2019年中国科学技术大学创新班数学试题
4. 平面与正八面体相交，截口多边形边数的最大值为
5.
设
O
是
∆ABC
的外心，4−O→A
+
−−→ 5OB
+
−→ 6OC
=
0，则
tan ∠BAC
=
6. 设曲线 (x + 1)3 − (y − 1)3 = 1 关于直线 y = kx + b 对称，则 (k, b) =
7.
设
x
=
3
+
( cos t −
)
π 3
zk =
k=1 k与2019互素
10.
设
x
∈
[0, 2]，求函数
f (x)
=
4 5−x2
+
4 1+3x
+
1 3−x
的取值范围。
11. 随机选取 1, 2, · · · , n 的一个排列 x1, x2, · · · , xn。若 xi = i，则 i 成为排列 x1, x2, · · · , xn 的一个不动点。排列 x1, x2, · · · , xn 的不动点个数基座随机变量 Xn。求 X6 的数学 期望。
2019 年中国科技大学创新班数学试题
1. 平面区域 |x + 2y| + |3x + 4y| 5 的面积为
2. 方程 sin 2x + cos 3x = 0 在 x ∈ (0, 2π] 上所有根的和为
3.
平面上的点
A(0, 1)，B(1, 0)，C
( x,
)(
√1
1
x4
x
4)，则 ∆ABC 的面积最小值为
12. 设正整数 n 2，并且对于所有与 n 互素的整数 a，都有 an ≡ amodn. 证明：（1）n 无平方因子（2）若 n 的素因子个数不超过 2，则 n 是素数。
第 1 页 (共 1 页)
,y
=
4
+
( cos t +
π 6
)，t
是参数，则
x2
+
y2
的最大值为
8.
设
x1, x2, x3, x4
∈
{ N, xi, xj, xk|1
i<j<k
} 4
=
{18,
36,
54}，求
x1
+
x3;
x4 =
∑ 2000
9.
设复数
z
=
cos θ
+ i sin θ，其中
θ
=
2π 2019
，i
是虚数单位，则
2019年中科大创新班初试数学试题
2019年中国科学技术大学创新班考试数学试题及解析2019中国科学技术大学创新班考试数学试题更多真题找：新一代韩鹏注意事项L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.将答案写在答题卡上，写在本卷上无效・3.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回.4辛卷共四大题，满分侦0分.解答题写出必要的计算和证明过程・一.填空题(每题5分，共40分)1. _______________________________________ 平面区域|X+2J|+|3X +4J|<5的面积是_________________________________________________ ,2.方程sin2x + cos3x = 0,xe ［。
,2引的所有根之和.3.设点如,0),<x<4,则zUSC面积的最小值为.4.设x = 3 + cosf y = 4 + cosf +攵)。
是参数，则¥ +,的最大值为5•在平面直角坐标系叨中，6(1,0),把向量勇绕o顺时针旋转定角。
得苑q关于y轴的对称点紀为4+1, f = 0,1,…,2018,则%9的坐标为..,, 1 X Z 2019 •6.若、匕％=?(^1(”詞则澎= •7.设Z是复数M是纯虚数，则k + z + 3|的最小值是.8.己知知*2內>4 wN,且{x,x/Jl<i<j<k^4\= {18,36,54},则X l +工2 +石+*4二、（20分）设四面体ABCD.可由沿各边中点连线折起国成，1^1 = 12,1^1 = 10,网| = 8,求四面体ABCD的体积.三、（20分）设〃是正整数.证明：x = 0是方羿的唯一解. t-o k.四、（20分）设〃是正整数.⑴证明:存在多项式p“（x）,使得cos伽）= p,（cos&）.（2）在实数范用内完企因式分解p（*）.1.2 2019中国科学技术大学创新班考试数学试题解析更多真题：新一代韩鹏••1. k+2M+|3x+4'|<5 区域面积 __________ .sin(2x) = -cos(3x) = sin(3x+学),x e ［。
中科大创新试点班初试试题
中科大创新试点班初试试题题目：中科大创新试点班初试试题一、数学本题共有三个小题，每个小题都要求回答若干个问题。
具体如下：1.1 基础知识1.1.1 什么是实数？列举实数的几种表示方法。
1.1.2 什么是函数？列举常见的函数类型和它们的图像。
1.2 解析几何1.2.1 请画出以下函数的图像，并简要解释它们的性质：（1）y = x²（2）y = sinx1.2.2 请回答以下问题：（1）直线与平面是否能够唯一确定？（2）如何求出空间中两条直线的夹角？1.3 微积分1.3.1 请回答以下问题：（1）什么是导数？如何求导？（2）什么是极限？什么情况下不存在极限？1.3.2 请计算以下函数的导数：（1）y = x³ + 2x² - 3x（2）y = e^x - 5x二、物理本题共有三个小题，每个小题都要求回答若干个问题。
具体如下：2.1 力学2.1.1 请回答以下问题：（1）什么是力？列举几个例子。
（2）什么是牛顿第二定律？请给出一个实例。
2.1.2 请回答以下问题：（1）什么是功？什么是能？它们之间有什么关系？（2）一个自由下落的物体，当其下落速度达到终端速度后，重力和空气阻力之间是否平衡？为什么？2.2 电磁学2.2.1 请回答以下问题：（1）什么是电势？与电场有什么关系？（2）什么是法拉第电磁感应定律？请举例说明。
2.2.2 请回答以下问题：（1）什么是电子？它们在原子中的排布有什么规律？（2）什么是电导率？请举例说明导体和绝缘体的区别。
三、英语本题共有三个小题，每个小题都要求回答若干个问题。
具体如下：3.1 语法3.1.1 请回答以下问题：（1）什么是名词？列举几个英文名词。
（2）什么是动词？有哪几种英文动词时态？它们的用法分别是什么？3.1.2 请造句：（1）用现在完成时造一个含“for”短语的句子。
（2）用过去完成时造一个含“since”短语的句子。
3.2 阅读理解3.2.1 阅读下列文章，回答问题：（1）文章的主题是什么？（2）文章的结构分为哪些部分？3.2.2 阅读下列句子，判断正误并说明原因：（1）The Earth is getting hotter and hotter every year.（）（2）There is no way to stop global warming.（）3.3 写作3.3.1 请根据以下提示，写一篇100-150字的短文：（1）介绍你自己的家乡。
中科大、国科大等7所高校2019年自主招生综合评价笔试、面试真题
中科大、国科大等7所高校2019年自主招生综合评价笔试、面试真题中国科学技术大学~自主招生数学部分共8个填空题、3个解答题，分值为100;物理部分共10个选择题、6个大题，分值为100。
根据考生回忆，物理部分中规中矩，而数学部分整体格式类似高中数学联赛一试，难度和联赛一试相仿。
以下是部分真题。
填空题(1)二元绝对值不等式控制区域求面积，一个小难点是两个绝对值都是二元的。
如果第一时间抓住图形对称中心，分类讨论起来并不困难。
(2)考查三角形和向量结合类型题目，具体来说就是“奔驰定理”。
若知道结论可以快速解答，不知道的话就需要一些时间来推论了。
(3)有一道送分题，表面看上去是在考察代数，实际上可以转化为一个圆和一个定点的距离问题。
涉及到二次曲线参数方程的知识。
解答题(1)直接考查计数原理中的完全错排数，剩下就是计算了。
(2)数论题目，要用到二试以上的知识点，涉及的知识有费马小定理，欧拉定理。
题目难度较大，没有学过竞赛的题目根本无从下手。
中国科学院大学~综合评价中国科学院大学2019年综合评价采用5人小组面试，组员之间没有交流讨论环节，一共1个小时。
随机分组，不分专业。
面试问题大概分三个方向，1、考生自我介绍及个人情况了解;2、围绕国科大相关提问;3、专业相关的题目。
面试真题(部分)1、自我介绍，为什么来到国科大2、如果过了清北线怎么抉择?3、介绍所认识的国科大优势4、你认为目前科学能解决但未解决的问题是什么?5、介绍个人对未来的专业发展有什么规划，兴趣，暑假计划6、高中让你骄傲的事是什么?7、你认为弱势群体是谁?为什么?8、你的人生理想是什么?浙江大学~自主招生面试题(考生回忆)1、最喜欢的一本书，具体理由2、接着提问，喜欢的书有什么缺陷和不足3、用英语回答，暑假准备做什么南京大学~自主招生南京大学2019年自主招生笔试分为理科综合和文科综合，其中，理科综合一共8大题，4题数学、4题物理，考两小时。
“思维量和计算量都挺大的，有些题目需要用到高中的一些结论来倒推。
2019年中科大创新班笔试数学真题及答案
4.
设
O
是
ABC
的外心，
4
OA
5
OB
6
OC
0
，则
tan
BAC
_____.
5. 设曲线 x 13 y 13 1 关于直线 y kx b 对称，则 k,b _____.
6. 设 x 3 cost , y 4 cost , t 是参数，则 x2 y2 的最大值为_____.
解析： 易知：四面体 ABCD是一个对棱相等的四面 体 置入到长方体即可.假设其边长为a, b, c. a2 b2 16,b2 c2 25, c2 a2 36.
a 3 6 ,b 2
10 2
,c
3
10 2
. VABCD
15 4
6
10 .
解析：令 fn
本试题由天科教育研究院整理。
2019 年中国科学技术大学创新班笔试数学真题答案 【天科教育研究院解答】
本试题由天科教育研究院解答。
1. x 2 y 3x 4 y 5 区域面积
.
1 .答案：25 解析：
画出可行域如图，
S ABCD
4S ABO
4*
25 4
25
。
2. 方程 sin 2x cos 3x 0, x 0,2 的所有根之和
解析：由几何意义注意 z 1与z 1的夹角 ，z 的轨迹为单位圆上对应复数,所以
z2
z3 min
z
z2
z3 min
z 1 3z min
2020年中科大少年创新班初试数学试题
2020年中国科学技术大学创新班初试数学试卷1.若z +¯z =1，则|z +1|−|z −i |的取值范围是(−1,√2]解：可转化为直线x =12上的点到(−1,0)与(0,−1)距离之差的取值范围求得为(−1,√2]2.若|5x +6y |+|9x +11y | 1，则满足条件的点(x,y )组成的面积为23.函数f (x )=3√3+1x的离心率是2√334.若a 1=1，a 2=3，a n =2a 2n −1a n −2+a n −1，求a n =n ∏k =2(2k −1)5.若x 2−y 2=4p 2，其中x,y ∈Z +，p 为素数，则x 3−y 3=6p 4+26.已知a =20202020，b =√20192021·20212019，c =20192021+202120192，则a ，b ，c 大小顺序是b <a <c7.已知f (x )=(x −1)2+k 2，且∀a,b,c ∈(0,1)，都存在以f (a ),f (b ),f (c )为边的三角形，求k 范围k >1或k <−18.设a 1,a 2,···,a n 是1,2,3···,n 的一个排列，若i <j 且a i <a j ，则称(a i ,a j )为对子，设x为a 1,a 2,···,a n 中对子的个数，则E (x )=n (n−1)49.求函数y =3sin 2x −2sin 2x +2sin x −cos x ，其中x ∈[0,π2]的值域[−54,5]10.已知函数f (x )=x 3+ax 2−x +1−a ，若对∀x ∈[−1,1]， f (x ) |x |恒成立，求实数a 的范围。
答案：实数a 的取值范围为(−∞,−12]11.若C 23，证明n ∑i =1√i <C (n +1)32证明：令f (x )=√x ，其在(0,+∞)上为增函数，则原函数f (x )=23x 32=23x √x ，依据积分法，有f (n )<F (n +1)−F (n )，即√n <23[(n +1)32−n 32]→n ∑i =1√i <23[(n +1)32−1]<23(n +1)32第1页。
40、中国科学技术大学2019-2020学年第一学期数学分析(B1)期中考试(9页 文字版)
3.
设 f (x) 在 x0 处二阶可导,
且 f (x0)
0,
求
lim
x x0
f
(x
)
1
f
(x0
)
(x
x
1 0 )f
(x
0
)
.
解(1) 由带 Peano 余项的 Taylor 定理,
f (x)
f (x0)
f (x0)(x
x0)
f (x0)(x 2
x0)2
o((x
x0)2) (x
4.
设由参数方程 yx
arctan t ln(1 t2) 确定 y 是 x 的函数,
求 dy , d2y dx dx 2
.
解 由题意得,
dx 1 , dy 2t dt 1 t2 dt 1 t2
故
dy dy dt 2t (1 t2) 2t dx dt dx 1 t2
d2y dx 2
②若 {Sn } 有界, 则 {Sn } 收敛, 记为 Sn S (n ) . 则
综上,
lim
n
an
nlim(Sn
Sn1)
S
S
0.
lim
an
0.
n a1 a2 an
错解 直接用夹逼定理, 写出诸如 inf an 0 的式子, 这显然是错误的( inf an 0 ).
2. 若 lim x 2 3x 2 ax b 0 , 求a,b 的值. x
3.
设 f (x) 在 x0 处二阶可导,
且 f (x0)
0,
求
lim
x x0
f
(x
)
1
f
(x0
2020年安徽合肥中国科学技术大学自主招生数学试卷(创新班)-学生用卷
2020年安徽合肥中国科学技术大学自主招生数学试卷（创新班）-学生用卷一、综合题（本大题共11小题）1、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第1题 若z +z =1，则|z +1|−|z −i |的取值范围是 ．2、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第2题 若|5x +6y |+|9x +11y |⩽1，则包围图形的面积S = ．3、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第3题 f (x )=√3+1x 的离心率是 ．4、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第4题 a 1=1，a 2=3，a n =2a n−12a n−2+a n−1，则a n = ．5、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第5题 x 2−y 2=4p 2，x ，y 为正整数，p 为素数，则x 3−y 3= ．6、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第6题 a =20202020，b =√20192021⋅20212019，c =12(20192021+20212019)，则a ，b ，c 大小顺序是 ．7、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第7题 f (x )=(x −1)2+k 2，且a ，b ，c ∈[0,1]，f (a )、f (b )、f (c )为三角形的三边，则k 的取值范围是 ．8、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第8题a1，a2，⋯，a n为1，2，⋯，n的排列，若i<j且a i<a j则(a i,a j)为顺序对，设x为a1，a2，⋯，a n的顺序对的个数，则E(X)=．9、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第9题已知x∈[0,π2]，求y=3sin2x−2sin2x+2sinx−cosx的取值范围．10、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第10题已知f(x)=x3+ax2−x+1−a，求所有a∈R，使得∀x∈[−1,1]，|f(x)|⩾|x|恒成立．11、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第11题已知1+√2+⋯+√n<C(n+1)32，证明：当C=23，不等式成立，且C<23该不等式不成立．1 、【答案】暂无;2 、【答案】暂无;3 、【答案】暂无;4 、【答案】暂无;5 、【答案】暂无;6 、【答案】暂无;7 、【答案】暂无;8 、【答案】暂无;9 、【答案】暂无;10 、【答案】暂无;11 、【答案】暂无;。
中科大创新班初试入围考试试卷解析
中科大创新班初试入围考试试卷解析一、数学部分（共75分）1. （15分）已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求函数f(x)的极值。
- 解：首先对函数f(x)求导，f^′(x)=3x^2 - 3。
- 令f^′(x)=0，即3x^2 - 3 = 0，化简得x^2 - 1=0，解得x = ±1。
- 当x < - 1时，f^′(x)>0，函数f(x)单调递增。
- 当-1 < x < 1时，f^′(x)<0，函数f(x)单调递减。
- 当x>1时，f^′(x)>0，函数f(x)单调递增。
- 所以x = - 1时，函数f(x)取得极大值f(-1)=(-1)^3 - 3×(-1)+1 = 3；x = 1时，函数f(x)取得极小值f(1)=1^3 - 3×1 + 1=-1。
2. （20分）在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，已知a = 2√(3)，b = 2，A=(π)/(3)，求角B和边c的值。
- 解：根据正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，将a = 2√(3)，b = 2，A=(π)/(3)代入可得：- sin B=(bsinA)/(a)=(2×sinfrac{π)/(3)}{2√(3)}=(2×frac{√(3))/(2)}{2√(3)}=(1)/(2)。
- 因为a>b，所以A>B，又A=(π)/(3)，所以B=(π)/(6)。
- 然后根据三角形内角和C=π - A - B=π-(π)/(3)-(π)/(6)=(π)/(2)。
- 再根据勾股定理c=√(a^2)+b^{2}=√((2sqrt{3))^2+2^2} = 4。
3. （20分）已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n + 1=2a_n+1，求数列{a_n}的通项公式。
- 解：由a_n + 1=2a_n+1可得a_n + 1+1 = 2(a_n+1)。
2019创新班数学真题集答案补充
提示：不动点法。
8、从正 2017 边形的边和对角线中选取 3 条不同线段，它们两两不相交的概率是
。
3C26017
C 答案：
3 C22017
提示：如果三条线不相交，则需要 6 个点，而在一个 6 边形只有 3 组两两不相交的线段。
三、（20 分）设实数 a1, b1, a2 , b2 ，a2017 , b2017 满足 0 ai bi 1, i 1,2,,2017 ，证明： 若，则存在实数 x 使得 ai x bi , i 1,2,,2017 。
综上： (a,b, c) (1, 2, 0), (1, 1, 1) 。
a b c a 解 2：由题意令 f (x) (x a)(x b)(x c) x3 ax2 bx c ，则 ab bc ca b ，
abc c
③ x 0, y 0 ， n种 2④x0,
y
0
，
C2 n2
2n 1
4
最终
1
n
2
n
2
4
C2 n2
2n
1
2n2 2n 1
4、【解析】最小值显然如答案
f x
4x 4
2x2 2x 1 2x2 2x 5
4t
2t 2 6t 5 2t 2 2t 5
，令 t x 1考虑 t 0 情况
4
2
6 5 t t2
2
2 t
5 t2
显然 t 时，原式最大 2
6、【解析】
PA PB PC PD 6
中国科学技术大学2022年特殊类型(创新班)招生考试 数学A真题及答案解析
中国科学技术大学2022年特殊类型（创新班）招生考试数学A 真题及答案解析注意事项：1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。
2.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷共5题，每题20分，共100分。
需要写出必要的计算和证明过程。
一、求满足2022a b c ++=且2022abc 可被整除的正整数集合{},,a b c 个数。
二、求满足如下条件的所有函数()f x ；（1）定义域为1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（2）(0)0f =；（3）1sin ()sin ()33xf x f x -=恒成立。
三、欧拉有著名公式22221111++++=236n π ，求最小正整数n ，使得2211162022nk k π=>-∑。
四、在圆周上独立地随机选取n 个点，求这n 个点可以被半圆周覆盖的概率。
五、设2*()()1,,2!!nn x x f x x n N x R n -=-++∈∈ 。
（1）证明：：方程21()0n f x -=有唯一实数解，记作n a 。
（2）数列{}n a 是否为单调数列?请证明你的结论。
答案解析一、解：337322022⨯⨯=，又c b a ,,不可能为3个奇数，故只考虑3和337两个因子即可；若存在c b a ≠=，则有20222=+c a ，若c 337，则a 337，设11337337a a c c ==，，则6211=+c a ，11,c a 不可能为3的倍数；因此c b a ,,互不相等，由对称性，不妨设c 337：（1）337=c ，1685=+b a ，共56131685=⎥⎦⎤⎢⎣⎡种（2）574=c ，1348=+b a ，共44931348=⎥⎦⎤⎢⎣⎡种（3）1011=c ，1011=+b a ，此时b a ,必有一偶数，恒成立，共505种（4）1348=c ，674=+b a ，共2243674=⎥⎦⎤⎢⎣⎡种（5）1685=c ，337=+b a ，共1123337=⎥⎦⎤⎢⎣⎡种注意到{}1011,674,337在计算过程中重复了2次，故：总计561+449+505+224+112-2=1849种.分析：本题为基础数论题，难度不大，但是需要一定的耐心和细心.二、解：令()()()x x g x g x f x g =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=331sin ，，则有()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-38933189x x g x x g ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n xx g x x g 38933189，又∞→n lim 0389331=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n xx g 故有当⎦⎤⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈21,00,21x 时，()x x g 89=，()πk x x f 289arcsin +=()Z k ∈，当0=x 时，()0=x g ，()0=x f .三、解：即求202211111121212122<=-=-∑∑∑∑+∞+==+∞==n k n k k n k k k k k b π即有()()111112-<<+k k k k k ，可得()n k k k n k n k 1111112=-<∑∑+∞+=+∞+=.因此，当2022=n 时，20221120232<∑+∞=k k 成立.而当2021≤n 时，()2022111111112≥+=+>∑∑+∞+=+∞+=n k k k n k n k 不成立综上2022min =n .四、解：n 个点分别记做i A ，过i A 和圆心做直线交圆于i B ，最终选取的n 个点记做i C ，其中n i ,,2,1 =，且{}i i i B A C ,∈.故共有n2种选择，且需要保证i C 均在一个半圆弧上，则当且仅当i C 为i A ，i B 这n 2个点种相邻的n 个点，即n 2种情况.又这n 个点同时包含一组i A ，i B 的概率为0，结论具有一般性.因此有：1222-==n n nn P .五、解：（1）()()()11111=-=-='+a x x f x f x f n n ，，()()x f x f 12-='，故()()0122=>f x f 不妨设()x f k 12-在R 上单调递减，且()012=-x f k 有实根k a ，且()02>x f k 恒成立，则()()0212<-='-x f x f k k 恒成立，且()012=+x f k ，()0lim 12>++∞→x f k x .因此()+∞∈∃+,01k a 使得()0112=++k k a f .()()x f x f k k 1222++-='，即有()()()()()0!2222111212222>+-+=>+++++++k a a f a f x f k k k k k k k 其中()0112=++k k a f ，证毕.综上，()x f n 12-在实数域上递减且有唯一实根.（2）()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-+=+-+121!2!12!221221212n a n a n a n a a f a f n nn n n n n n n n n ()()()()()()()0212!1222332212212<---+--+-=-n n n n n n n a f n n ！又()x f n 12-递减，故n a n 2<证毕()()1112120+-++<=>n n n n n n a a a f a f ，综上，{}n a 为单调递增数列.。