与x 轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2.22． (本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．参考答案1.【解析】选A y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 2.答案：B3.【解析】选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．4.【答案】C【解析】由题意知0x >,()1af x x'=+,要使函数()ln f x x a x =+不是单调函数,则需方程10ax+=在0x >上有解,即x a =-,所以0a <,故选C ． 5.解析：选A 由e x ≥k ＋x ，得k ≤e x －x . 令f (x )＝e x －x ，∴f ′(x )＝e x －1. 当f ′(x )<0时，解得x <0，当f ′(x )>0时，解得x >0.∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．∴f (x )min ＝f (0)＝1. ∴实数k 的取值范围为(－∞，1]．故选A.6.解析：选D 因为f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有极值点可化为f ′(x )＝x 2－ax ＋1＝0在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有解，即a ＝x ＋1x 在区间⎝⎛⎭⎫13，4上有解，设t (x )＝x ＋1x ，则t ′(x )＝1－1x 2，令t ′(x )>0，得1<x <4，令t ′(x )<0，得13<x <1.所以t (x )在(1,4)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减．所以t (x )min ＝t (1)＝2，又t ⎝⎛⎭⎫13＝103，t (4)＝174，所以a ∈⎝⎛⎭⎫2，174. 7.【解析】选D f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝⎛⎭⎫103a ＋1⎝⎛⎭⎫－76a ＋1<0，解得a <－310或a >67. 故选D. 8.【解析】选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.9.【解析】选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)，f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值．10.答案 B【解析】设函数g (x )＝f （x ）x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′（x ）－2xf （x ）x 4＝xf ′（x ）－2f （x ）x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，因此g (1)>g (2)，即f （1）12>f （2）22，所以4f (1)>f (2). 11.答案 D【解析】设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，又当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，∴x <0时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，0)上单调递减.由y ＝f (x )在R 上为奇函数，知g (x )在R 上为偶函数，∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴c ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319＝g (－2)＝g (2)，又0<log π3<1<30.3<3<2， ∴g (log π3)<g (30.3)<g (2)，即b <a <c .12.【解析】选A f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，令g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x ＋cos x－cos x ＝－x sin x .∵0<x <1，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在(0,1)上是减函数，得g (x )<g (0)＝0，故f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上是减函数，由0<x 1<x 2<1得12211212sin sin ,sin sin x x x x x x x x >∴>,a >b ，故选A. 13.【解析】f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝23. 答案：2314.【解析】对函数求导得f ′(x )＝x －1＋a ⎝⎛⎭⎫1－1x ＝(x ＋a )(x －1)x ，x >0，因为函数存在唯一的极值，所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故x ＝1是唯一的极值点，此时－a ≤0，且f (1)＝－12＋a ≥1，所以a ≥32.答案 ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 15.【解析】f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]16.【解析】f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，因为f ′(x )＝1＋cos x≥0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，∵π2>π－2>1>π－3>0，∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b .答案：c <a <b17.【解析】(1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2.当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时， g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点．当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0，故1不是g (x )的极值点．所以g (x )的极值点为－2. 18.【解析】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －ax 2，当a ≤0时，又x >0，∴x －a >0，∴f ′(x )>0， ∴f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，若x >a ，则f ′(x )>0，∴f (x )单调递增；若0<x <a ，则f ′(x )<0，∴f (x )单调递减.综上可知：当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数；当a >0时，f (x )在区间(0，a )上是减函数，在区间(a ，＋∞)上是增函数. (2)f (x )≥1⇔a x ＋ln x ≥1⇔ax ≥－ln x ＋1⇔a ≥ －x ln x ＋x 对任意x ∈(0，1]恒成立. 令g (x )＝－x ln x ＋x ，x ∈(0，1].则g ′(x )＝－ln x －x ·1x ＋1＝－ln x ≥0，x ∈(0，1]， ∴g (x )在(0，1]上单调递增，∴g (x )max ＝g (1)＝1， ∴a ≥1，故a 的取值范围为[1，＋∞).19.【解析】(1)由投资额为零时收益为零，可知f (0)＝－a ＋2＝0，g (0)＝6ln b ＝0，解得a ＝2，b ＝1.(2)由(1)可得f (x )＝2x ，g (x )＝6ln(x ＋1)．设投入经销B 商品的资金为x 万元(0＜x ≤5)，则投入经销A 商品的资金为(5－x )万元，设所获得的收益为S (x )万元，则S (x )＝2(5－x )＋6ln(x ＋1)＝6ln(x ＋1)－2x ＋10(0＜x ≤5)．S ′(x )＝6x ＋1－2，令S ′(x )＝0，得x ＝2.当0＜x ＜2时，S ′(x )＞0，函数S (x )单调递增；当2＜x ≤5时，S ′(x )＜0，函数S (x )单调递减．所以当x ＝2时，函数S (x )取得最大值， S (x )max ＝S (2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．所以，当投入经销A 商品3万元，B 商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．20.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x ＋x 2－x ，x ∈R ，f ′(x )＝e x ＋2x －1.故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增. (2)由f (x )≥12x 3＋1得，e x ＋ax 2－x ≥12x 3＋1，其中x ≥0， ①当x ＝0时，不等式为1≥1，显然成立，此时a ∈R .②当x >0时，分离参数a ，得a ≥－e x －12x 3－x －1x 2，记g (x )＝－e x －12x 3－x －1x 2，g ′(x )＝－（x －2）⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12x 2－x －1x 3.令h (x )＝e x－12x 2－x －1(x >0)，则h ′(x )＝e x －x －1，令H (x )＝e x －x －1，H ′(x )＝e x －1>0，故h ′(x )在(0，＋∞)上是增函数，因此h ′(x )>h ′(0)＝0，故函数h (x )在(0，＋∞)上递增，∴h (x )>h (0)＝0，即e x －12x 2－x －1>0恒成立，故当x ∈(0，2)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减.因此，g (x )max ＝g (2)＝7－e 24，综上可得，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－e 24，＋∞. 21.【解析】(1) 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋a ＝ax ＋1x .当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a .若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，f ′(x )>0，f (x )单调递增；若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，f ′(x )<0，f (x )单调递减.综上所述：当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减.(2)证明由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不满足条件. 所以a <0，此时f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－ln(－a )，由已知得－ln(－a )＝0，故a ＝－1，此时f (x )＝ln x －x ＋1.不妨设0<x 1<x 2，则f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2等价于ln x 2x 1<x 2x 1－x 1x 2＋x 2－x 1，即证：ln x 2x 1－x 2x 1＋x 1x 2<x 2－x 1.令g (x )＝ln x －x ＋1x (x >1)，则g ′(x )＝1x －1－1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34x 2<0，故g (x )在(1，＋∞)单调递减，所以g (x )<g (1)＝0<x 2－x 1.所以对于任意互不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<1x 1＋1x 2成立.22.【解析】(1)由f (x )≥h (x )，得m ≤xln x 在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝xln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2，当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增．故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e.所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a .函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点．φ′(x )＝1－2x ＝x －2x ，当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减，当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3，要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点，则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．。

高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)第五章一元函数的导数及其应用单元检测B(解析版)

最新高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典第五章一元函数的导数及其应用单元检测B 详细解析版学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1．已知函数()y xf x =‘的图象如图所示,下面四个图象中()y f x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详细解析】【分析】根据函数y ＝xf ′ （x ）的图象,依次判断f （x ）在区间（﹣∞,﹣1）, （﹣1,0）, （0,1）, （1,+∞）上的单调性即可【详解】由函数y ＝xf ′ （x ）的图象可知:当x ＜﹣1时,xf ′ （x ）＜0,f ′ （x ）＞0,此时f （x ）增,当﹣1＜x ＜0时,xf ′ （x ）＞0,f ′ （x ）＜0,此时f （x ）减, 当0＜x ＜1时,xf ′ （x ）＜0,f ′ （x ）＜0,此时f （x ）减, 当x ＞1时,xf ′ （x ）＞0,f ′ （x ）＞0,此时f （x ）增．故选C ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查函数的图象问题．属于基础题． 2．若函数()cos 2()6f x x xf π=+',则()3f π-与()3f π的大小关系是（） A ．()()33f f ππ-=B ．()()33f f ππ-< C ．()()33f f ππ->D ．不确定【答案】B 【详细解析】【分析】先对函数求导,求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭',进而可判断出函数()f x 单调性,得出结果. 【详解】因为()cos 26f x x xf π'⎛⎫=+⎪⎝⎭, 所以()sin 26f x x f π⎛⎫=-+⎪⎝'⎭',故sin 2666f f πππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭',解得162f π⎛⎫= ⎪⎭'⎝, 所以()sin 10f x x =+'-≥,因此,函数()cos f x x x =+单调递增;故 33f f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选B 【点睛】本题主要考查导数的计算以及导数的应用,熟记导数计算公式、以及导数方法判断函数单调性即可,属于常考题型.3．设直线x t =与函数()22f x x =,()ln g x x =的图象分别交于点M ,N ,则当MN 达到最小时t的值为（）A ．1B ．12C D 【答案】B 【详细解析】【分析】将()()f x g x -,构建新函数()h x ,对新函数进行求导,分析单调性,求出极小值,则可求得MN 达到最小值时候t 的值. 【详解】令2()()()2ln h x f x g x x x =-=-,故MN 的最小值即为()h x 的最小值,∴对()h x 求导有:1()4h x x x'=-, 令()0h x '=有:12x =,∴()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增, ∴12t =, 故选:B 【点睛】本题需要学生构建新函数,将原题中两函数间的最小值问题,转化为新函数的最小值问题,考查了学生对运用导数处理函数最值问题的能力.需要有较强的转化化归思想,为容易题.4．著名数学家华罗庚先生曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,经常用函数的图象来研究函数的性质,也经常用函数的详细解析式来琢磨函数的图象的特征,已知函数()y f x =,[]2,2x ππ∈-的部分图像如图所示 ,则()f x 的详细解析式可能为（）A ．3sin 2()e x x x f x +=B ．()3()sin 2xf x x xe=+C ．3sin 2()exx x f x += D ．()3()sin 2e xf x x x=+【答案】C 【详细解析】【分析】首先观察图象,可知其关于原点对称,得到函数()f x 为奇函数,从而排除A ,D ;之后再利用图象的变化趋势,可以排除B ,得出正确选项. 【详解】由已知,图象关于原点对称,故函数()f x 为奇函数,排除A ,D ; 又因为随着自变量的增大,函数值趋近于0,排除B 选项, 故选:C. 【点睛】该题考查的是有关根据函数图象选择函数详细解析式的问题,涉及到的知识点有观察函数图象的对称性,得到与其对应的奇偶性,观察函数详细解析式,排除不正确的选项,结合随着自变量的增大,函数值的变化趋势排除不正确选项,求得结果,在选择过程中,注意全局看图,属于中档题目. 5．曲线2ln y x =上的点到直线230x y -+=的最短距离为（）AB．C． D ．2【答案】A 【详细解析】【分析】设与直线230x y -+=平行且与曲线2ln y x =相切的直线方程为20x y m -+=.设切点为()00,P x y ,利用导数的几何意义求得切点P ,再利用点到直线的距离公式即可得出结果.【详解】设与直线230x y -+=平行且与曲线2ln y x =相切的直线方程为20x y m -+=. 设切点为()00,P x y ,对函数2ln y x =求导得2y x'=, 由022x =,可得01x =,则02ln10y ==,所以,切点为()1,0P .则点P 到直线230x y -+=的距离d ==∴曲线2ln y x =上的点到直线230x y -+=故选:A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义和两条平行线之间的距离、点到直线的距离公式,属于中档题.6．若曲线()ln f x x =在()()1,1f 处的切线也是曲线()32g x x x a =--的切线,则a = （）A ．1-B ．1C ．1-或3D ．3【答案】C 【详细解析】【分析】根据导数的几何意义求出曲线()f x 在()()1,1f 处的切线,将切线斜率代入到()g x '中,求出切点坐标,根据切点在曲线上可得a 的值. 【详解】由()ln f x x =得()10f =,()1f x x'=,故()11f '=, 故切线方程为1y x =-.由()32g x x x a =--得()232g x x '=-.令()2321g x x '=-=,解得1x =±.代入切线方程1y x =-,求得切点为()1,0或()1,2--.将切点坐标代入()32g x x x a =--,求得1a =-或3a =.故选:C.7．已知函数3()2f x x ax a =++.过点(1,0)M -引曲线:()C y f x =的两条切线,这两条切线与y 轴分别交于A ,B 两点,若||||MA MB =,则()f x 的极大值点为（）A ．4-B ．4C ．D 【答案】A 【详细解析】【分析】设切点的横坐标为t ,利用切点与点M 连线的斜率等于曲线C 在切点处切线的斜率,利用导数建立有关t 的方程,得出t 的值,再由MA MB =得出两切线的斜率之和为零,于此得出a 的值,再利用导数求出函数()y f x =的极大值点．【详解】设切点坐标为()3,2t t at a ++,∵26y x a '=+,∴32261t at at a t +++=+,即32460t t +=,解得0t =或32t =-.∵MA MB =,∴3020x x y y ==-''+=,即232602a ⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭,则274a =-,()22764f x x -'=.当4x <-或4x >时,()0f x '>;当x <<时,()0f x '<.故()f x 的极大值点为4-.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查利用导数求函数的极值点,在处理过点作函数的切线时,一般要设切点坐标,利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率,考查计算能力,属于中等题．8．已知函数()f x =.则下列结论中错误的是（）A ．()f x 的极值点不止一个B ．()f x 的最小值为C ．()f x 的图象关于y 轴对称D ．()f x 在(],0-∞上单调递减【答案】A 【详细解析】【分析】判断函数的值域以及函数的单调性,求解函数的极值,函数的奇偶性、对称性,即可得到结果. 【详解】因为()2222424f x x x =++=++()0f x >,所以()f x =则当0x ≥时,()f x 单调递增, 当0x ≤时,()f x 单调递减,所以()()min 0f x f ==,且()f x 只有一个极值点. 因为()()f x f x -=,所以()f x 是偶函数,其图象关于y 轴对称. 所以选项BCD 正确,选项A 错误, 故选:A 【点睛】本题主要考查了函数的图象和性质,函数的关系式,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题.二、多选题9．函数()f x 在定义域R 内可导,若()(2)f x f x =-,且(1)()0x f x '-<,若1(0),,(3)2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则a ,b ,c 的大小关系正确的有（）A ．b a >B ．c b >C ．b c >D ．c a >【答案】AC 【详细解析】【分析】确定函数关于1x =对称,再确定函数的单调性,综合两者判断大小得到答案. 【详解】由()()2f x f x =-得()()11f x f x +=-,则函数关于1x =对称, 当1x >时,由()()10x f x '-<得()0f x '<,函数单调递减; 当1x <时,由()()10x f x '-<得()0f x '>,函数单调递增.又()()02a f f ==,1322b f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()3c f =,故b a c >>. 故选:AC. 【点睛】本题考查导数的方法判定函数单调性,利用函数的单调性和对称性判断函数值的大小关系,意在考查学生对于函数性质的综合应用能力,属于常考题型.10．已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠有两个互异的极值点()1212,x x x x <,下列说话正确的是（） A ．230b ac ->B ．有三个零点的充要条件是12()()0f x f x <C ．0a >时,()f x 在区间12(,)x x 上单调递减D ．0a <时,1()f x 为极大值,2()f x 为极小值【答案】ABC 【详细解析】【分析】求导2()32f x ax bx c '=++,根据()f x 有两个互异的极值点()1212,x x x x <逐项验证.【详解】因为函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠,所以2()32f x ax bx c '=++,因为()f x 有两个互异的极值点()1212,x x x x <, 所以()()22212430b ac b ac ∆=-=->,故A 正确;所以若()f x 有三个零点则12()()0f x f x <,故B 正确;当0a >时,2()32f x ax bx c '=++开口向上,则12(,)x x x ∈时,()0f x '<,所以()f x 区间12(,)x x 上单调递减,故C 正确;当0a <时,当1x x <或2x x >时,()0f x '<,当12x x x <<时,()0f x '>,所以1()f x 为极小值,2()f x 为极大值,故D 错误;故选:ABC 【点睛】本题主要考查导数与函数的极值,导数与函数的零点,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 11．若存在m ,使得()f x m ≥对任意x D ∈恒成立,则函数()f x 在D 上有下界,其中m 为函数()f x 的一个下界;若存在M ,使得()f x M ≤对任意x D ∈恒成立,则函数()f x 在D 上有上界,其中M 为函数()f x 的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是（）A ．2是函数()()10f x x x x=+>的一个下界 B ．函数()ln f x x x =有下界,无上界C ．函数()2xe f x x=有上界,无下界D ．函数()2sin 1xf x x =+有界【答案】ABD 【详细解析】【分析】由基本不等式可判断A ;利用导数可确定()1f x e ≥-,即可判断B ;由()20xe f x x=>恒成立即可判断C ;利用放缩法即可判断D. 【详解】对于A ,当0x >时,12x x +≥=,当且仅当1x =时取等号, ()2f x ∴≥恒成立,2∴是()f x 的一个下界,故A 正确;对于B ,因为()()ln 10f x x x '=+>,∴当()10,x e -∈时,()0f x '<;()1,x e -∈+∞时,()0f x '>,()f x ∴在()10,e -上单调递减,在()1,e -+∞上单调递增,()()11f x f e e-∴≥=-,()f x ∴有下界,又x →+∞时,()f x →+∞,()f x ∴无上界,故B 正确;对于C ,20x >,0xe >,()20xe f x x∴=>恒成立,()f x ∴有下界,故C 错误;对于D ,[]sin 1,1x ∈-,2221sin 1111x x x x -∴≤≤+++, 又2111x -≥-+,2111x ≤+,2sin 111xx ∴-≤≤+,()f x ∴既有上界又有下界,即()f x 有界,故D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题考查了函数新定义的应用,关键是明确新定义运算实际考查了函数值域的求解问题,涉及到利用导数来求解函数的单调区间和最值,属于中档题.12．如图,在四面体ABCD 中,点1B ,1C ,1D 分别在棱AB ,AC ,AD 上,且平面111//B C D 平面BCD ,1A 为BCD ∆内一点,记三棱锥1111A B C D -的体积为V ,设1AD x AD=,对于函数()V f x =,则下列结论正确的是（）A ．当23x =时,函数()f x 取到最大值 B ．函数()f x 在2(,1)3上是减函数C ．函数()f x 的图象关于直线12x =对称 D ．不存在0x ,使得01()4A BCD f x V ->(其中A BCD V -为四面体ABCD 的体积). 【答案】ABD 【详细解析】【分析】由题意可知111B C D BCD ∽,设0A BCD V V -=,则111120()(1)A B B D V f x x x V -==-.利用导数性质求出当23x =时,函数()f x 取到最大值. 【详解】在四面体ABCD 中,点1B ,1C ,1D 分别在棱AB ,AC ,AD 上, 且平面111//B C D 平面BCD ,∴由题意可知111B C D BCD ∽,111C D AD x CD AD==,∴1112B C D BCD S x S ∆=. 棱锥1111A B C D - 与棱锥A BCD - 的高之比为1x -.设0A BCD V V -=,∴111120()(1)A B C D V f x x x V -==-. 200()23f x xV x V ∴'=-,当()0f x '>时,203x <<,当()0f x '<时,23x >, ∴当23x =时,函数()f x 取到最大值.故A 正确; 函数在函数()f x 在2(,1)3上是减函数,故B 正确;函数()f x 的图像不关于直线12x =对称,故C 错误; 22224()()(1)33327A BCD A BCD f V V --=-=, ∴不存在0x ,使得01()4A BCD f x V ->(其中A BCD V -为四面体ABCD 的体积).故D 正确.故选:ABD . 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用,利用导数研究几何体体积最值问题,属于中档题三、填空题13．设()f x 存在导函数且满足()()112lim 12x f f x x∆→--∆=-∆,则曲线()y f x =上的点()()1,1f 处的切线的斜率为______________. 【答案】1- 【详细解析】【分析】根据导数的定义和几何意义即可得到答案. 【详解】由题知:()()()0112lim112∆→--∆'==-∆x f f x f x,所以曲线()y f x =上的点()()1,1f 处的切线的斜率为1-. 故答案为:1-【点睛】本题主要考查导数的定义和几何意义,属于简单题.14．在ABC 中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边,若函数32221()()13f x x bx a c ac x =+++-+有极值点,则B 的范围是__________．【答案】,3π⎛⎫π⎪⎝⎭【详细解析】【分析】【详解】由题意222'()2()f x x bx a c ac =+++-有两个不等实根,所以22244()0b a c ac ∆=-+->,222a c b ac +-<,所以2221cos 22a cb B ac +-=<,所以3B ππ<<．故答案为:,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】对定义域内的可导函数来讲,导函数'()f x 的零点是函数极值点的必要条件,只有在0x 的两侧'()f x 的符号正好相反,0x 都是极值点．本题中导函数'()f x 是二次函数,因此要使得'()f x 的零点为()f x 的极值点,只要求相应二次方程有两个不等实根即可．15．对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠,给出定义:设()f x '是函数()y f x =的导数,()f x ''是()f x '的导数,若方程()f x ''=0有实数解0x ,则称点(0x ,0()f x )为函数()y f x =的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数321()232g x x x =-+,则12320192020202020202020g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=__________. 【答案】0 【详细解析】【分析】由题意对已知函数进行二次求导,得出函数关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,即()1()0g x g x -+=,有次即可得到结果. 【详解】由321()232g x x x =-+可得2()66g x x x '=-,()126g x x ''=-,令()1260g x x ''=-=解得12x =,321111()23=02222g ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由题意可得函数321()232g x x x =-+关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,所以()1()0g x g x -+=,所以12320192020202020202020g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12019220181020202020202020202g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为:0 【点睛】本题主要考查导函数的求法,以及中心对称问题,解题的关键是找出中心对称的对称中心,考查学生的综合分析能力.16．如图,在矩形OABC 与扇形OCD 拼接而成的平面图形中,3OA =,5AB =,6COD π∠=,点E在弧CD 上,F 在AB 上,3EOF π∠=.设FOC x ∠=,则当平面区域OECBF （阴影部分）的面积取到最大值时cos x =__________【答案】45【详细解析】【分析】先将阴影部分的面积表示为251915(25)62tan x x π+-+,9()25tan h x x x=+,只需求使得()h x 取最小值的0x 即可得到答案. 【详解】由已知,0[,]3x πθ∈,03tan 5θ=,易得扇形EOC 的面积为212525()52362x x ππ⨯-⨯=-,四边形OCBF 的面积为133532tan x⨯-⨯⨯,故阴影部分的面积为 251915(25)62tan x x π+-+,设9()25tan h x x x =+,则22'29sin 9cos ()25sin x x h x x --=+= 2(4sin 3cos )(4sin 3cos )sin x x x x x +-,令'()0h x =,得33tan [45x =∈,记其解为0x , 并且()h x 在00[,]x θ上单调递减,在0[,]3x π单调递增,所以()h x 得最小值为0()h x ,阴影部分的面积最大值为25156π+-0()h x ,此时03tan 4x =,04cos cos 5x x ===. 故答案为:45. 【点睛】本题考查三角函数在平面几何中的应用,涉及到利用导数求函数的最值,考查学生的运算求解能力,是一道有一定难度的题.四、解答题17．已知二次函数()22f x x x =+.（1）求()f x 在点()()11f ，处的切线方程; （2）讨论函数()()()ln 1g x f x a x =++的单调性【答案】（1）410x y --=; （2）答案见详细解析.【详细解析】【分析】（1）对函数()f x 求导,根据导数的几何意义,先求出切线斜率,进而可得切线方程;（2）先对()g x 求导,分别讨论0a ≥,0a <两种情况,根据导数的方法研究函数单调性,即可得出结果.【详解】（1）由()22f x x x =+得()22f x x '=+,则()f x 在点()()11f ，处的切线斜率为()14k f '==, 又()13f =,所以()f x 在点()()11f ，处的切线方程为()341y x -=-,即410x y --=; （2）因为()()()22ln 11g x x x a x x =+++>-所以()()2212211x aa g x x x x ++=++='++当0a ≥时,()g x '在()1,-+∞上恒正; 所以()g x 在()1,-+∞上单调递增当0a <时,由()0g x '=得1x =-+所以当1,1x ⎛∈--+ ⎝时,()0g x '<,()g x 单调递减;当1x ⎛⎫∈-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭时,()0g x '>,()g x 单调递增; 综上所述,当0a ≥时,()g x 在()1,-+∞上单调递增;当0a <时,当1,1x ⎛∈-- ⎝时,()g x 单调递减; 当1x ⎛⎫∈-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭时,()g x 单调递增. 【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程,考查导数的方法求函数单调性,属于常考题型. 18．如图,某市地铁施工队在自点M 向点N 直线掘进的过程中,因发现一地下古城(如图中正方形ABCD 所示区域)而被迫改道.原定的改道计划为:以M 点向南,N 点向西的交汇点O 为圆心,OM为半径做圆弧MN ,将MN 作为新的线路,但由于弧线施工难度大,于是又决定自P 点起,改为直道PN .已知3ON OM ==千米,点A 到OM ,ON 的距离分别为12千米和1千米,//AB ON ,且1AB =千米,记PON θ∠=.（1）求sin θ的取值范围;（2）已知弧形线路MP 的造价与弧长成正比,比例系数为3a ,直道PN 的造价与长度的平方成正比,比例系数为a ,当θ为多少时,总造价最少?【答案】（1）240,25⎛⎫ ⎪⎝⎭; （2）当θ为π6时,总造价最少. 【详细解析】【分析】（1）以O 为原点,ON 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,根据题意,求出直线CN 的方程,MN 所在圆的方程,联立直线与圆的方程,求出交点C 的坐标,当PN 过点C 时,求出sin θ,结合图形,即可得出结果;（2）先由题意,得到MP 的长为32πθ⎛⎫-⎪⎝⎭,设(3cos ,3sin )P θθ,得出()33(1818cos )2f a a πθθθ⎛⎫=⨯-+- ⎪⎝⎭,0(0,)θθ∈,024sin 25θ=,用导数的方法求出其最小值即可. 【详解】（1）以O 为原点,ON 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则(3,0)N ,1,12A ⎛⎫⎪⎝⎭,3,22C ⎛⎫⎪⎝⎭,所以直线CN 的方程为4(3)3y x =--, MN 所在圆的方程为229x y +=,联立224(3),39,y x x y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩解得21,2572,25x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 当PN 过点C 时,21,252725P ⎛⎫⎪⎝⎭,24sin 25θ=,所以sin θ的取值范围是240,25⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）由题意,MP 的长为32πθ⎛⎫-⎪⎝⎭,设(3cos ,3sin )P θθ, 则222(3cos 3)(3sin )1818cos PN θθθ=-+=-,所以总造价()33(1818cos )2f a a πθθθ⎛⎫=⨯-+-⎪⎝⎭918918cos 2a πθθ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭,0(0,)θθ∈,024sin 25θ=,所以()(18sin 9)f a θθ'=-,令()0f θ'=得,124sin 0,225θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,所以π6θ=,列表如下:所以当6θ=时,()f θ有极小值,也是最小值. 答:当θ为π6时,总造价最少. 【点睛】本题主要考查导数的应用,熟记导数的方法求函数的最值即可,属于常考题型. 19．已知函数()()211ln ,.2f x x a x a x a R =+--∈ （1）若()f x 存在极值点1,求a 的值;（2）若()f x 存在两个不同的零点12,x x ,求证:12 2.x x +> 【答案】(1) 1a =;(2) 见详细解析. 【详细解析】【分析】【详解】试题分析: （1）由()f x 存在极值点为1,得()10f '=,可解得a.(2)是典型的极值点偏移问题,先证明()()()20h x f a x f x =-->,再利用()f x 在()0,a 上的单调性,即可得证.试题详细解析:(1) ()1af x x a x'=+--,因为()f x 存在极值点为1,所以()10f '=,即220,1a a -==,经检验符合题意,所以1a =.(2) ()()111(0)a a f x x a x x x x ⎛⎫=+--=+-> ⎪⎝⎭' ①当0a ≤时,()0f x '>恒成立,所以()f x 在()0,∞+上为增函数,不符合题意; ②当0a >时,由()0f x '=得x a =, 当x a >时,()0f x '>,所以()f x 为增函数, 当0x a <<时,()0f x '<,所()f x 为减函数, 所以当x a =时,()f x 取得极小值()f a又因为()f x 存在两个不同零点12,x x ,所以()0f a <,即()211ln 02a a a a a +--< 整理得1ln 12a a >-, 作()y f x =关于直线x a =的对称曲线()()2g x f a x =-, 令()()()()()2222lna xh x g x f x f a x f x a x a x-=-=--=-- ()()()2222222202a a h x a x x x a a=-+=-+--+'≥-所以()h x 在()0,2a 上单调递增,不妨设122x a x a <<<,则()()20h x h a >=, 即()()()()22212g x f a x f x f x =->=,又因为()()2120,,0,,a x a x a -∈∈且()f x 在()0,a 上为减函数, 故212a x x -<,即122x x a +>,又1ln 12a a >-,易知1a >成立, 故122x x +>.点晴:本题主要考查导数在函数中的应用,具体涉及到函数的极值,函数的极值点偏移问题.第一问中()f x 存在极值点1,所以()10f '=,解得1a =;第二问处理极值点问题有两个关键步骤:一是在(),2a a 构造函数()()()2h x f a x f x =--证明其大于于0恒成立,二是利用()f x 在()0,a 上为减函数 ,两者结合即可证明结论成立.20．已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性;（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >,求证:()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 【答案】（1）答案不唯一,具体见详细解析; （2）证明见详细解析. 【详细解析】【分析】（1）求出导函数,根据二次函数的∆与0的关系来分类讨论函数的单调性,并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系;（2）由()1212,x x x x <是两个极值点得到对应的韦达定理形式,然后利用条件将()()21f x f x -转变为关于12x x ，函数,再运用12x x ，的关系将不等式转化为证22212ln 0x x x -->,构造函数1()2ln (1)g x x x x x=-->,分析函数()g x 的单调性,得出最值,不等式可得证. 【详解】（1）解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞,()2'212()22x ax f x x a x x-+=-+=,则24a ∆=-. ①当0a ≤时,对(0,),()0x f x '∀∈+∞>,所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;②当02a <≤时,0∆≤,所以对(0,),()0x f x '∀∈+∞≥,所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;③当2a >时,令()0f x '>,得02a x -<<或x >,所以函数()f x在⎛ ⎝⎭,⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增; 令'()0f x <,x <<,所以()f x在⎝⎭上单调递减. （2）证明:由（1）知2a >且1212,1,x x a x x +=⎧⎨=⎩,所以1201x x <<<.又由()()()()222122211122ln 22ln f x f x x ax x x ax x -=-+--+()()()()()()22222222221212121212111122ln22ln 2ln x x x x x a x x x x x x x x x x x x x =---+=--+-+=--+. 又因为()()()()()()()()222121212121212121(2)222a x x x x a x x x x x x x x x x x x --=---=--+-=---.所以要证()()()2121(2)f x f x a x x -<--,只需证()22112ln2x x x x <-. 因为121=x x ,所以只需证22221ln x x x <-,即证22212ln 0x x x -->.令1()2ln (1)g x x x x x =-->,则2'2121()110g x x x x ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭,所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递增,所以对1,()(1)0x g x g ∀>>=.所以22212ln 0x x x -->. 所以若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >,则()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用,属于较难题.导数中通过双极值点求解最值或证明不等式时,可通过双极值点对应的等式将待求的式子或待证明的式子转变为关于同一变量（注意变量的范围）的式子,然后通过构造新函数,分析新函数的单调性后从而达到求解最值或证明不等式的目的. 21．已知函数()ln 1,f x x ax a R =-+∈. （1）求函数()f x 的单调区间;（2）若不等式()0f x ≤恒成立,求实数a 的取值范围;（3）当*n N ∈时,求证:111111ln(1)123123+++<+<+++++n n n. 【答案】（1）答案见详细解析; （2）1a ≥; （3）证明见详细解析. 【详细解析】【分析】（1）对函数求导,然后分0a ≤,0a >两种情况,由导函数的正负可求得其单调区; （2）利用导数求()f x 的最大值小于零即可,或()ln 10f x x ax =-+≤恒成立,等价于ln 1x a x+≥,0x >,然后构造函数ln 1()x g x x+=,利用导数求其最大值即可; （3）由(2)知,当1a =时,()0f x ≤恒成立,即ln 1≤-x x (仅当1x =时等号成立),当*1,k x k N k +=∈时,有11ln k k k +<,然后利用累加法可得111ln(1)123n n +<+++…+,当*,1k x k N k =∈+时,有11ln 1k k k +>+,再利用累加法可得1111ln(1)2341n n +>+++…+,从而可证得结论【详解】（1）()ln 1,0f x x ax x =-+>，1()f x a x'=- ①当0a ≤时,()0f x '≥,所以()f x 在(0,)+∞上递增;②当0a >时,令()0f x '=,则1x a=, 当10x a <<时,()0f x '>;当1x a>时,()0f x '<, 所以()f x 在区间1(0,)a上递增,在1(,)a+∞上递减.（2）方法1:构造函数()ln 1,0f x x ax x =-+>，1()f x a x'=- ①当0a ≤时,由（1）()f x 在(0,)+∞上递增,又(1)10f a =->,不符合题意,舍;②当0a >时,由（1）知()f x 在区间1(0,)a 上递增,在1(,)a+∞上递减;所以max 11()()ln()0f x f a a==≤,解得:1a ≥. 综上:1a ≥ 方法2:分离参数()ln 10f x x ax =-+≤恒成立,等价于ln 1x a x+≥,0x > 设ln 1()x g x x +=,0x >,2ln ()xg x x-'=,令()0g x '=,1x =,则当01x <<时,()0g x '>;当1x >时,()0g x '<,所以()g x 在区间(0,1)上递增,在(1,)+∞上递减;所以max ()(1)1g x g ==,所以:1a ≥（3）由(2)知,当1a =时,()0f x ≤恒成立,即ln 1≤-x x (仅当1x =时等号成立)①当*1,k x k N k +=∈时,11ln 1k k k k ++<-,即11ln k k k+<; 所以,2ln11<,31ln 22<,41ln 33<,……,11ln n n n+<; 上述不等式相加可得:2341111lnln ln ln112323n n n+++++<+++…+, 即:2341111ln112323n n n+⋅⋅<+++…+, 即:111ln(1)123n n+<+++…+,*n N ∈; ②当*,1k x k N k =∈+时,ln 111k k k k <-++,即111ln 1k k k -+⎛⎫<- ⎪+⎝⎭,即11ln 1k k k +>+ 所以,21ln12>,31ln 23>,41ln 34>,……,11ln 1n n n +>+;上述不等式相加可得:23411111lnln ln ln1232341n n n +++++>+++…+, 即:23411111ln1232341n n n +⋅⋅>+++…+, 即:1111ln(1)2341n n +>+++…+,*n N ∈; 综上:当*n N ∈时,111111ln(1)123123+++<+<+++++n n n. 【点睛】此题考查导数的应用,考查利用导数求函数的单调区间,利用导数解决恒成立问题,考查累加法的应用,考查转化思想和计算能力,属于难题 22．已知函数()21cos sin 4f x x x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数. （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()2sin f x ax x ≥-恒成立,求a 的取值范围;（2）证明:函数()()2cos g x f x x '=+在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点. 【答案】（1）14a ≤; （2）证明见详细解析. 【详细解析】【分析】（1）当0x =时,()0000f a =≥⨯-成立,当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,分离参数得cos 14x a x ≤+ 设()cos 14x p x x =+,利用导数求出()p x 的最小值,()min a p x ≤即可. （2）先求出()12cos sin 2g x x x x x =-+,()13sin cos 2g x x x x '=--+,再求导得()4cos sin g x x x x ''=-+,()5sin cos 0g x x x x '''=+>可得()4cos sin g x x x x ''=-+单调递增,多次利用零点存在定理,利用导函数的符号判断原函数的单调性即可求证. 【详解】（1）解:当0x =时,()0000f a =≥⨯-成立,当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,()2cos 1sin 4x f x ax x a x ≥-⇔≤+. 设()cos 14x p x x =+,0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,则()2sin cos x x x p x x --'=. ∵0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,∴()0p x '<,∴()p x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减,∴()min 124p x p π⎛⎫==⎪⎝⎭,∴14a ≤. （2）证明:∵()1sin 2f x x x x '=-+, ∴()12cos sin 2g x x x x x =-+,()13sin cos 2g x x x x '=--+.则()4cos sin g x x x x ''=-+, 则()5sin cos g x x x x '''=+.∵当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g x '''>, ∴()g x ''为增函数,且()040g ''=-<,022g ππ⎛⎫''=>⎪⎝⎭, ∴存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00g x ''=, ∴当()00,x x ∈时,()0g x ''<;当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g x ''>. ∴()g x '在()00,x 上单调递减,在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 又∵()1002g '=>,5022g π⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭,∴存在唯一的()000,t x ∈,使得()00g t '=,∴当()00,x t ∈时,()0g x '>;当0,2x t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g x '<. ∴()g x 在()00,t 上单调递增,在0,2t π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. ∵()020g =>,024g ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭, ∴存在唯一的00,2r t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00g r =, ∴()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点.【点睛】本题主要考查了恒成立问题,采用分离参数转化为求函数的最值,考查了函数的单调性与导数符号的关系,考查了零点存在定理,属于难题.。

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课时跟踪检测(五) 导数及其应用(限时50分钟)1．函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．无数个2．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1B ．12C ．－2D ．23．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于( )A ．1B ．2C ．0D ． 24．(2014·昆明调研)已知f ′(x )为函数f (x )＝x ＋1x 的导函数，则下列结论中正确的是( )A ．∃x 0∈R ，∀x ∈R 且x ≠0，f (x )≤f (x 0)B ．∃x 0∈R ，∀x ∈R 且x ≠0，f (x )≥f (x 0)C ．∃x 0∈R ，∀x ∈(x 0，＋∞)，f ′(x )＜0D ．∃x 0∈R ，∀x ∈(x 0，＋∞)，f ′(x )＞05．(2014·武汉调研)设函数f (x )＝x 3－4x ＋a,0＜a ＜2．若f (x )的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则( )A ．x 1＞－1B ．x 2＜0C ．x 2＞0D ．x 3＞26．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________． 7．若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________．8．当今，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足关系式y ＝10x －2＋4(x －6)2，其中2＜x ＜6．假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，则使网校每日销售套题所获得的利润最大时的销售价格x 的值为________．9．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________________．10．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．11．(2014·贵阳市适应性监测)已知函数f (x )＝12ax 2＋2x －ln x ．(1)当a ＝0时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，求实数a 的取值范围．12．(2014·保定调研)已知函数f (x )＝ln x ＋ax －a 2x 2(a ≥0)． (1)若x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，求a 的值； (2)若f (x )＜0在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围．答案1．选A 由题意，知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x .由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1的判别式 Δ＝－20<0，所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立．即f (x )在定义域上单调递增，无极值点． 2．选A ∵y ′＝－sin 2 x －(1＋cos x )·cos xsin 2x ＝－1－cos xsin 2 x，∴y ′|x ＝π2＝－1，由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.3．选B ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a2≥1，得a ≥2.又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.4．选D 令f ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x2＝0，得x ＝±1.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0；当x∈(－1,0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0.故当x ＞0时，f (x )≥2；当x ＜0时，f (x )≤－2，故函数在其定义域内没有最大值和最小值，故A ，B 错；函数在x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故C 错；当x 0≥1时满足题意，D 正确．5．选C 函数f (x )的零点就是函数g (x )＝4x －x 3的图象与直线y ＝a 的交点的横坐标．而g ′(x )＝4－3x 2，令g ′(x )＝0得x ＝±233，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－233，⎝⎛⎭⎫233，＋∞上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－233，233上单调递增，注意到0＜a ＜2，画图可得，x 1＜－233，0＜x 2＜233，x 3＞233，结合选项知应选C.6．解析：依题意得，y ′＝1x ln 2，曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线的斜率为1ln 2，该切线方程是y ＝1ln 2(x －1)，该切线与两坐标轴的交点坐标分别是(1,0)、⎝⎛⎭⎫0，－1ln 2，因此所求的三角形的面积等于12×1×1ln 2＝12log 2e.答案：12log 2e7．解析：∵f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a .又函数f (x )恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f ′(x )＝0的两根，∴a ＝－1×4＝－4.答案：－48．解析：由题意可知，每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)⎣⎡⎦⎤10x －2＋4(x －6)2＝4x 3－56x 2＋240x －278(2＜x ＜6)，则f ′(x )＝12x 2－112x ＋240，令f ′(x )＝0，得x ＝103或x ＝6，且在⎝⎛⎭⎫2，103上，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；在⎝⎛⎭⎫103，6上，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103时，函数f (x )取得最大值．答案：1039．解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .∴f ′(x )＝1x－ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x ＝－(ax ＋1)(x －1)x.①若a ≥0，当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ＞1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；所以x ＝1是f (x )的极大值点． ②若a ＜0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a.因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a＞1，解得－1＜a ＜0.综合①②得a 的取值范围是(－1，＋∞)．答案：(－1，＋∞) 10．解：(1)对f (x )求导得 f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5，因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.11．解：(1)由题意，知函数的定义域为(0，＋∞)，当a ＝0时，f (x )＝2x －ln x ，则f ′(x )＝2－1x(x ＞0)，∴当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝12时，f (x )的极小值为1＋ln 2，函数无极大值．(2)由已知f (x )＝12ax 2＋2x －ln x ，且x ＞0，则f ′(x )＝ax ＋2－1x ＝ax 2＋2x －1x.若a ＝0，由f ′(x )＞0得x ＞12，显然不合题意；若a ≠0，∵函数f (x )在⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，∴f ′(x )≥0在x ∈⎣⎡⎦⎤13，2 时恒成立，即不等式ax 2＋2x －1≥0在x ∈⎣⎡⎦⎤13，2 时恒成立，即a ≥1－2x x 2＝1x 2－2x ＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1恒成立，故a ≥⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1x －12－1max ，而当x ＝13时，函数⎝⎛⎭⎫1x －12－1的最大值为3， ∴实数a 的取值范围为[3，＋∞)． 12．解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x.因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0，解得a ＝－12(舍去)或a ＝1.经检验，当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以a ＝1. (2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域内不满足f (x )＜0；当a ＞0时，令f ′(x )＝(2ax ＋1)(－ax ＋1)x ＝0得，x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a，所以f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a＜0， ∴a ＞1.综上可得a 的取值范围是(1，＋∞)．。