考研数学二(高等数学)模拟试卷41(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷41 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 当x→0时，下列四个无穷小中哪一个是比其它几个更高阶的无穷小量
A．x2
B．1一cosx
C．
D．x一sinx
正确答案：D 涉及知识点：高等数学
2． 设f(x)可导，且F(x) =f(x)(1+|sinx|)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的( )条件．
A．充分且必要．
B．充分非必要．
C．必要非充分．
D．非充分非必要．
正确答案：A 涉及知识点：高等数学
3． 设f(x)在[a，b]上连续，φ(x)=(x一b)∫axf(t)dt，则存在ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)等于
A．1
B．0
C．
D．2
正确答案：B 涉及知识点：高等数学
4． 已知(axy3一 y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2 y2)dy为某一函数的全微分，则a，b取值分别为
A．一2和2
B．2和—2
C．一3和3
D．3和一3
正确答案：B 涉及知识点：高等数学
5． 设平面域由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，若I1=[ln(x+y) ]3dxdy，I2=(x+y)3dxdy，I3=[sin( x+y)]3dxdy，则
A．I1＜I2＜I3
B．I3＜I2＜I1
C．I1＜I3 ＜I2
D．I3＜ I1＜I2
正确答案：C 涉及知识点：高等数学
填空题
6． 设f’(3)=2，则=________．
正确答案：一3 涉及知识点：高等数学
7． 已知y=f’(x) = arctanx2，则|x=0=________．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
8． 设f(lnx)=则∫f(x)dx=________．
正确答案：x一 (1+ex )ln(1+ ex) +C 涉及知识点：高等数学
9． sin(x一t)2dt =________．
正确答案：sinx2． 涉及知识点：高等数学
10． 设f(x，y，z)=exyz2，其中z= z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则fx’(0，1，一1)=________．
正确答案：1 涉及知识点：高等数学
11． 交换积分次序∫02dx∫x2xf(x，y)dy=________．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
12．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
13． 求极限
正确答案：e2 涉及知识点：高等数学
14． 求极限
正确答案：0 涉及知识点：高等数学
15． 设y=y(x)由
正确答案：= 2(t一1) (t2+1) 涉及知识点：高等数学
16． 求极限
正确答案： 涉及知识点：高等数学
17． 设a1，a2，…，an为任意实数，求证方程a1 cosx+a2cos2x+…+ancosnx=0在(0，π)内必有实根．
正确答案：构造辅助函数F(x)=a1sinx+，对F(x)在[0，π]上用罗尔定理． 涉及知识点：高等数学
18． 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，试证存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使eη一ξ[f’(η)+f(η)]=1．
正确答案：对F(x)=exf(x)和g(x)=ex分别在[a，b]上用拉格朗日中值定理． 涉及知识点：高等数学
19．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
20．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
21．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
22． 求正常数a、b，使
正确答案：a=2，b=1 涉及知识点：高等数学
23． 设星形线方程为(a＞0)．试求：1)它所围的面积；2)它的周长；3)它围成的区域绕x轴旋转而成的旋转体的体积和表面积．
正确答案：1)2) 6a3)体积 涉及知识点：高等数学
24． 设z=其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求
正确答案： 涉及知识点：高等数学
25． 求函数z=3axy 一 x3一y3(a＞0)的极值．
正确答案：(0，0)点取得极大值a3． 涉及知识点：高等数学
26． 计算
正确答案： 涉及知识点：高等数学
27． 设f(x)是以ω为周期的连续函数．证明：线性方程+ky=f(x)(k为非零常数)存在唯一的以ω为周期的特解，并求其解．
正确答案：由通解公式知其通解为由y(x)以ω为周期确定C，可得 涉及知识点：高等数学
28． 设f(x)连续，且∫01f(tx)dt=f(x)+1，求f(x)．
正确答案：f(x)=Cx+2．令xt=u. 涉及知识点：高等数学
29． 求方程y(4)一y”=0的一个特解，使其在x→0时与x3为等价无穷小．
正确答案：y=一6x+3ex一3e一x 涉及知识点：高等数学
考研英语二(作文)模拟试卷41(题后含答案及解析)
考研英语二（作文）模拟试卷41 (题后含答案及解析)
全部题型 3. Writing
Section III Writing
Part BDirections: Write an essay of 160-200 words based on the following
information. (20 points)
1． In this section, you are asked to write an essay based on the following
information. Make comments and express your own opinion. You should write at least
150 words. 近年来，一些人认为应给予有创造性的艺术家们自由，让他们能够以自己希望的任何方式(文字、图画、音乐或者电影)表达想法，而政府不应该对此进行限制。你是否同意这个观点?
正确答案： Artists are full of emotional feelings and creative ideas. That is
why they always surprise us with artistic expressions. Because of this, I think artists
should be given the freedom to create and to perform. Once restricted, the artistic
talents will be restrained, which leads to banal works to cater for the taste of the
mainstream culture. As we know, artists usually channel their strong emotions and
考研数学二(高等数学)模拟试卷29(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷29 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x)连续可导，g(x)连续，且，又f’(x)=-2x2+∫0xg(x-t)dt，则( )．
A．x=0为f(x)的极大点
B．x=0为f(x)的极小点
C．(0，0)为y=f(x)的拐点
D．x=0既不是f(x)极值点，(0，0)也不是y=f(x)的拐点
正确答案：C
解析：由∫0xg(x-t)dt=∫0xg(t)dt得f’(x)=-2x2+∫0xg(t)dt，f”(x)=-4x+g(x)，即当x∈(-δ，0)时，f”(x)>0；当x∈(0，δ)时，f”(x)，则( )．
A．f(0)是f(x)的极小值
B．f(0)是f(x)的极大值
C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点
D．x=0是f(x)的驻点但不是极值点
正确答案：C
解析：因为f(x)二阶连续可导，且，即f”(0)=0．又，由极限的保号性，存在δ>0，当0，即当x∈(-δ，0)时，f”(x)>0，当x∈(0，δ)时，f”(x)，3
解析： 知识模块：高等数学部分
4． 当x→0时，-1～cos2x-1，则a=_______．
正确答案：-3
解析：因为x→0时，cos2x-1=(cosx+1)(cosx-1)～-x2，且-1～cos2-1，所以a=-3． 知识模块：高等数学部分
5．
正确答案：0
解析：当x=0时，t=0；当t=0时，由y+ey=1，得y=0． 知识模块：高等数学部分
6．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学部分
7．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学部分
8．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学部分
9．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学部分
10．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学部分
考研数学二(高等数学)模拟试卷6(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷6 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设函数f(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内二阶可导，且f(0)=0，f”(x)在(0，a]上( )．
A．单调增加
B．单调减少
C．恒等于零
D．非单调函数
正确答案：B
解析：令h(z)=xf’(x)-f(x)，h(0)=0，h’(x)=xf”(x)得，h(x)上为单调减函数，选(B) 知识模块：高等数学部分
2． 设f(x)为可导函数，F(x)为其原函数，则( )．
A．若f(x)是周期函数，则F(x)也是周期函数
B．若f(x)是单调函数，则F(x)也是单调函数
C．若f(x)是偶函数，则F(x)是奇函数
D．若f(x)是奇函数，则F(x)是偶函数
正确答案：D
解析：令f(x)=cosx-2，F(x)=sinx-2x+C，显然f(x)为周期函数，但F(x)为非周期函数，(A)不对；令f(x)=2x，F(x)=x2+C，显然f(x)为单调增函数，但F(x)为非单调函数，(B)不对；令f(x)=x2，F(x)=x3+2，显然f(x)为偶函数，但F(x)为非奇非偶函数，(C)不对；若f(x)为奇函数，F(x)=∫axf(t)dt，因为F(-x)=∫a-xf(t)dt∫-axf(-u)(-du)=∫-axf(u)du=∫-aaf(u)du+∫axf(u)du=∫axf(u)du=F(x)，所以F(x)为偶函数，选(D) 知识模块：高等数学部分
3． 极坐标下的累次积分dθ∫02cosθf(rcosθ，rsinθ)rdr等于( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：累次积分所对应的二重积分的积分区域为D：x2+y2≤2x(y≥0)，则D={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤}，选(D) 知识模块：高等数学部分
考研数学二(高等数学)模拟试卷17(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷17 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x)=∫01-cosxsint2dt，g(x)=，则当x→0时，f(x)是g(x)的( )．
A．低阶无穷小
B．高阶无穷小
C．等价无穷小
D．同阶但非等价的无穷小
正确答案：B
解析：当x→0时，g(x)～所以f(x)是g(x)的高阶无穷小，选(B) 知识模块：高等数学部分
2． 设f(x)=x3+ax2+bx．在x=1处有极小值-2，则( )．
A．a=1，b=2
B．a=-1，b=-2
C．a=0，b=-3
D．a=0，b=3
正确答案：C
解析：f’(x)=3x2+2ax+b，因为f(x)在x=1处有极小值-2，所以解得a=0，b=-3，选(C) 知识模块：高等数学部分
填空题
3． =_______
正确答案：π／4
解析： 知识模块：高等数学部分
4． 设函数y=f(x)由方程xy+21nx=y4所确定，则曲线y=f(x)在(1，1)处的法线方程为_______．
正确答案：y=-x+2
解析：xy+2lnx=y4两边对x求导得y+将x=1，y=1代入得故曲线yf(x)在点(1，1)处的法线为y-1=-(x-1)，即y=-x+2． 知识模块：高等数学部分
5． y=ex在x=0处的曲率半径为R=_______．
正确答案：2
解析：y’(0)=1，y”(0)=1，则曲线y=ex在x=0处的曲率为，则曲率半径为R=2 知识模块：高等数学部分
6． =_______
正确答案：ln｜2x+3｜+5ln｜x-3｜+C
解析： 知识模块：高等数学部分
7． 设f(x)∈C[1，+∞)，广义积分．∫1+∞f(x)dx收敛，且满足f(x)=，则f(x)=_______．
正确答案：
解析：令∫1+∞f(x)dx=A，则由f(x)=，得 知识模块：高等数学部分
考研数学二(高等数学)模拟试卷55(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷55 (题后含答案及解析)
全部题型 2. 填空题 3. 解答题
填空题
1． cos(2x+y)dx dy=_____，其中D：x2+y2≤r2．
正确答案：1
解析：由积分中值定理，存在(ξ，η)∈D，使得 知识模块：高等数学
2． 设f(x，y)为连续函数，且f(x，y)=y2+f(x，y)dx dy，则f(x，y)=______．
正确答案：
解析：则f(x，y)=y2+Ax，两边积分得 知识模块：高等数学
3． 设区域D为x2+y2≤R2，则
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
4． 交换积分次序
正确答案： 涉及知识点：高等数学
5． 交换积分次序，则
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
6． 设二元函数f(x，y)的二阶偏导数连续，且满足fxx”(x，y)=fyy”(x，y)，f(x，2x)=x2，fx’(x，2x)=x，求fxx”(x，2x)．
正确答案：f(x，2x)=x2两边关于x求导得fx’(x，2x)+2fy’(x，2x)=2x，fx’(x，2x)=x两边关于x求导得fxx”(x，2x)+2fxy”(x，2x)=1， 涉及知识点：高等数学
7． 设
正确答案： 涉及知识点：高等数学
8． 设
正确答案： 涉及知识点：高等数学
9． 设
正确答案： 涉及知识点：高等数学
10． 设z=f(exsiny，x2+y2)，其中f具有二阶连续偏导数，求
正确答案：=exsinyf1’+2xf2’，=excosyf1’+exsiny(excosyf11”+2yf12”)+2x(excosyf21”+2yf22”)=excosyf1’+e2xsinycosyf11”+2ex(ysiny+xcosy)f12”+4xyf22”． 涉及知识点：高等数学
考研数学二(高等数学)模拟试卷53(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷53 (题后含答案及解析)
全部题型 3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1． 设，求∫01f(x)dx．
正确答案：令∫01f(x)dx=A．则．两边在[0．1]上积分得 涉及知识点：高等数学
2． 已知f(x)=x2一x∫02f(x)dx+2∫01f(x)dx，求f(x)．
正确答案：令∫02f(x)dx=A，∫01f(x)dx=B，则f(x)=x2一Ax+2B，两边在[0，2]上积分得 涉及知识点：高等数学
3． 计算定积分
正确答案： 涉及知识点：高等数学
4． 计算定积分
正确答案： 涉及知识点：高等数学
5． 计算定积分∫01xarcsinxdx．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
6． 计算定积分
正确答案： 涉及知识点：高等数学
7． 计算定积分
正确答案： 涉及知识点：高等数学
8． 计算定积分
正确答案： 涉及知识点：高等数学
9． 计算定积分
正确答案： 涉及知识点：高等数学
10． 计算定积分
正确答案： 涉及知识点：高等数学
11． 设连续非负函数f(x)满足f(x)f(一x)=1，求
正确答案： 涉及知识点：高等数学
12． 计算定积分∫-12xe-|x|dx．
正确答案：∫-12xe-|x|dx=∫-11xe-|x|dx+∫12xe-|x|dx =∫12xe-xdx=一∫12xd(e-x)=-xe-x|12+∫12e-xdx=2e-1-3e-2 涉及知识点：高等数学
13． 计算积分
正确答案： 涉及知识点：高等数学
14． 计算积分
正确答案： 涉及知识点：高等数学
15． 计算积分
正确答案： 涉及知识点：高等数学
考研数学二(高等数学)模拟试卷5(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷5 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f”(x)连续，f’(0)=0，=1，则( )．
A．f(0)是f(x)的极大值
B．f(0)是f(x)的极小值
C．(0，f(0))是y=f(x)的拐点
D．f(0)非极值，(0，f(0))也非y=f(x)的拐点
正确答案：B
解析：由=1及f”(x)的连续性，得f”(0)=0，由极限的保号性，存在δ>0，当0>0，从而f”(x)>0，于是f’(x)在(-δ，δ)内单调增加，再由f’(0)=0，得当x∈(-δ，0)时，f’(x)0，x=0为f(x)的极小值点，选(B) 知识模块：高等数学部分
2． 设x2+y2≤2ay(a>0)，则f(x，y)dxdy在极坐标下的累次积分为( )．
A．∫0πdθ∫02acosθf(rcosθ，rsinθ)rdr
B．∫0πdθ∫02asinθf(rcosθ，rsinθ)rdr
C．dθ∫02acosθf(rcosθ，rsinθ)rdr
D．dθ∫02asinθf(rcosθ，rsinθ)rdr
正确答案：B
解析：令其中0≤θ≤π，0≤r≤2asinθ，则f(x，y)dxdy=∫0πdθ∫02asinθf(rcosθ，rsinθ)rdr，选(B) 知识模块：高等数学部分
3． 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x，则该微分方程为( )．
A．y”‘-y”-y’+y=0
B．y”‘+y”-y’-y=0
C．y”‘+2y”-y’-2y=0
D．y”‘-2y”-y’+2y=0
正确答案：A
解析：由y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1=λ2=1，λ3=-1，其特征方程为(λ-1)2(λ+1)=0，即λ3-λ2-λ+1=0，所求的微分方程为y”‘-y”-y’+y=0，选(A) 知识模块：高等数学部分
考研数学二(高等数学)模拟试卷50(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷50 (题后含答案及解析)
全部题型 3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1． 设y=f(x)与y=sinx在原点相切，求
正确答案：由题意得f(0)=0，f’(0)=cosx|x=0=1， 涉及知识点：高等数学
2． 设f(x)在(一∞，+∞)有定义，f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f’(0)=a，求f(x)．
正确答案：令x=0，y=0得f(0)=0．f(x)=x2+ax+C，由f(0)=0得C=0，故f(x)=x2+ax． 涉及知识点：高等数学
3． 设f(x)可导，y=f(cos2x)，当x=处取增量△x=一0．2时，△y的线性部分为0．2，求
正确答案： 涉及知识点：高等数学
4． 设y=xsin2x，求y’．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
5． 设
正确答案： 涉及知识点：高等数学
6． 设y=x(sinx)cosx，求dy．
正确答案：lny=lnx+coslnsinx，两边微分得 涉及知识点：高等数学
7． 设函数y=y(x)由2xy=x+y确定，求dy|x=0．
正确答案：当x=0时，y=1． 2xy=x+y两边关于x求导得 涉及知识点：高等数学
8． 设函数y=y(x)由x+y=tany确定，求dy．
正确答案：x+y=tany两边关于x求导得 涉及知识点：高等数学
9． 设y=y(x)由ln(x2+y)=x3y+sinx确定，求
正确答案：x=0代入得y=1，ln(x2+y)=x3y+sinx两边关于x求导得=3x2y+x3y’+cosx，将x=0，y=1代入得 涉及知识点：高等数学
10． 求2y一x=(x—y)ln(x—y)确定的函数y=y(x)的微分dy．
考研数学二(高等数学)模拟试卷61(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷61 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 则f(x在x=0处( )．
A．不连续
B．连续不可导
C．可导但f’(x)在x=0处不连续
D．可导且f’(x)在x=0处连续
正确答案：D
解析：显然f(x)在x=0处连续，因为，所以f(x)在x=0处可导，当x＞0时，f’(x)=arctan当x＜0时，所以f’(x)在x=0处连续，选(D)． 知识模块：高等数学
2． 设g(x)=∫0xf(u)du，其中则g(x)在(0，2)内( )．
A．单调减少
B．无界
C．连续
D．有第一类间断点
正确答案：C
解析：因为f(x)在(0，2)内只有第一类间断点，所以g(x)在(0，2)内连续，选(C)． 知识模块：高等数学
填空题
3． 当x→0时，x-sinxcos2x～cxk，则c=_______，k=_______．
正确答案：，3
解析：因为x→0时，sinx=x-+o(x3)，cos2x=1-+o(x2)=1-2x2+o(x2)，sinxcos2x=x-x3+o(x3)，所以x-sinxcos2x=x3+o(x3)～x3，故c=，k=3． 知识模块：高等数学
4． 设f(x)在x=2处连续，且，则曲线y=f(x)在(2，f(2))处的切线方程为__________．
正确答案：
解析：由f’(2)=，则曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为． 知识模块：高等数学
5． 设f(x)在x=1处一阶连续可导，且f’(1)=-2，则=______.
正确答案：1
解析：由得 知识模块：高等数学
6． 设f(x，y)可微，f(1，2)=2，f’x(1，2)=3，f’y(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，则φ’(1)=______．
考研数学二(高等数学)模拟试卷28(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷28 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x)在x=0处二阶可导，f(0)=0且，则( )．
A．f(0)是f(x)的极大值
B．f(0)是f(x)的极小值
C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点
D．f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点
正确答案：B
解析：由，得f(0)+f’(0)=0，于是f’(0)=0．再由，得f”(0)=2>0，故f(0)为f(x)的极小值，选(B)． 知识模块：高等数学部分
2． 设f(x)在x=0的邻域内连续可导，g(x)在x=0的邻域内连续，且，又f’(x)=-2x2+∫0xg(x-t)dt，则( )．
A．x=0是f(x)的极大值点
B．x=0是f(x)的极小值点
C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点
D．x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点
正确答案：C
解析：由得g(0)=g’(0)=0，f’(0)=0，f’(x)=-2x2+∫0xg(x-t)dt=-2x2-∫0xg(x-t)d(x-t)=-2x2+∫0xg(u)du，f”(x)=-4x+g(x)，f”(0)=0，f”‘(x)=-4+g’(x)，f”‘(0)=-4，所以存在δ>0，当0，从而当x∈(-δ，0)时，f”(x)>0，当x∈(0，δ)时，f”(x)，则( )．
A．f(x，y)的最大值点和最小值点都在D内
B．f(x，y)的最大值点和最小值点都在D的边界上
C．f(x，y)的最小值点在D内，最大值点在D的边界上
D．f(x，y)的最大值点在D内，最小值点在D的边界上
正确答案：B
解析：若f(x，y)的最大点在D内，不妨设其为M0，则有，因为M0为最大值点，所以AC-B2非负，而在D内有，即AC-B2