分数的意义与性质及约分与通分
分数的意义和性质培优
分数的意义和性质培优分数是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用和深远的意义。
在数学教学中，分数培优能够培养学生的抽象思维能力、计算能力和解决问题的能力。
下面将从不同角度介绍分数的意义和性质，以及分数培优的方法和效果。
一、分数的意义和性质1.分数的意义：分数是用来表示不完整的部分或比例的数，由分子和分母两部分组成，分子表示部分的数量，分母表示整体的等分数目。
分数可以表示非整数的实际量，如时间、长度、重量等。
2.分数的性质：（1）分数的大小关系：对于两个分母相同的真分数，分子越大，分数越大；对于两个分子相同的真分数，分母越大，分数越小；对于分母相同，分子都为正整数的假分数，分子越大，分数越大。
（2）分数的运算性质：分数的加减乘除运算都遵循特定的规则，如分数相加减的分母要相同，可以通过通分来实现；分数相乘时，分母相乘，分子相乘，结果约分；分数相除时，分子乘以除数的倒数。
（3）约分和通分：约分是指将分数的分子和分母同时除以一个公因数得到最简分数，通分是指分母不同的分数，通过求最小公倍数，使分母相同。
二、分数培优的方法1.创设情境：通过情境创设，将分数引入实际生活中，如食物的分配、运动员的成绩等，让学生感受到分数的应用和意义。
2.使用教具：使用教具如分数带、分数方块等，让学生通过操作物体来理解分数的大小关系和计算方法。
4.解决实际问题：通过解决实际问题，让学生运用分数的知识解决问题，培养学生的解决问题的能力。
三、分数培优的效果1.提高抽象思维能力：分数的概念和计算都是抽象的，培优可以让学生锻炼抽象思维的能力，从整体与部分，部分与整体的关系中抽象出分数的概念。
2.培养计算能力：分数的加减乘除运算需要灵活运用各种规则，通过培优能够提高学生计算的准确性和速度。
3.培养解决问题的能力：分数的应用广泛，培优可以让学生培养解决实际问题的能力，如比较大小、计算比例、分配物品等。
4.增加数学兴趣：通过培优的方式，学生能够更好地理解分数的意义和应用，从而增加对数学的兴趣和学习的动力。
分数的意义和性质
分数的意义和性质一、分数的意义两个正整数p 、q 相除，可以用分数（fraction ）p q表示，即p ÷q=p q，其中p 为分子，q 为分母。
p q读作q 分之p 。
特别地，当q=1时，p q=p 。
二、分数的分类分子比分母小的分数叫做真分数（proper fraction ）。
分子大于或者等于分母的分数叫做假分数（improper fraction ）。
一个正整数与一个真分数相加所成的数叫做带分数（mixed numbers ）。
假分数转化成带分数：分母不变，分子除以分母所得整数为带分数左边的整数部分，余数作分子。
例如：将5221化为带分数，52÷21=2……10，则5221=10221。
假分数的分子除以分母之后，刚好除尽没有余数，那么这时假分数就转换成了整数。
例如：287=4，99=1。
带分数转化成假分数：分母不变，用整数部分与分母的乘积再加原分子的和作为分子。
例如：10221=221⨯21+10=5221。
三、分数的基本性质一张涂色的纸，涂色部分占这张纸的34。
小明、小杰、小丽分别用这样的纸折成不同等分的图案，你能发现什么结论呢？在这些大小相同、不同等分的纸中，涂色部 分分别占纸的几分之几？这些分数有什么 关系？通过观察我们发现，这些分数的大小是相等的，即36912481216===。
由分数34的分子、分母分别同乘以2、3、4可得分数68、912、1216；由分数1216、912、68的分子、分母分别除以4、3、2都可得分数34。
由上可得：分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等。
即a a k a nb b kb n⨯÷==⨯÷ (b ≠0,k ≠0,n ≠0)。
分子和分母互素的分数，叫做最简分数。
把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分（cancelling ）。
将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分。
分数的意义和性质单元教材分析
分数的意义和性质单元教材分析一：本单元教材分析：本单元是学生系统学习分数的开始，通过本单元内容的教学，将引导学生在已有的基础上，由感性认识上升到理性认识，使学生进一步理解分数的意义和性质，掌握必要的约分通分以及分数与小数互化的技能，为今后学习分数四则运算和解答分数应用打好基础。
二、本单元教学内容：1、分数的意义2、真分数和假分数3、分数的基本性质4、约分5、通分6、分数和小数的互化三、教学主要目标：1、知识与能力：理解分数的意义，明确分数与除法的关系，掌握分数的基本性质，认识真分数、假分数。
2、过程与方法：可以比较分数的大小，熟练地展开分数与小数互化、假分数与整数和带分数的互化、约分和通分，可以解求一个数就是另一个数的几分之几的应用题，可以用分数科学知识化解生活中的实际问题。
3、情感态度价值观：通过本单元知识学习，引导学生认识到学习数学的重要性，遇到问题会仔细地去分析、比较、思考、抽象概括，形成概念，培养学生的抽象思维能力，激发学生学习数学知识的热情。
四、本单元重、难点分析及关键：1、重点：分数的意义与分数的基本性质，分数、小数互化的方法。
2、难点：理解单位“1”，分数单位，求一个数是另一个数的几分之几的应用题，约分与通分的方法，判断一个分数能否化有限小数。
3、关键：正确理解分数的意义和性质，本单元科学知识就是下一单元的关键基础。
五、教材表明1.本单元内容的结构及其地位作用。
本单元就是学生系统自学分数的已经开始。
内容包含：分数的意义、分数与乘法的关系，真分数与假分数，分数的基本性质，最小公因数与约分后，最轻公倍数与通分以及分数与小数的互化。
学生在三年级上学期的学习中，已借助操作、直观，初步认识了分数（基本是真分数），知道了分数各部分的名称，会读、写简单的分数，会比较分子是1的分数，以及同分母分数的大小。
还学习了简单的同分母分数加、减法。
在本学期，又学习了因数、倍数等概念，掌握了2、3、5的倍数的特征。
《通分》分数的意义和性质
03 通分的概念和方 法
通分的定义和目的
定义
通分是指将两个或多个分数转化为具有相同分母的分数的过 程。
目的
通分的目的是为了便于分数的加减运算。当两个分数的分母 不同时，直接进行加减运算会非常复杂，因此需要先通过通 分将它们化为同分母的分数，再进行加减运算。
最小公倍数在通分中的应用
最小公倍数的定义
《通分》分数的意义和性质
汇报人： 日期:
目录
• 引言 • 分数的基本性质 • 通分的概念和方法 • 通分的应用 • 通分的相关性质和定理 • 总结与回顾
01 引言
分数的定义和概念
定义
分数是一个整体被分成若干等份后，表示其中一份或几份的数。它通常由分子 和分母两部分组成，分子表示所取的份数，分母表示整体被分成的份数。
通分在处理比例问题时也有很大作用。例 如，在调制饮料或烹饪食品时，需要按照 一定的比例添加各种原料。通过通分，可 以快速地确定各种原料的准确用量。
通分在其他数学领域的应用
方程求解：在解一元一次方程时，如果 方程中含有分数系数，可以通过通分简 化方程的形式，从而更容易地求出方程
的解。
不等式证明：在证明一些涉及分数的不 等式时，通分往往是一个关键步骤。通 过通分，可以将不等式转化为更容易证
等价分数的性质
等价的分数具有相同的数 值大小，但分子分母可能 不同，它们可以通过约分 或通分相互转化。
分数的大小比较
同分母分数比较
分母相同的分数，分子大 的分数值就大。
异分母分数比较
通过通分或交叉相乘的方 法，转化为同分母或整数 进行比较。
分数与小数的比较
通过小数化分数或分数化 小数的方法进行比较，注 意精度问题。
通分的步骤和示例
五年级分数的意义和性质讲解学习
五年级分数的意义和性质第四章 分数的意义和性质（一）分数的意义教学目标：1、使学生了解分数的产生，理解分数的意义，认识分数的分母、分子，认识分数单位的特点，能正确读、写分数，学会用直线上的点表示分数，正确解答求一个数是另一个数的几分之几。
2、培养学生抽象概括能力。
3、感受“知识来源于实践，又服务于实践”的观点。
教学重点：理解分数的意义。
教学难点：正确解答求一个数是另一个数的几分之几的问题。
教学内容：（一）分数意义1、我们可以把1个物体看作一个整体，也可以把许多物体看成一个整体。
将一个物体或是许多物体看成一个整体，通常我们把它叫做单位“1”.2、把单位“1”平均分成若干份，表示这样1份或者几份的数，叫做分数。
★其中，表示一份的数叫做它的分数单位。
如： 74的分数单位是71 一定要平均分，分母表示平均分的份数，分子表示取的份数。
如果只取1份，也就是它的分数单位。
如：全班有24名同学，其中男同学占全班的35。
这里把全班人数看作单位“1”。
35的5是分母，表示把单位“1”平均分的份数；3是分子，表示取的份数。
它的分数单位是15，有3个这样的分数单位。
35表示的意义是：把全班人数平均分成5份，男同学的人数占其中的3份。
例：某市今年修的公路总长是去年的1110，1110的意义是：（二）分数与除法(0)a a b b b ÷=≠分数线相当于除法中的除号。
例：把3米长的绳子平均分成4份，每份的长度是多少米？ 填一填1、把全班学生平均分成9个小组，其中4个小组占全班人数的（ ），这里的单位“1”表示的是（ ）。
2、在城市绿化中，草坪面积约占35。
35的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的单位。
3、一项工程计划8天完成，平均每天完成这项工程的（ ）（ ），3天完成这项工程的（ ）（ ）。
4、用分数表示下面各题的结果。
（1）用4米长的布料做5个桌帘，每个桌帘需布料（ ）米。
（2）一根绳子长6米，平均截成7段，每段长（ ）米。
分数的意义和性质
学生会根据假分数化成整数的方法及除法与分数间的关系准确的填空。
从而归纳出整数化假分数的方法：把整数公成假分数，用指定的分母作分母，用分母和整数的乘积作分子。
学生讨论第（3）题，仍然是先复习假分数化成带分数的方法， ， ， 。
带分数的组成，如： 是1与 的和， 是2与 的和， 是4与 的和。
6．两个分数的大小相等，它们的分子和分母必然分别相同吗？
根据分数的基本性质我们可以知道，分数的大小相等，它们的分子和分母不一定相同。
如：
7．比较 和，而分子较小，因此用找公分子，化成同分子分数比较大小比较简便。
根据分子相同，分母大的分数反而小的规律，可以判定 ＜ ，所以 ＜ 。
2．通过直观演示 的化简过程，认识什么叫约分？什么叫最简分数？
像这样 化简为 ， 化简为 ， 也就化简为 ，把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
像 这样分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。
3．掌握约分的书写格式及约分的方法。
约分的书写格式与学过的计算的不同在于，约分时要把分子、分母的公约数记在脑子里，把用公约数去除分子所得的商写在分子的上面，把用公约数去除分母所得的商写在分母下面，并把原来的分子、分母划去。
解：分数单位是 的最简真分数有 、 、 、 。 真分数是分子比分母小的分数，它比1小。
最简分数是分子、他母互质的分数。
5．9÷10的商用分数表示是（ ）。 解：9÷10＝ ，括号里填 。
除法与分数的关系是： 被除数÷除数＝
6． ＝4÷（ ）＝ ＝ 解： ＝4÷（5）＝ ＝
答：平均每小时组装 辆自行车。
②王红从A地出发到相距40千米的B地去，已知王红每小时行17千米，从A地到B地需要多少小时？（包含除应用题）
334 分数和除法、分数基本性质(学生版)
分数和除法、分数基本性质【知识定位】本讲义主要介绍分数的意义，分数和除法的关系，掌握一些分数的性质，介绍约分和通分的方法。
【知识梳理】知识梳理1：分数的意义1.我们可以把1个物体看作一个整体，也可以把许多物体看成一个整体。
将一个物体或是许多物体看成一个整体，通常我们把它叫做单位“1”。
2.把单位“1”平均分成若干份，表示这样1份或者几份的数，叫做分数。
其中，表示一份的数叫做它的分数单位。
如：74的分数单位是71。
3.分数与除法的关系例如：把3米长的绳子平均分成4份，每份的长度是多少米？用除法列式为：3÷4=34（米）；如果用分数的意义来讲，可以说成：把1米平均分成4份，一份就是14米，3个14米就是34米，也就是说“1米的34”。
因此我们可以把34米说成是1米的34，也可以说成是3米的14。
如果用a表示被除数，b 表示除数，分数与除法的关系可以表示为：a ÷b =ab（b ≠0）知识梳理2：真分数和假分数1.分子比分母小的分数叫做真分数；分子比分母大或者分子分母相等的分数叫做假分数；由整数和真分数组合成的叫做带分数。
2.真分数都小于1，假分数可能等于1或者大于1，带分数都大于1；假分数都比真分数大。
知识梳理3：分数的基本性质分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。
我们可以利用分数的基本性质对分数进行约分和通分。
知识梳理4：约分和通分 1.公因数和公倍数。
:1，2，3，6是12和30公有的因数，叫做12和30的公因数。
（几个数公有的因数，叫做它们的公因数），其中最大的那个因数，叫做它们的最大公因数。
几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，公倍数中最小的那个就叫做它们的最小公倍数。
求最大公因数和最小公倍数都可以用短除法。
如：12和3012和30的最大公因数是：2×3＝612和30的最小公倍数是：2×3×2×5＝602.约分把一个分数化成同它相等，且分子分母都比原来小的分数的过程，叫做约分。
分数的意义和性质
分数的意义和性质
分数的性质：
1.分数中间的一条横线叫做分数线，分数线上面的数叫做分子，分数线下面的数叫做分母。
读作几分之几。
2.分数可以表述成一个除法算式：如二分之一等于1除以2。
其中，1分子等于被除数，-分数线等于除号，2分母等于除数，而0.5分数值则等于商。
3.分数还可以表述为一个比，例如;二分之一等于1：2，其中1分子等于前项，—分数线等于比号，2分母等于后项，而0.5分数值则等于比值。
4.当分子与分母同时乘或除以相同的数(0除外)，分数值不会变化。
因此，每一个分数都有无限个与其相等的分数。
利用此性质，可进行约分与通分。
5.一个分数不是有限小数，就是无限循环小数，像π等这样的无限不循环小数，是不可能用分数代替的。
分数的意义：
1、分数的意义是：一个物体，一个图形，一个计量单位，都可看作单位“1”。
把单位“1”平均分成几份，表示这样一份或几份的数叫做分数。
在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的叫做分母，表示有这样多少份的叫做分子；其中的一份叫做分数单位。
2、分数原是指整体的一部分，或更一般地，任何数量相等的部分。
表现形式为一个整数a和一个整数b的比（a为b倍数的假分
数是否属于分数存在争议）。
3、分数表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例。
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。
分子在上，分母在下。
4、当分母为100的特殊情况时，可以写成百分数的形式，如1%。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1讲 分数的意义与性质及约分和通分
知识要点归纳：
１、分数的意义：把单位“１”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数。
２、分数与除法的关系：被除数÷除数＝除数
被除数 （除数不为零） ３、分数大小的比较：分母相同的两个分数，分子大的分数比较大；
分子相同的两个分数，分母小的分数比较大。
４、真分数、假分数的意义和特征
⑴真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
⑵假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。
假分数大于或等于1。
假分数可以
化成整数或者带分数。
５、分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。
６、约分的意义：（1）把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
（2）分子、分母只有公因数１的分数，叫做最简分数。
如：215\\346
等。
约分的方法：运用分数的基本性质，用分子和分母的公因数（1除外）去除分子、分母；通常要除到
最简分数为止。
（约分时尽量口算，能看出最大公约数的直接去除）
7、通分的意义：运用分数的基本性质，把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
通分的方法：先求出原来几个分母的最小公倍数，然后把各数分别化成用这个最小公倍数作分母的分
数。
（尽量口算，遇到有带分数的，只把分数部分通分，整数部分不变，但不能丢掉整数部分）
例题讲解：
例1：五（2）班有男生31人，有女生29人。
男女学生各占全班人数的几分之几？
演练场：男生人数占全班人数的
59
，则女生人数占全班的（ ）。
例2：
①把3千克糖平均分成5份，每份是3千克的几分之几？是1千克的几分之几？每份重多少千克？
②1米的4
5与4米的1
5一样长吗？
演练场：
①把6米长的绳子平均分成5段，每段占全长的（ ），每段的长是（ ）米。
②把10个苹果平均分成5份，每份是这些苹果的（ ），3份是这些苹果的（ ），每份有（
）个苹果。
例3：分母是50的真分数有多少个？其中最简真分数有多少个？
演练场：写出分母是20的所有最简真分数。
例4：在（ ）里填上分数，是假分数的要化成带分数。
12平方分米＝（ ）平方米 25分钟＝（ ）小时 31时＝（ ）天 1230千克＝（ ）吨
演练场： 263平方厘米＝（ ）平方分米 49毫升＝（ ）升
118分＝（ ）元 178克＝（ ）千克
例5：83=()16=()24
=（ ）÷24=12÷（ ）
演练场： 217=()9=()1
=21÷（ ） 31÷34＝()
68=()93
例6：一个分数是16
20，如果将它的分子减少12，要使这个分数的大小不变，分母应该减少多少？
演练场：53
的分母增加10，要使分数的大小不变，分子应该（ ）。
例7：甲乙两人做同样的机器零件，甲2小时做3个，乙5小时做7个，他们做一个零件各需多少时间？谁做得快？
演练场：三名学生跳远的成绩是：甲
3
4
8
米，乙
4
4
9
米，丙
1
4
3
米，谁是第一名？谁是第三名？
例8：（1）一个分数，分母比分子大25，约分后得4
9
，原分数是多少？
（2）一个分数约分后等于
2
13
，原来分子与分母的和是60。
原来的分数是多少？
巩固练习：一、填空。
1、把
5
12
的分子扩大3倍，要使分数的大小不变，它的分母应该（）。
2、把7
8
的分母缩小4倍，要使分数的大小不变，它的分子应该（）。
3、把一个分数的分子扩大5倍，分母不变，这个分数的值就（）。
4、2
7
的分母增加21，要使分数的大小不变，分子应该（）。
5、3
5
的分子增加6，要使分数的大小不变，它的分母应该（）。
6、一个分数的分子扩大10倍，分母缩小10倍是10
19
，原分数是（）。
7、用分数表示下列除法的商。
6÷7=（） 15÷17=（） 11÷9=（） a÷b=（）（b≠0）
8、比较大小：
()5251260 ()51163 ()5077 ()1123321212 ()112199
二、判断。
1、把单位“1”分成3份，其中的2份就是
23。
（ ） 2、3吨的14和1吨的34
一样重。
（ ） 3、39的分数单位是13。
（ ） 4、分母越大的分数，分数单位就越大。
（ ）
5、某班有男生25人，女生23人，男生人数占全班人数的2548。
（ ） 6、分数的分子和分母都乘以或除以一个相同的自然数，分数的大小不变。
（ ）
7、将45变成1620
后，分数扩大了4倍。
（ ） 8、分子相同的分数所含的分数单位的个数相同。
（ ）
三、约分。
3654＝ 2835＝ 48144＝ 5472＝ 288432
＝
四、通分。
791520和 871516和 57936
1\和6
五、写出5个比
41小并且比5
1大的分数。
六、解决问题。
1、五（1）班在一次数学测验中，得优秀成绩的有17人，得良好成绩的有23人，其余的是中等成绩，中等成绩有9人，问三种成绩的人数各占全班人数的几分之几？
2、工程队13天完成一项工程，平均每天完成这项工程的几分之几？5天可以完成这项工程的几分之几？
3、小明12分钟走了２千米路，平均每分钟走这段路的几分之几？每分钟走多少千米？
4、把5克盐溶解在41克水中化成盐水，盐占盐水的几分之几？水占盐水的几分之几？盐是水的几分之几？水是盐的几倍？
5、小李3分钟加工8个零件，小王4分钟能加工11个，小夏做13个要5分钟，谁的工作效率高？
6、⑴一个分数用8约分后，分子与分母的差是5，分子与分母的和是19.求原来的分数是多少？
⑵一个最简分数，分子与分母的和是86，如果分子与分母都减去9，得到的分数是
98。
原来的分数是多少？
⑶分母是100的最简真分数有多少个？。