1.4有阻尼的受迫振动解析
高中物理 1.4 阻尼振动 受迫振动课件
预习导学
❖ 二、受迫振动
❖ 1．驱动周力期：性
的外力．
❖ 2．受迫振动：驱系动统力在 动．
作用下的振
驱动力
❖ 3 ． 振 动 稳 定 后 受 迫 振 没动有的 周 期 总 等 于 的周期，受迫振动稳定后的频率与物体的固 有频率 等于关系．
❖ 三、共振
共振
❖ 驱动力的频率
预习导学 课堂讲义 对点练习
[探背景]
第4讲 阻尼振动 受迫振动
本文选自《汉字王国》。该书以图文并茂的形式讲述中国文字的起源和特点，
选取 200 多个与人的生活有关的字进行细致的讲解，如与人的身体、住房、器
皿、丝和麻、家畜、农具、车船、道路等有关的字，同时分析和描述中国人的
生活方式和风俗习惯，从而使人加深对文字的理解，把学术性与趣味性熔于一
这会让孩子们学习语文、学习国语的积极性、自觉性和趣味性，得到空前推进
和提升，正如歌曲《中国话》所唱到的，“最爱说的话永远是中国话，字正腔圆
落地有声说话最算话；最爱写的字是先生教的方块字，横平竖直堂堂正正做人
要像它”。高考语文分数增加，可以让祖国语言文字自豪感、民族文化自豪感、
民族文化自信力，得到现代化的继承和发扬光大。
【答案】 (1)清楚 (2)清晰
预习导学 课堂讲义 对点练习
第4讲 阻尼振动 受迫振动
第 4 步辨熟语——于细微处细斟酌 请判断下列加点的成语使用是否正确。 (1)这里的森林遭到严重破坏，由于经济贫困，群众生态保护意识淡薄，过 度开发，导致土壤严重流失，沙漠化的土地荒．无．人．烟．。( ) 理由：
预习导学 课堂讲义 对点练习
第 3 步用词语——送你一双慧眼
第4讲 阻尼振动 受迫振动
§14阻尼振动受迫振动
课堂练习
2.如图所示演示装置，一根张紧的水平
绳上挂着四个单摆，让b摆摆动，其余各
摆也摆动起来，可以发现（ CD ）
A. a 摆摆动周期最短
B. c 摆摆动周期最长
C.各摆摆动的周期均与b摆相同
D. d 摆振幅最大
3.两个弹簧振子，甲的固有频率为f，乙的 固有频率为4f，当它们均在频率为2f的驱 动力作用下做受迫振动时，则 （ ）C A、甲的振幅较大，振动频率为f B、乙的振幅较大，振动频率为4f C、甲的振幅较大，振动频率为2f D、乙的振幅较大，振动频率为2f
二、受迫振动
1．驱动力： 周期性 的外力． 2．受迫振动：系统在 驱动力 作用下的振动． 思考： 弹簧振子做自由振动的频率是怎样的？ 弹簧振子在驱动力作用下做受迫振动，稳定后弹簧
振子的振动频率又怎样？
3．振动稳定后受迫振动的频率 总等于 驱动力 的频率，受迫 振动稳定后的频率与物体的固有 频率 无 关系．
§1.4阻尼振动 受迫振动
问题设计
在研究弹簧振子和单摆振动时，我们强调忽略阻力 的影响，它们做的振动都属于简谐运动.在实验室中让一 个弹簧振子振动起来，经过一段时间它将停止振动，你 知道是什么原因造成的吗？ 答案 阻力阻碍了振子的运动，使机械能转化为内能.
阻尼振动实例 同学荡秋千，由于受到空气的阻尼作用，
课堂练习
1. 如图所示，是用来测量各种发动机转速的转 速计原理图。在同一铁支架NM上焊有固有频率 依次为80Hz、60Hz、40Hz、20Hz的四个钢片a、 b、c、d。将M端与正在转动的电动机接触，发 现b钢片振幅最大，则a、b、c、d此时振动频率
约为6__0_H__z____ ， 电动机转速3为6_0_0_____r/min 。
1.4阻尼振动受迫振动
四、振动图象的实际运用
心电图仪
地震仪
AC
二、简谐运动的表达式
由图像知道振动物体离开平衡位置的位移可以 用 X=Asin(ωt+φ)来表示 因为 ω=2π/T f=1/T 所以
物体从不同的位置振动，φ值不同。 ωt+φ叫相位，φ叫初相位。
怎样结合图像写表达式
观察三角函数的正弦值的大小在四个象限中随着 夹角大小变化的关系，和四个象限中正弦值的正 负。
三、简谐运动的相位与相位差的物理意义
用单摆演示当两个摆长与振幅都一样的单摆 在振动步调总一致时，我们就说它们的相位相同， 振动相同；当它们的位移总相反时，我们可以从 振动表达式推知它们的相位一定相差π；两个单 摆的振动步调不相同就是因为它们具有相位差。 所以用来描述简谐运动的物理量有：周期、 频率、相位与相位差。
2 、导入：那么如果用位移图象来表示简谐运动 位移与时间的关系，形状又如何呢？
方案一：在水平弹簧振子的小球上安
置一支记录用的笔，在下面放一条白 纸带，当小球振动时，沿垂直于振动 方向匀速拉动纸带，笔就在带上画出 一条振动图线。
实验演示
点击下图观看实验演示
一、由实验可了解到情况：
1、振动图象（如图）
x/m
x/cm
0
t/s
O
t/s
二. 受迫振动
周期性作用于系统的外力, 叫做驱动力。 物体在周期性外力作用下的振动,叫做受迫振 动。 受迫振动的特点: 受迫振动的频率由驱动力的频率决定，与物体 自由振动时的固有频率无关.
请观察下列运动是受迫振动吗？
三. 共振
1. 定义： 驱动力的频率接近物体的固有频率 时,受迫振动的振幅增大,等于固有频 率时,振幅最大, 这种现象叫做共振.
1.4有阻尼的受迫振动振动力学课件
F (t )
m mx
实部和虚部分别与 F0 cos和t F相0 s对in 应t 。 振动微分方程：
mx cx kx F0eit
x为复数变量，分别与 F0 c和ost 相F0对sin应。t
kx cx
mx cx kx F0eit
显含 t，非齐次微分方程
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
而相位滞后激振力的简谐振动；
（2）稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理性质
（m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方
式（即初始条件）无关。
例题1： 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。
x x1 Asin t
c
k
m
解：运动微分方程： mx cx k(x1 x) 0
02
sin
（实部和虚部分别相等）
振幅放大因子
A
02
F0
k
2
02 40
F0 k
1
B
(1 s2 )2 (2 s)2
(s)
1
(1 s2 )2 (2 s)2
相位差
tan
20 02 2
2 s
1 s2
(s) arctan 2 s
1 s2
振动微分方程： mx cx kx F0eit
设：x Xeit
c2 x0 / 0
x(t)
x1(t)
x2 (t)
x0
cos 0t
x0
0
sin
0t
Bs 1 s2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
mx kx F0 cost 的全解：
因此：
x(t)
物理中的机械振动知识点解析及解题技巧
物理中的机械振动知识点解析及解题技巧机械振动是物理学中的重要分支，研究物体在平衡位置附近做微小振幅周期性运动的规律。
在本文中，我们将对机械振动的知识点进行解析，并介绍一些解题技巧。
一、简谐振动简谐振动是理想化的机械振动模型，它假设振动系统没有能量损耗，且恢复力与位移成正比。
简谐振动的典型例子包括弹簧振子和摆锤等。
解析公式：1. 位移公式：x(t) = A*cos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
2. 速度公式：v(t) = -A*ω*sin(ωt+φ)。
3. 加速度公式：a(t) = -A*ω²*cos(ωt+φ)。
解题技巧：1. 周期与频率的关系：T = 1/f，其中T为周期，f为频率。
2. 角频率与频率的关系：ω = 2πf。
3. 振动的周期和频率与弹簧的劲度系数和质量有关：T = 2π√(m/k)，其中m为质量，k为劲度系数。
二、阻尼振动阻尼振动是指振动系统中存在有能量消耗的情况下的振动现象。
根据阻尼的不同，可以分为无阻尼振动、欠阻尼振动和过阻尼振动。
解析公式：1. 无阻尼振动的位移公式：x(t) = A*cos(ωnt + φ)，其中A为振幅，ωn为自然角频率，t为时间，φ为初相位。
2. 欠阻尼振动的位移公式：x(t) = A*e^(-βt)*cos(ωdt + φ)。
3. 过阻尼振动的位移公式：x(t) = A1*e^((-β1)t) + A2*e^((-β2)t)，其中A1、A2为常数，β1、β2为自然频率。
解题技巧：1. 阻尼比：ζ = β/ωn，其中β为阻尼常数，ωn为自然角频率。
2. 衰减因子：η = e^(-βt)。
三、受迫振动受迫振动是指振动系统在受到外力作用下的振动现象。
当外力频率等于振动系统的固有频率时，会出现共振现象。
解析公式：1. 受迫振动的位移公式：x(t) = X*cos(ωt-δ)，其中X为振幅，ω为外力角频率，t为时间，δ为初相位差。
有阻尼体系受迫振动位移响应分析
有阻尼体系受迫振动位移响应分析引言振动是一种广泛存在于自然界和工程中的现象，其解析和分析对于工程设计和振动控制具有重要意义。
受迫振动是指在外力作用下物体产生的振动现象，而阻尼体系受迫振动位移响应分析则是对于这种受迫振动情况下体系的位移响应进行研究和分析。
本文将对有阻尼体系受迫振动位移响应分析进行探讨，分析受迫振动的基本特性，阻尼对振动的影响以及如何进行位移响应的分析。
一、受迫振动的基本特性受迫振动是指振动系统受到外部作用力的影响而产生的振动现象。
在实际工程中，受迫振动常常由于外部激励或者周期性作用力引起，比如机械系统中的激振器、电梯系统中的电动机等。
受迫振动的基本特性包括：振幅、频率和相位。
1. 振幅：受迫振动的振幅是指振动系统在外部作用力作用下最大的位移幅度。
振幅的大小取决于外部激励的大小和频率、振动系统的固有特性以及阻尼参数等。
2. 频率：受迫振动的频率是指振动系统在外部作用力的驱动下产生的振动频率。
频率与外部激励的频率有关，当外部激励的频率与振动系统的固有频率接近时，系统会产生共振现象，振幅将会变得非常大。
3. 相位：受迫振动的相位是指系统在受到外部激励驱动时位移的相位变化。
相位对于振动系统的稳定性和能量传递有重要影响。
在阻尼系统中，相位差可以描述外部激励与振动响应之间的关系。
二、阻尼对振动的影响阻尼是振动系统中的一种能量损耗机制，它可以减小振动系统的振幅，改变振动系统的频率响应特性，抑制共振现象，提高系统的稳定性。
在受迫振动中，阻尼对振动的影响主要体现在以下几个方面：1. 振幅的衰减：阻尼会使系统的振动幅度逐渐减小，最终趋于稳定。
阻尼比越大，振动幅度的衰减越快。
2. 频率响应特性：阻尼会改变振动系统的频率响应特性，使得系统的固有频率发生变化，从而影响系统的共振特性。
3. 稳定性和控制性能：适当的阻尼可以提高振动系统的稳定性，防止共振现象的产生；也可以改善振动系统的控制性能，使得系统的响应更加稳定和可控。
有阻尼体系受迫振动位移响应分析
有阻尼体系受迫振动位移响应分析阻尼体系是由弹簧和阻尼器组成的振动系统，当该系统受到外界力的作用时，会产生位移响应。
分析阻尼体系的位移响应，可以帮助我们了解系统对不同外力的响应情况，从而对系统的工作性能进行评估和优化。
设阻尼体系的质量为m，弹簧的刚度为k，阻尼器的阻尼系数为c。
外界力F(t)作用在系统上，使系统发生位移。
我们可以通过求解系统的运动方程来分析阻尼体系的位移响应。
根据牛顿第二定律，可以得到阻尼体系的运动方程为：m d^2x/dt^2 + c dx/dt + kx = F(t)x表示位移，t表示时间。
方程左边是系统的惯性力和阻尼力，右边是外界力。
这是一个二阶线性常微分方程。
为了求解该方程，首先需要确定外界力。
外界力可以是一个确定的函数，也可以是一个随机变量。
根据外界力的不同取值情况，我们可以采用不同的方法来求解该方程。
1. 纯弹簧振动：当外界力F(t)为零时，即系统没有受到外力作用，只有弹簧的力和质量的惯性力在起作用。
这时，方程变为：该方程的解是一个简谐振动函数。
可以通过假设解为x = A cos (ωt + φ)，其中A 为振幅，ω为角频率，φ为初相位，代入方程中解得：m ω^2 A cos (ωt + φ) + k A cos (ωt + φ) = 0整理后得到：m ω^2 + k = 0这是一个特征方程，其中ω为振动的固有频率。
通过求解该方程，可以得到固有频率ω，进而求得振幅A和初相位φ。
2. 纯阻尼振动：当外界力F(t)为零时，但系统中存在摩擦阻尼时，方程变为：这是一个含有二阶导数和一阶导数的常微分方程。
我们可以假设解为x = e^(λt)，其中λ为待定常数，代入方程求解得到特征方程：通过求解该特征方程，可以得到特征根λ的值。
根据特征根的不同情况，可以分别得到过阻尼、临界阻尼和欠阻尼振动的解析表达式。
通过以上分析，我们可以得到阻尼体系受迫振动的位移响应。
根据实际情况，可以采用不同的数值方法进行数值模拟，从而更精确地求解位移响应。
机械振动中的阻尼振动与受迫振动
机械振动中的阻尼振动与受迫振动在机械系统中，振动是一种普遍存在的现象，它包含着阻尼振动和受迫振动两种类型。
阻尼振动是指系统在一定的阻尼作用下运动的周期性减弱振动，而受迫振动是指系统受到外部力的作用而发生周期性振动。
本文将探讨机械振动中的阻尼振动和受迫振动的特点及其应用。
一、阻尼振动阻尼振动是指振动系统在受到阻力的作用下产生的振动。
阻尼力可以分为粘性阻尼、干摩擦阻尼和液体摩擦阻尼等不同形式。
阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，振动频率也逐渐减小。
阻尼振动的主要原因是能量的损失。
当机械系统受到阻尼力的作用时，振动系统的机械能会逐渐转化为热能而损失。
这导致振动幅度逐渐减小，最终停止振动。
例如，摆钟在受到空气阻力的影响下，其摆动幅度会逐渐减小，最终停止。
阻尼振动的应用广泛。
在机械工程中，阻尼振动常常被用于减震和能量吸收的装置设计。
例如，在车辆的悬挂系统中使用减震器，可以有效地缓解车辆行驶中的颠簸感。
同时，阻尼振动还常用于物体的减振和抗震设计，例如建筑物中的隔震装置。
二、受迫振动受迫振动是指振动系统在外部力的作用下产生的振动。
外力可以是周期性的，也可以是非周期性的。
受迫振动的特点是振幅和频率与外力的频率相关。
外力对振动系统的影响可以分为共振和强迫两种情况。
共振是指外力的频率接近或等于振动系统的固有频率时，振动幅度会显著增大。
强迫是指外力的频率与振动系统的固有频率有一定的差别，但仍然能引起系统振动。
受迫振动在实际生活中有许多应用。
例如，在音乐中，乐器的共振现象使得乐器能够产生特定的音调。
另外，受迫振动还在工程领域中有着广泛的应用，如振动筛、振动输送机等。
它们利用外力作用产生振动，以完成特定的分选和输送任务。
三、阻尼振动与受迫振动的关系阻尼振动与受迫振动是机械振动中两种常见的振动类型，它们在某些情况下可以相互转化。
当受迫振动系统存在阻尼时，会产生阻尼振动。
此时，外力的频率与振动系统的固有频率相同或接近时，阻尼振动的幅度会受到外力的影响，产生共振效应。
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F0 it c k x x x e m m m
其中， 0
k m
系统的无阻尼固有频率；
系统的阻尼比；
c 2 km
i (t ) x ( t ) Ae 设非齐次方程的特解，即稳态响应：
2 A 2 e i (t ) i 2 0 Ae i (t ) 0 Aei (t )
2. s＝1处，即 不同
区间单调上升的曲线；
1 0 2 时，共振，
的曲线共交于一点。
3. 小阻尼 0
s 1
0
时，激励力与位移同相； 时，激励力与位移反相；
s 1
,
l 例题：已知等效质量m且可简化于杆长 处，阻尼为c，弹簧刚度为k， 3 F (t ) F0 sin t ，水平位置平衡，试求： 1. 动力学微分方程；
第四节 有阻尼的受迫振动
一．
定义：
受迫振动：有阻尼的系统在外界控制的持续激 励作用下所产生的振动。 激励：外界力、基座运动所产生的惯性力。 响应：激励所引起的系统的振动状态。
非自治系统：显含时间变量的系统。
二．
有阻尼受迫振动
受激励力存在使得动力学方程成为非齐次方程：
cx kx F0 eit m x
9 F0 4c 9k sin t m m ml
(2)
0
9k k =3 m m
2c m
3F0 B k
2c 0 3 mk
9F 4c 9k 0 sin t m m ml
当 n时 振幅（最大摆角)
Amax B 3F0 3 mk 9F0 2 2kl 2c 4cl
2.
s＝1（接近共振），且
1 时系统的振幅和相位角
解:
(1)
2
动力学微分方程
l 2l 2l m c k l l F (t )l 3 3 3
ml 2 4 2 cl kl 2 F0l sin t 9 9
动力学微分方程：
2
F0 2 A( ) i 2 A 0 0 (cos i sin ) k
2 0
A
F0 2 2 2 A ( ) 0 cos 0 k 2 A F0 2 sin 0 0 k F0 2 0 F0 k 2 2 2 4 2 2 2 k
其中，激励力的频率和幅值分别为
、 F0
F (t ) F0 eit
x 为复变量，其实部和虚部分别为余弦和正弦激励响应。
根据常微分方程，非齐次线性常微分方程的全解有两部分：
齐次方程的通解 ——指数衰减或衰减振动为非往复运动—暂态响应 非齐次方程的特解——持续等幅振动（稳态受迫振动）—稳态响应。
2 2 it 20 x 0 x x B0 e
B
是频率比s及阻尼比 的函数，与初始
幅频特性：给出不同的阻尼比
及变化的频率比s的幅频曲线，如图
有重要的结论：
1.不论s<<1，即
0
还是s>>1，即 0 一般 阻尼对振幅影响甚小，可按无阻尼受迫振动处理； 。 前者 1 后者 1 ，响应近似于静态，
2.
m k
2
( s ) arctan
2 s arctan 1 s2
2
2c 3 mk
9k m
2
质点的振幅
9F0 l B Amax 3 4c
m k
s
n
1 9k m
作业：p51
2.1 2.2
F0 2 it 0 e k
(t ) iAe i (t ) x
(t ) A 2 e i (t ) x
即
F0 A i 2 0 A A 0 e i k
2 2 0
欧拉公式：
e i (t ) cos(t ) i sin(t )
s 0
(s)
A B
A B
系统的稳态响应的实振幅；
系统的振幅放大因子，它是关于频率比的函数（幅频特性）；
( s) 系统的响应与激励的相位角，它是关于频率比的函数（相频特性）。
结论： 1. 稳态响应与激励是相同频率的简谐运动，并且相位滞后于激励； 2. 稳态响应的振幅 A 条件无关。
0
（实部和虚部分别相等）
1 (1 s ) (2 s)
2 2 2
B
1 (1 s 2 ) 2 (2s) 2
0
20 2s tan 2 2 0 1 s2
( s)
( s ) arctan
2s 1 s2
B
F0 k
系统与幅值相等的常值力施加于物体上所引起的弹簧静变形 （系统在静力F0作用下的静偏位）； 系统的频率比；
s 1 0
也急剧增大，振幅显著增大，且阻尼对振幅抑制作用十分明显，
即阻尼增大，振幅显著下降。将振幅取极大值时的激励频率 m 为共振频率，
d 0 Байду номын сангаасs
有最大值
m 0 1 2 2
1 2 1
2
max
有最大的幅值
Amax
B 2 1 2
当 1 时，
max
1 Q 2
Q为系统的品质因数。
品质因数越大，共振峰越高， 测量的信号强，灵敏度高。它反 映了系统的窄带滤波性能，品质 因数值越大，选择性越好。
此时振幅
Amax
B 2
相频特性：给出不同的阻尼比 及变化的频率比s的幅频曲线，如图
有重要的结论：
1. 随着s在 0 ~