函数的概念 (第二课时)
新课程《3.1 函数的概念及其表示》教学设计(2课时)
3.1.1 函数的概念1.通过丰富的买例进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型;2.用集合与对应的思想理解函数的概念;3.理解函数的三要素及函数符号的深刻含义;4.会求函数的定义域。
1.教学重点：函数的概念，函数的三要素；2.教学难点：函数的概念及符号()y f x =的理解。
一、函数的概念：设A 、B 是 的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：y=f(x) x ∈A ．x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)| x ∈A }叫做函数的 . 二、区间三、函数的三要素： 、 、 。
四、判断函数相等的方法： 、 。
一、复习回顾，温故知新1. 初中学习的函数的定义是什么？定义 名称 符号 数轴表示{|}x a x b ≤≤ 闭区间 [a,b] {|}x a x b << 开区间 (a,b) {|}x a x b ≤<半开半闭区间 [a,b){|}x a x b <≤ 半开半闭区间 (a,b] {|}x x a ≥ {|}x x a > {|}x x b < {|}x x b ≤2.回顾初中学过哪些函数？二、探索新知探究一函数的概念问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。
这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为 S=350t。
1.思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km，这个说法正确吗？问题2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。
如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？2.思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？问题3 如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。
河北省任丘市第一中学人教版高中数学新教材必修第一册：3.1.1 函数的概念(第二课时)
§3．1．1 函数的概念（第二课时）导学目标：1．了解构成函数的三要素，能求具体函数及抽象函数的定义域． 2．了解构成函数的三要素，理解函数值域的含义，能求简单函数的值域．（预习教材P 62~ P 63，回答下列问题） 回忆：函数的三要素是什么？ 问题：已知函数()f x x =（1）求函数的定义域；（2）求()1f x -的表达式？你能求()1f x -的定义域吗？ （3）你能直接求出()21f x +的定义域吗？【知识点一】函数定义域的求法 （1）具体函数的定义域求法 ①1x出现时要求0x ≠；②x 出现时要求0x ≥；③0x 出现时要求0x ≠． 自我检测1：求函数0()5(1)4f x x x x =+++++的定义域；（2）抽象函数的定义域求法形如()1f x -、()21f x +、()()()211F x f x f x =++-这类函数而言，未直接给出对应法则f 对所施加对象作用后的具体表达形式，我们称之为抽象函数．通过观察，若函数()f x ()1f x -=①函数()f x 与()1f x -的自变量都是自身表达式中的x （定义域是自变量的取值集合）； ②在同一题中，对应法则f 的含义一致（即法则f 对施加对象的约束条件相同）． 自我检测2：若函数()f x 的定义域为[)0,+∞，则函数()1f x -的定义域是 ．（3）实际问题中的自变量还要考虑实际要求：自我检测3：某种笔记本的单价为3元，小明手里有100元钱，设小明一共买了x 个该笔记本，花费为y 元，你能正确写出该问题中自变量x 的约束条件吗？【知识点二】函数值域的求法函数()y f x =的值域即为函数值y 的取值集合，其取值范围受自变量x 的取值范围和对应法则f 共同决定，所以在求值域时，一定要注意定义域以及函数的结构． 常用的求值域的方法有：①图像法（如一次函数、二次函数、反比例函数等已知图像的函数） ②换元法（利用整体换元的思想，将未知函数结构转化成已知函数结构求解）自我检测4：你能将四次函数()4223f x x x =--转化成二次函数模型吗？前后函数自变量有何改变？题型一 函数的定义【例1-1】求下列函数的定义域 （1）求函数221()121f x x x x x =+--+的定义域． （2）求函数21()x f x --=的定义域．【例1-2】求下列函数的定义域（1）已知函数()y f x =定义域是[]1,3-，求()1y f x =-的定义域． （2）已知函数(1)y f x =-定义域是[]1,3-，求()y f x =的定义域． （3）已知函数(1)=-y f x 定义域是[]1,3-，求()21y f x =+的定义域．【例1-3】求下列函数的定义域（1）已知函数()f x 的定义域为[1,2]-，求()()()g x f x f x =+-的定义域． （2）已知函数()f x 的定义域[]4,2-,求()()21f xg x x =+的定义域．【例1-4】求下列函数的定义域一枚炮弹发射后，经过26s 落地后击中目标．炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为21305h t t =-． 则该函数的定义域为 ．题型二 函数的值域【例2-1】求下列函数的值域（1）函数(){}1,1,1,2f x x x =+∈- ； （2）函数()223f x x x =-+，x R ∈ ；（若将定义域改为{1,0,1,2}x ∈-、[)1,4x ∈-，又将如何？）（3）函数()1f x x =，11,2x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭ ．【例2-2】求下列函数的值域 已知函数()f x x x=+，()0a >的图像如右图所示，请回答： （1）当1a =，(0,)x ∈+∞时，求此函数()f x 的值域； （2）当4a =，[1,3]x ∈时，求此函数()f x 的值域．【例2-3】求下列函数的值域（1）函数()4223f x x x =--，()0,2x ∈的值域为_________________．（2）函数()12g x x x =--的值域为_________________．（3）函数2()(1)1x h x x x =>-的值域为_________________．1．已知函数1()f x x x=+，则（ ） A ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|2}y y ≥ B ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|22}y y y ≥≤-或 C ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为R D ．函数()f x 的定义域为R ，值域为R2．已知函数()f x 的定义域为[]1,4，求12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的定义域．3．已知函数()f x 的定义域是[0,2]，求11()22g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域．4．求下列函数的值域（1）函数()242f x x x =-+-，[)0,3x ∈的值域是___________．（2）求函数()63f x x x =-在区间[]2,4上的值域．§3．1．1 函数的概念（第二课时）参考答案（预习教材P 62~ P 63，回答下列问题） 回忆：函数的三要素是什么？ 问题：已知函数()f x x =（1）求函数的定义域；（2）求()1f x -的表达式？你能求()1f x -的定义域吗？ （3）你能直接求出()21f x +的定义域吗？ 【答案】（1）[)0,+∞（2）()1f x x =-，[)1,+∞（3）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【知识点一】函数定义域的求法 （1）具体函数的定义域求法 ①1x出现时要求0x ≠；②x 出现时要求0x ≥；③0x 出现时要求0x ≠． 自我检测1：求函数0()5(1)4f x x x x =+++++的定义域； 【答案】要使函数有意义，应有504010x x x +≥⎧⎪+≠⎪⎨⎪⎪+≠⎩即541x x x ≥-⎧⎪≠-⎨⎪≠-⎩所以函数的定义域是[)()()54411-----+∞，，,．（2）抽象函数的定义域求法形如()1f x -、()21f x +、()()()211F x f x f x =++-这类函数而言，未直接给出对应法则f 对所施加对象作用后的具体表达形式，我们称之为抽象函数．通过观察，若函数()f x x =，则函数()11f x x -=-，我们可有如下结论：①函数()f x 与()1f x -的自变量都是自身表达式中的x （定义域是自变量的取值集合）； ②在同一题中，对应法则f 的含义一致（即法则f 对施加对象的约束条件相同）． 自我检测2：若函数()f x 的定义域为[)0,+∞，则函数()1f x -的定义域是 ． 【答案】[)1,+∞（3）实际问题中的自变量还要考虑实际要求：自我检测3：某种笔记本的单价为3元，小明手里有100元钱，设小明一共买了x 个该笔记本，花费为y 元，你能正确写出该问题中自变量x 的约束条件吗？ 【答案】{}033x x x N ≤≤∈且 【知识点二】函数值域的求法函数()y f x =的值域即为函数值y 的取值集合，其取值范围受自变量x 的取值范围和对应法则f 共同决定，所以在求值域时，一定要注意定义域以及函数的结构． 常用的求值域的方法有：①图像法（如一次函数、二次函数、反比例函数等已知图像的函数） ②换元法（利用整体换元的思想，将未知函数结构转化成已知函数结构求解）自我检测4：你能将四次函数()4223f x x x =--转化成二次函数模型吗？前后函数自变量有何改变？【答案】 令2t x =，由x R ∈，可得0t ≥，223y t t =--，0t ≥；前后函数自变量改变，相应的取值范围也改变．题型一 函数的定义【例1-1】求下列函数的定义域 （1）求函数221()121f x x x x x =+--+的定义域．（2）求函数()f x =的定义域．【答案】（1）11|22x x x ⎧+⎪<->⎨⎪⎪⎩⎭；（2）{}|13x x x <>或；【例1-2】求下列函数的定义域（1）已知函数()y f x =定义域是[]1,3-，求()1y f x =-的定义域． （2）已知函数(1)y f x =-定义域是[]1,3-，求()y f x =的定义域． （3）已知函数(1)=-y f x 定义域是[]1,3-，求()21y f x =+的定义域． 【答案】（1）[]0,4 （2）[]2,2- （3）31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （3）13,212x x -≤≤∴-≤-≤，故()f x 的定义域为[2,2]-， 所以令2212x -≤+≤，解得3122x -≤≤， 故()21y f x =+的定义域是31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【例1-3】求下列函数的定义域（1）已知函数()f x 的定义域为[1,2]-，求()()()g x f x f x =+-的定义域． 【答案】[1,1]-由题意，函数()f x 的定义域为[1,2]-，则函数()()()g x f x f x =+-满足1212x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得1221x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，即11x -≤≤，即函数()g x 的定义域为[1,1]-．（2）已知函数()f x 的定义域[]4,2-,求()()21f xg x x =+的定义域． 【答案】[)(]2,11,1---；函数()f x 的定义域[]4,2-,即422x -≤≤,可得21x -≤≤ 又分母10x +≠,可得1x ≠-． ∴()()21f xg x x =+的定义域为[)(]2,11,1---．【例1-4】求下列函数的定义域一枚炮弹发射后，经过26s 落地后击中目标．炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为21305h t t =-． 则该函数的定义域为 ．【答案】{}026t t ≤≤题型二 函数的值域【例2-1】求下列函数的值域（1）函数(){}1,1,1,2f x x x =+∈- ； （2）函数()223f x x x =-+，x R ∈ ；（若将定义域改为{1,0,1,2}x ∈-、[)1,4x ∈-，又将如何？） （3）函数()1f x x =，11,2x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭ ．高中数学必修第一册- 11 -【答案】（1）{}0,2,3（2）[)2,+∞，{}6,3,2，[)2,11（3）(]2,1--【例2-2】求下列函数的值域 已知函数()af x x x=+，()0a >的图像如右图所示，请回答： （1）当1a =，(0,)x ∈+∞时，求此函数()f x 的值域； （2）当4a =，[1,3]x ∈时，求此函数()f x 的值域． 【答案】（1）[)2,+∞；（2）[]4,5【例2-3】求下列函数的值域（1）函数()4223f x x x =--，()0,2x ∈的值域为_________________．（2）函数()12g x x x =--的值域为_________________．（3）函数2()(1)1x h x x x =>-的值域为_________________．【答案】（1）[)4,5- （2）1(,]2-∞ （3）[4,)+∞（2）()()224321f x x x x =-+=--，因为1-≤x ≤1，所以3-≤x −2≤1-，所以1≤(x −2)2≤9，则0≤(x −2)21-≤8．故函数()[]243,1,1f x x x x =-+∈-的值域为[0，8]．函数()g x 的定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，令()2112,02t t x x t -=-=≥，得21122y t t =--+，故1,2y ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，所以函数()12g x x x =--的值域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（3）()()()2212111124111x x x h x x x x x -+-+===-++≥---．当且仅当x ＝2时“＝”第三章 函数的概念与性质- 12 -成立，故函数()2(1)1x h x x x =>-的值域为[)4,+∞．1．已知函数1()f x x x=+，则（ ） A ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|2}y y ≥ B ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|22}y y y ≥≤-或 C ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为R D ．函数()f x 的定义域为R ，值域为R 【答案】B2．已知函数()f x 的定义域为[]1,4，求12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭的定义域． 【答案】(,1]-∞-∪1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．由1124x ≤+≤，得112x -≤≤，即110x -≤<或102x<≤， 解得x ≤ 1-，或12x ≥．∴函数的定义域为(-∞，1-]∪[12，+∞)．3．已知函数()f x 的定义域是[0,2]，求11()22g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域．【答案】13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．高中数学必修第一册- 13 -()f x 的定义域是[0,2]，且11()22g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，102,2102,2x x ⎧+⎪⎪∴⎨⎪-⎪⎩则13,2215,22x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩ 即1322x ．()g x ∴的定义域为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 4．求下列函数的值域（1）函数()242f x x x =-+-，[)0,3x ∈的值域是___________．【答案】 [2,2]-（2）求函数()3f x x =在区间[]2,4上的值域．【答案】12,4⎤-⎦t =,则26x t =- ∵[]2,4x ∈,2t ≤≤那么函数()f x 转化为()22()36318g t t t tt =--=+-其对称轴16t =-, 故得()f x 的值域为12,4⎤-⎦．。
高中数学_函数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思
函数的概念（第二课时）——抽象函数定义域教学目标：1、进一步加深对函数概念的理解；2、能准确判断两个函数是否相等；3、进一步掌握简单函数定义域的求法；4、掌握抽象函数的定义域求法教学重点：对函数概念的理解，以及求简单函数的定义域。
教学难点：抽象函数定义域的求法。
教学过程：（一）复习旧知：1、函数的概念：①A、B为非空数集②A中元素的任意性③B中元素的唯一确定性2、函数的三要素：①定义域②对应关系③值域3、两个函数相等的条件：①定义域②对应关系4、简单函数定义域的求法：①若f（x）为整式，则定义域为全体实数②若f（x）为分式，则分母不等于零③若f（x）是偶次根式，则被开方式大于等于零④若f（x）=x0，则x≠0（二）巩固练习：多媒体出示练习题，学生利用刚复习过的知识思考问题并做解答，进一步巩固第一课时所学知识，老师纠正学生回答，并联系所学知识，进行点评。
||:},0|{,1,1x y x f x x B R A B A =→>==）（并说明理由。
的函数到集合集合、判断下列对应是否为x y y x f R B x x A =→=≥=2,:,},0|{2）（ xy x f Z B Z A =→==:,,3）（0:},0{},11|{4=→=≤≤-=y x f B x x A ）（函数图象的是、判断下列图象能表示2并说明理由。
是否表示同一函数，与、判断下列函数)()(3x g x f 1)(,)1()()1(0=-=x g x x f2)(,)()2(x x g x x f ==4-x ,22)3(2=+⋅-=y x x y362)(,)()4(x x g x x f ==（三）巩固练习并导入新课4、求下列函数的定义域95)2(14)1(203--=-+-=x x y x x x y5、已知f （x ）的定义域是［2，+∞）（1） 求函数f （x+1）的定义域（2） 求函数f （2x -3）的定义域出示第5的习题后，领导学生分析与第4题的不同点，并给出抽象函数的概念，引出本节研究的新课题——抽象函数的定义域，即复合函数的定义域，板书课题。
课时2 函数的概念(二)
课时2 函数的概念(二)1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)对应关系相同的两个函数一定是同一个函数．( ×)(2)[a ，a －1]表示一个区间．( × )(3)函数的定义域和值域都相同，这两个函数不一定是同一个函数．( √ )(4)函数y ＝k x的值域为R .( × )题型1 区间的概念2．用区间表示数集{x |2<x ≤4}＝__(2,4]__．3．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ .题型2 同一个函数4．下列各组函数是同一个函数的是( C )A ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2xB ．f (x )＝x 2与g (x )＝(x ＋1)2C ．f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x解析：A.f (x )＝－2x 3＝－x －2x 与g (x )＝x －2x 的对应关系不同，故不是同一个函数．B.f (x )＝x 2与g (x )＝(x ＋1)2的对应关系不同，故不是同一个函数．C.f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0都可化为y ＝1且定义域是{x |x ≠0}，故是同一个函数．D.f (x )＝0与g (x )＝x －1＋1－x ＝0(x ＝1)的定义域不同，故不是同一个函数．5．若函数f (x )与函数g (x )＝1－x x 是同一个函数，则函数f (x )的定义域是__(－∞，0)∪(0,1]__．解析：要使g (x )与f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≠0，解得x ≤1且x ≠0，∴f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0,1]． 6．下列各对函数中是同一个函数的是__②④__.①f (x )＝2x －1与g (x )＝2x －x 0；②f (x )＝(2x ＋1)2与g (x )＝|2x ＋1|；③f (n )＝2n ＋2(n ∈Z )与g (n )＝2n (n ∈Z )；④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2.解析：①函数g (x )＝2x －x 0＝2x －1，定义域为{x |x ≠0}，两函数的定义域不同，不是同一个函数；②f (x )＝(2x ＋1)2＝|2x ＋1|与g (x )＝|2x ＋1|的定义域和对应关系相同，是同一个函数；③f (n )＝2n ＋2(n ∈Z )与g (n )＝2n (n ∈Z )的对应关系不同，不是同一个函数；④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2的定义域和对应关系相同，是同一个函数．题型3 函数的值域7．函数y ＝x ＋1x －1在区间[2,5]上的值域是 ⎣⎡⎦⎤32，3 . 解析：由题意y ＝x ＋1x －1＝2x －1＋1，此函数在区间[2,5]上是减函数，所以有32≤y ≤3，故函数的值域是⎣⎡⎦⎤32，3.8．求下列函数的值域：(1)y ＝3－x 2x －1； (2)y ＝－x 2－x ＋1(1≤x ≤2)．解：(1)y ＝－12·x －3x －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52x －12. 因为52x －12≠0，所以y ≠－12， 即函数的值域为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. (2)y ＝－x 2－x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋54.因为1≤x ≤2，所以－5≤－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋54≤－1，所以函数y ＝－x 2－x ＋1的值域为[－5，－1]．易错点1 忽略定义域致错9．下列各组函数中，是同一个函数的是( A )A ．f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1B ．f (x )＝2x ，g (x )＝2(x ＋1)C ．f (x )＝(－x )2，g (x )＝(－x )2D ．f (x )＝x 2＋x x ＋1，g (x )＝x解析：A 中两函数定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数；B 中对应关系不同；C 中定义域不同；D 中定义域不同．[误区警示] 两函数为同一个函数只有在定义域、对应关系相同的前提下才成立． 易错点2 忽视所换元的取值范围致错10．求函数y ＝x ＋x ＋1的值域．解：设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是f (t )＝t 2－1＋t ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－54.又因为t ≥0，故f (t )≥－1.所以函数的值域是{y |y ≥－1}．[误区警示] 二次函数求值域要注意自变量的取值范围．(限时30分钟)一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2＋13的定义域为[0,1]，则它的值域为( A ) A ．⎣⎡⎦⎤13，56B ．RC ．⎣⎡⎦⎤13，12D ．[]0，12．下列四个区间能表示数集A ＝{x |0≤x <5或x >10}的是( B )A ．(0,5)∪(10，＋∞)B ．[)0，5∪(10，＋∞)C ．(]0，5∪[10，＋∞)D ．[0,5]∪(10，＋∞)3．已知函数f (x )＝2－2x x ＋1(x >1)，则它的值域为( D ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－1,0)D ．(－2,0)解析：f (x )＝2－2x x ＋1＝－2(x ＋1)＋4x ＋1＝－2＋4x ＋1(x >1)，设t ＝x ＋1(t >2)，易知：y ＝4t ∈(0,2)，故f (x )＝－2＋4x ＋1(x >1)的值域为(－2,0)． 4．(多选题)下列各组函数中表示同一个函数的是( BD )A ．y ＝20与y ＝x xB ．y ＝1(x >0)与y ＝|x |x(x >0) C ．y ＝x 2＋x 与y ＝x x ＋1D ．y ＝x ＋1与y ＝3(t ＋1)3解析：A 中y ＝20＝1，定义域为R ，y ＝x x＝1(x ≠0)，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；B ．两个函数的对应关系、定义域相同，是同一个函数；C 中由x 2＋x ≥0得x ≥0或x ≤－1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋1≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≥－1，得x ≥0， 两个函数的定义域不相同，不是同一个函数．D 中y ＝3(t ＋1)3＝t ＋1，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一个函数．5．(多选题)函数f (x )＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数，当－12≤x ≤72时，下列函数中，其值域与f (x )的值域相同的函数为( ABD )A ．y ＝x ，x ∈{}－1，0，1，2，3B ．y ＝2x ，x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，12，1，32C ．y ＝1x ，x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，13，14 D ．y ＝x 2－1，x ∈{}0，1，2，3，2解析：由题意，可得当x ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，f (x )＝－1；当x ∈[0,1)时，f (x )＝0；当x ∈[1,2)时，f (x )＝1；当x ∈[2,3)时，f (x )＝2；当x ∈⎣⎡⎦⎤3，72时，f (x )＝3.所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，72时，函数f (x )的值域为{－1,0,1,2,3}．对于A 选项，y ＝x ，x ∈{－1,0,1,2,3}，该函数的值域为{－1,0,1,2,3}；对于B 选项，y ＝2x ，x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，12，1，32，该函数的值域为{－1,0,1,2,3}；对于C 选项，y ＝1x ，x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，13，14，该函数的值域为{－1,1,2,3,4}；对于D 选项，y ＝x 2－1，x ∈{}0，1，2，3，2，该函数的值域为{－1,0,1,2,3}．故选ABD.二、填空题6．已知区间(4p －1,2p ＋1)，则p 的取值范围为__(－∞，1)__．解析：由题意，得4p －1<2p ＋1，所以p <1.7．函数f (x )＝x 2－2x 的定义域为__(－∞，0]∪[2，＋∞)__，值域为__[0，＋∞)__． 解析：要使函数有意义，则需x 2－2x ≥0，解得x ≥2或x ≤0，即定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)．因为f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，结合函数的定义域可得f (x )≥0，即函数的值域为[0，＋∞)．8．由“不超过x 的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常记为y ＝[x ]，例如[1.2]＝1，[－0.3]＝－1，则函数y ＝2[x ]＋1，x ∈[－1,3)的值域为__{－1,1,3,5}__．三、解答题9．若函数f (x )＝x 2＋4x ＋6，求f (x )在[－3,0]上的值域．解：f (x )＝x 2＋4x ＋6＝(x ＋2)2＋2，x ∈[－3,0]，f (x )max ＝f (0)＝6，f (x )min ＝f (－2)＝2，故f (x )在[－3,0]上的值域为[2,6]．10．已知矩形的面积为10，试构建问题情境描述下列变量关系：(1)y ＝10x； (2)y ＝2x ＋20x. 解：(1)设矩形长为x ，宽为y ，那么y ＝10x. 其中x 的取值范围A ＝{x |x >0}，y 的取值范围B ＝{y |y >0}，对应关系f 为每一个长方形的长x ，对应到唯一确定的宽10x. (2)设矩形长为x ，周长为y ，那么y ＝2x ＋20x.其中x 的取值范围A ＝{x |x >0}，y 的取值范围B ＝{y |y >0}，对应关系f 为每一个长方形的长x ，对应到唯一确定的周长2x ＋20x .。
函数的概念(第2课时)(教学设计)高一数学系列(人教A版2019)
重点：理解函数的三要素：定义域、对应法则及值域，会求函数的定义域与函数值，在此过程中培养学生的逻辑推理、数据分析、数学运算的素养。
难点：进一步理解函数的对应关系f，体会函数相等的概念。
学生在第一课时已经学习过函数的概念，并对函数的概念有了深刻的理解。
在此基础上让学生理解函数的三要素、判断两个函数相等，求函数的定义域及值域相对好理解，但是抽象函数的定义域对学生是一个考验。
注意：1、区间是集合的另一种表示形
式，注意与不等式的区别。
如：x ≥－1与[－1，＋∞)是完全不同的 2、写区间的端点时，一定注意书写准确
根据具体实例结合数形结合让学
生加深对区间的
理解，使实例成
为理解概念的一
种思维载体。
【练一练】 (1)用区间表示{x |x ≥0且x ≠2}注意区间左端点
【例1】 把下列数集用区间表示： (1){x |x ≥－1}； (2){x |x <0}；
(3){x |－1<x <1}； (4){x |0<x <1或2≤x ≤4}.
；
量的值求对应的
函数值，提高学
生数学运算的核
心素养，为求函
数的值域打好基．
础。
通过函数的定义，学生自主归纳出两个函数是同一个函数的概念，培养学生数学抽象的核心素养。
通过具体的例子，使学生掌握同一函数的判断方法.
通过课堂练习，巩固本节学习的内容。
新湘教版必修1高中数学 第二课时 函数的概念
1．2函数的概念和性质1．2.1对应、映射和函数第二课时函数的概念在现实生活中，我们可能会遇到下列问题：(1)某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)随时间的变化如下表：(2)一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y＝4.9x2.若一物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗？(3)下图为某市一天24小时内的气温变化图．①上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？②在什么时刻，气温为0℃？③在什么时段内，气温在0℃以上？如何用集合语言来阐述上述3个问题的共同特点？1．函数的定义设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B的函数，记作f：A→B或者y＝f(x)(x∈A，y∈B)．2．函数的定义域、值域在函数的定义中，集合A叫作函数的定义域，与x∈A对应的数y叫x的像，记作y＝f(x)，由所有x∈A的像组成的集合叫作函数的值域．3．函数的三要素为定义域，对应法则，值域．举出几个有关函数的例子，并用定义加以描述，指出函数的定义域和值域．[提示](1)下表记录了几个不同气压下水的沸点.，值域是{81,100,121,152,179}．(2)如图是匀速直线运动路程s随时间变化的函数关系图，它的定义域是{t|t≥0}，值域是{s|s≥0}．[例1](1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝x；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.[思路点拨]可根据函数的定义直接判断．[解](1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；(3)A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素且x不一定为整数，故此对应关系不是A到B的函数；(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数.1．若集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A 到B 的函数f ：A →B 的是( )解析：选D A 中的对应不满足函数的存在性，即存在x ∈A ，但B 中无与之对应的y ；B 、C 均不满足函数的唯一性，只有D 正确．2．下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( )A ．A ＝R ，B ＝R ，x 2＋y 2＝1 B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1解析：选B A 错误，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A ，在B 中找不到与之相对应的数．D 错误，－1∈A ，在B 中找不到与之相对应的数.[例2] 已知f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)．求： (1)f (0)及f ⎝⎛⎭⎫ f ⎝⎛⎭⎫12的值； (2)f (1－x )及f (f (x ))．[思路点拨] 将f (x )中的x 分别赋值或式子，代入1－x1＋x 中化简即得．[解] (1)f (0)＝1－01＋0＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝1－121＋12＝13， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫13＝1－131＋13＝12. (2)f (1－x )＝1－(1－x )1＋(1－x )＝x2－x (x ≠2)．f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－1－x 1＋x 1＋1－x 1＋x ＝x (x ≠－1).3．已知函数f (x )＝x 2－2x ，求： (1)f (－2)； (2)f ⎝⎛⎭⎫1＋1x (x ≠0)； (3)若f (x )＝3，求x 的值． 解：(1)f (－2)＝(－2)2－2·(－2)＝8. (2)f ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－2⎝⎛⎭⎫1＋1x＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋1x －2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1x －1＝1x2－1(x ≠0)． (3)若f (x )＝3，则x 2－2x ＝3，x ＝－1或x ＝3.1．若f (x )＝1x 的定义域为M ，g (x )＝|x |的定义域为N ，令全集U ＝R ，则M ∩N ＝( ) A ．M B ．N C ．∁R MD ．∁R N解析：选A M ＝{x |x >0}，N ＝R ，∴M ∩N ＝M . 2．下列图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )解析：选B 根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B 不正确． 3．下列各对函数中，图象完全相同的是( ) A ．y ＝x 与y ＝(3|x |)3 B ．y ＝(x )2与y ＝|x | C ．y ＝xx 与y ＝x 0D ．y ＝x ＋1x 2－1与y ＝1x －1解析：选C 若函数的图象相同，则是相同的函数．对于A ，y ＝(3|x |)3＝|x |，所以对应关系不同；对于B ，y ＝(x )2＝x (x ≥0)，所以两函数定义域与对应关系均不同；对于C ，y ＝xx ＝1(x ≠0)，而y ＝x 0＝1(x ≠0)，定义域与对应关系均相同，是相同的函数；对于D ，y ＝x ＋1x 2－1＝x ＋1(x ＋1)(x －1)＝1x －1，其中x 2≠1，即x ≠±1，而y ＝1x －1中x ≠1，定义域不同，不是相同函数．4．已知f (x )＝11＋x，g (x )＝x 2＋2，则f (2)＝________，f [g (2)]＝________. 解析：f (2)＝11＋2＝13，g (2)＝22＋2＝6， ∴f [g (2)]＝f (6)＝11＋6＝17.答案：13 175．已知函数f (x )＝x 2－x ，若f (a )＝2，则a 的值是________． 解析：f (a )＝(a )2－a ＝2.即(a －2)(a ＋1)＝0，a ＝4. 答案：4通过这节课的学习，你对函数符号“y ＝f (x )”有了哪些新的认识？对应关系f 是表示定义域和值域的一种对应关系，与所选择的字母无关．符号y ＝f (x )是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为：x 是自变量，它是对应关系所施加的对象；f 是对应关系，它既可以是解析式，也可以是图象、表格或文字描述．y ＝f (x )仅仅是函数符号，不能理解为“y 等于f 与x 的乘积”．f (x )与f (a )的区别与联系：f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，表示的是变量．虽然f (x )＝x 2和f (x －1)＝x 2等号右边的表达式都是x 2，但是，由于f 施加的对象不同(一个为x ，而另一个为x －1)，因此两个函数的解析式是不同的．一、选择题1．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是( )解析：选D 由函数的定义可以判断只有D 正确．2．函数f (x )定义在区间[－2,3]上，则y ＝f (x )的图象与直线x ＝2的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定解析：选B ∵2∈[－2,3]，由函数的定义可知，y ＝f (x )的图象与x ＝2只能有一个交点． 3．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( ) A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x解析：选C 对选项C ，当x ＝4时，y ＝83>2不合题意，故选C.4．下列说法错误的是( )A ．函数定义域中的任一元素在其值域中都有它的对应B ．函数的定义域是无限集，则值域也是无限集C ．定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了D ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 答案：B 二、填空题5．已知函数f (x )＝x 2＋|x －2|，则f (1)＝________. 解析：∵f (x )＝x 2＋|x －2|， ∴f (1)＝12＋|1－2|＝1＋1＝2. 答案：26．若f (2x )＝x 3，则f (1)＝________. 解析：令2x ＝1，则x ＝12，∴f (1)＝(12)3＝18.答案：18三、解答题7．已知函数f (x )＝x 2＋x －1，求： (1)f (2)； (2)f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1；(3)若f (x )＝5，求x 的值． 解：(1)f (2)＝4＋2－1＝5. (2)f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1＝⎝⎛⎭⎫1x ＋12＋⎝⎛⎭⎫1x ＋1－1 ＝1x 2＋3x＋1. (3)f (x )＝5，即x 2＋x －1＝5. 由x 2＋x －6＝0得x ＝2或x ＝－3. 8．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13的值；(2)求证：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x 是定值；(3)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019的值． 解：(1)∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1， f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1， ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝1. ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝2 018.。
《三角函数的概念(第二课时)》示范教学方案
《5.2.1 三角函数的概念（第二课时）》教学设计1．掌握三角函数值的符号；2．掌握诱导公式一，初步体会三角函数的周期性．教学重点：函数值的符号、诱导公式一．教学难点：对诱导公式的发现与认识．PPT课件．资源引用：【知识点解析】三角函数值在各象限的符号、【知识点解析】对三角函数值符号的理解（一）创设情境引导语：前面学习了三角函数的定义，根据已有的学习函数的经验，你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？预设的师生活动：先由学生发言．一般而言，学生会直接把问题指向“图象与性质”．教师可以在肯定学生想法的基础上，指出三角函数的特殊性：预设答案：因为单位圆上点的坐标或坐标比值就是三角函数，而单位圆具有对称性，这种对称性反映到三角函数的取值规律上，就会呈现出比幂函数、指数函数和对数函数等更丰富的性质．例如，我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些三角函数的性质．设计意图：明确研究的问题和思考方向．一般地，学生不习惯于借助单位圆的性质研究三角函数的性质，所以需要教师的讲解和引导．（二）新知探究1．三角函数值的符号问题1：由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限，你能发现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律吗？如何用集合语言表示这种规律？预设的师生活动：由学生独立完成．★资源名称：【知识点解析】三角函数值在各象限的符号★使用说明：本资源展现“三角函数值在各象限的符号”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合于教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设答案：用集合语言表示的结果是：当α∈{β|2k π＜β＜2k π+π，k ∈Z }时，sin α＞0；当α∈{β|2k π+π＜β＜2k π+2π，k ∈Z }时，sin α＜0；当α∈{β|β=k π，k ∈Z }时，sin α=0．其他两个函数也有类似结果．设计意图：在直角坐标系中标出三角函数值的符号规律不难，可由学生独立完成．用集合语言表示，可以复习象限角、终边相同的角的集合表示等．例1 求证：角θ为第三象限角的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，①tan θ＞0．② 预设的师生活动：先引导学生明确问题的条件和结论，再由学生独立完成证明． 预设答案：先证充分性．因为①式sin θ＜0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合；又因为②式tan θ＞0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角． 再证必要性．因为角θ为第三象限角，由定义①②式都成立．设计意图：通过联系相关知识，培养学生的推理论证能力．★资源名称：【知识点解析】对三角函数值符号的理解★使用说明：本资源展现“对三角函数值符号的理解”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．2．诱导公式一问题2：联系三角函数的定义、象限角以及终边相同的角的表示，你有发现什么？ 师生活动：学生在问题引导下自主探究，发现诱导公式一．追问：（1）观察诱导公式一，对三角函数的取值规律你有什么进一步的发现？它反映了圆的什么特性？（2）你认为诱导公式一有什么作用？预设答案：（1）诱导公式一体现了三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．（2）利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π角的三角函数值．同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在区间[0，2π]上的性质，那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了．设计意图：引导学生通过建立相关知识的联系发现诱导公式一及其体现的三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．在此过程中，可以培养学生用联系的观点看待问题，发展直观想象等素养．例2 确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：（1）cos 250°；（2）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π； （3）tan (－672°)； （4）tan 3π．解：（1）因为250°是第三象限角，所以cos 250°＜0；（2）因为4π-是第四象限角，所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π＜0； （3）因为tan (－672°)＝tan (48°－2×360°)＝tan 48°，而48°是第一象限角， 所以tan (－672°)＞0；（4）因为tan 3π＝tan (π+2π)=tan π，而π的终边在x 轴上，所以tan π=0．例3 求下列三角函数值：（1）sin 1 480°10′（精确到0.001）；（2）cos4π9； （3）tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π11． 解：（1）sin 1480°10′=sin (40°10′+4×360°)=sin 40°10′≈0.645；（2）9πππcos cos(2π)cos 4442=+==；（3）11πππtan()tan(2π)tan 6663-=-==． 师生活动：以上都是教科书中的例题，难度不大，可以由学生独立完成，并作课堂展示．教师可以鼓励学生采用不同的变形方法得出答案．在用计算器验证时，提醒学生注意角度制的设置．（三）课堂练习教科书练习第1，2，3，4，5题．（四）布置作业教科书习题5.2第1，3，4，5，7，8，9，10题．（五）目标检测设计1．求下列三角函数的值：（1）cos （－23π6）； （2）tan 25π6． 设计意图：考查诱导公式一，特殊角的三角函数值．2．角α的终边与单位圆的交点是Q ，点Q 的纵坐标是12，说出几个满足条件的角α． 设计意图：考查正弦函数的定义，诱导公式一．3．对于①sin θ＞0，②sin θ＜0，③cos θ＞0，④cos θ＜0，⑤tan θ＞0与⑥tan θ＜0，选择恰当的关系式序号填空：（1）角θ为第二象限角的充要条件是________；（2）角θ为第三象限角的充要条件是________．设计意图：考查三角函数值的符号规律．。
第2课时函数的概念(二(分层练习)21-22高一数学教材配套学案+课件+练习(人教A版19必修第一册
3.1.1 第2课时 函数的概念(二)基 础 练巩固新知 夯实基础1.下列函数与函数y ＝x 是同一函数的是( )A ．y ＝|x |B ．y ＝3t 3C ．y ＝x 2D ．y ＝v 2v 2. (多选)下列函数，值域为(0，＋∞)的是( )A ．y ＝x ＋1(x >－1)B ．y ＝x 2C ．y ＝1x (x >0)D ．y ＝1x ＋13.函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )A.{－1,0,3}B.{0,1,2,3}C.{y |－1≤y ≤3}D.{y |0≤y ≤3}4.函数y ＝x ＋1的值域为( )A ．[－1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，－1]5.已知函数f (x )＝x ＋1x，则f (2)＋f (－2)的值是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．26.下列函数完全相同的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3 7．函数y ＝1x －2的定义域是A ，函数y ＝x 2＋2x －3的值域是B ，则A ∩B ＝__________________(用区间表示)．8.求下列函数值域。
(1)f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)；(2)y ＝5x －14x ＋2； (3)f (x )＝4－x ＋x －2.能 力 练综合应用 核心素养9.函数y ＝5x ＋4x －1的值域是( ) A ．(－∞，5)B ．(5，＋∞)C ．(－∞，5)∪(5，＋∞)D ．(－∞，1)∪(1，＋∞)10.下列各组函数中是同一函数的是( )A ．y ＝x ＋1与y ＝x 2－1x －1B ．y ＝x 2＋1与s ＝t 2＋1C ．y ＝2x 与y ＝2x (x ≥0)D ．y ＝(x ＋1)2与y ＝x 211.函数f (x )＝x 2＋1(0<x ≤2且x ∈N *)的值域是( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |x >1}C ．{2,3}D ．{2,5}12.下列函数中，对于定义域内的任意x ，f (x ＋1)＝f (x )＋1恒成立的为( )A ．f (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－x 2C ．f (x )＝1xD ．y ＝|x | 13.若f (x )＝11－x 2，则f (3)＝_____，f (f (－2))＝_____. 14.若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，则a ＋b 的值为__92__. 15.若函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________．16.已知函数f (x )＝x 21＋x 2. (1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13的值． (2)求证：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x 是定值．(3)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019的值．【参考答案】1.B 解析 选项A 和选项C 中，函数的值域都是[0，＋∞)；选项D 中，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)；选项B 中函数的定义域和值域都和函数y ＝x 相同，对应关系也等价，因此选B.2.AC 解析 y ＝x ＋1(x >－1)的值域为(0，＋∞)；y ＝x 2的值域为[0，＋∞)；y ＝1x (x >0)的值域为(0，＋∞)；y ＝1x ＋1的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，3.A 解析 由对应关系y ＝x 2－2x 得，0→0,1→－1,2→0,3→3，所以值域为{－1,0,3}.4.B 解析 由于x ＋1≥0，所以函数y ＝x ＋1的值域为[0，＋∞)．5. B 解析 f (2)＋f (－2)＝2＋12－2－12＝0. 6.B 解析 A 、C 、D 的定义域均不同．7. [0,2)∪(2，＋∞) 解析要使函数式y ＝1x －2有意义，只需x ≠2，即A ＝{x |x ≠2}；函数y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4≥0，即B ＝{y |y ≥0}，则A ∩B ＝{x |0≤x <2或x >2}．8.解：(1)∵x ∈[－5,2)，∴－15≤3x <6，∴－16≤3x －1<5，∴函数f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)的值域是[－16,5)．(2)y ＝5x －14x ＋2＝544x ＋2－1－1044x ＋2＝544x ＋2－1444x ＋2＝54－724x ＋2. ∵724x ＋2≠0，∴y ≠54， ∴函数y ＝5x －14x ＋2的值域为{y ∈R |y ≠54}． (3)由题意可得，x ∈[2,4]，因为f 2(x )＝2＋24－x x －2＝2＋2－x －32＋1，所以f 2(x )∈[2,4]，故函数f (x )的值域为[2，2]．9.C 解析∵y ＝5x ＋4x －1＝5(x －1)＋9x －1＝5＋9x －1，且9x －1≠0，∴y ≠5，即函数的值域为(－∞，5)∪(5，＋∞)． 10.B 解析对于选项A ，前者定义域为R ，后者定义域为{x |x ≠1}，不是同一函数；对于选项B ，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一函数；对于选项C ，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一函数；对于选项D ，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数．11.D 解析：∵0<x ≤2且x ∈N *，∴x ＝1或x ＝2.∴f (1)＝2，f (2)＝5，故函数的值域为{2,5}．12.A 解析 对于A 选项，f (x ＋1)＝(x ＋1)＋1＝f (x )＋1，成立．对于B 选项，f (x ＋1)＝－(x ＋1)2≠f (x )＋1，不成立．对于C 选项，f (x ＋1)＝1x ＋1，f (x )＋1＝1x ＋1，不成立．对于D 选项，f (x ＋1)＝|x ＋1|，f (x )＋1＝|x |＋1，不成立．13.－18 98 解析 f (3)＝11－9＝－18，f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝98.14. 92 解析 ∵f (x )＝12x 2－x ＋a ＝12(x －1)2＋a －12，∴当x ∈[1，b ]时，f (x )min ＝f (1)＝a －12，f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a .又f (x )在[1，b ]上的值域为[1，b ]，∴⎩⎨⎧ a －12＝1，12b 2－b ＋a ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝1舍去或b ＝3. ∴a ＋b ＝32＋3＝92. 15. [3，＋∞) 解析 函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋3的值域要包括0，即最小值要小于等于0.则{ a >0，Δ＝4a 2－12a ≥0，解得a ≥3.所以a 的取值范围是[3，＋∞)．16. 解 (1)因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019＝1. 所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019＝2018.。
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g ( x) ( x 1) g ( x) x
2
(4) f ( x) x ;
课堂小结
1.用区间的方式表示{x|x≥-2}和{x|x>-2}。
2.怎样确定函数的定义域？（分类来说） 3.掌握函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 布置作业
1、必做题：课本34页A组 1 课本34页B组 1 2、选做题：
2
•自主学习
活动1:自学阅读课本第27页“表2-3” 以下至例1之前。要求： 1、填一填：区间及其几何意义 2、想一想，如何用区间应如何表示下列集合？ （1）{x|-18≤x＜6 };
（2）{x|-5<x≤14}； （3）{x|x>6}； （4）{x|-2≤x<6}∪{x|3<x≤8}。
时间：5分钟（有疑问同桌交流讨论）
{x|a≤x≤b}
闭区间
正无穷大 ，“＋∞”读作 ［a，b］ (a，b)
.
{x|x＞a}
［a，b) (a，＋∞) (a，b］
{x|x≤a}
(－∞，a］
{x|x＜a}
(－∞，a)
注意：①区间是一种表示连续性的数集; ②定义域、值域经常用区间表示; ③实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不 包括在区间内的端点。 试用区间表示下列实数集
变式1：已知函数f(x)的定义域为(2,5]，求函 数f(x+3)的定义域。 变式2：已知函数f(x+3)的定义域为(-1,2]，求 函数f(x)的定义域。
• 解：(1) 因为f(x)的定义域为(2,5]，所以2<x+3≤5， 得-1<x≤2。所以函数f(x+3)的定义域为(-1,2]。
（2）因为f(x+3)的定义域为(-1,2]，所以-1<x≤2， 得2<x+3≤5，所以f(x)的定义域为(2,5]。
（1）{x|5 ≤ x<6}
（2） {x|x ≥9}
[5,6) [9, ) ( ,1] [5,2) ( ,9) ( 9,20)
（3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2}
（4） {x|x < -9}∪{x| 9 < x<20}
典例精讲
类型一 求函数的定义域 定义域是自变量x的取值范围构成的集合；即：使得函 数有意义的x的集合。
1.已知函数f(x)的定义域为[-1,1]，求函 数f(2x+1)的定义域。 2.已知函数f(2x-1)的定义域为[-3,3],求 函数f(x)的定义域。
1.已知函数f(2x-1)的定义域为[0,1)，求 f(1-3x)的定义域。 2 f ( x 1) 2.已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求 的定义域。 3.若函数f(x+3)的定义域为[-5,-2],求 F(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域。
例1.求下列函数的定义域：
1 (1) f ( x) x2 ( 2) f ( x ) 3 x 2 (3) 1 f ( x) x 1 2 x
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当堂检测
1.求下列函数的定义域
(1) f ( x) ax b ; (a 0)
(2) f ( x) ax 2 bx c ; (a 0) 5 (3) f ( x) ; (k 0) x 1 (4) f ( x) 2 x 1 ; x 1 （5）f ( x) 1 x x 3 1.
• （1）定义域不同。 • （2）定义域不同。 • （3）定义域和值域都不同。
当堂检测
2.判断下列函数f(x)与g(x)是否表示相等的函数，并说明 理由？
(1) f ( x) ( x 1) ,
0
g ( x) 1
2 2
(2) f ( x) x; (3) f ( x) x ;
2
g ( x) x
1、区间的概念 2.无穷大概念
负无穷大 ，“－∞”读作
设a，b是两个实数，且a＜b，
(－∞，＋∞)
(1)实数集 定义 R用区间表示为 名称
”读作 符号 ，“∞ 几何表示
无穷大
(2)无穷区间的表示
{x|a＜x＜b} 开区间 定义 {x|x∈R} {x|x≥a} {x|a≤x＜b} 左闭右开区间 符号 (－∞，＋∞) ［a，＋∞) {x|a＜x≤b} 左开右闭区间
函数的概念 （第二课时）
石泉中学 张艳琴
1. 了解区间的概念，会用区间表示函数的 定义域。 2. 会求函数的定义域。 3. 会判断两个函数是否为同一个函数。
知识回顾 函数的概念
X
f
y=f(x)
自变量（任意性）
对应法则 定义域
函数值（存在唯一性）
值域
函数三要素
x y = x与y = 是同一个函数吗？ x
（2）y x x ( x R) ,这个函数与函数 y x ( x R) 不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数 与函数 y x ( x R) 相等。
3 3
典例精讲
例3.下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
( x 3)(x 5) (1) y 与y x5 x3 (2) y x 1 x 1 与 y ( x 1)(x 1) (3) f ( x) ( 2 x 5 ) 2 与 f ( x) 2 x 5
典例精讲
类型二 判断两个函数是否为同一函数
例2. 下列哪个函数与y x是同一个函数？ （1 ） y ( x) (3) y x
2 2
(2) y x
3
3
x (4) y x
2
2 y ( x ) x ( x 0), 解：（1） 这个函数与函数
y x ( x R) 虽然对应关系相同，但是定义域不相同。 所以这个函数与函数 y x ( x R) 不相等。
2.求函数定义域应注意的问题：
(1)如果y=f (x)是整式，则定义域是 实数集R
(2)如果y=f (x)是分式，则定义域是 使分母不等于0的实数的集合 (3)如果y=f (x)是二次根式，则定义域是 使根号内的式子大于或等于0的实数的集合 (4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是 使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集) (5)如果是实际问题，是使实际问题有意义的实数的集合