高中数学人教A版选修2-1人教A版选修2-1期末综合测试题.docx
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块综合测评 选修2－1(A 版)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0(x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真． 答案：B2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当α＝π6＋2k π(k ∈Z )时，cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋π3＝cos π3＝12. 反之当cos2α＝12时，有2α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒α＝k π＋π6(k ∈Z )，故应选A.答案：A3．若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是( )A ．b ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B ．b ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．b ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．b ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：若l ∥α，则b·n ＝0.将各选项代入，知D 选项正确． 答案：D4．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析：∵|a |＝|b |＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.故向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°.答案：A5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.答案：B6．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为()A.63B.255C.155D.105解析：建立如图所示空间直角坐标系，得D (0,0,0)，B (2,2,0)，C 1(0,2,1)，B 1(2,2,1)，D 1(0,0,1)，则DB →＝(2,2,0)，DD 1→＝(0,0,1)，BC 1→＝(－2,0,1)． 设平面BD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DD 1→＝z ＝0，∴取n ＝(1，－1,0)．设BC 1与平面BD 1所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈n ，BC 1→〉＝|BC 1→·n ||BC 1→|·|n |＝25·2＝105.答案：D7．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程是( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a2. ∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8. 答案：B8．三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3解析：AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos90°－2×2×cos60°＝－2.答案：A9．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5D. 6解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，∵y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a x ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 答案：C10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：双曲线的离心率e 21＝a 2＋b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 21e 22＝1，即a 2＋b 2a 2×m 2－b 2m2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2.∴以a 、b 、m 为边长的三角形为直角三角形．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是__________．解析：依题意a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝16，c ＝4,2c ＝8.答案：812．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的有__________．解析：依题意可知p 假，q 真，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真．答案：“p ∨q ” “綈p ”13．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线x 2＝y 上的点到直线AB 的最短距离为__________．解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x 上的点P (t ，t 2)， d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝(t －1)2＋35≥35＝355.答案：35 5.14．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为__________．解析：建立空间直角坐标系如图，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)，C (0,1,0)，∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1，CN →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12.∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1254＝25.即直线AM 与CN 所成角的余弦值为25. 答案：25三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知命题p ：方程x 22m ＋y 29－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2，若命题p 、q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．解：若p 真，则有9－m ＞2m ＞0， 即0＜m ＜3.若q 真，则有m ＞0， 且e 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 5∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，即52＜m ＜5. 若p 、q 中有且只有一个为真命题， 则p 、q 一真一假．(4分) ①若p 真、q 假，则0＜m ＜3，且m ≥5或m ≤52，即0＜m ≤52；(6分) ②若p 假、q 真，则m ≥3或m ≤0，且52＜m ＜5， 即3≤m ＜5.(8分)故所求m 的范围为：0＜m ≤52或3≤m ＜5.(12分)16．(12分)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，与另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上一动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．解：(1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r . 圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2， 圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2，∴||CF 1|－|CF ||＝4. ∵|F 1F |＝25＞4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(6分)(2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时， |MP |－|FP |取得最大值|MF |， 且|MF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫355－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫455－02＝2. 直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得⎩⎨⎧y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0.解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655. 此时y ＝－255.∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫655，－255.(12分)17．(12分)如图，点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c 于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的标准方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点． 解：(1)方法一：由条件知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .故直线PF 2的斜率为 kPF 2＝b 2a －0－c －c ＝－b 22ac .∵PF 2⊥F 2Q .∴直线F 2Q 的方程为y ＝2ac b 2x －2ac 2b 2.故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，2a . 由题设知，a 2c ＝4,2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1. 则b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(6分)方法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于点M .由条件知，P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . ∵△PF 1F 2∽△F 2MQ ，∴|PF 1||F 2M |＝|F 1F 2||MQ |. 即b 2a a 2c －c＝2c |MQ |，解得|MQ |＝2a .∴⎩⎨⎧a 2c ＝4，2a ＝4.解得a ＝2，c ＝1.则b 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2)直线PQ 的方程为y －2a b 2a －2a ＝x －a 2c －c －a 2c，即y ＝c a x ＋a .将上式代入椭圆方程得，x 2＋2cx ＋c 2＝0，解得x ＝－c ，y ＝b 2a .∴直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．(12分)18．(14分)如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；(2)证明平面AMD ⊥平面CDE ；(3)求二面角A -CD -E 的余弦值．解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12. (1)BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.∴异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(4分)(2)证明：由AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，CE →＝(－1,0,1)， AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0. 因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(8分)(3)设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0. 令z ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又∵由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．∴cos 〈u ，v 〉＝u·v |u |·|v |＝0＋0＋13×1＝33. ∵二面角A -CD -E 为锐角，∴其余弦值为33.(14分)。
高中数学人教A版选修2-1高二数学(理科)期末考试题.doc
梅州中学2010－2011学年高二第一学期期末试题理科数学（本试卷满分150分；考试时间120分钟）一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分) 1.不等式01032>++-x x 的解集为()),5()2,( .+∞--∞Y A ),2()5,( .∞--∞Y B )2,5( .-C )5,2( .-D2、在ABC ∆中，33,3,120a b A ===︒，则角B 的值为()A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒3、在同一坐标系中，方程2222210(0)x y ax by a b a b+=+=>>与的曲线大致是（）4、抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（） A ．1716B ．1516C ．78D ．05、设双曲线焦点在y 轴上，两条渐近线为12y x =±，则该双曲线离心率e =（）A ．5B ．2C ．546、木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的() A ．60倍 B ．6030倍 C ．120倍 D ．12030倍7.正四面体P-ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面结论不成立．．．的是()A ．平面PDF ⊥平面ABCB ．DF ⊥平面PAEC ．BC//平面PDFD ．平面PAE ⊥平面ABC8．若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“F 点”，下列曲线中存在“F 点”的是（）A ．1151622=+y x B ．1242522=+y x C ．11522=-y x D ．122=-y x二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9.已知向量(2,4,),(2,,2)a x b y ==r r ,若||6a =r,且a b ⊥r r ,则x y += .10.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若246,30,S S ==，则6S = 。
高中数学人教A版选修2-1高二上学期期末试题扫描版数学理.docx
慈溪市2011学年度第一学期高二年级期末考试数学（理科）参考答案及评分标准（考试时间：120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCABCACDDC二、填空题（本大题共7小题,每小题4分,共28分）11.若两条直线互相垂直，则这两条直线的斜率不一定互为负倒数；真[①写成否命题形式的：若两条直线不互相垂直，则这两条直线的斜率不互为负倒数，真，可给2分； ②写成这种形式的：若两条直线互相垂直，则这两条直线的斜率不互为负倒数，假，可给2分．] 12.255 13. 35514. 20x y +-= 15. 16π 16.①②④⑤[若出现③，则本题不给分；每少一个扣1分] 17. 24(0)y x x =≠[不写0x ≠，则扣1分] 三、解答题（本大题共5小题，共72分）18.(本小题满分14分）解.（1）在图2中，过D 作DG AC ⊥，垂足为G ……………………………………2分 Q 平面ACD ⊥平面ABC ，且平面ACD I 平面ABC =AC ， DG ⊂平面ACD∴DG ⊥平面ABC ………………………………………………………………4分又Q BC ABC ⊂平面，∴DG ⊥BC 即BC DG ⊥ ………………………………5分Q 90ACB ∠=︒即BC AC ⊥Q AC DG G ⋂=，且,AC DG ACD ⊂平面 ∴BC ⊥平面ADC ….…………7分（2）连结BG ，Q DG ⊥平面ABC ，∴DBG ∠为直线BD 与平面ABC 所成的角，且DG BG ⊥ ………………….………9分 在Rt ACD V 中，=2DG ，2AG =在Rt ABC V 中,AB=4,2222cos 4510BG AG AB AG AB =+-⋅︒=,10BG = …10分在Rt DGB V 中，5tan 5DG DBG BG ∠==………………………………………………11分（3）1133D ABC ABC V sh DG S -==⋅V 423= ………………………………..……. 14分[公式1分,结论2分]19.(本小题满分14分）解.（1）设圆N 的圆心(,)N a b ,则(,)N a b 和点M (2,2)--关于直线20x y ++=对称∴222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得0a =,0b = (4)分∴圆N 的方程为222x y r +=Q 圆N 过点(1,1)P ，∴由(1,1)P 代入圆N 方程得22,2λλ== …………...………6分 ∴圆N 的方程为222x y +=…………………………………………………………..……7分（2）设(,)Q x y ，Q (2,2)M --∴(1,1)PQ x y =--u u u r ，(2,2)MQ x y =++u u u u r∴(1)(2)(1)(2)PQ MQ x x y y ⋅=-++-+u u u r u u u u r224x y x y =+++- (10)分又Q Q 在圆N 上，∴222x y +=∴2PQ MQ x y ⋅=+-u u u r u u u u r (11)分Q222()22x y x y ++≥当且仅当x y =时取“=” ∴22x y -≤+≤ (13)分故PQ MQ ⋅u u u r u u u u r的最小值为4-（此时1x y ==-）[不写“此时1x y ==-”不扣分了！] (14)分20.(本小题满分14分）解.以A 为原点，AF u u u r 为z 轴，AB u u u r 为x 轴，AD u u u r为y 轴，建立空间直角坐标系，……1分设1AB =∴(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,1,1)E ，(0,0,1)F ，11(,1,)22M ……………………………………………………………………………..….…3分（1）Q (1,0,1)BF =-u u u r ，11(,1,)22DM =-u u u u r ………………………………………5分Q 110022BF DM ⋅=-++=u u u r u u u u r∴BF DM ⊥u u u r u u u u r，即BF DM ⊥………………………………………….………………..…7分（2）设平面CDE 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则0n CE n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r…………………..……9分 又(1,0,1)CE =-u u u r ，(0,1,1)DE =-u u u r∴00x z y z -+=⎧⎨-+=⎩，又可令1x =，则(1,1,1)n =r (11)分又易证平面ACD 的一个法向量为(0,0,1)v =r………………………………………….…12分∴0013cos ,3||||31u v u v u v ⋅++<>===⋅⨯r rr r r r 故二面角A CD E --的余弦值为33………………………………………………….…14分 21.(本小题满分15分）解.(1)由直线的截距式方程可知，线段AB 的方程为133x y+=，即30(03)x y x +-=≤≤…………………………………………..…………3分 (2)当直线l 的斜率不存在时，符合条件，此时公共点的横坐标为0x =…………………4分当直线l 的斜率存在时，设为k ，则:3(0)l y k x -=-，即3y kx =+…………………5分由223()401y kx x k m x y x mx =+⎧⇒+-+=⎨=-+-⎩ 由条件必有0=V ，即2()160k m --=，4k m -=±…………………………….…..…8分∴此时2440x x ±+=，2x =±…………………………………………………………..10分故当直线l 与抛物线C 只有一个公共点时，此公共点的横坐标为0或2-或2. .………11分 (3)必要性：Q 抛物线C 和线段AB 有两个不同交点∴方程组213(03)y x mx x y x ⎧=-+-⎨+=≤≤⎩有两个不同的实数解消去y 得2(1)40(03)x m x x -++=≤≤∴方程2(1)40x m x -++=在03x ≤≤上有两个不同的实数根令2()(1)4f x x m x =-++∴必须有2(1)160(0)0(3)01032m f f m ⎧=+->⎪≥⎪⎪⎨≥⎪+⎪<<⎪⎩V 即22(1)43100016m m m ⎧+>⎪-+≥⎨⎪<+<⎩，解得1033m <≤……………...…14分充分性：当1033m <≤时，对方程:2(1)40x m x -++= Q 2211(1)161(1)022m m m m x +-+-+-+=>=22210101(1)161(1)1633322m m x +-+-+++-=≤=∴方程2(1)40x m x -++=有两个不同实数根，且满足1203x x <<≤即方程组213(03)y x mx x y x ⎧=-+-⎨+=≤≤⎩有两个不同实数解故综上讨论得，所求的充要条件为1033m <≤.…………………………………………..15分 【或（3）另解：Q 抛物线C 和线段AB 有两个不同交点的充要条件是方程组213(03)y x mx x y x ⎧=-+-⎨+=≤≤⎩有两个不同的实数解 (12)分即方程2(1)40x m x -++=在03x ≤≤有两个不同的实数根 令二次函数2()(1)4f x x m x =-++∴方程2(1)40x m x -++=在03x ≤≤上有两个不同实数根的充要条件是二次函数()y f x =与x 轴有两个不同交点，且交点均在区间[0,3]内…………………………...13分 Q 二次函数()y f x =与x 轴在区间[0,3]上有两个不同交点的充要条件是2(1)160(0)0(3)01032m f f m ⎧=+->⎪≥⎪⎪⎨≥⎪+⎪<<⎪⎩V ，即22(1)43100016m m m ⎧+>⎪-+≥⎨⎪<+<⎩，解之得1033m <≤………………………15分故所求的充要条件为1033m <≤.】 22.(本小题满分15分）解.（1）由已知得： 22222325c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩∴2,1a b ==，∴椭圆C 的方程为2214x y +=….5分 （2）αβπ+=为定值. ……………………………………………………………………6分 由（1）知：1(2,0)A -，2(2,0)A ，1(0,1)BQ 21//l A B ∴2112l A B k k ==-故可设直线l 的方程为12y x m =-+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ………………….……7分由221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得222220x mx m -+-= ∴2244(22)0m m =-->V ，即22m -<<…………………………………………8分12212222x x mx x m +=⎧⎨=-⎩………………………………………………………………..………….…9分Q ,P Q 异于椭圆C 的顶点，∴,22ππαβ≠≠∴111tan 2A P y k x α==+，1221tan B Q y k x β-==…………………………………………11分 ∴tan tan αβ+=121212y y x x -+=+211212(2)(1)(2)x y x y x x ++-=+2112211222(2)x y x y y x x x +---+ Q 1112y x m =-+，2212y x m =-+……………………………………………...………12分 ∴tan tan αβ+=21122112111()()2()2222(2)x x m x x m x m x x x -++-+--+--+121212(1)()22(2)m x x x x m x x -+-+-=+2122(1)(22)22(2)m m m m x x ---+-=+0= ……………………………… 13分 ∴tan tan tan()01tan tan αβαβαβ++==- (1)4分又Q ,(0,)αβπ∈，∴ (0,2)αβπ+∈故αβπ+= .……………………………………………………………….………….....15分[理科考试范围： 必修②：1、空间几何体；2、点、直线、平面之间的位置关系；3、直线与方程；4、圆与方程．选修2-1：1、常用逻辑用语；2、圆锥曲线与方程；3、空间向量与立体几何．]。
高中数学人教A版选修2-1高二上学期期末联考数学(理)试题.docx
2011学年第一学期温州市十校联合体期末考试高二数学试卷（理科）说明：本试卷满分120分，考试时间100分钟。
学生答题时不可使用计算器。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．“232>+-x x ”是 “2>x ” 成立的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知点)1,1(-A 及圆 044422=++-+y x y x ，则过点A ，且在圆上截得的弦为最长的弦所在的直线方程是（ ▲ ）A.01=-xB.0=+y xC.01=+yD.02=--y x 3. 在同一坐标系中，方程22221a x b y +=与20ax by +=（a ＞ｂ＞０）的曲线大致是（ ▲ ）4． 设b a 、是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ▲ ）A ． 若αα//,,b a b a 则⊥⊥B ．βαβα⊥⊥⊥⊥则若,,,b a b aC ．若αβαβ//,,a a 则⊥⊥D ．若ββαα⊥⊥a a 则,,//5．已知A B C 、、三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A B、、一定共面的是（▲）A．OM OA OB OC =++B ．2OM OA OB OC =-- C ．1123OM OA OB OC =++D ．111236OM OA OB OC =++ 6．过点(4,0)C 的直线与双曲线221412x y -=的右支交于A B 、两点，则直线AB 的斜率k的取值范围是（ ▲ ）A.1k ≥B.3k >C.3k ≤D.1k < 7．设),2(ππθ∈，则直线01sin cos =++θθy x 的倾斜角α为（ ▲ ）A.2πθ-B. θC. 2πθ+D. θπ-8．已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，S A ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，则球O 的表面积等于（ ▲ ）A.2πB.3π C .4π D.π 9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB和BM 所成的角的大小是（ ▲ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ． 2π正视图 3 22 侧视图俯视图210．点P 在椭圆22143x y +=上运动，Q 、R 分别在两圆22(1)1x y ++=和22(1)1x y -+=上运动，则PQ PR+的取值范围为（ ▲ ）A ．[3，5]B [2，5]C [3，6]D [2，6] 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．命题”，“032>++∈∀x x R x 的否定是 ▲ . 12．已知直线01)4()3(:1=+-+-y k x k l 与032)3(2:2=+--y x k l 平行，则k 的值为 ▲ .13．抛物线x y 42=的一条弦被点)2,4(A 平分,那么这条弦所在的直线方程是为 ▲ .14．已知三棱锥O-ABC 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN = ▲ . (结果用cb a ,,表示)15．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积是 ▲ .16．过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 ▲ .17．已知AC ，B D 为圆O ：x 2+y 2=4的两条互相垂直的弦，垂足为M （1，2），则四边形ABCD 的面积最大值为 ▲ .三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 18．（本小题8分）已知命题p ：“函数xa x f )21()(+=是R 上的增函数” ，命题q ：“方程012=++ax x 有两个不相等的负实数根”. 若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．19．（本小题8分）已知抛物线E 的顶点在原点，焦点在x 轴上，开口向左，且抛物线上一点M 到其焦点的最小距离为41，抛物线E 与直线l ：(1)()y k x k R =+∈相交于A 、B 两点。
高中数学人教A版选修2-1 模块综合测评 Word版含答案
【答案】 B
x2 y2
3
x2 y2
3．若椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)的离心率为 ，则双曲线 － ＝1
a2 b2
2
a2 b2
的离心率为( )
5 A.
4 3 C. 2
5 B.
2 5 D. 4
( ) b2 3 2 3 b2 1
【解析】 由题意，1－ ＝ ＝ ，∴ ＝ ，而双曲线的离心 a2 2 4 a2 4
A．2 或－1
B．－1
C．2
D．1± 5
{ ) 【解析】 设
A(x1， y1)， B(x2， y2)． 由
y＝kx－2， y2＝8x，
消去 y，得
k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，故 Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)>0，解得 k>
4（k＋2）
p
p
－1，且 x1＋x2＝ k2 .由|AF|＝x1＋2＝x1＋2，|BF|＝x2＋2＝x2＋2，
于是A→C＝(1，2，0)，A→M＝(0，1，1)，C→D＝(－1，0，0)． 设平面 ACM 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
{ ) 由
n⊥A→C，n⊥A→M可得
x＋2y＝0， y＋z＝0.
令 z＝1，得 x＝2，y＝－1，于是 n＝(2，－1，1)．
设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为 α，
图3 (1)求证：AM⊥PD； (2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值． 【解】 (1)证明：∵PA⊥平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD，∴PA ⊥AB. ∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，∴AB⊥平面 PAD. ∵PD⊂平面 PAD，∴AB⊥PD. ∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面 ABM. ∵AM⊂平面 ABM，∴AM⊥PD. (2)如图所示，以点 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Axyz， 则 A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)， M(0，1，1)，
最新人教A版高中数学选修2-1测试题全套及答案
高中数学选修2-1测试题全套及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．给出命题：“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．若命题p ∨q 与命题p ⌝都是真命题，则( )A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 的真假相同3．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则（ ）A ．⌝p ：∀x ∈A ，2x ∉B B ．⌝p ：∀x ∉A ，2x ∉BC ．⌝p ：∃x 0∉A ，2x 0∈BD ．⌝p ：∃x 0∈A ，2x 0∉B4．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数5．设U 为全集，A,B 是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题（ ） A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题7．若“0＜x ＜1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是（ ）A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)B ．(－1，0)C ．[－1，0]D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)8．命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p ∨q ”是真命题B ．“p ∧q ”是假命题C ．⌝p 为假命题D ．⌝q 为假命题9．下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数10．下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要的条件是（ ）A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 311．已知A ：13x -<，B ：(2)()0x x a ++<，若A 是B 的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是( )A ．(4，+∞)B ．[4，+∞)C ．(-∞，4]D ．(-∞，-4)12．已知命题p:不等式(x -1)(x -2)>0的解集为A ，命题q:不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集为B ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[－3,1]D ．[－2，＋∞)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上） 13若关于x 的不等式|x －m |＜2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值X 围是________．14．若命题“∪x ∪R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值X 围是________．15．关于x 的方程x 2－(2a －1)x ＋a 2－2＝0至少有一个非负实根的充要条件的a 的取值X 围是________．16．给出下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题；③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件； ④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________．17．已知命题p ：∀x ∈[1,2]都有x 2≥a ．命题q ：∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立，若命题p ∧q 是真命题，则实数a 的取值X 围是________．18．如果甲是乙的必要不充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则丁是甲的__________条件．三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知命题p:若,0≥ac 则二次方程02=++c bx ax 没有实根.(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假, 并证明你的结论.20．（10分）已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝φ”是假命题，XX 数m 的取值X 围．21．（10分）已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∪P 是x ∪S 的充要条件，若存在，求出m 的X 围；若不存在，请说明理由；(2)是否存在实数m ，使x ∪P 是x ∪S 的必要条件，若存在，求出m 的X 围；若不存在，请说明理由．22．（10分）已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；命题q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若命题p ∧q 为假，命题p ∨q 为真，XX 数c 的取值X 围．23．（10分）已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题p ∨q 是假命题，求a 的取值X 围．24．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列． 证明：数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3.参考答案一、选择题1.D2.B3.D4.B5.C6.D7.C8.B9.D 10.A 11.D 12.A提示：1．逆命题为：若x ＝y ＝0，则x 2＋y 2＝0，是真命题．否命题为：若x 2＋y 2≠0，则x ≠0或y ≠0，是真命题．逆否命题为：若x ≠0或y ≠0，则x 2＋y 2≠0，是真命题．2．“p ⌝”为真命题，则命题p 为假，又p 或q 为真，则q 为真，故选B.3．由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得．命题p 是全称命题：∀x ∈A ，2x ∈B ，则⌝p 是特称命题：∃x 0∈A ，2x 0∉B .故选D.4．原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是B 选项．5．6．原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 7．(x －a )[x －(a ＋2)]≤0⇒a ≤x ≤a ＋2，由集合的包含关系知：⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋2≥1，⇒a ∈[－1，0]． 8．因为当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，所以命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，综上可知，“p 或q ”是假命题. 9．对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题. 10.a >b ＋1⇒a －b >1>0⇒a >b ，但a ＝2，b ＝1满足a >b ，但a ＝b ＋1，故A 项正确．对于B ，a >b －1不能推出a >b ，排除B ；而a 2>b 2不能推出a >b ，如a ＝－2，b ＝1，(－2)2>12，但－2<1，故C 项错误；a >b ⇔a 3>b 3，它们互为充要条件，排除D.11．由题知1324x x -<⇔-<<，当2a <时，(2)()02x x a x a ++<⇔-<<-，若A 是B 的充分不必要条件，则有A B ⊆且B A ≠，故有4a ->，即4a <-；当2a =时，B=φ，显然不成立；当2a >时，(2)()02x x a a x ++<⇔-<<-，不可能有A B ⊆，故(),4a ∈-∞-.12.不等式（x -1）（x -2）>0，解得x >2或x <1，所以A 为(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x 2＋(a －1)x －a >0可以化为(x －1)(x ＋a )>0，当－a ≤1时，解得x >1或x <－a ，即B 为(－∞，－a )∪(1，＋∞)，此时a ＝－1；当－a >1时，不等式(x －1)(x ＋a )>0的解集是(－∞，1)∪(－a ，＋∞)，此时－a <2，即－2<a <－1.综合知－2<a ≤－1.二、填空题13.(1，4) 14.[－8,0] 15.⎣⎡⎦⎤－2，9416.①② 17.(－∞，－2]∪{1} 18.充分不必要提示：13．由|x －m |＜2得－2＜x －m ＜2，即m －2＜x ＜m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m －2＜x ＜m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＜2m ＋2＞3，由此解得1＜m ＜4，即实数m 的取值X 围是(1，4)．14．由题意知，x 为任意实数时，都有ax 2－ax －2≤0恒成立．当a ＝0时，－2≤0成立．当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0得－8≤a ＜0， 所以－8≤a ≤0.15.设方程的两根分别为x 1，x 2，当有一个非负实根时，x 1x 2＝a 2－2≤0，即－2≤a ≤2；当有两个非负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2a －1）2－4（a 2－2）≥0，x 1＋x 2＝2a －1＞0，x 1x 2＝a 2－2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤9，a ＞12，a ≤－2或a ≥ 2.即2≤a ≤94.综上，得－2≤a ≤94. 16.①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．17.若p 是真命题，即a ≤(x 2)min ，x ∈[1,2]，所以a ≤1；若q 是真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有解，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.命题“p 且q ”是真命题，则p 是真命题，q 也是真命题，故有a ≤－2或a ＝1.三、解答题19.解：(1)命题p 的否命题为:若,0<ac 则二次方程02=++c bx ax 有实根.(2)命题p 的否命题是真命题. 证明如下: ,04,0,02>-=∆>-<ac b ac ac 所以所以因为所以二次方程02=++c bx ax 有实根.故该命题是真命题.20.解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}． 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0⇒m ≥32. 又集合{m |m ≥32}关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}， 所以实数m 的取值X 围是{m |m ≤－1}．21.解：(1)不存在.由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为x ∈P 是x ∈S 的充要条件，所以P ＝S ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在．(2)存在.由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3. 又1+m ≥1-m,所以m ≥0.综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．22.解：因为函数y ＝c x 在R 上单调递减，所以0<c <1.即p ：0<c <1，因为c >0且c ≠1，所以⌝p ：c >1.又因为f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，所以c ≤12.即q ：0<c ≤12，因为c >0且c ≠1， 所以⌝q ：c >12且c ≠1. 又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，所以p 真q 假或p 假q 真．①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∪. 综上所述，实数c 的取值X 围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. 23.解：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0,所以x ＝a 2或x ＝－a ， 所以当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，所以|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，所以Δ＝4a 2－8a ＝0，所以a ＝0或a ＝2.所以当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.所以命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.因为命题“p 或q ”为假命题，所以a >2或a <－2.即a 的取值X 围为{a |a >2或a <－2}．24.证明: 因为数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列，所以S n ＋1＝S 1＋1·2n －1，即S n ＋1＝(a 1＋1)·4n －1.因为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，3（a 1＋1）·4n －2，n ≥2，显然，当n ≥2时，a n ＋1a n ＝4. ①充分性：当a 1＝3时，a 2a 1＝4，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝4，即数列{a n }是等比数列． ②必要性：因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝4， 即3（a 1＋1）a 1＝4，解得a 1＝3. 综上，数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3.第二章 圆锥曲线与方程 测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，那么抛物线的方程是（ ）A ．y 2＝－16xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝－12x2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝5，则|PF 2|＝（ ）A ．5B ．3C ．7D ．3或73．已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1，F 2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的焦距为4，一个顶点是抛物线y 2＝4x 的焦点，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．32D ．26．已知点A （3，4），F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当|AM |＋|MF |最小时，M 点坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（3，26）C ．（3，－26）D ．（2，4）7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的离心率为52，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为（ ）A ．12B ．33C ．32D ．228．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ）A ．42B ．83C ．24D ．489．已知点A （1，2）是抛物线C ：y 2＝2px 与直线l ：y ＝k （x ＋1）的一个交点，则抛物线C 的焦点到直线l 的距离是（ ）A ．22B ．2C ．322D ．2210．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．811．已知以F 1（－2，0），F 2（2，0）为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A ．32B ．26C ．27D ．712．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，且|BC|=|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y=±3xB ．y=±22xC ．y=±（1+3）xD ．y=±（3－1）x 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）13．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离是＿＿＿＿＿．14．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是＿＿＿＿＿．15．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：（x －5）2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：（x ＋5）2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是＿＿＿＿＿．16．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A （72，4），则|PA |＋|PM |的最小值是＿＿＿＿＿．17．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，则|F 1A |＋|F 1B |的值为＿＿＿＿＿．18．过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点作斜率为3的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在y 轴上的正射影分别为D ，C ，若梯形ABCD 的面积为103，则p=＿＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，求双曲线方程．20．（10分）已知点P （3，4）是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上的一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1⊥PF 2．试求：（1）椭圆的方程；（2）△PF 1F 2的面积．21．（10分）抛物线y 2＝2px （p >0）有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．22．（10分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求此抛物线的方程．23．（10分）设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1（a >0）与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A 、B ． （1）求双曲线C 的离心率e 的取值X 围；（2）设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求a 的值．24．（10分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0）的离心率为63，且经过点（32，12）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，2）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最大值．参考答案一、选择题1．C 2．D 3．D 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C 9．B 10．A 11．C 12．C 提示：1．由题设知直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点（4，0）即为抛物线的焦点，故其方程为y 2＝16x ．2．因为双曲线的定义可得||PF 1|－|PF 2||＝2，所以|PF 2|＝7或3．3．由题意知|MF 2|＝10－|MF 1|＝8，ON 是△MF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|MF 2|＝4． 4．若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，所以2<m <6且m ≠4，故2<m <6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件． 5．依题意，得c ＝2，a ＝1，所以e ＝ca ＝2．6．由题知点A 在抛物线内．设M 到准线的距离为|MK |，则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MK |，当|MA |＋|MK |最小时，M 点坐标是（2，4）．7．因为在双曲线中，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，在椭圆中，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝1－14＝34，所以椭圆的离心率e ＝32．8．由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24．9．将点（1，2）代入y 2＝2px 中，可得p ＝2，即得抛物线y 2＝4x ，其焦点坐标为（1，0），将点（1，2）代入y ＝k （x ＋1）中，可得k ＝1，即得直线x －y ＋1＝0，所以抛物线C 的焦点到直线l 的距离d ＝|1－0＋1|2＝2．10．由椭圆方程得F （－1，0），设P （x 0，y 0），则OP →·FP →＝（x 0，y 0）·（x 0＋1，y 0）＝x 20＋x 0＋y 20，因为P 为椭圆上一点，所以x 204＋y 203＝1，所以OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3（1－x 204）＝x 204＋x 0＋3＝14（x 0＋2）2＋2，因为－2≤x 0≤2，所以OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6．11．根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1（b >0），则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4（b 2＋1）y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，因为椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，所以Δ＝（83b 2）2－4×4（b 2＋1）（－b 4＋12b 2）＝0，即（b 2＋4）·（b 2－3）＝0，所以b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27．12．根据双曲线的定义有|CF 1|－|CF 2|=2a ，而|BC|=|CF 2|，那么2a=|CF 1|－|CF 2|=|CF 1|－|BC|=|BF 1|，而又由双曲线的定义有|BF 2|－|BF 1|=2a ，可得|BF 2|=4a ，由于过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，那么sin ∠BF 1F 2=c a ，那么cos ∠BF 1F 2=cb，根据余弦定理有cos ∠BF 1F 2=c b =ca a c a 222)4()2()2(222⨯⨯-+，整理有b 2－2ab －2a 2=0，即（a b）2－2a b －2=0，解得a b =1+3（a b =1－3<0舍去），故双曲线的渐近线方程为y=±abx=±（1+3）x ．二、填空题13．1814．x 281＋y 272＝115．10 16．9217．82318．3 提示：13．由x 2＝14y 知，p ＝18，所以焦点到准线的距离为p ＝18．14．依题意知：2a ＝18，所以a ＝9，2c ＝13×2a ，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，所以椭圆方程为x 281＋y 272＝1．15．依题意得，点F 1（－5，0）、F 2（5，0）分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|（|PF 2|＋1）－（|PF 1|－1）|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10．16．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F （12，0），又点A （72，4）在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12，又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|PA |＋|PM |≥92．17．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x －1，消去y 整理得3x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝43，易得点A （0，－1）、B （43，13）．又点F 1（－1，0），因此|F 1A |＋|F 1B |＝12＋(－1)2＋(73)2＋(13)2＝823．18．由抛物线y 2=2px （p>0）得其焦点F （2p ，0），直线AB 的方程为y=3（x －2p ），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（假定x 2>x 1），由题意可知y 1<0，y 2>0，联立⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(32，整理有3y 2－2py －3p 2=0，可得y 1+y 2=32p，y 1y 2=－p 2，则有x 1+x 2=35p ，而梯形ABCD的面积为S=21（x 1+x 2）（y 2－y 1）=65p212214)(y y y y -+=103，整理有p 2=9，而p>0，故p=3．三、解答题19．解：设双曲线的方程为42·x 2－32·y 2＝λ（λ≠0）， 从而有（|λ|4）2＋（|λ|3）2＝100，解得λ＝±576， 所以双曲线的方程为x 236－y 264＝1和y 264－x 236＝1． 20．解：（1）因为P 点在椭圆上，所以9a 2＋16b 2＝1，① 又PF 1⊥PF 2，所以43＋c ·43－c ＝－1，得：c 2＝25，②又a 2＝b 2＋c 2，③ 由①②③得a 2＝45，b 2＝20，则椭圆方程为x 245＋y 220＝1； （2）S 21F PF ∆＝12|F 1F 2|×4＝5×4＝20．21．解：设抛物线y 2＝2px （p >0）的内接直角三角形为AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ； 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，可得点B 的坐标为（8p ，－4p ）．因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513， 所以⎝⎛⎭⎫p24＋p 2＋（64p 2＋16p 2）＝325， 所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x ．22．解：设抛物线的方程为y 2＝2px （p >0），其准线方程为x ＝－p2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为|AF |＋|BF |＝8， 所以x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8，即x 1＋x 2＝8－p ，因为Q （6，0）在线段AB 的中垂线上，所以QA ＝QB ，即（x 1－6）2＋y 21＝（x 2－6）2＋y 22，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以（x 1－x 2）（x 1＋x 2－12＋2p ）＝0， 因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2＝12－2p ，故8－p ＝12－2p ，所以p ＝4， 所以所求抛物线方程是y 2＝8x ．23．解：（1）联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1，消y 得x 2－a 2（1－x ）2－a 2＝0，即（1－a 2）x 2＋2a 2x －2a 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a21－a 2.因为与双曲线交于两点A 、B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，可得0<a 2<2且a 2≠1，所以e 的取值X 围为（62，2）∪（2，＋∞）； （2）由（1）得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝－2a21－a2.因为P A →＝512PB →，所以x 1＝512x 2，则1712x 2＝－2a 21－a 2，①512x 22＝－2a 21－a 2，② 由①2②得，a 2＝289169，结合a >0，则a ＝1713． 24．解：（1）由e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝23，得b a ＝13，①由椭圆C 经过点（32，12），得94a 2＋14b 2＝1，②联立①②，解得b ＝1，a ＝3， 所以椭圆C 的方程是x 23＋y 2＝1；（2）易知直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得（1＋3k 2）x 2＋12kx ＋9＝0， 令Δ＝144k 2－36（1＋3k 2）>0，得k 2>1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2，所以S △AOB ＝|S △POB －S △POA |＝12×2×|x 1－x 2|＝|x 1－x 2|，因为（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝（－12k 1＋3k 2）2－361＋3k 2＝36(k 2－1)(1＋3k 2)2，设k 2－1＝t （t >0）， 则（x 1－x 2）2＝36t(3t ＋4)2＝369t ＋16t＋24≤3629t ×16t＋24＝34， 当且仅当9t ＝16t ，即t ＝43时等号成立，此时k 2＝73，△AOB 面积取得最大值32．第三章 空间向量与立体几何一、选择题1．若A (0，－1，1)，B (1，1，3)，则|AB |的值是()． A ．5B ．5C ．9 D ．32．化简AB ＋CD －CB －AD ，结果为()．A ．0B ．ABC ．ACD ．3．若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不成立的是()． A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m b D ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )4．已知＋＝(2，－1，0)，a －b ＝(0，3，－2)，则cos<，>的值为()． A ．31B ．－32C ．33D ．375．若P 是平面α 外一点，A 为平面α 内一点，n 为平面α 的一个法向量，且<，n >＝40º，则直线PA 与平面α 所成的角为()．A ．40ºB ．50ºC ．40º或50ºD ．不确定6．若A ，B ，C ，D 四点共面，且 ＝ ＋ 3＋ 2＋ x ，则x 的值是()．A ．4B ．2C ．6D ．－67．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD ＝90º，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60º，则AC 1的长等于()．A ．85B ．50C ．85D ．528．已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－4，2，x )，c ＝（1，－x ，2），若(a ＋b )⊥c ，则x 等于()．A ．4B ．－4C ．21D ．－6 9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，考虑下列命题①(A A 1＋11D A ＋11B A )2＝3(11B A )2；②A 1·(11B A －A A 1)＝0；③向量1AD 与向量A 1的夹角为60º；④正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为|··|． 错误命题的个数是()．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知四边形ABCD 满足·＞0，·＞0，·＞0，·＞0，则该四边形为()．A ．平行四边形B ．梯形C ．任意的平面四边形D ．空间四边形 二、填空题11．设a ＝(－1，1，2)，b ＝(2，1，－2)，则a －2b ＝．1AA12．已知向量a ，b ，c 两两互相垂直，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，s ＝a ＋b ＋c ，则|s |＝． 13．若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b 所成角的大小．14．若n 1，n 2分别为平面α，β 的一个法向量，且<n 1，n 2>＝60º，则二面角α－l －β 的大小为．15．设A (3，2，1)，B (1，0，4)，则到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 应满足的条件是 ．16．已知向量n A A 1＝2a ，a 与b 夹角为30º，且|a |＝3，则21A A ＋32A A ＋…＋n n A A 1-在向量b 的方向上的射影的模为．三、解答题17．如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是平行四边形， O 是B 1D 1的中点．求证：B 1C //平面ODC 1．18．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底边CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90º，棱AA 1＝2，M ，N 分别是11B A 、的中点．A A 1ABA 1B 1D CD 1C 1O（第17题）(1)求BN ·M C 1；(2)求cos<1BA ，1CB >．19．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．ACBA 1C 1B 1N M（第18题）(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； (3)AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4．20．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，∠DAB 为直角，AB //CD ，AD ＝CD ＝2AB ，E ，F 分别为PC 、CD 中点．ABA 1D B 1C D 1C 1E（第19题）(1)试证：CD ⊥平面BEF ；(2)设PA ＝k ·AB ，且二面角E —BD —C 的平面角大于30º，求k 的取值X 围．参考答案一、选择题 1．D2．A3．D 4．B解析：两已知条件相加，得 a ＝（1，1，-1），再得 b ＝（1，－2，1），则cos<a ，b >＝||||b a •＝－32． 5．B6．D7．C8．B9．B 10．D解析：由AB ·BC ＞0得∠ABC ＞90º，同理，∠BCD ＞90º，∠CDA ＞90º，∠DAB ＞90º，若ABCD 为平面四边形，则四个内角之和为360º，这与上述得到结论矛盾，故选D ．二、填空题11．(－5，－1，6) ．12．14． 13．90°．BACPE FD（第20题）14．60º或120º． 15．4x ＋4y －6z ＋3＝0． 16．3． 三、解答题17．提示：∵C B 1＝D A 1＝11C A ＋D C 1＝21OC ＋D C 1． ∴ 直线B 1C 平行于直线OC 1与C 1D 所确定的平面ODC 1． 18．(1)0．提示：可用向量计算，也可用综合法得C 1M ⊥BN ，进而得两向量数量积为0． (2)1030． 提示：坐标法，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴．19．(1)提示：以D 为原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，可得1·E D 1＝0．(2)31． 提示：平面ACD 1的一个法向量为n 1＝(2，1，2)，d ＝11n n | |1·E D ＝31． (3)2－3．提示：平面D 1EC 的一个法向量为n 2＝（2－x ，1，2）（其中AE ＝x ），利用 cos 4x ＝2－3．20．(1)提示：坐标法，A 为原点，直线AD ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴．(2)k ＞15152．提示：不妨设AB ＝1，则PA ＝k ，利用cos<n 1，n 2>＜23，其中n 1，n 2分别为面EBD ，面BDC 的一个法向量．。
高中数学人教A版选修2-1(新课标人教A版)高中数学选修2-1【综合测评】(A)
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）综合测评(A)(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出两个命题:p:|x|=x的充要条件是x为正实数,q:不等式|x-y|≤|x|+|y|取等号的条件是xy<0,则下列命题是真命题的是( ).A.p∧qB.p∨qC.(┐p)∧qD.(┐p)∨q答案:D解析:命题p为假,∵x=0时,也有|x|=x成立;命题q也为假,∵当x=0或y=0时,|x-y|≤|x|+|y|也成立,∴(┐p)∨q为真命题.故选D.2.下列命题的逆否命题中,真命题的个数为( ).①若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根②若x2+y2=0,则x,y全为零③如果两圆相切,那么圆心距等于两圆半径之和④奇数不能被2整除A.1B.2C.3D.4答案:C3.命题“存在x0∈R,≤0”的否定是( ).A.不存在x∈R,>0B.存在x∈R,≥0C.对任意的x∈R,2x≤0D.对任意的x∈R,2x>0答案:D4.已知菱形ABCD边长为1,∠DAB=60°,将这个菱形沿AC折成60°的二面角,则B,D两点间的距离为( ).A. B. C. D.答案:B5.已知向量=(1,2,3),=(4,5,6),则平面ABC的一个单位法向量是( ).A. B.C. D.答案:A6.设α,β是两个不重合的平面,l,m是两条不重合的直线,则α∥β的充分条件是( ).A.l⊂α,m⊂β且l∥β,m∥αB.l⊂α,m⊂β且l∥mC.l⊥α,m⊥β且l∥mD.l∥α,m∥β且l∥m答案:C7.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°,则AC1的长为( ).A.2B.C.D.答案:D8.设P为椭圆上一点,F1,F2为椭圆的左、右焦点,若∠PF1F2=60°,∠PF2F1=30°,则此椭圆的离心率为( ).A. B.-1 C. D.答案:B9.设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过其焦点的直线交于A,B两点,则=( ).A. B.- C.3 D.-3答案:B10.已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在y轴上,焦距为8,它的一条渐近线为y=-x,则此双曲线方程为( ).A.x2-y2=96B.y2-x2=160C.x2-y2=80D.y2-x2=24答案:D11.已知F1,F2是双曲线=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( ).A.4+2B.-1C. D.+1答案:D12.已知命题p:存在x∈(-∞,0),2x<3x;命题q:△ABC中,若sin A>sin B,则A>B,则下列命题中为真命题的是( ).A.p且qB.p或(┐q)C.(┐p)且qD.p且(┐q)答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.命题:“若ab不为零,则a,b都不为零”的逆否命题是.答案:若a,b至少有一个为零,则ab=014.已知点P在曲线(y-2)2=16(2-x)上运动,点Q与点P关于点(1,1)对称,则点Q的轨迹方程为.答案:y2=16x15.已知F1,F2为双曲线=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足|PF1||PF2|=32,则∠F 1PF2=.答案:90°16.有下列命题:①双曲线=1与椭圆+y2=1有相同的焦点;②“-<x<0”是“2x2-5x-3<0”必要不充分条件;③若a,b共线,则a,b所在的直线平行;④若a,b,c三向量两两共面,则a,b,c三向量一定也共面;⑤∀x∈R,x2-3x+3≠0.其中是真命题的有:.(填正确命题的序号)答案:①⑤三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)已知a>0,且a≠1,设命题p:函数y=log a(x+1)在x∈(0,+∞)内单调递减;q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点,如果p和q有且只有一个为真命题,求a 的取值范围.解:当0<a<1时,函数y=log a(x+1)在(0,+∞)内单调递减;当a>1时,y=log a(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减;曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点,等价于(2a-3)2-4>0,即a<或a>.(1)若p真且q假,即y=log a(x+1)在(0,+∞)内单调递减,曲线y=x2+(2a-3)x+1与x 轴不交于不同的两点,因此a∈(0,1),且≤a<1或1<a≤,即≤a<1.(2)若p假且q真,则y=log a(x+1)在(0,+∞)上不是单调递减,曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点,因此a∈(1,+∞)且a∈,∴a>.综上所述,a的取值范围为.18.(12分)如图,椭圆C0:=1(a>b>0,a,b为常数),动圆C1:x2+y2=,b<t1<a.点A1,A2分别为C 0的左,右顶点,C1与C相交于A,B,C,D四点.(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程;(2)设动圆C2:x2+y2=与C相交于A',B',C',D'四点,其中b<t2<a,t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等,解:为定值.(1)解:设A(x1,y1),B(x1,-y1),又知A1(-a,0),A2(a,0),则直线A1A的方程为y=(x+a),①直线A2B的方程为y=(x-a).②由①②得y2=(x2-a2).③由点A(x1,y1)在椭圆C上,故=1.从而=b2,代入③得=1(x<-a,y<0).(2)解:设A'(x2,y2),由矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等,得4|x1||y1|=4|x2||y2|,故.因为点A,A'均在椭圆上, 所以b2=b2.由t1≠t2,知x1≠x2,所以=a2.从而=b2,因此=a2+b2为定值.19.(12分)在三棱柱ABC - A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.(1)证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的长;(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.(1)解:连结AO,在△AOA1中,作OE⊥AA1于点E,因为AA1∥BB1,得OE⊥BB1,因为A 1O ⊥平面ABC,所以A 1O ⊥BC. 因为AB=AC,OB=OC,得AO ⊥BC, 所以BC ⊥平面AA 1O,所以BC ⊥OE, 所以OE ⊥平面BB 1C 1C. 又AO==1,AA 1=, 得AE=.(2)解:如图,分别以OA,OB,OA 1所在直线为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A 1(0,0,2), 由得点E 的坐标是,由(1)得平面BB 1C 1C 的法向量是, 设平面A 1B 1C 的法向量n =(x ,y ,z ), 由令y=1,得x=2,z=-1,即n =(2,1,-1),所以cos <,n >=,即平面BB 1C 1C 与平面A 1B 1C 的夹角的余弦值是.20.(12分)正方形ABCD 的顶点A ,C 在抛物线y 2=4x 上,一条对角线BD 在直线y=-x+2上. (1)求AC 所在直线的方程; (2)求正方形ABCD 的面积. 解:(1)由题意,可知AC ⊥BD.设AC 所在的直线方程为:y=2x+b, 由得4x 2+4(b-1)x+b 2=0. 设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2), ∴x 1+x 2=1-b,. ∴AC 的中点M.又M ∈BD,∴=1.∴b=-3. 经检验符合题意.∴AC 所在的直线方程为y=2x-3. (2)设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2), 由(1),得x 1+x 2=4,x 1x 2=.∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=7. ∴|x 1-x 2|=.∴|AC|=|x 1-x 2|=. ∴S 正方形ABCD =|AC|2=.∴正方形ABCD 的面积为.21.(12分)如图,矩形ABCD 所在的平面和正方形ADD 1A 1所在的平面互相垂直,AD=AA 1=1,AB=2,点E 在棱AB 上移动.(1)当E 为AB 的中点时,求点E 到平面ACD 1的距离; (2)AE 等于何值时,二面角D-EC-D 1的大小为?解:(1)由题意得AD 1=,D 1C=,AC=,. h=h.S △AEC =×1×1=S △AEC ·DD 1=. 又,∴h=,h=.点E 到平面ACD 1的距离为.(2)以A 为原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴,AA 1为z 轴建立空间直角坐标系,设E(x,0,0),则C(2,1,0),D 1(0,1,1),=(2-x,1,0),=(-2,0,1). 设平面D 1EC 的法向量为n =(1,t 1,t 2), 则n ⊥,n ⊥, 则解得∴n =(1,x-2,2).又平面DEC 的一个法向量为(0,0,1), ∵二面角D-EC-D 1的大小为, ∴cos ,解得x=2±. 又x ≤2,∴当AE=2-时,二面角D-EC-D 1的大小为.22.(14分)平面内与两定点A 1(-a,0),A 2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹,加上A 1,A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线. (1)求曲线C 的方程,并讨论C 的形状与m 值的关系.(2)当m=-1时,对应的曲线为C 1;对给定的m ∈(-1,0)∪(0,+∞),对应的曲线为C 2,设F 1,F 2是C 2的两个焦点.试问:在C 1上,是否存在点N ,使得△F 1NF 2的面积S=|m|a 2.若存在,求tan ∠F 1NF 2的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)设动点为M,其坐标为(x,y).当x ≠±a 时,由条件可得··=m. 即mx 2-y 2=ma 2(x ≠±a).又A 1(-a,0),A 2(a,0)的坐标满足mx 2-y 2=ma 2, 故依题意,曲线C 的方程为mx 2-y 2=ma 2.当m<-1时,曲线C 的方程为=1,C 是焦点在y 轴上的椭圆;当m=-1时,曲线C 的方程为x 2+y 2=a 2,C 是圆心在原点的圆; 当-1<m<0时,曲线C 的方程为=1,C 是焦点在x 轴上的椭圆; 当m>0时,曲线C 的方程为=1,C 是焦点在x 轴上的双曲线. (2)由(1)知,当m=-1时,C 1的方程为x 2+y 2=a 2;当m∈(-1,0)∪(0,+∞)时, C2的两个焦点分别为F 1(-a,0),F2(a,0).对于给定的m∈(-1,0)∪(0,+∞),C1上存在点N(x,y)(y≠0)使得S=|m|a2的充要条件是由①得0<|y0|≤a,由②得|y|= .当0<≤a,即≤m<0,或0<m≤时,存在点N,使S=|m|a2; 当>a,即-1<m<,或m>时,不存在满足条件的点N.当m∈时,由=(-a-x0,-y),=(a-x,-y),可得·-(1+m)a2+=-ma2.令||=r1,||=r2,∠F1NF2=θ.则由·=r1r2cosθ=-ma2,可得r1r2=-,从而S=r1r2sinθ=-=-ma2tanθ,于是由S=|m|a2,可得-ma2tanθ=|m|a2,即tanθ=-.综上可得:当m∈时,在C1上存在点N,使得S=|m|a2,且tan∠F1NF2=2;当m∈时,在C1上存在点N,使得S=|m|a2,且tan∠F1NF2=-2;当m∈时,在C1上不存在满足条件的点N.。
高中数学人教A版选修2-1(新课标人教A版)高中数学选修2-1【综合测评】(B)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作综合测评(B)(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题中,真命题是( ).A.∃x∈R,≤0B.∀x∈R,2x>x2C.a+b=0的充要条件是=-1D.a>1,b>1是ab>1的充分条件答案:D解析:∵a>1>0,b>1>0,∴由不等式的性质得ab>1,即a>1,b>1⇒ab>1.2.已知命题p:∀x∈R,x2-x+>0,则┐p为( ).A.∀x∈R,x2-x+≤0B.∃x∈R,x2-x+≤0C.∃x∈R,x2-x+>0D.∀x∈R,x2-x+≥0答案:B3.双曲线=1的焦距是( ).A.4B.2C.8D.与m有关答案:C解析:依题意a2=m2+12,b2=4-m2,所以c==4.所以焦距2c=8.4.已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若2a-b与b垂直,则|a|等于( ).A. B. C. D.答案:D解析:由已知可得2a-b=(2,2n,4)-(-2,1,2)=(4,2n-1,2).又(2a-b)⊥b,∴-8+2n-1+4=0.∴2n=5,n=.∴|a|=.5.椭圆=1上一点到两焦点的距离分别为d1,d2,焦距为2c,若d1,2c,d2成等差数列,则椭圆的离心率为( ).A. B. C. D.答案:A解析:依题意d1+d2=2a.而d1,2c,d2成等差数列,所以d1+d2=4c.而2a=4c,所以e=.6.对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,有如下关系:6+2+3,则( ).A.四点O,A,B,C必共面B.四点P,A,B,C必共面C.四点O,P,B,C必共面D.五点O,P,A,B,C必共面答案:B解析:由已知得,而=1,∴四点P,A,B,C共面.7.若命题“∃x∈R,使x2+(a-1)x+1<0”是假命题,则实数a的取值范围为( ).A.1≤a≤3B.-1≤a≤3C.-3≤a≤3D.-1≤a≤1答案:B解析:根据题意可得∀x∈R,都有x2+(a-1)x+1≥0,∴Δ=(a-1)2-4≤0,∴-1≤a≤3.8.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( ).A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2答案:B解析:∵y2=2px的焦点坐标为,∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p.∴=p=2.∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.9.如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足,则||2的值为( ).A. B.2 C. D.答案:D解析:由题可知||=1,||=1,||=.<>=45°,<>=45°,<>=60°.∴||2==···+2-×1×1×+1×-1×.10.已知命题p:“若a>b>0,则lo a<lo b+1”,则命题p的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( ).A.0B.1C.2D.4答案:B解析:对于命题p,当a>b>0时,有lo a<lo b,则必有lo a<lo b+1,因此原命题正确,逆否命题也正确;但当lo a<lo b+1时,得lo a<lo,得a>>0,不一定有a>b>0,因此逆命题不正确,故否命题也不正确,故选B.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为( ).A. B. C. D.答案:C解析:建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A 1(1,0,1),B(1,1,0),C 1(0,1,1). ∴=(1,0,1),=(1,1,0),=(-1,0,1). 设平面A 1BD 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则n ·=0,n ·=0.∴令x=1,则n =(1,-1,-1), ∴cos <n ,>=.∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为. ∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为.12.过M(-2,0)的直线m 与椭圆+y 2=1交于P 1,P 2两点,线段P 1P 2的中点为P,设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0),直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为( ). A .2 B .-2 C . D .- 答案:D解析:设直线m:y=k 1(x+2),代入+y 2=1得:x 2+2(x+2)2-2=0,整理,得(1+2)x 2+8x+8-2=0,Δ=(8)2-4(1+2)(8-2)>0,解得.设P 1P 2的中点P(x 0,y 0),则x 0=,y 0=k 1(x 0+2)=.∴k 2=-.∴k 1k 2=-.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.在四面体OABC 中,=a ,=b ,=c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则= .(用a ,b ,c 表示)答案:a +b +c 解析:)==a +b +c .14.命题p :若a ,b ∈R ,则ab=0是a=0的充分条件,命题q :函数y=的定义域是[3,+∞),则“p ∨q”“p ∧q”“┐p”中是真命题的有 .答案:p ∨q,┐p解析:依题意可知p 假,q 真,所以“p∨q”为真,“p∧q”为假,“┐p”为真. 15.设F 1,F 2是椭圆=1的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF 1|-|PF 2|=1,则cos ∠F 1PF 2= . 答案:解析:椭圆焦点在y 轴上,a 2=4,b 2=3,c=1,又P 在椭圆上,所以|PF 1|+|PF 2|=4,因为|PF 1|-|PF 2|=1,所以|PF 1|=,|PF 2|=.又|F 1F 2|=2c=2,所以cos ∠F 1PF 2=.16.如图,已知A(-3p,0)(p>0),B,C 两点分别在y 轴和x 轴上运动,并且满足=0,,则动点Q 的轨迹方程为 .答案:y2=4px(p>0)解析:设Q(x,y),因为,所以B.又A(-3p,0),所以.由已知·=0,所以3px-y2=0,即y2=4px(p>0).三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)已知命题p:不等式|x-1|>m-1的解集为R,命题q:f(x)=-(5-2m)x是减函数,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.解:由于不等式|x-1|>m-1的解集为R,所以m-1<0,m<1;因为f(x)=-(5-2m)x是减函数,所以5-2m>1,m<2.即命题p:m<1,命题q:m<2.因为p或q为真,p且q为假,所以p和q中一真一假.当p真q假时应有m无解.当p假q真时应有1≤m<2.故实数m的取值范围是1≤m<2.18.(12分)已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c.求:(1)a,b,c;(2)(a+c)与(b+c)所成角的余弦值.解:(1)因为a∥b,所以,解得x=2,y=-4,这时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).(2)由(1)得(a+c)=(5,2,3),(b+c)=(1,-6,1),因此(a+c)与(b+c)所成角的余弦值为cosθ==-.19.(12分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且a2=2b.(1)求椭圆的方程;(2)若直线l:x-y+m=0与椭圆交于A,B两点,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值. 解:(1)由题意得解得所以b2=a2-c2=1,故椭圆的方程为x2+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x,y).联立直线与椭圆的方程得即3x2+2mx+m2-2=0,所以x0==-,y=x+m=,即M.又因为M点在圆x2+y2=5上,所以=5,解得m=±3.20.(12分)如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点.(1)解:直线MN∥平面OCD;(2)求异面直线AB与MD所成的角的大小.解:作AP ⊥CD 于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),P,D,O(0,0,2),M(0,0,1),N. (1),设平面OCD 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则n ·=0,n ·=0,即 取z=,解得n =(0,4,). ∴·n =·(0,4,)=0.又MN ⊄平面OCD,∴MN ∥平面OCD.(2)设异面直线AB 与MD 所成的角为θ, ∵=(1,0,0),, ∴cos θ=.∴θ=,即异面直线AB 与MD 所成的角的大小为.21.(12分)如图,椭圆E:=1(a>b>0)的左焦点为F 1,右焦点为F 2,离心率e=.过F 1的直线交椭圆于A,B 两点,且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程;(2)设动直线l:y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ 为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.解法一:(1)因为|AB|+|AF 2|+|BF 2|=8,即|AF 1|+|F 1B|+|AF 2|+|BF 2|=8, 又|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a, 所以4a=8,a=2.又因为e=,即,所以c=1. 所以b=.故椭圆E 的方程是=1.(2)由得(4k 2+3)x 2+8kmx+4m 2-12=0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P(x 0,y 0),所以m ≠0且Δ=0, 即64k 2m 2-4(4k 2+3)(4m 2-12)=0,化简得4k 2-m 2+3=0.(*) 此时x 0=-=-,y 0=kx 0+m=, 所以P.由得Q(4,4k+m).假设平面内存在定点M 满足条件,由图形对称性知,点M 必在x 轴上. 设M(x 1,0),则·=0对满足(*)式的m,k 恒成立. 因为=(4-x 1,4k+m), 由·=0,得--4x1++3=0,整理,得(4x1-4)-4x1+3=0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m,k恒成立,所以解得x1=1.故存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M. 解法二:(1)同解法一.(2)由得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y),所以m≠0且Δ=0,即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0, 化简得4k2-m2+3=0.(*)此时x0=-=-,y=kx+m=,所以P.由得Q(4,4k+m).假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上.取k=0,m=,此时P(0,),Q(4,),以PQ为直径的圆为(x-2)2+(y-)2=4,交x轴于点M 1(1,0),M2(3,0);取k=-,m=2,此时P,Q(4,0),以PQ为直径的圆为,交x轴于点M 3(1,0),M4(4,0).所以若符合条件的点M存在,则点M的坐标必为(1,0).以下证明M(1,0)就是满足条件的点:因为M的坐标为(1,0),所以=(3,4k+m),从而·=--3++3=0,故恒有,即存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.22.(14分)如图,在四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2,CD=,AB=AC.(1)证明AD⊥CE;(2)设CE与平面ABE所成的角为45°,求二面角C-AD-E的余弦值.(1)解:作AO⊥BC,垂足为O,则AO⊥底面BCDE,且O为BC的中点.以O为坐标原点,射线OC为x轴正方向,建立如图①所示的直角坐标系Oxyz.①设A(0,0,t).由已知条件知C(1,0,0),D(1,,0),E(-1,,0),=(-2,,0),=(1,,-t),所以·=0,得AD⊥CE.(2)解:作CF⊥AB,垂足为F,连结FE,如图②所示.②设F(x,0,z),则=(x-1,0,z),=(0,,0),·=0,故CF⊥BE.又AB∩BE=B,所以CF⊥平面ABE,故∠CEF是CE与平面ABE所成的角,∠CEF=45°.由CE=,得CF=.又CB=2,所以∠FBC=60°,所以△ABC为等边三角形,因此A(0,0,).作CG⊥AD,垂足为G,连结GE.在Rt△ACD中,求得|AG|=|AD|.故G,.又=(1,,-),·=0,·=0,所以的夹角等于二面角C-AD-E的平面角.故二面角C-AD-E的余弦值cos<>==-.。
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新课标人教A 版选修2-1期末综合测试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列语句中是命题的是 ( )A.周期函数的和是周期函数吗?B.sin45°=1C.x 2+2x-1>0D.梯形是不是平面图形呢?2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是 ( )A.y 2=-8xB.y 2=8xC.y 2=-4xD.y 2=4x 3.已知空间向量b a ,,则0,=b a 是b a ⊥的( )条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要4.设x,y ∈R,向量)0,4,2(),0,,1(),10,(-===c y b x a 且,//,c b c a ⊥,则|b a +|=( ) A.5 B.10 C.52 D.105.若命题p 的逆命题是q,命题q 的否命题是x,则x 是p 的 ( )A.原命题B.逆命题C.否命题D.逆否命题6.方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是 ( ) A.-16<m<25 B.-16<m< C.<m<25 D.m>7.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则AC 与AB 的夹角为 ( )A.30°B.45°C.60°D.90°8.已知下列四个命题:①“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题; ②“正方形是菱形”的否命题;③“若ac 2>bc 2,则a>b ”的逆命题; ④若“m>2,则不等式x 2-2x+m>0的解集为R ”.其中真命题的个数为 ( )A.0B.1C.2D.3 9.如图,E 为正方体的棱AA 1的中点,F 为棱AB 上的一点,且∠C 1EF=90°,则AF ∶FB= ( )A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.1∶410.在△ABC 中，AB=2，AC=3，1=⋅AC AB ，则BC=（ ） (A)3 (B)7 (C)22 (D)2311.过点P(-4,0)的直线l 与曲线C:x 2+2y 2=4交于A,B 两点;则AB 中点Q 的轨迹方程为 ( )A.(x+2)2+2y 2=4B.(x+2)2+2y 2=4(-1<x ≤0)C.x 2+2(y+2)2=4D.x 2+2(y+2)2=4(-1<x ≤0) 12.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M,N 两 点,O 为坐标原点,若OM ⊥ON,则双曲线的离心率为 ( ) A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.已知抛物线x 2=4y 上一点P 到焦点F 的距离是5,则点P 的横坐标是 .14.已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=AA 1=1,则直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为 . 15.椭圆14922=+y x 的两个焦点为F 1,F 2,点P 为其上的动点,当∠F 1PF 2为钝角时,点P 横坐标的取 值范围是 .16.有下列命题:①双曲线192522=-y x 与椭圆13522=+y x 有相同的焦点; ②“-<x<0”是“2x 2-5x-3<0”的必要不充分条件; ③若b a ,共线,则b a ,所在的直线平行; ④若c b a ,,三向量两两共面,则c b a ,,三向量一定也共面;⑤∀x ∈R,x 2-3x+3≠0. 其中是真命题的有: .(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题17.(10分)已知三点P(5,2),F 1(-6,0),F 2(6,0).(1)求以F 1,F 2为焦点且过点P 的椭圆的标准方程.(2)设点P,F 1,F 2关于直线y=x 的对称点分别为P ',21,F F '',求以21,F F ''为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.18.(12分)如图,已知长方体ABCD-D C B A ''''的边长为AB=12,AD=8,5='A A .以这个长方体的顶点A 为坐标原点,射线AB,AD,AA ′分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,(1)求长方体顶点C ′的坐标.(2)计算A,C ′两点间的距离.19.(12分)设命题p:实数x 满足x 2-4ax+3a 2<0,其中a>0;命题q:实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0820622x x x x (1)若a=1,且p ∧q 为真,求实数x 的取值范围.(2)若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.20.已知直线y=-2上有一个动点Q ，过点Q 作直线1l 垂直于x 轴，动点P 在1l 上，且满足OP ⊥ OQ(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C.(1)求曲线C 的方程.(2)若直线2l 是曲线C 的一条切线，当点(0，2)到直线2l 的距离最短时，求直线2l 的方程.21.如图所示,正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E 为AB 的中点.(1)求证:BD 1∥平面A 1DE.(2)求证:D 1E ⊥A 1D.(3)在线段AB 上是否存在点M,使二面角D 1-MC-D 的大小为?若存在,求出AM 的长;若不存在,请说明理由.22.(12分)已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x ,左焦点)0,3(-F ,且离心率23=e , (1)求椭圆C 的方程.(2)若直线l :y=kx+m(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M,N(M,N 不是左、右顶点),且以MN 为直径的 圆经过椭圆C 的右顶点A.求证:直线l 过定点,并求出定点的坐标.新课标人教A 版选修2-1期末综合测试题参考答案21题1选B.只有B 是可以判断真假的陈述句.2.B.因为抛物线的准线方程为x=-2,所以抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为y 2=2px(p>0), 则其准线方程为x=-,所以-=-2,解得p=4.所以抛物线的标准方程为y 2=8x.3. 选B.因为向量a ,b 中有可能为零向量,所以a ·b =0时,推不出a ⊥b .若a ⊥b ,所以a ·b =0,所 以a ·b =0是a ⊥b 的必要不充分条件.4.选B.因为a ⊥c ,所以2x-4=0,解得x=2,又b ∥c ,所以2y+4=0,所以y=-2,所以a +b =(x+1,1+y,0)=(3,-1,0), 所以|a +b |=10,选B.5.选D.根据四种命题的关系知,命题x 是p 的逆否命题.6.选C.根据题意知16+m>25-m>0,解得<m<25.7.选C.=AB (0,3,3),=AC (-1,1,0).设<AC AB ,,>=θ,则cos θ===,所以θ=60°. 8.选B.①假,应该把且改为或;②其否命题为若一个四边形不是正方形则也不是菱形,假;③其逆命题为若a>b,则ac 2>bc 2,若c=0时取等号,假,④为真.9.选C.以点D 为原点,建立直角坐标系.设该正方体的棱长为2a,则点E(2a,0,a),C 1(0,2a,2a),设F(2a,y,0),则=E C 1(2a,-2a,-a),=FE (0,-y,a),由已知:01=⋅FE E C ,所以2ay-a 2=0,即y=.即:AF=,FB=,所以AF ∶FB=1∶3.10. 选B.如图共有区域为矩形ABCD. 又双曲线12222=-by a x 中a<b, 且1<e=<5,所以有1<<5,即a,b 满足关系式为⎪⎩⎪⎨⎧>><<0,02b a a b b a其对应区域为图形中阴影区域A(1,2),E(2,2),F(5,5),G(3,6),故P==.11.选B.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),Q(x,y),10题则x 1+x 2=2x,y 1+y 2=2y,⇒-=-2(-) ⇒=-⇒k AB =-⇒k PQ ==-⇒(x+2)2+2y 2=4, AB 中点Q 的轨迹方程为(x+2)2+2y 2=4(-1<x ≤0).12. 选D.由题意知三角形OMN 为等腰直角三角形,所以|MF|=|OF|=c,所以点M(c,c),代入双曲线方程-=1,当x=c 时,-=1,得|y|=,所以由|y|==c,得b 2=ac,即c 2-a 2=ac,c 2-ac-a 2=0,所以e 2-e-1=0,解得离心率e=,选D. 13.由抛物线的定义可知PF=PP 1=5,又准线方程为y=-1,所以P 点纵坐标为4.代入抛物线x 2=4y, 得x=±4.答案:±414.以点D 为原点,建立直角坐标系.则A(1,0,0),B(1,2,0),D 1(0,0,1).因为AB ⊥平面BCC 1B 1,所以AB 为平面BCC 1B 1的法向量.设直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角为θ,则有sin θ= |cos<1,BD AB >|===.答案: 15、不妨设|PF 1|>|PF 2|,则|PF 1|-|PF 2|=2a,|PF 1|+|PF 2|=6a,得|PF 1|=4a, |PF 2|=2a,|F 1F 2|=2c,则在△PF 1F 2中,∠PF 1F 2=30°,由余弦定理得(2a)2=(4a)2+(2c)2-2·4a ·2c ·cos30°,整理得(e-3)2=0,所以e=3.答案:3 16、①中的两曲线的焦点均为(±34,0),正确;对于②不等式2x 2-5x-3<0的解集为-<x<3,所以不正确;③中a ,b 所在的直线也可能重合;④举反例如空间直角坐标系中x,y,z 轴的方向向量;⑤∀x ∈R,x 2-3x+3=(x-)2+>0,正确.答案:①⑤三、解答题17.解析：(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0), 其半焦距c=6,2a=|PF 1|+|PF 2|=56212112222=+++,所以a=3,b 2=a 2-c 2=9. 所以所求椭圆的标准方程为+=1.(2)点P(5,2),F 1(-6,0),F 2(6,0)关于直线y=x 的对称点分别为点P ′(2,5),F ′1(0,-6),F ′2(0,6).设所求双曲线的标准方程为-=1(a 1>0,b 1>0),由题意知,半焦距c 1=6,2112F P F P a ''-''==54212112222=+-+.a 1=2,=-=36-20=16.所以所求双曲线的标准方程为-=1.18.【解析】(1)因为AB=12,AD=8,AA ′=5,点A 在坐标原点,即A(0,0,0),且B,D,A ′分别在x 轴、 y 轴、z 轴上,所以它们的坐标分别为B(12,0,0),D(0,8,0),A ′(0,0,5).点C,B ′,D ′分别在 xOy 平面、zOx 平面和yOz 平面内,坐标分别为C(12,8,0),B ′(12,0,5),D ′(0,8,5).点C ′在 三条坐标轴上的射影分别是点B,D,A ′,故点C ′的坐标为(12,8,5).(2)由空间两点间的距离公式得AC ′2335812222=++=,即A,C ′两点间的距离为233. 19. 解析:(1)由x 2-4ax+3a 2<0得(x-3a)(x-a)<0,又a>0,所以a<x<3a,当a=1时,1<x<3,即p 为真时实数x 的取值范围是1<x<3.由⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0820622x x x x 得2<x ≤3,即q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3. 若p ∧q 为真,则p 真且q 真,所以实数x 的取值范围是2<x<3. (2)p 是q 的充分不必要条件,即p⇒q,且q⇒p,设A={x|p},B={x|q},则A ÜB,又A={x|p}={x|x ≤a 或x ≥3a}, B={x|q}={x ≤2或x>3},则0<a ≤2,且3a>3,所以实数a 的取值范围是1<a ≤220. 解析：(1)设点P 的坐标为(x,y)，则点Q 的坐标为(x,-2).∵OP ⊥OQ,∴当x=0时，P,O,Q 三点共线，不符合题意，故x ≠0.当x ≠0时， 得k OP ·k OQ =-1,即y 21x x -=-，化简得x 2=2y ， ∴曲线C 的方程为x 2=2y(x ≠0).(2)∵直线l 2与曲线C 相切，∴直线l 2的斜率存在.设直线l 2的方程为y=kx+b, 由2y kx b,x 2y,=+⎧⎨=⎩得x 2-2kx-2b=0. ∵直线l 2与曲线C 相切，∴Δ=4k 2+8b=0，即2k b .2=- 点(0，2)到直线l 2的距离2222b 1k 4d 2k 1k 1-++==++ 22221313(k 1)2k 1 3.22k 1k 1=++≥⨯+=++当且仅当223k 1,k 2k 1+==±+即时，等号成立.此时b=-1.21. 解析:由题意可得D 1D ⊥平面ABCD,以点D 为原点,DA,DC,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,2,0),A 1(1,0,1),D 1(0,0,1),B(1,2,0),E(1,1,0). (1)1DA =(1,0,1),DE =(1,1,0),设平面A 1DE 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1), 则111DA 0DE 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得⎩⎨⎧=+=+001111y x z x 取x 1=1,则n 1=(1,-1,-1)是平面A 1DE 的一个法向量,又1BD =(-1,-2,1), 且1BD ·n 1=(-1,-2,1)·(1,-1,-1)=0, 故1BD ⊥n 1,又BD 1⊄平面A 1DE. 故BD 1∥平面A 1DE.(2)由题意得E D 1=(1,1,-1),1DA =(1,0,1),E D 1·1DA =(1,1,-1)·(1,0,1)=0,E D 1⊥1DA ,故D 1E ⊥A 1D.(3)设M(1,y 0,0)(0≤y 0≤2),因为MC =(-1,2-y 0,0),C D 1=(0,2,-1),设平面D 1MC 的法向量为v 1=(x,y,z),则111MC 0D C 0⎧=⎪⎨=⎪⎩，，v v 得⎩⎨⎧=-=-+-020)2(0z y y y x 取y=1,则v 1=(2-y 0,1,2)是平面D 1MC 的一个法向量,而平面MCD 的一个法向量为v 2=(0,0,1),要使二面角D 1-MC-D 的大小为,则cos =|cos<v 1,v 2>|=1212||v v v v ==, 解得y 0=2-(0≤y 0≤2)当AM=2-时,二面角D 1-MC-D 的大小为.22.解析:(1)由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222233c b a a c e c ,解得a=2,b=1, 所以椭圆的方程为+y 2=1.(2)由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0, Δ=(8km)2-4(1+4k 2)(4m 2-4)>0, 整理得4k 2-m 2+1>0,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2) 则x 1+x 2=-,x 1x 2=, 由已知,AM ⊥AN 且椭圆的右顶点为A(2,0),所以(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=0, y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2, 即(1+k 2)x 1x 2+(km-2)(x 1+x 2)+m 2+4=0, 即(1+k 2)·+(km-2)·+m 2+4=0. 整理得5m 2+16mk+12k 2=0, 解得m=-2k 或m=-均满足4k 2-m 2+1>0. 当m=-2k 时,直线l 的方程为y=kx-2k,过定点(2,0),与题意矛盾舍去, 当m=-时,直线l 的方程为y=k(x-),过定点(,0),故直线l 过定点,且定点的坐标为(,0).。