2017级高三二诊数学(理)答案
宜宾市普通高中2017级高三第二次诊断(理工类)数学 +参考答案
宜宾市高2017级高三第二次诊断测试理科数学参考答案一、选择题 题号1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A AD B C B C B D A C D二、填空题 13.45− 14. -11 15. 52− 16.①③ 三、解答题17. 解（1）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有0.005020202××=（人），得分落在组(]20,40的人数有0.007520203××=（人）．所以所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有2人，得分落在组(]20,40的人数有3人。
................................................ 4分（2）X 的所有可能取值为0，1，2()33351010C P X C ===， ()1223356110C C P X C ===， ()2123353210C C P X C === .............. 8分 所以X 的分布列为所以X 的期望012 1.2101010EX =×+×+×= .......................................... 12分 18.解（1）令,325n n n n n S b a ==−，当2n ≥时，111333n n n n n b S S −−=−=−=，当1n =时，113b =，则1253n n n b a ==−，故352n n a += ....................................................... 6分 （2）Q 114411[(35)[3(1)5]3(35)3(1)5n n a a n n n n +==−++++++， ........................... 8分 111111[()()()]315325325335353(1)5n T n n ∴=−+−+⋅⋅⋅+−×+×+×+×+×+++4111[383(1)56n =−≤++ ................................................................................ 12分19.解（1）取AC 中点M ，连接MO ，则1MO BB ，四边形1MOBB 为平行四边形，连接11,MB B D ，则1MB B O ，即1MB D O ，四边形1MBOD 为平行四边形，1MD OB ∴ ，1MD ⊂平面1ACD ，OB ⊄平面1ACD ，OB ∴ 平面1ACD ............................................................ 6分（2）连接11,B C BC 相交于F ，取1AD 中点E ，连接,EF CE CF ⊥平面11BC D A ，1111,EF C D C D ⊥ 平面11AA D ， EF ∴⊥平面11AA D ，1AD ⊂平面11AA D ， 1EF AD ∴⊥，1CE AD ∴⊥，则CEF ∠为所求二面角的平面角，.................................................... 10分 在Rt CFE ∆中2,CF EF CE ==∴=sin 3CF CEF CE ∠=== ................... 12分 20. 解：（1）22143x y += ........................................................... 3分 （2）由题不妨设:MN y kx m =+ 联立22143x y y kx m += =+方程组解1122(,),(,)M x y N x y 消去y 化简得222(43)84120k x kmx m +++−=， 且21212228412,4343km m x x x x k k −+=−=++ ................................................... 5分 1212k k k k =+Q12121212y y y y x x x x −−∴×=+ ,i i y kx m ∴=+代入化简得()()(()2212122130k k x x k m x x m −+−++−+= ................................. 8分2(3(m m −=3(m m ≠=−Qm ∴= .................................................................... 10分直线:+3MN y kx =+，3MN 过定点(-，. .................................... 12分21. 解：（1）()cos g x x x ′=0x >Q。
辽宁省锦州市2017届高三质量检测二理数试题 含答案 精
2017年高三质量检测（二）数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2A = ，{}2|540B x Z x x =∈-+<，则()U AB =ð（ ） A ．{}0,1,2,3 B ．{}5C ．{}1,2,4D ．{}0,4,52.已知复数2ia i+-（其中a R ∈，i 是虚数单位）是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-3.已知数列{}n a ，若点(,)n n a （*n N ∈）在经过点(10,6)的定直线上，则数列{}n a 的前19项和19S 的值为（ ） A ．190B ．114C ．60D ．1204.直线m ：40kx y ++=（k R ∈）是圆C ：224460x y x y ++-+=的一条对称轴，过点(0,)A k 作斜率为1的直线n ，则直线n 被圆C 所截得的弦长为（ ）A B CD ．5.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，主视图和左视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．203B ．163C ．86π-D ．83π-6.函数1()()cos f x x x x=-（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）7.某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（ ） A ．336种B ．320种C ．192种D ．144种8.设方程2|ln |1xx =有两个不相等的实根1x 和2x ，则（ ） A ．120x x <B ．1201x x <<C ．121x x >D ．121x x =9.执行如图所示的程序框图，则输出i 的值为（ ）A ．1006B ．1007C ．1008D ．100910.已知三棱锥A BCO -，OA ，OB ，OC 两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在底面BCO 内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的O 点所在的三个面所围成的几何体的表面积为（ ）A ．52πB ．54π C ．32π+ D ．3π+11.已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2||OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D 112.已知函数2()x x f x e=，0x ≠，e 为自然对数的底数，关于x 的方程λ-=有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（ ）A ．2(0,)eB ．)+∞C ．2(,)e e++∞D ．224(,)2e e++∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在边长为1的正方形ABCD 中，2AE EB =，BC 的中点为F ，2EF FG =，则EG BD ⋅= ．14.设20cos a xdx π=⎰，则6(2)ax x-展开式中常数项为 （用数字作答）．15.设实数x ，y 满足约束条件20,26,1,2y x x y y ⎧⎪-≤⎪+≤⎨⎪⎪≥⎩则12x y +的最小值为 ．16.已知数列{}n a 各项均为正数，112a =，对任意的*n N ∈，有2112016n n n a a a +=+，若1n a >则n 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，222a b c ab bc ca ++=++．（Ⅰ）证明ABC ∆是正三角形；（Ⅱ）如图，点D 在边BC 的延长线上，且2BC CD =，AD =sin BAD ∠的值． 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD =．（Ⅰ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若二面角M BQ C --大小为30︒，设PM tMC =，试确定t 的值．19.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（Ⅰ）求某户居民用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：度）的函数解析式； （Ⅱ）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a ，b 的值；（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点代替，记Y 为该居民用户1月份的用电费用，求Y 的分布列和数学期望．20.已知椭圆C ：22221x y a b+=（1a b >>）的左焦点F 与抛物线24y x =-的焦点重合，直线0x y -+=与以原点O 为圆心，以椭圆的离心率e 为半径的圆相切．（Ⅰ）求该椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点．记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆的面积为2S ．问：是否存在直线AB ，使得12S S =，若存在，求直线AB 的方程，若不存在，说明理由． 21.已知函数2()ln 2a f x x x x =-（a R ∈）． （Ⅰ）若0x >，恒有()f x x ≤成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()()g x f x x =-有两个相异极值点1x ，2x ，求证：12112ln ln ae x x +>． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线m 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线m 与曲线C 相交于A ，B两点，且||AB m 的倾斜角α的值． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()||f x x a =-．（Ⅰ）若对[]0,4x ∈不等式()3f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当2a =时，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．2017年高三质量检测（二）数学（理）答案一、选择题1-5:DBBCA 6-10:DABDB 11、12：CC二、填空题13.14-14.160- 15.2 16.2018 三、解答题17.解：（Ⅰ）222a b c ab bc ca ++=++，得222()()()0a b b c c a -+-+-=， 所以0a b b c c a -=-=-=，所以a b c ==，即ABC ∆是正三角形． （Ⅱ）因为ABC ∆是等边三角形，2BC CD =， 所以2AC CD =，120ACD ∠=︒，所以在ACD ∆中，由余弦定理可得：2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠，可得22744cos120CD CD CD CD =+-⋅︒，解得1CD =，在ABC ∆中，33BD CD ==，由正弦定理可得3sin sin BD BBAD AD⋅∠===．18.（Ⅰ）证明：∵//AD BC ，12BC AD =，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴//CD BQ ， ∵90ADC ∠=︒，∴90AQB ∠=︒，即QB AD ⊥． 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =，∴BQ ⊥平面PAD ，∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．（Ⅱ）解：∵PA AD =，Q 为AD 的中点，∴PQ AD ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD平面ABCD AD =， ∴PQ ⊥平面ABCD ，∴PQ ，QA ，QB 两两垂直，如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系，则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =，(0,0,0)Q，P，B，(1C -，设(,,)M x y z，则(,,PM x y z =，(1,)MC x y z =---， ∵PM tMC =，∴(1),),(),x t x y t y z t z =--⎧⎪=⎨⎪-=-⎩∴,1t x t y z ⎧=-⎪+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩在平面MBQ中QB =，(1t QM t =-+． ∴平面MBQ 法向量为(3,0,)m t =． ∵二面角M BQ C --为30︒，∴cos30||||3n m n m⋅︒===+， ∴3t =．19.解：（Ⅰ）当0200x ≤≤时，0.5y x =；当200400x <≤时，0.52000.8(200)0.860y x x =⨯+⨯-=-； 当400x >时，0.52000.8200 1.0(400)140y x x =⨯+⨯+⨯-=-，所以y 与x 之间的函数解析式为0.5,0200,0.860,200400,140,400.x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当260y =时，400x =，则(400)0.80P x ≤=，结合频率分布直方图可知：0.121000.30.8,1000.050.2,b a +⨯+=⎧⎨+=⎩∴0.0015a =，0.0020b =．（Ⅲ）X 可取50,150,250,350,450,550． 由y 关于x 的函数关系列表如下：则(25)0.1P Y ==，(25)0.2P Y ==，(140)0.3P Y ==，(220)0.2P Y ==，(310)0.15P Y ==，(410)0.05P Y ==，故Y 的概率分布列为：所以250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．20.解：（Ⅰ）由题意，得1c =，|0012e -==，即12c a =，∴2a =，1b =∴所求椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）假设存在直线AB 使12S S =，显然直线AB 不能与x ，y 轴垂直． ∴直线AB 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =+（0k ≠），将其代入22143x y +=整理得2222(43)84120k x k x k +++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，2122843k x x k -+=+，121226(1)(1)43k y y k x k x k +=+++=+， ∴22243(,)4343k kG k k -++， ∵DG AB ⊥，∴2223431443Dk k k k x k +⨯=---+，解得2243D k x k -=+，即22(,0)43k D k -+， ∵GFDOED ∆∆，∴||||||||GF DG OE OD =，∴2||||||()||||||GF DG DG OE OD OD ⋅=，即212||()||S DG S OD =，又∵12S S =，∴||||GD OD =，22||43k k -=+，整理得2890k +=因为此方程无解，故不存在直线AB 满足12S S =．21.解：（Ⅰ）由0x >，恒有()f x x ≤，即ln 12a x x -≤，ln 12x ax -≤对任意0x >成立， 记ln 1()x H x x -=，22ln '()xH x x -=， 当2(0,)x e ∈，'()0H x >，()H x 单调递增； 当2(,)x e ∈+∞，'()0H x <，()H x 单调递减，()H x 最大值为221()H e e =， ∴212a e ≥，22a e≥． （Ⅱ）函数()()g x f x x =-有两个相异的极值点1x ，2x ， 即'()ln 0g x x ax =-=有两个不同的实数根．①当0a ≤时，'()g x 单调递增，'()g x 不可能有两个不同的实根； ②当0a >时，设()ln h x x ax =-，则1'()axh x x-=，当10x a <<时，'()0h x >，()h x 单调递增； 当1x a>时，'()0h x <，()h x 单调递减， ∴1()ln 10h a a =-->，∴10a e<<， 不妨设210x x >>，∵12'()'()0g x g x ==，∴22ln 0x ax -=，11ln 0x ax -=，2121ln ln ()x x a x x -=-， 先证12112ln ln x x +>，即证21212112ln ln 2x x x x x x x x -+<-， 即证2222121112121ln ()22x x x x x x x x x x -<=-， 令211x t x =>，即证11ln ()2t t t <-，设11()ln ()2t t t t ϕ=--， 则22(1)'()02t t tϕ--=<，函数()t ϕ在(1,)+∞单调递减， ∴()(1)0t ϕϕ<=，∴12112ln ln x x +>，又10a e <<，∴1ae <， ∴12112ln ln ae x x +>． 22.解：（Ⅰ）有4cos ρθ=得24cos ρρθ=，∵222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，即22(2)4x y -+=．（Ⅱ）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得22(cos 1)(sin )4t t αα-+=， 化简得22cos 30t t α--=， 设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则12122cos ,3,t t t t α+=⎧⎨=-⎩∴12||||AB t t =-=== ∴24cos 2α=，cos α=，4πα=或34π．23.解：（Ⅰ）由()3f x ≤，得||3x a -≤，解得33a x a -≤≤+，∴不等式()3f x ≤的解集[]3,3M a a =-+，根据题意知[]0,4M ⊂，∴30,34,a a -≤⎧⎨+≥⎩∴13a ≤≤．（Ⅱ）当2a =时，()|2|f x x =-，设()()(5)|2||3|g x f x f x x x =++=-++． 由|2||3||(2)(3)|5x x x x -++≥--+=（当且仅当32x -≤≤时等号成立）， ∴()g x 的最小值5，因此，若()()(5)g x f x f x m =++≥对x R ∈恒成立，知实数m 的取值范围是(,5]-∞．。
四川省绵阳市高考数学二诊试卷理科解析版
四川省绵阳市2017年高考数学二诊试卷（理科）(解析版)一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．?B．{2}C．{2，3}D．{x|2≤x＜3}2．若复数z满足（1+i）z=i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．B．﹣ C．i D．﹣3．某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（）A．25 B．20 C．12 D．54．“a=1”是“直线l1：ax+（a﹣1）y﹣1=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣3=0垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为，且相互之间设有影响，若每个项目成功都获利20万元，若每个项目失败都亏损5万元，该公司三个投资项目获利的期望为（）A．30万元B．22.5万元C．10万元D．7.5万元6．宋元时期数学名着《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）A．2 B．3 C．4 D．57．若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数”，例：112，232，则不超过200的“单重数”个数是（）A．19 B．27 C．28 D．378．过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则=（）A．B．2 C．5 D．109．已知cosα，sinα是函数f（x）=x2﹣tx+t（t∈R）的两个零点，则sin2α=（）A．2﹣2B．2﹣2 C．﹣1 D．1﹣10．设F1，F2分别为双曲线C：的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为，则该双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．11．已知点P（﹣2，）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上，过点P作圆C：x2+y2=2的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（）A．13 B．14 C．15 D．1612．已知f（x）=e x，g（x）=lnx，若f（t）=g（s），则当s﹣t取得最小值时，f （t）所在区间是（）A．（ln2，1）B．（，ln2）C．（，）D．（，）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（）5的展开式的常数项为．14．已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，则至少有1人能译出密码的概率为．15．已知直线mx﹣y+m+2=0与圆C1：（x+1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B两点，点P是圆C2：（x﹣3）2+y2=5上的动点，则△PAB面积的最大值是．16．已知抛物线C：y2=4x，焦点为F，过点P（﹣1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线C于M，N两点，若+=18，则k=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）数列{a n}中，a n﹣2a n+1+a n=1（n∈N*），a1=1，a2=3．．+2﹣a n}是等差数列；（1）求证：{a n+1（2）求数列{}的前n项和S n．18．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＜b ＜c，C=2A．（1）若c=a，求角A；（2）是否存在△ABC恰好使a，b，c是三个连续的自然数？若存在，求△ABC 的周长；若不存在，请说明理由．19．（12分）2016年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，阻值方统计了来自A1，A2，A3，A4，A5等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示：单位A1A2A3A4A5170174176181179平均身高x（单位：cm）平均得分y6264667068（1）根据表中数据，求y关于x的线性回归方程；（系数精确到0.01）（2）若M队平均身高为185cm，根据（I）中所求得的回归方程，预测M队的平均得分（精确到0.01）注：回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，．20．（12分）已知椭圆C ：的右焦点F （），过点F 作平行于y轴的直线截椭圆C 所得的弦长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点（1，0）的直线l交椭圆C于P，Q两点，N点在直线x=﹣1上，若△NPQ是等边三角形，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=+lnx﹣1（m∈R）的两个零点为x1，x2（x1＜x2）．（1）求实数m的取值范围；（2）求证：+＞．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的参数方程是（α为参数）（1）将C的参数方程化为普通方程；（2）在直角坐标系xOy中，P（0，2），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2=0，Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣t|（t∈R）（1）t=2时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若对于任意的t∈[1，2]，x∈[﹣1，3]，f（x）≥a+x恒成立，求实数a的取值范围．2017年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．?B．{2}C．{2，3}D．{x|2≤x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，则A∩B={2}．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．若复数z满足（1+i）z=i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．B．﹣ C．i D．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1+i）z=i，得，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求．【解答】解：由（1+i）z=i，得=，则z的虚部为：．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为（）A．25 B．20 C．12 D．5【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵初级教师80人，∴抽取一个容量为50的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为，解得n=20，即初级教师人数应为20人，故选：B．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，比较基础．4．“a=1”是“直线l1：ax+（a﹣1）y﹣1=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣3=0垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及直线的垂直关系判断即可．【解答】解：若直线l1：ax+（a﹣1）y﹣1=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣3=0垂直，则：a（a﹣1）+（a﹣1）（2a+3）=0，解得：a=1或﹣1，故“a=1”是“直线l1：ax+（a﹣1）y﹣1=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣3=0垂直”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线的垂直关系，是一道基础题．5．某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为，且相互之间设有影响，若每个项目成功都获利20万元，若每个项目失败都亏损5万元，该公司三个投资项目获利的期望为（）A．30万元B．22.5万元C．10万元D．7.5万元【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】设该公司投资成功的个数为X，则X～B．进而得出．【解答】解：设该公司投资成功的个数为X，则X～B．∴E（X）==．∴该公司三个投资项目获利的期望==22.5万元．故选：B．【点评】本题考查了二项分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．宋元时期数学名着《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数”，例：112，232，则不超过200的“单重数”个数是（）A．19 B．27 C．28 D．37【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据“单重数”的定义，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：由题意，不超过200，两个数字一样为0，有2个，两个数字一样为1，110，101，112，121，113，131，114，141，115，151，116，161，117，171，118，181，119，191，有18个，两个数字一样为2，122，有一个，同理两个数字一样为3，4，5，6，7，8，9，各1个，综上所述，不超过200的“单重数”个数是2+18+8=28，故选C．【点评】本题考查合情推理，考查计数原理的运用，正确分类讨论是关键．8．过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则=（）A．B．2 C．5 D．10【考点】平面向量数量积的运算．【分析】f（x）==1+，可得函数f（x）=的图象关于点P（2，1）对称，过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，A，B两点关于点P（2，1）对称?=即可．【解答】解：f（x）==1+，∴函数f（x）=的图象关于点P（2，1）对称，∴过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=的图象交于A，B两点，A，B两点关于点P（2，1）对称，∴，则=，||=，∴则=2×5=10．故选：D．【点评】本题考查了函数的对称性及向量的运算，属于中档题．9．已知cosα，sinα是函数f（x）=x2﹣tx+t（t∈R）的两个零点，则sin2α=（）A．2﹣2B．2﹣2 C．﹣1 D．1﹣【考点】三角函数的化简求值；函数的零点与方程根的关系．【分析】通过韦达定理可求sinα+cosα=t，sinαcosα=t，利用sin2α+cos2α=1，则可得答案．【解答】解：∵cosα，sinα是函数f（x）=x2﹣tx+t（t∈R）的两个零点，∴sinα+cosα=t，sinαcosα=t，由sin2α+cos2α=1，得（sinα+cosα）2﹣2sinαcosα=1，即t2﹣2t=1，解得t=．∴sin2α=2sinαcosα=2t=．故选：A．【点评】本题考查三角函数化简求值，注意同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，是基础题．10．设F1，F2分别为双曲线C：的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为，则该双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（x，x），由题意，|MO|=c，则x=a，∴M（a，b），利用△AMN 的面积为，建立方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设M（x，x），由题意，|MO|=c，则x=a，∴M（a，b），∵△AMN的面积为，∴，∴4a2（c2﹣a2）=c4，∴e4﹣4e2+4=0，∴e=．故选D．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．已知点P（﹣2，）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上，过点P作圆C：x2+y2=2的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2+b2的值是（）A．13 B．14 C．15 D．16【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意，以OP为直径的圆的方程为（x+1）2+（y﹣）2=，与圆C：x2+y2=2相减，可得直线AB的方程，求出c，再利用点P（﹣2，）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上，求出a2=8，b2=7，即可求出a2+b2的值．【解答】解：由题意，以OP为直径的圆的方程为（x+1）2+（y﹣）2=．与圆C：x2+y2=2相减，可得直线AB的方程为2x﹣y+2=0，令y=0，可得x=﹣1，∴c=1，∵=1，∴a2=8，b2=7，∴a2+b2=8+7=15，故选C．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．已知f（x）=e x，g（x）=lnx，若f（t）=g（s），则当s﹣t取得最小值时，f （t）所在区间是（）A．（ln2，1）B．（，ln2）C．（，）D．（，）【考点】指数函数的图象与性质．【分析】求出s﹣t=e a﹣lna，（a＞0），令h（a）=e a﹣，求出h（a）的最小值，验证即可．【解答】解：令f（t）=g（s）=a，即e t=lns=a＞0，∴t=lns，s=e a，∴s﹣t=e a﹣lna，（a＞0），令h（a）=e a﹣，则h′（a）=e a﹣，∵y=e a递增，y=递减，故存在唯一a=a0使得h′（a）=0，0＜a＜a0时，e a＜，h′（a）＜0，a＞a0时，e a＞，h′（a）＞0，∴h（a）min=h（a0），即s﹣t取最小值是时，f（t）=a=a0，由零点存在定理验证﹣=0的根的范围：a0=时，﹣＜0，a0=ln2时，﹣＞0，故a0∈（，ln2），故选：B．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查函数的单调性以及导数的应用，是一道中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（x2+1）（）5的展开式的常数项为﹣11．【考点】二项式定理的应用．【分析】把（）5按照二项式定理展开，可得（x2+1）（）5的展开式的常数项．【解答】解：由于（x2+1）（）5=（x2+1）（﹣+﹣+﹣1），故展开式的常数项为﹣10﹣1=﹣11，故答案为：﹣11．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14．已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，则至少有1人能译出密码的概率为．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人能译出密码的概率．【解答】解：甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码，∴至少有1人能译出密码的概率：p=1﹣（1﹣）（1﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．15．已知直线mx﹣y+m+2=0与圆C1：（x+1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B两点，点P是圆C2：（x﹣3）2+y2=5上的动点，则△PAB面积的最大值是3．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，直线恒过定点（﹣1，2），即C1圆的圆心，|AB|=2，圆心C2到直线mx﹣y+m+2=0的最大距离为=2，可得P到直线mx﹣y+m+2=0的最大距离为3，即可求出△PAB面积的最大值．【解答】解：由题意，直线恒过定点（﹣1，2），即C1圆的圆心，|AB|=2圆心C2到直线mx﹣y+m+2=0的最大距离为=2，∴P到直线mx﹣y+m+2=0的最大距离为3，∴△PAB面积的最大值是3=3，故答案为3．【点评】本题考查直线过定点，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积的计算，属于中档题．16．已知抛物线C：y2=4x，焦点为F，过点P（﹣1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线C于M，N两点，若+=18，则k=．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】由题意，图形关于x轴对称，A，B，P三点共线，可得=．由焦半径公式|AF|=x1+1=|NF|，||BF|=x2+1=|MF|，+=+=18，（y1+y2）2=20y1y2，再利用韦达定理，即可得出结论．【解答】解：由题意，图形关于x轴对称，A，B，P三点共线，可得=．由焦半径公式|AF|=x1+1=|NF|，||BF|=x2+1=|MF|，∴+=+=18，∴（y1+y2）2=20y1y2，由，可得ky2﹣4y+4k=0，∴y1+y2=，y1y2=4，∴=80，∵k＞0，∴k=．故答案为．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（2017?绵阳模拟）数列{a n}中，a n﹣2a n+1+a n=1（n∈N*），a1=1，+2a2=3．．﹣a n}是等差数列；（1）求证：{a n+1（2）求数列{}的前n项和S n．【考点】数列的求和．【分析】（1）令c n=a n+1﹣a n，通过c n+1﹣c n=1，说明{a n+1﹣a n}是以2为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）知c n=n+1，求出a n，化简==2（﹣）．利用裂项求和求解即可．【解答】解：（1）证明：令c n=a n+1﹣a n，﹣c n=（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=a n+2﹣2a n+1+a n=1（常数），则c n+1c1=a2﹣a1，=2，﹣a n}是以2为首项，1为公差的等差数列．…（4分）故{a n+1（2）由（1）知c n=n+1，即a n+1﹣a n=n+1，于是a n=（a n﹣a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1==n+（n﹣1）+…+2+1=，…（8分）故==2（﹣）．∴S n=2（1﹣）+2（﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）=2（1﹣）=．…（12分）【点评】本题考查数列求和，等差数列的判断，考查计算能力．18．（12分）（2017?绵阳模拟）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＜b＜c，C=2A．（1）若c=a，求角A；（2）是否存在△ABC恰好使a，b，c是三个连续的自然数？若存在，求△ABC 的周长；若不存在，请说明理由．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理有sinC=sinA，又C=2A，利用倍角公式可求2sinAcosA=sinA，结合sinA≠0，可得cosA=，即可得解A的值．（2）设a=n，b=n+1，c=n+2，n∈N*．由已知利用二倍角公式可求cosA=，由余弦定理得=，解得n=4，求得a，b，c的值，从而可求△ABC的周长．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c=a，∴由正弦定理有sinC=sinA．…（2分）又C=2A，即sin2A=sinA，于是2sinAcosA=sinA，…（4分）在△ABC中，sinA≠0，于是cosA=，∴A=．…（6分）（2）根据已知条件可设a=n，b=n+1，c=n+2，n∈N*．由C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA，∴cosA=．…（8分）由余弦定理得=，代入a，b，c可得：=，…（10分）解得n=4，∴a=4，b=5，c=6，从而△ABC的周长为15，即存在满足条件的△ABC，其周长为15．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（12分）（2017?绵阳模拟）2016年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，阻值方统计了来自A1，A2，A3，A4，A5等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示：单位A1A2A3A4A5170174176181179平均身高x（单位：cm）平均得分y6264667068（1）根据表中数据，求y关于x的线性回归方程；（系数精确到0.01）（2）若M队平均身高为185cm，根据（I）中所求得的回归方程，预测M队的平均得分（精确到0.01）注：回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，．【考点】线性回归方程．【分析】（1）求出样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，得到线性回归方程；（2）当x=185代入回归直线方程，即可预测M队的平均得分．【解答】解：（1）由已知有=176，=66，=≈0.73，=﹣62.48，∴y=0.73x﹣62.48．…（10分）（2）x=185，代入回归方程得y=0.73×185﹣62.48=72.57，即可预测M队的平均得分为72.57．…（12分）【点评】本题考查采用最小二乘法，求线性回归方程及线性回归方程的简单应用，考查计算能力，属于基础题．20．（12分）（2017?绵阳模拟）已知椭圆C：的右焦点F（），过点F作平行于y轴的直线截椭圆C所得的弦长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点（1，0）的直线l交椭圆C于P，Q两点，N点在直线x=﹣1上，若△NPQ是等边三角形，求直线l的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的焦半距为c，则c=，于是a2﹣b2=6．把x=c代入椭圆的标准方程可得：y=，即=，联立解出即可得出．（Ⅱ）设直线PQ：x=ty+1，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立直线与椭圆方程可得：（t2+4）y2+2ty﹣7=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的焦半距为c，则c=，于是a2﹣b2=6．把x=c代入椭圆的标准方程可得：=1，整理得y2=b2（1﹣）=，解得y=，∴=，即a2=2b4，∴2b4﹣b2﹣6=0，解得b2=2，或b2=﹣（舍去），进而a2=8，∴椭圆C的标准方程为+=1．（Ⅱ）设直线PQ：x=ty+1，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立直线与椭圆方程：，消去x得：（t2+4）y2+2ty﹣7=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=．于是x1+x2=t（y1+y2）+2=，故线段PQ的中点D．设N（﹣1，y0），由|NP|=|NQ|，则k ND?k PQ=﹣1，即=﹣t，整理得y0=t+，得N．又△NPQ是等边三角形，∴|ND|=|PQ|，即，即+=，整理得=，解得t2=10，t=，∴直线l的方程是x﹣1=0．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2017?绵阳模拟）已知函数f（x）=+lnx﹣1（m∈R）的两个零点为x1，x2（x1＜x2）．（1）求实数m的取值范围；（2）求证：+＞．【考点】函数零点的判定定理．【分析】（1）求导数，分类讨论，利用函数f（x）=+lnx﹣1（m∈R）的两个零点，得出ln2m﹣＜0，即可求实数m的取值范围；（2）由题意方程m=有两个根为t1，t2，不妨设t1=，t2=，要证明+＞，即证明t1+t2＞，即证明h（t1）＜h（﹣t2）．令φ（x）=h（x）﹣h（﹣x），证明φ（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立即可．【解答】（1）解：f′（x）=．①m≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，不可能有两个零点；②m＞0，f′（x）＞0可解得x＞2m，f′（x）＜0可解得0＜x＜2m，∴f（x）在（0，2m）上单调递减，在（2m，+∞）上单调递增，∴f（x）min=f（2m）=ln2m﹣，由题意，ln2m﹣＜0，∴0＜m＜；（2）证明：令t=，f（）=mt﹣2lnt﹣1=0，由题意方程m=有两个根为t1，t2，不妨设t1=，t2=．令h（t）=，则h′（t）=﹣，令h′（t）＞0，可得0＜t＜，函数单调递增；h′（t）＜0，可得t＞，函数单调递减．由题意，t1＞＞t2＞0，要证明+＞，即证明t1+t2＞，即证明h（t1）＜h（﹣t2）．令φ（x）=h（x）﹣h（﹣x），下面证明φ（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立，φ′（x）=+，∵x∈（0，），∴﹣lnx﹣1＞0，x2＜，∴φ′（x）＞＞0，∴φ（x）在（0，）上是增函数，∴φ（x）＜φ（）=0，∴原不等式成立．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明．难度大．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017?绵阳模拟）已知曲线C的参数方程是（α为参数）（1）将C的参数方程化为普通方程；（2）在直角坐标系xOy中，P（0，2），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2=0，Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）消去参数，将C的参数方程化为普通方程；（2）将直线l的方程化为普通方程为x+y+2=0．设Q（cosα，sinα），则M（cosα，1+sinα），利用点到直线的距离公式，即可求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．【解答】解：（1）消去参数得，曲线C的普通方程得=1．…（2）将直线l的方程化为普通方程为x+y+2=0．设Q（cosα，sinα），则M（cosα，1+sinα），∴d==，∴最小值是．…（10分）【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017?绵阳模拟）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣t|（t∈R）（1）t=2时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若对于任意的t∈[1，2]，x∈[﹣1，3]，f（x）≥a+x恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值解关于x的不等式，求出不等式的解集即可；（2）问题等价于a≤f（x）﹣x，令g（x）=f（x）﹣x，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）当t=2时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|，若x≤1，则f（x）=3﹣2x，于是由f（x）＞2，解得x＜，综合得x＜；若1＜x＜2，则f（x）=1，显然f（x）＞2不成立；若x≥2，则f（x）=2x﹣3，于是由f（x）＞2，解得x＞，综合得x＞∴不等式f（x）＞2的解集为{x|x＜，或x＞}．（2）f（x）≥a+x等价于a≤f（x）﹣x，令g（x）=f（x）﹣x，当﹣1≤x≤1时，g（x）=1+t﹣3x，显然g（x）min=g（1）=t﹣2，当1＜x＜t时，g（x）=t﹣1﹣x，此时g（x）＞g（1）=t﹣2，当t≤x≤3时，g（x）=x﹣t﹣1，g（x）min=g（1）=t﹣2，∴当x∈[1，3]时，g（x）min=t﹣2，又∵t∈[1，2]，∴g（x）min≤﹣1，即a≤﹣1，综上，a的取值范围是a≤﹣1．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。
2017年高三数学二模(理科)答案
2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. D3. A4. D5.C6.B7. D8. A9. C 10. A 11. A 12. C简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的共轭复数及复数运算.【试题解析】B (12)(12)5z z i i ⋅=+-=. 故选B.2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D 由{|13},{|0,A x x B x x =-<<=<或1}x >，故{|10,A B xx =-<< 或13}x <<. 故选D.3. 【命题意图】本题考查祖暅原理及简易逻辑等知识.【试题解析】A 根据祖暅原理容易判断q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，再利用命题的等价性， 故p 是q 的充分不必要条件. 故选A. 4. 【命题意图】本题考查抛物线的相关知识.【试题解析】D 抛物线22y x =上的点到焦点的最小距离是2p ，即18. 故选D.5. 【命题意图】本题主要考查等差数列.【试题解析】 C {}n a 是以2为公差的等差数列，12627,||||||n a n a a a =-+++53113518=+++++=. 故选C.6. 【命题意图】本题主要考查线性规划问题.【试题解析】B 不等式组所表示的平面区域位于直线03=-+y x 的上方区域和直线10x y -+=的上方区域，根据目标函数的几何意义确定4≤z . 故选B.7. 【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 四棱锥的体积为. 382431=⨯⨯=V . 故选D. 8. 【命题意图】本题考查概率相关问题.【试题解析】A 由已知1151(),4216nn -≥≥. 故选A. 9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的相关知识.【试题解析】C令26t x π=+，从而7[,]66t ππ∈，由于方程有两个解，所以12122()3t t x x ππ+=++=，进而123x x π+=. 故选C.10. 【命题意图】本题主要考查程序框图.【试题解析】A 第一次执行循环体有，33,,1,||0.522m b a a b ===-=；第二次执行循环 体有，535,,,||0.25424m b a a b ===-=；第三次执行循环体有， 11311,,,||0.125828m b a a b d ===-=<. 故选A.11. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】A 由已知22(3,3),||(3)(3)OC m n m n OC m n m n =+-=++-2210m n =+，由0,0,12m n m n >>≤+≤，有22222m n ≤+<，则5||210OC ≤<. 故选A.12. 【命题意图】本题是考查函数的应用.【试题解析】C ①当2m =时显然成立；②当2m >时，2()[1,1]3m f x m -∈+-，只要 22(1)13m m -+>-即可，有25m <<，；③当2m <时，2()[1,1]3m f x m -∈-+，只要 21213m m -+<-即可，有725m <<. 故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 4814. x y =15. 30 16.233简答与提示：13. 【命题意图】本题考查排列组合相关知识.【试题解析】甲乙二人的票要连号，故424248A A =. 14. 【命题意图】本题考查导数的几何意义.【试题解析】()(sin cos ),(0)1,xf x e x x f ''=+=切线方程为x y =. 15. 【命题意图】本题考查等比数列.【试题解析】由条件可求得12,2,q a ==所以430S =.16. 【命题意图】本题考查双曲线问题.【试题解析】法一：由||1||2AF BF =可知，||1||2OA OB =，则Rt OAB ∆中，3AOB π∠=，渐近线OA 的斜率3tan 63b k a π===，即离心率2231()3b e a =+=. 法二：设过左焦点F 作x a b y -=的垂线方程为)(c x bay +=联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x a b y c x b a y )(，解得，c ab y A =联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=x a b y c x b a y )(，解得，22a b abc y B -= 又||1||2AF BF = A B y y 2-=∴ 223a b =∴所以离心率2231()3be a=+=. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数性质及正弦定理等. 【试题解析】（Ⅰ）(3,1),(3cos ,1sin )OP QP x x ==--， （2分）()33cos 1sin 42sin()3f x x x x π=-+-=-+， （4分）)(x f 的周期为π2. （5分）（Ⅱ）因为()4f A =，所以23A π=， （6分）又因为3BC =，由正弦定理，23sin ,23sin AC B AB C ==， （8分）所以三角形周长为323sin 23sin 323sin()3B C B π++=++ （10分）因为03B π<<，所以3sin()(,1]32B π+∈， 所以三角形周长最大值为323+. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】（Ⅰ）解：女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：（3分）由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. （4分）（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于 90分的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于90分的人数为X ，则X 取值为1,2,3，12423641(1)205C C P X C ====；214236123(2)205C C P X C ====； 评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 50评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 5032423641(3)205C C P X C ====. （9分）所以X 的分布列为X1 2 3 P1535151632555EX =++=.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以四棱锥为载体，考查直线与平面垂直，以及二面角问题等. 【试题解析】（Ⅰ）⊥PA 平面ABCD ,⊂AB 平面ABCD ,AB PA ⊥∴,平面ABCD 为矩形，AD AB ⊥∴ , A AD PA = ,⊥∴AB 平面PAD , （2分）⊂PD 平面PAD , PD AB ⊥∴, AD PA = , E 为PD 中点⊥∴=⊥∴PD A AB AE AE PD ,平面ADE （4分） （Ⅱ）以A 为原点，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A BDP -，令||2AB =，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(1,0,0)F ，(1,0,2)PF =-，(2,2,2)PM λλλ=-，(2,2,22)M λλλ- （6分）设平面PFM 的法向量111(,,)m x y z =，=0=0m PF m PM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即202220x z x y z λλλ-+=⎧⎨+-=⎩，(2,1,1)m =- （8分）设平面BFM 的法向量222(,,)n x y z =，=0=0n BF n FM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即()()0212220x x y z λλλ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩，(0,1,)n λλ=- （10分） ()2213|cos ,|3||||61m nm n m n λλλλ⋅-+<>===+-，解得12λ=. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的的位置关系，考查学生的逻辑思维 能力和运算求解能力.【试题解析】（Ⅰ）由已知222=a ，2=a ，记点)(0,0y x P ，1PA OM k k = ，2202000000122ax ya x y a x y k k k k PA PA M PA -=-⨯+=⨯=⨯∴， （2分） 又)(0,0y x P 在椭圆上，故1220220=+by a x ，212202-=-=⨯∴a b k k M PA ，2122=∴a b ，∴12=b ，∴椭圆的方程为1222=+y x . （4分）（Ⅱ）设直线)1(:+=x k y l ，联立直线与椭圆方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=12)1(22y x x k y 得0224)12(2222=-+++k x k x k ，记),(),,(2211y x B y x A由韦达定理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⨯+-=+122212422212221k k x x k k x x ，可得122)2(22121+=++=+k kx x k y y ， （6分） 故AB 中点)12,122(222++-k kk k Q ， QN 直线方程：121)122(1122222+--=++-=+-k k x k k k x k k ky （8分） )0,12(22+-∴k k N ，已知条件得：<-4101222<+-k k ，∴ 1202<<k ， （10分） )1211(212122112224)124(12222222222++=+++=+--+-+=∴k k k k k k k k kAB ， 1121212<+<k，)22,223(∈∴AB . （ 12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函 数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）21ln ()xf x x -'=， (0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 当x e =时，()f x 取极大值为1e，无极小值. （3分）（Ⅱ）要证)()(x e f x e f ->+，即证：xe x e x e x e -->++)ln()ln(，只需证明：)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-.（5分）设)ln()()ln()()(x e x e x e x e x F -+-+-=，222222222222()4()l n ()[2l n ()]0e x x F x e x e xe xe x+'=--=--+>--， （7分）0)0()(=>∴F x F .故)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-，即)()(x e f x e f ->+. （8分） （III ）不妨设21x x <，由（Ⅰ）知210x e x <<<，e x e <-<∴10，由（Ⅱ）得)()()]([)]([2111xf x f x e e f x e e f ==-->-+， （10分） 又e x e >-12，e x >2，且)(x f 在),(+∞e 上单调递减， 122e x x ∴-<，即e x x 221>+，e x x x >+=∴2210，0)(0<'∴x f . （12分） 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.【试题解析】 (I) 由221:40,C x y x +-=:230l x y +-=.（5分）（II ）(,22),4P π直角坐标为(2,2)，1(2cos ,sin ),(1cos ,1sin )2Q M αααα++， M 到l 的距离|1cos 2sin 3|10|sin()|545d ααπα+++-==+，从而最大值为105. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】(I)因为2b a -<，所以3,()|||2|=,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++--++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，显然()f x 在(,]2b -∞上单调递减，()f x 在[,)2b+∞上单调递增，所以()f x 的最小值为()22b b f a =+，所以12ba +=，22ab +=. （5分）(II)因为2a b tab +≥恒成立，所以2a bt ab+≥恒成立， 212121122()(2)(14)22a b a b a b ab b a b a b a +=+=++=+++1229(142)22a b b a ≥++⋅= 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92，所以92t ≥，即实数t 的最大值为92. （10分）。
2017届高三第二次教学质量检测数学理试题(12页有答案)
高三年级第二次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1.已知集合{-2-1012}{|22}A B x x A B ==-<≤= ，，，，，，则A ．{-1012}，，，B ．{-101}，， C ．{-2-101}，，， D ．{-2-1012}，，，，2.复数ii+1-2对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知向量(2,1),(3,)a b x =-=，若3a b ⋅= ，则x =A ．3B ．4C ．5D ．64.已知双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线方程为x y 43=，则此双曲线的离心率为A ．43B ．54 C ．53 D5.已知条件p ：46x -≤；条件q ：1x m ≤+，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是A ． (]1,-∞-B ．(]9,∞-C ． []9,1D ．[)∞+，9 6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S =A ．14B ．30C ．62D ．1267.1()nx x-的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ．56B ．35C ．－56D ．－358.已知,αβ是两个不同的平面，,,l m n 是不同的直线，下列命题不正确．．．的是A ．若,,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂则l α⊥B ．若//,,,l m l m αα⊂⊂/则//l αC ．若,,,,l m m l αβαβα⊥=⊂⊥ 则m β⊥D ．若,,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥9.已知)(cos 3sin )(R x x x x f ∈+=，函数)(ϕ+=x f y 的图象关于直线0=x 对称，则ϕ的 值可以是A ．2π B ．6π C ．3π D ．4π10.男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是A ．2人B ．3人C ．2人或3人D ．4人11.已知抛物线24y x =，过焦点F 作直线与抛物线交于点A ，B (点A 在x 轴下方)，点1A 与 点A 关于x 轴对称，若直线AB 斜率为1，则直线1A B 的斜率为A ．3 B C ．2D 12.下列结论中，正确的有①不存在实数k ,使得方程21ln 02x x x k -+=有两个不等实根； ②已知△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2222a b c +=， 则角C 的最大值为6π； ③函数y=ln与ln tan2xy =是同一函数； ④在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，左右顶点分别为A ，B ，若P 为椭圆上任意一点（不同于,A B ），则直线PA 与直线PB 斜率之积为定值．A ．①④B ．①③C ．①②D ．②④第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分. 13.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132455,24a a a a +=+=，则6S = __________． 14.已知实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ,则y x z 42+=的最大值为______ ．15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为__________ ．16.下列命题正确是 ． (写出所有正确命题的序号) ①若奇函数()f x 的周期为4，则函数()f x 的图象关于(2,0)对称； ②若(0,1)a ∈，则111aaa a++<；③函数1()ln1xf x x+=-是奇函数； ④存在唯一的实数a 使()()12lg 2++=x ax x f 为奇函数．三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，4b =，2B A π=+．（1）求cos B 的值； （2）求sin 2sin A C +的值． 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90=∠BAC ，且AB AA =1，F E ,分别是BC CC ,1的中点．（1）求证：平面1AB F ⊥平面AEF ； （2）求二面角F AE B --1的余弦值．19.（本小题满分12分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[]1000，，样本数据分组为第一组[)200，，第二组[)4020，，第 三组[)6040，，第四组[)8060，，第五组[]10080，． （1）求直方图中x 的值；（2）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200家，试估计 有多少企业可以申请政策优惠；（3）从所抽取的企业中任选4家，这4家企业年上缴税收少于20万元的家数记为X ，求X 的 分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 经过点P ，离心率2e = ，直线l 的方程为4=x ．（1）求椭圆C 的方程；（2）经过椭圆右焦点F 的任一直线（不经过点P ）与椭圆交于两点A ，B ，设直线AB 与 l 相交于点M ，记PM PB PA ,,的斜率分别为321,,k k k ，问：是否存在常数λ，使得 321k k k λ=+？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数x ax x f ln )(+=，其中a 为常数，设e 为自然对数的底数． （1）当1a =-时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 在区间(0,]e 上的最大值为3-，求a 的值；（3）设),()(x xf x g =若0,a >对于任意的两个正实数1212,()x x x x ≠， 证明：12122()()()2x x g g x g x +<+． 请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253 (t 为参数)，以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρsin a =． （1）若2=a ，求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； （2）设直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的3倍，求a 的值． 23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数5212)(++-=x x x f ，且m x f ≥)(恒成立． （1）求m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：8223-≤--m x x ．高三第二次质量检测理科数学答案一．ADABD CCABC CA二．13．631614．20 15．61 16．①③ 17．解： （1）∵2B A π=+， ∴2π-=B A ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分又3,4a b ==，所以由正弦定理得34sin sin A B=， 所以34cos sin B B=-，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分所以3sin 4cos B B -=，两边平方得229sin 16cos B B =，又22sin cos 1B B +=，所以3cos 5B =±，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分而2B π>，所以3cos 5B =-．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分（2）∵3cos 5B =-，∴4sin 5B =，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分∵2B A π=+，∴22A B π=-， ∴sin 2sin(2)sin 2A B B π=-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分432sin cos 2()55B B =-=-⨯⨯-=分又A B C π++=，∴322C B π=-， ∴27sin cos 21cos 25C B B =-=-=．∴24731sin 2sin 252525A C +=+=． (12)分18．解答： （1）证明：∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点， ∴AF BC ⊥．又∵侧棱ABC AA 平面⊥1，∴面ABC ⊥面11BB C C ...........2分 ∴AF ⊥面11BB C C ，1AF B F ⊥．…3分 设11AB AA ==，则，EF=，．∴22211B F EF B E +=，∴1B F EF ⊥．...........4分 又AF EF F ⋂=，∴1B F ⊥平面AEF ．…而1B F ⊂面1AB F ，故：平面1AB F ⊥平面AEF ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分（2）解：以F 为坐标原点，FA ，FB 分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系如图， 设11AB AA ==，则(0,0,0)F ，(2A ，1(0,2B -，1(0,)22E -，1()2AE = ,1(AB = ．…⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分由（1）知，1B F ⊥平面AEF ，取平面AEF 的法向量：1(0,,1)2m FB == ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =，由,取3x =，得(3,1,n =- (10)分设二面角1B AE F --的大小为θ，则cos θ=|cos ＜＞|=||=．由图可知θ为锐角，∴所求二面角1B AE F --的余弦值为．…⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分19．解答： 解：（I ）由直方图可得：20(x 0.0250.00650.0032)1⨯+++⨯=解得0.0125x =． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分 （II ）企业缴税收不少于60万元的频率0.0032200.12=⨯⨯=， ∴12000.12144⨯=．∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 （III ）X 的可能取值为0,1,2,3,4．由（I ）可得：某个企业缴税少于20万元的概率10.0125200.254=⨯== .............5分25681)43()41()0(4004===C X P 6427)43()41()1(3114===C X P6427)43()41()2(2224===C X P 643)43()41()3(1334===C X P2561)43()41()4(0444===C X P .......................................10分..............11分∴12561464336427264271256810)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E ． ....12分 20．解：（1）由点P 在椭圆上得，22421a b +=①22c e a ==又所以② 由 ①②得2224,8,4c a b ===，故椭圆C 的方程为22184x y +=……………………..4分 （2）假设存在常数λ，使得123k k k λ+=.由题意可设,AB k AB 的斜率为则直线的方程为(2)y k x =-③代入椭圆方程22184x y +=并整理得2222(12)8880k x k x k +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有22121222888,1212k k x x x x k k -+==++④ ……………6分在方程③中，令4x =得，(4,2)M k，从而2121k k ==32422k k k ==--.又因为B F A 、、共线，则有BF AF k k k ==，即有121222y yk x x ==--……………8分 所以=+21kk 121222y y x x +=--121212112()2222y y x x x x ++----=2k 12121242()4x x x x x x +--++⑤ ……………10分将④代入⑤得=+21kk 2k22222284122888241212k k k k k k k -+=--+++32k k =-， 所以=+21k k 32k . 故存在常数2=λ符合题意…………12分 21.【解答】解：（1）易知()f x 定义域为(0,)+∞，当1a =-时，()ln f x x x =-+，'11()1x f x x x-=-+=， 令'()0f x =，得1x =．当01x <<时，'()0f x >；当1x >时，'()0f x <． ................2分∴()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数．max ()(1)1f x f ==-．∴函数()f x 在(0,)+∞上的最大值为1-．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 （2）∵'111(),(0,],[,)f x a x e x x e=+∈∈+∞． ①若1a e≥-，则'()0f x ≥，从而()f x 在(0,]e 上是增函数， ∴max ()()10f x f e ae ==+≥，不合题意．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分②若1a e <-，则由'1()00f x a x>⇒+>，即10x a <<-由'1()00f x a x <⇒+<，即1x e a-<≤．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分从而()f x 在1(0,)a -上增函数，在1(,)e a-为减函数 ∴max 11()()1ln()f x f a a=-=-+- 令11ln()3a -+-=-，则1ln()2a -=- ∴21e a --=，即2a e =-．∵21e e -<-，∴2a e =-为所求⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分 （3）法一：即证221212*********()2()ln()ln ln 222x x x x x x a ax ax x x x x ++++≤+++ 22222212121212()2()[]22x x x x a ax ax a x x ++--=⋅-- 212()02x x a -=-<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分 另一方面，不妨设12x x <，构造函数11111()()ln()ln ln ()2x x k x x x x x x x x x +=+--> 则1()0k x =，而'1()ln ln 2x x k x x +=-=分 由10x x <<易知1012x x x+<< , 即'()0k x <，()k x 在1(,)x +∞上为单调递减且连续， 故()0k x <，即1111()ln()ln ln 2x x x x x x x x ++<+ 相加即得证 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分法二：'''1()21ln ,()20g x ax x g x a x =++=+> ..........9分 故'()g x 为增函数，不妨令21x x >令111()()()2()()2x x h x g x g x g x x +=+-> ''1()'()()2x x h x g x g +=-..........10分 易知12x x x +>，故''1()'()()02x x h x g x g +=-> .........11分而1()0h x =，知1x x >时，()0h x >故2()0h x >，即12122()()()2x x g g x g x +<+ .........12分22.解 (1)2a =时，圆C 的直角坐标方程为22(y 1)1x +-=；直线l 的普通方程为4380x y +-=.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分(2)圆C ：42222a a y x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，直线:4380l x y +-=，∵直线l 截圆C 的弦长等于圆C⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分 ∴圆心C 到直线的距离3812522aad -==⨯，得32a =或3211a =.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 23.解 (1)544,251(x)6,22144,2x x f x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分 当5122x -≤≤时，函数有最小值6，所以6m ≤.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分 另解：∵2125(2x 1)(2x 5)66x x -++≥--+=-=.∴6m ≤.(2)当m 取最大值6时，原不等式等价于324x x --≤， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分 等价于3324x x x ≥⎧⎨--≤⎩，或3324x x x <⎧⎨--≤⎩，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分 可得3x ≥或133x -≤<. 所以，原不等式的解集为13x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分。
四川省宜宾市普通高中2017级高三第二次诊断测试理科数学试题 (含答案)
四川省宜宾市普通高中2017级高三第二次诊断测试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．设i 是虚数单位，则=−+)i 23)(i 32(A ．i 512+B ．i 66−C ．i 5D ．132．已知集合{}{}22,1,0,1,2,|60A B x x x =−−=−−<，则AB =A ．{}2,1,0,1−B ．{}2,1,0,1,2−−C ．{}3,2,1,0,1,2−−D ．{}2,1,0,1−− 3．2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情.下图表示1月21日至3月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误．．的是 A ．2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势 B ．随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数 C ．2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大D ．我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2月12日左右达到峰值4．已知双曲线22221x y a b−=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为A .43B .53C .54D .32第3题图5．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是A ．8B ．9C ．10D ．116．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4,8,2AB AC BD ===，则ABD ∆的面积是A.BC .3 D.7．()7112x x−的展开式中2x 的系数为A .84−B .84C .280−D .2808．定义在[]2,2−上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，,A ,B ,C D 四点的横坐标依次为1,2−1,6−1,43，则函数()ex f x y =的单调递减区间是 A ．14,63⎛⎫− ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫− ⎪⎝⎭ C ．11,26⎛⎫−− ⎪⎝⎭D ．()1,29．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点A （1，0）作x 轴的垂线与曲线e x y =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线e x y =上方的有N 粒()N M ＜，则无理数e 的估计值是A .N M N − B .M M N − C .M NN− D .M N10．若函数()ln f x x =满足()()f a f b =，且0a b <<，则224442a b a b+−+的最小值是A ．0B ．1C ．32D．11．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y −+−=关于直线10x y −−=的对称圆上的一点，则MN 的最小值是 A．12− B1 C．1 D ．3212．若函数22()2cos(1)37f x x x m x m m =+−+++−有且仅有一个零点，则实数m 的值为A．32−− B．32−C ．4− D ．2第5题图第8题图第9题图二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．已知tan 3α=，则cos 2α=______.14．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和.若2312a a a =，且4a 与72a 的等差中项为34，则5S =______.15．在ABC ∆中，已知3,2,AB AC P ==是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅＝______. 16．如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠=︒，A ,D 分别是BF ,CE 上的点，//AD BC ，且22AB DE BC AF ===（如图①）.将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE ，BF ，CE （如图②）.在折起的过程中，则下列表述：①//AC 平面BEF ②四点,,,B C E F 可能共面③若EF CF ⊥，则平面ADEF ⊥平面ABCD④平面BCE 与平面BEF 可能垂直， 其中正确的是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.(12分)为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]分组，绘成频率分布直方图如图：（1）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0,20]和(20,40]内的人数；（2）从所抽取的20人中得分落在组[0,40]的选手中随机选取3名选手，以X 表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X 的分布列和数学期望.18.(12分)已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=−−−−.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,证明：16n T <．图②图① EA FDBA第17题图19.(12分)将棱长为2的正方体1111D C B A ABCD −截去三棱锥ACD D −1后得到如图所示几何体，O 为11C A 的中点.（1）求证：//OB 平面1ACD ； （2）求二面角11C AD C −−的正弦值.20.(12分)已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为()11,0F −，C 与y 轴正半轴交点为A ，且1π3AF O ∠=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作斜率为1k ，2k （120k k ≠）的两条直线分别交C 于异于点A 的两点,M N .证明：当1211k k k =−时，直线MN 过定点.21.(12分)已知函数cos ()xf x x=,()sin cos g x x x x =+, （1）判断函数()g x 在区间()0,2π上的零点的个数; （2）记函数()f x 在区间()0,2π上的两个极值点分别为12,x x ,求证:12()()0f x f x +<.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系Ox 中，曲线C 的极坐标方程为：22sin 2sin ρρθρθ=+−，直线l 的极坐标方程为：()cos sin 1ρθθ−=，设l 与C 交于,A B 两点，AB 中点为M ,AB 的垂直平分线交C 于,E F .以O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy .（1）求C 的直角坐标方程与点M 的直角坐标； （2）求证：MA MB ME MF ⋅=⋅.23.(10分）[选修4-5：不等式选讲]已知函数321)(+−−=x x x f ． （1）求不等式1)(<x f 的解集;（2）若存在实数x ，使得不等式0)(32<−−x f m m 成立，求实数m 的取值范围．第19题图四川省宜宾市普通高中2017级高三第二次诊断测试理科数学参考答案一、选择题13.45− 14. -11 15. 52− 16.①③三、解答题17. 解（1）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有0.005020202⨯⨯=（人），得分落在组(]20,40的人数有0.007520203⨯⨯=（人）． 所以所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有2人，得分落在组(]20,40的人数有3人。
四川成都2017届高三二诊模拟考试数学试题理含答案
成都2017届二诊模拟考试数学试卷(理科)(时间:120分钟,总分:150分)命题人: 刘在廷 审题人: 张世永一.选择题(每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求.把答案涂在答题卷上.)1.已知集合}2,1,0,1,2{--=A ,}0lg |{≤=x x B ，则B A ＝（ ）A }1{B }1,0{C }2,1,0{D }2,1{2.已知i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则ab 的值是（ ） A －15 B －3 C 3 D 15 3.如图，某组合体的三视图是由边长为2的正方形和直径为2的圆组成，则它的体积为（ ） A π44+ B π48+ C π344+ D π348+ 4.为了得到函数41log 2+=x y 的图像，只需把函数x y 2log =的图象上所有的点（ ）A 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度5. 某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为（ ）A 3B 4C 5D 6 6.如图，圆锥的高2=PO ，底面⊙O 的直径2=AB ， C 是圆上一点，且︒=∠30CAB ，D 为AC 的中点，则直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值为（ ） A21 B 23 C 32D 317.若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ）A (3-，3) B (3-0)∪(0，3)C [-∞，∪+∞)正视图侧视图俯视图8.三棱锥A BCD -中，,,AB AC AD 两两垂直，其外接球半径为2，设三棱锥A BCD -的侧面积为S ，则S 的最大值为（ ）A 4B 6C 8D 16 9.已知221)a ex dx π-=⎰，若2017220170122017(1)()ax b b x b x b x x R -=++++∈，则20171222017222b b b +++的值为（ ） A 0 B -1 C 1 D e 10.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M ∪N=Q ，M ∩N=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称（M ，N ）为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割（M ，N ），下列选项中一定不成立的是（ ） A M 没有最大元素，N 有一个最小元素 B M 没有最大元素，N 也没有最小元素 C M 有一个最大元素，N 有一个最小元素 D M 有一个最大元素，N 没有最小元素11.已知函数3211()201732f x mx nx x =+++，其中{2,4,6,8},{1,3,5,7}m n ∈∈，从这些函数中任取不同的两个函数，在它们在(1,(1))f 处的切线相互平行的概率是（ ）A 7120B 760C 730D 以上都不对12.若存在正实数,,x y z 满足 2zx ez ≤≤且ln y z x z =，则ln y x 的取值范围为（ ）A [1,)+∞B [1,1]e -C (,1]e -∞-D 1[1,ln 2]2+二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上.)13. 在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若cos (3)cos b C a c B =-，则=B cos ．14.已知点(,)P x y 的坐标满足条件400x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若点O 为坐标原点，点(1,1)M --，那么OM OP ⋅的最大值等于_________.15.动点(,)M x y 到点(2,0)的距离比到y 轴的距离大2，则动点M 的轨迹方程为_______.16.在△ABC 中，A θ∠=，,D E 分别为,AB AC 的中点，且BE CD ⊥,则cos 2θ的最小值为___________.三.解答题(17-21每小题12分, 22或23题10分,共70分.在答题卷上解答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1{}nn a -的前n 项和n T ．18. 为宣传3月5日学雷锋纪念日，成都七中在高一，高二年级中举行学雷锋知识竞赛，每年级出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为321,,432，乙队每人答对的概率都是23．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X 表示甲队总得分． （1）求随机变量X 的分布列及其数学期望()E X ； （2）求甲队和乙队得分之和为4的概率．19．已知等边△//AB CBCD中，1,BD CD BC ==1所示），现将B 与/B ，C 与/C 重合，将△//AB C向上折起，使得AD =2所示）. （1）若BC 的中点O ，求证：⊥平面BCD 平面AOD ;（2）在线段AC 上是否存在一点E ，使E D B C D 与面成30角，若存在，求出CE 的长度，若不存在，请说明理由;（3）求三棱锥A BCD -的外接球的表面积.BACD20.已知圆222:2,E x y +=将圆2E按伸缩变换：//2x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线1E ， （1）求1E 的方程；（2）过直线2x =上的点M 作圆2E 的两条切线，设切点分别是A ，B ，若直线AB 与1E 交于C ,D 两点，求CDAB的取值范围.21.已知函数()sin ln sin g x x x θθ=--在[1,)+∞单调递增，其中(0,)θπ∈ （1）求θ的值； （2）若221()()x f x g x x -=+，当[1,2]x ∈时，试比较()f x 与/1()2f x +的大小关系（其中/()f x 是()f x 的导函数），请写出详细的推理过程；（3）当0x ≥时，1(1)xe x kg x --≥+恒成立，求k 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，又过点(2,4)P --的直线l的参数方程为224x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，l 与曲线C 分别交于M ，N.(1)写出曲线C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程； (2)若,,PM MN PN 成等比数列，求a 的值.23．选修4-5：不等式选讲设函数()f x =1(0)x x a a a++->（1）证明：()2f x ≥；（2）若()35f <，求a 的取值范围.成都2017届二诊模拟考试数学试卷(理科参考答案）一、 选择题 1-5：ABDCB 6-10：CBCBC 11-12：BB 二、填空题 13.31 14. 4 15. 28(0)y x x =≥或0(0)y x =< 16.725三、解答题 17 .解：（1）由已知12n n S a a =-有1122(1)n n n n n a S S a a n --=-=->，即12(1)n n a a n -=>. 从而21312,4a a a a ==. 又∵123,1,a a a +成等差数列，即1322(1)a a a +=+，∴11142(21)a a a +=+，解得12a =.∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列 故2n n a =．…………6分（2）由（1）得112n n n n a -=-， 因数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项为21，公比为21的等比数列，∴11[1()](1)1(1)221122212n n n n n n n T -++=-=---．………………12分 18．解：（1）X 的可能取值为0，1，2，3．1111(0)43224P X ==⨯⨯= ,3111211111(1)4324324324P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,32112131111(2)43243243224P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,3211(3)4324P X ==⨯⨯=,X ∴6分1111123()012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………7分 （2）设“甲队和乙队得分之和为4”事件Ａ，包含“甲队３分且乙队１分”，“甲队2分且乙队2分”,“甲队1分且乙队3分”三个基本事件，则：31)32(4131)32(2411)31(3241)(3223213=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=C C A P ．………………12分 19. 解：（1）∵△ABC 为等边三角形，△BCD 为等腰三角形，且O 为中点 ∴,BC AO BC DO ⊥⊥，AO DO O ⋂=，BC AOD ∴⊥平面，又BC ABC ⊂面∴⊥平面BCD 平面AOD………………3分（2）（法1）作,AH DO ⊥交DO 的延长线于H ，则平面BCD ⋂平面,AOD HD =则AH BCD ⊥平面，在Rt BCD ∆中，122OD BC ==， 在Rt ACO ∆中，AO AC ==AOD ∆中， DABCOEF H222cos 23AD OD AO ADO AD OD +-∠==⋅，sin ADO ∴∠=，在Rt ADH ∆中sin 1AH AD ADO =∠=，设(0CE x x =≤≤，作EF CH F ⊥于，平面AHC ⊥平面B C D ，,EF BCD EDF ∴⊥∠平面就是E D B C D与面所成的角。
2017年5月高三理科数学二模练习参考答案
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学（理科） 2017.5一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）3π3π3π()sin 2coscos 2sin sin(2)555f x x x x =-=-- 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==， 因为sin y x =的对称轴方程为ππ,2x k k =+∈Z ， 令3ππ2π,52x k k -=+∈Z ， 得11π1π,202x k k =+∈Z . 所以()f x 的对称轴方程为11π1π,202x k k =+∈Z . 或者：()f x 的对称轴方程为3ππ22π52x k -=+和3ππ22π,52x k k -=-+∈Z ， 即11ππ20x k =+和ππ,20x k k =+∈Z . （Ⅱ）因为π[0,]2x ∈，所以2[0,π]x ∈， 所以3π3π2π2[,]555x -∈- 所以，当3ππ252x -=-即π20x =时， ()f x 在区间π[0,]2上的最小值为1-.16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300)⨯1%=12(人)；选择自然科学类课程的人数为(300+200+300)⨯1%=8(人). (Ⅱ) (ⅰ) 依题意，随机变量X 可取0，1，2.4062483(0)14C C p X C ===；3162484(1)7C C p X C ===；2262483(2).14C C p X C === 故随机变量X 的分布列为(ⅱ)法1：依题意，随机变量Y =2000X +1500(4)X -=6000+500X ， 所以随机变量Y 的数学期望为E (Y )=6000+500E (X )=6000+500(34301214714⨯+⨯+⨯) =6500.(ⅱ)法2：依题意，随机变量Y 可取6000，6500，7000. 所以随机变量Y 的分布列为所以随机变量Y E (Y )=34360006500700014714⨯+⨯+⨯ =6500.17.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为AD DB ⊥，且1DB =，2AB =，所以AD =， 所以60DBA ∠=.因为ABC ∆为正三角形，所以60CAB ∠=，又由已知可知ACBD 为平面四边形，所以//DB AC . 因为AC ⊄平面PDB ，DB⊂平面PDB ， 所以//AC 平面PDB .（Ⅱ）由点P 在平面ABC 上的射影为D 可得PD ⊥平面ACBD ，所以PD DA ⊥，PD DB ⊥.如图，建立空间直角坐标系，则由已知可知(1,0,0)B ，A ，(0,0,1)P ，C .平面ABC 的法向量(0,0,1)=n ，设(,,)x y z =m 为平面PAB 的一个法向量，则 由0,0BA BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m可得0,0,x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则x z ==PAB的一个法向量=m ，所以cos ,||||7⋅<>===m n m n m n ， 所以二面角P AB C --的余弦值为.（Ⅲ）由（Ⅱ）可得(1,AB =，1)PC =-，因为1)(1,10PC AB ⋅=-⋅=-≠， 所以PC 与AB 不垂直，所以在线段PC 上不存在点E 使得PC ⊥平面ABE .18.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）设动点(,)M x y ，由抛物线定义可知点M 的轨迹E 是以(1,0)N 为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线， 所以轨迹E 的方程为24y x =.（Ⅱ）法1：由题意可设直线':l x my n =+，由2,4x my n y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2440y my n --= （*）， 因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ， 所以216160m n ∆=+=，即2n m =-. 所以（*）可化简为22440y my m -+=， 所以2(,2)A m m ， 令1x =-得1(1,)nP m+--， 因为2n m =-，所以221(1,2)(2,)22220nNA NP m m m n m+⋅=-⋅--=-+--= 所以NA NP ⊥，所以点N 在以P A 为直径的圆C 上.法2：依题意可设直线':,(0)l y kx b k =+≠ ，由2,4y kx b y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2222(2)0k x bk x b +-+= （*）， 因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，所以0,0,k ≠⎧⎨∆=⎩即0,1,k bk ≠⎧⎨=⎩所以（*）可化简为222140k x x k-+=， 所以212(,)A kk . 令1x =-得1(1,)P k k--， 因为22212122(1,)(2,)220NA NP k k k k k k-⋅=-⋅--=++-=， 所以NA NP ⊥，所以点N 在以P A 为直径的圆C 上.19.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）'()e 1ax f x a =-，因为曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线与直线230x y ++=垂直， 所以切线l 的斜率为2， 所以'(0)2f =， 所以3a =.（Ⅱ）法1：当0a ≤时，显然有(1)e 101a f <-≤<，即存在实数0x 使0()1f x <； 当0,1a a >≠时，由'()0f x =可得11ln x a a=，所以在11(,ln )x a a ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 在11(,ln )a a -∞上递减；11(ln ,)x a a ∈+∞时，'()0f x >，所以函数()f x 在11(ln ,)a a+∞上递增所以11(ln )f a a=1(1ln )a a +是()f x 的极小值.由函数()e ax f x x =-可得(0)1f =，由1a ≠可得11ln 0a a≠， 所以11(ln )(0)1f f a a<=，综上，若1a ≠，存在实数0x 使0()1f x <.（Ⅱ）法2：当0a ≤时，显然有(1)e 101a f <-≤<，即存在实数0x 使0()1f x <； 当0,1a a >≠时，由'()0f x =可得11ln x a a=，所以在11(,ln )x a a ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 在11(,ln )a a -∞上递减；11(ln ,)x a a ∈+∞时，'()0f x >，所以函数()f x 在11(ln ,)a a +∞上递增. 所以11(ln )f a a =1ln a a+是()f x 的极小值.设1ln ()xg x +=，则2ln '()(0)x g x x -=>,令'()0g x =，得1x =所以当1x ≠时()(1)1g x g <=， 所以11(ln )1f a a<，综上，若1a ≠，存在实数0x 使0()1f x <.20.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）数列{}n a 不具有性质(2)P ；具有性质(4)P .（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,，{0,1}T =是有限集，但是由于21320,1a a a a -=-=，所以不具有性质(0)P ；（必要性）因为数列{}n a 具有性质(0)P ，所以一定存在一组最小的*,m k ∈N 且m k >，满足0m k a a -=，即m k a a =由性质(0)P 的含义可得11222112,,,,,m k m k m k m m k m a a a a a a a a ++++----====所以数列{}n a 中，从第k 项开始的各项呈现周期性规律：11,,,k k m a a a +-为一个周期中的各项， 所以数列{}n a 中最多有m 个不同的项，所以T 最多有2m C 个元素，即T 是有限集.（Ⅲ）因为数列{}n a 具有性质(2)P ，数列{}n a 具有性质(5)P ，所以数列{}n a 中一定存在一项M a ，使得2M p M a a +-=，5M q M a a +-=，其中,p q 分别是满足上述关系式的最小的正整数，显然p q ≠，由性质(2),(5)P P 的含义可得k ∀∈N ，2,5M p k M k M q k M k a a a a ++++++-=-=， 所以(1)(1)(2)()()()2M qp M M qp M q p M q p M q p M p M a a a a a a a a q +++-+-+-+-=-+-++-= (1)(1)(2)()()()5M qp M M pq M p q M p q M p q M q M a a a a a a a a p +++-+-+-+-=-+-++-=所以25M qp M M a a q a p +=+=+. 所以25q p =，又,p q 是满足2M p M a a +-=，5M q M a a +-=的最小的正整数， 所以5,2q p ==，252,5M M M M a a a a ++-=-=，所以k ∀∈N ，252,5M k M k M k M k a a a a ++++++-=-=， 所以k ∀∈N ，22(1)22M k M k M a a a k ++-=+==+，55(1)55M k M k M a a a k ++-=+==+，取5N M =+，则k ∀∈N ，所以，若k 是偶数，则N k N a a k +=+；若k 是奇数，则5(5)5(5)5(5)N k N k N N N a a a k a k a k +++-+==+-=++-=+，所以k ∀∈N ，N k N a a k +=+所以12,,,,,N N N N k a a a a +++是公差为1的等差数列.。
2017届高三二模理科参考答案(1)
2017届高三二模考试试题参考答案及评分标准理科数学一、选择题（题本大题共12道小题,每小题5分,共60分，在每题给出的四答案中，其中只有一项符合题目要求.）1-5： D C C B D 6-10： B C D B D 11-12：D D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分.把答案直接填在题中横线上.） 13． -3 14. 3 15． 0.7 16.己酉年三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
）17.解：（1）∵nn n a a S +=22∴2n 1n 1n 12S a a +++=+……………………………………………………..2分∴ 22n 1n n 1n 1n n 2S 2S (a a )(a a )+++-=+-+…………………………….3分 即n 1n n 1n (a a )(a a 1)0+++--=∵ n a 0>∴n 1n a a 0++>∴n 1n a a 1+-=…………………………………………………………..4分令n 1=，则21112S a a =+ ∴1a 1=或1a 0=∵ n a 0>∴1a 1=…………………………………………………………………………………………5分∴ 数列{}n a 是以1为首项，以为公差1的等差数列∴ n 1a a (n 1)d n =+-=，*n N ∈…………………………………………………………………6分 （2）由（1）知：nnn n 2nn2a 111b (1)(1)()n n 1a a +=-=-+++…………………8分∴数列{}n b 的前2016项的和为n 122016T b b b =+++L111111111(1)()()()()223342015201620162017=-+++-++-+++L 1111111111223342015201620162017=--++--+--++L …………………………………………………………………………10分112017=-+20162017=-……………………………………………………………………12分18.解：（1）证明：法一：取PD 的中点N ，连接MN ，CN.在△PAD 中，N 、M 分别为棱PD 、PA 的中点∴1MN AD 2P1BC AD 2Q P ∴ 四边形BCNM 是平行四边形∴BM CN P∵BM ⊂平面PCD ，CN ⊄平面PCD ∴BM//平面PCD ………………5分（法二：连接EM ，BE.在△PAD 中，E 、M 分别为棱AD 、PA 的中点∴MN PD P ∵AD//BC ，1BC CD AD 12=== ∴ 四边形BCDE 是平行四边形∴BE CD P ∵BE ME E ⋂=，，MN PD P ，BE CD P ∴平面BEM//平面PCD ∵BM ⊂平面BEM ∴BM//平面PCD ）（2）以A 为原点，以，的方向分别为x 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz A -…………………………6分则)0,0,0(A ，)0,1,2(C ，)0,0,1(E . ∵点P 在底面ABCD 上的射影为A ∴PA ⊥平面ABCD∵︒=∠45ADP ∴ PA AD 2== ∴)2,0,0(P∴)2,0,1(-=，)0,1,1(=，)2,0,0(=……..7分设平面PAC 的一个法向量m (a,b,c)=r， 则c 02a b 2c 0⎧=⎨+-=⎩设a 1=，则m (1,2,0)=-r……………………………………..9分设平面PCE 的一个法向量为),,(z y x n =ρ，则⎩⎨⎧=+=-02y x z x ，设2=x ，则)1,2,2(-=n ………………………………10分∴m n cos m,n 5m n•<>==v vv v v v ……………………..11分由图知：二面角A PC E --是锐二面角，设其平面角为θ，则cos cos m,n θ=<>=u u v v …………………………12分19.解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1）目标函数为 10001200z x y =+． …………………………………………….2分 12W =时，由（1）表示的可行域和目标函数几何意义知当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=． 15W =时当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 18W =时，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．………………………………….5分 故最大获利Z 的分布列为…………………………………………………………………….7分因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯=…………………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+= ……………………………………………….10分 所以3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-=……………………………………………………12分20.解：（1）设动圆的圆心为E (x,y)则PE =222(x 2)y 4x ++=+∴2y4x =-即：动圆圆心的轨迹E 的方程为2y4x =-…………………………….4分（2）当直线AB 的斜率不存在时，AB ⊥x轴，此时，A ((2,---∴AB CD ==12S S ==∴12S S +=………………………….5分当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，则k 0≠， 直线AB 的方程是y k(x 2)=+，k 0≠. 设1122A (x ,y ),B (x ,y )，联立方程2y k (x 2)y 4x⎧=+⎨=-⎩，消去y ，得：22k (x 2)4x 0(k 0)++=≠，即：2222k x 4(k 1)x 4k 0(k 0)+++=≠ ∴216(2k 1)0∆=+>，21224(k 1)x x k++=-，12x x 4= ………………………………………………………………………………………………………………….7分由1122A (x ,y ),B (x ,y )知，直线AC 的方程为11y y x x =，直线AC 的方程为22y y x x =， ∴ 12122y 2y C (2,),D (2,)x x ∴ 21121212k (x x )y y CD 22x x x x -=-=∴111S (2x )CD 2=-⋅，221S (2x )CD2=-⋅……………………………………..9分∴12121S S [4(x x )]CD 0)2+=-+⋅=≠ 令21t k=，则t 0>，3212S S 4(2t),t 0+=+>由于 函数32y 4(2t)=+在(0,)+∞上是增函数……………………………………………11分∴ y >12S S +>综上所述，12S S +≥∴112S S +的最小值为12分21.解：（1）函数)(x f 的定义域为）（+∞,0 由已知：），（0)12)(1()2(21)(>++-=-+-='x x x ax a ax x x f…………………………………………………………………………………………………….2分当a x 10<<时，0)(>'x f 所以，函数)(x f 在)10a ，（上是增函数； 当a x 1>时，0)(<'x f 所以，函数)(x f 在)1∞+，（a上是减函数，综上所述：函数)(x f 的增区间是)10a ，（，函数)(x f 的减区间是)1∞+，（a.………………………………………………………………………………………………………………3分（2）设)1()1()(x af x a f xg --+=，则ax ax ax x g 2)1ln()1ln()(---+= …………………………………………………………………………………………………………………..……….5分∴2223122-1111)(x a x a a ax ax x g -=-++='…………………………………………..6分当ax 10<<时，012)(2223>-='x a x a x g ，又0)0(=g ∴0)(>x g故当a x 10<<时，).1()1(x a f x a f ->+……………………………………………………………8分(3) 由(1)知：函数)(x f 的最大值为)1(a f ，且0)1(>a f ……………………………………9分不妨设21210),0,(B ),0,(A x x x x <<，则2110x ax <<<由(2)知：0)()-11()-2(111=>+=x f x a a f x a f …………………………………….10分从而，12-2x a x >所以，.12210ax x x >+=由(1)知：.0)(0<'x f ………………………………………………………………………………………12分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按多做第一题计分。
四川省绵阳市高中2017级高三第二次诊断性测试理科数学试卷含答案
绵阳市高中2017级第二次诊断性考试理科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集{}|0U x x =>，{}2|1x M x e e =<<，则U C M =（ ） A . ()1,2B . ()2,+∞C . (][)0,12,+∞UD . [)2,+∞2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ⋅=+，则z =（ ） A . 2i - B . 2i + C . 12i -D . 2i -3. 已知两个力()11,2F =，()22,3F =-作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力3F ，则3F =（ ） A . ()1,5-B . ()1,5-C . ()5,1-D . ()5,1-4. 甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A .18B .14C .38D .125. 已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin α=”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要6. 若51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含3x 项的系数为（ ）A . -80B . -10C . 10D . 807. 已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是（ ） A . m 的值是20B . 该回归直线过点()2,22C . 产品的销售额与广告费用成正相关D . 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元8. 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ）A .B . 2C .D . 39. 小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X ，则X 的期望为（ ） A . 1B . 2C . 3D . 410. 已知圆C ：2268410x y x y +---=，点M ，N 在圆C 上，平面上一动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥，则PC 的最大值为（ ）A . 8B .C . 4D . 11. 已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为（ ）A . 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B . ()0,2C . ()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭U D . ()2,+∞12. 函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A . 11,32⎛⎫⎪⎝⎭B . [)3,+∞C . ()[)1,23,+∞UD . [)2,3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______.14. 法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数的平方和小于1的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.已知某同学一次试验统计出156m =，则其试验估计π为______.15. 函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为______.16. 过点()1,0M -的直线l 与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：5NA AF =u u u r，则ABF ∆与AMN ∆的面积之和的最小值是______. 三、解答题：共70分。