第一二章习题解答

第一章 习 题 1. 画出下列晶体的惯用原胞和布拉菲格子，指明各晶体的结构以及惯用原胞、初基原胞中的原子个数和配位数。 (1) 氯化钾；（2）氯化钛；（3）硅；（4）砷化镓；（5）碳化硅（6）钽酸锂；（7）铍；（8）钼；（9）铂。 解：

名称 分子式 结构 惯用元胞 布拉菲格子 初基元胞中原子数 惯用元胞中原子数 配位数

氯化钾 KCl NaCl结构 fcc 2 8 6

氯化钛 TiCl CsCl结构 sc 2 2 8 硅 Si 金刚石 fcc 2 8 4 砷化镓 GaAs 闪锌矿 fcc 2 8 4 碳化硅 SiC 闪锌矿 fcc 2 8 4 钽酸锂 LiTaO3 钙钛矿 sc 5 5 2、6、12 O、Ta、Li

铍 Be hcp 简单 六角 2 6 12 钼 Mo bcc bcc 1 2 8 铂 Pt fcc fcc 1 4 12 2. 试证明：理想六角密堆积结构的1281.6333ca。如果实际的ca值比这个数值大得多，可以把晶体视为由原子密排平面所组成，这些面是疏松堆垛的。 证明：如右图所示，六角层内最近邻原子间距为a，而相邻两层的最近邻原子间距为：212243cad。

当d=a时构成理想密堆积结构，此时有：212243caa， 由此解出：633.13821ac。 若633.1ac 时，则表示原子平面的层间距较理想结构的层间距大， 因此层间堆积不够紧密。 3. 画出立方晶系中的下列晶向和晶面：[101]、[110]、[112]、[121]、（110）、（211）、（111）、（112）。 解：3 / 13

4. 考虑指数为（100）和（001）的面，其晶格属于面心立方，且指数指的是立方惯用原胞。若采用初基原胞基矢坐标系为轴，这些面的指数是多少？ 解：如右图所示：在立方惯用原胞中的（100）晶面，在初基原胞基矢坐标

系中，在1a、2a、3a三个基矢坐标上的截距为2,,2，则晶面 指数为（101）。同理，（001）晶面在初基原胞基矢坐标系1a、2a、 3a上的截距为,2,2，则晶面指数为（110）。

5. 试求面心立方结构（100）、（110）、（111）晶面族的原子数面密度和面间距，并比较大小；说明垂直于上述各晶面的轴线是什么对称轴？ 解： 晶面指数 原子数面密度 面间距 对称轴 （100） 2

2

a a C4

（110） 2

4.1

a a2

2 C2

（111） 2

3.2

a a3

3 C3

6. 对于二维六角密积结构，初基原胞基矢为：132aaij，232aaij，kcc。求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六方结构。 解：由倒格基失的定义，可计算得：3212aab=a2)31(ji， 4 / 13

jiaaab)31(22

132



，kcaab22213（未在图中画出）

正空间二维初基原胞如图（A）所示，倒空间初基原胞如图（B）所示 （1）由21bb、组成的倒初基原胞构成倒空间点阵，具有C6操作对称性，而C6对称性是六角晶系的特征。

（2）由21aa、构成的二维正初基原胞，与由21bb、构成的倒初基原胞为相似平行四边形，故正空间为六角结构，倒空间也必为六角结构。 （3）倒空间初基原胞基矢与正格子初基原胞基矢形式相同，所以也为六方结构。

7. 用倒格矢的性质证明，立方晶系的[hkl]晶向与（hkl）晶面垂直。 证明：由倒格矢的性质，倒格矢321blbkbhGhkl垂直于晶面（hkl）。由晶向指数（hkl），晶向可用矢量A表示，则：321alakahA。

倒格子基矢的定义：)(2321aab；)(2132aab；)(2213aab 在立方晶系中，可取321aaa、、相互垂直且321aaa，则可得知332211bababa，　，　， 且321bbb。设mabii（为常值，且有量纲，即不为纯数）， 则 AmalakahmGhkl）＝321(，即hklG与A平行。 8. 考虑晶格中的一个晶面（hkl），证明：(a) 倒格矢123hGhbkblb垂直于这个晶面；(b) 晶格中相邻两个平行晶面的间距为2hklhdG；(c) 对于简单立方晶格有22222adhkl。 证明：（a）晶面（hkl）在基矢321aaa、　、　上的截距为lakaha321、　、　。作矢量： kaham211，lakam322，halam133

显然这三个矢量互不平行，均落在（hkl）晶面上（如右图），且 

022232121321133213221321211aaaaalaaaaakaaaaahkahablbkbhkahaGmh 同理，有02hGm，03hGm 所以，倒格矢hklGh晶面。 （b）晶面族（hkl）的面间距为：

hhhhhklGGblbkbhhaGGhad232111

（c）对于简单立方晶格： 21

222

2

lkhaGh

22222

lkhad

9. 用X光衍射对Al作结构分析时，测得从(111)面反射的波长为1.54Å，反射角为=19.20，求面间距d111。 解：由布拉格反射模型，认为入射角＝反射角，由布拉格公式：2dsin=，可得

sin2n

d （对主极大取n=1）

)(34.22.19sin254.10Ad 10. 试证明：劳厄方程与布拉格公式是等效的。 证明：由劳厄方程：2)(0kkRl 与正倒格矢关系：2hlGR比较可知： 若0kkGh成立，即入射波矢0k，衍射波矢k之差为任意倒格矢hG，则k方向产生衍射光，6 / 13

0kkGh式称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。

现由倒空间劳厄方程出发，推导Blagg公式。 对弹性散射：0kk。由倒格子性质，倒格矢hG垂直于该

晶面族。所以，hG的垂直平分面必与该晶面族平行。 由右图可知：sin4sin2kGh (A) 又若'hG为该方向的最短倒格矢，由倒格矢性质有：dGh2'；若hG不是该方向最短倒格失，由倒格子周期性： ndGnGhh2' （B） 比较（A）、（B）二式可得： 2dSin＝n 即为Blagg公式。 11. 求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。 解：每个惯用元胞中有八个同类原子，其坐标为：







434341434143414343414141212102102102121

000，　，　，　，　，　，　，

结构因子：mijlwkvhuijhkljjjefS2 



lkhilkhilkhilkhilhilkikhieeeeeeef33233233221



前四项为fcc的结构因子，用Ff表示从后四项提出因子)(2lkhie 



lkhiflkhifflkilhikhilkhifhkleFeFFeeeefFS22)()()()(112





因为衍射强度2hklSI， lkhilkhiflkhilkhifhkleeFeeFS222)()(2221·122

用尤拉公式整理后：)(2cos1222lkhFSfhkl 讨论：1、当h、k、l为奇异性数（奇偶混杂）时，0fF，所以02hklS； 2、当h、k、l为全奇数时，222232)4(22ffFSflkh； 3、当h、k、l全为偶数，且nlkh4（n为任意整数）时， 2222..64164)11(2ffFSflkh 当h、k、l全为偶数，但nlkh4，则122nlkh时， 0)11(222..FSlkh

12. 证明第一布里渊区的体积为cV32，其中Vc是正格子初基原胞的体积。 证明：根据正、倒格子之间的关系：

)(2321aab，)(2132aab；)(2213aab

Vc是正格子初基原胞的体积，第一布里渊区的体积为就为倒格子原胞的体积，即 

cc

cc

VaaaaaaVaaaaaaVaaaV31231233211332332122)()(2