【金版新学案】-高二数学人教a版选修2-2课时作业：2.1.1 word版含解析培训讲学
名校新学案高中数学人教A版选修2-2课后作业2.1.2演绎推理(备选)(含答案详析)
名校新教案高中数学人教A版选修2-2课后作业2.1.2演绎推理(备选)(含答案详析)
选修2-2第二章 2.1
1．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③因此三角形不是矩形”中的小前提是()
A．① B ．②
C．③ D ．①②
[答案 ]B
[分析 ]由①②③的关系知，小前提应为“ 三角形不是平行四边形”．故应选B.
2．求函数 y＝log2x－ 2的定义域时，第一步推理中大前提是a存心义时， a≥0，小前提是log 2x－ 2存心义，结论
________．
是
[答案 ]log2x－ 2≥0
[分析 ]由三段论方法知应为log 2x－ 2≥ 0.
3．以下推理过程省略的大前提为：________.
∵a2＋ b2≥2ab，
∴2(a2＋ b2)≥ a2＋ b2＋ 2ab.
[答案 ]若a≥ b，则a＋c≥ b＋c
[分析 ]由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋ b2，故大前提为：若a≥ b，则 a＋ c≥ b＋ c.
4．先解答下题，而后剖析说明你的解题过程切合演绎推理规则．设m 为实数，求证：方程 x2－ 2mx＋ m2＋1＝ 0 没有实数根．
[分析 ]已知方程x2－ 2mx＋ m2＋ 1＝ 0 的鉴别式＝(－2m)2－4(m2＋1)＝－4<0，因此方程 x2－ 2mx＋ m2＋ 1＝ 0 没有实数根．
说明：此推理过程用三段论表述为：
大前提：假如一元二次方程的鉴别式<0，那么这个方程没有实数根；
22
22
结论：一元二次方程x － 2mx＋ m ＋ 1＝ 0 没有实数根．
解题过程就是考证小前提建立后，得出结论．。
2019秋 金版学案 数学·选修2-2(人教A版)练习：模块综合评价(二) 含解析
C. D．(－2，1)
解析：因为f(x)是奇函数，所以不等式xf′(x)<f(－x)等价于xf′(x)<－f(x)，即xf′(x)＋f(x)<0，即F′(x)<0.
当x∈(－∞，0]时，函数F(x)单调递减；由于F(x)＝xf(x)为偶函数，所以F(x)在[0，＋∞)上单调递增．
解析：f′(x)＝ －1＝ ，x>0.令f′(x)<0，解得x>1.
答案：D
3．设f(x)＝10x＋lgx，则f′(1)等于()＋ln 10D．11ln 10
解析：f′(x)＝10xln10＋ ，所以f′(1)＝10ln 10＋ ＝10ln 10＋lg e.
1．(1＋i)16－(1－i)16＝()
A．－256B．256i
C．0D．256
解析：(1＋i)16－(1－i)16＝[(1＋i)2]8－[(1－i)2]8＝(2i)8－(－2i)8＝0.
答案：C
2．已知函数f(x)＝lnx－x，则函数f(x)的单调递减区间是()
A．(－∞，1)B．(0，1)
C．(－∞，0)，(1，＋∞)D．(1，＋∞)
答案：B
4．若函数f(x)满足f(x)＝exlnx＋3xf′(1)－1，则f′(1)＝()
A．－ B．－ C．－eD．e
解析：由已知可得f′(x)＝exlnx＋ ＋3f′(1)，令x＝1，
则f′(1)＝0＋e＋3f′(1)，解得f′(1)＝－ .
答案：A
5．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为()
答案：D
10．证明不等式 ≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：
【金版学案】高二数学选修2-2习题：模块综合评价(2)(新人教A版)(含答案解析)
模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(2015·课标全国Ⅰ卷)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析： 由1＋z 1－z ＝i 得z ＝－1＋i 1＋i ＝（－1＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝i ，所以|z |＝1. 答案：A2．若z ＝cos θ－isin θ，则使z 2＝－1的θ值可能是( ) A ．0 B.π2C ．πD ．2π解析：z 2＝(cos θ－isin θ)2＝cos 2θ－isin 2θ，又z 2＝－1，所以cos 2θ＝－1，sin 2θ＝0，检验知θ＝π2.答案：B3．设f (x )＝10x ＋lg x ，则f ′(1)等于( ) A ．10 B ．10ln 10＋lg e C.10ln 10＋ln 10 D ．11ln 10解析：f ′(x )＝10x ln 10＋1x ln 10，所以f ′(1)＝10ln 10＋1ln 10＝10ln 10＋lg e. 答案：B4．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，n ＞1)”时，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )A ．2k －1 B ．2k －1 C ．2k D ．2k ＋1解析：左边的特点是分母逐渐增加1，末项为12n －1；由n ＝k 时，末项为12k －1到n ＝k＋1时末项为12k ＋1－1＝12k －1＋2k ，所以应增加的项数为2k. 答案：C5．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除 解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”． 答案：B6．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：因为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又因为在x ＝1处有极值，所以a ＋b ＝6，因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以ab 的最大值等于9.答案：D7．观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，按此规律，则第100项为( ) A ．10 B ．14 C ．13 D ．100解析：设n ∈N *，则数字n 共有n 个，所以n （n ＋1）2≤100，即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.答案：B8．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B ．(－3，3)C ．(－∞，－3)∪[3，＋∞)D ．解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f ′(x )的图象是开口向下的抛物线，所以f ′(x )≤0恒成立，所以Δ＝4a 2－12≤0，所以－3≤a ≤ 3. 答案：D9．若f (x )＝x 2＋2∫10f (x )d x ，则∫10f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13 C.13D ．1解析：设∫10f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，m ＝∫10f (x )d x ＝∫10(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33＋2mx |1＝13＋2m ，解得m ＝－13. 答案：B10．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：由导函数图象可知，当x ＜0时，函数f (x )递减，排除A ，B ；当0＜x ＜x 1时，f ′(x )＞0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，所以选项D 正确．答案：D11.已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A.13 B.43 C ．2D.83解析：由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2， 设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0， 所以f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或x ＝－2. 故所求面积S ＝－∫0－2(x 2＋2x )d x ＝－⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2|0－2＝43. 答案：B12．若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在上有根，则实数m 的取值范围是( ) A ． B ．C ．D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.因为f (x )＝0在上有解，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，m ＋2≥0，解得－2≤m ≤2.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2015·江苏卷)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 解析：|z 2|＝|3＋4i|＝5，|z |2＝5，所以|z |＝ 5. 答案： 514．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AO →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_______________．解析：将“△ABC ”类比为“四面体A -BCD ”，将“D 为边BC 的中点”类比为“△BCD 的重心”，于是有类比结论：在四面体A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)．答案：在四面体A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)15．设x ∈R ，若x ＋x －1＝4.则可猜测x 2n ＋x －2n (n ∈N *)的个位数字是________．解析：n ＝1时，x 2＋x －2＝(x ＋x －1)2－2＝14；n ＝2时，x 4＋x －4＝(x 2＋x －2)2－2＝142－2＝194；n ＝3时，x 8＋x －8＝(x 4＋x －4)2－2＝1942－2，因为1942的个位数字是6， 所以1942－2的个位数字是4.猜想可得x 2n ＋x －2n (n ∈N *)的个位数字是4. 答案：416．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在 上有最小值3，那么在上f (x )的最大值是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(－2，0)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，所以最大值为f (3)＝54＋3＝57.答案：57三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ∈R ，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？解：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3.－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1. 知z 的实部为正数，虚部为负数， 所以复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－（a 2－2a ＋2）， 因为a 2－2a ＝(a －1)2－1≥－1， 所以x ＝a 2－2a ＋4≥3，消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)， 所以复数z 对应点的轨迹是一条射线， 其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．18．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为一个三角形的三边，S ＝12(a ＋b ＋c )，且S 2＝2ab ，求证：S ＜2a .证明：因为S 2＝2ab ， 所以要证S ＜2a ， 只需证S ＜S 2b ，即b ＜S .因为S ＝12(a ＋b ＋c )，只需证2b ＜a ＋b ＋c ， 即证b ＜a ＋c .因为a ，b ，c 为三角形三边， 所以b ＜a ＋c 成立，所以S ＜2a 成立．19．(本小题满分12分)设O 为坐标原点，已知向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2 ，且z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，a ∈R ，若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ 1→·OZ 2→的值．解：依题意得z 1＋z 2为实数， 因为z 1＋z 2＝3a ＋5＋21－a ＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －15＝0，a ＋5≠0，1－a ≠0，解得a ＝3.此时z 1＝38－i ，z 2＝－1＋i ，即OZ 1→＝⎝⎛⎭⎫38，－1，OZ 2→＝(－1，1)． 所以OZ 1→·OZ 2→＝38×(－1)＋(－1)×1＝－118.20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0，2)恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(x ∈R ，t ＞0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1， 即h (t )＝－t 3＋t －1.(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m ，由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1或t ＝－1(不合题意，舍去)． 当t 变化时，g ′(t )，g (t )的变化情况如下表：∴g (t )在h (t )＜－2t ＋m 在(0，2)内恒成立等价于g (t )＜0在(0，2)内恒成立，即等价于1－m ＜0， ∴m 的取值范围为(1，＋∞)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋2a ln x (a ＞0)． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )≤0在区间上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－4x ＋2ln x ， 所以f ′(x )＝2x 2－4x ＋2x (x ＞0)，f (1)＝－3，f ′(1)＝0，所以切线方程为y ＝－3.(2)f ′(x )＝2x 2－2（a ＋1）x ＋2a x ＝2（x －1）（x －a ）x (x ＞0)，令f ′(x )＝0得x 1＝a ，x 2＝1，当0＜a ＜1时，在x ∈(0，a )或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，在x ∈(a ，1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a ，1)；当a ＝1时，f ′(x )＝2（x －1）2x≥0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞1时，在x ∈(0，1)或x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，在x ∈(1，a )时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调增区间为(0，1)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(1，a )．(3)由(2)可知，f (x )在区间上只可能有极小值点，所以f (x )在区间上的最大值必在区间端点取到，所以f (1)＝1－2(a ＋1)≤0且f (e)＝e 2－2(a ＋1)e ＋2a ≤0，解得a ≥e 2－2e2e －2，所以a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥e 2－2e 2e －2. 22．(本小题满分12分)是否存在常数a ，b ，使等式121×3＋223×5＋…＋n 2（2n －1）（2n ＋1）＝an 2＋nbn ＋2对一切n ∈N *都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明． 解：假设存在常数a ，b 使等式成立，则将n ＝1，n ＝2代入上式，有⎩⎪⎨⎪⎧13＝a ＋1b ＋2，13＋415＝4a ＋22b ＋2，得a ＝1，b ＝4，即有121×3＋223×5＋…＋n 2（2n －1）（2n ＋1）＝n 2＋n 4n ＋2对于一切n ∈N *都成立．证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1＋14×1＋2＝13，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时等式成立，即 121×3＋223×5＋…＋k 2（2k －1）（2k ＋1）＝k 2＋k 4k ＋2， 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2（2k －1）（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝ k 2＋k 4k ＋2＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝k ＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k ＋12k ＋3＝ k ＋12k ＋1·2k 2＋5k ＋22（2k ＋3）＝k ＋12k ＋1·（2k ＋1）（k ＋2）2（2k ＋3）＝ （k ＋1）（k ＋2）4k ＋6＝（k ＋1）2＋k ＋14（k ＋1）＋2，也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立， 综上所述，等式对任何n ∈N *都成立．。
【金版案】高中数选修22(人教A版)：2.1.1 同步辅导与检测课件
1＋212＜32，
1＋212＋312＜53，
1＋212＋312＋412＜74
…
照此规律，第五个不等式为_1__2_12___312___41_2 __5_12__．612
11 6
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◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆ 合情推理的应用
设f(n)＝n2＋n＋41(n∈N*)，计算f(1)，f(2)， f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并判断是否对所有 n∈N*都成立．
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跟踪训练
4．观察下列等式： 13＋23＝9， 13＋23＋33＝36， 13＋23＋33＋43＝100， 13＋23＋33＋43＋53＝225，
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例如：通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并 证明结论的真假．
sin215°＋sin275°＋sin2135°＝32 ； sin230°＋sin290°＋sin2150°＝3 ；
2
sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝3 ；
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几何中的归纳推理
如图，在圆内画1条线段，将圆分成2部分；画2条线 段，彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4部分；画3条 线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画4 条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．
x
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝__2_n_－__1_x_＋__2_n .
2019秋 金版学案 数学·选修2-2(人教A版)练习：第一章1.1-1.1.3导数的几何意义 含解析
编 辑：__________________
时 间：__________________
第一章导数及其应用
1.1变化率与导数
1.1.3导数的几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)与f′(5)分别为()
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
解：(1)因为y′＝
＝
＝2x＋1，
所以y′|x＝1＝3，所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，x ＋x0－2)，
则直线l2的方程为y－(x ＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．
因为l1⊥l2，所以3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2x0＋1)＝－1，所以x0＝－ ，
所以直线l2的方程为y＝－ x－ .
(2)解方程组 得
又直线l1，l2与x轴交点坐标分别为(1，0)， ，
所以所求三角形面积S＝ × × ＝ .
解析：可设点P的横坐标为x0，则
＝ ＝
＝Δx＋2x0＋2， ＝2x0＋2.所以曲线C在点P处的切线的斜率为2x0＋2.由题意，得0≤2x0＋2≤1，所以－1≤x0≤－ ，所以点P的横坐标的取值范围为 .
答案：
3．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
解析：从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.
【金版新学案】高中数学 2.1.1 推理与证明课件 新人教A版 选修2-2
(2)类比推理的适用前提
①运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上有相似性
或一致性，关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来，再 由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有的特性．
②运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象．
合情推理
1．合情推理的含义
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过______ 观察 、
1.今夜恰有大雾 2.曹操生性多疑 3.北军不善水战 ⇒草船借箭必将成功 弓弩利于远战 4.今夜恰有东风
[问题2]
蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用
肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬
行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的吗？
[提示2] 是．所有的爬行动物都是用肺呼吸的．
(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出
一个猜想． (3)检验这个猜想．
3 ．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1∶2 ，则它 们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长 的比为1∶2，它们的体积比为多少？你能验证这个结论吗？
解析： 由类比推理得， 若两个正四面体的棱长的比为 1∶ 2，则它们的体积比为 1∶8.下面计算验证． 假设两个正四面体的棱长分别为 1 和 2， 如图， 正四面体 A －BCD 的棱长为 1，取 BC 的中点 E，作 AO⊥ED 于 O，则 OD 2 2 3 3 ＝3ED＝3× 2 ＝ 3 .
பைடு நூலகம்
图形中归纳推理的特点及思路
1．此类题目的特点：
由一组平面或空间图形，归纳猜想其数量的变化规律，这 类题颇有智力趣题的味道，解答时常用归纳推理的方法解决， 分析时要注意规律的寻找． 2．解决这类问题从哪入手：
金版新学案(人教版)高中数学选修2-2练习：模块综合检测A(含答案)
模块综合检测(A)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析： ∵z ＝2－i2＋i＝－2＋－＝4－4i －15＝35－45i ，∴复数z 对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45，在第四象限． 答案： D2．函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( ) A ．10 B ．5 C ．－1D ．－37解析： f ′(x )＝3x 2＋4，f ′(1)＝7，f (1)＝10，y －10＝7(x －1)，y ＝0时，x ＝－37.答案： D3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( ) ①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直； ③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交． A ．①②③ B ．①③ C ．①D ．②③解析： 类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．答案： A4．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值解析： y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1，x ＝3，当x <－1时，y ′>0；当x >－1时，y ′<0. 当x ＝－1时，y 极大值＝5，x 取不到3，无极小值． 答案： C5．函数y ＝4x 2＋1x 的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．(1，＋∞)解析： 令y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，即(2x －1)(4x 2＋2x ＋1)>0，且x ≠0，得x >12.答案： C6．下列计算错误的是( ) A ．⎠⎛π－πsin x d x ＝0 B ．⎠⎛1 0x d x ＝23C ．cos x d x ＝2cos x d xD ．⎠⎛π－πsin 2x d x ＝0解析： 由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果． 答案： D7．用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>1(n ∈N ＋)时，在验证n ＝1时，左边的代数式为( )A ．12＋13＋14B ．12＋13C ．12D ．1解析： 当n ＝1时，不等式左边为11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝12＋13＋14.答案： A8．函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上的减区间是[－1,1]，则( ) A ．a ＝13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0解析： x ∈[－1,1]，y ′＝3ax 2－1≤0，且y ′|x ＝±1＝0， ∴3a ＝1，a ＝13.答案： A9．若z 1，z 2∈C ，则z 1z 2＋z 1z 2是( ) A ．纯虚数 B ．实数 C ．虚数D ．不能确定解析： 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1z 2＋z 1z 2＝(a ＋b i)(c －d i)＋(a－b i)(c＋d i)＝(2ac＋2bd)∈R.答案： B10．设z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是()A．±15 B．15C．－15 D．15解析：log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，log2m2－3m－3m－2＝－1，m2－3m－3m－2＝12，m＝±15，而m>3，所以m＝15.答案： B11．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为() A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析：设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．答案： B12．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是()A．C4H9B．C4H10C．C4H11D．C6H12解析：后一种化合物应有4个C和10个H，所以分子式是C4H10.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知复数z ＝－1＋i1＋i －1，则在复平面内，z 所对应的点在第__________ 象限．解析： z ＝－1＋i1＋i －1＝－1＋i.答案： 二14．垂直于直线2x －6y ＋1＝0并且与曲线y ＝x 3＋3x 2－5相切的直线方程是________． 解析： 设切点为P (a ，b )，函数y ＝x 3＋3x 2－5的导数为y ′＝3x 2＋6x ，切线的斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2＋6a ＝－3，得a ＝－1，代入到y ＝x 3＋3x 2－5，得b ＝－3，即P (－1，－3)，y ＋3＝－3(x ＋1)，3x ＋y ＋6＝0.答案： 3x ＋y ＋6＝015．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R)的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a 的值为________．解析： 由题意可知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(0)＝0 ∴b ＝0，∴f (x )＝x 2(x ＋a )，有274＝∫－a 0[0－(x 3＋ax 2)]d x ＝－⎝⎛⎭⎫x 44＋ax 33| －a 0＝a 412，∴a ＝±3. 又－a >0⇒a <0，得a ＝－3. 答案： －316．若Rt △ABC 中两直角边为a ，b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b 2，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO 为棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2，那么M ，N 的大小关系是________．解析： 在Rt △ABC 中，c 2＝a 2＋b 2①，由等面积法得ch ＝ab ，∴c 2·h 2＝a 2·b 2②，①÷②整理得1h 2＝1a 2＋1b2.类比得，S 2△ABC ＝S 2△P AB ＋S 2△PBC ＋S 2△P AC ③，由等体积法得S △ABC ·PO ＝12P A ·PB ·PC ， ∴S 2△ABC ·PO 2＝14P A 2·PB 2·PC 2④， ③÷④整理得M ＝N . 答案： M ＝N三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知曲线y ＝5x ，求： (1)曲线上与直线y ＝2x －4平行的切线方程； (2)求过点P (0,5)且与曲线相切的切线方程． 解析： (1)设切点为(x 0，y 0)，由y ＝5x ， 得y ′|x ＝x 0＝52x 0. ∵切线与y ＝2x －4平行， ∴52x 0＝2，∴x 0＝2516，∴y 0＝254，则所求切线方程为y －254＝2⎝⎛⎭⎫x －2516，即2x －y ＋258＝0. (2)∵点P (0,5)不在曲线y ＝5x 上，故需设切点坐标为M (x 1，y 1)，则切线斜率为52x 1.又∵切线斜率为y 1－5x 1，∴52x 1＝y 1－5x 1＝5x 1－5x 1，∴2x 1－2x 1＝x 1，得x 1＝4. ∴切点为M (4,10)，斜率为54，∴切线方程为y －10＝54(x －4)，即5x －4y ＋20＝0.18．(本小题满分12分)设复数z 满足|z |＝1且(3＋4i)z 是纯虚数，求复数z . 解析： 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1. ① (3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a －4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，则3a －4b ＝0. ②联立①②解得⎩⎨⎧a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45＋35i 或z ＝－45－35i.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象经过点(1，－3)且在x ＝1处，f (x )取得极值．求：(1)函数f (x )的解析式；(2)f (x )的单调递增区间．解析： (1)由f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象过点(1，－3)得a ＋b ＋1＝－3， ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，又f ′(1)＝3a ＋b ＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－43a ＋b ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－6，∴f (x )＝2x 3－6x ＋1. (2)∵f ′(x )＝6x 2－6，∴由f ′(x )>0得x >1或x <－1，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c .证明： 已知a >b >c ，因为a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4， 所以a －c a －b ＋a －c b －c ≥4，即1a －b ＋1b －c ≥4a －c.21．(本小题满分13分)用总长14.8 m 的钢条做一个长方体容器的框架．如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5 m ，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．解析： 设该容器底面的一边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5)m ，此容器的高为h ＝14.84－x －(x ＋0.5)＝3.2－2x (0<x <1.6)．于是，此容器的容积为V (x )＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，其中0<x <1.6. 由V ′(x )＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，得x ＝1或x ＝－415(舍去)．因为V (x )在(0,1.6)内只有一个极值点，且x ∈(0,1)时，V ′(x )>0，函数V (x )单调递增；x ∈(1,1.6)时，V ′(x )<0，函数V (x )单调递减．所以，当x ＝1时，函数V (x )有最大值V (1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－2×1)＝1.8(m 3)，h ＝3.2－2＝1.2(m)．即当高为1.2 m 时，长方体容器的容积最大，最大容积为1.8 m 3. 22．(本小题满分13分)设函数f (x )＝x 2x －，给定数列{a n }，其中a 1＝a >1，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N ＋)．(1)若{a n }为常数列，求a 的值；(2)判断a n 与2的大小，并证明你的结论． 解析： (1)若{a n }为常数列，则a n ＝a . 由a n ＋1＝f (a n )，得a ＝f (a )．因为f(x)＝x2x－，所以a＝a2a－.又a>1，所以a＝2(a－1)，解得a＝2.(2)当a＝2时，由(1)知a n＝2.当a≠2时，因为a1＝a，a n＋1＝f(a n)＝a2na n－，所以a2＝a21a1－＝a2a－.所以a 2－2＝a2a－－2＝a2－4a＋4a－＝a－2a－>0，即a2>2.因为a 3－2＝a22a2－－2＝a2－2a2－>0，所以a3>2.猜想当n≥2时，a n>2.下面用数学归纳法证明：①n＝2时，a2>2，显然猜想成立．②假设当n＝k(k≥2)时，猜想成立，即a k>2.当n＝k＋1时，a k＋1＝f(a k)＝a2ka k－，所以a k＋1－2＝a2k－4a k＋4a k－＝a k－2a k－.由a k>2，知a k＋1－2>0，所以a k＋1>2.根据①和②可知，当a≠2时，对于一切不小于2的正整数n都有a n>2.综上所述，当a＝2时，a n＝2；当1<a<2时，a1<2，a n>2(n≥2)；当a>2时，a n>2.。
金版新学案(人教版)高中数学选修2-1练习：模块综合检测A(含答案)
模块综合检测A一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是( ) A ．对任意实数x ，都有x ＞1 B ．不存在实数x ，使x ≤1 C ．对任意实数x ，都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤1解析： 利用特称(存在性)命题的否定是全称命题求解．“存在实数x ，使x ＞1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C. 答案： C2．在命题“若x ∈R ，f (x )＝0，则函数f (x )是奇函数”的逆命题、否命题与逆否命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析： 原命题与逆否命题是假命题，逆命题与否命题是真命题． 答案： B3．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则“l ∥m ”是“α⊥β”的( ) A ．充要条件 B ．必要条件C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ∥m ⇒⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊂β⇒α⊥β， ∴“l ∥m ”是“α⊥β”的充分条件，⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊥αm ⊂β⇒/ l ∥m . 答案： C4．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0(x ，y ∈R)，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③¬p ；④¬q .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析： 命题p 为真，命题q 为假，故p 或q 真，¬q 真． 答案： B5．已知i ，j ，k 是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向上的单位向量，且OA→＝2k ，AB →＝－i ＋j －k ，则点B 的坐标为( )A ．(－1,1，－1)B ．(－i ，j ，－k )C ．(1，－1，－1)D ．(－1,1,1)解析： 设点B 的坐标为(x ，y ，z )， 则有AB →＝(x ，y ，z －2)＝(－1,1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z －2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝1.故选D.答案： D6．如下图所示，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15 B.25 C.35D.45解析： 连接BC 1，则BC 1∥AD 1，∠A 1BC 1为A 1B 与AD 1所成角，不妨设AB ＝1，则AA 1＝2.cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212A 1B ·BC 1＝5＋5－22×5＝45.答案： D7．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析： 双曲线x 24－y 212＝－1，即y 212－x 24的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1. 答案： D8．如图，在锐二面角α－l －β的棱l 上有两点A ，B ，点C ，D 分别在平面α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，AC 与BD 所成角为45°，则CD 的长度为( )A.2－1 B ．2 C. 2D. 5解析： |CD →|＝ CA →＋AB →＋BD → 2＝CA 2→＋AB 2→＋BD 2→＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD→ ＝12＋12＋12＋0＋2×1×1×cos 135°＋2×1×1×cos 135° ＝3－22＝2－1. 答案： A9．设F 1，F 2是双曲线x 2－4y 2＝4a (a >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足：PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，则a 的值为( )A ．2 B.52C ．1D. 5解析： 双曲线方程化为x 24a －y 2a ＝1(a >0)，∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2＝20a ， ① 由双曲线定义|PF 1→|－|PF 2→|＝±4a ， ② 又已知：|PF 1→|·|PF 2→|＝2，③由①②③得：20a －2×2＝16a ，∴a ＝1. 答案： C10．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2，3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为( )A ．2B ．1 C.12D ．3解析： ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，即a ·b ＝0， ∴1×(－2)＋2×3＋(－2)×m ＝0，解得m ＝2. 答案： A11．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 5C. 6D ．2解析： 双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，根据对称性，不妨取y ＝b a x ，代入抛物线得ba x ＝x 2＋1，整理得ax 2－bx ＋a ＝0.因为渐近线与抛物线相切，所以判别式Δ＝b 2－4a 2＝0，即c 2＝a 2＋b 2＝5a 2，解得e 2＝c 2a2＝5，所以离心率e ＝ 5.故选B.答案： B12．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为( ) A.12 B.32 C.13D.33解析： 以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1C →＝(－1,1，－1)，AC 1→＝(－1,1,1)．可以证明A 1C ⊥平面BC 1D ，AC 1⊥平面A 1BD .又cos 〈AC 1→，A 1C →〉＝13，结合图形可知平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为13. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中的横线上) 13．(1)命题∀x ∈R ，x 2－x ＋3>0的否定是________； (2)命题∃x 0∈R ，x 20＋3x 0－4≤0的否定是________． 答案： (1)∃x 0∈R ，x 20－x 0＋3≤0 (2)∀x ∈R ，x 2＋3x －4>014．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则x ＝________，y ＝________. 解析： ∵a ＋2b ＝(1＋2x,2＋2，－y ＋4)＝(2x ＋1,4,4－y )， 2a －b ＝(2－x,4－1，－2y －2)＝(2－x,3，－2y －2)， (a ＋2b )∥(2a －b )，∴2x ＋12－x ＝43，得x ＝12，4－y －2y －2＝43，得y ＝－4.答案： 12－415．双曲线x 2－y 2＝1的右支上到直线y ＝x 的距离为2的点的坐标是________． 解析： 设双曲线的右支上的点为P (x ，y )，x >0，则|x －y |2＝2，|x －y |＝2.又x 2－y 2＝1，解得x ＝54，y ＝－34或x ＝－54，y ＝34(舍去)，所以所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫54，－34. 答案： ⎝⎛⎭⎫54，－34 16．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为侧面BCC 1B 1的中心，则AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为________．解析： 方法一：如图，取BC 的中点M ，连接OM ，AM . 则OM ⊥平面ABCD .∴∠OAM 为AO 与平面ABCD 的夹角． 令AB ＝2，则AM ＝5，OM ＝1， ∴AO ＝ 6.sin ∠OAM ＝66. 方法二：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，令AB ＝2，则A (2,0,0)，O (1,2,1)， ∴AO →＝(－1,2,1)．又DD 1→＝(0,0,2)为平面ABCD 的法向量．设AO 与平面所成角为α， 则sin α＝|cos 〈AO →，DD 1→〉|＝|AO →·DD 1→||AO →|·|DD 1→|＝26·2＝66.答案：66三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设命题p ：方程x 2a ＋y 22＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0无实数根．若命题“p 且q ”是真命题，求a 的取值范围．解析： 由方程x 2a ＋y 22＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，得a >2.由关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0无实数根， 得Δ＝a 2－8<0， ∴－22<a <2 2.由命题“p 且q ”是真命题，得⎩⎨⎧a >2，－22<a <22，∴2<a <2 2. ∴a 的取值范围是(2,22)．18．(本小题满分12分)已知空间向量a ，b ，且〈a ，b 〉＝120°，|a |＝3，|b |＝4，求： (1)a ·b ；(2)(3a －2b )·(a ＋2b )．解析： (1)a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝3×4×cos 120°＝－6. (2)由(1)知：a ·b ＝－6；所以：(3a －2b )·(a ＋2b )＝3|a |2＋4a ·b －4|b |2＝3×32＋4×(－6)－4×42＝27－24－64＝－61. 19．(本小题满分12分)已知p ：x <－2，或x >10；q ：1－m ≤x ≤1＋m 2；¬p 是q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解析： ∵p ：x <－2，或x >10； q ：1－m ≤x ≤1＋m 2， ∴¬p ：－2≤x ≤10. ∵¬p ⇒q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m 2≥10，解得m ≥3. 又∵q 推不出¬p ，∴m ≠3. ∴m 的取值范围为(3，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，直线l ：y ＝x＋2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O 相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 与曲线|y |＝kx (k ＞0)的交点为A ，B ，求△OAB 面积的最大值． 解析： (1)由题设可知，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2， 因为直线l ：x －y ＋2＝0与圆O 相切，故有 |2|12＋ －1 2＝b .所以b ＝ 2.已知e ＝c a ＝33，所以有a 2＝3c 2＝3(a 2－b 2)．所以a 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点A (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则y 0＝kx 0， 设AB 交x 轴于点D ，由对称性知：S △OAB ＝2S △OAD ＝2×12x 0y 0＝kx 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 203＋y 202＝1，解得x 20＝62＋3k 2. 所以S △OAB ＝k ·62＋3k 2＝62k＋3k ≤62 2k·3k ＝62. 当且仅当2k ＝3k ，即k ＝62时取等号．所以△OAB 面积的最大值62. 21．(本小题满分13分)如图，在空间直角坐标系中，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．(1)证明：PC ⊥平面BEF ；(2)求平面BEF 与平面BAP 所成的锐二面角的大小．解析： (1)证明：∵AP ＝AB ＝2，BC ＝22，四边形ABCD 是矩形． ∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)． 又E ，F 分别是AD ，PC 的中点， ∴E (0，2，0)，F (1，2，1)．∴PC →＝(2,22，－2)，BF →＝(－1，2，1)， EF →＝(1,0,1)，∴PC →·BF →＝－2＋4－2＝0，PC →·EF →＝2＋0－2＝0，∴PC →⊥BF →，PC →⊥EF →，∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF ，BF ∩EF ＝F ， ∴PC ⊥平面BEF .(2)由(1)知平面BEF 的法向量n 1＝PC →＝(2,22，－2)， 平面BAP 的法向量n 2＝AD →＝(0,22，0)， ∴n 1·n 2＝8，设平面BEF 与平面BAP 所成的锐二面角为θ， 则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝84×22＝22， ∴θ＝45°，∴平面BEF 与平面BAP 所成的锐二面角为45°.22．(本小题满分13分)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在直线x ＋2y ＝2上． (1)求抛物线的标准方程；(2)直线y ＝kx ＋1(k >0)交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，AB 的中垂线交x 轴于点Q (x 0,0)．①当k ＝1时，求x 0的值； ②求x 0的取值范围．解析： (1)焦点在x 轴上为(2,0)，抛物线方程为y 2＝8x . (2)将y ＝kx ＋1代入抛物线方程并化简得 k 2x 2＋(2k －8)x ＋1＝0， Δ＝(2k －8)2－4k 2>0,0<k <2，①当k ＝1时，x 1＋x 22＝3，y 1＋y 22＝4，AB 的中垂线方程为y －4＝－(x －3)， 令y ＝0得x 0＝7.②AB 的中垂线方程为y －4k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋k －4k 2，令y ＝0得x 0＝4＋4k 2－1k ，由0<k <2得1k >12，∴x 0＝4⎝⎛⎭⎫1k 2－⎝⎛⎭⎫1k ＋4>4×⎝⎛⎭⎫122－12＋4＝92. ∴x 0＞92.。
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第二章 2.1 2.1.1
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨
辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是()
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.
答案： C
2．根据给出的数塔猜测1 234 567×9＋8＝()
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
A．11 111 110 B．11 111 111
C．11 111 112 D．11 111 113
解析：根据数塔的规律，后面加几结果就是几个1，
∴1 234 567×9＋8＝11 111 111.
答案： B
3．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()
A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．
答案： D
4．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为”()
A．定值
B．变数
C ．有时为定值、有时为变数
D ．与正四面体无关的常数
解析： 设正四面体S －ABC 的棱长为a ，正四面体内任意一点O 到各面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4，由体积关系得V S －ABC ＝13·34a 2·(h 1＋h 2＋h 3＋h 4)＝13·34a 2·63
a
∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝6
3
a (此为正四面体的高)． 答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知Rt △ABC 的两条直角边长分别为a ，b ，则其面积S ＝1
2ab .若三棱锥P －ABC 的
三条侧棱两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，类比上述结论可得此三棱锥的体积V P
－ABC
等于__________ . 解析： V ＝13Sc ＝1
6abc .
答案： 1
6abc
6．给出下列推理：
(1)三角形的内角和为(3－2)·180°， 四边形的内角和为(4－2)·180°， 五边形的内角和为(5－2)·180°， …
所以凸n 边形的内角和为(n －2)·180°；
(2)三角函数都是周期函数，y ＝tan x 是三角函数，所以y ＝tan x 是周期函数； (3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的；
狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；
(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．
其中属于合情推理的是________．(填序号)
解析： 根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．
答案： (1)(3)(4)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线；…，由此猜想凸n 边形有几条对角线？
解析：因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…，于是猜想凸n边形的对角线条数比凸(n－1)边形多(n－2)条对角线，由此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)，由等差数列求和公式可得1
2n(n－3)(n≥4，n∈N
*)．
所以凸n边形的对角线条数为1
2n(n－3)(n≥4，n∈N
*)．
8．从大、小正方形的数量关系上，观察如图所示的几何图形，试归纳得出的结论．
解析：从大、小正方形的数量关系上容易发现：
1＝12，
1＋3＝2×2＝22，
1＋3＋5＝3×3＝32，
1＋3＋5＋7＝4×4＝42，
1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52，
1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62.
观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：
1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
尖子生题库☆☆☆
(10分)已知在Rt △ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有1
AD2＝
1
AB2＋
1
AC2成立．那么在
四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．
解析： 猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1
AD
2.猜想正确．
如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF .
∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，
∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，
∴AB ⊥AF .
在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，
∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2.
在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2.
∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1
AD
2，故猜想正确．。