2015-2016学年北京市石景山区高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年北京市石景山区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．下列命题中，真命题是（）A．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直B．若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行C．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线D．若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行2．直线y=﹣2x+b一定通过（）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限3．某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图所示，最高一层的房间在什么位置（）A．左前 B．右前 C．左后 D．右后4．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．已知命题p，q，那么“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．棱长为2的正方体的内切球的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π7．抛物线y2=8x上到其焦点F距离为4的点有（）个．A．1 B．2 C．3 D．48．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A．平行 B．垂直C．相交成60°角D．异面且成60°角9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则直线BE与平面AA1D1D 所成角的正切值为（）A．B．C．D．10．某化工厂有8种产品，由于安全原因，有些产品不允许存放在同一仓库．具体情况由下种产品？（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题共4小题，每小题3分，共12分．11．命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为．12．过点（0，2）且与两坐标轴相切的圆的方程为．13．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．则椭圆的长轴长为．14．在平面直角坐标系xOy中，对于⊙O：x2+y2=1来说，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离S P的定义如下：若P与O重合，S P=r；若P不与O重合，射线OP与⊙O的交点为A，S P=AP的长度（如图）．（1）直线2x+2y+1=0在圆内部分的点到⊙O的最长距离为；（2）若线段MN上存在点T，使得：①点T在⊙O内；②∀点P∈线段MN，都有S T≥S P成立．则线段MN的最大长度为．三、解答题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点P．（Ⅰ）若直线l平行于直线l1：4x﹣y+1=0，求l的方程；（Ⅱ）若直线l垂直于直线l1：4x﹣y+1=0，求l的方程．16．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2AB=2，E是DD1上的一点，且满足B1D⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：A1D⊥AE；（Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值．17．如图，有一个正方体的木块，E为棱AA1的中点．现因实际需要，需要将其沿平面D1EC 将木块锯开．请你画出前面ABB1A1与截面D1EC的交线，并说明理由．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E为PD中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的大小．19．课本上的探索与研究中有这样一个问题：已知△ABC的面积为S，外接圆的半径为R，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，用解析几何的方法证明：．小东根据学习解析几何的经验，按以下步骤进行了探究：（1）在△ABC所在的平面内，建立直角坐标系，使得△ABC三个顶点的坐标的表示形式较为简单，并设出表示它们坐标的字母；（2）用表示△ABC三个顶点坐标的字母来表示△ABC的外接圆半径、△ABC的三边和面积；（3）根据上面得到的表达式，消去表示△ABC的三个顶点的坐标的字母，得出关系式．在探究过程中，小东遇到了以下问题，请你帮助完成：（Ⅰ）为了△ABC的三边和面积表达式及外接圆方程尽量简单，小东考虑了如下两种建系方式；你选择第种建系方式．（Ⅱ）根据你选择的建系方式，完成以下部分探究过程：（1）设△ABC的外接圆的一般式方程为x2+y2+Dx+ =0；（2）在求解圆的方程的系数时，小东观察图形发现，由圆的几何性质，可以求出圆心的横坐标为，进而可以求出D=；（3）外接圆的方程为．20．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．2015-2016学年北京市石景山区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．下列命题中，真命题是（）A．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直B．若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行C．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线D．若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用平面与平面垂直的判定定理判断A的正误；利用特例判断B的正误；直线与平面平行的性质定理判断C的正误，直线与平面的位置关系判断即可．【解答】解：一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，满足平面与平面垂直的判定定理，所以A正确．若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行，例如正方体的上面的来与底面是平行的．侧面与底面是垂直的，所以B不正确．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线，也有异面直线，所以C 不正确；若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行，不满足平面与平面平行的判定定理．所以不正确．故选：A．2．直线y=﹣2x+b一定通过（）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】利用直线的斜率即可判断出结论．【解答】解：∵斜率k＜0，∴直线y=﹣2x+b一定通过第二、四象限．故选：B．3．某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图所示，最高一层的房间在什么位置（）A．左前 B．右前 C．左后 D．右后【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据主视图和侧视图，结合三视力长对正，宽相等的原则，可得最高一层的房间的位置．【解答】解：由已知中的三视图可得：主视图的左边是三层的，可得最高一层的房间在左边；侧视图的左边是三层的，可得最高一层的房间在后面，故最高一层的房间在左后面，故选：C．4．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程，转化求出双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，可得=，即，解得e2=，e=．故选：A．5．已知命题p，q，那么“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】复合命题的真假．【分析】根据p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系便可判断由“p∧q为真命题”能得到“p ∨q为真命题”，而“p∨q为真命题”得不到“p∧q为真命题”，从而得出正确选项为A．【解答】解：若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，∴p∨q为真命题；若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，而如果p，q中只有一个为真命题，则得不到p∧q为真命题；∴“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件．故选：A．6．棱长为2的正方体的内切球的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】棱长为2的正方体的内切球的半径r=1，由此能求出其表面积．【解答】解：棱长为2的正方体的内切球的半径r==1，表面积=4πr2=4π．故选B．7．抛物线y2=8x上到其焦点F距离为4的点有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，判断焦点到顶点的距离，然后推出结果．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点坐标（2，0），焦点到顶点的距离为2，所以抛物线上到其焦点F距离为4的点有2个．故选：B．8．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A．平行 B．垂直C．相交成60°角D．异面且成60°角【考点】异面直线的判定．【分析】以AB所在平面为底面，将右侧正方形折起为右边的平面，因为DE∥AB，所以∠CDE即为直线AB，CD所成的角，在△CDE中求解即可．【解答】解：如图，直线AB，CD异面．因为DE∥AB，所以∠CDE即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠CDE=60°故选D．9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则直线BE与平面AA1D1D 所成角的正切值为（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】连接AE，得到∠AEB是直线BE与平面AA1D1D所成的角，然后再在三角形EDF 中求出此角即可．【解答】解：连接AE，因为几何体是正方体，可知BA⊥平面AA1D1D，得到∠AEB是直线BE与平面AA1D1D所成的角，设棱长为2，AE==，直线BE与平面AA1D1D所成角的正切值为：=．故选：C．10．某化工厂有8种产品，由于安全原因，有些产品不允许存放在同一仓库．具体情况由下“╳”种产品？（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】排列、组合的实际应用．【分析】作图：以产品为顶点，能够允许存放在同一仓库的产品用边相连画图，找完全子图的顶点集，即可判断答案．【解答】解：作图：以产品为顶点，能够允许存放在同一仓库的产品用边相连画图，找完全子图的顶点集：例如：①{1，4，7}，{3，6，8}，{2，5}，②{2，4，6，8}，{1，7}，{3，5}，每个顶点集中元素可以放在同一仓库，需要3间仓库，故选：B二、填空题共4小题，每小题3分，共12分．11．命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为∃x∈R，x2﹣x+1≤0．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．12．过点（0，2）且与两坐标轴相切的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆的圆心与半径，即可写出圆的标准方程，【解答】解：过点（0，2）且与两坐标轴相切的圆的圆心（2，2），半径为：2．圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．13．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．则椭圆的长轴长为2+2．【考点】圆锥曲线的综合．【分析】设抛物线方程为y2=2px（p＞0），将M（1，2）代入方程解得p即可．由题意知椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），可得c．对于椭圆，2a=|MF1|+|MF2|，可得结论．【解答】解：设抛物线方程为y2=2px（p＞0），将M（1，2）代入方程得p=2．∴抛物线的方程为y2=4x．由题意知椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．∴c=1．对于椭圆，2a=|MF1|+|MF2|=+=2+2．故答案为：2+2．14．在平面直角坐标系xOy中，对于⊙O：x2+y2=1来说，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离S P的定义如下：若P与O重合，S P=r；若P不与O重合，射线OP与⊙O的交点为A，S P=AP的长度（如图）．（1）直线2x+2y+1=0在圆内部分的点到⊙O的最长距离为1﹣；（2）若线段MN上存在点T，使得：①点T在⊙O内；②∀点P∈线段MN，都有S T≥S P成立．则线段MN的最大长度为4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据点到的坐标和新定义进行求解即可．（2）根据点T在⊙O内，得到S T≤1，然后根据不等式S T≥S P成立，的S P≤1，即可得到结论．【解答】解：（1）作出对应的图象如图：由图象可知当直线与2x+2y+1=0垂直时对应的交点P，此时P到⊙O的距离最长，此时OP==，则AP=1﹣OP=1﹣．（2）∵点T在⊙O内，∴S T≤1，∵S T≥S P成立，∴S P≤1，∴当线段MN过原点时，MN的最大长度为1+2+1=4，故答案为：4．三、解答题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点P．（Ⅰ）若直线l平行于直线l1：4x﹣y+1=0，求l的方程；（Ⅱ）若直线l垂直于直线l1：4x﹣y+1=0，求l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】联立，解得交点P．（Ⅰ）设直线l：4x﹣y+m=0，把（2，1）代入可得m，即可得出；（Ⅱ）设直线l的方程为：x+4y+n=0，把点P（2，1）代入上述方程n，即可得出．【解答】解：联立，解得P（2，1）．（Ⅰ）设直线l：4x﹣y+m=0，把（2，1）代入可得：4×2﹣1+m=0，m=﹣7．∴l的方程为：4x﹣y﹣7=0；（Ⅱ）设直线l的方程为：x+4y+n=0，把点P（2，1）代入上述方程可得：2+4+n=0，解得n=﹣6．∴x+4y﹣6=0．16．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2AB=2，E是DD1上的一点，且满足B1D⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：A1D⊥AE；（Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由B1D⊥平面ACE，求出DE=，由此利用向量法能证明A1D⊥AE．（Ⅱ）求出平面AEC的法向量和平面ADE的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣C 的平面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2AB=2，E是DD1上的一点，且满足B1D⊥平面ACE，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（1，0，2），D（0，0，0），A（1，0，0），B1（1，1，2），C（0，1，0），设E（0，0，t），0≤t≤2，=（﹣1，﹣1，﹣2），=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，t），∵B1D⊥平面ACE，∴=1﹣2t=0，解得t=，∴=（﹣1，0，﹣2），=（﹣1，0，），∴，∴A1D⊥AE．解：（Ⅱ）=（﹣1，0，），=（﹣1，1，0），设平面AEC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，2），又平面ADE的法向量=（0，1，0），设二面角D﹣AE﹣C的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为．17．如图，有一个正方体的木块，E为棱AA1的中点．现因实际需要，需要将其沿平面D1EC 将木块锯开．请你画出前面ABB1A1与截面D1EC的交线，并说明理由．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】取AB中点F，连结EF，则EF即为所求的面ABB1A1与截面D1EC的交线．【解答】解：取AB中点F，连结EF，则EF即为所求的面ABB1A1与截面D1EC的交线．理由如下：连结A1B，∵E为棱AA1的中点，F是AB中点，∴EF∥A1B，又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，∴直线EF与直线D1C确定一个平面α，∵直线D1C与直线外一点E都在平面α内，∴平面α与平面D1EC重合，∴EF即为所求的面ABB1A1与截面D1EC的交线．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E为PD中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结AC，BD，交于点O，连结OE，则OE∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，BD，交于点O，连结OE，∵四边形ABCD为正方形，E为PD中点，∴OE∥PB，∵OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB∥平面AEC．解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵PA=AB=2，E为PD中点．∴B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（1，1，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，=（0，1，1），设二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角B﹣PC﹣D的大小为arccos．19．课本上的探索与研究中有这样一个问题：已知△ABC的面积为S，外接圆的半径为R，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，用解析几何的方法证明：．小东根据学习解析几何的经验，按以下步骤进行了探究：（1）在△ABC所在的平面内，建立直角坐标系，使得△ABC三个顶点的坐标的表示形式较为简单，并设出表示它们坐标的字母；（2）用表示△ABC三个顶点坐标的字母来表示△ABC的外接圆半径、△ABC的三边和面积；（3）根据上面得到的表达式，消去表示△ABC的三个顶点的坐标的字母，得出关系式．在探究过程中，小东遇到了以下问题，请你帮助完成：（Ⅰ）为了△ABC的三边和面积表达式及外接圆方程尽量简单，小东考虑了如下两种建系方式；你选择第①种建系方式．（Ⅱ）根据你选择的建系方式，完成以下部分探究过程：（1）设△ABC的外接圆的一般式方程为x2+y2+Dx+ Ey+F=0；（2）在求解圆的方程的系数时，小东观察图形发现，由圆的几何性质，可以求出圆心的横坐标为，进而可以求出D=﹣m﹣n；（3）外接圆的方程为x2+y2+（﹣m﹣n）x+（﹣p﹣）y+mn=0．【考点】圆的标准方程；圆的一般方程．【分析】选择坐标系，利用待定系数法，即可得出结论．【解答】解：设△ABC的外接圆的一般式方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则D=﹣m﹣n，∴方程为x2+y2+（﹣m﹣n）x+Ey+F=0，代入（0，p），（n，0），可得，∴F=mn，E=﹣p﹣，∴外接圆的方程为x2+y2+（﹣m﹣n）x+（﹣p﹣）y+mn=0．故答案为：①；Ey+F；；﹣m﹣n；x2+y2+（﹣m﹣n）x+（﹣p﹣）y+mn=0．20．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（I）设出椭圆的标准方程，根据椭圆的离心率为，得出a2=4b2，再根据M（4，1）在椭圆上，解方程组得b2=5，a2=20，从而得出椭圆的方程；（II）因为直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B，可将直线方程与椭圆方程消去y得到关于x的方程，有两个不相等的实数根，从而△＞0，解得﹣5＜m＜5；（III）设出A（x1，y1），B（x2，y2），对（II）的方程利用根与系数的关系得：．再计算出直线MA的斜率k1=，MB的斜率为k2=，将式子K1+K2通分化简，最后可得其分子为0，从而得出k1+k2=0，得直线MA，MB的倾斜角互补，命题得证．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，∵椭圆的离心率为，∴a2=4b2，又∵M（4，1），∴，解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为．…（Ⅱ）将y=x+m代入并整理得5x2+8mx+4m2﹣20=0，∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B∴△=（8m）2﹣20（4m2﹣20）＞0，解得﹣5＜m＜5．…（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，只要证明k1+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），根据（Ⅱ）中的方程，利用根与系数的关系得：．上式的分子=（x1+m﹣1）（x2﹣4）+（x2+m﹣1）（x1﹣4）=2x1x2+（m﹣5）（x1+x2）﹣8（m﹣1）=所以k1+k2=0，得直线MA，MB的倾斜角互补∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．…2016年7月30日。
2015-2016年北京市海淀区高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2015-2016学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），D．（﹣1，0），2．（4分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1C．2D．43．（4分）双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0B．2x+y=1C．x+2y=0D．x+2y=14．（4分）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0C．D．16．（4分）已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴7．（4分）已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2B．±2C．﹣2D．08．（4分）已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β9．（4分）已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（）A．0B．C．D．10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）A．B．2C．D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：．12．（4分）椭圆x2+9y2=9的长轴长为．13．（4分）若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为．14．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为．15．（4分）已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．16．（4分）若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．18．（14分）如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．19．（12分）已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．2015-2016学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），D．（﹣1，0），【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），半径为．故选：D．2．（4分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1C．2D．4【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．3．（4分）双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0B．2x+y=1C．x+2y=0D．x+2y=1【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得所求渐近线方程为y=±2x．4．（4分）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“直线a，b没有公共点”⇒“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，“直线a，b互为异面直线”⇒“直线a，b没有公共点”，∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．故选：B．5．（4分）已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0C．D．1【解答】解：∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，∴2a+1=0，解之得a=﹣故选：A．6．（4分）已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴【解答】解：由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴，7．（4分）已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2B．±2C．﹣2D．0【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，∴1×4﹣a•a=0，解得a=2或a=﹣2，经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去故选：A．8．（4分）已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β【解答】解：对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；对于D，若a⊥α且α⊥β，则a∥β或者a在平面β内，故D错误；故选：C．9．（4分）已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（）A．0B．C．D．【解答】解：由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P的横坐标为3，不妨取点P（3，2），设P在x轴上的射影为C，则tan∠APC==，∴∠APC=30°，∴∠APB=120°，∴cos∠APB=﹣．故选：C．10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）A．B．2C．D．3【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设P（a，b，0），则D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），=（a﹣2，b﹣2，﹣2），=（1，2，﹣2），∵B1P⊥D1E，∴=a﹣2+2（b﹣2）+4=0，∴a+2b﹣2=0，∴点P的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，设CD中点F，则点P在线段AF上，当A与P重合时，线段B1P的长度为：|AB1|==2；当P与F重合时，P（0，1，0），=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B1P的长度||==3，当P在线段AF的中点时，P（1，，0），=（﹣1，﹣，﹣2），线段B1P的长度||==．∴线段B1P的长度的最大值为3．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2＜0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2＜0．故答案为：∃x∈R，x2＜0．12．（4分）椭圆x2+9y2=9的长轴长为6．【解答】解：椭圆x2+9y2=9即为+y2=1，即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6．故答案为：6．13．（4分）若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为（2，+∞）．【解答】解：曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，可得﹣=1，即有m＞0，且m﹣2＞0，解得m＞2．故答案为：（2，+∞）．14．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为①②③．【解答】解：①用反证法．设在平面PAB内存在直线与DC平行，则CD∥平面PAB，又平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD∩平面PCD=CD，故CD∥AB，与已知矛盾，故原命题正确；②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确；③用反证法．设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行，则l∥AB，l∥CD，可得：AB∥CD，与已知矛盾，故原命题正确．故答案为：①②③．15．（4分）已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．【解答】解：∵向量，∴==（﹣1，2，0），==（﹣1，0，3），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，2），设与平面BCD所成角为θ，则sinθ===．∴与平面BCD所成角的正弦值为．故答案为：．16．（4分）若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为3．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1，∴底面三角形的腰为，棱锥的高为．∴V==，S=+××2+=3．故答案为，三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．【解答】（1）证明：∵A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4），∴=（8，4），=（﹣2，4），∴•=﹣16+16=0，∴⊥，∴ABC是直角三角形；（2）解：△ABC的外接圆是以BC为直径的圆，方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∵△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，∴圆心到直线的距离d=4=，∴m=﹣4或﹣44．18．（14分）如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，所以CC1∥AA1，（1分）因为ABCD是正方形，所以AD∥BC，（2分）因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C，所以平面AA1D∥平面CC1B．（3分）因为AE⊂平面AA1D，所以AE∥平面CC1B．（4分）（Ⅱ）法1：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，（5分）因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），（6分），，（7分）因为，所以，（8分）所以A1D⊥平面ABE．（9分）法2：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB．（5分）因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面AA1D，（6分）所以AB⊥A1D．（7分）因为E为棱A1D中点，且，所以AE⊥A1D，（8分）所以A1D⊥平面ABE．（9分）（Ⅲ）因为A1D⊥平面ABE，且A1D⊂平面EFD，（10分）所以平面EFD⊥平面ABE．（11分）因为平面ABE即平面BEF，所以二面角D﹣EF﹣B为90°．（12分）设，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），（13分）因为A1D⊥平面ABE，BG⊂平面ABE，所以A1D⊥BG，所以，即，所以．（14分）19．（12分）已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c，由已知可得，且c=1，所以a=2，即有b2=a2﹣c2=3，则椭圆G的方程为；（Ⅱ）由题意可知直线l斜率存在，可设直线l：y=k（x+1），由消y，并化简整理得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由题意可知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，因为点C，F1都在线段AB上，且|AF1|=|CB|，所以，即（﹣1﹣x1，﹣y1）=（x2，y2﹣y C），所以﹣1﹣x1=x2，即x1+x2=﹣1，所以，解得，即．所以直线l的方程为或．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2015-2016第一学期高二期末考试理科数学试题及答案
2015-2016学年度高二年级期末教学质量检测理科数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =-C ．16x =，32y =-D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为A ．3B ．3C D ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为A． BCD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10.下列各数中，最小的数是A ．75B ．)6(210 C ．)2(111111 D ．)9(8511．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦 点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A ． B C ．3 D ．512、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、 11 B 、12 C 、1 D 、15二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a = 14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案
2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。
2016.1高二理科答案
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.B3.C4. D5.B6.C7. B8.D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 2,10x x ∃∈-≤R 10. 11. y =12. 60︒，30︒ 13. 210x y z -++= 14. ①②③ 注：12题第一空2分，第二空3分；14题少选不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：设AC 交BD 于点O ，连结OQ ． 【 1分】因为 底面ABCD 为菱形，所以 O 为AC 中点． 因为 Q 是PA 的中点，所以 OQ ∥PC ． 【 4分】 因为 OQ ⊂平面BDQ ，PC ⊄平面BDQ ，所以PC ∥平面BDQ ． 【 5分】 （Ⅱ）证明：连结OP ． 【 6分】因为 底面ABCD 为菱形，所以 BD AC ⊥，O 为BD 中点． 【 8分】 因为 PB PD =，所以 BD PO ⊥． 【10分】 所以 BD ⊥平面PAC ． 【11分】 因为 BD ⊂平面BDQ ，所以 平面PAC ⊥平面BDQ ． 【13分】16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2px =-， 【 2分】 所以 122p -=-， 解得1p =， 【 4分】所以 抛物线的方程为22y x =. 【 5分】 （Ⅱ）证明：设11(,)M x y ，22(,)N x y .将(2)y k x =-代入22y x =，消去y 整理得 22222(21)40k x k x k -++=. 【 7分】 所以 124x x =. 【 8分】由2112y x =，2222y x =，两式相乘，得 2212124y y x x =， 【 9分】注意到1y ，2y 异号，所以 124y y =-. 【10分】 所以直线OM 与直线ON 的斜率之积为12121y y x x ⋅=-， 【12分】 即 OM ON ⊥. 【13分】17.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为 111ABC A B C -直三棱柱， 所以 1AA AB ⊥，1AA AC ⊥. 又 AB AC ⊥，所以 AB ，AC ，1AA 两两互相垂直. 【 1分】如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -. 【 2分】则 (2,0,0)B ，(0,C ，1A ，1B ，1C .由 11111(42B D B C ==-u u u u r u u u u r ，得3(2D . 【 3分】所以 1(2BD =-u u u r ，1AC =u u u r . 因为 1330BD AC ⋅=-=u u u r u u u r， 【 4分】 所以 1BD A C ⊥. 【 5分】（Ⅱ）解：1(,22BD =-u u u r，1(2,0,A B =u u u r . 设平面1A DB 的一个法向量为111(,,)x y z =m ，则10,0.A B BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rm m 【 7分】 所以1111120,10.2x x y ⎧-=⎪⎨-++=⎪⎩ 取11z =，得3(,,1)22=-m . 【 9分】 又平面11A DB 的一个法向量为(0,0,1)=n ， 【10分】 所以1cos ,2⋅〈〉===m nm n m n， 【12分】因为二面角11B A D B --的平面角是锐角，所以二面角11B A D B --的大小是60︒. 【13分】18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为点B 在圆O．不妨设B，由对称性知1)C -， 【 2分】所以 312OB OC ⋅=-=u u u r u u u r． 【 5分】（Ⅱ）解：设00(,)B x y ，由对称性知00(,)C x y -，且22004x y +=． 【 6分】设1110(,)()P x y y y ≠±，则22114x y +=． 【 7分】101110:()PB y y l y y x x x x --=--，101110:()PC y y l y y x x x x +-=--． 【 9分】在上述方程中分别令0y =，解得 011010M x y x y x y y -=-，011010N x y x y x y y +=+． 【11分】所以 222222220110011022221010(4)(4)4M N x y x y y y y y x x y y y y ----⋅===--． 所以||||4OM ON ⋅=． 【13分】（Ⅰ）证明：由俯视图可得，222BD BC CD +=，所以 BD BC ⊥． 【 1分】 又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， 【 3分】所以 ⊥BC 平面PBD ． 【 4分】 （Ⅱ）证明：取PC 上一点Q ，使:1:4PQ PC =，连结MQ ，BQ ． 【 5分】由左视图知 4:1:=PD PM ，所以 MQ ∥CD ，14MQ CD =． 【 6分】在△BCD 中，易得60CDB ︒∠=，所以 30ADB ︒∠=，又 2=BD ， 所以1AB =，AD =又因为 AB ∥CD ，CD AB 41=，所以 AB ∥MQ ，AB MQ =． 所以四边形ABQM 为平行四边形，所以 AM ∥BQ ． 【 8分】 因为 ⊄AM 平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ，所以 直线AM ∥平面PBC ． 【 9分】 （Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43． 【10分】 证明如下：因为 ⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． 所以 )3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(M C B A D ．设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． 【11分】 所以)3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t BN ．要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有 ||||||AM BN AM BN ⋅=u u u u r u u u ru u u u r u u u r ． 【12分】所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得 0=t 或2，均适合40≤≤t ． 【13分】 故点N 位于D 点处，或CD 中点处时，均符合题意． 【14分】（Ⅰ）解：由2220,3412,x y x y -=⎧⎨+=⎩解得x = 【 2分】所以,A C 两点的坐标为2和(2-， 【 4分】所以 AC ==【 5分】 （Ⅱ）解：① 当直线AD 的斜率不存在时，此时易得3(1,)2A ，3(1,)2B -，3(1,)2C --，3(1,)2D -，所以平行四边形ABCD 的面积为||||6AB CD ⋅=. 【 6分】② 当直线AD 的斜率存在时，设直线AD 的方程为(1)y k x =-，将其代入椭圆方程，整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=. 【 8分】 设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .则 2142834k x x k+=+，214241234k x x k -=+. 【10分】 连结1AF ，1DF ，则平行四边形ABCD 的面积11214142||||2||AF D S S F F y y y y ∆==-=-. 【11分】又 2222214141414()()[()4]y y k x x k x x x x -=-=+-222216(1)9(34)k k k +=⨯+. 【13分】所以 6S =<. 综上，平行四边形ABCD 面积的最大值是6. 【14分】。
人教版高二(理科)第一学期期末考试数学试题-含答案
2015～2016学年度第一学期期末考试试卷 高二（理） 数学 座位号第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、向量(1,2,2),(2,4,4)a b =-=--，则a b 与 （ ） A 、相交 B 、垂直 C 、平行 D 、以上都不对2、如果双曲线的半实轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是 （ ）A 、32B 、62C 、32D 、23、已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是 （ ） A 、,sin 1x R x ∃∈≥ B 、,sin 1x R x ∀∈≥ C 、,sin 1x R x ∃∈> D 、,sin 1x R x ∀∈>4、若向量)0,2,1(=a ，)1,0,2(-=b ，则（ ）A 0120,cos >=<b aB b a ⊥C b a //D ||||b a =5、若原命题“0,0,0a b ab >>>若则”，则其逆命题、否命题、逆否命题中（ ） A 、都真 B 、都假 C 、否命题真 D 、逆否命题真6、 “2320x x -+≠”是“1x ≠” 的（ ）条件 （ ） A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充要 D 、既不充分也不必要 7、若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A 、－9＜m ＜25B 、8＜m ＜25C 、16＜m ＜25D 、m ＞88、已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．1203622=+y x （x ≠0）B ．1362022=+y x （x ≠0）C ．120622=+y x （x ≠0）D ．162022=+y x （x ≠0）9、一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m .若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（ ） A ． 1.75m B ． 1.85mC ． 2.15mD ． 2.25m 10、设a R ∈，则1a >是11a< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11.抛物线281x y -=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y12. 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第II 卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 。
北京市石景山区高二上学期数学期末试题(解析版)
一、单选题1．已知直线l 的倾斜角为，则直线l 的斜率为（ ）120︒A ．B ．C ．0D ．11-【答案】A【分析】根据直线倾斜角和斜率的定义即可求得结果.【详解】由斜率的定义可知，直线l 的斜率,tan120tan(18060)tan 60k ==-=-=即直线l 的斜率为故选：A. 2．双曲线右支上一点A 到右焦点的距离为3，则点A 到左焦点的距离为（）221169x y -=1F 2F A ．5 B ．6 C ．9 D ．11【答案】D【分析】根据双曲线的定义可求解.【详解】设双曲线的实轴长为，则，2a 28a =由双曲线的定义知，212AF AF a -=，2128311AF a AF =+=+=故选：D3．若，则的值为（ ）()()()2,3,2,1,2,2,1,2,2a b c ===- ()a b c -⋅ A ． B ．0 C ．1 D ．21-【答案】C【分析】直接利用数量积的坐标运算即可求得.【详解】因为，()()()2,3,2,1,2,2,1,2,2a b c ===- 所以.()()()1,1,01,2,21201a b c -⋅=⋅-=-++= 故选：C4．在复平面内，复数对应的点Z 如图所示，则（ ）z 1i z=-A ．B ．C ．D ．13i 2-+1i 2+1i +13i -+【答案】A【分析】根据图示及复数的几何意义可得复数，代入计算即可得结果. z 【详解】根据图示可知，复数，12z i =+根据复数的除法运算可得； 2i i)(1i)13i 2i 13i 1i 1i (1i)(1i)2212(12z +++-+==+=-+=--+故选：A.5．已知圆的方程是，圆的方程是，则圆与圆1C 222210x y x y +-++=2C 22(2)(3)16x y ++-=1C 的位置关系是（ ）2C A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含【答案】B【分析】根据圆心距以及半径间的关系确定正确选项.【详解】即，222210x y x y +-++=()()22111x y -++=所以圆的圆心为，半径. 1C ()11,1C -11r =,222(2)(3)164x y ++-==所以圆的圆心为，半径. 2C ()22,3C -24r =，12125C C r r ===+所以两圆外切.故选：B6．已知是直线l 的方向向量，是平面的法向量．若(2,,)(,)=-+-∈ m a b a b a b R (2,1,2)=- n αl α⊥，则下列选项正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 340a b --=350a b --=13,22a b =-=13,22a b ==-【答案】C【分析】根据可得与共线，由向量的坐标表示可得答案.l α⊥m n 【详解】若，则，l α⊥m n λ= 即，解得，且，即. 222a b a b λλλ-=⎧⎪+=-⎨⎪-=⎩11232a b λ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩193522-=--=-a b 350-+=a b 故选：C.7．如图，在三棱锥中，平面，，以A 为原点建-P ABC PA ⊥ABC ,1,2AB AC AB AC PA ⊥===立空间直角坐标系，如图所示，为平面的一个法向量，则的坐标可能是（ ）n PBC nA ．B ．C ．D ． 111,,224⎛⎫-- ⎪⎝⎭111,,224⎛⎫-- ⎪⎝⎭111,,242⎛⎫ ⎪⎝⎭111,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】先求出，根据法向量求解公式列方程即可求解．()()1,1,0,1,0,2BC PC =-=- 【详解】依题意得，，则()()()0,1,0,1,0,0,0,0,2B C P ()()1,1,0,1,0,2BC PC =-=- 设，则(),,n x y z = ，取则，所以 020n BC x y n PC x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 12x =11,24y z ==111,,224n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故选：D8．两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A 、B 两点，若直(0)y kx k=>y kx =-2:4C y x =线经过抛物线的焦点，则（ ）AB k =A ．1B C ．2 D ．3【答案】C【分析】根据抛物线的对称性可知A 、B 两点关于轴对称，直线经过抛物线的焦点即可x AB (1,0)得出的值.k 【详解】由题意可知，直线和关于轴对称；(0)y kx k =>y kx =-x 抛物线关于轴对称，焦点坐标，如下图所示：2:4C y x =x (1,0)F直线经过抛物线的焦点，且轴，AB (1,0)F AB x ⊥所以，代入抛物线方程得，解得；(1,)A k 24k =2k =±又，所以.0k >2k =故选：C.9．设椭圆离心率为e ，双曲线，22122:1(0)x y C a b a b +=>>22222:1x y C a b-=则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）1CA ．B ．C ．D ．⎫⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭)+∞【答案】B【分析】根据渐近线斜率的取值范围可得出的关系，再根据椭圆离心率的定义即可求得离心率,a b e 的取值范围.【详解】根据双曲线方程可得，其渐近线方程为， 22222:1x y C a b-=b y x a =±又因为，即 0a b >>0b a <<所以，椭圆的离心率 1C c e a ⎫==⎪⎪⎭即离心率e 的取值范围是.⎫⎪⎪⎭故选：B10．在直四棱柱中，底面为直角梯形，1111ABCD A B C D -ABCD，点M 在该四棱柱表面上运动，且满足平面1,,1,2,3,2AB CD AD AB CD AD AB DD ⊥====//平面．当线段的长度取到最大值时，直线与底面所成角的正弦值是1DD M ⊥1AA C DM DM ABCD （ ）A ．B ．CD 1323【答案】B【分析】根据直四棱柱的几何关系，利用面面垂直的判定定理找出点M 在四棱柱表面上的运动轨迹，再根据线段的长度取到最大值时确定具体位置，根据几何法做出直线与底面所DM DM ABCD 成的角，即可求得其正弦值.【详解】根据几何体特征，四棱柱是直四棱柱，1111ABCD A B C D -所以平面，平面，所以，1DD ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1AC DD ⊥要满足平面平面，作于，延长交于，交的延长线于， 1DD M ⊥1AA C DE AC ⊥E DE BC G AB F 作交于，连接，如下图所示；1//GH DD 11B C H 1D H又因为，所以平面，即平面1DE DD D =I AC ⊥1DD E AC ⊥1DD HG 而平面，所以平面平面，AC ⊂1AA C 1DD HG ⊥1AA C 又因为点M 在该四棱柱表面上运动，所以点M 的轨迹是线段；1,,DG G HD H又因为底面为直角梯形，，ABCD 1,,1,2,3,2AB CD AD AB CD AD AB DD ⊥====//所以，即，得，所以； ADC FAD :::CD AD AD FA=4FA =1FB =又，所以，即为线段的中点，,1FB CD CD =//DCG FBG ≅::G ,BC DF，DF ==DG =易知，当线段的长度取到最大值时，点于点重合，DM M H 此时，即为直线与底面所成的角，HDG ∠DM ABCD，，12GH DD ==3DH === 2sin 3GH HDG DH ∠==所以，线段的长度取到最大值时，直线与底面所成角的正弦值是.DM DM ABCD 23故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用几何体特征，充分利用空间想象根据面面垂直的判定定理找出满足题意的动点的轨迹，再根据轨迹形状确定线段最长时的具体位置，找出线面角即可求得结果.二、填空题11．复数的模长_________．3i z =+||z =【分析】直接利用复数模的计算公式即可求出模长||z 【详解】解：由题意在复数中，3i z =+模长：||z ==.12．正方体的棱长是1，则点到平面的距离为_________．1111ABCD A B C D -1A 11BB D D【分析】连接交于.判断出点到平面的距离即为，即可求得.11A C 11B D O 1A 11BB D D 1AO 【详解】在正方体中，有正方体的结构可知：面面且面1111ABCD A B C D -11BB D D ⊥1111D C B A面.11BB D D ⋂111111A B C D B D =连接交于.11A C 11B DO因为为正方形，所以，所以面. 1111D C B A 1111AC B D ⊥11A C ⊥11BB D D 所以点到平面的距离即为.1A 11BB D D 1AO 在正方形中，，所以，所以1111D C B A 111A B=11A C ==11112A C O A ==. 13．已知直线．若，则实数_________．12:(1)210,:10l a x y l x ay -++=++=12//l l =a 【答案】1-【分析】根据两直线平行列方程，从而求得的值.a 【详解】由于，所以，解得或.12//l l ()121a a -⨯=⨯1a =-2a =当时，，符合.1a =-12:2210,:10l x y l x y -++=-+=当时，，两直线重合，不符合.2a =12:210,:210l x y lx y ++=++=所以的值为.a 1-故答案为：1-14．在中，和．则的外接圆方程为_________．ABC :(0,3),(A B C ABC :【答案】22230x y y+--=【分析】设出的外接圆方程，代入点列方程组求解即可.ABC :,,A B C 【详解】设的外接圆方程为，ABC :220x y Dx Ey F ++++=则，解得，9303030E F F F ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩203E D F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩故的外接圆方程为ABC :22230x y y +--=故答案为：22230x y y +--=15．在平面直角坐标系中，已知点M 的坐标为，点A 是圆上的一个动点，点B (0,2)22:1O x y +=在射线上，且，当点A 在圆O 上运动时点B 的轨迹记作曲线C ．对于曲线C ，有下列AM ||5AB =四个结论：①曲线C 是轴对称图形；②点为曲线C 的对称中心；(0,3)③曲线C 与y 轴有2个交点；④曲线C 上的点到点M 的距离最大值为4．其中所有正确结论的序号是_________．【答案】①③④【分析】根据题意可知，三点共线，且，根据曲线与方程的求法，可得曲线C 满,,A B M ||5AB =，利用其几何特征进行逐一判断即可得出结论.0511)y =-≤≤【详解】根据题意可知，两点的最大距离为3，又,A M ||5AB =所以在M 点的两侧，所以；,A B ||||||5AB AM BM =+=设，则；00(,),(,)A x y B x y 22001x y +=5=0511)y =-≤≤即曲线C ；0511)y =-≤≤显然，点和都在该曲线上，所以曲线C 关于轴对称，是轴对称图形，即①正确； (,)x y (,)x y -y 由题意可知只有当在轴上时，才和轴有交点；A yB y 在轴上有两个可能的点，所以曲线C 与y 轴有2个交点，即③正确；A y 当为时，曲线C 和轴交点坐标为；当为时，曲线C 和轴交点坐标为A (0,1)A y 1(0,6)B A (0,1)A -y ；2(0,4)B 显然，和不关于点中心对称，所以②错误；1(0,6)B 2(0,4)B (0,3)根据曲线C 可知，0511)y =-≤≤当时，曲线C 上的点到点M 的距离最大，其值为，即④正确；01y =54=故答案为：①③④三、解答题16．在中，边上的高所在的直线方程为边所在直线方程为ABC :(4,2),B BC 230,x y AC -+=．求点A 和点C 的坐标．30x y +-=【答案】，()0,3A ()5,2C -【分析】边上的高线与联立可求点的坐标，根据边上的高线可得的斜率，就能求BC AC A BC BC 出的方程，然后与联立求出点的坐标.BC AC C 【详解】设边上的高线为，则直线联立可得点的坐标，即BC AD ,AD AC A 即 2300303x y x x y y -+==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩()0,3A 11212AD BC BC BC AD BC k k k k ⊥∴⋅=-∴⋅=-∴=- 又，所以的方程为，即 ()4,2B BC ()1242y x -=--280x y +-=直线联立可得点的坐标，即，即 ,BC AC C 2805302x y y x y x +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩()5,2C -故，.()0,3A ()5,2C -17．如图，在直三棱柱中，，M 、N 分别是的中点，111ABC A B C -AB AC ⊥11,AA BB ．12,1AB AA AC ===(1)求证：；1C M CN ⊥(2)求直线与平面所成角的正弦值；CN BCM (3)求平面与平面所成角的余弦值．BCM 11ABB A 【答案】(1)证明见解析(3)23【分析】（1）根据题意可知，利用线面垂直的性质定理即可证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量方法即可求得直线与平面所成角的正弦值；（3）首先求得两平CN BCM 面的法向量，用向量法即可求得平面与平面所成角的余弦值.BCM 11ABB A 【详解】（1）连接，如下图所示， MN由于是直三棱柱，易知，111ABC A B C -1AA AB ⊥又因为，且，AB AC ⊥1AA AC A = 所以平面AB ⊥11AAC C M 、N 分别是的中点，所以，因此平面；11,AA BB //MN AB MN ⊥11AAC C 又平面，所以；1C M ⊂11AAC C 1MN C M ⊥易知，所以11111,1,2AM A AC A C CC M =====1C M CM ==满足，由勾股定理可知，，22211C M CM CC +=1C M CM ⊥又因为，所以平面，MN CM M = 1C M ⊥CMN 又平面，CN ⊂CMN 所以，.1C M CN ⊥（2）由（1）可知，两两垂直，1,,AB AC AA 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所A 1,,AB AC AA x y z 示：易得，(0,0,0),(2,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(2,0,1)A B C M N ；(2,1,1),(2,1,0),(0,1,1)CN BC CM =-=-=-设平面的一个法向量为，BCM (,,)n x y z =则，令得，，即；·20·0n BC x y n CM y z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩ 2y =1,2x z ==(1,2,2)n = 设直线与平面所成的角为，CN BCM θ所以sin cos n CN n CN n CN θ==== : :，即直线与平面CN BCM （3）由（2）知，平面的一个法向量为， BCM (1,2,2)n =易知，平面的一个法向量为，11ABB A (0,1,0)AC =设平面与平面所成的角（锐角）为，BCM 11ABB A α所以，；2cos cos ,3n AC AC n n AC α=== ::所以，平面与平面所成角的余弦值为.BCM 11ABB A 2318．已知椭圆C 的两个焦点分别为和，点在椭圆上． 1(F 2F P (1)求椭圆C 的方程；(2)过点作倾斜角为的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段的长度．(1,0)M 3π4AB 【答案】(1)22142x y +=【分析】（1）利用焦点和椭圆上的点列方程组求解即可；（2）联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式计算线段的长度．AB 【详解】（1）设椭圆C 的方程为，()222210x y a b a b+=>>则，解得，22222112a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩2242a b ⎧=⎨=⎩故椭圆C 的方程为；22142x y +=（2）过点作倾斜角为的直线l 的方程为，设(1,0)M 3π41y x =-+()()1122,,,A x y B x y 联立，消去得，221142y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 23420x x --=，121242,33x x x x ∴+==-AB ∴===19．如图1，在中，是直角，是斜边的中点，分别是ABC :ACB ∠CA CB==P AB M N ，的中点．沿中线将折起，连接，点是线段上的动点，如图2所示．,PB PC CP CAP :AB Q AC(1)求证：平面；//MN ABC (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，当二面角Q MN C --时．求的值．AQAC条件①：；条件②：． BP AC ⊥AB AC =【答案】(1)证明见解析； (2). 34【分析】（1）利用线面平行的判定定理直接证明；（2）选条件①：.可以证明出BP AC ⊥两两垂直，以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法,,AP BP CP P ,,BP CP AP,,x y z 求解.选条件②：.先证明出两两垂直，以原点，分别为轴正AB AC =,,AP BP CP P ,,BP CP AP,,x y z 方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.【详解】（1）在中，因为分别是的中点，所以. PBC :M N ，,PB PC //BC MN 因为面,面, MN ⊄ABC BC ⊂ABC 所以平面.//MN ABC （2）在中，是直角，P 是斜边的中点，所以，即ABC :ACB ∠CA CB ==AB CP AB ⊥.,CP AP CP BP ⊥⊥选条件①：.BP AC ⊥因为，，,面,面, BP AC ⊥CP BP ⊥AC CP C ⋂=AC ⊂ACP CP ⊂ACP 所以面.BP ⊥ACP 又，可以以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.CP AP ⊥P ,,BP CP AP,,x y z在中，是直角，，P 是斜边的中点，所以. ABC :ACB ∠CA CB ==AB 2CP AP BP ===所以，，.()0,0,0P ()0,0,2,A ()2,0,0B ()0,2,0C 因为分别是的中点，所以，，所以，.M N ，,PB PC ()1,0,0M ()0,1,0N ()1,1,0MN =-()0,1,0NC = 因为点是线段上的动点，所以可设,所以Q AC ()()0,2,2,01CQ tCA t t t ==-≤≤.()()()0,1,00,2,20,12,2NQ NC CQ t t t t =+=+-=-不妨设为平面的一个法向量，则(),,m x y z =QMN ，设，则.()()()()(),,1,1,00,,0,12,201220m MN x y z x y m MN x y z t t t y tz ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=+-+=⎪⎩1y =121,1,2t m t -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 显然为面的一个法向量. ()0,0,2PA =CMN所以二面角的余弦值为.Q MN C --cos ,m PA m PA m PA⋅==⨯由题意可得：cos ,m PA m PA m PA⋅===⨯解得：. 14t =所以. 34AQ AC =选条件②：.AB AC =在中，是直角，，P 是斜边的中点，所以.ABC :ACB ∠CA CB ==AB 2CP AP BP ===.,CP AP CP BP ⊥⊥因为，所以.AB AC ==222AP BP AB +=AP BP ⊥所以可以以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.则，P ,,BP CP AP,,x y z ()0,0,0P ()0,0,2,A ，.()2,0,0B ()0,2,0C 因为分别是的中点，所以，，所以，.M N ，,PB PC ()1,0,0M ()0,1,0N ()1,1,0MN =-()0,1,0NC = 因为点是线段上的动点，所以可设,所以Q AC ()()0,2,2,01CQ tCA t t t ==-≤≤.()()()0,1,00,2,20,12,2NQ NC CQ t t t t =+=+-=-不妨设为平面的一个法向量，则(),,m x y z = QMN ，设，则.()()()()(),,1,1,00,,0,12,201220m MN x y z x y m MN x y z t t t y tz ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=+-+=⎪⎩1y =121,1,2t m t -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 显然为面的一个法向量.()0,0,2PA =CMN 所以二面角的余弦值为.Q MN C --cos ,m PA m PA m PA⋅==⨯由题意可得：cos ,m PA m PA m PA⋅===⨯解得：. 14t =所以. 34AQ AC =20．已知椭圆的一个焦点为，且经过点和．2222:1(0)x y C a b a b +=>>(1,0)F M (0,N (1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，设，点P 为椭圆C 上不同于M 、N 的一点，直线与直线交于点Q PM 2x =A ，直线与x 轴交于点B ，求证：和面积相等．PN AMQ △OBN △【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆焦点坐标和经过的两点即可求得标准方程；（2）设出点P 的坐标，即可表示出两点坐标，再写出和的面积公式，再利用点P 在椭圆上即可证明等式成,A B AMQ △OBN △立，得出和面积相等的结论.AMQ △OBN △【详解】（1）由题意可知，椭圆的半焦距，2222:1(0)x y C a b a b +=>>1c =将，即，M 1=23b =所以，2224a b c =+=椭圆C 的方程为.22143x y +=（2）根据题意，设， 000(,),0P x y x ≠又，，如下图所示，M (0,N则直线、的斜率均存在，且PM PN PM PN kk==所以，直线方程为 PM y =又直线与直线交于点A ，所以 PM 2x =A ⎛⎝又因为； Q所以，的面积为AMQ △AMQS :同理，直线方程为 PN y x=直线与x 轴交于点B ，易得PN B ⎫⎪⎪⎭所以，的面积为OBN△OBN S :要证明和 AMQ △OBN△整理得，由点P 在椭圆C 上可知，2200343x y =-0y <即，得，220034(3)x y =-22003412x y +=即显然成立；2200143x y +=所以和面积相等.AMQ △OBN △。
北京市石景山区2015届高三第一学期期末考试数学(理)试卷
北京市石景山区2015届高三第一学期期末考试数学（理）试卷本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}2,101，，-=A ，，则A B =( )A.{}2B.{}2,1 C.{}2,1- D.{}2,1,1- 2．下列函数中，在(0,)+∞上单调递减的是（ ）A.()ln f x x =B.2()()1f x x =- C.3()f x x = D.1()1f x x =+ 3．点与圆13cos ,3sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩的位置关系是（ ）A.点在圆内B.点在圆外C.点在圆上D.与θ的值有关 4. 某程序框图如右图所示，该程序运行 输出的值是（ ） A.4 B.5 C.6 D.75．以q 为公比的等比数列{}n a 中，01>a ，则“31a a <”是“1>q ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6．如果实数满足不等式组30,230,1.x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩目标函数z kx y =-的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.47．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中， 最长的棱的长度为（ ）D. 38. 函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示；函数()g x 的定义域为[]2,2-，图象如图2所示，方程(())0f g x =有m 个实数根，方程(())0g f x =有n 个实数根，则=+n m ( )A.6B. 8C. 10D. 12图2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数i Z +=11, i Z -=32,则=12Z Z ． 10.为等差数列，，公差，、、成等比数列，则=2015a ．11．如图，在边长为2的菱形ABCD中，为CD 中点，则．12.若抛物线2y ax =的焦点与双曲线的焦点重合，则a 的值为 ．13. A , B 两地街道如图所示，某人要从A 地前往B 地， 则路程最短的走法有 种（用数字作答）．14. 设A 为非空实数集，若,x y A ∀∈，都有,,x y x y xy A +-∈，则称A 为封闭集．①集合{}2,1,0,1,2--=A 为封闭集； ②集合{}Z k k n n A ∈==,2|为封闭集； ③若集合21,A A 为封闭集，则21A A ⋃为封闭集；④若A 为封闭集，则一定有0A ∈. 其中正确结论的序号是____________.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）如图所示，在四边形ABCD 中， AB DA ⊥，7CE =，23ADC π∠=；E 为AD 边上一点，1DE =，2EA =，3BEC π∠=.（Ⅰ）求sin ∠CED 的值； （Ⅱ）求BE 的长．16．（本小题共13分）某次数学考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，还有两道题能准确排除每题中的2个错误选项，其余两道题完全不会只好随机猜答.（Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；（Ⅱ）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.17．（本小题共14分）如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若点在线段上，且满足,求证：平面；（Ⅲ）若︒=∠60BDC,求二面角的大小.18.（本小题共13分）已知函数)0(ln )(22≠∈-+=a R a x a ax x x f 且. （Ⅰ）若1x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值；D A C BEA BCDPQM（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19.（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，且过点(01)B ，. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线交椭圆于P 、Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实数的取值范围.20．（本小题共13分）对于数集}1{21n x x x X ，，，， -=，其中，，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==，若对任意，存在，使得，则称具有性质．（Ⅰ）判断}2,1,1{-是否具有性质；（Ⅱ）若，且},2,1,1{x -具有性质，求的值；（Ⅲ）若具有性质，求证：，且当时，．石景山区2014—2015学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 【12题只答一种情况得3分】三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）设CED α∠=.在CED ∆中，由余弦定理，得2222cos CE CD DE CD DE CDE =+-⨯⨯∠ …………………2分得CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． …………………4分 在CED∆中，由正弦定理，得sin CED∠=…………………6分 （Ⅱ）由题设知03πα∈（，），所以cos α= …………………8分 而23AEB πα∠=-，所以222cos cos =cos cos sin sin 333AEB πππααα∠=-+（） 11=cos 22αα-+=-+=………………11分 在Rt EAB ∆中，2cos BE AEB==∠.…………………13分16．（本小题共13分）（Ⅰ）该考生8道题全答对为事件A ，依题意有 11111()224464P A =⨯⨯⨯=. …………………3分 （Ⅱ）该考生所得分数为X ，则X 的所有可能取值为20,25,30,35,40. ……4分(20)P X =11339224464=⨯⨯⨯=， ……6分1212221131333(25)C ()(1)()C ()(1)()2242448P X ==⨯-⨯+⨯-⨯=， ……8分 221122221311311111(30)+C ()(1)C ()()()=2422442432P X ==⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯（）（）（）……10分1212221111331(35)C ()(1)()C ()(1)()=2242448P X ==⨯-⨯+⨯-⨯ ……12分 1(40)64P X == X 分布列为：……………………13分17．（本小题共14分）（Ⅰ）,………………2分且………………4分（Ⅱ）证明：如图所示,取BD 中点O ，且P 是BM 中点， 所以MD PO //且MD PO 21=； 取CD 的四等分点H ，使DH =3CH ， 且AQ =3QC , 所以, QH PO //且QH PO =， 所以，四边形OPQH 为平行四边形， 所以OH PQ //，且OH BCD ⊂,所以PQ //面BDC . ……………………9分ABCDPQMOH(III)如图建系, 则,,,……………………10分设面的法向量,,即令,则设面BMD 的法向量),,(z y x m =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DM m 即⎩⎨⎧==-0062z y x 令, 则)0,1,3(=m 1cos ,2n m <>=所以二面角的大小为（Ⅰ）函数()f x 的定义域为),0(+∞. ………………1分21'()2f x a a x x=+-2221a x ax x -++=. ………………3分 因为1x =是函数()y f x =的极值点，所以2'(1)120f a a =+-=.…………5分解得12a =-或1a =. 经检验，12a =-或1a =时，1x =是函数()y f x =的极值点. ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：21'()2f x a a x x=+-2221a x ax x -++=.由0a ¹，令(21)(1)'()0ax ax f x x +-+==，解得1211,2x x a a=-=.……9分当0a >时， ()'(),f x f x 的变化情况如下表∴函数()y f x =的单调递增区间是(0,)a ，单调递减区间是(,)a+∞；…………11分 当0a <时，()'(),f x f x 的变化情况如下表∴函数()y f x =的单调递增区间是(0,)2a -，单调递减区间是(,)2a-+∞.…13分（Ⅰ）由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222231c b a a c e b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===312c b a ， 椭圆的标准方程为：. ………………4分（Ⅱ）设联立，消去，得： ……6分依题意：直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，所以，01=y ----① ，由（*）式，)41(162221k k x x +-=+-------②，可得k x x k x k x k y y 4)()2()2(212121++=+++=+---- ③ ， ………………8分 由①②③，，22414kky +=………………10分 由点B 在以PQ 为直径的圆内，得为钝角或平角，即0<⋅BQ BP .），（），，（11222-=--=y x BQ BP 01222<+--=⋅y x BQ BP . …12分即0141441164222>-+++-kk k k ，整理得034202<--k k . 解得：. ………………14分20．（本小题共13分）（Ⅰ）}2,1,1{-具有性质. ……2分 （Ⅱ）选取1(,2)a x =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式()1,b -.所以=2x b ，从而=4x ……5分 （III ）证明：取111(,)a x x Y =∈.设2(,)a s t Y =∈满足120a a ⋅=.由()1+0s t x =得+0s t =，所以、异号.因为1-是X 中唯一的负数，所以、中之一为1-，另一为1，故1X ∈.……8分 假设1k x =，其中1k n <<，则101n x x <<<.选取11(,)n b x x Y =∈，并设2(,)b p q Y =∈满足120b b ⋅=，即10n px qx +=，则p ,q 异号，从而p ,q 之中恰有一个为1-.……10分 若1p =-，则1n x qx =，显然矛盾；若1q =-，则1n n x px p x =<≤，矛盾.所以1=1x .……13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。
石景山区2015--2016学年第一学期期末考试试卷
石景山区2015--2016学年第一学期期末考试试卷高三物理（全卷考试时间：100分钟，满分：100分） 2016年1月考生须知1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡三部分；2．认真填写学校、班级、姓名和学号；3．考生一律用黑色签字笔在答题卡上按要求作答；4．考试结束后，监考人员只收答题卡，试卷由学生自己保存供讲评用。
第Ⅰ卷（共36分）一、本题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项．．．．．．符合题目要求。
1．如图1所示，一位同学从操场A 点出发，向西走了30m ，到达B 点，然后又向北走了40m ，达到C 点。
在从A 点到C 点的过程中，该同学的位移是A. 70mB. 50mC. 40mD. 30m2．如图2所示，一条鱼在水中正沿直线水平向左加速游动。
在这个过程中，关于水对鱼的作用力的方向，下图中合理的是3．如图3所示，在A 、B 两点分别放置两个电荷量相等的正点电荷，O 点为A 、B 连线的中点，M 点位于A 、B 连线上，N 点位于A 、B 连线的中垂线上。
关于Ｏ、M 、N 三点的电场强度E 和电势φ的判断正确的是 A ．φN < φO B ．φM < φOC ．E N < E OD ．E M < E OFBFAFCFD图2MA ON图3BC· 图1·A ·B4．近年来，我国一些地区出现了雾霾天气，影响了人们的正常生活。
在一雾霾天，某人驾驶一辆小汽车以30m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方有一辆大卡车正以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，但刹车过程中刹车失灵。
已知小汽车刚刹车时与大卡车相距40m，并开始计时，得到小汽车和大卡车的v-t图象分别如图4中a、b所示，以下说法正确的是A．由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾B．在t=1s时追尾C．在t=5s时追尾D．在t=5s时两车相距最近，但没有追尾5．如图5所示，我们常见有这样的杂技表演：四个人A、B、C、D体型相似，B站在A的肩上，双手拉着C和D，A撑开双手支持着C和D。
北京市石景山区2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(
2015-2016学年北京市石景山区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．下列命题中，真命题是（）A．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直B．若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行C．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线D．若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行2．直线y=﹣2x+b一定通过（）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限3．某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图所示，最高一层的房间在什么位置（）A．左前 B．右前 C．左后 D．右后4．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．已知命题p，q，那么“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．棱长为2的正方体的内切球的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π7．抛物线y2=8x上到其焦点F距离为4的点有（）个．A．1 B．2 C．3 D．48．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A．平行 B．垂直C．相交成60°角D．异面且成60°角9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则直线BE与平面AA1D1D 所成角的正切值为（）A．B．C．D．10．某化工厂有8种产品，由于安全原因，有些产品不允许存放在同一仓库．具体情况由下种产品？（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题共4小题，每小题3分，共12分．11．命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为．12．过点（0，2）且与两坐标轴相切的圆的方程为．13．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．则椭圆的长轴长为．14．在平面直角坐标系xOy中，对于⊙O：x2+y2=1来说，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离S P的定义如下：若P与O重合，S P=r；若P不与O重合，射线OP与⊙O的交点为A，S P=AP的长度（如图）．（1）直线2x+2y+1=0在圆内部分的点到⊙O的最长距离为；（2）若线段MN上存在点T，使得：①点T在⊙O内；②∀点P∈线段MN，都有S T≥S P成立．则线段MN的最大长度为．三、解答题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点P．（Ⅰ）若直线l平行于直线l1：4x﹣y+1=0，求l的方程；（Ⅱ）若直线l垂直于直线l1：4x﹣y+1=0，求l的方程．16．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2AB=2，E是DD1上的一点，且满足B1D⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：A1D⊥AE；（Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值．17．如图，有一个正方体的木块，E为棱AA1的中点．现因实际需要，需要将其沿平面D1EC 将木块锯开．请你画出前面ABB1A1与截面D1EC的交线，并说明理由．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E为PD中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的大小．19．课本上的探索与研究中有这样一个问题：已知△ABC的面积为S，外接圆的半径为R，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，用解析几何的方法证明：．小东根据学习解析几何的经验，按以下步骤进行了探究：（1）在△ABC所在的平面内，建立直角坐标系，使得△ABC三个顶点的坐标的表示形式较为简单，并设出表示它们坐标的字母；（2）用表示△ABC三个顶点坐标的字母来表示△ABC的外接圆半径、△ABC的三边和面积；（3）根据上面得到的表达式，消去表示△ABC的三个顶点的坐标的字母，得出关系式．在探究过程中，小东遇到了以下问题，请你帮助完成：（Ⅰ）为了△ABC的三边和面积表达式及外接圆方程尽量简单，小东考虑了如下两种建系方式；你选择第种建系方式．（Ⅱ）根据你选择的建系方式，完成以下部分探究过程：（1）设△ABC的外接圆的一般式方程为x2+y2+Dx+ =0；（2）在求解圆的方程的系数时，小东观察图形发现，由圆的几何性质，可以求出圆心的横坐标为，进而可以求出D=；（3）外接圆的方程为．20．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．2015-2016学年北京市石景山区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．下列命题中，真命题是（）A．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直B．若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行C．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线D．若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用平面与平面垂直的判定定理判断A的正误；利用特例判断B的正误；直线与平面平行的性质定理判断C的正误，直线与平面的位置关系判断即可．【解答】解：一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，满足平面与平面垂直的判定定理，所以A正确．若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行，例如正方体的上面的来与底面是平行的．侧面与底面是垂直的，所以B不正确．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线，也有异面直线，所以C 不正确；若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行，不满足平面与平面平行的判定定理．所以不正确．故选：A．2．直线y=﹣2x+b一定通过（）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】利用直线的斜率即可判断出结论．【解答】解：∵斜率k＜0，∴直线y=﹣2x+b一定通过第二、四象限．故选：B．3．某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图所示，最高一层的房间在什么位置（）A．左前 B．右前 C．左后 D．右后【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据主视图和侧视图，结合三视力长对正，宽相等的原则，可得最高一层的房间的位置．【解答】解：由已知中的三视图可得：主视图的左边是三层的，可得最高一层的房间在左边；侧视图的左边是三层的，可得最高一层的房间在后面，故最高一层的房间在左后面，故选：C．4．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程，转化求出双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，可得=，即，解得e2=，e=．故选：A．5．已知命题p，q，那么“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】复合命题的真假．【分析】根据p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系便可判断由“p∧q为真命题”能得到“p ∨q为真命题”，而“p∨q为真命题”得不到“p∧q为真命题”，从而得出正确选项为A．【解答】解：若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，∴p∨q为真命题；若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，而如果p，q中只有一个为真命题，则得不到p∧q为真命题；∴“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件．故选：A．6．棱长为2的正方体的内切球的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】棱长为2的正方体的内切球的半径r=1，由此能求出其表面积．【解答】解：棱长为2的正方体的内切球的半径r==1，表面积=4πr2=4π．故选B．7．抛物线y2=8x上到其焦点F距离为4的点有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，判断焦点到顶点的距离，然后推出结果．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点坐标（2，0），焦点到顶点的距离为2，所以抛物线上到其焦点F距离为4的点有2个．故选：B．8．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A．平行 B．垂直C．相交成60°角D．异面且成60°角【考点】异面直线的判定．【分析】以AB所在平面为底面，将右侧正方形折起为右边的平面，因为DE∥AB，所以∠CDE即为直线AB，CD所成的角，在△CDE中求解即可．【解答】解：如图，直线AB，CD异面．因为DE∥AB，所以∠CDE即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠CDE=60°故选D．9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则直线BE与平面AA1D1D 所成角的正切值为（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】连接AE，得到∠AEB是直线BE与平面AA1D1D所成的角，然后再在三角形EDF 中求出此角即可．【解答】解：连接AE，因为几何体是正方体，可知BA⊥平面AA1D1D，得到∠AEB是直线BE与平面AA1D1D所成的角，设棱长为2，AE==，直线BE与平面AA1D1D所成角的正切值为：=．故选：C．10．某化工厂有8种产品，由于安全原因，有些产品不允许存放在同一仓库．具体情况由下“╳”种产品？（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】排列、组合的实际应用．【分析】作图：以产品为顶点，能够允许存放在同一仓库的产品用边相连画图，找完全子图的顶点集，即可判断答案．【解答】解：作图：以产品为顶点，能够允许存放在同一仓库的产品用边相连画图，找完全子图的顶点集：例如：①{1，4，7}，{3，6，8}，{2，5}，②{2，4，6，8}，{1，7}，{3，5}，每个顶点集中元素可以放在同一仓库，需要3间仓库，故选：B二、填空题共4小题，每小题3分，共12分．11．命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为∃x∈R，x2﹣x+1≤0．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．12．过点（0，2）且与两坐标轴相切的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆的圆心与半径，即可写出圆的标准方程，【解答】解：过点（0，2）且与两坐标轴相切的圆的圆心（2，2），半径为：2．圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．13．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．则椭圆的长轴长为2+2．【考点】圆锥曲线的综合．【分析】设抛物线方程为y2=2px（p＞0），将M（1，2）代入方程解得p即可．由题意知椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），可得c．对于椭圆，2a=|MF1|+|MF2|，可得结论．【解答】解：设抛物线方程为y2=2px（p＞0），将M（1，2）代入方程得p=2．∴抛物线的方程为y2=4x．由题意知椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．∴c=1．对于椭圆，2a=|MF1|+|MF2|=+=2+2．故答案为：2+2．14．在平面直角坐标系xOy中，对于⊙O：x2+y2=1来说，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离S P的定义如下：若P与O重合，S P=r；若P不与O重合，射线OP与⊙O的交点为A，S P=AP的长度（如图）．（1）直线2x+2y+1=0在圆内部分的点到⊙O的最长距离为1﹣；（2）若线段MN上存在点T，使得：①点T在⊙O内；②∀点P∈线段MN，都有S T≥S P成立．则线段MN的最大长度为4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据点到的坐标和新定义进行求解即可．（2）根据点T在⊙O内，得到S T≤1，然后根据不等式S T≥S P成立，的S P≤1，即可得到结论．【解答】解：（1）作出对应的图象如图：由图象可知当直线与2x+2y+1=0垂直时对应的交点P，此时P到⊙O的距离最长，此时OP==，则AP=1﹣OP=1﹣．（2）∵点T在⊙O内，∴S T≤1，∵S T≥S P成立，∴S P≤1，∴当线段MN过原点时，MN的最大长度为1+2+1=4，故答案为：4．三、解答题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点P．（Ⅰ）若直线l平行于直线l1：4x﹣y+1=0，求l的方程；（Ⅱ）若直线l垂直于直线l1：4x﹣y+1=0，求l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】联立，解得交点P．（Ⅰ）设直线l：4x﹣y+m=0，把（2，1）代入可得m，即可得出；（Ⅱ）设直线l的方程为：x+4y+n=0，把点P（2，1）代入上述方程n，即可得出．【解答】解：联立，解得P（2，1）．（Ⅰ）设直线l：4x﹣y+m=0，把（2，1）代入可得：4×2﹣1+m=0，m=﹣7．∴l的方程为：4x﹣y﹣7=0；（Ⅱ）设直线l的方程为：x+4y+n=0，把点P（2，1）代入上述方程可得：2+4+n=0，解得n=﹣6．∴x+4y﹣6=0．16．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2AB=2，E是DD1上的一点，且满足B1D⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：A1D⊥AE；（Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由B1D⊥平面ACE，求出DE=，由此利用向量法能证明A1D⊥AE．（Ⅱ）求出平面AEC的法向量和平面ADE的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣C 的平面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2AB=2，E是DD1上的一点，且满足B1D⊥平面ACE，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（1，0，2），D（0，0，0），A（1，0，0），B1（1，1，2），C（0，1，0），设E（0，0，t），0≤t≤2，=（﹣1，﹣1，﹣2），=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，t），∵B1D⊥平面ACE，∴=1﹣2t=0，解得t=，∴=（﹣1，0，﹣2），=（﹣1，0，），∴，∴A1D⊥AE．解：（Ⅱ）=（﹣1，0，），=（﹣1，1，0），设平面AEC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，2），又平面ADE的法向量=（0，1，0），设二面角D﹣AE﹣C的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为．17．如图，有一个正方体的木块，E为棱AA1的中点．现因实际需要，需要将其沿平面D1EC 将木块锯开．请你画出前面ABB1A1与截面D1EC的交线，并说明理由．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】取AB中点F，连结EF，则EF即为所求的面ABB1A1与截面D1EC的交线．【解答】解：取AB中点F，连结EF，则EF即为所求的面ABB1A1与截面D1EC的交线．理由如下：连结A1B，∵E为棱AA1的中点，F是AB中点，∴EF∥A1B，又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C，∴直线EF与直线D1C确定一个平面α，∵直线D1C与直线外一点E都在平面α内，∴平面α与平面D1EC重合，∴EF即为所求的面ABB1A1与截面D1EC的交线．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E为PD中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结AC，BD，交于点O，连结OE，则OE∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，BD，交于点O，连结OE，∵四边形ABCD为正方形，E为PD中点，∴OE∥PB，∵OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB∥平面AEC．解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵PA=AB=2，E为PD中点．∴B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（1，1，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，=（0，1，1），设二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角B﹣PC﹣D的大小为arccos．19．课本上的探索与研究中有这样一个问题：已知△ABC的面积为S，外接圆的半径为R，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，用解析几何的方法证明：．小东根据学习解析几何的经验，按以下步骤进行了探究：（1）在△ABC所在的平面内，建立直角坐标系，使得△ABC三个顶点的坐标的表示形式较为简单，并设出表示它们坐标的字母；（2）用表示△ABC三个顶点坐标的字母来表示△ABC的外接圆半径、△ABC的三边和面积；（3）根据上面得到的表达式，消去表示△ABC的三个顶点的坐标的字母，得出关系式．在探究过程中，小东遇到了以下问题，请你帮助完成：（Ⅰ）为了△ABC的三边和面积表达式及外接圆方程尽量简单，小东考虑了如下两种建系方式；你选择第①种建系方式．（Ⅱ）根据你选择的建系方式，完成以下部分探究过程：（1）设△ABC的外接圆的一般式方程为x2+y2+Dx+ Ey+F=0；（2）在求解圆的方程的系数时，小东观察图形发现，由圆的几何性质，可以求出圆心的横坐标为，进而可以求出D=﹣m﹣n；（3）外接圆的方程为x2+y2+（﹣m﹣n）x+（﹣p﹣）y+mn=0．【考点】圆的标准方程；圆的一般方程．【分析】选择坐标系，利用待定系数法，即可得出结论．【解答】解：设△ABC的外接圆的一般式方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则D=﹣m﹣n，∴方程为x2+y2+（﹣m﹣n）x+Ey+F=0，代入（0，p），（n，0），可得，∴F=mn，E=﹣p﹣，∴外接圆的方程为x2+y2+（﹣m﹣n）x+（﹣p﹣）y+mn=0．故答案为：①；Ey+F；；﹣m﹣n；x2+y2+（﹣m﹣n）x+（﹣p﹣）y+mn=0．20．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（I）设出椭圆的标准方程，根据椭圆的离心率为，得出a2=4b2，再根据M（4，1）在椭圆上，解方程组得b2=5，a2=20，从而得出椭圆的方程；（II）因为直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B，可将直线方程与椭圆方程消去y得到关于x的方程，有两个不相等的实数根，从而△＞0，解得﹣5＜m＜5；（III）设出A（x1，y1），B（x2，y2），对（II）的方程利用根与系数的关系得：．再计算出直线MA的斜率k1=，MB的斜率为k2=，将式子K1+K2通分化简，最后可得其分子为0，从而得出k1+k2=0，得直线MA，MB的倾斜角互补，命题得证．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，∵椭圆的离心率为，∴a2=4b2，又∵M（4，1），∴，解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为．…（Ⅱ）将y=x+m代入并整理得5x2+8mx+4m2﹣20=0，∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B∴△=（8m）2﹣20（4m2﹣20）＞0，解得﹣5＜m＜5．…（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，只要证明k1+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），根据（Ⅱ）中的方程，利用根与系数的关系得：．上式的分子=（x1+m﹣1）（x2﹣4）+（x2+m﹣1）（x1﹣4）=2x1x2+（m﹣5）（x1+x2）﹣8（m﹣1）=所以k1+k2=0，得直线MA，MB的倾斜角互补∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．…2016年7月30日。
2.2016.1石景山区高二上期末理科数学参考答案
石景山区2015—2016学年第一学期期末考试试卷高二数学参考答案（理科）二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分．两空的题第一问1分第二问2分．11． ∃2,10x R x x ∈-+≤使得成立； 12．222)(2)4x y -+-=（或222)(2)4x y ++-=（；13． 2； 14．,4三、解答题：本大题共6个小题，共48分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分8分）解：联立方程组，可得． ………………2分（Ⅰ）由题意，直线的斜率为4，所以的方程为；………………5分（Ⅱ）由题意，直线的斜率为，所以的方程为．………………8分16．（本小题满分8分）解：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． ……………1分 依题意，)0 , 0 , 0(D ，)0 , 0 , 1(A ，)0 , 1, 0(C ，)2 ,0 , 1(1A ， 设) , 0 , 0(a E ，则) , 0 , 1(a -=，因为⊥D B 1平面ACE ，⊂AE 平面ACE ，所以AE D B ⊥1，所以01=∙AE DB ，所以021=+-a ，21=a 。
……………3分 （Ⅰ）所以)21 , 0 , 1(-=，)2- , 0 , 1(1-=D A , ………………4分 所以01=∙A ，AE D A ⊥1． ……………5分 （Ⅱ）平面ADE 的一个法向量为)0 , 1 , 0(1==DC n , ……………6分平面ACE 的一个法向量为)2 , 1 , 1(1=DB , ……………7分由图知，二面角C AE D --的平面角的余弦值为6661cos 1111===θ． ……………8分 17．（本小题满分8分）解：画法：取棱的中点F ，连接EF 即为交线． …………… 4分理由如下：平面//平面，,． …………… 6分在正方体中，且，是平行四边形,在平面中，易证，进而所以，EF 即为所求． …………… 8分 18．（本小题满分8分）（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ．O 为BD 中点，E 为PD 中点，∴EO //PB ． …………………1分 EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ……………………2分 ∴ PB //平面AEC ． ……………………3分（Ⅱ）如图，以A 为坐标原点，AP AD AB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． ……………………4分由P A =AB =2可知A 、B 、C 、D 、P 的坐标分别为A (0 ,0, 0),B (2, 0, 0),C (2, 2, 0),D (0, 2, 0), P (0, 0, 2) ．)0,2,0(B C 2),,0,-2(B P ==,)0,0,2(DC 2),,2,0(DP =-=．…………5分 zP1A EA设平面BCP 的法向量为1n =),,(111z y x , 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0BC ,0BP 11n n 即⎩⎨⎧=++=++-.0020,0202111y z x ∴⎩⎨⎧==0.,111y x z 令1z 1=,则)1,0,1(1=n ． …………………………………6分 设平面DCP 的法向量为2n =),,(222z y x , 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0DP 22n n 即⎩⎨⎧=++=+-.0002,0220222x z y ∴⎩⎨⎧==.0,222x y z 令1z 2-=,则)1,1,0(2--=n ． ……………7分 21221|n ||n |n ,n cos 212121-=⨯-=⋅<, ∴二面角B —PC —D 的大小为 120． …………………………………8分 19．（本小题满分8分）（Ⅰ）②; ………1分 （Ⅱ）（1）Ey ； ………3分 （2）2n ，n -； ………5分 22220p q np x y nx y q+-+--=． ………8分 或（Ⅰ）①; ………1分 （Ⅱ）（1）Ey F +； ………3分 （2）2m n +，()m n -+； ……5分222()0mn p x y m n x y mn p ++-+-+=． ……8分 20．（本小题满分8分）解：(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b+=，因为2e =，所以224a b =，又因为(4,1)M ，所以221611a b +=，解得225,20b a ==， 故椭圆方程为221205x y +=． ………3分 (Ⅱ)将y x m =+代入221205x y +=并整理,得22584200x mx m ++-=， 22(8)20(420)0m m ∆=-->，解得55m -<<． ………5分 （Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=． ………6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212128420,55m m x x x x -+=-=． 12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- , ………7分 122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子所以，直线MA 、MB 与x 轴围成一个等腰三角形． ………8分【若有不同解法，请酌情给分】。