四川省资阳市2015届高三一诊数学(理)试题

四川省资阳市2015届高三一诊数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

第Ⅰ卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合{|(2)(2)0}M x x x =+-≤，{|13}N x x =-<<，则M N =(A){ x |－1≤x ＜2} (B){ x |－1＜x ≤2} (C){ x |－2≤x ＜3}(D){ x |－2＜x ≤2}2．在复平面内，复数1－3i ，(1＋i )(2－i )对应的点分别为A 、B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为 (A)－4＋2i(B) 4－2i(C)－2＋i(D) 2－i3．已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是(A)若a b >，则||||a b > (B)若a b >，则11a b< (C)若||a b >，则22a b >(D)若||a b >，则22a b >4．已知向量3AB =+a b ，53BC =+a b ，33CD =-+a b ，则(A) A 、B 、C 三点共线 (B) A 、B 、D 三点共线 (C) A 、C 、D 三点共线(D) B 、C 、D 三点共线5．已知命题p 0x ∃∈R ，2000x ax a ++<．若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是(A) [0,4] (B)(0,4) (C)(,0)(4,)-∞+∞(D)(,0][4,)-∞+∞6．将函数sin(2)3y x π=+的图象向右平移ϕ(0ϕ>)个单位，所得图象关于原点O 对称，则ϕ的最小值为 (A)23π(B)3π(C)6π(D)12π7． 《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小的一份为(A)53(B)116 (C)136(D)1038．若执行右面的程序框图，输出S 的值为3，则判断框中应填入的条件是(A) k ＜6？ (B) k ＜7？ (C) k ＜8？ (D) k ＜9？9．已知函数31()2sin ()31x x f x x x x -=++∈+R ，12()()0f x f x +>，则下列不等式正确的是 (A)x 1＞x 2(B) x 1＜x 2 (C) x 1＋x 2＜0(D) x 1＋x 2＞010．已知m ∈R ，函数2|21|,1,()log (1),1,x x f x x x +<⎧=⎨->⎩2()221g x x x m =-+-，若函数(())y f g x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是(A)3(0,)5(B)33(,)54(C)3(,1)4(D)(1,3)第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。

作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。

答在试题卷、草稿纸上无效。

第Ⅱ卷共11小题。

二、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．函数()f x =___________．12．已知向量a ＝(2, 1)，b ＝(0,－1)．若(a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝ ． 13．已知点A 是不等式组310,30,1x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域内的一个动点，点(2,1)B -，O 为坐标原点，则OA OB +||的最大值是___________． 14．若两个正实数x ，y 满足211x y+=，且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 15．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数()t t ∈R ，使得()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称f (x )是回旋函数，其回旋值为t ．给出下列四个命题： ①函数()2f x =为回旋函数的充要条件是回旋值t ＝－1； ②若x y a =(a >0，且a ≠1)为回旋函数，则回旋值t ＞1； ③若()sin (0)f x x ωω=≠为回旋函数，则其最小正周期不大于2；④对任意一个回旋值为t (t ≥0)的回旋函数f (x )，方程()0f x =均有实数根． 其中为真命题的是_____________(写出所有真命题的序号)．三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，且12a ，3a ，23a 成等差数列．(Ⅰ) 求等比数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若数列{}n b 满足2112log n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值.17.（本小题满分12分）已知向量m (1,3cos )α=，n (1,4tan )α=，()22ππα∈-,，且m ·n ＝5．(Ⅰ) 求|m ＋n |；(Ⅱ) 设向量m 与n 的夹角为β，求tan()αβ+的值．18.（本小题满分12分）已知函数2()()e x f x x ax b =++在点(0,(0))f 处的切线方程是21y x =-+，其中e 是自然对数的底数．(Ⅰ) 求实数a 、b 的值；(Ⅱ) 求函数()f x 在区间[2,3]-上的值域．19.（本小题满分12分）已知函数2()sin cos cos f x x x m x n ++(,m n ∈R )在区间[0,]4π上的值域为[1,2]．(Ⅰ) 求函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，当m ＞0时，若()1f A =，sin 4sin()B C π=-，△ABCa 的值．20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a t =(1t ≠-)，1n n a S n +-=．(Ⅰ) 当t 为何值时，数列{1}n a +是等比数列？(Ⅱ) 设数列{}n b 的前n 项和为n T ， 11b =，点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，在(Ⅰ)的条件下，若不等式1212911122n n nb b bm a a a a +++≥-++++对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值．21.（本小题满分14分）设函数2()ln f x x x ax =-+（a ∈R ）． (Ⅰ) 求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 已知11(,())A x f x ,22(,())B x f x (12x x ≠)是函数()f x 在[1,)x ∈+∞的图象上的任意两点，且满足1212()()2f x f x x x -<-，求a 的最大值； (Ⅲ) 设1()e x g x x -=，若对于任意给定的0(0,e]x ∈，方程0()1()f x g x +=在(0,e]内有两个不同的实数根，求a 的取值范围．（其中e 是自然对数的底数）资阳市高中2012级第一次诊断性考试 （数学学科）参考答案及评分意见（理工类）一、选择题：BDDBA ，CACDA ．二、填空题：11. [2,)+∞；12. 5；14. (4,2)-；15. ①③④. 三、解答题：共6大题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．(Ⅰ)设数列{}n a 的公比为q ，0n a >.因为12a ，3a ，23a 成等差数列，所以123232a a a +=，则2111232a a q a q +=，所以22320q q --=，解得2q =或12q =-(舍去)， ············ 4分又12a =，所以数列{}n a 的通项公式2n n a =． ·············· 6分 (Ⅱ) 2112log 112n n b a n =-=-， ··················· 8分 则19b =，12n n b b +-=-，故数列{}n b 是首项为9，公差为－2的等差数列， 所以2(9112)102n n n T n n +-==-+2(5)25n =--+，············ 10分所以当5n =时，n T 的最大值为25． ·················· 12分17．(Ⅰ)由m ·n 112cos tan 5αα=+=，解得1sin 3α=， ············ 2分因为()22ππα∈-,，所以cos α=，tan α=． ··········· 4分则(1,=m，(1=n ，所以m ＋n =，所以|m ＋n| ························· 6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知(1,=m，(1=n，则cos cos ,β=<>==m n 8分sin β=，所以tan β=， (10)分所以tan()αβ+==． ·················· 12分18．(Ⅰ) 由2()()e x f x x ax b =++，得2()[(2)]e x f x x a x a b '=++++，因为函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程是21y x =-+，所以(0)1,(0)2,f f =⎧⎨'=-⎩即1,2,b a b =⎧⎨+=-⎩解得3a =-，1b =． ··········· 6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知2()(31)e x f x x x =-+，2()(2)e (1)(2)e x x f x x x x x '=--=+-， · 8分 令()0f x '=，得11x =-或22x =．()f x 与()f x '的关系如下表：x－2(－2,－1)－1 (－1, 2) 2 (2, 3) 3 ()f x ' ＋0 － 0 ＋()f x 211e -↗ 5e↘ －e 2 ↗ e 3由上表可知，函数()f x 在区间[2,3]-上的值域是[－e 2, e 3]． ······· 12分19．(Ⅰ) 2()sin cos cos f x x x m x n =++2(1cos 2)2mx x n =+++2cos2)22m m x x n =+++sin(2)62mm x n π=+++， ·········· 3分 当[0,]4x π∈时，22[,]663x πππ+∈，则1sin(2)126x π≤+≤．由题意知m ≠0，①若0m >，则1,222,2m mn m m n ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩解得2m =，1n =-，则()2s i n (2)6f x x π=+， 由222262k x k πππππ-≤+≤+(k ∈Z )，得函数()f x 的单调递增区间是[,]36k k ππππ-+，k ∈Z ． ········· 5分 ②若0m <，则1,22,22m m n m m n ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩解得2m =-，4n =．则()2sin(2)36f x x π=-++，由3()222262f x k x k πππππ=+≤+≤+(k ∈Z )， 故函数()f x 的单调递增区间是2[,]63k k ππππ++，k ∈Z ．········· 7分 (Ⅱ)当m ＞0时，由2sin(2)16A π+=，所以3A π=． ············ 8分因为sin 4sin()B C π=-，所以sin 4sin B C =，则4b c =， ········· 9分又△ABC所以1sin 23S bc π==4bc =， (10)分所以4b =，1c =，则22241241cos 133a π=+-⨯⨯⨯=，所以a = (12)分20．(Ⅰ)由1n n a S n +-=，得11n n a S n --=-(2n ≥)，两式相减得11()1n n n n a a S S +----=，即121n n a a +=+， ··········· 1分 所以112(1)n n a a ++=+(2n ≥)， ···················· 2分 由1a t =及1n n a S n +-=，得21a t =+， 因为数列{1}n a +是等比数列，所以只需要2112211a t a t ++==++，解得0t =，此时，数列{1}n a +是以111a +=为首项，2为公比的等比数列． ············· 4分(Ⅱ)由(Ⅰ)得121n n a -=-，因为点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，所以1112n n T T n n +-=+，故n T n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111T =为首项，12为公差的等差数列，则11(1)2n T n n =+-，所以(1)2n n n T +=，当2n ≥时，1(1)(1)22n n n n n n nb T T n -+-=-=-=，11b =满足该式，所以n b n =． 6分 不等式1212911122n n n b b bm a a a a +++≥-++++，即为2123912222n nn m -++++≥-， 令21231222n n n R -=++++，则23112322222n n nR =++++，两式相减得 231111112(1)122222222n n n n n n R -+-=+++++-=-，所以1242n n n R -+=-． ·· 10分由92n n R m ≥-恒成立，即2542n n m --≥恒成立，又11232527(4)(4)222n n n n n n ++------=， 故当3n ≤时，25{4}2n n --单调递减；当4n ≥时，25{4}2nn --单调递增，当3n =时，323531428⨯--=；当4n =时，4245614216⨯--=，则2542n n --的最小值为6116，所以实数m 的最大值是6116． (13)分21．(Ⅰ) 2121()2x ax f x x a x x-++'=-+=， ················· 1分由()0f x '=，得2210x ax -++=，该方程的判别式△＝280a +>，可知方程2210x ax -++=，又0x >，故取x =，当x ∈时，()0f x '>，函数()f x单调递增；当)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．则函数()f x的单调递增区间是；递减区间是)+∞． 3分 （Ⅱ）不妨设121x x >≥，不等式1212()()2f x f x x x -<-转化为1122()2()2f x x f x x -<-， 令()()2x f x x ϕ=-，可知函数()x ϕ在区间[1,)+∞上单调递减，故()()20x f x ϕ''=-≤恒成立，故1220x a x -+-≤恒成立，即122a x x≤-+恒成立．··········· 5分 当[1,)x ∈+∞时，函数122y x x =-+单调递增，故当x =1时，函数122y x x=-+取得最小值3，则实数a 的取值范围是3a ≤，则实数a 的最大值为3． ········ 7分（Ⅲ）1()(1)e x g x x -'=-，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 是增函数；当(1,e)x ∈时，()0g x '<，()g x 是减函数．可得函数()g x 在区间(0,e]的值域为(0,1]． ····· 9分令()()1F x f x =+，则221()()x ax F x f x x-++''==，由()0F x '=，结合(Ⅰ)可知，方程()0F x '=在(0,)∞上有一个实数根3x ，若3e x ≥，则()F x 在(0,e]上单调递增，不合题意，可知()0F x '=在(0,e]有唯一的解3x ，且()F x在上单调递增；在)+∞上单调递减． (10)分因为0x ∀∈(0,e]，方程0()1()f x g x +=在(0,e]内有两个不同的实数根，所以(e)0F ≤，且max ()1F x >． ····························· 11分由(e)0F ≤，即2ln e e e 10a -++≤，解得2e ea ≤-．由max 3()()11F x f x =+>，即2333ln 11x x ax -++>，2333ln 0x x ax -+>，因为233210x ax -++=，所以3312a x x =-，代入2333ln 0x x ax -+>，得233ln 10x x +->，令2()ln 1h x x x =+-，可知函数()h x 在(0,e]上单调递增，而(1)0h =，则3()(1)0hx h >=，所以31e x <<，而3312a x x =-在31e x <<时单调递增，可得112e ea <<-，综上所述，实数a 的取值范围是2(1,e ]e-． (14)分。